Properties

Label 9.2e15_13e3_23e3.12t165.1c1
Dimension 9
Group $(A_4\wr C_2):C_2$
Conductor $ 2^{15} \cdot 13^{3} \cdot 23^{3}$
Root number 1
Frobenius-Schur indicator 1

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Basic invariants

Dimension:$9$
Group:$(A_4\wr C_2):C_2$
Conductor:$875918098432= 2^{15} \cdot 13^{3} \cdot 23^{3} $
Artin number field: Splitting field of $f= x^{8} - 4 x^{7} - 40 x^{6} + 16 x^{5} + 656 x^{4} + 1528 x^{3} + 680 x^{2} - 1008 x - 2196 $ over $\Q$
Size of Galois orbit: 1
Smallest containing permutation representation: 12T165
Parity: Even
Determinant: 1.2e3_13_23.2t1.1c1

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 31 }$ to precision 118.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 31 }$: $ x^{3} + x + 28 $
Roots:
$r_{ 1 }$ $=$ $ 7 a^{2} + 24 a + 19 + \left(28 a^{2} + 12 a + 28\right)\cdot 31 + \left(6 a^{2} + 15 a + 30\right)\cdot 31^{2} + \left(16 a^{2} + 15 a\right)\cdot 31^{3} + \left(11 a^{2} + 30 a + 12\right)\cdot 31^{4} + \left(16 a^{2} + 21 a + 23\right)\cdot 31^{5} + \left(29 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 31^{6} + \left(2 a^{2} + 16 a\right)\cdot 31^{7} + \left(2 a^{2} + 24 a + 16\right)\cdot 31^{8} + 22 a^{2}31^{9} + \left(17 a^{2} + 29 a + 1\right)\cdot 31^{10} + \left(26 a^{2} + a + 8\right)\cdot 31^{11} + \left(11 a^{2} + 2 a + 24\right)\cdot 31^{12} + \left(18 a^{2} + 18 a\right)\cdot 31^{13} + \left(15 a^{2} + 22 a + 6\right)\cdot 31^{14} + \left(16 a^{2} + a + 20\right)\cdot 31^{15} + \left(21 a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 31^{16} + \left(25 a^{2} + 25 a + 29\right)\cdot 31^{17} + \left(3 a^{2} + 23 a + 16\right)\cdot 31^{18} + \left(9 a^{2} + 26 a + 30\right)\cdot 31^{19} + \left(11 a^{2} + 14 a + 28\right)\cdot 31^{20} + \left(19 a^{2} + 25 a + 20\right)\cdot 31^{21} + \left(3 a^{2} + 26\right)\cdot 31^{22} + \left(12 a^{2} + 22 a + 2\right)\cdot 31^{23} + \left(11 a^{2} + 4 a + 16\right)\cdot 31^{24} + \left(16 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 31^{25} + \left(30 a^{2} + 23 a + 7\right)\cdot 31^{26} + \left(30 a^{2} + 10 a + 23\right)\cdot 31^{27} + \left(28 a^{2} + 12 a + 17\right)\cdot 31^{28} + \left(4 a^{2} + 4 a + 23\right)\cdot 31^{29} + \left(3 a^{2} + 10 a\right)\cdot 31^{30} + \left(9 a^{2} + 15 a + 10\right)\cdot 31^{31} + \left(21 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 31^{32} + \left(16 a^{2} + 30 a + 4\right)\cdot 31^{33} + \left(12 a^{2} + 7 a + 16\right)\cdot 31^{34} + \left(26 a^{2} + 19 a + 19\right)\cdot 31^{35} + \left(23 a^{2} + 9 a + 14\right)\cdot 31^{36} + \left(22 a^{2} + 20 a + 30\right)\cdot 31^{37} + \left(4 a^{2} + 25 a + 24\right)\cdot 31^{38} + \left(13 a^{2} + 5 a + 21\right)\cdot 31^{39} + \left(2 a^{2} + 29\right)\cdot 31^{40} + \left(30 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 31^{41} + \left(28 a^{2} + 18 a + 8\right)\cdot 31^{42} + \left(25 a^{2} + a\right)\cdot 31^{43} + \left(12 a + 4\right)\cdot 31^{44} + \left(23 a + 1\right)\cdot 31^{45} + \left(22 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 31^{46} + \left(11 a^{2} + 9 a + 17\right)\cdot 31^{47} + \left(27 a^{2} + 10 a + 13\right)\cdot 31^{48} + \left(10 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 31^{49} + \left(16 a^{2} + 22 a + 17\right)\cdot 31^{50} + \left(21 a^{2} + 15\right)\cdot 31^{51} + \left(27 a^{2} + 6 a + 24\right)\cdot 31^{52} + \left(4 a^{2} + 26 a + 11\right)\cdot 31^{53} + \left(4 a^{2} + 26 a + 29\right)\cdot 31^{54} + \left(29 a^{2} + 29 a + 28\right)\cdot 31^{55} + \left(7 a^{2} + 30 a + 4\right)\cdot 31^{56} + \left(14 a^{2} + 14 a + 24\right)\cdot 31^{57} + \left(24 a^{2} + 20 a + 20\right)\cdot 31^{58} + \left(3 a^{2} + 29 a + 25\right)\cdot 31^{59} + \left(6 a^{2} + 6 a + 27\right)\cdot 31^{60} + \left(9 a + 26\right)\cdot 31^{61} + \left(13 a^{2} + 26 a + 16\right)\cdot 31^{62} + \left(28 a^{2} + 23 a + 17\right)\cdot 31^{63} + \left(15 a^{2} + 8 a + 17\right)\cdot 31^{64} + \left(7 a^{2} + 16 a + 12\right)\cdot 31^{65} + \left(20 a^{2} + 27 a + 10\right)\cdot 31^{66} + \left(19 a^{2} + 15 a + 2\right)\cdot 31^{67} + \left(10 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 31^{68} + \left(14 a^{2} + 24 a\right)\cdot 31^{69} + \left(6 a^{2} + 26 a + 21\right)\cdot 31^{70} + \left(10 a^{2} + 24 a + 2\right)\cdot 31^{71} + \left(4 a^{2} + 28 a + 3\right)\cdot 31^{72} + \left(26 a^{2} + 22 a\right)\cdot 31^{73} + \left(30 a^{2} + 16 a + 12\right)\cdot 31^{74} + \left(5 a^{2} + 17 a + 24\right)\cdot 31^{75} + \left(23 a + 6\right)\cdot 31^{76} + \left(23 a^{2} + 3 a + 28\right)\cdot 31^{77} + \left(9 a^{2} + 30 a + 27\right)\cdot 31^{78} + \left(30 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 31^{79} + \left(12 a + 13\right)\cdot 31^{80} + \left(11 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 31^{81} + \left(11 a^{2} + 19 a + 13\right)\cdot 31^{82} + \left(16 a^{2} + 10 a + 27\right)\cdot 31^{83} + \left(9 a^{2} + 21 a + 9\right)\cdot 31^{84} + \left(29 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 31^{85} + \left(17 a^{2} + 24 a + 3\right)\cdot 31^{86} + \left(12 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 31^{87} + \left(13 a^{2} + 25 a + 29\right)\cdot 31^{88} + \left(9 a^{2} + 26 a + 24\right)\cdot 31^{89} + \left(20 a^{2} + 23 a + 5\right)\cdot 31^{90} + \left(15 