Properties

Label 9.2e15_5e6_11e3.12t165.1c1
Dimension 9
Group $(A_4\wr C_2):C_2$
Conductor $ 2^{15} \cdot 5^{6} \cdot 11^{3}$
Root number 1
Frobenius-Schur indicator 1

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Basic invariants

Dimension:$9$
Group:$(A_4\wr C_2):C_2$
Conductor:$681472000000= 2^{15} \cdot 5^{6} \cdot 11^{3} $
Artin number field: Splitting field of $f= x^{8} - 6 x^{6} - 12 x^{5} + 30 x^{4} + 80 x^{3} - 236 x^{2} + 204 x - 63 $ over $\Q$
Size of Galois orbit: 1
Smallest containing permutation representation: 12T165
Parity: Even
Determinant: 1.2e3_11.2t1.1c1

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 59 }$ to precision 72.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 59 }$: $ x^{3} + 5 x + 57 $
Roots:
$r_{ 1 }$ $=$ $ 26 a^{2} + 13 a + 8 + \left(30 a^{2} + 48 a + 17\right)\cdot 59 + \left(50 a^{2} + 47 a + 52\right)\cdot 59^{2} + \left(49 a^{2} + 6 a + 19\right)\cdot 59^{3} + \left(24 a^{2} + 26 a + 47\right)\cdot 59^{4} + \left(27 a^{2} + a + 1\right)\cdot 59^{5} + \left(37 a^{2} + 20 a + 44\right)\cdot 59^{6} + \left(42 a^{2} + 38 a + 53\right)\cdot 59^{7} + \left(16 a^{2} + 26 a + 19\right)\cdot 59^{8} + \left(21 a^{2} + 34 a + 29\right)\cdot 59^{9} + \left(12 a^{2} + 18 a + 39\right)\cdot 59^{10} + \left(28 a^{2} + 47 a + 42\right)\cdot 59^{11} + \left(30 a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 59^{12} + \left(28 a^{2} + 24 a + 27\right)\cdot 59^{13} + \left(35 a^{2} + 24 a + 9\right)\cdot 59^{14} + \left(44 a^{2} + 20 a + 47\right)\cdot 59^{15} + \left(31 a^{2} + 21 a + 50\right)\cdot 59^{16} + \left(26 a^{2} + 12 a + 46\right)\cdot 59^{17} + \left(53 a^{2} + 5 a + 21\right)\cdot 59^{18} + \left(4 a^{2} + 48 a + 52\right)\cdot 59^{19} + \left(22 a^{2} + 16 a + 29\right)\cdot 59^{20} + \left(49 a^{2} + 18 a + 48\right)\cdot 59^{21} + \left(36 a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 59^{22} + \left(32 a^{2} + 49 a + 25\right)\cdot 59^{23} + \left(28 a^{2} + 48 a + 46\right)\cdot 59^{24} + \left(54 a^{2} + 18 a + 29\right)\cdot 59^{25} + \left(10 a^{2} + 46 a + 55\right)\cdot 59^{26} + \left(43 a^{2} + 58 a + 37\right)\cdot 59^{27} + \left(52 a^{2} + 22 a + 7\right)\cdot 59^{28} + \left(51 a^{2} + 23 a + 22\right)\cdot 59^{29} + \left(7 a^{2} + 52 a + 22\right)\cdot 59^{30} + \left(37 a^{2} + 21 a + 6\right)\cdot 59^{31} + \left(11 a^{2} + 56 a + 42\right)\cdot 59^{32} + \left(47 a^{2} + 18 a + 12\right)\cdot 59^{33} + \left(46 a^{2} + 30 a + 58\right)\cdot 59^{34} + \left(37 a^{2} + 10 a + 18\right)\cdot 59^{35} + \left(13 a^{2} + 25 a + 42\right)\cdot 59^{36} + \left(12 a^{2} + 20 a + 48\right)\cdot 59^{37} + \left(23 a^{2} + 34 a + 9\right)\cdot 59^{38} + \left(12 a^{2} + 10 a + 53\right)\cdot 59^{39} + \left(15 a^{2} + 22 a + 54\right)\cdot 59^{40} + \left(52 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 59^{41} + \left(30 a^{2} + 8 a + 57\right)\cdot 59^{42} + \left(a^{2} + 14 a + 10\right)\cdot 59^{43} + \left(12 a^{2} + 3 a + 41\right)\cdot 59^{44} + \left(19 a^{2} + 33 a + 32\right)\cdot 59^{45} + \left(36 a^{2} + 21 a + 40\right)\cdot 59^{46} + \left(18 a^{2} + 25 a + 20\right)\cdot 59^{47} + \left(22 a^{2} + 48 a + 56\right)\cdot 59^{48} + \left(6 