Properties

Label 9.2e6_3e6_11e3_23e3.12t165.1c1
Dimension 9
Group $(A_4\wr C_2):C_2$
Conductor $ 2^{6} \cdot 3^{6} \cdot 11^{3} \cdot 23^{3}$
Root number 1
Frobenius-Schur indicator 1

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Basic invariants

Dimension:$9$
Group:$(A_4\wr C_2):C_2$
Conductor:$755560187712= 2^{6} \cdot 3^{6} \cdot 11^{3} \cdot 23^{3} $
Artin number field: Splitting field of $f= x^{8} - 4 x^{7} + 8 x^{6} + 10 x^{5} - 5 x^{4} - 18 x^{3} - 118 x^{2} - 10 x + 119 $ over $\Q$
Size of Galois orbit: 1
Smallest containing permutation representation: 12T165
Parity: Even
Determinant: 1.11_23.2t1.1c1

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 47 }$ to precision 84.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 47 }$: $ x^{3} + 3 x + 42 $
Roots:
$r_{ 1 }$ $=$ $ 16 a^{2} + 24 a + 27 + \left(7 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 47 + \left(24 a^{2} + 40 a + 15\right)\cdot 47^{2} + \left(6 a^{2} + 43 a + 5\right)\cdot 47^{3} + \left(9 a^{2} + 27 a + 14\right)\cdot 47^{4} + \left(12 a^{2} + 13 a + 20\right)\cdot 47^{5} + \left(29 a^{2} + 18 a + 34\right)\cdot 47^{6} + \left(43 a^{2} + 29 a + 33\right)\cdot 47^{7} + \left(8 a^{2} + 37 a + 5\right)\cdot 47^{8} + \left(34 a^{2} + 3 a + 34\right)\cdot 47^{9} + \left(26 a^{2} + 30 a + 6\right)\cdot 47^{10} + \left(28 a^{2} + 25\right)\cdot 47^{11} + \left(12 a^{2} + a + 37\right)\cdot 47^{12} + \left(42 a^{2} + 41 a + 21\right)\cdot 47^{13} + \left(41 a^{2} + a + 21\right)\cdot 47^{14} + \left(4 a^{2} + 45 a + 16\right)\cdot 47^{15} + \left(34 a^{2} + 33 a + 2\right)\cdot 47^{16} + \left(34 a^{2} + 28 a + 9\right)\cdot 47^{17} + \left(32 a^{2} + 17 a + 43\right)\cdot 47^{18} + \left(13 a^{2} + 24 a + 37\right)\cdot 47^{19} + \left(46 a^{2} + 20 a + 45\right)\cdot 47^{20} + \left(41 a^{2} + 12 a + 40\right)\cdot 47^{21} + \left(17 a^{2} + 18 a + 36\right)\cdot 47^{22} + \left(35 a^{2} + 24 a + 2\right)\cdot 47^{23} + \left(29 a^{2} + 9 a + 14\right)\cdot 47^{24} + \left(9 a^{2} + 37 a + 6\right)\cdot 47^{25} + \left(45 a^{2} + 44 a + 29\right)\cdot 47^{26} + \left(9 a^{2} + 37 a + 38\right)\cdot 47^{27} + \left(40 a^{2} + 13 a + 8\right)\cdot 47^{28} + \left(39 a^{2} + 16 a + 29\right)\cdot 47^{29} + \left(26 a^{2} + 43 a + 2\right)\cdot 47^{30} + \left(40 a^{2} + 7 a + 31\right)\cdot 47^{31} + \left(41 a^{2} + 13 a + 12\right)\cdot 47^{32} + \left(43 a^{2} + 22 a + 7\right)\cdot 47^{33} + \left(45 a^{2} + 41 a + 18\right)\cdot 47^{34} + \left(24 a^{2} + 25 a + 7\right)\cdot 47^{35} + \left(8 a^{2} + 6 a + 29\right)\cdot 47^{36} + \left(5 a^{2} + 41 a + 6\right)\cdot 47^{37} + \left(19 a^{2} + 39 a + 31\right)\cdot 47^{38} + \left(15 a^{2} + 18 a + 43\right)\cdot 47^{39} + \left(33 a^{2} + 16 a + 10\right)\cdot 47^{40} + \left(15 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 47^{41} + \left(33 a^{2} + 23 a + 1\right)\cdot 47^{42} + \left(18 a^{2} + 40 a + 10\right)\cdot 47^{43} + \left(31 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 47^{44} + \left(24 a^{2} + 8 a + 34\right)\cdot 47^{45} + \left(38 a^{2} + 20 a\right)\cdot 47^{46} + \left(45 a^{2} + 30 a + 19\right)\cdot 47^{47} + \left(22 a^{2} + 15 a + 39\right)\cdot 47^{48} + \left(13 a^{2} + 11 a + 38\right)\cdot 47^{49} + \left(40 a^{2} + 45 a + 41\right)\cdot 47^{50} + \left(43 a^{2} + 20 a + 26\right)\cdot 47^{51} + \left(4 a^{2} + 38 a + 28\right)\cdot 47^{52} + \left(38 a^{2} + 5 a + 21\right)\cdot 47^{53} + \left(10 a + 19\right)\cdot 47^{54} + \left(30 a^{2} + 28 a + 23\right)\cdot 47^{55} + \left(13 a^{2} + 5 a + 27\right)\cdot 47^{56} + \left(20 a^{2} + 18 a + 13\right)\cdot 47^{57} + \left(41 a^{2} + 34 a\right)\cdot 47^{58} + \left(6 a^{2} + 36 a + 