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 31^{91} + \left(14 a^{2} + 8 a + 18\right)\cdot 31^{92} + \left(19 a^{2} + 30 a + 2\right)\cdot 31^{93} + \left(4 a^{2} + 23 a + 22\right)\cdot 31^{94} + \left(5 a^{2} + 5 a + 25\right)\cdot 31^{95} + \left(13 a^{2} + 12 a + 24\right)\cdot 31^{96} + \left(15 a^{2} + a + 30\right)\cdot 31^{97} + \left(20 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 31^{98} + \left(30 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 31^{99} + \left(10 a^{2} + 10 a + 17\right)\cdot 31^{100} + \left(28 a^{2} + 22 a + 26\right)\cdot 31^{101} + \left(23 a^{2} + 22 a + 2\right)\cdot 31^{102} + \left(13 a^{2} + 5 a + 16\right)\cdot 31^{103} + \left(24 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 31^{104} + \left(19 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 31^{105} + \left(5 a^{2} + a + 24\right)\cdot 31^{106} + \left(14 a^{2} + 19 a + 21\right)\cdot 31^{107} + \left(19 a^{2} + 28 a + 6\right)\cdot 31^{108} + \left(25 a^{2} + 24 a + 1\right)\cdot 31^{109} + \left(22 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 31^{110} + \left(11 a^{2} + 18 a + 14\right)\cdot 31^{111} + \left(2 a^{2} + 20 a + 16\right)\cdot 31^{112} + \left(7 a^{2} + 23 a + 3\right)\cdot 31^{113} + \left(30 a^{2} + 13 a + 29\right)\cdot 31^{114} + \left(7 a + 23\right)\cdot 31^{115} + \left(29 a^{2} + 21 a + 4\right)\cdot 31^{116} + \left(12 a^{2} + 21 a + 4\right)\cdot 31^{117} +O\left(31^{ 118 }\right)$
$r_{ 2 }$ $=$ $ 21 a + 9 + \left(3 a^{2} + 9 a + 19\right)\cdot 31 + \left(22 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 31^{2} + \left(26 a^{2} + 26 a + 19\right)\cdot 31^{3} + \left(23 a^{2} + 22 a + 18\right)\cdot 31^{4} + \left(19 a^{2} + 23 a + 11\right)\cdot 31^{5} + \left(23 a^{2} + 4 a + 19\right)\cdot 31^{6} + \left(12 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 31^{7} + \left(16 a^{2} + 27\right)\cdot 31^{8} + \left(7 a^{2} + 4 a + 29\right)\cdot 31^{9} + \left(15 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 31^{10} + \left(8 a^{2} + 11 a + 16\right)\cdot 31^{11} + \left(8 a^{2} + 19 a + 20\right)\cdot 31^{12} + \left(22 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 31^{13} + \left(6 a^{2} + 18 a + 26\right)\cdot 31^{14} + \left(20 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 31^{15} + \left(3 a^{2} + 25 a + 13\right)\cdot 31^{16} + \left(15 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 31^{17} + \left(27 a^{2} + a + 9\right)\cdot 31^{18} + \left(6 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 31^{19} + \left(24 a^{2} + 29 a + 24\right)\cdot 31^{20} + \left(16 a^{2} + 13 a + 16\right)\cdot 31^{21} + \left(10 a^{2} + 13 a + 20\right)\cdot 31^{22} + \left(a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 31^{23} + \left(21 a^{2} + 21 a + 19\right)\cdot 31^{24} + \left(6 a^{2} + 21 a + 22\right)\cdot 31^{25} + \left(7 a^{2} + 15 a + 28\right)\cdot 31^{26} + \left(29 a^{2} + 10 a + 19\right)\cdot 31^{27} + \left(16 a^{2} + 7 a\right)\cdot 31^{28} + \left(15 a^{2} + a + 12\right)\cdot 31^{29} + \left(10 a^{2} + 13 a + 29\right)\cdot 31^{30} + \left(29 a^{2} + 9 a + 21\right)\cdot 31^{31} + \left(25 a^{2} + 9 a + 20\right)\cdot 31^{32} + \left(23 a^{2} + 23 a + 23\right)\cdot 31^{33} + \left(8 a^{2} + 29 a + 4\right)\cdot 31^{34} + \left(19 a^{2} + 17 a + 18\right)\cdot 31^{35} + \left(3 a^{2} + 28 a + 9\right)\cdot 31^{36} + \left(28 a^{2} + 2 a + 16\right)\cdot 31^{37} + \left(28 a^{2} + 28 a + 3\right)\cdot 31^{38} + \left(2 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 31^{39} + \left(14 a^{2} + 30 a + 2\right)\cdot 31^{40} + \left(19 a^{2} + 16 a + 19\right)\cdot 31^{41} + \left(17 a^{2} + 27 a + 1\right)\cdot 31^{42} + \left(a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 31^{43} + \left(12 a^{2} + 12 a + 19\right)\cdot 31^{44} + \left(2 a^{2} + 14 a + 23\right)\cdot 31^{45} + \left(12 a^{2} + 25 a + 22\right)\cdot 31^{46} + \left(24 a^{2} + 11 a + 18\right)\cdot 31^{47} + \left(5 a^{2} + 7 a + 19\right)\cdot 31^{48} + \left(14 a^{2} + 28 a + 8\right)\cdot 31^{49} + \left(9 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 31^{50} + \left(22 a^{2} + 19 a + 8\right)\cdot 31^{51} + \left(a^{2} + a + 21\right)\cdot 31^{52} + \left(11 a^{2} + 22 a + 17\right)\cdot 31^{53} + \left(24 a^{2} + 23 a + 21\right)\cdot 31^{54} + \left(6 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 31^{55} + \left(15 a^{2} + 26 a + 13\right)\cdot 31^{56} + \left(a^{2} + 20 a + 10\right)\cdot 31^{57} + \left(4 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 31^{58} + \left(2 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 31^{59} + \left(17 a^{2} + 8 a + 18\right)\cdot 31^{60} + \left(10 a^{2} + 29 a + 29\right)\cdot 31^{61} + \left(29 a^{2} + 4 a + 28\right)\cdot 31^{62} + \left(27 a^{2} + 15 a + 16\right)\cdot 31^{63} + \left(11 a^{2} + 7 a + 27\right)\cdot 31^{64} + \left(28 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 31^{65} + \left(23 a^{2} + 25 a + 2\right)\cdot 31^{66} + \left(27 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 31^{67} + \left(25 a^{2} + 29 a + 11\right)\cdot 31^{68} + \left(29 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 31^{69} + \left(4 a^{2} + 28\right)\cdot 31^{70} + \left(16 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 31^{71} + \left(16 