# Properties

 Label 9.877897859072.16t1294.a.a Dimension 9 Group $S_4\wr C_2$ Conductor $2^{14} \cdot 13^{3} \cdot 29^{3}$ Root number 1 Frobenius-Schur indicator 1

# Related objects

## Basic invariants

 Dimension: $9$ Group: $S_4\wr C_2$ Conductor: $877897859072= 2^{14} \cdot 13^{3} \cdot 29^{3}$ Artin number field: Splitting field of 8.2.1292841769024.2 defined by $f= x^{8} + 4 x^{6} - 38 x^{5} + 25 x^{4} - 76 x^{3} + 26 x^{2} - 22 x + 16$ over $\Q$ Size of Galois orbit: 1 Smallest containing permutation representation: 16T1294 Parity: Odd Determinant: 1.1508.2t1.a.a Projective image: $S_4\wr C_2$ Projective field: Galois closure of 8.2.1292841769024.2

## Galois action

### Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 47 }$ to precision 125.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 47 }$: $x^{2} + 45 x + 5$
Roots:
 $r_{ 1 }$ $=$ $14 a + 2 + \left(21 a + 12\right)\cdot 47 + \left(3 a + 16\right)\cdot 47^{2} + \left(13 a + 31\right)\cdot 47^{3} + \left(45 a + 20\right)\cdot 47^{4} + \left(35 a + 38\right)\cdot 47^{5} + \left(39 a + 36\right)\cdot 47^{6} + \left(12 a + 8\right)\cdot 47^{7} + \left(41 a + 8\right)\cdot 47^{8} + \left(43 a + 10\right)\cdot 47^{9} + \left(25 a + 4\right)\cdot 47^{10} + \left(10 a + 38\right)\cdot 47^{11} + \left(14 a + 2\right)\cdot 47^{12} + \left(40 a + 20\right)\cdot 47^{13} + \left(42 a + 4\right)\cdot 47^{14} + \left(5 a + 22\right)\cdot 47^{15} + \left(32 a + 43\right)\cdot 47^{16} + 5\cdot 47^{17} + \left(13 a + 30\right)\cdot 47^{18} + \left(7 a + 40\right)\cdot 47^{19} + \left(3 a + 20\right)\cdot 47^{20} + \left(12 a + 46\right)\cdot 47^{21} + \left(36 a + 41\right)\cdot 47^{22} + \left(25 a + 10\right)\cdot 47^{23} + \left(38 a + 19\right)\cdot 47^{24} + \left(25 a + 8\right)\cdot 47^{25} + \left(11 a + 15\right)\cdot 47^{26} + \left(45 a + 20\right)\cdot 47^{27} + \left(16 a + 16\right)\cdot 47^{28} + \left(13 a + 1\right)\cdot 47^{29} + \left(7 a + 43\right)\cdot 47^{30} + \left(15 a + 7\right)\cdot 47^{31} + \left(29 a + 21\right)\cdot 47^{32} + 2 a\cdot 47^{33} + \left(34 a + 16\right)\cdot 47^{34} + \left(4 a + 12\right)\cdot 47^{35} + \left(31 a + 31\right)\cdot 47^{36} + \left(10 a + 25\right)\cdot 47^{37} + \left(46 a + 21\right)\cdot 47^{38} + \left(13 a + 25\right)\cdot 47^{39} + \left(14 a + 15\right)\cdot 47^{40} + \left(26 a + 5\right)\cdot 47^{41} + \left(43 a + 24\right)\cdot 47^{42} + \left(32 a + 19\right)\cdot 47^{43} + \left(35 a + 32\right)\cdot 47^{44} + \left(25 a + 27\right)\cdot 47^{45} + \left(17 a + 22\right)\cdot 47^{46} + \left(21 a + 46\right)\cdot 47^{47} + \left(14 a + 4\right)\cdot 47^{48} + \left(35 a + 39\right)\cdot 47^{49} + \left(35 a + 46\right)\cdot 47^{50} + \left(23 a + 35\right)\cdot 47^{51} + \left(32 a + 13\right)\cdot 47^{52} + \left(7 a + 36\right)\cdot 47^{53} + \left(4 a + 44\right)\cdot 47^{54} + \left(45 a + 35\right)\cdot 47^{55} + \left(17 a + 6\right)\cdot 47^{56} + \left(44 a + 30\right)\cdot 47^{57} + \left(34 a + 27\right)\cdot 47^{58} + \left(17 a + 10\right)\cdot 47^{59} + \left(2 a + 11\right)\cdot 47^{60} + \left(9 a + 8\right)\cdot 47^{61} + \left(3 a + 39\right)\cdot 47^{62} + \left(4 a + 12\right)\cdot 47^{63} + \left(46 a + 24\right)\cdot 47^{64} + \left(10 a + 