1\right)\cdot 47^{59} + \left(13 a^{2} + 10 a + 37\right)\cdot 47^{60} + \left(41 a^{2} + 31 a + 21\right)\cdot 47^{61} + \left(23 a^{2} + 43 a + 8\right)\cdot 47^{62} + \left(40 a^{2} + 15 a + 46\right)\cdot 47^{63} + \left(38 a^{2} + 18 a + 4\right)\cdot 47^{64} + \left(16 a^{2} + 38 a + 35\right)\cdot 47^{65} + \left(13 a^{2} + 25 a + 24\right)\cdot 47^{66} + \left(14 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 47^{67} + \left(3 a^{2} + 14 a + 34\right)\cdot 47^{68} + \left(36 a^{2} + 46 a + 8\right)\cdot 47^{69} + \left(25 a^{2} + 31 a + 45\right)\cdot 47^{70} + \left(23 a^{2} + 46 a + 32\right)\cdot 47^{71} + \left(9 a + 15\right)\cdot 47^{72} + \left(34 a^{2} + 30 a + 43\right)\cdot 47^{73} + \left(40 a^{2} + 39 a + 18\right)\cdot 47^{74} + \left(12 a^{2} + 12 a + 28\right)\cdot 47^{75} + \left(28 a^{2} + 26 a + 6\right)\cdot 47^{76} + \left(41 a^{2} + 33 a + 15\right)\cdot 47^{77} + \left(2 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 47^{78} + \left(30 a^{2} + 2 a + 31\right)\cdot 47^{79} + \left(30 a^{2} + 43 a + 42\right)\cdot 47^{80} + \left(20 a^{2} + 35 a + 8\right)\cdot 47^{81} + \left(46 a^{2} + 20 a + 32\right)\cdot 47^{82} + \left(40 a^{2} + 43 a + 27\right)\cdot 47^{83} +O\left(47^{ 84 }\right)$
$r_{ 2 }$ $=$ $ 31 a^{2} + 4 a + 33 + \left(46 a^{2} + 16 a + 44\right)\cdot 47 + \left(17 a + 9\right)\cdot 47^{2} + \left(9 a^{2} + 25 a + 42\right)\cdot 47^{3} + \left(44 a^{2} + 39 a + 43\right)\cdot 47^{4} + \left(38 a^{2} + 37\right)\cdot 47^{5} + \left(41 a^{2} + 19 a + 11\right)\cdot 47^{6} + \left(8 a^{2} + 42 a + 4\right)\cdot 47^{7} + \left(15 a^{2} + 32 a + 10\right)\cdot 47^{8} + \left(28 a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 47^{9} + \left(5 a^{2} + 32 a + 44\right)\cdot 47^{10} + \left(12 a^{2} + 31 a + 33\right)\cdot 47^{11} + \left(6 a^{2} + a + 25\right)\cdot 47^{12} + \left(27 a^{2} + 13 a + 5\right)\cdot 47^{13} + \left(37 a^{2} + 12\right)\cdot 47^{14} + \left(a^{2} + 37 a + 19\right)\cdot 47^{15} + \left(24 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 47^{16} + \left(35 a^{2} + 32 a + 23\right)\cdot 47^{17} + \left(24 a^{2} + 42 a + 2\right)\cdot 47^{18} + \left(43 a^{2} + 35 a + 34\right)\cdot 47^{19} + \left(9 a^{2} + 43 a + 33\right)\cdot 47^{20} + \left(2 a^{2} + 7 a + 16\right)\cdot 47^{21} + \left(18 a^{2} + 12 a + 26\right)\cdot 47^{22} + \left(3 a^{2} + 25 a + 37\right)\cdot 47^{23} + \left(46 a^{2} + 32 a + 3\right)\cdot 47^{24} + \left(43 a^{2} + 30 a + 21\right)\cdot 47^{25} + \left(4 a^{2} + 32 a + 37\right)\cdot 47^{26} + \left(28 a^{2} + 5 a + 20\right)\cdot 47^{27} + \left(a^{2} + 14\right)\cdot 47^{28} + \left(31 a^{2} + 20 a + 2\right)\cdot 47^{29} + \left(10 a^{2} + 7 a + 15\right)\cdot 47^{30} + \left(5 a^{2} + 27 a + 4\right)\cdot 47^{31} + \left(13 a^{2} + 25 a + 30\right)\cdot 47^{32} + \left(35 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 47^{33} + \left(36 a^{2} + 15 a + 20\right)\cdot 47^{34} + \left(17 a^{2} + 46 a + 44\right)\cdot 47^{35} + \left(16 a^{2} + 3\right)\cdot 47^{36} + \left(22 a^{2} + 14 a + 1\right)\cdot 47^{37} + \left(24 a^{2} + 8 a + 46\right)\cdot 47^{38} + \left(43 a^{2} + 21 a + 21\right)\cdot 47^{39} + \left(35 a^{2} + 28 a + 41\right)\cdot 47^{40} + \left(17 a^{2} + 46 a + 3\right)\cdot 47^{41} + \left(16 a^{2} + 25 a + 16\right)\cdot 47^{42} + \left(37 a^{2} + 30 a + 37\right)\cdot 47^{43} + \left(40 a^{2} + 39 a + 3\right)\cdot 47^{44} + \left(28 a^{2} + 4 a + 42\right)\cdot 47^{45} + \left(18 a^{2} + 11 a + 29\right)\cdot 47^{46} + \left(13 a^{2} + 34 a + 34\right)\cdot 47^{47} + \left(8 a^{2} + 20 a + 16\right)\cdot 47^{48} + \left(22 a^{2} + 25 a + 35\right)\cdot 47^{49} + \left(44 