a^{2} + 29 a + 24\right)\cdot 31^{72} + \left(28 a^{2} + 2 a + 19\right)\cdot 31^{73} + \left(23 a^{2} + 8\right)\cdot 31^{74} + \left(5 a^{2} + 15 a + 10\right)\cdot 31^{75} + \left(a^{2} + 29 a + 17\right)\cdot 31^{76} + \left(17 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 31^{77} + \left(16 a^{2} + 20 a + 22\right)\cdot 31^{78} + \left(23 a^{2} + 22 a + 8\right)\cdot 31^{79} + \left(30 a^{2} + 3 a + 24\right)\cdot 31^{80} + \left(11 a^{2} + 20 a + 17\right)\cdot 31^{81} + \left(5 a^{2} + 19 a + 26\right)\cdot 31^{82} + \left(19 a^{2} + 9 a + 13\right)\cdot 31^{83} + \left(2 a^{2} + 23\right)\cdot 31^{84} + \left(13 a^{2} + 2 a + 18\right)\cdot 31^{85} + \left(27 a^{2} + 11 a + 30\right)\cdot 31^{86} + \left(23 a^{2} + 12 a + 15\right)\cdot 31^{87} + \left(a^{2} + 27 a + 18\right)\cdot 31^{88} + \left(6 a^{2} + 26 a + 24\right)\cdot 31^{89} + \left(9 a^{2} + 28 a + 9\right)\cdot 31^{90} + \left(3 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 31^{91} + \left(13 a^{2} + 4 a + 28\right)\cdot 31^{92} + \left(a^{2} + 18 a + 27\right)\cdot 31^{93} + \left(22 a + 7\right)\cdot 31^{94} + \left(25 a^{2} + 12 a + 18\right)\cdot 31^{95} + \left(18 a^{2} + 22 a + 23\right)\cdot 31^{96} + \left(12 a^{2} + 23 a + 21\right)\cdot 31^{97} + \left(11 a^{2} + 25 a + 12\right)\cdot 31^{98} + \left(3 a^{2} + 24 a + 30\right)\cdot 31^{99} + \left(11 a^{2} + 25 a + 22\right)\cdot 31^{100} + \left(9 a^{2} + 26 a + 16\right)\cdot 31^{101} + \left(6 a^{2} + 21 a + 14\right)\cdot 31^{102} + \left(28 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 31^{103} + \left(25 a^{2} + 2 a + 27\right)\cdot 31^{104} + \left(29 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 31^{105} + \left(22 a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 31^{106} + \left(19 a^{2} + 20 a + 15\right)\cdot 31^{107} + \left(30 a^{2} + 4 a + 26\right)\cdot 31^{108} + \left(24 a^{2} + 21 a + 10\right)\cdot 31^{109} + \left(24 a^{2} + 24 a + 25\right)\cdot 31^{110} + \left(19 a + 3\right)\cdot 31^{111} + \left(9 a^{2} + 26 a + 21\right)\cdot 31^{112} + \left(8 a^{2} + 28 a + 13\right)\cdot 31^{113} + \left(28 a^{2} + 9 a + 19\right)\cdot 31^{114} + \left(22 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 31^{115} + \left(a^{2} + 16 a + 21\right)\cdot 31^{116} + \left(7 a^{2} + 17 a + 9\right)\cdot 31^{117} +O\left(31^{ 118 }\right)$
$r_{ 3 }$ $=$ $ 6 + 10\cdot 31 + 21\cdot 31^{2} + 26\cdot 31^{3} + 22\cdot 31^{4} + 4\cdot 31^{5} + 20\cdot 31^{6} + 8\cdot 31^{7} + 13\cdot 31^{8} + 18\cdot 31^{9} + 19\cdot 31^{10} + 29\cdot 31^{11} + 16\cdot 31^{12} + 9\cdot 31^{13} + 27\cdot 31^{14} + 30\cdot 31^{16} + 19\cdot 31^{17} + 27\cdot 31^{18} + 13\cdot 31^{19} + 6\cdot 31^{20} + 14\cdot 31^{21} + 21\cdot 31^{22} + 14\cdot 31^{23} + 14\cdot 31^{24} + 7\cdot 31^{25} + 21\cdot 31^{26} + 29\cdot 31^{27} + 26\cdot 31^{29} + 25\cdot 31^{30} + 23\cdot 31^{31} + 20\cdot 31^{32} + 7\cdot 31^{33} + 3\cdot 31^{34} + 15\cdot 31^{35} + 9\cdot 31^{36} + 7\cdot 31^{37} + 16\cdot 31^{38} + 28\cdot 31^{39} + 20\cdot 31^{40} + 12\cdot 31^{41} + 30\cdot 31^{42} + 21\cdot 31^{43} + 28\cdot 31^{44} + 26\cdot 31^{45} + 17\cdot 31^{46} + 23\cdot 31^{47} + 14\cdot 31^{48} + 2\cdot 31^{49} + 25\cdot 31^{50} + 19\cdot 31^{51} + 31^{52} + 15\cdot 31^{54} + 19\cdot 31^{55} + 20\cdot 31^{56} + 2\cdot 31^{57} + 2\cdot 31^{58} + 13\cdot 31^{59} + 10\cdot 31^{60} + 25\cdot 31^{61} + 2\cdot 31^{62} + 5\cdot 31^{63} + 3\cdot 31^{64} + 5\cdot 31^{65} + 10\cdot 31^{66} + 18\cdot 31^{67} + 18\cdot 31^{68} + 3\cdot 31^{69} + 18\cdot 31^{70} + 21\cdot 31^{71} + 21\cdot 31^{72} + 28\cdot 31^{73} + 21\cdot 31^{74} + 11\cdot 31^{75} + 12\cdot 31^{76} + 17\cdot 31^{77} + 28\cdot 31^{78} + 20\cdot 31^{79} + 19\cdot 31^{80} + 31^{81} + 24\cdot 31^{82} + 27\cdot 31^{83} + 27\cdot 31^{84} + 25\cdot 31^{86} + 30\cdot 31^{87} + 9\cdot 31^{88} + 20\cdot 31^{90} + 28\cdot 31^{91} + 2\cdot 31^{92} + 12\cdot 31^{93} + 7\cdot 31^{94} + 26\cdot 31^{95} + 28\cdot 31^{96} + 21\cdot 31^{97} + 15\cdot 31^{98} + 8\cdot 31^{99} + 15\cdot 31^{100} + 30\cdot 31^{101} + 30\cdot 31^{102} + 18\cdot 31^{103} + 2\cdot 31^{105} + 28\cdot 31^{106} + 23\cdot 31^{107} + 12\cdot 31^{108} + 17\cdot 31^{109} + 4\cdot 31^{110} + 21\cdot 31^{111} + 16\cdot 31^{112} + 6\cdot 31^{113} + 29\cdot 31^{114} + 13\cdot 31^{115} + 31^{116} + 16\cdot 31^{117} +O\left(31^{ 118 }\right)$
$r_{ 4 }$ $=$ $ 5 a^{2} + 9 a + 28 + \left(12 a^{2} + 19 a + 17\right)\cdot 31 + \left(23 a^{2} + 12 a\right)\cdot 31^{2} + \left(8 a^{2} + 20 a + 27\right)\cdot 31^{3} + \left(27 a^{2} + 29 a + 1\right)\cdot 31^{4} + \left(24 a^{2} + 5 a + 29\right)\cdot 31^{5} + \left(8 a^{2} + 12 a + 18\right)\cdot 31^{6} + \left(14 a^{2} + 29 a + 7\right)\cdot 31^{7} + \left(16 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 31^{8} + \left(19 a^{2} + 25 a + 19\right)\cdot 31^{9} + \left(8 a^{2} + 22 a + 15\right)\cdot 31^{10} + \left(19 a^{2} + 21 a + 13\right)\cdot 31^{11} + \left(9 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 31^{12} + \left(16 a^{2} + 3 a + 30\right)\cdot 31^{13} + \left(5 a^{2} + 9 a + 19\right)\cdot 31^{14} + \left(13 a^{2} + 29 a + 7\right)\cdot 31^{15} + \left(6 a^{2} + 19 a + 25\right)\cdot 31^{16} + \left(28 a^{2} + 10 a + 20\right)\cdot 31^{17} + \left(9 a^{2} + 24 a + 10\right)\cdot 31^{18} + \left(29 