# Properties

 Label 9.2e15_7e3_43e3.16t1294.1c1 Dimension 9 Group $S_4\wr C_2$ Conductor $2^{15} \cdot 7^{3} \cdot 43^{3}$ Root number 1 Frobenius-Schur indicator 1

# Related objects

## Basic invariants

 Dimension: $9$ Group: $S_4\wr C_2$ Conductor: $893612883968= 2^{15} \cdot 7^{3} \cdot 43^{3}$ Artin number field: Splitting field of $f= x^{8} - 8 x^{6} - 20 x^{5} - 72 x^{4} - 92 x^{3} - 150 x^{2} - 152 x - 85$ over $\Q$ Size of Galois orbit: 1 Smallest containing permutation representation: 16T1294 Parity: Odd Determinant: 1.2e3_7_43.2t1.2c1

## Galois action

### Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 71 }$ to precision 115.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 71 }$: $x^{3} + 4 x + 64$
Roots:
 $r_{ 1 }$ $=$ $29 a^{2} + 58 + \left(14 a^{2} + 45 a + 29\right)\cdot 71 + \left(56 a^{2} + 59 a + 42\right)\cdot 71^{2} + \left(39 a^{2} + 59 a + 64\right)\cdot 71^{3} + \left(49 a^{2} + 57 a + 63\right)\cdot 71^{4} + \left(54 a^{2} + 4 a + 67\right)\cdot 71^{5} + \left(70 a^{2} + 19 a + 64\right)\cdot 71^{6} + \left(69 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 71^{7} + \left(56 a^{2} + 36 a + 11\right)\cdot 71^{8} + \left(33 a^{2} + 58 a + 60\right)\cdot 71^{9} + \left(3 a^{2} + 61 a + 52\right)\cdot 71^{10} + \left(62 a^{2} + 30 a + 58\right)\cdot 71^{11} + \left(59 a^{2} + 56 a + 50\right)\cdot 71^{12} + \left(45 a^{2} + 37 a + 26\right)\cdot 71^{13} + \left(13 a^{2} + 37 a + 24\right)\cdot 71^{14} + \left(33 a^{2} + 65 a + 31\right)\cdot 71^{15} + \left(11 a^{2} + 41 a + 57\right)\cdot 71^{16} + \left(40 a^{2} + 25 a + 48\right)\cdot 71^{17} + \left(59 a^{2} + 40 a + 12\right)\cdot 71^{18} + \left(34 a^{2} + 63 a + 14\right)\cdot 71^{19} + \left(9 a^{2} + 18 a + 3\right)\cdot 71^{20} + \left(15 a^{2} + 33 a + 8\right)\cdot 71^{21} + \left(3 a^{2} + 53 a + 62\right)\cdot 71^{22} + \left(19 a^{2} + 65 a + 15\right)\cdot 71^{23} + \left(49 a^{2} + 3 a + 15\right)\cdot 71^{24} + \left(68 a^{2} + 30 a + 14\right)\cdot 71^{25} + \left(24 a^{2} + 42 a + 23\right)\cdot 71^{26} + \left(43 a^{2} + 45 a + 45\right)\cdot 71^{27} + \left(53 a^{2} + 42 a + 37\right)\cdot 71^{28} + \left(43 a^{2} + 52 a + 35\right)\cdot 71^{29} + \left(27 a^{2} + 57 a + 5\right)\cdot 71^{30} + \left(2 a^{2} + 59 a + 12\right)\cdot 71^{31} + \left(12 a^{2} + 5 a + 45\right)\cdot 71^{32} + \left(29 a^{2} + 67 a + 38\right)\cdot 71^{33} + \left(52 a^{2} + 15 a + 54\right)\cdot 71^{34} + \left(46 a^{2} + 47 a + 67\right)\cdot 71^{35} + \left(42 a^{2} + 57 a + 35\right)\cdot 71^{36} + \left(2 a^{2} + 30 a + 27\right)\cdot 71^{37} + \left(46 a^{2} + 68 a + 41\right)\cdot 71^{38} + \left(23 a^{2} + 41 a + 53\right)\cdot 71^{39} + \left(39 a^{2} + 17 a + 7\right)\cdot 71^{40} + \left(56 a^{2} + 36 a + 18\right)\cdot 71^{41} + \left(69 a + 27\right)\cdot 71^{42} + \left(67 a^{2} + 7 a + 58\right)\cdot 71^{43} + \left(59 a^{2} + 52 a + 6\right)\cdot 71^{44} + \left(13 a^{2} + 3 a + 35\right)\cdot 71^{45} + \left(3 a^{2} + 12 a + 53\right)\cdot 71^{46} + \left(a^{2} + 17 a + 2\right)\cdot 71^{47} + \left(36 a^{2} + 22 a + 28\right)\cdot 71^{48} + \left(5 a^{2} + 25 a + 45\right)\cdot 71^{49} + \left(48 a^{2} + 67 a + 54\right)\cdot 71^{50} + \left(24 a^{2} + 50 a + 4\right)\cdot 71^{51} + \left(16 a^{2} + 17 a + 69\right)\cdot 71^{52} + \left(25 a^{2} + 63 a + 67\right)\cdot 71^{53} + \left(55 a^{2} + 38 a + 41\right)\cdot 71^{54} + \left(49 a^{2} + 16 a + 32\right)\cdot 71^{55} + \left(31 a^{2} + 40 a + 33\right)\cdot 71^{56} + \left(65 a^{2} + 28 a + 12\right)\cdot 71^{57} + \left(29 a^{2} + 51 a + 13\right)\cdot 71^{58} + \left(19 a^{2} + 24 a + 8\right)\cdot 71^{59} + \left(17 a^{2} + 27 a + 17\right)\cdot 71^{60} + \left(61 a^{2} + 46 a + 33\right)\cdot 71^{61} + \left(2 a^{2} + 20 a + 49\right)\cdot 71^{62} + \left(25 a^{2} + 10 a + 27\right)\cdot 71^{63} + \left(12 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 71^{64} + \left(39 a^{2} + 70 a + 27\right)\cdot 71^{65} + \left(48 a^{2} + 43 a + 63\right)\cdot 71^{66} + \left(45 a^{2} + 17 a\right)\cdot 71^{67} + \left(25 a^{2} + 40 a + 51\right)\cdot 71^{68} + \left(58 a^{2} + 25 a + 17\right)\cdot 71^{69} + \left(9 a^{2} + 27 a + 18\right)\cdot 71^{70} + \left(63 a^{2} + 63 a + 12\right)\cdot 71^{71} + \left(16 a^{2} + 57 a + 8\right)\cdot 71^{72} + \left(28 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 71^{73} + \left(70 a^{2} + 39 a + 51\right)\cdot 71^{74} + \left(4 a^{2} + 3 a + 19\right)\cdot 71^{75} + \left(55 a^{2} + 30 a + 49\right)\cdot 71^{76} + \left(28 a^{2} + 47 a + 24\right)\cdot 71^{77} + \left(46 a^{2} + 21 a + 56\right)\cdot 71^{78} + \left(56 a^{2} + 50 a + 22\right)\cdot 71^{79} + \left(12 a^{2} + 32 a + 19\right)\cdot 71^{80} + \left(55 a^{2} + 4 a + 63\right)\cdot 71^{81} + \left(5 a^{2} + 23 a + 14\right)\cdot 71^{82} + \left(7 a + 50\right)\cdot 71^{83} + \left(52 a^{2} + 39 a + 45\right)\cdot 71^{84} + \left(61 a^{2} + 62 a + 49\right)\cdot 71^{85} + \left(60 a^{2} + 17 a + 51\right)\cdot 71^{86} + \left(41 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 71^{87} + \left(50 a^{2} + 14 a + 56\right)\cdot 71^{88} + \left(50 a^{2} + 19 a + 40\right)\cdot 71^{89} + \left(27 a^{2} + 61 a + 65\right)\cdot 71^{90} + \left(21 a^{2} + 48 a + 17\right)\cdot 71^{91} + \left(51 a^{2} + 69 a + 29\right)\cdot 71^{92} + \left(26 a^{2} + 22 a + 46\right)\cdot 71^{93} + \left(9 a^{2} + 64 a + 57\right)\cdot 71^{94} + \left(23 a + 58\right)\cdot 71^{95} + \left(64 a^{2} + 49 a + 17\right)\cdot 71^{96} + \left(52 a^{2} + 61 a + 28\right)\cdot 71^{97} + \left(58 a^{2} + 2 a + 57\right)\cdot 71^{98} + \left(51 a^{2} + 50 a + 17\right)\cdot 71^{99} + \left(60 a^{2} + 47 a + 4\right)\cdot 71^{100} + \left(a^{2} + 56 a + 58\right)\cdot 71^{101} + \left(50 a^{2} + 23 a + 27\right)\cdot 71^{102} + \left(19 a^{2} + 24 a + 48\right)\cdot 71^{103} + \left(53 a^{2} + 48 a + 42\right)\cdot 71^{104} + \left(4 a^{2} + 58 a + 33\right)\cdot 71^{105} + \left(24 a^{2} + 32 a + 10\right)\cdot 71^{106} + \left(25 a^{2} + 23 a + 61\right)\cdot 71^{107} + \left(4 a^{2} + 40 a + 41\right)\cdot 71^{108} + \left(35 a^{2} + 34 a + 21\right)\cdot 71^{109} + \left(26 a^{2} + 27 a + 39\right)\cdot 71^{110} + \left(18 a^{2} + 35 a + 70\right)\cdot 71^{111} + \left(53 a^{2} + 8\right)\cdot 71^{112} + \left(22 a^{2} + 33 a + 29\right)\cdot 71^{113} + \left(28 a^{2} + 59 a + 21\right)\cdot 71^{114} +O\left(71^{ 115 }\right)$ $r_{ 2 }$ $=$ $58 + 25\cdot 71 + 38\cdot 71^{2} + 53\cdot 71^{3} + 62\cdot 71^{4} + 20\cdot 71^{5} + 16\cdot 71^{6} + 21\cdot 71^{7} + 67\cdot 71^{8} + 18\cdot 71^{9} + 11\cdot 71^{10} + 36\cdot 71^{11} + 42\cdot 71^{12} + 2\cdot 71^{13} + 36\cdot 71^{14} + 29\cdot 71^{15} + 61\cdot 71^{16} + 32\cdot 71^{17} + 12\cdot 71^{18} + 23\cdot 71^{19} + 66\cdot 71^{20} + 25\cdot 71^{21} + 52\cdot 71^{22} + 33\cdot 71^{23} + 64\cdot 71^{24} + 9\cdot 71^{25} + 59\cdot 71^{26} + 68\cdot 71^{27} + 31\cdot 71^{28} + 30\cdot 71^{29} + 62\cdot 71^{30} + 53\cdot 71^{31} + 31\cdot 71^{32} + 46\cdot 71^{33} + 42\cdot 71^{34} + 28\cdot 71^{35} + 20\cdot 71^{36} + 9\cdot 71^{37} + 31\cdot 71^{38} + 28\cdot 71^{39} + 7\cdot 71^{40} + 43\cdot 71^{41} + 66\cdot 71^{42} + 5\cdot 71^{43} + 33\cdot 71^{44} + 5\cdot 71^{45} + 7\cdot 71^{46} + 62\cdot 71^{48} + 49\cdot 71^{49} + 7\cdot 71^{50} + 41\cdot 71^{51} + 65\cdot 71^{52} + 68\cdot 71^{53} + 32\cdot 71^{54} + 16\cdot 71^{55} + 11\cdot 71^{56} + 60\cdot 71^{57} + 57\cdot 71^{58} + 59\cdot 71^{59} + 15\cdot 71^{60} + 35\cdot 71^{61} + 16\cdot 71^{62} + 46\cdot 71^{63} + 64\cdot 71^{64} + 18\cdot 71^{65} + 56\cdot 71^{66} + 7\cdot 71^{67} + 52\cdot 71^{68} + 58\cdot 71^{69} + 23\cdot 71^{70} + 42\cdot 71^{71} + 39\cdot 71^{72} + 68\cdot 71^{73} + 54\cdot 71^{74} + 51\cdot 71^{75} + 8\cdot 71^{76} + 14\cdot 71^{77} + 60\cdot 71^{78} + 29\cdot 71^{79} + 44\cdot 71^{80} + 38\cdot 71^{81} + 71^{82} + 63\cdot 71^{83} + 65\cdot 71^{84} + 60\cdot 71^{85} + 47\cdot 71^{86} + 42\cdot 71^{87} + 23\cdot 71^{88} + 70\cdot 71^{89} + 24\cdot 71^{90} + 46\cdot 71^{91} + 38\cdot 71^{92} + 3\cdot 71^{93} + 44\cdot 71^{94} + 37\cdot 71^{95} + 32\cdot 71^{96} + 54\cdot 71^{97} + 13\cdot 71^{98} + 6\cdot 71^{99} + 47\cdot 71^{100} + 53\cdot 71^{101} + 32\cdot 71^{102} + 12\cdot 71^{103} + 14\cdot 71^{104} + 8\cdot 71^{105} + 19\cdot 71^{106} + 19\cdot 71^{107} + 51\cdot 71^{108} + 2\cdot 71^{109} + 23\cdot 71^{110} + 6\cdot 71^{111} + 44\cdot 71^{112} + 23\cdot 71^{113} + 20\cdot 71^{114} +O\left(71^{ 115 }\right)$ $r_{ 3 }$ $=$ $53 + 39\cdot 71 + 66\cdot 71^{2} + 8\cdot 71^{3} + 47\cdot 71^{4} + 5\cdot 71^{5} + 11\cdot 71^{6} + 27\cdot 71^{7} + 16\cdot 71^{8} + 65\cdot 71^{9} + 29\cdot 71^{10} + 60\cdot 71^{11} + 40\cdot 71^{12} + 2\cdot 71^{13} + 5\cdot 71^{14} + 46\cdot 71^{15} + 57\cdot 71^{16} + 50\cdot 71^{17} + 52\cdot 71^{18} + 70\cdot 71^{19} + 63\cdot 71^{20} + 38\cdot 71^{21} + 6\cdot 71^{22} + 30\cdot 71^{23} + 35\cdot 71^{24} + 71^{25} + 8\cdot 71^{26} + 17\cdot 71^{27} + 5\cdot 71^{28} + 41\cdot 71^{29} + 37\cdot 71^{30} + 58\cdot 71^{31} + 6\cdot 71^{32} + 13\cdot 71^{33} + 20\cdot 71^{34} + 15\cdot 71^{35} + 53\cdot 71^{36} + 15\cdot 71^{37} + 22\cdot 71^{38} + 8\cdot 71^{39} + 71^{40} + 68\cdot 71^{41} + 28\cdot 71^{42} + 38\cdot 71^{43} + 63\cdot 71^{44} + 2\cdot 71^{45} + 5\cdot 71^{46} + 68\cdot 71^{47} + 32\cdot 71^{48} + 34\cdot 71^{50} + 66\cdot 71^{51} + 6\cdot 71^{52} + 18\cdot 71^{53} + 21\cdot 71^{54} + 63\cdot 71^{55} + 51\cdot 71^{56} + 17\cdot 71^{57} + 19\cdot 71^{58} + 12\cdot 71^{59} + 20\cdot 71^{60} + 38\cdot 71^{61} + 64\cdot 71^{62} + 41\cdot 71^{63} + 44\cdot 71^{64} + 25\cdot 71^{65} + 6\cdot 71^{66} + 42\cdot 71^{67} + 29\cdot 71^{68} + 54\cdot 71^{69} + 62\cdot 71^{70} + 67\cdot 71^{71} + 51\cdot 71^{72} + 19\cdot 71^{73} + 8\cdot 71^{74} + 4\cdot 71^{75} + 5\cdot 71^{76} + 63\cdot 71^{77} + 71^{78} + 63\cdot 71^{79} + 5\cdot 71^{80} + 24\cdot 71^{81} + 33\cdot 71^{82} + 24\cdot 71^{83} + 39\cdot 71^{84} + 8\cdot 