a^{2} + 31 a + 13\right)\cdot 47^{50} + \left(6 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 47^{51} + \left(44 a^{2} + 28 a + 9\right)\cdot 47^{52} + \left(6 a^{2} + 39 a + 3\right)\cdot 47^{53} + \left(29 a^{2} + 27 a + 35\right)\cdot 47^{54} + \left(28 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 47^{55} + \left(34 a^{2} + 28 a + 24\right)\cdot 47^{56} + \left(33 a^{2} + 29 a + 9\right)\cdot 47^{57} + \left(2 a^{2} + 17 a + 40\right)\cdot 47^{58} + \left(20 a^{2} + 34 a + 26\right)\cdot 47^{59} + \left(27 a^{2} + 33 a + 40\right)\cdot 47^{60} + \left(36 a^{2} + 4\right)\cdot 47^{61} + \left(32 a^{2} + 28 a + 1\right)\cdot 47^{62} + \left(28 a^{2} + 21 a + 13\right)\cdot 47^{63} + \left(13 a^{2} + 6 a + 31\right)\cdot 47^{64} + \left(20 a^{2} + 41 a + 33\right)\cdot 47^{65} + \left(35 a^{2} + 14 a + 37\right)\cdot 47^{66} + \left(38 a^{2} + 9 a + 36\right)\cdot 47^{67} + \left(38 a^{2} + 20 a + 5\right)\cdot 47^{68} + \left(33 a^{2} + 17 a + 32\right)\cdot 47^{69} + \left(37 a^{2} + 14 a + 46\right)\cdot 47^{70} + \left(12 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 47^{71} + \left(42 a^{2} + 45 a + 1\right)\cdot 47^{72} + \left(36 a^{2} + 43 a + 37\right)\cdot 47^{73} + \left(5 a^{2} + 19 a + 39\right)\cdot 47^{74} + \left(15 a^{2} + 29 a + 20\right)\cdot 47^{75} + \left(38 a^{2} + 37 a + 37\right)\cdot 47^{76} + \left(40 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 47^{77} + \left(13 a^{2} + 43 a + 25\right)\cdot 47^{78} + \left(16 a^{2} + 23 a + 3\right)\cdot 47^{79} + \left(46 a^{2} + 20 a + 13\right)\cdot 47^{80} + \left(16 a^{2} + 7 a + 15\right)\cdot 47^{81} + \left(38 a^{2} + 5 a + 26\right)\cdot 47^{82} + \left(13 a^{2} + a + 12\right)\cdot 47^{83} +O\left(47^{ 84 }\right)$
$r_{ 3 }$ $=$ $ 17 + 30\cdot 47 + 5\cdot 47^{2} + 23\cdot 47^{3} + 12\cdot 47^{4} + 12\cdot 47^{5} + 25\cdot 47^{6} + 19\cdot 47^{7} + 36\cdot 47^{8} + 8\cdot 47^{9} + 46\cdot 47^{10} + 47^{11} + 10\cdot 47^{12} + 46\cdot 47^{14} + 26\cdot 47^{15} + 9\cdot 47^{16} + 40\cdot 47^{17} + 19\cdot 47^{18} + 15\cdot 47^{19} + 46\cdot 47^{20} + 34\cdot 47^{21} + 43\cdot 47^{22} + 15\cdot 47^{23} + 42\cdot 47^{24} + 38\cdot 47^{25} + 42\cdot 47^{26} + 37\cdot 47^{27} + 26\cdot 47^{28} + 10\cdot 47^{29} + 12\cdot 47^{30} + 9\cdot 47^{31} + 25\cdot 47^{32} + 6\cdot 47^{33} + 33\cdot 47^{34} + 33\cdot 47^{35} + 10\cdot 47^{36} + 11\cdot 47^{37} + 21\cdot 47^{38} + 8\cdot 47^{39} + 26\cdot 47^{40} + 37\cdot 47^{41} + 8\cdot 47^{42} + 35\cdot 47^{43} + 34\cdot 47^{44} + 45\cdot 47^{45} + 40\cdot 47^{46} + 29\cdot 47^{47} + 19\cdot 47^{48} + 11\cdot 47^{49} + 22\cdot 47^{50} + 41\cdot 47^{51} + 37\cdot 47^{52} + 22\cdot 47^{53} + 40\cdot 47^{54} + 15\cdot 47^{55} + 46\cdot 47^{56} + 33\cdot 47^{57} + 12\cdot 47^{58} + 38\cdot 47^{59} + 14\cdot 47^{60} + 41\cdot 47^{61} + 23\cdot 47^{62} + 10\cdot 47^{63} + 30\cdot 47^{64} + 42\cdot 47^{65} + 5\cdot 47^{66} + 42\cdot 47^{67} + 10\cdot 47^{68} + 2\cdot 47^{69} + 19\cdot 47^{70} + 42\cdot 47^{71} + 2\cdot 47^{72} + 27\cdot 47^{73} + 46\cdot 47^{74} + 38\cdot 47^{75} + 8\cdot 47^{76} + 16\cdot 47^{77} + 13\cdot 47^{78} + 40\cdot 47^{79} + 8\cdot 47^{80} + 3\cdot 47^{81} + 41\cdot 47^{82} + 21\cdot 47^{83} +O\left(47^{ 84 }\right)$
