Properties

Label 9.2e14_193e3.16t1294.1c1
Dimension 9
Group $S_4\wr C_2$
Conductor $ 2^{14} \cdot 193^{3}$
Root number 1
Frobenius-Schur indicator 1

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Basic invariants

Dimension:$9$
Group:$S_4\wr C_2$
Conductor:$117785509888= 2^{14} \cdot 193^{3} $
Artin number field: Splitting field of $f= x^{8} - 4 x^{6} - 8 x^{5} + 13 x^{4} + 16 x^{3} - 2 x^{2} - 36 x - 28 $ over $\Q$
Size of Galois orbit: 1
Smallest containing permutation representation: 16T1294
Parity: Odd
Determinant: 1.2e2_193.2t1.1c1

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 199 }$ to precision 70.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 199 }$: $ x^{2} + 193 x + 3 $
Roots:
$r_{ 1 }$ $=$ $ 38 a + 114 + \left(192 a + 193\right)\cdot 199 + \left(107 a + 6\right)\cdot 199^{2} + \left(22 a + 155\right)\cdot 199^{3} + \left(96 a + 30\right)\cdot 199^{4} + \left(64 a + 180\right)\cdot 199^{5} + \left(26 a + 86\right)\cdot 199^{6} + \left(87 a + 180\right)\cdot 199^{7} + \left(11 a + 166\right)\cdot 199^{8} + \left(71 a + 31\right)\cdot 199^{9} + \left(54 a + 90\right)\cdot 199^{10} + \left(193 a + 66\right)\cdot 199^{11} + \left(74 a + 150\right)\cdot 199^{12} + \left(56 a + 165\right)\cdot 199^{13} + \left(142 a + 24\right)\cdot 199^{14} + \left(99 a + 146\right)\cdot 199^{15} + \left(122 a + 139\right)\cdot 199^{16} + \left(59 a + 161\right)\cdot 199^{17} + \left(136 a + 23\right)\cdot 199^{18} + \left(8 a + 51\right)\cdot 199^{19} + \left(142 a + 66\right)\cdot 199^{20} + \left(49 a + 70\right)\cdot 199^{21} + \left(11 a + 6\right)\cdot 199^{22} + \left(151 a + 116\right)\cdot 199^{23} + \left(173 a + 175\right)\cdot 199^{24} + \left(189 a + 172\right)\cdot 199^{25} + \left(84 a + 14\right)\cdot 199^{26} + \left(147 a + 59\right)\cdot 199^{27} + \left(120 a + 31\right)\cdot 199^{28} + \left(17 a + 125\right)\cdot 199^{29} + \left(13 a + 52\right)\cdot 199^{30} + \left(179 a + 149\right)\cdot 199^{31} + \left(147 a + 44\right)\cdot 199^{32} + \left(18 a + 40\right)\cdot 199^{33} + \left(37 a + 111\right)\cdot 199^{34} + \left(127 a + 15\right)\cdot 199^{35} + \left(11 a + 128\right)\cdot 199^{36} + \left(65 a + 178\right)\cdot 199^{37} + \left(183 a + 57\right)\cdot 199^{38} + \left(32 a + 135\right)\cdot 199^{39} + \left(20 a + 102\right)\cdot 199^{40} + \left(197 a + 103\right)\cdot 199^{41} + \left(23 a + 149\right)\cdot 199^{42} + \left(152 a + 162\right)\cdot 199^{43} + \left(121 a + 159\right)\cdot 199^{44} + \left(176 a + 151\right)\cdot 199^{45} + \left(38 a + 6\right)\cdot 199^{46} + \left(100 a + 174\right)\cdot 199^{47} + \left(6 