71^{85} + 21\cdot 71^{86} + 33\cdot 71^{87} + 37\cdot 71^{88} + 20\cdot 71^{89} + 22\cdot 71^{90} + 55\cdot 71^{91} + 27\cdot 71^{92} + 17\cdot 71^{93} + 17\cdot 71^{94} + 36\cdot 71^{95} + 5\cdot 71^{96} + 40\cdot 71^{97} + 21\cdot 71^{98} + 58\cdot 71^{99} + 14\cdot 71^{100} + 39\cdot 71^{101} + 61\cdot 71^{102} + 24\cdot 71^{103} + 22\cdot 71^{104} + 34\cdot 71^{105} + 55\cdot 71^{106} + 31\cdot 71^{107} + 29\cdot 71^{108} + 44\cdot 71^{109} + 56\cdot 71^{110} + 45\cdot 71^{111} + 63\cdot 71^{112} + 71^{113} + 40\cdot 71^{114} +O\left(71^{ 115 }\right)$ $r_{ 4 }$ $=$ $49 a^{2} + 18 a + 42 + \left(14 a^{2} + 10 a + 49\right)\cdot 71 + \left(10 a^{2} + 62 a + 28\right)\cdot 71^{2} + \left(38 a^{2} + 22 a + 51\right)\cdot 71^{3} + \left(48 a^{2} + 55 a + 42\right)\cdot 71^{4} + \left(15 a^{2} + 27 a + 63\right)\cdot 71^{5} + \left(20 a^{2} + 28 a + 2\right)\cdot 71^{6} + \left(14 a^{2} + 16 a + 29\right)\cdot 71^{7} + \left(17 a^{2} + 63 a + 40\right)\cdot 71^{8} + \left(46 a^{2} + 6 a + 30\right)\cdot 71^{9} + \left(59 a^{2} + 50 a + 54\right)\cdot 71^{10} + \left(11 a^{2} + 58\right)\cdot 71^{11} + \left(63 a^{2} + 67 a + 12\right)\cdot 71^{12} + \left(8 a^{2} + 6 a + 70\right)\cdot 71^{13} + \left(24 a^{2} + 20 a + 38\right)\cdot 71^{14} + \left(2 a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 71^{15} + \left(59 a^{2} + 67\right)\cdot 71^{16} + \left(37 a^{2} + 28 a + 12\right)\cdot 71^{17} + \left(55 a^{2} + 46 a + 12\right)\cdot 71^{18} + \left(64 a^{2} + 54 a + 7\right)\cdot 71^{19} + \left(64 a^{2} + 51 a + 57\right)\cdot 71^{20} + \left(6 a^{2} + 53 a + 52\right)\cdot 71^{21} + \left(59 a^{2} + 13 a + 60\right)\cdot 71^{22} + \left(62 a^{2} + 41 a + 62\right)\cdot 71^{23} + \left(25 a^{2} + 19 a + 9\right)\cdot 71^{24} + \left(29 a^{2} + 12 a + 54\right)\cdot 71^{25} + \left(25 a^{2} + 50 a + 17\right)\cdot 71^{26} + \left(64 a^{2} + 27 a\right)\cdot 71^{27} + \left(63 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 71^{28} + \left(4 a^{2} + 40 a + 23\right)\cdot 71^{29} + \left(46 a^{2} + 12 a + 39\right)\cdot 71^{30} + \left(37 a^{2} + 38 a + 33\right)\cdot 71^{31} + \left(42 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 71^{32} + \left(39 a^{2} + 3 a + 30\right)\cdot 71^{33} + \left(32 a^{2} + 61 a + 56\right)\cdot 71^{34} + \left(19 a^{2} + 39 a + 46\right)\cdot 71^{35} + \left(35 a^{2} + 68 a + 52\right)\cdot 71^{36} + \left(32 a^{2} + 7 a + 57\right)\cdot 71^{37} + \left(64 a^{2} + 33 a + 69\right)\cdot 71^{38} + \left(32 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 71^{39} + \left(30 a^{2} + 32 a + 57\right)\cdot 71^{40} + \left(49 a^{2} + 49 a + 61\right)\cdot 71^{41} + \left(4 a^{2} + 44 a + 2\right)\cdot 71^{42} + \left(68 a^{2} + 21 a + 3\right)\cdot 71^{43} + \left(35 a^{2} + 54 a + 51\right)\cdot 71^{44} + \left(50 a + 47\right)\cdot 71^{45} + \left(38 a^{2} + 11 a + 28\right)\cdot 71^{46} + \left(33 a^{2} + 43 a + 19\right)\cdot 71^{47} + \left(53 a + 61\right)\cdot 71^{48} + \left(43 a^{2} + 25 a + 19\right)\cdot 71^{49} + \left(13 a^{2} + a + 1\right)\cdot 71^{50} + \left(28 a^{2} + 30 a + 53\right)\cdot 71^{51} + \left(26 a^{2} + 58 a + 20\right)\cdot 71^{52} + \left(43 a^{2} + 27 a + 62\right)\cdot 71^{53} + \left(26 a^{2} + 29 a + 63\right)\cdot 71^{54} + \left(15 a^{2} + 22 a + 19\right)\cdot 71^{55} + \left(23 a^{2} + a + 68\right)\cdot 71^{56} + \left(27 a^{2} + 20 a + 66\right)\cdot 71^{57} + \left(70 a^{2} + 40 a + 62\right)\cdot 71^{58} + \left(16 a^{2} + 62 a + 64\right)\cdot 71^{59} + \left(a^{2} + 4 a + 43\right)\cdot 71^{60} + \left(12 a^{2} + 55 a + 66\right)\cdot 71^{61} + \left(29 a^{2} + 26 a + 8\right)\cdot 71^{62} + \left(13 a^{2} + 34 a + 69\right)\cdot 71^{63} + \left(34 a^{2} + 2 a + 28\right)\cdot 71^{64} + \left(58 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 71^{65} + \left(8 a^{2} + 8 a + 45\right)\cdot 71^{66} + \left(a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 71^{67} + \left(36 a^{2} + 56 a + 15\right)\cdot 71^{68} + \left(24 a^{2} + 35 a + 47\right)\cdot 71^{69} + \left(13 a^{2} + 68 a + 14\right)\cdot 71^{70} + \left(16 a^{2} + 22 a + 44\right)\cdot 71^{71} + \left(a^{2} + 42 a + 9\right)\cdot 71^{72} + \left(9 a^{2} + 54 a + 41\right)\cdot 71^{73} + \left(46 a^{2} + 46 a + 25\right)\cdot 71^{74} + \left(51 a^{2} + 49 a + 65\right)\cdot 71^{75} + \left(4 a^{2} + 52 a + 10\right)\cdot 71^{76} + \left(65 a^{2} + 46 a + 34\right)\cdot 71^{77} + \left(5 a^{2} + 28 a + 62\right)\cdot 71^{78} + \left(59 a^{2} + 40 a + 41\right)\cdot 71^{79} + \left(10 a^{2} + 9 a + 50\right)\cdot 71^{80} + \left(28 a^{2} + 21 a + 19\right)\cdot 71^{81} + \left(64 a^{2} + 59 a + 42\right)\cdot 71^{82} + \left(8 a^{2} + 55 a + 15\right)\cdot 71^{83} + \left(67 a^{2} + 22 a\right)\cdot 71^{84} + \left(6 a^{2} + 33 a + 63\right)\cdot 71^{85} + \left(26 a^{2} + 24 a + 38\right)\cdot 71^{86} + \left(7 a^{2} + 19 a + 8\right)\cdot 71^{87} + \left(66 a^{2} + 9 a + 69\right)\cdot 71^{88} + \left(33 