$r_{ 4 }$ $=$ $ 13 a^{2} + 8 a + 44 + \left(26 a^{2} + 42 a + 3\right)\cdot 47 + \left(22 a^{2} + 18 a + 6\right)\cdot 47^{2} + \left(25 a^{2} + 21 a + 28\right)\cdot 47^{3} + \left(22 a^{2} + 41 a\right)\cdot 47^{4} + \left(34 a^{2} + 15 a + 29\right)\cdot 47^{5} + \left(22 a^{2} + 22 a + 20\right)\cdot 47^{6} + \left(22 a^{2} + 43 a + 31\right)\cdot 47^{7} + \left(5 a^{2} + 21 a + 37\right)\cdot 47^{8} + \left(7 a^{2} + 45 a + 9\right)\cdot 47^{9} + \left(33 a^{2} + 35 a + 5\right)\cdot 47^{10} + \left(40 a^{2} + 12 a + 44\right)\cdot 47^{11} + \left(20 a + 14\right)\cdot 47^{12} + \left(35 a^{2} + 40 a + 21\right)\cdot 47^{13} + \left(18 a^{2} + 37 a + 21\right)\cdot 47^{14} + \left(36 a^{2} + 46 a + 41\right)\cdot 47^{15} + \left(35 a^{2} + 27 a + 33\right)\cdot 47^{16} + \left(46 a^{2} + 20 a + 45\right)\cdot 47^{17} + \left(12 a^{2} + 25\right)\cdot 47^{18} + \left(10 a^{2} + 42 a + 14\right)\cdot 47^{19} + \left(32 a^{2} + 30 a + 31\right)\cdot 47^{20} + \left(23 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 47^{21} + \left(35 a^{2} + 3 a + 14\right)\cdot 47^{22} + \left(44 a^{2} + 24 a + 26\right)\cdot 47^{23} + \left(14 a^{2} + 4 a + 35\right)\cdot 47^{24} + \left(42 a^{2} + 15 a + 17\right)\cdot 47^{25} + \left(46 a^{2} + 25 a + 27\right)\cdot 47^{26} + \left(a^{2} + 46 a + 15\right)\cdot 47^{27} + \left(32 a^{2} + 30 a + 28\right)\cdot 47^{28} + \left(12 a^{2} + 18 a + 12\right)\cdot 47^{29} + \left(38 a^{2} + 19 a + 23\right)\cdot 47^{30} + \left(34 a^{2} + 10 a + 16\right)\cdot 47^{31} + \left(33 a^{2} + 18 a + 24\right)\cdot 47^{32} + \left(32 a^{2} + 43 a\right)\cdot 47^{33} + \left(44 a^{2} + 3 a + 36\right)\cdot 47^{34} + \left(33 a^{2} + 35 a + 29\right)\cdot 47^{35} + \left(6 a + 19\right)\cdot 47^{36} + \left(41 a^{2} + 11 a + 38\right)\cdot 47^{37} + \left(40 a^{2} + 7 a + 31\right)\cdot 47^{38} + \left(28 a^{2} + 14 a + 39\right)\cdot 47^{39} + \left(17 a^{2} + 39 a + 4\right)\cdot 47^{40} + \left(44 a^{2} + 30 a + 10\right)\cdot 47^{41} + \left(9 a^{2} + 33 a + 3\right)\cdot 47^{42} + \left(14 a^{2} + 19 a + 38\right)\cdot 47^{43} + \left(14 a^{2} + 27 a + 44\right)\cdot 47^{44} + \left(30 a^{2} + 21 a + 44\right)\cdot 47^{45} + \left(2 a^{2} + 45 a + 44\right)\cdot 47^{46} + \left(28 a^{2} + 42 a + 16\right)\cdot 47^{47} + \left(20 a + 1\right)\cdot 47^{48} + \left(7 a^{2} + 21 a + 5\right)\cdot 47^{49} + \left(10 a^{2} + 18 a + 39\right)\cdot 47^{50} + \left(10 a^{2} + 35 a + 11\right)\cdot 47^{51} + \left(23 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 47^{52} + \left(32 a^{2} + 46 a + 7\right)\cdot 47^{53} + \left(27 a^{2} + 18 a + 32\right)\cdot 47^{54} + \left(8 a^{2} + 24 a + 10\right)\cdot 47^{55} + \left(16 a^{2} + 35 a + 34\right)\cdot 47^{56} + \left(7 a^{2} + 25 a + 3\right)\cdot 47^{57} + \left(17 a^{2} + 31 a + 22\right)\cdot 47^{58} + \left(29 a^{2} + 9 a + 45\right)\cdot 47^{59} + \left(3 a^{2} + 12 a + 39\right)\cdot 47^{60} + \left(10 a^{2} + 24 a + 45\right)\cdot 47^{61} + \left(2 a^{2} + 13 a + 33\right)\cdot 47^{62} + \left(38 a^{2} + 32 a + 31\right)\cdot 47^{63} + \left(30 a^{2} + 10 a + 18\right)\cdot 47^{64} + \left(7 a^{2} + 37 a + 8\right)\cdot 47^{65} + \left(22 a^{2} + 31 a + 11\right)\cdot 47^{66} + \left(43 a^{2} + 25 a + 46\right)\cdot 47^{67} + \left(7 a^{2} + 10 a + 37\right)\cdot 47^{68} + \left(24 a^{2} + a + 12\right)\cdot 47^{69} + \left(15 a^{2} + 17 a + 2\right)\cdot 47^{70} + \left(40 a^{2} + 17 a + 22\right)\cdot 47^{71} + \left(9 a^{2} + 42 a + 30\right)\cdot 47^{72} + \left(4 a^{2} + 45 a + 18\right)\cdot 47^{73} + \left(27 a^{2} + 45 a + 35\right)\cdot 47^{74} + \left(38 a^{2} + 5 a + 20\right)\cdot 47^{75} + \left(14 a^{2} + 8 a + 37\right)\cdot 47^{76} + \left(28 a^{2} + 41 a + 25\right)\cdot 47^{77} + \left(29 a^{2} + 34 a + 9\right)\cdot 47^{78} + \left(22 a^{2} + 26 a + 16\right)\cdot 47^{79} + \left(30 a^{2} + 15 a + 28\right)\cdot 47^{80} + \left(15 a^{2} + 34 a + 12\right)\cdot 47^{81} + \left(10 a^{2} + 45 a + 17\right)\cdot 47^{82} + \left(45 a^{2} + 17 a + 28\right)\cdot 47^{83} +O\left(47^{ 84 }\right)$