a^{2} + 31 a + 42\right)\cdot 59^{49} + \left(53 a^{2} + 41 a + 8\right)\cdot 59^{50} + \left(7 a^{2} + 25 a + 51\right)\cdot 59^{51} + \left(26 a^{2} + 18 a + 36\right)\cdot 59^{52} + \left(10 a^{2} + 11 a + 43\right)\cdot 59^{53} + \left(39 a^{2} + 49 a + 10\right)\cdot 59^{54} + \left(12 a^{2} + 33 a + 5\right)\cdot 59^{55} + \left(14 a^{2} + 57 a + 21\right)\cdot 59^{56} + \left(43 a^{2} + 30 a + 14\right)\cdot 59^{57} + \left(26 a + 56\right)\cdot 59^{58} + \left(46 a^{2} + 41 a + 42\right)\cdot 59^{59} + \left(32 a^{2} + 47 a + 10\right)\cdot 59^{60} + \left(9 a^{2} + 48 a + 25\right)\cdot 59^{61} + \left(42 a^{2} + 30 a + 3\right)\cdot 59^{62} + \left(11 a^{2} + 4 a + 29\right)\cdot 59^{63} + \left(31 a^{2} + 35 a + 54\right)\cdot 59^{64} + \left(12 a^{2} + 27 a + 39\right)\cdot 59^{65} + \left(5 a^{2} + 20 a + 20\right)\cdot 59^{66} + \left(35 a + 38\right)\cdot 59^{67} + \left(45 a^{2} + 40 a + 32\right)\cdot 59^{68} + \left(33 a^{2} + 54 a + 23\right)\cdot 59^{69} + \left(43 a^{2} + 15 a + 44\right)\cdot 59^{70} + \left(3 a^{2} + 37 a + 22\right)\cdot 59^{71} +O\left(59^{ 72 }\right)$
$r_{ 2 }$ $=$ $ 3 a^{2} + 39 a + 34 + \left(54 a^{2} + 22 a + 12\right)\cdot 59 + \left(22 a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 59^{2} + \left(10 a^{2} + 31 a + 56\right)\cdot 59^{3} + \left(54 a^{2} + 19 a + 37\right)\cdot 59^{4} + \left(13 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 59^{5} + \left(55 a^{2} + 2 a + 47\right)\cdot 59^{6} + \left(9 a^{2} + 52 a + 49\right)\cdot 59^{7} + \left(45 a^{2} + 16 a + 51\right)\cdot 59^{8} + \left(30 a^{2} + 58 a + 10\right)\cdot 59^{9} + \left(25 a^{2} + 47 a + 42\right)\cdot 59^{10} + \left(28 a^{2} + 35 a + 16\right)\cdot 59^{11} + \left(21 a^{2} + 12 a + 41\right)\cdot 59^{12} + \left(50 a^{2} + 55 a + 21\right)\cdot 59^{13} + \left(13 a^{2} + 15 a + 26\right)\cdot 59^{14} + \left(42 a^{2} + 56 a + 37\right)\cdot 59^{15} + \left(11 a^{2} + 45 a + 9\right)\cdot 59^{16} + \left(57 a^{2} + 42 a + 52\right)\cdot 59^{17} + \left(9 a^{2} + 26 a + 53\right)\cdot 59^{18} + \left(56 a^{2} + 34 a + 13\right)\cdot 59^{19} + \left(58 a^{2} + 35 a + 44\right)\cdot 59^{20} + \left(43 a^{2} + 48 a + 35\right)\cdot 59^{21} + \left(14 a^{2} + 46 a + 12\right)\cdot 59^{22} + \left(4 a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 59^{23} + \left(a^{2} + 42 a + 13\right)\cdot 59^{24} + \left(27 a^{2} + 27 a + 58\right)\cdot 59^{25} + \left(7 a^{2} + 8 a + 17\right)\cdot 59^{26} + \left(53 a^{2} + 3 a + 57\right)\cdot 59^{27} + \left(54 a^{2} + 26 a + 25\right)\cdot 59^{28} + \left(40 a^{2} + 23 a + 47\right)\cdot 59^{29} + \left(30 a^{2} + 55 a + 28\right)\cdot 59^{30} + \left(22 a^{2} + 57 a + 22\right)\cdot 59^{31} + \left(46 a^{2} + 49 a + 28\right)\cdot 59^{32} + \left(15 a^{2} + 31 a + 6\right)\cdot 59^{33} + \left(23 a^{2} + 22 a + 38\right)\cdot 59^{34} + \left(49 a^{2} + 10 a + 30\right)\cdot 59^{35} + \left(42 a^{2} + 4 a + 34\right)\cdot 59^{36} + \left(33 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 59^{37} + \left(39 a^{2} + 36 a + 9\right)\cdot 59^{38} + \left(6 a^{2} + 50 a + 23\right)\cdot 59^{39} + \left(46 a + 29\right)\cdot 59^{40} + \left(a^{2} + 4 a + 