a^{2} + 23 a + 23\right)\cdot 31^{19} + \left(7 a^{2} + 18 a + 26\right)\cdot 31^{20} + \left(23 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 31^{21} + \left(30 a^{2} + 24 a + 24\right)\cdot 31^{22} + \left(25 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 31^{23} + \left(22 a^{2} + 27 a + 3\right)\cdot 31^{24} + \left(18 a^{2} + 29 a + 18\right)\cdot 31^{25} + \left(15 a + 18\right)\cdot 31^{26} + \left(23 a^{2} + 13 a + 7\right)\cdot 31^{27} + \left(27 a^{2} + 3 a + 27\right)\cdot 31^{28} + \left(24 a^{2} + 26 a + 5\right)\cdot 31^{29} + \left(24 a^{2} + 21 a + 15\right)\cdot 31^{30} + \left(14 a^{2} + 26 a + 3\right)\cdot 31^{31} + \left(24 a^{2} + 28 a + 25\right)\cdot 31^{32} + \left(26 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 31^{33} + \left(a^{2} + 30 a + 19\right)\cdot 31^{34} + \left(22 a^{2} + 18 a + 16\right)\cdot 31^{35} + \left(a^{2} + 8 a + 20\right)\cdot 31^{36} + \left(25 a^{2} + a + 21\right)\cdot 31^{37} + \left(28 a^{2} + a + 30\right)\cdot 31^{38} + \left(4 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 31^{39} + \left(7 a^{2} + 30 a + 12\right)\cdot 31^{40} + \left(25 a^{2} + 2 a + 21\right)\cdot 31^{41} + \left(13 a^{2} + 13 a + 18\right)\cdot 31^{42} + \left(30 a^{2} + 9 a + 13\right)\cdot 31^{43} + \left(17 a^{2} + 24 a + 15\right)\cdot 31^{44} + \left(8 a^{2} + 10 a + 27\right)\cdot 31^{45} + \left(8 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 31^{46} + \left(17 a^{2} + 11 a + 21\right)\cdot 31^{47} + \left(a^{2} + 19 a + 6\right)\cdot 31^{48} + \left(25 a^{2} + 8 a + 29\right)\cdot 31^{49} + \left(7 a^{2} + 19 a + 21\right)\cdot 31^{50} + \left(a^{2} + 29 a + 22\right)\cdot 31^{51} + \left(7 a^{2} + 24 a + 10\right)\cdot 31^{52} + \left(18 a^{2} + 13 a + 10\right)\cdot 31^{53} + \left(3 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 31^{54} + \left(11 a^{2} + 24 a + 27\right)\cdot 31^{55} + \left(2 a^{2} + 29 a + 21\right)\cdot 31^{56} + \left(23 a^{2} + 26 a + 19\right)\cdot 31^{57} + \left(4 a^{2} + 28 a + 7\right)\cdot 31^{58} + \left(10 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 31^{59} + \left(13 a^{2} + 29 a + 22\right)\cdot 31^{60} + \left(24 a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 31^{61} + \left(26 a^{2} + 28 a + 26\right)\cdot 31^{62} + \left(12 a^{2} + 7 a + 27\right)\cdot 31^{63} + \left(a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 31^{64} + \left(9 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 31^{65} + \left(12 a^{2} + 26 a + 5\right)\cdot 31^{66} + \left(14 a^{2} + 28 a + 9\right)\cdot 31^{67} + \left(15 a^{2} + 16 a + 20\right)\cdot 31^{68} + \left(9 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 31^{69} + \left(26 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 31^{70} + \left(4 a^{2} + 13 a + 30\right)\cdot 31^{71} + \left(28 a^{2} + 6 a + 18\right)\cdot 31^{72} + \left(27 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 31^{73} + \left(20 a^{2} + 17 a + 5\right)\cdot 31^{74} + \left(6 a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 31^{75} + \left(21 a^{2} + 4 a\right)\cdot 31^{76} + \left(25 a^{2} + 9 a + 30\right)\cdot 31^{77} + \left(5 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 31^{78} + \left(15 a^{2} + 13 a + 29\right)\cdot 31^{79} + \left(3 a^{2} + 24 a + 4\right)\cdot 31^{80} + \left(21 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 31^{81} + \left(27 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 31^{82} + \left(25 a^{2} + 29 a + 13\right)\cdot 31^{83} + \left(25 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 31^{84} + \left(23 a^{2} + a + 21\right)\cdot 31^{85} + \left(5 a^{2} + 30 a + 15\right)\cdot 31^{86} + \left(3 a^{2} + 17 a + 22\right)\cdot 31^{87} + \left(30 a^{2} + 18 a + 19\right)\cdot 31^{88} + \left(22 a^{2} + a + 23\right)\cdot 31^{89} + \left(15 a^{2} + 26 a + 2\right)\cdot 31^{90} + \left(2 a^{2} + 5 a + 21\right)\cdot 31^{91} + \left(16 a^{2} + 16 a + 29\right)\cdot 31^{92} + \left(21 a + 20\right)\cdot 31^{93} + \left(10 a^{2} + 4 a + 25\right)\cdot 31^{94} + \left(13 a^{2} + 16 a + 20\right)\cdot 31^{95} + \left(15 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 31^{96} + \left(16 a^{2} + 16 a + 21\right)\cdot 31^{97} + \left(14 a^{2} + 7 a\right)\cdot 31^{98} + \left(29 a^{2} + 19 a + 20\right)\cdot 31^{99} + \left(17 a + 10\right)\cdot 31^{100} + \left(29 a^{2} + 18 a + 6\right)\cdot 31^{101} + \left(10 a^{2} + 2 a + 25\right)\cdot 31^{102} + \left(16 a^{2} + 5 a + 17\right)\cdot 31^{103} + \left(29 a^{2} + 17 a + 1\right)\cdot 31^{104} + \left(6 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 31^{105} + \left(6 a^{2} + 22 a + 14\right)\cdot 31^{106} + \left(20 a^{2} + 26 a + 15\right)\cdot 31^{107} + \left(15 a^{2} + 17 a + 14\right)\cdot 31^{108} + \left(25 a^{2} + 19 a + 11\right)\cdot 31^{109} + \left(22 a^{2} + 25 a + 18\right)\cdot 31^{110} + \left(30 a^{2} + 18 a + 16\right)\cdot 31^{111} + \left(6 a^{2} + 5 a + 19\right)\cdot 31^{112} + \left(21 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 31^{113} + \left(13 a^{2} + 14 a + 18\right)\cdot 31^{114} + \left(4 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 31^{115} + \left(12 a^{2} + 26 a + 14\right)\cdot 31^{116} + \left(6 a^{2} + 17 a + 20\right)\cdot 31^{117} +O\left(31^{ 118 }\right)$