$r_{ 5 }$ $=$ $ 28 a^{2} + 5 a + 4 + \left(23 a^{2} + 40 a + 37\right)\cdot 47 + \left(24 a^{2} + 29 a + 15\right)\cdot 47^{2} + \left(2 a^{2} + 43 a + 44\right)\cdot 47^{3} + \left(24 a^{2} + 44 a + 43\right)\cdot 47^{4} + \left(45 a^{2} + 7 a + 39\right)\cdot 47^{5} + \left(20 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 47^{6} + \left(4 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 47^{7} + \left(15 a^{2} + 30 a + 18\right)\cdot 47^{8} + \left(15 a^{2} + 44 a + 43\right)\cdot 47^{9} + \left(15 a^{2} + 4 a + 30\right)\cdot 47^{10} + \left(16 a^{2} + 20 a\right)\cdot 47^{11} + \left(9 a^{2} + 40 a + 31\right)\cdot 47^{12} + \left(41 a^{2} + 36 a + 19\right)\cdot 47^{13} + \left(9 a^{2} + 17 a + 4\right)\cdot 47^{14} + \left(18 a^{2} + 3 a + 43\right)\cdot 47^{15} + \left(45 a^{2} + 22 a + 24\right)\cdot 47^{16} + \left(31 a^{2} + 24 a + 3\right)\cdot 47^{17} + \left(5 a^{2} + 5 a + 36\right)\cdot 47^{18} + \left(10 a^{2} + 36 a + 30\right)\cdot 47^{19} + \left(13 a^{2} + 10 a + 26\right)\cdot 47^{20} + \left(2 a^{2} + 42 a + 8\right)\cdot 47^{21} + \left(36 a^{2} + 29 a + 26\right)\cdot 47^{22} + \left(45 a^{2} + 14 a + 23\right)\cdot 47^{23} + \left(16 a^{2} + 4 a + 35\right)\cdot 47^{24} + \left(9 a^{2} + 37 a + 5\right)\cdot 47^{25} + \left(10 a^{2} + 39 a + 6\right)\cdot 47^{26} + \left(28 a^{2} + 21 a + 28\right)\cdot 47^{27} + \left(14 a^{2} + 19 a + 4\right)\cdot 47^{28} + \left(12 a^{2} + 26 a + 21\right)\cdot 47^{29} + \left(3 a^{2} + 37 a + 2\right)\cdot 47^{30} + \left(23 a^{2} + 38 a + 43\right)\cdot 47^{31} + \left(a^{2} + 26 a + 25\right)\cdot 47^{32} + \left(16 a^{2} + 21 a + 45\right)\cdot 47^{33} + \left(38 a^{2} + 46 a + 2\right)\cdot 47^{34} + \left(29 a^{2} + 44 a + 17\right)\cdot 47^{35} + \left(39 a^{2} + 39 a + 44\right)\cdot 47^{36} + \left(7 a + 44\right)\cdot 47^{37} + \left(28 a^{2} + 33 a + 1\right)\cdot 47^{38} + \left(20 a^{2} + 15 a + 7\right)\cdot 47^{39} + \left(15 a^{2} + 15 a + 22\right)\cdot 47^{40} + \left(41 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 47^{41} + \left(5 a^{2} + 13 a + 40\right)\cdot 47^{42} + \left(18 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 47^{43} + \left(29 a^{2} + 7 a\right)\cdot 47^{44} + \left(42 a^{2} + 34 a + 23\right)\cdot 47^{45} + \left(22 a^{2} + 40 a + 16\right)\cdot 47^{46} + \left(26 a^{2} + 19 a + 27\right)\cdot 47^{47} + \left(19 a^{2} + 40 a + 32\right)\cdot 47^{48} + \left(42 a^{2} + 21 a + 2\right)\cdot 47^{49} + \left(16 a^{2} + 16 a + 42\right)\cdot 47^{50} + \left(9 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 47^{51} + \left(35 a^{2} + 25 a + 42\right)\cdot 47^{52} + \left(4 a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 47^{53} + \left(36 a^{2} + 43 a + 43\right)\cdot 47^{54} + \left(43 a^{2} + 37 a + 3\right)\cdot 47^{55} + \left(34 a^{2} + 30 a + 23\right)\cdot 47^{56} + \left(36 a^{2} + a + 46\right)\cdot 47^{57} + \left(14 a^{2} + 23 a + 40\right)\cdot 47^{58} + \left(45 a^{2} + a + 30\right)\cdot 47^{59} + \left(46 a^{2} + 17 a + 10\right)\cdot 47^{60} + \left(2 a^{2} + 32 a + 39\right)\cdot 47^{61} + \left(7 a^{2} + 8 a + 21\right)\cdot 47^{62} + \left(15 a^{2} + 40 a + 42\right)\cdot 47^{63} + \left(40 a^{2} + 23 a + 7\right)\cdot 47^{64} + \left(13 a^{2} + 38 a + 29\right)\cdot 47^{65} + \left(28 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 47^{66} + \left(21 a^{2} + 45 a + 29\right)\cdot 47^{67} + \left(31 a^{2} + 28 a + 43\right)\cdot 47^{68} + \left(44 a^{2} + 9 a + 25\right)\cdot 47^{69} + \left(23 a^{2} + 12 a + 41\right)\cdot 47^{70} + \left(4 a^{2} + 2 a + 41\right)\cdot 47^{71} + \left(11 a^{2} + 24 a + 36\right)\cdot 47^{72} + \left(34 a^{2} + 17 a + 43\right)\cdot 47^{73} + \left(16 a^{2} + 23 a + 17\right)\cdot 47^{74} + \left(11 a^{2} + 31 a + 25\right)\cdot 47^{75} + \left(27 a^{2} + 34 a + 4\right)\cdot 47^{76} + \left(30 a^{2} + 33 a + 40\right)\cdot 47^{77} + \left(25 a^{2} + 19 a + 46\right)\cdot 47^{78} + \left(45 a^{2} + 17 a + 14\right)\cdot 47^{79} + \left(14 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 47^{80} + \left(9 a^{2} + 9 a + 33\right)\cdot 47^{81} + \left(37 a + 33\right)\cdot 47^{82} + \left(11 a + 39\right)\cdot 47^{83} +O\left(47^{ 84 }\right)$