20\right)\cdot 59^{41} + \left(38 a + 42\right)\cdot 59^{42} + \left(47 a^{2} + 51 a + 10\right)\cdot 59^{43} + \left(43 a^{2} + 54 a + 38\right)\cdot 59^{44} + \left(30 a^{2} + 44 a + 46\right)\cdot 59^{45} + \left(55 a^{2} + 41 a + 29\right)\cdot 59^{46} + \left(27 a + 20\right)\cdot 59^{47} + \left(3 a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 59^{48} + \left(36 a^{2} + 54 a + 16\right)\cdot 59^{49} + \left(13 a^{2} + 51 a + 36\right)\cdot 59^{50} + \left(46 a^{2} + 40 a + 58\right)\cdot 59^{51} + \left(41 a^{2} + 32 a + 29\right)\cdot 59^{52} + \left(48 a^{2} + 23 a + 12\right)\cdot 59^{53} + \left(29 a^{2} + 25 a + 30\right)\cdot 59^{54} + \left(10 a^{2} + 23 a + 41\right)\cdot 59^{55} + \left(25 a^{2} + 46 a + 27\right)\cdot 59^{56} + \left(57 a^{2} + 33 a + 56\right)\cdot 59^{57} + \left(36 a + 11\right)\cdot 59^{58} + \left(4 a^{2} + 21 a + 39\right)\cdot 59^{59} + \left(45 a^{2} + 43 a + 18\right)\cdot 59^{60} + \left(15 a^{2} + 49 a + 51\right)\cdot 59^{61} + \left(23 a^{2} + 57 a + 30\right)\cdot 59^{62} + \left(12 a^{2} + 5 a + 17\right)\cdot 59^{63} + \left(27 a^{2} + 14 a + 42\right)\cdot 59^{64} + \left(32 a^{2} + 21 a + 35\right)\cdot 59^{65} + \left(36 a^{2} + 22 a + 13\right)\cdot 59^{66} + \left(30 a^{2} + 26 a + 3\right)\cdot 59^{67} + \left(34 a^{2} + 23 a + 55\right)\cdot 59^{68} + \left(48 a^{2} + 14 a + 4\right)\cdot 59^{69} + \left(57 a^{2} + 37 a + 48\right)\cdot 59^{70} + \left(6 a^{2} + 3 a + 30\right)\cdot 59^{71} +O\left(59^{ 72 }\right)$
$r_{ 3 }$ $=$ $ 44 a^{2} + 23 a + 9 + \left(44 a^{2} + 30 a + 45\right)\cdot 59 + \left(39 a^{2} + 49 a + 55\right)\cdot 59^{2} + \left(22 a^{2} + 7\right)\cdot 59^{3} + \left(5 a^{2} + 51 a + 2\right)\cdot 59^{4} + \left(19 a^{2} + 34 a + 33\right)\cdot 59^{5} + \left(10 a^{2} + 32 a + 12\right)\cdot 59^{6} + \left(5 a^{2} + 10 a + 27\right)\cdot 59^{7} + \left(3 a^{2} + 26 a + 33\right)\cdot 59^{8} + \left(46 a^{2} + 44 a + 13\right)\cdot 59^{9} + \left(24 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 59^{10} + \left(2 a^{2} + 52 a + 55\right)\cdot 59^{11} + \left(49 a^{2} + 55 a + 43\right)\cdot 59^{12} + \left(23 a^{2} + 52 a + 50\right)\cdot 59^{13} + \left(11 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 59^{14} + \left(40 a^{2} + 42 a + 52\right)\cdot 59^{15} + \left(31 a^{2} + 53 a + 30\right)\cdot 59^{16} + \left(27 a^{2} + 16 a + 30\right)\cdot 59^{17} + \left(9 a^{2} + 15 a + 32\right)\cdot 59^{18} + \left(13 a^{2} + 21 a + 40\right)\cdot 59^{19} + \left(37 a^{2} + 25 a + 1\right)\cdot 59^{20} + \left(13 a^{2} + 52 a + 8\right)\cdot 59^{21} + \left(30 a^{2} + 44 a + 35\right)\cdot 59^{22} + \left(47 a^{2} + 14 a + 35\right)\cdot 59^{23} + \left(6 a^{2} + 30 a + 52\right)\cdot 59^{24} + \left(10 a + 5\right)\cdot 59^{25} + \left(34 a^{2} + 36 a + 34\right)\cdot 59^{26} + \left(12 a^{2} + 53 a + 14\right)\cdot 59^{27} + \left(53 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 59^{28} + \left(57 a^{2} + 42 a + 42\right)\cdot 59^{29} + \left(2 a^{2} + 52 a + 25\right)\cdot 59^{30} + \left(39 a^{2} + 2 a + 32\right)\cdot 59^{31} + \left(58 a + 5\right)\cdot 59^{32} + \left(5 a^{2} + 21 a + 49\right)\cdot 59^{33} + \left(21 a^{2} + 53 a + 