$r_{ 5 }$ $=$ $ a^{2} + 25 a + 20 + \left(3 a^{2} + 28 a + 29\right)\cdot 31 + \left(18 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 31^{2} + \left(21 a^{2} + 26 a + 26\right)\cdot 31^{3} + \left(a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 31^{4} + \left(8 a^{2} + 24 a + 14\right)\cdot 31^{5} + \left(13 a^{2} + a + 12\right)\cdot 31^{6} + \left(9 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 31^{7} + \left(23 a^{2} + 25 a + 11\right)\cdot 31^{8} + \left(19 a^{2} + 25 a + 17\right)\cdot 31^{9} + \left(17 a^{2} + 13 a + 15\right)\cdot 31^{10} + \left(6 a^{2} + a + 25\right)\cdot 31^{11} + \left(24 a^{2} + 27 a + 20\right)\cdot 31^{12} + \left(21 a^{2} + 5 a + 21\right)\cdot 31^{13} + \left(22 a^{2} + 20 a + 26\right)\cdot 31^{14} + \left(25 a^{2} + a + 16\right)\cdot 31^{15} + \left(25 a^{2} + 16 a + 17\right)\cdot 31^{16} + \left(9 a^{2} + 16 a + 20\right)\cdot 31^{17} + \left(26 a^{2} + 7 a + 18\right)\cdot 31^{18} + \left(8 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 31^{19} + \left(3 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 31^{20} + \left(12 a^{2} + 26 a + 3\right)\cdot 31^{21} + \left(7 a^{2} + a + 8\right)\cdot 31^{22} + \left(11 a^{2} + 11 a + 23\right)\cdot 31^{23} + \left(5 a^{2} + 17 a + 29\right)\cdot 31^{24} + \left(21 a^{2} + 3 a + 21\right)\cdot 31^{25} + \left(14 a^{2} + 21 a + 2\right)\cdot 31^{26} + \left(7 a^{2} + 24 a + 26\right)\cdot 31^{27} + \left(27 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 31^{28} + \left(3 a^{2} + 19 a + 14\right)\cdot 31^{29} + \left(14 a^{2} + 23 a + 21\right)\cdot 31^{30} + \left(22 a^{2} + 16 a + 27\right)\cdot 31^{31} + \left(23 a^{2} + 27 a + 8\right)\cdot 31^{32} + \left(20 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 31^{33} + \left(3 a^{2} + 19 a + 1\right)\cdot 31^{34} + \left(18 a^{2} + 13 a + 7\right)\cdot 31^{35} + \left(6 a + 28\right)\cdot 31^{36} + \left(21 a^{2} + 10 a + 21\right)\cdot 31^{37} + \left(10 a^{2} + 30 a + 1\right)\cdot 31^{38} + \left(26 a^{2} + 17 a + 8\right)\cdot 31^{39} + \left(25 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 31^{40} + \left(17 a^{2} + 14 a + 28\right)\cdot 31^{41} + \left(a^{2} + 5 a + 21\right)\cdot 31^{42} + \left(15 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 31^{43} + \left(10 a^{2} + 26 a + 18\right)\cdot 31^{44} + \left(2 a^{2} + 16 a + 23\right)\cdot 31^{45} + \left(24 a^{2} + 30\right)\cdot 31^{46} + \left(10 a^{2} + 23 a + 19\right)\cdot 31^{47} + \left(8 a^{2} + 30 a\right)\cdot 31^{48} + \left(13 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 31^{49} + \left(14 a^{2} + 25 a + 1\right)\cdot 31^{50} + \left(11 a^{2} + 22 a + 1\right)\cdot 31^{51} + \left(19 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 31^{52} + \left(27 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 31^{53} + \left(2 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 31^{54} + \left(13 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 31^{55} + \left(7 a^{2} + 11 a + 29\right)\cdot 31^{56} + \left(19 a^{2} + 27 a + 11\right)\cdot 31^{57} + \left(9 a^{2} + 26 a + 26\right)\cdot 31^{58} + \left(12 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 31^{59} + \left(2 a^{2} + 25 a + 29\right)\cdot 31^{60} + \left(27 a^{2} + 16 a + 19\right)\cdot 31^{61} + \left(9 a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 31^{62} + \left(25 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 31^{63} + \left(2 a^{2} + 2 a + 21\right)\cdot 31^{64} + 19 a^{2}31^{65} + \left(18 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 31^{66} + \left(21 a^{2} + 30 a + 8\right)\cdot 31^{67} + \left(13 a^{2} + 19 a + 13\right)\cdot 31^{68} + \left(4 a^{2} + 14 a + 22\right)\cdot 31^{69} + \left(28 a^{2} + 30 a + 12\right)\cdot 31^{70} + \left(25 a^{2} + 24 a + 20\right)\cdot 31^{71} + \left(28 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 31^{72} + \left(13 a^{2} + 28 a + 10\right)\cdot 31^{73} + \left(2 a^{2} + 25 a + 25\right)\cdot 31^{74} + \left(8 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 31^{75} + \left(11 a^{2} + 3\right)\cdot 31^{76} + \left(23 a^{2} + 2 a + 20\right)\cdot 31^{77} + \left(12 a^{2} + 4 a + 19\right)\cdot 31^{78} + \left(5 a^{2} + 30 a + 27\right)\cdot 31^{79} + \left(13 a^{2} + 6 a + 22\right)\cdot 31^{80} + \left(30 a^{2} + 5 a + 19\right)\cdot 31^{81} + \left(29 a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 31^{82} + \left(18 a^{2} + 2 a + 24\right)\cdot 31^{83} + \left(22 a^{2} + 30 a + 5\right)\cdot 31^{84} + \left(12 a^{2} + 27 a + 8\right)\cdot 31^{85} + \left(27 a^{2} + 27 a + 20\right)\cdot 31^{86} + \left(18 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 31^{87} + \left(13 a^{2} + 12 a + 26\right)\cdot 31^{88} + \left(22 a^{2} + 3 a + 14\right)\cdot 31^{89} + \left(10 a^{2} + 17 a\right)\cdot 31^{90} + \left(13 a^{2} + 25 a + 20\right)\cdot 31^{91} + \left(16 a^{2} + a + 30\right)\cdot 31^{92} + \left(21 a^{2} + 5 a + 30\right)\cdot 31^{93} + \left(17 a^{2} + 12 a + 29\right)\cdot 31^{94} + \left(6 a^{2} + 27 a + 5\right)\cdot 31^{95} + \left(23 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 31^{96} + \left(4 a^{2} + 19 a + 16\right)\cdot 31^{97} + \left(3 a^{2} + 28 a + 17\right)\cdot 31^{98} + \left(23 a^{2} + 18 a + 12\right)\cdot 31^{99} + \left(2 a^{2} + 21 a + 17\right)\cdot 