a^{2} + 38 a + 59\right)\cdot 71^{89} + \left(46 a^{2} + 63 a + 21\right)\cdot 71^{90} + \left(41 a^{2} + 26 a + 45\right)\cdot 71^{91} + \left(17 a^{2} + 48 a + 37\right)\cdot 71^{92} + \left(23 a^{2} + 22 a + 32\right)\cdot 71^{93} + \left(22 a^{2} + 18 a + 6\right)\cdot 71^{94} + \left(17 a^{2} + 48 a + 34\right)\cdot 71^{95} + \left(54 a^{2} + 4 a + 24\right)\cdot 71^{96} + \left(42 a^{2} + 43 a + 53\right)\cdot 71^{97} + \left(33 a^{2} + 15 a + 58\right)\cdot 71^{98} + \left(67 a^{2} + 6 a + 65\right)\cdot 71^{99} + \left(64 a^{2} + 20 a + 49\right)\cdot 71^{100} + \left(33 a^{2} + 35 a + 53\right)\cdot 71^{101} + \left(62 a^{2} + 36 a + 27\right)\cdot 71^{102} + \left(61 a^{2} + 44 a + 38\right)\cdot 71^{103} + \left(29 a^{2} + 50 a + 48\right)\cdot 71^{104} + \left(53 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 71^{105} + \left(48 a^{2} + 60 a + 64\right)\cdot 71^{106} + \left(9 a^{2} + 21 a + 38\right)\cdot 71^{107} + \left(45 a^{2} + 34 a + 39\right)\cdot 71^{108} + \left(33 a^{2} + 14 a + 27\right)\cdot 71^{109} + \left(35 a^{2} + 28\right)\cdot 71^{110} + \left(62 a^{2} + 38 a + 9\right)\cdot 71^{111} + \left(27 a^{2} + 64 a + 53\right)\cdot 71^{112} + \left(38 a^{2} + 36 a + 30\right)\cdot 71^{113} + \left(47 a^{2} + 29 a + 42\right)\cdot 71^{114} +O\left(71^{ 115 }\right)$ $r_{ 5 }$ $=$ $10 a^{2} + 52 a + 9 + \left(30 a^{2} + 47 a + 67\right)\cdot 71 + \left(35 a^{2} + 38 a + 24\right)\cdot 71^{2} + \left(32 a^{2} + 63 a + 36\right)\cdot 71^{3} + \left(65 a^{2} + 3 a + 40\right)\cdot 71^{4} + \left(30 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 71^{5} + \left(46 a^{2} + 42 a + 49\right)\cdot 71^{6} + \left(70 a^{2} + 29 a + 13\right)\cdot 71^{7} + \left(3 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 71^{8} + \left(51 a^{2} + 45 a + 67\right)\cdot 71^{9} + \left(28 a^{2} + 23 a + 42\right)\cdot 71^{10} + \left(48 a^{2} + 61 a + 61\right)\cdot 71^{11} + \left(28 a^{2} + 64 a + 62\right)\cdot 71^{12} + \left(33 a^{2} + 44 a + 40\right)\cdot 71^{13} + \left(59 a^{2} + 55 a + 38\right)\cdot 71^{14} + \left(16 a^{2} + 13 a + 29\right)\cdot 71^{15} + \left(18 a^{2} + 39 a + 29\right)\cdot 71^{16} + \left(35 a^{2} + 5 a + 53\right)\cdot 71^{17} + \left(a^{2} + 49 a + 33\right)\cdot 71^{18} + \left(11 a^{2} + 18 a + 29\right)\cdot 71^{19} + \left(50 a^{2} + 15 a + 41\right)\cdot 71^{20} + \left(55 a^{2} + 3 a + 64\right)\cdot 71^{21} + \left(50 a^{2} + 62 a + 14\right)\cdot 71^{22} + \left(36 a^{2} + 36 a + 64\right)\cdot 71^{23} + \left(42 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 71^{24} + \left(58 a^{2} + 41 a + 61\right)\cdot 71^{25} + \left(23 a^{2} + 48 a + 60\right)\cdot 71^{26} + \left(23 a^{2} + 68 a + 32\right)\cdot 71^{27} + \left(29 a^{2} + 38 a + 5\right)\cdot 71^{28} + \left(29 a^{2} + 58 a + 41\right)\cdot 71^{29} + \left(15 a^{2} + 39 a + 28\right)\cdot 71^{30} + \left(30 a^{2} + 6 a + 37\right)\cdot 71^{31} + \left(33 a^{2} + 42 a + 39\right)\cdot 71^{32} + \left(28 a^{2} + 42 a\right)\cdot 71^{33} + \left(66 a^{2} + 52 a + 52\right)\cdot 71^{34} + \left(51 a^{2} + 13 a + 38\right)\cdot 71^{35} + \left(22 a^{2} + 6 a + 66\right)\cdot 71^{36} + \left(43 a^{2} + 23 a + 62\right)\cdot 71^{37} + \left(59 a^{2} + 28 a + 56\right)\cdot 71^{38} + \left(66 a^{2} + 39 a + 9\right)\cdot 71^{39} + \left(16 a^{2} + 35 a + 21\right)\cdot 71^{40} + \left(69 a^{2} + 26 a + 67\right)\cdot 71^{41} + \left(65 a^{2} + 5 a + 47\right)\cdot 71^{42} + \left(58 a^{2} + 64 a + 49\right)\cdot 71^{43} + \left(2 a^{2} + 41 a + 33\right)\cdot 71^{44} + \left(a^{2} + 15 a + 25\right)\cdot 71^{45} + \left(58 a^{2} + 41 a + 58\right)\cdot 71^{46} + \left(25 a^{2} + 35 a + 69\right)\cdot 71^{47} + \left(3 a^{2} + 26 a + 68\right)\cdot 71^{48} + \left(22 a^{2} + 52 a + 34\right)\cdot 71^{49} + \left(31 a^{2} + 47 a + 48\right)\cdot 71^{50} + \left(4 a^{2} + 10 a + 60\right)\cdot 71^{51} + \left(41 a^{2} + 5 a + 59\right)\cdot 71^{52} + \left(66 a^{2} + 34 a + 5\right)\cdot 71^{53} + \left(31 a^{2} + 50 a + 7\right)\cdot 71^{54} + \left(48 a^{2} + 21 a + 37\right)\cdot 71^{55} + \left(48 a^{2} + 57 a + 41\right)\cdot 71^{56} + \left(11 a^{2} + 63 a + 1\right)\cdot 71^{57} + \left(27 a^{2} + 30 a + 66\right)\cdot 71^{58} + \left(34 a^{2} + 27 a + 63\right)\cdot 71^{59} + \left(63 a^{2} + 67 a + 67\right)\cdot 71^{60} + \left(54 a^{2} + 20 a + 38\right)\cdot 71^{61} + \left(11 a^{2} + 17 a + 33\right)\cdot 71^{62} + \left(8 a^{2} + 8 a + 31\right)\cdot 71^{63} + \left(40 a^{2} + 35 a + 68\right)\cdot 71^{64} + \left(14 a^{2} + 6 a + 53\right)\cdot 71^{65} + \left(23 a^{2} + 31 a + 59\right)\cdot 71^{66} + \left(23 a^{2} + 69 a\right)\cdot 71^{67} + \left(69 a^{2} + 59 a + 33\right)\cdot 71^{68} + \left(33 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 71^{69} + \left(51 a^{2} + 50 a + 69\right)\cdot 71^{70} + \left(52 a^{2} + 36 a + 46\right)\cdot 71^{71} + \left(54 a^{2} + 2 a + 57\right)\cdot 71^{72} + \left(28 a^{2} + 8 a + 