11\right)\cdot 59^{34} + \left(21 a^{2} + 47 a + 23\right)\cdot 59^{35} + \left(52 a^{2} + 5 a + 53\right)\cdot 59^{36} + \left(30 a^{2} + 27 a + 51\right)\cdot 59^{37} + \left(44 a^{2} + 37 a + 21\right)\cdot 59^{38} + \left(7 a^{2} + 54 a + 57\right)\cdot 59^{39} + \left(40 a^{2} + 16 a + 19\right)\cdot 59^{40} + \left(48 a^{2} + 54 a + 40\right)\cdot 59^{41} + \left(27 a^{2} + 55 a + 7\right)\cdot 59^{42} + \left(35 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 59^{43} + \left(52 a^{2} + 46 a + 19\right)\cdot 59^{44} + \left(17 a^{2} + 6 a + 28\right)\cdot 59^{45} + \left(4 a^{2} + 56 a + 12\right)\cdot 59^{46} + \left(54 a^{2} + 30 a + 1\right)\cdot 59^{47} + \left(44 a^{2} + 13 a + 53\right)\cdot 59^{48} + \left(7 a^{2} + 7 a + 27\right)\cdot 59^{49} + \left(10 a^{2} + 56 a + 42\right)\cdot 59^{50} + \left(21 a^{2} + 28 a + 16\right)\cdot 59^{51} + \left(17 a^{2} + 48 a + 27\right)\cdot 59^{52} + \left(46 a^{2} + 21 a + 25\right)\cdot 59^{53} + \left(53 a^{2} + 56 a\right)\cdot 59^{54} + \left(40 a^{2} + 30 a + 1\right)\cdot 59^{55} + \left(47 a^{2} + 35 a + 54\right)\cdot 59^{56} + \left(8 a^{2} + 56 a + 56\right)\cdot 59^{57} + \left(47 a^{2} + 53 a + 33\right)\cdot 59^{58} + \left(9 a^{2} + 34 a + 20\right)\cdot 59^{59} + \left(3 a^{2} + 58 a + 10\right)\cdot 59^{60} + \left(15 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 59^{61} + \left(24 a^{2} + 10 a + 42\right)\cdot 59^{62} + \left(12 a^{2} + 18 a + 11\right)\cdot 59^{63} + \left(20 a^{2} + 25 a + 57\right)\cdot 59^{64} + \left(36 a^{2} + 48 a + 20\right)\cdot 59^{65} + \left(11 a^{2} + 12 a + 22\right)\cdot 59^{66} + \left(8 a^{2} + 30 a + 6\right)\cdot 59^{67} + \left(40 a^{2} + 30 a + 36\right)\cdot 59^{68} + \left(28 a^{2} + 28 a + 6\right)\cdot 59^{69} + \left(24 a^{2} + 4 a + 20\right)\cdot 59^{70} + \left(16 a^{2} + 49 a + 45\right)\cdot 59^{71} +O\left(59^{ 72 }\right)$
$r_{ 4 }$ $=$ $ 50 + 39\cdot 59 + 23\cdot 59^{2} + 28\cdot 59^{3} + 5\cdot 59^{4} + 54\cdot 59^{5} + 7\cdot 59^{6} + 36\cdot 59^{7} + 32\cdot 59^{8} + 22\cdot 59^{9} + 6\cdot 59^{10} + 27\cdot 59^{11} + 8\cdot 59^{12} + 54\cdot 59^{13} + 42\cdot 59^{14} + 13\cdot 59^{15} + 25\cdot 59^{16} + 54\cdot 59^{17} + 4\cdot 59^{18} + 24\cdot 59^{19} + 46\cdot 59^{20} + 7\cdot 59^{21} + 52\cdot 59^{22} + 38\cdot 59^{23} + 41\cdot 59^{24} + 3\cdot 59^{25} + 24\cdot 59^{26} + 14\cdot 59^{27} + 4\cdot 59^{28} + 41\cdot 59^{29} + 14\cdot 59^{30} + 31\cdot 59^{31} + 6\cdot 59^{32} + 23\cdot 59^{33} + 48\cdot 59^{34} + 3\cdot 59^{35} + 42\cdot 59^{36} + 30\cdot 59^{37} + 38\cdot 59^{38} + 19\cdot 59^{39} + 40\cdot 59^{40} + 5\cdot 59^{41} + 58\cdot 59^{42} + 15\cdot 59^{43} + 47\cdot 59^{44} + 31\cdot 59^{45} + 58\cdot 59^{46} + 25\cdot 59^{47} + 36\cdot 59^{48} + 7\cdot 59^{49} + 53\cdot 59^{50} + 59^{51} + 8\cdot 59^{52} + 10\cdot 59^{53} + 31\cdot 59^{54} + 26\cdot 59^{55} + 30\cdot 59^{56} + 6\cdot 59^{57} + 50\cdot 59^{58} + 26\cdot 59^{59} + 51\cdot 59^{60} + 6\cdot 59^{61} + 28\cdot 59^{62} + 46\cdot 59^{63} + 19\cdot 59^{64} + 32\cdot 59^{65} + 29\cdot 59^{66} + 40\cdot 59^{67} + 39\cdot 59^{68} + 36\cdot 59^{69} + 47\cdot 59^{70} + 50\cdot 59^{71} +O\left(59^{ 72 }\right)$