a + 102\right)\cdot 199^{48} + \left(40 a + 123\right)\cdot 199^{49} + \left(190 a + 68\right)\cdot 199^{50} + \left(71 a + 99\right)\cdot 199^{51} + \left(40 a + 81\right)\cdot 199^{52} + \left(185 a + 111\right)\cdot 199^{53} + \left(47 a + 157\right)\cdot 199^{54} + \left(14 a + 70\right)\cdot 199^{55} + \left(7 a + 29\right)\cdot 199^{56} + \left(117 a + 96\right)\cdot 199^{57} + \left(22 a + 68\right)\cdot 199^{58} + \left(64 a + 146\right)\cdot 199^{59} + \left(85 a + 11\right)\cdot 199^{60} + \left(155 a + 15\right)\cdot 199^{61} + \left(178 a + 16\right)\cdot 199^{62} + \left(71 a + 40\right)\cdot 199^{63} + \left(164 a + 14\right)\cdot 199^{64} + \left(114 a + 94\right)\cdot 199^{65} + \left(5 a + 186\right)\cdot 199^{66} + \left(183 a + 155\right)\cdot 199^{67} + \left(166 a + 74\right)\cdot 199^{68} + \left(77 a + 169\right)\cdot 199^{69} +O\left(199^{ 70 }\right)$
$r_{ 2 }$ $=$ $ 173 a + 16 + \left(65 a + 98\right)\cdot 199 + \left(128 a + 90\right)\cdot 199^{2} + \left(175 a + 185\right)\cdot 199^{3} + \left(132 a + 194\right)\cdot 199^{4} + \left(173 a + 191\right)\cdot 199^{5} + \left(191 a + 66\right)\cdot 199^{6} + \left(141 a + 182\right)\cdot 199^{7} + \left(61 a + 130\right)\cdot 199^{8} + \left(34 a + 154\right)\cdot 199^{9} + \left(164 a + 102\right)\cdot 199^{10} + \left(113 a + 83\right)\cdot 199^{11} + \left(172 a + 109\right)\cdot 199^{12} + \left(4 a + 86\right)\cdot 199^{13} + \left(107 a + 197\right)\cdot 199^{14} + \left(150 a + 141\right)\cdot 199^{15} + \left(170 a + 85\right)\cdot 199^{16} + \left(48 a + 57\right)\cdot 199^{17} + \left(157 a + 35\right)\cdot 199^{18} + \left(184 a + 17\right)\cdot 199^{19} + \left(164 a + 91\right)\cdot 199^{20} + \left(169 a + 79\right)\cdot 199^{21} + \left(26 a + 47\right)\cdot 199^{22} + \left(148 a + 16\right)\cdot 199^{23} + \left(118 a + 98\right)\cdot 199^{24} + \left(19 a + 5\right)\cdot 199^{25} + \left(18 a + 34\right)\cdot 199^{26} + \left(86 a + 59\right)\cdot 199^{27} + \left(88 a + 8\right)\cdot 199^{28} + \left(112 a + 159\right)\cdot 199^{29} + \left(17 a + 85\right)\cdot 199^{30} + \left(81 a + 44\right)\cdot 199^{31} + \left(65 a + 49\right)\cdot 199^{32} + \left(28 a + 152\right)\cdot 199^{33} + \left(a + 173\right)\cdot 199^{34} + \left(33 a + 105\right)\cdot 199^{35} + \left(59 a + 69\right)\cdot 199^{36} + \left(139 a + 101\right)\cdot 199^{37} + \left(106 a + 182\right)\cdot 199^{38} + \left(80 a + 147\right)\cdot 199^{39} + \left(90 a + 31\right)\cdot 199^{40} + \left(118 a + 139\right)\cdot 199^{41} + \left(133 a + 126\right)\cdot 199^{42} + \left(158 a + 123\right)\cdot 