$r_{ 6 }$ $=$ $ 3 a^{2} + 18 a + 1 + \left(16 a^{2} + 46 a + 22\right)\cdot 47 + \left(45 a^{2} + 23 a + 10\right)\cdot 47^{2} + \left(37 a^{2} + 6 a + 21\right)\cdot 47^{3} + \left(13 a^{2} + 21 a + 23\right)\cdot 47^{4} + \left(36 a^{2} + 25 a + 21\right)\cdot 47^{5} + \left(43 a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 47^{6} + \left(45 a^{2} + 8 a + 38\right)\cdot 47^{7} + \left(22 a^{2} + 26 a + 33\right)\cdot 47^{8} + \left(44 a^{2} + 45 a + 7\right)\cdot 47^{9} + \left(4 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 47^{10} + \left(2 a^{2} + 26 a + 19\right)\cdot 47^{11} + \left(25 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 47^{12} + \left(10 a^{2} + 16 a + 5\right)\cdot 47^{13} + \left(42 a^{2} + 27 a + 22\right)\cdot 47^{14} + \left(23 a^{2} + 45 a + 7\right)\cdot 47^{15} + \left(14 a^{2} + 37 a + 10\right)\cdot 47^{16} + \left(27 a^{2} + 40 a + 41\right)\cdot 47^{17} + \left(8 a^{2} + 23 a + 41\right)\cdot 47^{18} + \left(23 a^{2} + 33 a + 9\right)\cdot 47^{19} + \left(34 a^{2} + 15 a + 22\right)\cdot 47^{20} + \left(2 a^{2} + 39 a + 9\right)\cdot 47^{21} + \left(40 a^{2} + 45 a + 34\right)\cdot 47^{22} + \left(12 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 47^{23} + \left(33 a + 2\right)\cdot 47^{24} + \left(28 a^{2} + 19 a + 43\right)\cdot 47^{25} + \left(38 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 47^{26} + \left(8 a^{2} + 34 a + 36\right)\cdot 47^{27} + \left(39 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 47^{28} + \left(41 a^{2} + 4 a + 33\right)\cdot 47^{29} + \left(16 a^{2} + 13 a + 29\right)\cdot 47^{30} + \left(30 a^{2} + 10\right)\cdot 47^{31} + \left(3 a^{2} + 7 a + 30\right)\cdot 47^{32} + \left(34 a^{2} + 3 a + 34\right)\cdot 47^{33} + \left(9 a^{2} + 6 a + 39\right)\cdot 47^{34} + \left(39 a^{2} + 23 a + 35\right)\cdot 47^{35} + \left(45 a^{2} + 9\right)\cdot 47^{36} + \left(40 a^{2} + 45 a + 31\right)\cdot 47^{37} + \left(46 a^{2} + 20 a + 39\right)\cdot 47^{38} + \left(10 a^{2} + 12 a + 34\right)\cdot 47^{39} + \left(45 a^{2} + 15 a + 34\right)\cdot 47^{40} + \left(36 a^{2} + 41 a + 45\right)\cdot 47^{41} + \left(7 a^{2} + 10 a + 43\right)\cdot 47^{42} + \left(10 a^{2} + 39\right)\cdot 47^{43} + \left(33 a^{2} + 35 a + 7\right)\cdot 47^{44} + \left(26 a^{2} + 4 a + 38\right)\cdot 47^{45} + \left(32 a^{2} + 33 a + 35\right)\cdot 47^{46} + \left(21 a^{2} + 43 a + 17\right)\cdot 47^{47} + \left(4 a^{2} + 37 a + 2\right)\cdot 47^{48} + \left(38 a^{2} + 13 a + 41\right)\cdot 47^{49} + \left(36 a^{2} + 32 a + 34\right)\cdot 47^{50} + \left(40 a^{2} + 10 a + 20\right)\cdot 47^{51} + \left(6 a^{2} + 30 a + 32\right)\cdot 47^{52} + \left(4 a^{2} + 22 a\right)\cdot 47^{53} + \left(10 a^{2} + 40 a + 38\right)\cdot 47^{54} + \left(20 a^{2} + 27 a + 3\right)\cdot 47^{55} + \left(45 a^{2} + 10 a + 44\right)\cdot 47^{56} + \left(36 a^{2} + 27 a + 46\right)\cdot 47^{57} + \left(37 a^{2} + 36 a + 39\right)\cdot 47^{58} + \left(41 a^{2} + 8 a + 23\right)\cdot 47^{59} + \left(33 a^{2} + 19 a + 31\right)\cdot 47^{60} + \left(2 a^{2} + 30 a + 38\right)\cdot 47^{61} + \left(16 a^{2} + 41 a + 39\right)\cdot 47^{62} + \left(38 a^{2} + 37 a + 41\right)\cdot 47^{63} + \left(14 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 