22\right)\cdot 71^{73} + \left(19 a^{2} + 29 a + 25\right)\cdot 71^{74} + \left(20 a^{2} + 45 a + 5\right)\cdot 71^{75} + \left(65 a^{2} + 28 a + 54\right)\cdot 71^{76} + \left(27 a^{2} + 67 a + 29\right)\cdot 71^{77} + \left(57 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 71^{78} + \left(21 a^{2} + 41 a + 37\right)\cdot 71^{79} + \left(62 a^{2} + 22 a + 69\right)\cdot 71^{80} + \left(59 a^{2} + 15 a + 56\right)\cdot 71^{81} + \left(22 a^{2} + 68 a + 49\right)\cdot 71^{82} + \left(35 a^{2} + 44 a + 38\right)\cdot 71^{83} + \left(27 a + 35\right)\cdot 71^{84} + \left(62 a^{2} + 35 a + 20\right)\cdot 71^{85} + \left(59 a^{2} + 11 a + 34\right)\cdot 71^{86} + \left(19 a^{2} + 42 a + 65\right)\cdot 71^{87} + \left(12 a^{2} + 29 a + 43\right)\cdot 71^{88} + \left(58 a^{2} + 54 a + 53\right)\cdot 71^{89} + \left(8 a^{2} + 68 a + 39\right)\cdot 71^{90} + \left(7 a^{2} + 7 a\right)\cdot 71^{91} + \left(9 a^{2} + 70 a + 15\right)\cdot 71^{92} + \left(12 a^{2} + 28 a + 50\right)\cdot 71^{93} + \left(14 a^{2} + 23 a + 55\right)\cdot 71^{94} + \left(51 a^{2} + 66 a + 29\right)\cdot 71^{95} + \left(61 a^{2} + 18 a + 44\right)\cdot 71^{96} + \left(36 a^{2} + 65 a + 37\right)\cdot 71^{97} + \left(16 a^{2} + 35 a + 60\right)\cdot 71^{98} + \left(40 a^{2} + 7 a + 16\right)\cdot 71^{99} + \left(49 a^{2} + 21 a + 56\right)\cdot 71^{100} + \left(29 a^{2} + 23 a + 18\right)\cdot 71^{101} + \left(70 a^{2} + 57 a + 25\right)\cdot 71^{102} + \left(13 a^{2} + 52 a + 5\right)\cdot 71^{103} + \left(69 a^{2} + 28 a + 35\right)\cdot 71^{104} + \left(10 a^{2} + 5 a + 41\right)\cdot 71^{105} + \left(31 a^{2} + 14 a + 64\right)\cdot 71^{106} + \left(67 a^{2} + 19 a + 50\right)\cdot 71^{107} + \left(62 a^{2} + 62 a + 39\right)\cdot 71^{108} + \left(42 a^{2} + 63 a + 28\right)\cdot 71^{109} + \left(23 a^{2} + 30 a + 20\right)\cdot 71^{110} + \left(2 a^{2} + 5 a + 38\right)\cdot 71^{111} + \left(40 a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 71^{112} + \left(48 a^{2} + 56 a + 34\right)\cdot 71^{113} + \left(44 a^{2} + 18 a + 58\right)\cdot 71^{114} +O\left(71^{ 115 }\right)$ $r_{ 6 }$ $=$ $9 a^{2} + 23 a + 52 + \left(53 a^{2} + 3 a + 14\right)\cdot 71 + \left(27 a^{2} + 7 a + 61\right)\cdot 71^{2} + \left(51 a^{2} + 16 a\right)\cdot 71^{3} + \left(43 a^{2} + 68 a + 1\right)\cdot 71^{4} + \left(14 a^{2} + 15 a + 32\right)\cdot 71^{5} + \left(48 a^{2} + 44 a + 28\right)\cdot 71^{6} + \left(42 a^{2} + 49 a + 59\right)\cdot 71^{7} + \left(29 a^{2} + 6 a + 32\right)\cdot 71^{8} + \left(68 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 71^{9} + \left(6 a^{2} + 21 a + 62\right)\cdot 71^{10} + \left(43 a^{2} + 63 a + 31\right)\cdot 71^{11} + \left(17 a^{2} + 9 a + 56\right)\cdot 71^{12} + \left(63 a^{2} + a + 25\right)\cdot 71^{13} + \left(29 a^{2} + a + 20\right)\cdot 71^{14} + \left(64 a^{2} + 52 a + 67\right)\cdot 71^{15} + \left(56 a^{2} + 13 a + 12\right)\cdot 71^{16} + \left(5 a^{2} + 2 a + 28\right)\cdot 71^{17} + \left(40 a^{2} + 42 a + 55\right)\cdot 71^{18} + \left(34 a^{2} + 28 a + 60\right)\cdot 71^{19} + \left(42 a^{2} + 53 a + 43\right)\cdot 71^{20} + \left(9 a^{2} + a + 40\right)\cdot 71^{21} + \left(28 a^{2} + 56 a + 57\right)\cdot 71^{22} + \left(8 a^{2} + 49 a + 34\right)\cdot 71^{23} + \left(16 a^{2} + 62 a + 21\right)\cdot 71^{24} + \left(23 a^{2} + 23 a + 11\right)\cdot 71^{25} + \left(17 a^{2} + 67 a + 50\right)\cdot 71^{26} + \left(58 a^{2} + 23 a + 37\right)\cdot 71^{27} + \left(57 a^{2} + 23 a + 1\right)\cdot 71^{28} + \left(63 a^{2} + 48 a + 18\right)\cdot 71^{29} + \left(64 a^{2} + 48 a + 10\right)\cdot 71^{30} + \left(4 a^{2} + 9 a + 66\right)\cdot 71^{31} + \left(35 a^{2} + 53 a + 11\right)\cdot 71^{32} + \left(17 a^{2} + 53 a + 31\right)\cdot 71^{33} + \left(45 a^{2} + 22 a + 35\right)\cdot 71^{34} + \left(43 a^{2} + 14 a + 59\right)\cdot 71^{35} + \left(31 a^{2} + 13 a + 53\right)\cdot 71^{36} + \left(35 a^{2} + 62 a + 67\right)\cdot 71^{37} + \left(21 a^{2} + 46 a + 46\right)\cdot 71^{38} + \left(25 a^{2} + 37 a + 10\right)\cdot 71^{39} + \left(35 a^{2} + 47 a + 68\right)\cdot 71^{40} + \left(18 a^{2} + 11 a + 34\right)\cdot 71^{41} + \left(3 a^{2} + 36 a + 57\right)\cdot 71^{42} + \left(50 a^{2} + 5 a + 36\right)\cdot 71^{43} + \left(62 a^{2} + 54 a + 61\right)\cdot 71^{44} + \left(28 a^{2} + 58 a + 27\right)\cdot 71^{45} + \left(46 a^{2} + 65 a + 50\right)\cdot 71^{46} + \left(67 a^{2} + 27 a + 14\right)\cdot 71^{47} + \left(67 a^{2} + 8 a + 42\right)\cdot 71^{48} + \left(19 a^{2} + 54 a + 36\right)\cdot 71^{49} + \left(18 a^{2} + 56 a + 22\right)\cdot 71^{50} + \left(30 a^{2} + 37 a + 43\right)\cdot 71^{51} + \left(12 a^{2} + 27 a + 58\right)\cdot 71^{52} + \left(55 a^{2} + 45 a + 5\right)\cdot 71^{53} + \left(58 a^{2} + 45 a + 51\right)\cdot 71^{54} + \left(32 a^{2} + 39 a + 34\right)\cdot 71^{55} + \left(17 a^{2} + 64 a + 66\right)\cdot 71^{56} + \left(31 a^{2} + 46 a + 15\right)\cdot 71^{57} + \left(35 a^{2} + 66 a + 4\right)\cdot 71^{58} + \left(57 