199^{43} + \left(190 a + 116\right)\cdot 199^{44} + \left(115 a + 195\right)\cdot 199^{45} + \left(87 a + 54\right)\cdot 199^{46} + \left(18 a + 130\right)\cdot 199^{47} + 108\cdot 199^{48} + \left(168 a + 45\right)\cdot 199^{49} + \left(37 a + 24\right)\cdot 199^{50} + \left(142 a + 45\right)\cdot 199^{51} + \left(10 a + 118\right)\cdot 199^{52} + \left(53 a + 21\right)\cdot 199^{53} + \left(77 a + 54\right)\cdot 199^{54} + \left(111 a + 127\right)\cdot 199^{55} + \left(36 a + 72\right)\cdot 199^{56} + \left(78 a + 161\right)\cdot 199^{57} + \left(76 a + 58\right)\cdot 199^{58} + 99\cdot 199^{59} + \left(171 a + 159\right)\cdot 199^{60} + \left(100 a + 99\right)\cdot 199^{61} + \left(17 a + 34\right)\cdot 199^{62} + \left(133 a + 94\right)\cdot 199^{63} + \left(29 a + 112\right)\cdot 199^{64} + \left(84 a + 128\right)\cdot 199^{65} + \left(22 a + 34\right)\cdot 199^{66} + \left(47 a + 131\right)\cdot 199^{67} + \left(111 a + 87\right)\cdot 199^{68} + \left(104 a + 37\right)\cdot 199^{69} +O\left(199^{ 70 }\right)$
$r_{ 3 }$ $=$ $ 26 a + 59 + \left(133 a + 121\right)\cdot 199 + \left(70 a + 197\right)\cdot 199^{2} + \left(23 a + 115\right)\cdot 199^{3} + \left(66 a + 20\right)\cdot 199^{4} + \left(25 a + 106\right)\cdot 199^{5} + \left(7 a + 49\right)\cdot 199^{6} + \left(57 a + 46\right)\cdot 199^{7} + \left(137 a + 160\right)\cdot 199^{8} + \left(164 a + 99\right)\cdot 199^{9} + \left(34 a + 58\right)\cdot 199^{10} + \left(85 a + 5\right)\cdot 199^{11} + \left(26 a + 36\right)\cdot 199^{12} + \left(194 a + 142\right)\cdot 199^{13} + \left(91 a + 38\right)\cdot 199^{14} + \left(48 a + 142\right)\cdot 199^{15} + \left(28 a + 163\right)\cdot 199^{16} + \left(150 a + 179\right)\cdot 199^{17} + \left(41 a + 133\right)\cdot 199^{18} + \left(14 a + 172\right)\cdot 199^{19} + \left(34 a + 99\right)\cdot 199^{20} + \left(29 a + 137\right)\cdot 199^{21} + \left(172 a + 38\right)\cdot 199^{22} + \left(50 a + 82\right)\cdot 199^{23} + \left(80 a + 65\right)\cdot 199^{24} + \left(179 a + 4\right)\cdot 199^{25} + \left(180 a + 123\right)\cdot 199^{26} + \left(112 a + 159\right)\cdot 199^{27} + \left(110 a + 54\right)\cdot 199^{28} + \left(86 a + 148\right)\cdot 199^{29} + \left(181 a + 78\right)\cdot 199^{30} + \left(117 a + 115\right)\cdot 199^{31} + \left(133 a + 161\right)\cdot 199^{32} + \left(170 a + 57\right)\cdot 199^{33} + \left(197 a + 152\right)\cdot 199^{34} + \left(165 a + 103\right)\cdot 199^{35} + \left(139 a + 192\right)\cdot 199^{36} + \left(59 a + 81\right)\cdot 199^{37} + \left(92 a + 86\right)\cdot 199^{38} + \left(118 a + 126\right)\cdot 199^{39} + \left(108 a + 