31^{100} + \left(12 a^{2} + 28 a + 18\right)\cdot 31^{101} + \left(26 a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 31^{102} + \left(6 a^{2} + 24 a + 8\right)\cdot 31^{103} + \left(14 a^{2} + 28 a + 9\right)\cdot 31^{104} + \left(24 a^{2} + 29 a + 5\right)\cdot 31^{105} + \left(11 a + 22\right)\cdot 31^{106} + \left(20 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 31^{107} + \left(18 a^{2} + 9 a + 18\right)\cdot 31^{108} + \left(20 a^{2} + 4 a + 28\right)\cdot 31^{109} + \left(11 a^{2} + 8 a + 26\right)\cdot 31^{110} + \left(30 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 31^{111} + \left(23 a^{2} + 27 a\right)\cdot 31^{112} + \left(25 a^{2} + 19 a + 15\right)\cdot 31^{113} + \left(12 a^{2} + 20 a + 19\right)\cdot 31^{114} + \left(3 a^{2} + 7 a + 28\right)\cdot 31^{115} + \left(21 a^{2} + 29 a + 23\right)\cdot 31^{116} + \left(3 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 31^{117} +O\left(31^{ 118 }\right)$
$r_{ 6 }$ $=$ $ 30 a^{2} + 16 a + 29 + \left(24 a^{2} + 23 a + 2\right)\cdot 31 + \left(21 a^{2} + 14 a + 28\right)\cdot 31^{2} + \left(13 a^{2} + 9 a + 20\right)\cdot 31^{3} + \left(5 a^{2} + 5 a + 16\right)\cdot 31^{4} + \left(3 a^{2} + 14 a\right)\cdot 31^{5} + \left(25 a^{2} + 24 a + 10\right)\cdot 31^{6} + \left(8 a^{2} + 10 a + 13\right)\cdot 31^{7} + \left(22 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 31^{8} + \left(3 a^{2} + a + 27\right)\cdot 31^{9} + \left(29 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 31^{10} + \left(15 a^{2} + 18 a + 21\right)\cdot 31^{11} + \left(29 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 31^{12} + \left(17 a^{2} + 12 a + 19\right)\cdot 31^{13} + \left(a^{2} + 23 a + 12\right)\cdot 31^{14} + \left(16 a^{2} + 17 a + 10\right)\cdot 31^{15} + \left(a^{2} + 20 a + 1\right)\cdot 31^{16} + \left(6 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 31^{17} + \left(8 a^{2} + 22 a + 6\right)\cdot 31^{18} + \left(15 a^{2} + 8 a + 26\right)\cdot 31^{19} + \left(3 a^{2} + 20 a + 20\right)\cdot 31^{20} + \left(2 a^{2} + 21 a + 27\right)\cdot 31^{21} + \left(13 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 31^{22} + \left(18 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 31^{23} + \left(4 a^{2} + 23 a + 29\right)\cdot 31^{24} + \left(3 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 31^{25} + \left(9 a^{2} + 25 a + 9\right)\cdot 31^{26} + \left(25 a^{2} + 26 a + 17\right)\cdot 31^{27} + \left(17 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 31^{28} + \left(11 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 31^{29} + \left(6 a^{2} + 25 a + 16\right)\cdot 31^{30} + \left(10 a^{2} + 4 a + 19\right)\cdot 31^{31} + \left(12 a^{2} + 25 a + 11\right)\cdot 31^{32} + \left(17 a^{2} + 21 a + 19\right)\cdot 31^{33} + \left(18 a^{2} + 12 a + 21\right)\cdot 31^{34} + \left(24 a^{2} + 30 a + 21\right)\cdot 31^{35} + \left(26 a^{2} + 26 a + 14\right)\cdot 31^{36} + \left(12 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 31^{37} + \left(22 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 31^{38} + \left(a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 31^{39} + \left(22 a^{2} + 20 a + 28\right)\cdot 31^{40} + \left(24 a^{2} + 30 a + 1\right)\cdot 31^{41} + \left(11 a^{2} + 28 a + 8\right)\cdot 31^{42} + \left(14 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 31^{43} + \left(8 a^{2} + 23 a + 27\right)\cdot 31^{44} + \left(26 a^{2} + 30 a + 18\right)\cdot 31^{45} + \left(25 a^{2} + 4 a + 21\right)\cdot 31^{46} + \left(26 a^{2} + 27 a + 30\right)\cdot 31^{47} + \left(16 a^{2} + 23 a + 26\right)\cdot 31^{48} + \left(3 a^{2} + 24 a + 11\right)\cdot 31^{49} + \left(7 a^{2} + 26 a + 27\right)\cdot 31^{50} + \left(28 a^{2} + 19 a + 1\right)\cdot 31^{51} + \left(9 a^{2} + 19 a + 6\right)\cdot 31^{52} + \left(23 a^{2} + 5\right)\cdot 31^{53} + \left(3 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 31^{54} + \left(11 a^{2} + 7 a + 21\right)\cdot 31^{55} + \left(8 a^{2} + 24 a + 29\right)\cdot 31^{56} + \left(10 a^{2} + 13 a + 5\right)\cdot 31^{57} + \left(17 a^{2} + 24 a + 21\right)\cdot 31^{58} + \left(16 a^{2} + 17 a + 6\right)\cdot 31^{59} + \left(11 a^{2} + 28 a + 4\right)\cdot 31^{60} + \left(24 a^{2} + 15 a + 18\right)\cdot 31^{61} + \left(22 a^{2} + 7 a + 24\right)\cdot 31^{62} + \left(8 a^{2} + 13 a + 24\right)\cdot 31^{63} + \left(16 a^{2} + 21 a + 9\right)\cdot 31^{64} + \left(14 a^{2} + 25 a + 18\right)\cdot 31^{65} + \left(19 a^{2} + 24 a + 9\right)\cdot 31^{66} + \left(12 a^{2} + 20 a + 2\right)\cdot 31^{67} + \left(22 a^{2} + 12 a + 19\right)\cdot 31^{68} + \left(27 a^{2} + 12 a + 27\right)\cdot 31^{69} + \left(28 a^{2} + 2\right)\cdot 31^{70} + \left(19 a^{2} + 25 a + 6\right)\cdot 31^{71} + \left(16 a^{2} + 22 a + 14\right)\cdot 31^{72} + \left(19 a^{2} + 30 a + 3\right)\cdot 31^{73} + \left(4 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 31^{74} + \left(17 a^{2} + 30 a + 28\right)\cdot 31^{75} + \left(18 a^{2} + 28\right)\cdot 31^{76} + \left(21 a^{2} + 16 a + 18\right)\cdot 31^{77} + \left(a^{2} + 6 a + 22\right)\cdot 31^{78} + \left(2 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 31^{79} + \left(18 a^{2} + 20 a + 26\right)\cdot 31^{80} + \left(19 a^{2} + 5 a + 22\right)\cdot 31^{81} + \left(26 a^{2} + 24 a + 9\right)\cdot 31^{82} + \left(23 a^{2} + 18 a + 