$r_{ 5 }$ $=$ $ 13 a^{2} + 29 a + 28 + \left(5 a^{2} + 48 a + 46\right)\cdot 59 + \left(7 a^{2} + 57 a\right)\cdot 59^{2} + \left(17 a^{2} + 36 a\right)\cdot 59^{3} + \left(29 a^{2} + 48 a + 14\right)\cdot 59^{4} + \left(28 a^{2} + 40 a + 7\right)\cdot 59^{5} + \left(24 a^{2} + 48 a + 43\right)\cdot 59^{6} + \left(55 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 59^{7} + \left(54 a^{2} + 56 a + 45\right)\cdot 59^{8} + \left(35 a^{2} + 55 a + 47\right)\cdot 59^{9} + \left(44 a^{2} + 7 a + 46\right)\cdot 59^{10} + \left(3 a^{2} + 31 a + 32\right)\cdot 59^{11} + \left(39 a^{2} + 30 a + 1\right)\cdot 59^{12} + \left(40 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 59^{13} + \left(a^{2} + 36 a + 25\right)\cdot 59^{14} + \left(28 a^{2} + 16 a + 29\right)\cdot 59^{15} + \left(23 a^{2} + 42 a + 9\right)\cdot 59^{16} + \left(36 a^{2} + 18 a + 22\right)\cdot 59^{17} + \left(41 a^{2} + 34 a + 41\right)\cdot 59^{18} + \left(51 a^{2} + 13 a + 18\right)\cdot 59^{19} + \left(13 a^{2} + 8 a + 51\right)\cdot 59^{20} + \left(58 a^{2} + 54 a + 43\right)\cdot 59^{21} + \left(42 a^{2} + 20 a + 47\right)\cdot 59^{22} + \left(38 a^{2} + 19 a + 30\right)\cdot 59^{23} + \left(26 a^{2} + 49 a + 39\right)\cdot 59^{24} + \left(19 a^{2} + 7 a + 52\right)\cdot 59^{25} + \left(24 a^{2} + 19 a + 34\right)\cdot 59^{26} + \left(57 a^{2} + 55 a + 12\right)\cdot 59^{27} + \left(14 a^{2} + 21 a + 50\right)\cdot 59^{28} + \left(13 a^{2} + 11 a + 33\right)\cdot 59^{29} + \left(37 a^{2} + 11 a + 50\right)\cdot 59^{30} + \left(26 a^{2} + 24 a + 55\right)\cdot 59^{31} + \left(4 a^{2} + 7 a + 45\right)\cdot 59^{32} + \left(46 a^{2} + 56 a + 28\right)\cdot 59^{33} + \left(38 a^{2} + 25 a + 50\right)\cdot 59^{34} + \left(52 a^{2} + 13 a + 21\right)\cdot 59^{35} + \left(40 a^{2} + 48 a + 8\right)\cdot 59^{36} + \left(46 a^{2} + 2 a + 36\right)\cdot 59^{37} + \left(10 a^{2} + 44 a + 11\right)\cdot 59^{38} + \left(50 a^{2} + 48 a + 50\right)\cdot 59^{39} + \left(11 a^{2} + 41 a + 48\right)\cdot 59^{40} + \left(4 a^{2} + 58 a + 50\right)\cdot 59^{41} + \left(48 a^{2} + 22 a + 5\right)\cdot 59^{42} + \left(33 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 59^{43} + \left(11 a^{2} + 24 a + 29\right)\cdot 59^{44} + \left(17 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 59^{45} + \left(26 a^{2} + 18 a + 11\right)\cdot 59^{46} + \left(6 a^{2} + 16 a + 19\right)\cdot 59^{47} + \left(9 a^{2} + 22 a + 54\right)\cdot 59^{48} + \left(41 a^{2} + 6 a + 52\right)\cdot 59^{49} + \left(50 a^{2} + 12 a + 41\right)\cdot 59^{50} + \left(18 a^{2} + 35 a + 6\right)\cdot 59^{51} + \left(3 a^{2} + 46 a\right)\cdot 59^{52} + \left(41 a^{2} + 24 a + 46\right)\cdot 59^{53} + \left(25 a^{2} + 27 a + 55\right)\cdot 59^{54} + \left(16 a^{2} + a + 21\right)\cdot 59^{55} + \left(44 a^{2} + 26 a + 32\right)\cdot 59^{56} + \left(35 a^{2} + 28 a + 23\right)\cdot 59^{57} + \left(58 a^{2} + a + 7\right)\cdot 59^{58} + \left(11 a^{2} + 47 a + 46\right)\cdot 59^{59} + \left(30 a^{2} + 48 a + 47\right)\cdot 59^{60} + \left(38 a^{2} + 47 a + 28\right)\cdot 59^{61} + \left(15 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 59^{62} + \left(28 a^{2} + 42 a + 31\right)\cdot 59^{63} + \left(16 a^{2} + 35 a + 6\right)\cdot 59^{64} + \left(52 a^{2} + 26 a + 23\right)\cdot 59^{65} + \left(24 a^{2} + 19 a + 53\right)\cdot 59^{66} + \left(19 a^{2} + 15 a + 24\right)\cdot 59^{67} + \left(29 a^{2} + 30 a + 57\right)\cdot 59^{68} + \left(53 a^{2} + 23 a + 40\right)\cdot 59^{69} + \left(55 a^{2} + 2 a + 41\right)\cdot 59^{70} + \left(51 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 59^{71} +O\left(59^{ 72 }\right)$