95\right)\cdot 199^{40} + \left(80 a + 162\right)\cdot 199^{41} + \left(65 a + 13\right)\cdot 199^{42} + \left(40 a + 146\right)\cdot 199^{43} + \left(8 a + 107\right)\cdot 199^{44} + \left(83 a + 103\right)\cdot 199^{45} + \left(111 a + 66\right)\cdot 199^{46} + \left(180 a + 153\right)\cdot 199^{47} + \left(198 a + 90\right)\cdot 199^{48} + \left(30 a + 58\right)\cdot 199^{49} + \left(161 a + 83\right)\cdot 199^{50} + \left(56 a + 64\right)\cdot 199^{51} + \left(188 a + 40\right)\cdot 199^{52} + \left(145 a + 130\right)\cdot 199^{53} + \left(121 a + 66\right)\cdot 199^{54} + \left(87 a + 121\right)\cdot 199^{55} + \left(162 a + 180\right)\cdot 199^{56} + \left(120 a + 195\right)\cdot 199^{57} + \left(122 a + 40\right)\cdot 199^{58} + \left(198 a + 25\right)\cdot 199^{59} + \left(27 a + 190\right)\cdot 199^{60} + \left(98 a + 135\right)\cdot 199^{61} + \left(181 a + 38\right)\cdot 199^{62} + \left(65 a + 79\right)\cdot 199^{63} + \left(169 a + 157\right)\cdot 199^{64} + \left(114 a + 6\right)\cdot 199^{65} + \left(176 a + 85\right)\cdot 199^{66} + \left(151 a + 192\right)\cdot 199^{67} + \left(87 a + 110\right)\cdot 199^{68} + \left(94 a + 155\right)\cdot 199^{69} +O\left(199^{ 70 }\right)$
$r_{ 4 }$ $=$ $ 168 + 55\cdot 199 + 84\cdot 199^{2} + 135\cdot 199^{3} + 33\cdot 199^{4} + 47\cdot 199^{5} + 138\cdot 199^{6} + 38\cdot 199^{7} + 11\cdot 199^{8} + 102\cdot 199^{9} + 102\cdot 199^{10} + 192\cdot 199^{11} + 6\cdot 199^{12} + 117\cdot 199^{13} + 123\cdot 199^{14} + 89\cdot 199^{15} + 113\cdot 199^{16} + 113\cdot 199^{17} + 150\cdot 199^{18} + 154\cdot 199^{19} + 32\cdot 199^{20} + 192\cdot 199^{21} + 100\cdot 199^{22} + 164\cdot 199^{23} + 47\cdot 199^{24} + 186\cdot 199^{25} + 2\cdot 199^{26} + 58\cdot 199^{27} + 170\cdot 199^{28} + 110\cdot 199^{29} + 170\cdot 199^{30} + 106\cdot 199^{31} + 101\cdot 199^{32} + 128\cdot 199^{33} + 69\cdot 199^{34} + 135\cdot 199^{35} + 131\cdot 199^{36} + 42\cdot 199^{37} + 43\cdot 199^{38} + 121\cdot 199^{39} + 98\cdot 199^{40} + 76\cdot 199^{41} + 116\cdot 199^{42} + 195\cdot 199^{43} + 160\cdot 199^{44} + 89\cdot 199^{45} + 84\cdot 199^{46} + 199^{47} + 53\cdot 199^{48} + 168\cdot 199^{49} + 27\cdot 199^{50} + 73\cdot 199^{51} + 117\cdot 199^{52} + 102\cdot 199^{53} + 103\cdot 199^{54} + 187\cdot 199^{55} + 155\cdot 199^{56} + 131\cdot 199^{57} + 112\cdot 199^{58} + 30\cdot 199^{59} + 148\cdot 199^{60} + 156\cdot 199^{61} + 152\cdot 199^{62} + 68\cdot 199^{63} + 85\cdot 199^{64} + 15\cdot 199^{65} + 44\cdot 199^{66} + 149\cdot 199^{67} + 154\cdot 199^{68} + 150\cdot 199^{69} +O\left(199^{ 70 }\right)$