a^{2} + 28 a + 15\right)\cdot 71^{59} + \left(49 a^{2} + 41 a + 9\right)\cdot 71^{60} + \left(18 a^{2} + 49 a + 38\right)\cdot 71^{61} + \left(67 a + 42\right)\cdot 71^{62} + \left(58 a^{2} + 30 a + 44\right)\cdot 71^{63} + \left(14 a^{2} + 14 a + 41\right)\cdot 71^{64} + \left(50 a^{2} + 63 a + 56\right)\cdot 71^{65} + \left(36 a^{2} + 24 a + 31\right)\cdot 71^{66} + \left(3 a^{2} + 61 a + 30\right)\cdot 71^{67} + \left(29 a^{2} + 25 a + 36\right)\cdot 71^{68} + \left(12 a^{2} + 9 a + 13\right)\cdot 71^{69} + \left(13 a^{2} + 42 a + 27\right)\cdot 71^{70} + \left(33 a^{2} + 49 a + 3\right)\cdot 71^{71} + \left(19 a^{2} + 48 a + 15\right)\cdot 71^{72} + \left(7 a^{2} + 58 a + 20\right)\cdot 71^{73} + \left(63 a^{2} + 35 a + 55\right)\cdot 71^{74} + \left(49 a^{2} + 31 a + 44\right)\cdot 71^{75} + \left(39 a^{2} + 18 a + 55\right)\cdot 71^{76} + \left(2 a^{2} + 42 a + 25\right)\cdot 71^{77} + \left(30 a^{2} + 23 a + 36\right)\cdot 71^{78} + \left(39 a^{2} + 2 a\right)\cdot 71^{79} + \left(16 a^{2} + 39 a + 53\right)\cdot 71^{80} + \left(43 a^{2} + 64 a + 7\right)\cdot 71^{81} + \left(54 a^{2} + 45 a + 3\right)\cdot 71^{82} + \left(13 a^{2} + 70 a + 63\right)\cdot 71^{83} + \left(24 a^{2} + 13 a + 18\right)\cdot 71^{84} + \left(68 a^{2} + 55 a + 67\right)\cdot 71^{85} + \left(24 a^{2} + 43 a + 26\right)\cdot 71^{86} + \left(27 a^{2} + 41 a + 11\right)\cdot 71^{87} + \left(69 a^{2} + 22 a + 35\right)\cdot 71^{88} + \left(11 a^{2} + 68 a + 8\right)\cdot 71^{89} + \left(7 a^{2} + 53 a + 58\right)\cdot 71^{90} + \left(4 a^{2} + 48 a + 42\right)\cdot 71^{91} + \left(25 a^{2} + 44 a + 6\right)\cdot 71^{92} + \left(36 a^{2} + 60 a + 1\right)\cdot 71^{93} + \left(60 a^{2} + 24 a + 52\right)\cdot 71^{94} + \left(13 a^{2} + 51 a\right)\cdot 71^{95} + \left(27 a^{2} + 12 a + 38\right)\cdot 71^{96} + \left(52 a^{2} + 53 a + 50\right)\cdot 71^{97} + \left(26 a^{2} + 64 a + 66\right)\cdot 71^{98} + \left(3 a^{2} + 23 a + 6\right)\cdot 71^{99} + \left(40 a^{2} + a + 20\right)\cdot 71^{100} + \left(6 a^{2} + 14 a + 23\right)\cdot 71^{101} + \left(35 a^{2} + 16 a + 35\right)\cdot 71^{102} + \left(47 a^{2} + 65 a + 51\right)\cdot 71^{103} + \left(22 a^{2} + 64 a + 55\right)\cdot 71^{104} + \left(69 a^{2} + 7 a + 63\right)\cdot 71^{105} + \left(7 a^{2} + 44 a + 14\right)\cdot 71^{106} + \left(12 a^{2} + 26 a + 2\right)\cdot 71^{107} + \left(23 a^{2} + 40 a + 21\right)\cdot 71^{108} + \left(38 a^{2} + 12 a + 30\right)\cdot 71^{109} + \left(33 a^{2} + 57 a + 34\right)\cdot 71^{110} + \left(65 a^{2} + 41 a + 30\right)\cdot 71^{111} + \left(60 a^{2} + 22 a + 29\right)\cdot 71^{112} + \left(34 a^{2} + 70 a + 61\right)\cdot 71^{113} + \left(9 a^{2} + 24 a + 65\right)\cdot 71^{114} +O\left(71^{ 115 }\right)$ $r_{ 7 }$ $=$ $12 a^{2} + a + 38 + \left(26 a^{2} + 13 a + 56\right)\cdot 71 + \left(25 a^{2} + 41 a + 21\right)\cdot 71^{2} + \left(55 a + 45\right)\cdot 71^{3} + \left(28 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 71^{4} + \left(24 a^{2} + 38 a + 63\right)\cdot 71^{5} + \left(4 a^{2} + 7\right)\cdot 71^{6} + \left(57 a^{2} + 25 a + 1\right)\cdot 71^{7} + \left(49 a^{2} + 70 a + 9\right)\cdot 71^{8} + \left(44 a^{2} + 18 a + 50\right)\cdot 71^{9} + \left(53 a^{2} + 68 a + 14\right)\cdot 71^{10} + \left(10 a^{2} + 8 a + 32\right)\cdot 71^{11} + \left(50 a^{2} + 10 a + 25\right)\cdot 71^{12} + \left(28 a^{2} + 19 a + 28\right)\cdot 71^{13} + \left(58 a^{2} + 66 a + 59\right)\cdot 71^{14} + \left(51 a^{2} + 54 a + 51\right)\cdot 71^{15} + \left(64 a^{2} + 31 a + 58\right)\cdot 71^{16} + \left(68 a^{2} + 37 a + 24\right)\cdot 71^{17} + \left(13 a^{2} + 46 a + 43\right)\cdot 71^{18} + \left(66 a^{2} + 68 a + 34\right)\cdot 71^{19} + \left(26 a^{2} + 3 a + 50\right)\cdot 71^{20} + \left(8 a^{2} + 14 a + 56\right)\cdot 71^{21} + \left(32 a^{2} + 66 a + 59\right)\cdot 71^{22} + \left(42 a^{2} + 63 a + 55\right)\cdot 71^{23} + \left(2 a^{2} + 37 a + 18\right)\cdot 71^{24} + \left(54 a^{2} + 17 a + 25\right)\cdot 71^{25} + \left(21 a^{2} + 43 a + 55\right)\cdot 71^{26} + \left(54 a^{2} + 45 a + 20\right)\cdot 71^{27} + \left(48 a^{2} + 28 a + 57\right)\cdot 71^{28} + \left(36 a^{2} + 43 a + 36\right)\cdot 71^{29} + \left(9 a^{2} + 18 a + 36\right)\cdot 71^{30} + \left(3 a^{2} + 26 a + 12\right)\cdot 71^{31} + \left(66 a^{2} + 20 a + 8\right)\cdot 71^{32} + \left(2 a^{2} + 25 a + 27\right)\cdot 71^{33} + \left(43 a^{2} + 28 a + 13\right)\cdot 71^{34} + \left(70 a^{2} + 17 a + 41\right)\cdot 71^{35} + \left(12 a^{2} + 67 a + 40\right)\cdot 71^{36} + \left(66 a^{2} + 39 a + 5\right)\cdot 71^{37} + \left(17 a^{2} + 9 a + 64\right)\cdot 71^{38} + \left(42 a^{2} + 23 a + 38\right)\cdot 71^{39} + \left(23 a^{2} + 3 a + 62\right)\cdot 71^{40} + \left(23 a^{2} + 66 a + 15\right)\cdot 71^{41} + \left(20 a + 62\right)\cdot 71^{42} + \left(15 a^{2} + 56 a + 50\right)\cdot 71^{43} + \left(32 a^{2} + 45 a + 64\right)\cdot 71^{44} + \left(69 a^{2} + 4 a + 65\right)\cdot 71^{45} + \left(45 a^{2} + 18 a + 