$r_{ 6 }$ $=$ $ 48 a^{2} + 23 a + 42 + \left(42 a^{2} + 39 a + 38\right)\cdot 59 + \left(27 a^{2} + 20 a + 15\right)\cdot 59^{2} + \left(45 a^{2} + 51 a + 5\right)\cdot 59^{3} + \left(28 a^{2} + 40 a + 21\right)\cdot 59^{4} + \left(12 a^{2} + 22 a + 50\right)\cdot 59^{5} + \left(11 a^{2} + 6 a + 54\right)\cdot 59^{6} + \left(11 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 59^{7} + \left(39 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 59^{8} + \left(50 a^{2} + 39 a + 9\right)\cdot 59^{9} + \left(21 a^{2} + 37 a + 12\right)\cdot 59^{10} + \left(28 a^{2} + 18 a + 43\right)\cdot 59^{11} + \left(38 a^{2} + 43 a + 8\right)\cdot 59^{12} + \left(6 a^{2} + 40 a + 13\right)\cdot 59^{13} + \left(12 a^{2} + 30 a + 10\right)\cdot 59^{14} + \left(33 a^{2} + 55 a + 9\right)\cdot 59^{15} + \left(54 a^{2} + 42 a + 48\right)\cdot 59^{16} + \left(4 a^{2} + 29 a + 33\right)\cdot 59^{17} + \left(55 a^{2} + 38 a + 7\right)\cdot 59^{18} + \left(40 a^{2} + 48 a + 15\right)\cdot 59^{19} + \left(58 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 59^{20} + \left(54 a^{2} + 47 a + 8\right)\cdot 59^{21} + \left(50 a^{2} + 54 a + 45\right)\cdot 59^{22} + \left(37 a^{2} + 53 a + 42\right)\cdot 59^{23} + \left(23 a^{2} + 38 a + 49\right)\cdot 59^{24} + \left(4 a^{2} + 29 a + 39\right)\cdot 59^{25} + \left(14 a^{2} + 35 a + 26\right)\cdot 59^{26} + \left(3 a^{2} + 5 a + 42\right)\cdot 59^{27} + \left(12 a^{2} + 28 a + 9\right)\cdot 59^{28} + \left(8 a^{2} + 52 a + 14\right)\cdot 59^{29} + \left(48 a^{2} + 12 a + 58\right)\cdot 59^{30} + \left(41 a^{2} + 34 a + 21\right)\cdot 59^{31} + \left(46 a^{2} + 3 a + 21\right)\cdot 59^{32} + \left(6 a^{2} + 18 a + 35\right)\cdot 59^{33} + \left(50 a^{2} + 34 a + 49\right)\cdot 59^{34} + \left(58 a^{2} + 49\right)\cdot 59^{35} + \left(51 a^{2} + 28 a + 12\right)\cdot 59^{36} + \left(15 a^{2} + 11 a + 41\right)\cdot 59^{37} + \left(50 a^{2} + 46 a + 1\right)\cdot 59^{38} + \left(38 a^{2} + 52 a + 43\right)\cdot 59^{39} + \left(3 a^{2} + 19 a + 55\right)\cdot 59^{40} + \left(17 a^{2} + 48 a + 52\right)\cdot 59^{41} + \left(53 a + 33\right)\cdot 59^{42} + \left(22 a^{2} + 34 a\right)\cdot 59^{43} + \left(53 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 59^{44} + \left(21 a^{2} + 19 a + 22\right)\cdot 59^{45} + \left(18 a^{2} + 40 a\right)\cdot 59^{46} + \left(45 a^{2} + 2 a + 31\right)\cdot 59^{47} + \left(50 a^{2} + 56 a + 13\right)\cdot 59^{48} + \left(44 a^{2} + 19 a + 53\right)\cdot 59^{49} + \left(54 a^{2} + 20 a + 33\right)\cdot 59^{50} + \left(29 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 59^{51} + \left(15 a^{2} + 51 a + 21\right)\cdot 59^{52} + \left(2 a^{2} + 25 a + 16\right)\cdot 59^{53} + \left(25 a^{2} + 12 a + 42\right)\cdot 59^{54} + \left(5 a^{2} + 53 a\right)\cdot 59^{55} + \left(56 