$r_{ 5 }$ $=$ $ 86 a + 3 + \left(26 a + 53\right)\cdot 199 + \left(166 a + 67\right)\cdot 199^{2} + \left(141 a + 4\right)\cdot 199^{3} + \left(153 a + 99\right)\cdot 199^{4} + \left(162 a + 36\right)\cdot 199^{5} + \left(96 a + 31\right)\cdot 199^{6} + \left(150 a + 179\right)\cdot 199^{7} + \left(153 a + 164\right)\cdot 199^{8} + \left(108 a + 120\right)\cdot 199^{9} + \left(144 a + 37\right)\cdot 199^{10} + \left(47 a + 183\right)\cdot 199^{11} + \left(75 a + 23\right)\cdot 199^{12} + \left(185 a + 163\right)\cdot 199^{13} + \left(188 a + 4\right)\cdot 199^{14} + \left(69 a + 41\right)\cdot 199^{15} + \left(197 a + 114\right)\cdot 199^{16} + \left(110 a + 144\right)\cdot 199^{17} + \left(55 a + 102\right)\cdot 199^{18} + \left(26 a + 152\right)\cdot 199^{19} + \left(172 a + 97\right)\cdot 199^{20} + \left(156 a + 4\right)\cdot 199^{21} + \left(146 a + 192\right)\cdot 199^{22} + \left(30 a + 130\right)\cdot 199^{23} + \left(187 a + 68\right)\cdot 199^{24} + \left(98 a + 90\right)\cdot 199^{25} + \left(176 a + 38\right)\cdot 199^{26} + \left(52 a + 19\right)\cdot 199^{27} + \left(20 a + 133\right)\cdot 199^{28} + \left(129 a + 165\right)\cdot 199^{29} + \left(92 a + 2\right)\cdot 199^{30} + \left(81 a + 120\right)\cdot 199^{31} + \left(128 a + 47\right)\cdot 199^{32} + \left(150 a + 104\right)\cdot 199^{33} + \left(99 a + 110\right)\cdot 199^{34} + \left(74 a + 119\right)\cdot 199^{35} + \left(136 a + 193\right)\cdot 199^{36} + \left(179 a + 133\right)\cdot 199^{37} + \left(118 a + 195\right)\cdot 199^{38} + \left(44 a + 86\right)\cdot 199^{39} + \left(198 a + 60\right)\cdot 199^{40} + \left(2 a + 138\right)\cdot 199^{41} + \left(66 a + 31\right)\cdot 199^{42} + \left(183 a + 144\right)\cdot 199^{43} + \left(110 a + 44\right)\cdot 199^{44} + \left(147 a + 60\right)\cdot 199^{45} + \left(154 a + 46\right)\cdot 199^{46} + \left(167 a + 29\right)\cdot 199^{47} + \left(28 a + 196\right)\cdot 199^{48} + \left(136 a + 150\right)\cdot 199^{49} + \left(150 a + 59\right)\cdot 199^{50} + \left(134 a + 14\right)\cdot 199^{51} + \left(12 a + 149\right)\cdot 199^{52} + \left(133 a + 28\right)\cdot 199^{53} + \left(99 a + 105\right)\cdot 199^{54} + \left(151 a + 167\right)\cdot 199^{55} + \left(38 a + 31\right)\cdot 199^{56} + \left(45 a + 103\right)\cdot 199^{57} + \left(124 a + 97\right)\cdot 199^{58} + \left(12 a + 61\right)\cdot 199^{59} + \left(102 a + 122\right)\cdot 199^{60} + \left(174 a + 6\right)\cdot 199^{61} + \left(151 a + 192\right)\cdot 199^{62} + \left(160 a + 103\right)\cdot 199^{63} + \left(179 a + 102\right)\cdot 199^{64} + \left(86 a + 159\right)\cdot 199^{65} + \left(170 a + 168\right)\cdot 199^{66} + \left(75 a + 93\right)\cdot 199^{67} + \left(161 a + 51\right)\cdot 199^{68} + \left(67 a + 79\right)\cdot 199^{69} +O\left(199^{ 70 }\right)$