27\right)\cdot 31^{83} + \left(5 a^{2} + 4\right)\cdot 31^{84} + \left(5 a^{2} + a + 3\right)\cdot 31^{85} + \left(7 a^{2} + 23 a + 17\right)\cdot 31^{86} + \left(19 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 31^{87} + \left(15 a^{2} + 22 a + 7\right)\cdot 31^{88} + \left(2 a^{2} + 22\right)\cdot 31^{89} + \left(11 a^{2} + 16 a\right)\cdot 31^{90} + \left(14 a^{2} + 2 a\right)\cdot 31^{91} + \left(a^{2} + 25 a\right)\cdot 31^{92} + \left(8 a^{2} + 7 a + 22\right)\cdot 31^{93} + \left(13 a^{2} + 27 a + 16\right)\cdot 31^{94} + \left(30 a^{2} + 21 a + 11\right)\cdot 31^{95} + \left(19 a^{2} + 29 a + 24\right)\cdot 31^{96} + \left(13 a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 31^{97} + \left(16 a^{2} + 7 a + 16\right)\cdot 31^{98} + \left(4 a^{2} + 18 a + 10\right)\cdot 31^{99} + \left(17 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 31^{100} + \left(9 a^{2} + 6 a + 27\right)\cdot 31^{101} + \left(29 a^{2} + 21 a + 29\right)\cdot 31^{102} + \left(26 a^{2} + 27 a + 21\right)\cdot 31^{103} + \left(21 a^{2} + 30 a + 24\right)\cdot 31^{104} + \left(7 a^{2} + 24 a + 14\right)\cdot 31^{105} + \left(7 a^{2} + 4 a + 26\right)\cdot 31^{106} + \left(22 a^{2} + 27 a + 6\right)\cdot 31^{107} + \left(12 a^{2} + 16 a + 4\right)\cdot 31^{108} + \left(16 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 31^{109} + \left(25 a^{2} + 29 a + 5\right)\cdot 31^{110} + \left(30 a^{2} + 29 a + 3\right)\cdot 31^{111} + \left(28 a^{2} + 7 a + 24\right)\cdot 31^{112} + \left(27 a^{2} + 13 a + 26\right)\cdot 31^{113} + \left(20 a^{2} + 24\right)\cdot 31^{114} + \left(4 a^{2} + 13 a + 8\right)\cdot 31^{115} + \left(8 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 31^{116} + \left(20 a^{2} + 29 a + 18\right)\cdot 31^{117} +O\left(31^{ 118 }\right)$
$r_{ 7 }$ $=$ $ 19 a^{2} + 29 a + 27 + \left(21 a^{2} + 29 a + 13\right)\cdot 31 + \left(2 a + 16\right)\cdot 31^{2} + \left(6 a^{2} + 26 a + 4\right)\cdot 31^{3} + \left(23 a^{2} + a + 30\right)\cdot 31^{4} + \left(20 a^{2} + 3 a + 15\right)\cdot 31^{5} + \left(23 a^{2} + 12 a + 18\right)\cdot 31^{6} + \left(13 a^{2} + 16 a + 17\right)\cdot 31^{7} + \left(12 a^{2} + 27 a + 12\right)\cdot 31^{8} + \left(20 a^{2} + 4 a + 30\right)\cdot 31^{9} + \left(4 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 31^{10} + \left(16 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 31^{11} + \left(9 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 31^{12} + \left(27 a^{2} + 9 a + 27\right)\cdot 31^{13} + \left(9 a^{2} + 30 a + 22\right)\cdot 31^{14} + \left(a^{2} + 30 a + 30\right)\cdot 31^{15} + \left(3 a^{2} + 8 a + 22\right)\cdot 31^{16} + \left(8 a^{2} + 26 a + 17\right)\cdot 31^{17} + \left(17 a^{2} + 13 a + 15\right)\cdot 31^{18} + \left(23 a^{2} + 11 a + 19\right)\cdot 31^{19} + \left(11 a^{2} + 28 a + 8\right)\cdot 31^{20} + \left(19 a^{2} + a\right)\cdot 31^{21} + \left(27 a^{2} + 6 a + 22\right)\cdot 31^{22} + \left(23 a^{2} + 23 a + 10\right)\cdot 31^{23} + \left(27 a^{2} + 29 a + 6\right)\cdot 31^{24} + \left(26 a^{2} + 25 a + 13\right)\cdot 31^{25} + \left(30 a^{2} + 22 a + 28\right)\cdot 31^{26} + \left(7 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 31^{27} + \left(5 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 31^{28} + a^{2}31^{29} + \left(3 a^{2} + 30 a + 11\right)\cdot 31^{30} + \left(7 a^{2} + 19 a + 29\right)\cdot 31^{31} + \left(16 a^{2} + 28 a + 29\right)\cdot 31^{32} + \left(18 a^{2} + 28 a + 25\right)\cdot 31^{33} + \left(16 a^{2} + 23 a + 18\right)\cdot 31^{34} + \left(13 a^{2} + 23 a\right)\cdot 31^{35} + \left(5 a^{2} + 12 a + 23\right)\cdot 31^{36} + \left(14 a^{2} + 9 a + 24\right)\cdot 31^{37} + \left(28 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 31^{38} + \left(12 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 31^{39} + \left(21 a^{2} + 11\right)\cdot 31^{40} + \left(6 a^{2} + 13 a + 19\right)\cdot 31^{41} + \left(19 a^{2} + 30 a + 1\right)\cdot 31^{42} + \left(5 a^{2} + 19 a + 28\right)\cdot 31^{43} + \left(12 a^{2} + 25 a + 21\right)\cdot 31^{44} + \left(22 a^{2} + 27 a + 5\right)\cdot 31^{45} + \left(13 a + 9\right)\cdot 31^{46} + \left(2 a^{2} + 10 a + 21\right)\cdot 31^{47} + \left(2 a^{2} + a + 27\right)\cdot 31^{48} + \left(26 a^{2} + 17 a + 29\right)\cdot 31^{49} + \left(6 a^{2} + 20 a + 10\right)\cdot 31^{50} + \left(8 a^{2} + 27\right)\cdot 31^{51} + \left(27 a^{2} + 13\right)\cdot 31^{52} + \left(7 a^{2} + 22 a + 3\right)\cdot 31^{53} + \left(23 a^{2} + 11\right)\cdot 31^{54} + \left(21 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 31^{55} + \left(20 a^{2} + a + 3\right)\cdot 31^{56} + \left(24 a^{2} + 20 a\right)\cdot 31^{57} + \left(a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 31^{58} + \left(17 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 31^{59} + \left(11 a^{2} + 25 a + 21\right)\cdot 31^{60} + \left(6 a^{2} + 5 a + 20\right)\cdot 31^{61} + \left(22 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 31^{62} + \left(20 a^{2} + 30 a + 12\right)\cdot 31^{63} + \left(13 a^{2} + 18 a + 26\right)\cdot 31^{64} + \left(14 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 31^{65} + \left(29 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 31^{66} + \left(27 a^{2} + 17 a + 18\right)\cdot 31^{67} + \left(4 a^{2} + 10 a + 23\right)\cdot 31^{68} + \left(7 