a^{2} + 24 a + 23\right)\cdot 59^{56} + \left(6 a^{2} + 30 a + 11\right)\cdot 59^{57} + \left(11 a^{2} + 37 a + 12\right)\cdot 59^{58} + \left(3 a^{2} + 41 a + 18\right)\cdot 59^{59} + \left(23 a^{2} + 11 a + 37\right)\cdot 59^{60} + \left(34 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 59^{61} + \left(51 a^{2} + 18 a + 15\right)\cdot 59^{62} + \left(34 a^{2} + 36 a + 47\right)\cdot 59^{63} + \left(7 a^{2} + 57 a + 34\right)\cdot 59^{64} + \left(10 a^{2} + 41 a + 51\right)\cdot 59^{65} + \left(42 a^{2} + 25 a + 25\right)\cdot 59^{66} + \left(50 a^{2} + 52 a + 10\right)\cdot 59^{67} + \left(32 a^{2} + 46 a + 51\right)\cdot 59^{68} + \left(55 a^{2} + 34 a + 56\right)\cdot 59^{69} + \left(49 a^{2} + 38 a + 45\right)\cdot 59^{70} + \left(38 a^{2} + 31 a + 21\right)\cdot 59^{71} +O\left(59^{ 72 }\right)$
$r_{ 7 }$ $=$ $ 55 + 7\cdot 59 + 39\cdot 59^{2} + 50\cdot 59^{3} + 56\cdot 59^{4} + 5\cdot 59^{5} + 55\cdot 59^{6} + 59^{7} + 17\cdot 59^{8} + 23\cdot 59^{9} + 9\cdot 59^{10} + 7\cdot 59^{11} + 28\cdot 59^{12} + 57\cdot 59^{13} + 47\cdot 59^{14} + 10\cdot 59^{15} + 51\cdot 59^{16} + 13\cdot 59^{17} + 48\cdot 59^{18} + 33\cdot 59^{19} + 10\cdot 59^{20} + 24\cdot 59^{21} + 18\cdot 59^{22} + 34\cdot 59^{23} + 16\cdot 59^{24} + 16\cdot 59^{25} + 57\cdot 59^{26} + 13\cdot 59^{27} + 27\cdot 59^{28} + 29\cdot 59^{29} + 40\cdot 59^{30} + 6\cdot 59^{31} + 8\cdot 59^{32} + 18\cdot 59^{33} + 9\cdot 59^{34} + 11\cdot 59^{35} + 56\cdot 59^{36} + 8\cdot 59^{37} + 59^{38} + 59^{39} + 37\cdot 59^{40} + 13\cdot 59^{41} + 11\cdot 59^{42} + 50\cdot 59^{43} + 36\cdot 59^{44} + 52\cdot 59^{45} + 58\cdot 59^{46} + 45\cdot 59^{47} + 4\cdot 59^{48} + 3\cdot 59^{49} + 7\cdot 59^{50} + 33\cdot 59^{51} + 57\cdot 59^{52} + 58\cdot 59^{53} + 4\cdot 59^{54} + 6\cdot 59^{55} + 40\cdot 59^{56} + 20\cdot 59^{57} + 57\cdot 59^{58} + 49\cdot 59^{59} + 48\cdot 59^{60} + 16\cdot 59^{61} + 51\cdot 59^{62} + 54\cdot 59^{63} + 37\cdot 59^{64} + 13\cdot 59^{65} + 49\cdot 59^{66} + 23\cdot 59^{67} + 20\cdot 59^{68} + 52\cdot 59^{69} + 39\cdot 59^{70} + 13\cdot 59^{71} +O\left(59^{ 72 }\right)$
$r_{ 8 }$ $=$ $ 43 a^{2} + 50 a + 10 + \left(58 a^{2} + 46 a + 28\right)\cdot 59 + \left(28 a^{2} + 57 a + 34\right)\cdot 59^{2} + \left(31 a^{2} + 49 a + 8\right)\cdot 59^{3} + \left(34 a^{2} + 49 a + 51\right)\cdot 59^{4} + \left(16 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 59^{5} + \left(38 a^{2} + 8 a + 30\right)\cdot 59^{6} + \left(52 a^{2} + a + 54\right)\cdot 59^{7} + \left(17 a^{2} + 45 a + 19\right)\cdot 59^{8} + \left(51 a^{2} + 3 a + 20\right)\cdot 59^{9} + \left(47 a^{2} + 3 a + 18\right)\cdot 59^{10} + \left(26 a^{2} + 51 a + 11\right)\cdot 59^{11} + \left(57 a^{2} + 15 a + 43\right)\cdot 59^{12} + \left(26 a^{2} + 55 a + 2\right)\cdot 59^{13} + \left(43 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 59^{14} + \left(47 a^{2} + 45 a + 36\right)\cdot 59^{15} + \left(23 a^{2} + 29 a + 10\right)\cdot 59^{16} + \left(24 a^{2} + 56 a + 41\right)\cdot 59^{17} + \left(7 a^{2} + 56 a + 25\right)\cdot 59^{18} + \left(10 a^{2} + 10 a + 37\right)\cdot 59^{19} + \left(45 a^{2} + 15 a + 37\right)\cdot 59^{20} + \left(15 a^{2} + 15 a\right)\cdot 59^{21} + \left(a^{2} + 