$r_{ 6 }$ $=$ $ 172 + 33\cdot 199 + 43\cdot 199^{2} + 124\cdot 199^{3} + 146\cdot 199^{4} + 97\cdot 199^{5} + 191\cdot 199^{6} + 98\cdot 199^{7} + 71\cdot 199^{8} + 16\cdot 199^{9} + 59\cdot 199^{10} + 161\cdot 199^{11} + 32\cdot 199^{12} + 84\cdot 199^{13} + 24\cdot 199^{14} + 157\cdot 199^{15} + 165\cdot 199^{16} + 123\cdot 199^{17} + 38\cdot 199^{18} + 26\cdot 199^{19} + 185\cdot 199^{20} + 107\cdot 199^{21} + 67\cdot 199^{22} + 101\cdot 199^{23} + 102\cdot 199^{24} + 94\cdot 199^{25} + 45\cdot 199^{26} + 19\cdot 199^{27} + 185\cdot 199^{28} + 51\cdot 199^{29} + 61\cdot 199^{30} + 125\cdot 199^{31} + 95\cdot 199^{32} + 25\cdot 199^{33} + 101\cdot 199^{34} + 102\cdot 199^{35} + 67\cdot 199^{36} + 17\cdot 199^{37} + 191\cdot 199^{39} + 5\cdot 199^{40} + 146\cdot 199^{41} + 35\cdot 199^{42} + 182\cdot 199^{43} + 134\cdot 199^{44} + 61\cdot 199^{45} + 44\cdot 199^{46} + 83\cdot 199^{47} + 199^{48} + 147\cdot 199^{49} + 126\cdot 199^{50} + 83\cdot 199^{51} + 146\cdot 199^{52} + 195\cdot 199^{53} + 75\cdot 199^{54} + 31\cdot 199^{55} + 155\cdot 199^{56} + 174\cdot 199^{57} + 129\cdot 199^{58} + 110\cdot 199^{59} + 176\cdot 199^{60} + 159\cdot 199^{61} + 91\cdot 199^{62} + 195\cdot 199^{63} + 165\cdot 199^{64} + 67\cdot 199^{65} + 62\cdot 199^{66} + 38\cdot 199^{67} + 71\cdot 199^{68} + 6\cdot 199^{69} +O\left(199^{ 70 }\right)$
$r_{ 7 }$ $=$ $ 161 a + 143 + \left(6 a + 114\right)\cdot 199 + \left(91 a + 64\right)\cdot 199^{2} + \left(176 a + 182\right)\cdot 199^{3} + \left(102 a + 186\right)\cdot 199^{4} + \left(134 a + 72\right)\cdot 199^{5} + \left(172 a + 180\right)\cdot 199^{6} + \left(111 a + 79\right)\cdot 199^{7} + \left(187 a + 148\right)\cdot 199^{8} + \left(127 a + 48\right)\cdot 199^{9} + \left(144 a + 146\right)\cdot 199^{10} + \left(5 a + 176\right)\cdot 199^{11} + \left(124 a + 8\right)\cdot 199^{12} + \left(142 a + 31\right)\cdot 199^{13} + \left(56 a + 26\right)\cdot 199^{14} + \left(99 a + 5\right)\cdot 199^{15} + \left(76 a + 178\right)\cdot 199^{16} + \left(139 a + 197\right)\cdot 199^{17} + \left(62 a + 184\right)\cdot 199^{18} + \left(190 a + 165\right)\cdot 199^{19} + \left(56 a + 113\right)\cdot 199^{20} + \left(149 a + 27\right)\cdot 199^{21} + \left(187 a + 24\right)\cdot 199^{22} + \left(47 a + 16\right)\cdot 199^{23} + \left(25 a + 72\right)\cdot 199^{24} + \left(9 a + 143\right)\cdot 199^{25} + \left(114 a + 135\right)\cdot 199^{26} + \left(51 a + 62\right)\cdot 199^{27} + \left(78 a + 11\right)\cdot 