49\right)\cdot 71^{46} + \left(11 a^{2} + 63 a + 55\right)\cdot 71^{47} + \left(67 a^{2} + 61 a + 49\right)\cdot 71^{48} + \left(5 a^{2} + 63 a + 15\right)\cdot 71^{49} + \left(26 a^{2} + 21 a + 58\right)\cdot 71^{50} + \left(38 a^{2} + 30 a + 32\right)\cdot 71^{51} + \left(3 a^{2} + 7 a + 54\right)\cdot 71^{52} + \left(32 a^{2} + 9 a + 55\right)\cdot 71^{53} + \left(12 a^{2} + 62 a + 49\right)\cdot 71^{54} + \left(7 a^{2} + 26 a + 21\right)\cdot 71^{55} + \left(70 a^{2} + 12 a + 51\right)\cdot 71^{56} + \left(31 a^{2} + 58 a + 55\right)\cdot 71^{57} + \left(44 a^{2} + 70 a + 64\right)\cdot 71^{58} + \left(19 a^{2} + 51 a\right)\cdot 71^{59} + \left(6 a^{2} + 69 a + 10\right)\cdot 71^{60} + \left(4 a^{2} + 65 a + 69\right)\cdot 71^{61} + \left(30 a^{2} + 26 a + 34\right)\cdot 71^{62} + \left(49 a^{2} + 28 a + 70\right)\cdot 71^{63} + \left(67 a^{2} + 33 a + 70\right)\cdot 71^{64} + \left(68 a^{2} + 53 a + 56\right)\cdot 71^{65} + \left(38 a^{2} + 31 a + 30\right)\cdot 71^{66} + \left(46 a^{2} + 61 a + 15\right)\cdot 71^{67} + \left(36 a^{2} + 25 a + 64\right)\cdot 71^{68} + \left(12 a^{2} + 25 a + 38\right)\cdot 71^{69} + \left(6 a^{2} + 23 a + 66\right)\cdot 71^{70} + \left(2 a^{2} + 11 a + 53\right)\cdot 71^{71} + \left(15 a^{2} + 26 a + 22\right)\cdot 71^{72} + \left(33 a^{2} + 8 a + 58\right)\cdot 71^{73} + \left(5 a^{2} + 66 a + 11\right)\cdot 71^{74} + \left(70 a^{2} + 46 a + 67\right)\cdot 71^{75} + 60 a\cdot 71^{76} + \left(49 a^{2} + 27 a + 15\right)\cdot 71^{77} + \left(7 a^{2} + 35 a + 67\right)\cdot 71^{78} + \left(61 a^{2} + 60 a + 70\right)\cdot 71^{79} + \left(68 a^{2} + 38 a + 15\right)\cdot 71^{80} + \left(53 a^{2} + 34 a + 41\right)\cdot 71^{81} + \left(54 a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 71^{82} + \left(26 a^{2} + 41 a + 63\right)\cdot 71^{83} + \left(3 a^{2} + 20 a + 66\right)\cdot 71^{84} + \left(2 a^{2} + 2 a + 49\right)\cdot 71^{85} + \left(56 a^{2} + 35 a + 47\right)\cdot 71^{86} + \left(43 a^{2} + 9 a + 34\right)\cdot 71^{87} + \left(63 a^{2} + 32 a + 62\right)\cdot 71^{88} + \left(49 a^{2} + 49 a + 7\right)\cdot 71^{89} + \left(15 a^{2} + 9 a + 58\right)\cdot 71^{90} + \left(22 a^{2} + 36 a + 40\right)\cdot 71^{91} + \left(44 a^{2} + 23 a + 61\right)\cdot 71^{92} + \left(35 a^{2} + 19 a + 41\right)\cdot 71^{93} + \left(34 a^{2} + 29 a + 62\right)\cdot 71^{94} + \left(2 a^{2} + 27 a + 41\right)\cdot 71^{95} + \left(26 a^{2} + 47 a + 67\right)\cdot 71^{96} + \left(62 a^{2} + 33 a + 10\right)\cdot 71^{97} + \left(20 a^{2} + 19 a + 1\right)\cdot 71^{98} + \left(34 a^{2} + 57 a + 1\right)\cdot 71^{99} + \left(27 a^{2} + 29 a + 21\right)\cdot 71^{100} + \left(7 a^{2} + 12 a + 30\right)\cdot 71^{101} + \left(9 a^{2} + 48 a + 27\right)\cdot 71^{102} + \left(66 a^{2} + 44 a + 2\right)\cdot 71^{103} + \left(42 a^{2} + 62 a + 36\right)\cdot 71^{104} + \left(6 a^{2} + 57 a + 53\right)\cdot 71^{105} + \left(62 a^{2} + 67 a + 28\right)\cdot 71^{106} + \left(64 a^{2} + 29 a + 20\right)\cdot 71^{107} + \left(33 a^{2} + 45 a + 33\right)\cdot 71^{108} + \left(65 a^{2} + 63 a + 41\right)\cdot 71^{109} + \left(11 a^{2} + 39 a + 36\right)\cdot 71^{110} + \left(6 a^{2} + 27 a + 48\right)\cdot 71^{111} + \left(3 a^{2} + 70 a + 10\right)\cdot 71^{112} + \left(55 a^{2} + 48 a + 4\right)\cdot 71^{113} + \left(49 a^{2} + 22 a + 1\right)\cdot 71^{114} +O\left(71^{ 115 }\right)$ $r_{ 8 }$ $=$ $33 a^{2} + 48 a + 45 + \left(3 a^{2} + 22 a\right)\cdot 71 + \left(58 a^{2} + 4 a\right)\cdot 71^{2} + \left(50 a^{2} + 66 a + 23\right)\cdot 71^{3} + \left(48 a^{2} + 15 a + 14\right)\cdot 71^{4} + \left(a^{2} + 50 a + 21\right)\cdot 71^{5} + \left(23 a^{2} + 7 a + 32\right)\cdot 71^{6} + \left(29 a^{2} + 17 a + 47\right)\cdot 71^{7} + \left(55 a^{2} + 28 a + 30\right)\cdot 71^{8} + \left(39 a^{2} + 9 a + 52\right)\cdot 71^{9} + \left(60 a^{2} + 59 a + 15\right)\cdot 71^{10} + \left(36 a^{2} + 47 a + 15\right)\cdot 71^{11} + \left(64 a^{2} + 4 a + 63\right)\cdot 71^{12} + \left(32 a^{2} + 32 a + 15\right)\cdot 71^{13} + \left(27 a^{2} + 32 a + 61\right)\cdot 71^{14} + \left(44 a^{2} + 24 a + 13\right)\cdot 71^{15} + \left(2 a^{2} + 15 a + 10\right)\cdot 71^{16} + \left(25 a^{2} + 43 a + 32\right)\cdot 71^{17} + \left(42 a^{2} + 59 a + 61\right)\cdot 71^{18} + \left(a^{2} + 49 a + 43\right)\cdot 71^{19} + \left(19 a^{2} + 69 a + 28\right)\cdot 71^{20} + \left(46 a^{2} + 35 a + 67\right)\cdot 71^{21} + \left(39 a^{2} + 32 a + 40\right)\cdot 71^{22} + \left(43 a^{2} + 26 a + 57\right)\cdot 71^{23} + \left(5 a^{2} + 4 a + 40\right)\cdot 71^{24} + \left(50 a^{2} + 17 a + 35\right)\cdot 71^{25} + \left(28 a^{2} + 32 a + 9\right)\cdot 71^{26} + \left(40 a^{2} + a + 61\right)\cdot 71^{27} + \left(30 a^{2} + 5 a + 70\right)\cdot 71^{28} + \left(34 a^{2} + 41 a + 57\right)\cdot 71^{29} + \left(49 a^{2} + 35 a + 63\right)\cdot 71^{30} + \left(63 a^{2} + a + 9\right)\cdot 71^{31} + \left(23 a^{2} + 12 a + 53\right)\cdot 71^{32} + \left(24 a^{2} + 21 a + 25\right)\cdot 