50 a + 7\right)\cdot 59^{22} + \left(16 a^{2} + 36 a + 14\right)\cdot 59^{23} + \left(31 a^{2} + 26 a + 35\right)\cdot 59^{24} + \left(12 a^{2} + 23 a + 29\right)\cdot 59^{25} + \left(27 a^{2} + 31 a + 44\right)\cdot 59^{26} + \left(7 a^{2} + 42\right)\cdot 59^{27} + \left(48 a^{2} + 11 a + 42\right)\cdot 59^{28} + \left(4 a^{2} + 24 a + 5\right)\cdot 59^{29} + \left(50 a^{2} + 51 a + 54\right)\cdot 59^{30} + \left(9 a^{2} + 35 a + 58\right)\cdot 59^{31} + \left(8 a^{2} + a + 18\right)\cdot 59^{32} + \left(56 a^{2} + 30 a + 3\right)\cdot 59^{33} + \left(55 a^{2} + 10 a + 29\right)\cdot 59^{34} + \left(15 a^{2} + 35 a + 17\right)\cdot 59^{35} + \left(34 a^{2} + 6 a + 45\right)\cdot 59^{36} + \left(37 a^{2} + 41 a + 5\right)\cdot 59^{37} + \left(8 a^{2} + 37 a + 24\right)\cdot 59^{38} + \left(2 a^{2} + 18 a + 47\right)\cdot 59^{39} + \left(47 a^{2} + 29 a + 8\right)\cdot 59^{40} + \left(53 a^{2} + 54 a + 39\right)\cdot 59^{41} + \left(10 a^{2} + 56 a + 19\right)\cdot 59^{42} + \left(37 a^{2} + 56 a + 17\right)\cdot 59^{43} + \left(3 a^{2} + 38 a + 22\right)\cdot 59^{44} + \left(11 a^{2} + 5 a + 20\right)\cdot 59^{45} + \left(36 a^{2} + 58 a + 24\right)\cdot 59^{46} + \left(51 a^{2} + 14 a + 12\right)\cdot 59^{47} + \left(46 a^{2} + 29 a + 3\right)\cdot 59^{48} + \left(40 a^{2} + 57 a + 32\right)\cdot 59^{49} + \left(53 a^{2} + 53 a + 12\right)\cdot 59^{50} + \left(52 a^{2} + 41 a + 2\right)\cdot 59^{51} + \left(13 a^{2} + 38 a + 55\right)\cdot 59^{52} + \left(28 a^{2} + 10 a + 22\right)\cdot 59^{53} + \left(3 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 59^{54} + \left(32 a^{2} + 34 a + 15\right)\cdot 59^{55} + \left(48 a^{2} + 45 a + 7\right)\cdot 59^{56} + \left(24 a^{2} + 55 a + 46\right)\cdot 59^{57} + \left(58 a^{2} + 20 a + 6\right)\cdot 59^{58} + \left(42 a^{2} + 49 a + 51\right)\cdot 59^{59} + \left(42 a^{2} + 25 a + 10\right)\cdot 59^{60} + \left(4 a^{2} + 20 a + 34\right)\cdot 59^{61} + \left(20 a^{2} + 49 a\right)\cdot 59^{62} + \left(18 a^{2} + 10 a + 57\right)\cdot 59^{63} + \left(15 a^{2} + 9 a + 41\right)\cdot 59^{64} + \left(33 a^{2} + 11 a + 18\right)\cdot 59^{65} + \left(56 a^{2} + 17 a + 21\right)\cdot 59^{66} + \left(8 a^{2} + 17 a + 29\right)\cdot 59^{67} + \left(54 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 59^{68} + \left(15 a^{2} + 21 a + 14\right)\cdot 59^{69} + \left(4 a^{2} + 19 a + 7\right)\cdot 59^{70} + \left(48 a + 47\right)\cdot 59^{71} +O\left(59^{ 72 }\right)$

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 8 }$

Cycle notation
$(1,4)(3,6)$
$(1,4,6)$
$(1,2)(3,5)(4,7)(6,8)$
$(1,8)(2,3)(4,5)(6,7)$

Character values on conjugacy classes

SizeOrderAction on $r_1, \ldots, r_{ 8 }$ Character value
$1$$1$$()$$9$
$6$$2$$(1,4)(3,6)$$-3$
$9$$2$$(1,4)(2,7)(3,6)(5,8)$$1$
$12$$2$$(1,2)(3,5)(4,7)(6,8)$$3$
$12$$2$$(1,8)(2,3)(4,5)(6,7)$$3$
$36$$2$$(4,6)(7,8)$$1$
$16$$3$$(1,6,3)$$0$
$32$$3$$(1,4,6)(2,7,8)$$0$
$32$$3$$(1,4,6)(5,7,8)$$0$
$36$$4$$(1,7,4,2)(3,8,6,5)$$-1$
$36$$4$$(1,5,4,8)(2,3,7,6)$$-1$
$36$$4$$(1,4,3,6)(2,8,5,7)$$1$
$72$$4$$(2,8,5,7)(4,6)$$-1$
$48$$6$$(1,6,3)(2,7)(5,8)$$0$
$96$$6$$(1,7,4,8,6,2)(3,5)$$0$
$96$$6$$(1,5,4,7,6,8)(2,3)$$0$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.