199^{28} + \left(181 a + 110\right)\cdot 199^{29} + \left(185 a + 113\right)\cdot 199^{30} + \left(19 a + 16\right)\cdot 199^{31} + \left(51 a + 156\right)\cdot 199^{32} + \left(180 a + 4\right)\cdot 199^{33} + \left(161 a + 116\right)\cdot 199^{34} + \left(71 a + 144\right)\cdot 199^{35} + \left(187 a + 70\right)\cdot 199^{36} + \left(133 a + 159\right)\cdot 199^{37} + \left(15 a + 97\right)\cdot 199^{38} + \left(166 a + 149\right)\cdot 199^{39} + \left(178 a + 190\right)\cdot 199^{40} + \left(a + 71\right)\cdot 199^{41} + \left(175 a + 96\right)\cdot 199^{42} + \left(46 a + 56\right)\cdot 199^{43} + \left(77 a + 141\right)\cdot 199^{44} + \left(22 a + 94\right)\cdot 199^{45} + \left(160 a + 63\right)\cdot 199^{46} + \left(98 a + 139\right)\cdot 199^{47} + \left(192 a + 41\right)\cdot 199^{48} + \left(158 a + 158\right)\cdot 199^{49} + \left(8 a + 174\right)\cdot 199^{50} + \left(127 a + 141\right)\cdot 199^{51} + \left(158 a + 52\right)\cdot 199^{52} + \left(13 a + 187\right)\cdot 199^{53} + \left(151 a + 60\right)\cdot 199^{54} + \left(184 a + 108\right)\cdot 199^{55} + \left(191 a + 57\right)\cdot 199^{56} + \left(81 a + 194\right)\cdot 199^{57} + \left(176 a + 86\right)\cdot 199^{58} + \left(134 a + 110\right)\cdot 199^{59} + \left(113 a + 61\right)\cdot 199^{60} + \left(43 a + 66\right)\cdot 199^{61} + \left(20 a + 137\right)\cdot 199^{62} + \left(127 a + 93\right)\cdot 199^{63} + \left(34 a + 132\right)\cdot 199^{64} + \left(84 a + 21\right)\cdot 199^{65} + \left(193 a + 105\right)\cdot 199^{66} + \left(15 a + 54\right)\cdot 199^{67} + \left(32 a + 97\right)\cdot 199^{68} + \left(121 a + 71\right)\cdot 199^{69} +O\left(199^{ 70 }\right)$
$r_{ 8 }$ $=$ $ 113 a + 121 + \left(172 a + 125\right)\cdot 199 + \left(32 a + 42\right)\cdot 199^{2} + \left(57 a + 92\right)\cdot 199^{3} + \left(45 a + 83\right)\cdot 199^{4} + \left(36 a + 63\right)\cdot 199^{5} + \left(102 a + 51\right)\cdot 199^{6} + \left(48 a + 189\right)\cdot 199^{7} + \left(45 a + 140\right)\cdot 199^{8} + \left(90 a + 22\right)\cdot 199^{9} + 54 a\cdot 199^{10} + \left(151 a + 126\right)\cdot 199^{11} + \left(123 a + 29\right)\cdot 199^{12} + \left(13 a + 6\right)\cdot 199^{13} + \left(10 a + 157\right)\cdot 199^{14} + \left(129 a + 72\right)\cdot 199^{15} + \left(a + 34\right)\cdot 199^{16} + \left(88 a + 16\right)\cdot 199^{17} + \left(143 a + 126\right)\cdot 199^{18} + \left(172 a + 55\right)\cdot 199^{19} + \left(26 a + 109\right)\cdot 199^{20} + \left(42 a + 176\right)\cdot 199^{21} + \left(52 a + 119\right)\cdot 199^{22} + \left(168 a + 168\right)\cdot 199^{23} + \left(11 a + 165\right)\cdot 