47^{64} + \left(16 a^{2} + 17 a + 34\right)\cdot 47^{65} + \left(5 a^{2} + 13 a + 8\right)\cdot 47^{66} + \left(11 a^{2} + 37 a + 8\right)\cdot 47^{67} + \left(12 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 47^{68} + \left(13 a^{2} + 38 a + 10\right)\cdot 47^{69} + \left(44 a^{2} + 2 a + 35\right)\cdot 47^{70} + \left(18 a^{2} + 45 a + 23\right)\cdot 47^{71} + \left(35 a^{2} + 12 a + 38\right)\cdot 47^{72} + \left(25 a^{2} + 46 a + 26\right)\cdot 47^{73} + \left(36 a^{2} + 30 a + 10\right)\cdot 47^{74} + \left(22 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 47^{75} + \left(38 a^{2} + 33 a + 27\right)\cdot 47^{76} + \left(21 a^{2} + 26 a + 22\right)\cdot 47^{77} + \left(18 a^{2} + 18 a + 32\right)\cdot 47^{78} + \left(18 a^{2} + 27 a + 7\right)\cdot 47^{79} + \left(a^{2} + 35 a + 31\right)\cdot 47^{80} + \left(17 a^{2} + a + 1\right)\cdot 47^{81} + \left(36 a + 34\right)\cdot 47^{82} + \left(6 a^{2} + 38 a + 4\right)\cdot 47^{83} +O\left(47^{ 84 }\right)$
$r_{ 7 }$ $=$ $ 42 + 4\cdot 47 + 23\cdot 47^{2} + 21\cdot 47^{3} + 39\cdot 47^{4} + 25\cdot 47^{5} + 27\cdot 47^{6} + 40\cdot 47^{7} + 13\cdot 47^{8} + 13\cdot 47^{9} + 42\cdot 47^{10} + 17\cdot 47^{11} + 7\cdot 47^{12} + 5\cdot 47^{13} + 47^{14} + 19\cdot 47^{16} + 2\cdot 47^{17} + 18\cdot 47^{19} + 5\cdot 47^{20} + 10\cdot 47^{21} + 29\cdot 47^{22} + 47^{23} + 30\cdot 47^{24} + 12\cdot 47^{25} + 11\cdot 47^{26} + 12\cdot 47^{27} + 13\cdot 47^{28} + 38\cdot 47^{29} + 18\cdot 47^{30} + 18\cdot 47^{31} + 35\cdot 47^{32} + 6\cdot 47^{33} + 19\cdot 47^{34} + 20\cdot 47^{35} + 39\cdot 47^{36} + 36\cdot 47^{37} + 8\cdot 47^{38} + 7\cdot 47^{39} + 44\cdot 47^{40} + 3\cdot 47^{42} + 18\cdot 47^{43} + 45\cdot 47^{44} + 46\cdot 47^{45} + 21\cdot 47^{46} + 23\cdot 47^{47} + 46\cdot 47^{48} + 26\cdot 47^{49} + 37\cdot 47^{50} + 25\cdot 47^{51} + 2\cdot 47^{52} + 32\cdot 47^{53} + 22\cdot 47^{54} + 19\cdot 47^{55} + 41\cdot 47^{56} + 32\cdot 47^{57} + 36\cdot 47^{58} + 39\cdot 47^{59} + 42\cdot 47^{60} + 16\cdot 47^{61} + 5\cdot 47^{62} + 39\cdot 47^{63} + 34\cdot 47^{64} + 20\cdot 47^{65} + 5\cdot 47^{66} + 28\cdot 47^{67} + 27\cdot 47^{68} + 12\cdot 47^{69} + 39\cdot 47^{70} + 34\cdot 47^{71} + 14\cdot 47^{72} + 16\cdot 47^{73} + 9\cdot 47^{74} + 28\cdot 47^{75} + 23\cdot 47^{76} + 45\cdot 47^{77} + 7\cdot 47^{78} + 40\cdot 47^{79} + 3\cdot 47^{80} + 9\cdot 47^{81} + 10\cdot 47^{82} + 45\cdot 47^{83} +O\left(47^{ 84 }\right)$
$r_{ 8 }$ $=$ $ 3 a^{2} + 35 a + 24 + \left(21 a^{2} + 35 a + 40\right)\cdot 47 + \left(23 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 47^{2} + \left(12 a^{2} + 2\right)\cdot 47^{3} + \left(27 a^{2} + 13 a + 10\right)\cdot 47^{4} + \left(20 a^{2} + 30 a + 1\right)\cdot 47^{5} + \left(29 a^{2} + 5 a + 34\right)\cdot 47^{6} + \left(15 a^{2} + 8 a + 17\right)\cdot 47^{7} + \left(26 a^{2} + 39 a + 32\right)\cdot 47^{8} + \left(11 a^{2} + 29 a + 18\right)\cdot 47^{9} + \left(8 a^{2} + 25 a + 2\right)\cdot 47^{10} + \left(41 a^{2} + 2 a + 45\right)\cdot 47^{11} + \left(39 a^{2} + 25 a + 45\right)\cdot 47^{12} + \left(31 a^{2} + 40 a + 14\right)\cdot 47^{13} + \left(37 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 47^{14} + \left(8 a^{2} + 10 a + 33\right)\cdot 47^{15} + \left(34 a^{2} + 9 a + 30\right)\cdot 47^{16} + \left(11 a^{2} + 41 a + 22\right)\cdot 47^{17} + \left(9 a^{2} + 3 a + 18\right)\cdot 47^{18} + \left(40 a^{2} + 16 a + 27\right)\cdot 47^{19} + \left(4 a^{2} + 19 a + 23\right)\cdot 47^{20} + \left(21 a^{2} + 23 a + 7\right)\cdot 47^{21} + \left(40 a^{2} + 31 a + 24\right)\cdot 47^{22} + \left(45 a^{2} + 44 a + 28\right)\cdot 47^{23} + \left(32 a^{2} + 9 a + 24\right)\cdot 47^{24} + \left(7 a^{2} + a + 42\right)\cdot 47^{25} + \left(42 a^{2} + 36 a + 17\right)\cdot 47^{26} + \left(16 a^{2} + 41 a + 45\right)\cdot 47^{27} + \left(13 a^{2} + 15 a + 37\right)\cdot 47^{28} + \left(3 a^{2} + 8 a + 40\right)\cdot 47^{29} + \left(45 a^{2} + 20 a + 36\right)\cdot 47^{30} + \left(6 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 47^{31} + \left(3 a + 4\right)\cdot 47^{32} + \left(26 a^{2} + 41 a + 34\right)\cdot 47^{33} + \left(12 a^{2} + 27 a + 18\right)\cdot 47^{34} + \left(42 a^{2} + 12 a + 46\right)\cdot 47^{35} + \left(29 a^{2} + 39 a + 30\right)\cdot 47^{36} + \left(30 a^{2} + 21 a + 17\right)\cdot 47^{37} + \left(28 a^{2} + 31 a + 7\right)\cdot 47^{38} + \left(21 a^{2} + 11 a + 25\right)\cdot 47^{39} + \left(40 a^{2} + 26 a + 3\right)\cdot 47^{40} + \left(31 a^{2} + 16 a + 32\right)\cdot 47^{41} + \left(20 a^{2} + 34 a + 24\right)\cdot 47^{42} + \left(42 a^{2} + 43 a\right)\cdot 47^{43} + \left(38 a^{2} + 26 a\right)\cdot 47^{44} + \left(34 a^{2} + 20 a + 7\right)\cdot 47^{45} + \left(25 a^{2} + 37 a + 44\right)\cdot 47^{46} + \left(5 a^{2} + 16 a + 18\right)\cdot 47^{47} + \left(38 a^{2} + 5 a + 29\right)\cdot 47^{48} + \left(17 a^{2} + 26\right)\cdot 47^{49} + \left(39 a^{2} + 44 a + 3\right)\cdot 47^{50} + \left(29 a^{2} + 4\right)\cdot 47^{51} + \left(26 a^{2} + 7 a + 21\right)\cdot 47^{52} + \left(7 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 47^{53} + \left(37 a^{2} + 4\right)\cdot 47^{54} + \left(9 a^{2} + 20 a + 13\right)\cdot 47^{55} + \left(43 a^{2} + 30 a + 41\right)\cdot 47^{56} + \left(5 a^{2} + 38 a\right)\cdot 47^{57} + \left(27 a^{2} + 44 a + 42\right)\cdot 47^{58} + \left(44 a^{2} + 2 a + 28\right)\cdot 47^{59} + \left(15 a^{2} + a + 17\right)\cdot 47^{60} + \left(22 a + 26\right)\cdot 47^{61} + \left(12 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 47^{62} + \left(27 a^{2} + 40 a + 10\right)\cdot 47^{63} + \left(2 a^{2} + 29 a + 9\right)\cdot 47^{64} + \left(19 a^{2} + 15 a + 31\right)\cdot 47^{65} + \left(36 a^{2} + 39\right)\cdot 47^{66} + \left(11 a^{2} + 12 a + 29\right)\cdot 47^{67} + \left(16 a + 22\right)\cdot 47^{68} + \left(36 a^{2} + 28 a + 36\right)\cdot 47^{69} + \left(40 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 47^{70} + \left(40 a^{2} + 16 a + 23\right)\cdot 47^{71} + \left(41 a^{2} + 6 a\right)\cdot 47^{72} + \left(5 a^{2} + 4 a + 22\right)\cdot 47^{73} + \left(14 a^{2} + 28 a + 9\right)\cdot 47^{74} + \left(40 a^{2} + 11 a + 24\right)\cdot 47^{75} + \left(40 a^{2} + a + 42\right)\cdot 47^{76} + \left(24 a^{2} + 41 a + 18\right)\cdot 47^{77} + \left(3 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 47^{78} + \left(8 a^{2} + 43 a + 34\right)\cdot 47^{79} + \left(17 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 47^{80} + \left(14 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 47^{81} + \left(45 a^{2} + 43 a + 40\right)\cdot 47^{82} + \left(34 a^{2} + 27 a + 7\right)\cdot 47^{83} +O\left(47^{ 84 }\right)$

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 8 }$

Cycle notation
$(1,5)(3,6)$
$(1,8)(2,3)(4,5)(6,7)$
$(1,5,6)$
$(1,2)(3,4)(5,7)(6,8)$

Character values on conjugacy classes

SizeOrderAction on $r_1, \ldots, r_{ 8 }$ Character value
$1$$1$$()$$9$
$6$$2$$(2,7)(4,8)$$-3$
$9$$2$$(1,5)(2,7)(3,6)(4,8)$$1$
$12$$2$$(1,8)(2,3)(4,5)(6,7)$$3$
$12$$2$$(1,2)(3,4)(5,7)(6,8)$$3$
$36$$2$$(3,5)(7,8)$$1$
$16$$3$$(1,6,3)$$0$
$32$$3$$(1,6,3)(2,8,7)$$0$
$32$$3$$(1,6,3)(2,8,4)$$0$
$36$$4$$(1,8,5,4)(2,6,7,3)$$-1$
$36$$4$$(1,6,5,3)(2,4,7,8)$$1$
$36$$4$$(1,2,5,7)(3,4,6,8)$$-1$
$72$$4$$(2,8,7,4)(5,6)$$-1$
$48$$6$$(1,6,3)(2,7)(4,8)$$0$
$96$$6$$(1,7,6,2,3,8)(4,5)$$0$
$96$$6$$(1,8,6,4,3,2)(5,7)$$0$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.