a^{2} + 4 a + 26\right)\cdot 31^{69} + \left(29 a^{2} + 28 a + 25\right)\cdot 31^{70} + \left(15 a^{2} + 23 a + 16\right)\cdot 31^{71} + \left(29 a^{2} + 26 a + 9\right)\cdot 31^{72} + \left(7 a^{2} + 2 a + 29\right)\cdot 31^{73} + \left(10 a^{2} + 28 a + 18\right)\cdot 31^{74} + \left(18 a^{2} + 30 a + 1\right)\cdot 31^{75} + \left(9 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 31^{76} + \left(13 a^{2} + 18 a + 11\right)\cdot 31^{77} + \left(15 a^{2} + 17 a + 21\right)\cdot 31^{78} + \left(16 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 31^{79} + \left(26 a^{2} + 25 a + 20\right)\cdot 31^{80} + \left(29 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 31^{81} + \left(22 a^{2} + 30 a\right)\cdot 31^{82} + \left(19 a^{2} + 21 a + 9\right)\cdot 31^{83} + \left(26 a^{2} + 6 a + 21\right)\cdot 31^{84} + \left(8 a^{2} + 24 a + 21\right)\cdot 31^{85} + \left(7 a^{2} + 7 a + 16\right)\cdot 31^{86} + \left(15 a^{2} + 3 a + 30\right)\cdot 31^{87} + \left(18 a^{2} + 18 a + 11\right)\cdot 31^{88} + \left(29 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 31^{89} + \left(25 a^{2} + 12 a + 30\right)\cdot 31^{90} + \left(12 a^{2} + 8 a + 27\right)\cdot 31^{91} + \left(6 a + 8\right)\cdot 31^{92} + \left(11 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 31^{93} + \left(16 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 31^{94} + \left(12 a^{2} + 9 a + 20\right)\cdot 31^{95} + \left(2 a^{2} + 12 a + 17\right)\cdot 31^{96} + \left(30 a^{2} + 13 a + 9\right)\cdot 31^{97} + \left(26 a^{2} + 7 a + 19\right)\cdot 31^{98} + \left(a^{2} + 1\right)\cdot 31^{99} + \left(19 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 31^{100} + \left(4 a^{2} + 21 a + 21\right)\cdot 31^{101} + \left(27 a^{2} + 5 a + 25\right)\cdot 31^{102} + \left(20 a + 17\right)\cdot 31^{103} + \left(8 a^{2} + 9 a + 28\right)\cdot 31^{104} + \left(4 a^{2} + 15 a + 26\right)\cdot 31^{105} + \left(19 a^{2} + 7 a + 22\right)\cdot 31^{106} + \left(27 a^{2} + 16 a + 30\right)\cdot 31^{107} + \left(26 a^{2} + 15 a + 21\right)\cdot 31^{108} + \left(10 a^{2} + 17 a + 1\right)\cdot 31^{109} + \left(16 a^{2} + 24 a + 14\right)\cdot 31^{110} + \left(19 a^{2} + 24 a + 19\right)\cdot 31^{111} + \left(21 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 31^{112} + \left(2 a^{2} + 29 a + 21\right)\cdot 31^{113} + \left(18 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 31^{114} + \left(25 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 31^{115} + \left(20 a^{2} + 14 a + 30\right)\cdot 31^{116} + \left(11 a^{2} + 22 a + 23\right)\cdot 31^{117} +O\left(31^{ 118 }\right)$
$r_{ 8 }$ $=$ $ 21 + 31 + 14\cdot 31^{2} + 29\cdot 31^{3} + 17\cdot 31^{4} + 24\cdot 31^{5} + 22\cdot 31^{6} + 5\cdot 31^{7} + 18\cdot 31^{8} + 11\cdot 31^{9} + 31^{10} + 29\cdot 31^{11} + 12\cdot 31^{12} + 3\cdot 31^{13} + 13\cdot 31^{14} + 3\cdot 31^{15} + 30\cdot 31^{16} + 24\cdot 31^{17} + 18\cdot 31^{18} + 19\cdot 31^{19} + 28\cdot 31^{20} + 6\cdot 31^{21} + 20\cdot 31^{22} + 15\cdot 31^{23} + 5\cdot 31^{24} + 14\cdot 31^{25} + 7\cdot 31^{26} + 23\cdot 31^{27} + 4\cdot 31^{28} + 31^{29} + 4\cdot 31^{30} + 19\cdot 31^{31} + 4\cdot 31^{32} + 21\cdot 31^{33} + 7\cdot 31^{34} + 25\cdot 31^{35} + 3\cdot 31^{36} + 16\cdot 31^{37} + 27\cdot 31^{38} + 22\cdot 31^{39} + 8\cdot 31^{40} + 17\cdot 31^{41} + 2\cdot 31^{42} + 20\cdot 31^{43} + 20\cdot 31^{44} + 27\cdot 31^{45} + 4\cdot 31^{46} + 2\cdot 31^{47} + 14\cdot 31^{48} + 24\cdot 31^{49} + 11\cdot 31^{50} + 27\cdot 31^{51} + 12\cdot 31^{52} + 5\cdot 31^{53} + 13\cdot 31^{54} + 2\cdot 31^{55} + 31^{56} + 18\cdot 31^{57} + 17\cdot 31^{58} + 23\cdot 31^{59} + 21\cdot 31^{60} + 12\cdot 31^{61} + 6\cdot 31^{62} + 4\cdot 31^{63} + 10\cdot 31^{64} + 8\cdot 31^{65} + 9\cdot 31^{66} + 31^{67} + 31^{68} + 27\cdot 31^{69} + 11\cdot 31^{70} + 12\cdot 31^{71} + 30\cdot 31^{72} + 20\cdot 31^{73} + 25\cdot 31^{74} + 11\cdot 31^{76} + 23\cdot 31^{77} + 28\cdot 31^{78} + 3\cdot 31^{79} + 23\cdot 31^{80} + 14\cdot 31^{81} + 14\cdot 31^{82} + 12\cdot 31^{83} + 20\cdot 31^{84} + 14\cdot 31^{85} + 26\cdot 31^{86} + 31^{88} + 6\cdot 31^{89} + 23\cdot 31^{90} + 3\cdot 31^{91} + 5\cdot 31^{92} + 5\cdot 31^{94} + 26\cdot 31^{95} + 13\cdot 31^{96} + 27\cdot 31^{98} + 29\cdot 31^{99} + 8\cdot 31^{101} + 8\cdot 31^{102} + 10\cdot 31^{103} + 23\cdot 31^{104} + 20\cdot 31^{105} + 25\cdot 31^{107} + 18\cdot 31^{108} + 16\cdot 31^{109} + 21\cdot 31^{110} + 11\cdot 31^{111} + 17\cdot 31^{112} + 3\cdot 31^{113} + 4\cdot 31^{114} + 23\cdot 31^{115} + 12\cdot 31^{116} + 13\cdot 31^{117} +O\left(31^{ 118 }\right)$

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 8 }$

Cycle notation
$(2,5)(3,6)$
$(2,5,6)$
$(1,2)(3,4)(5,7)(6,8)$
$(1,3)(2,8)(4,5)(6,7)$

Character values on conjugacy classes

SizeOrderAction on $r_1, \ldots, r_{ 8 }$ Character value
$1$$1$$()$$9$
$6$$2$$(2,5)(3,6)$$-3$
$9$$2$$(1,7)(2,5)(3,6)(4,8)$$1$
$12$$2$$(1,2)(3,4)(5,7)(6,8)$$3$
$12$$2$$(1,3)(2,8)(4,5)(6,7)$$3$
$36$$2$$(1,8)(5,6)$$1$
$16$$3$$(2,6,3)$$0$
$32$$3$$(1,4,7)(2,3,5)$$0$
$32$$3$$(1,4,7)(3,5,6)$$0$
$36$$4$$(1,2,7,5)(3,8,6,4)$$-1$
$36$$4$$(1,3,7,6)(2,4,5,8)$$-1$
$36$$4$$(1,8,4,7)(2,5,3,6)$$1$
$72$$4$$(1,8,4,7)(5,6)$$-1$
$48$$6$$(1,7)(2,6,3)(4,8)$$0$
$96$$6$$(1,3,4,5,7,2)(6,8)$$0$
$96$$6$$(1,5,4,6,7,3)(2,8)$$0$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.