199^{24} + \left(100 a + 98\right)\cdot 199^{25} + \left(22 a + 3\right)\cdot 199^{26} + \left(146 a + 160\right)\cdot 199^{27} + \left(178 a + 2\right)\cdot 199^{28} + \left(69 a + 124\right)\cdot 199^{29} + \left(106 a + 31\right)\cdot 199^{30} + \left(117 a + 118\right)\cdot 199^{31} + \left(70 a + 139\right)\cdot 199^{32} + \left(48 a + 83\right)\cdot 199^{33} + \left(99 a + 160\right)\cdot 199^{34} + \left(124 a + 68\right)\cdot 199^{35} + \left(62 a + 141\right)\cdot 199^{36} + \left(19 a + 80\right)\cdot 199^{37} + \left(80 a + 132\right)\cdot 199^{38} + \left(154 a + 36\right)\cdot 199^{39} + 11\cdot 199^{40} + \left(196 a + 157\right)\cdot 199^{41} + \left(132 a + 26\right)\cdot 199^{42} + \left(15 a + 183\right)\cdot 199^{43} + \left(88 a + 128\right)\cdot 199^{44} + \left(51 a + 38\right)\cdot 199^{45} + \left(44 a + 31\right)\cdot 199^{46} + \left(31 a + 85\right)\cdot 199^{47} + \left(170 a + 2\right)\cdot 199^{48} + \left(62 a + 143\right)\cdot 199^{49} + \left(48 a + 31\right)\cdot 199^{50} + \left(64 a + 75\right)\cdot 199^{51} + \left(186 a + 90\right)\cdot 199^{52} + \left(65 a + 18\right)\cdot 199^{53} + \left(99 a + 172\right)\cdot 199^{54} + \left(47 a + 180\right)\cdot 199^{55} + \left(160 a + 112\right)\cdot 199^{56} + \left(153 a + 136\right)\cdot 199^{57} + \left(74 a + 1\right)\cdot 199^{58} + \left(186 a + 13\right)\cdot 199^{59} + \left(96 a + 125\right)\cdot 199^{60} + \left(24 a + 155\right)\cdot 199^{61} + \left(47 a + 132\right)\cdot 199^{62} + \left(38 a + 120\right)\cdot 199^{63} + \left(19 a + 25\right)\cdot 199^{64} + \left(112 a + 103\right)\cdot 199^{65} + \left(28 a + 109\right)\cdot 199^{66} + \left(123 a + 179\right)\cdot 199^{67} + \left(37 a + 147\right)\cdot 199^{68} + \left(131 a + 125\right)\cdot 199^{69} +O\left(199^{ 70 }\right)$

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 8 }$

Cycle notation
$(1,2)(3,4)(5,6)(7,8)$
$(2,3)$
$(2,3,5,8)$

Character values on conjugacy classes

SizeOrderAction on $r_1, \ldots, r_{ 8 }$ Character value
$1$$1$$()$$9$
$6$$2$$(1,6)(4,7)$$-3$
$9$$2$$(1,6)(2,5)(3,8)(4,7)$$1$
$12$$2$$(2,3)$$3$
$24$$2$$(1,2)(3,4)(5,6)(7,8)$$3$
$36$$2$$(1,4)(2,3)$$1$
$36$$2$$(1,6)(2,3)(4,7)$$-1$
$16$$3$$(2,5,8)$$0$
$64$$3$$(2,5,8)(4,6,7)$$0$
$12$$4$$(1,4,6,7)$$-3$
$36$$4$$(1,4,6,7)(2,3,5,8)$$1$
$36$$4$$(1,6)(2,3,5,8)(4,7)$$1$
$72$$4$$(1,5,6,2)(3,4,8,7)$$-1$
$72$$4$$(1,4,6,7)(2,3)$$-1$
$144$$4$$(1,2,4,3)(5,6)(7,8)$$1$
$48$$6$$(1,6)(2,8,5)(4,7)$$0$
$96$$6$$(2,3)(4,7,6)$$0$
$192$$6$$(1,3)(2,4,5,6,8,7)$$0$
$144$$8$$(1,3,4,5,6,8,7,2)$$-1$
$96$$12$$(1,4,6,7)(2,5,8)$$0$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.