71^{33} + \left(44 a^{2} + 32 a + 9\right)\cdot 71^{34} + \left(51 a^{2} + 9 a + 57\right)\cdot 71^{35} + \left(67 a^{2} + 31\right)\cdot 71^{36} + \left(32 a^{2} + 49 a + 37\right)\cdot 71^{37} + \left(3 a^{2} + 26 a + 22\right)\cdot 71^{38} + \left(22 a^{2} + 62 a + 49\right)\cdot 71^{39} + \left(67 a^{2} + 5 a + 58\right)\cdot 71^{40} + \left(66 a^{2} + 23 a + 45\right)\cdot 71^{41} + \left(66 a^{2} + 36 a + 61\right)\cdot 71^{42} + \left(24 a^{2} + 57 a + 40\right)\cdot 71^{43} + \left(19 a^{2} + 35 a + 40\right)\cdot 71^{44} + \left(28 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 71^{45} + \left(21 a^{2} + 64 a + 31\right)\cdot 71^{46} + \left(2 a^{2} + 25 a + 53\right)\cdot 71^{47} + \left(38 a^{2} + 40 a + 9\right)\cdot 71^{48} + \left(45 a^{2} + 62 a + 10\right)\cdot 71^{49} + \left(4 a^{2} + 17 a + 57\right)\cdot 71^{50} + \left(16 a^{2} + 53 a + 52\right)\cdot 71^{51} + \left(42 a^{2} + 25 a + 19\right)\cdot 71^{52} + \left(61 a^{2} + 33 a + 70\right)\cdot 71^{53} + \left(27 a^{2} + 57 a + 15\right)\cdot 71^{54} + \left(59 a^{2} + 14 a + 58\right)\cdot 71^{55} + \left(21 a^{2} + 37 a + 30\right)\cdot 71^{56} + \left(45 a^{2} + 66 a + 53\right)\cdot 71^{57} + \left(5 a^{2} + 23 a + 66\right)\cdot 71^{58} + \left(65 a^{2} + 17 a + 58\right)\cdot 71^{59} + \left(3 a^{2} + 2 a + 28\right)\cdot 71^{60} + \left(62 a^{2} + 46 a + 35\right)\cdot 71^{61} + \left(67 a^{2} + 53 a + 33\right)\cdot 71^{62} + \left(58 a^{2} + 29 a + 23\right)\cdot 71^{63} + \left(43 a^{2} + 51 a + 24\right)\cdot 71^{64} + \left(52 a^{2} + 8 a + 39\right)\cdot 71^{65} + \left(56 a^{2} + 2 a + 61\right)\cdot 71^{66} + \left(21 a^{2} + 63 a + 31\right)\cdot 71^{67} + \left(16 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 71^{68} + \left(36 a + 52\right)\cdot 71^{69} + \left(48 a^{2} + a + 1\right)\cdot 71^{70} + \left(45 a^{2} + 29 a + 13\right)\cdot 71^{71} + \left(34 a^{2} + 35 a + 8\right)\cdot 71^{72} + \left(35 a^{2} + 3 a + 48\right)\cdot 71^{73} + \left(8 a^{2} + 67 a + 51\right)\cdot 71^{74} + \left(16 a^{2} + 35 a + 25\right)\cdot 71^{75} + \left(47 a^{2} + 22 a + 28\right)\cdot 71^{76} + \left(39 a^{2} + 52 a + 6\right)\cdot 71^{77} + \left(65 a^{2} + 25 a + 60\right)\cdot 71^{78} + \left(45 a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 71^{79} + \left(41 a^{2} + 70 a + 25\right)\cdot 71^{80} + \left(43 a^{2} + a + 32\right)\cdot 71^{81} + \left(10 a^{2} + 2 a + 51\right)\cdot 71^{82} + \left(57 a^{2} + 64 a + 36\right)\cdot 71^{83} + \left(65 a^{2} + 17 a + 11\right)\cdot 71^{84} + \left(11 a^{2} + 24 a + 35\right)\cdot 71^{85} + \left(56 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 71^{86} + \left(a^{2} + 26 a + 14\right)\cdot 71^{87} + \left(22 a^{2} + 34 a + 27\right)\cdot 71^{88} + \left(8 a^{2} + 54 a + 22\right)\cdot 71^{89} + \left(36 a^{2} + 26 a + 64\right)\cdot 71^{90} + \left(45 a^{2} + 44 a + 34\right)\cdot 71^{91} + \left(65 a^{2} + 27 a + 67\right)\cdot 71^{92} + \left(7 a^{2} + 58 a + 19\right)\cdot 71^{93} + \left(a^{2} + 52 a + 59\right)\cdot 71^{94} + \left(57 a^{2} + 66 a + 44\right)\cdot 71^{95} + \left(50 a^{2} + 8 a + 53\right)\cdot 71^{96} + \left(36 a^{2} + 27 a + 8\right)\cdot 71^{97} + \left(56 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 71^{98} + \left(15 a^{2} + 68 a + 40\right)\cdot 71^{99} + \left(41 a^{2} + 21 a + 70\right)\cdot 71^{100} + \left(62 a^{2} + 6\right)\cdot 71^{101} + \left(56 a^{2} + 31 a + 46\right)\cdot 71^{102} + \left(3 a^{2} + 52 a + 29\right)\cdot 71^{103} + \left(66 a^{2} + 28 a + 29\right)\cdot 71^{104} + \left(67 a^{2} + 4 a + 36\right)\cdot 71^{105} + \left(38 a^{2} + 65 a + 26\right)\cdot 71^{106} + \left(33 a^{2} + 20 a + 59\right)\cdot 71^{107} + \left(43 a^{2} + 61 a + 27\right)\cdot 71^{108} + \left(68 a^{2} + 23 a + 16\right)\cdot 71^{109} + \left(10 a^{2} + 57 a + 45\right)\cdot 71^{110} + \left(58 a^{2} + 64 a + 34\right)\cdot 71^{111} + \left(27 a^{2} + 47 a + 59\right)\cdot 71^{112} + \left(13 a^{2} + 38 a + 27\right)\cdot 71^{113} + \left(33 a^{2} + 57 a + 34\right)\cdot 71^{114} +O\left(71^{ 115 }\right)$

### Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 8 }$

 Cycle notation $(3,4,5,7)$ $(1,3)(2,4)(5,6)(7,8)$ $(3,4)$

### Character values on conjugacy classes

 Size Order Action on $r_1, \ldots, r_{ 8 }$ Character value $1$ $1$ $()$ $9$ $6$ $2$ $(1,6)(2,8)$ $-3$ $9$ $2$ $(1,6)(2,8)(3,5)(4,7)$ $1$ $12$ $2$ $(3,4)$ $3$ $24$ $2$ $(1,3)(2,4)(5,6)(7,8)$ $3$ $36$ $2$ $(1,2)(3,4)$ $1$ $36$ $2$ $(1,6)(2,8)(3,4)$ $-1$ $16$ $3$ $(3,5,7)$ $0$ $64$ $3$ $(2,6,8)(3,5,7)$ $0$ $12$ $4$ $(1,2,6,8)$ $-3$ $36$ $4$ $(1,2,6,8)(3,4,5,7)$ $1$ $36$ $4$ $(1,6)(2,8)(3,4,5,7)$ $1$ $72$ $4$ $(1,5,6,3)(2,7,8,4)$ $-1$ $72$ $4$ $(1,2,6,8)(3,4)$ $-1$ $144$ $4$ $(1,3,2,4)(5,6)(7,8)$ $1$ $48$ $6$ $(1,6)(2,8)(3,7,5)$ $0$ $96$ $6$ $(2,8,6)(3,4)$ $0$ $192$ $6$ $(1,4)(2,5,6,7,8,3)$ $0$ $144$ $8$ $(1,4,2,5,6,7,8,3)$ $-1$ $96$ $12$ $(1,2,6,8)(3,5,7)$ $0$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.