35\right)\cdot 47^{65} + \left(38 a + 18\right)\cdot 47^{66} + \left(33 a + 13\right)\cdot 47^{67} + \left(12 a + 44\right)\cdot 47^{68} + \left(3 a + 26\right)\cdot 47^{69} + \left(43 a + 30\right)\cdot 47^{70} + \left(3 a + 11\right)\cdot 47^{71} + \left(15 a + 33\right)\cdot 47^{72} + \left(42 a + 17\right)\cdot 47^{73} + \left(31 a + 36\right)\cdot 47^{74} + \left(29 a + 21\right)\cdot 47^{75} + \left(24 a + 33\right)\cdot 47^{76} + \left(2 a + 19\right)\cdot 47^{77} + \left(5 a + 44\right)\cdot 47^{78} + \left(36 a + 33\right)\cdot 47^{79} + \left(9 a + 40\right)\cdot 47^{80} + \left(16 a + 10\right)\cdot 47^{81} + \left(5 a + 42\right)\cdot 47^{82} + \left(25 a + 15\right)\cdot 47^{83} + \left(44 a + 16\right)\cdot 47^{84} + \left(9 a + 27\right)\cdot 47^{85} + \left(23 a + 16\right)\cdot 47^{86} + \left(24 a + 20\right)\cdot 47^{87} + \left(a + 20\right)\cdot 47^{88} + \left(36 a + 17\right)\cdot 47^{89} + \left(17 a + 34\right)\cdot 47^{90} + \left(43 a + 14\right)\cdot 47^{91} + \left(28 a + 13\right)\cdot 47^{92} + \left(5 a + 1\right)\cdot 47^{93} + 29 a\cdot 47^{94} + \left(42 a + 25\right)\cdot 47^{95} + \left(8 a + 28\right)\cdot 47^{96} + \left(6 a + 2\right)\cdot 47^{97} + \left(13 a + 4\right)\cdot 47^{98} + \left(29 a + 46\right)\cdot 47^{99} + \left(28 a + 32\right)\cdot 47^{100} + \left(24 a + 4\right)\cdot 47^{101} + \left(24 a + 21\right)\cdot 47^{102} + \left(19 a + 28\right)\cdot 47^{103} + \left(4 a + 8\right)\cdot 47^{104} + \left(2 a + 25\right)\cdot 47^{105} + \left(18 a + 40\right)\cdot 47^{106} + \left(4 a + 8\right)\cdot 47^{107} + \left(5 a + 32\right)\cdot 47^{108} + \left(32 a + 27\right)\cdot 47^{109} + \left(14 a + 2\right)\cdot 47^{110} + \left(a + 7\right)\cdot 47^{111} + \left(5 a + 43\right)\cdot 47^{112} + \left(9 a + 2\right)\cdot 47^{113} + \left(8 a + 37\right)\cdot 47^{114} + \left(46 a + 5\right)\cdot 47^{115} + \left(41 a + 37\right)\cdot 47^{116} + \left(29 a + 29\right)\cdot 47^{117} + \left(41 a + 4\right)\cdot 47^{118} + \left(37 a + 5\right)\cdot 47^{119} + \left(41 a + 3\right)\cdot 47^{120} + \left(10 a + 28\right)\cdot 47^{121} + \left(17 a + 42\right)\cdot 47^{122} + \left(25 a + 37\right)\cdot 47^{123} + \left(2 a + 2\right)\cdot 47^{124} +O\left(47^{ 125 }\right)$ $r_{ 2 }$ $=$ $10 + 40\cdot 47 + 25\cdot 47^{2} + 20\cdot 47^{3} + 34\cdot 47^{4} + 6\cdot 47^{5} + 42\cdot 47^{6} + 27\cdot 47^{7} + 27\cdot 47^{8} + 29\cdot 47^{9} + 12\cdot 47^{10} + 33\cdot 47^{11} + 38\cdot 47^{12} + 9\cdot 47^{13} + 32\cdot 47^{14} + 24\cdot 47^{15} + 7\cdot 47^{16} + 15\cdot 47^{17} + 15\cdot 47^{18} + 7\cdot 47^{19} + 3\cdot 47^{20} + 29\cdot 47^{21} + 15\cdot 47^{22} + 43\cdot 47^{23} + 42\cdot 47^{24} + 17\cdot 47^{25} + 6\cdot 47^{26} + 23\cdot 47^{27} + 12\cdot 47^{28} + 2\cdot 47^{29} + 12\cdot 47^{30} + 13\cdot 47^{31} + 20\cdot 47^{32} + 32\cdot 47^{33} + 43\cdot 47^{34} + 2\cdot 47^{35} + 36\cdot 47^{36} + 17\cdot 47^{37} + 16\cdot 47^{38} + 24\cdot 47^{39} + 7\cdot 47^{40} + 17\cdot 47^{41} + 3\cdot 47^{42} + 34\cdot 47^{43} + 47^{44} + 30\cdot 47^{45} + 5\cdot 47^{46} + 26\cdot 47^{47} + 2\cdot 47^{48} + 40\cdot 47^{49} + 43\cdot 47^{50} + 45\cdot 47^{51} + 7\cdot 47^{52} + 22\cdot 47^{53} + 33\cdot 47^{54} + 15\cdot 47^{55} + 47^{56} + 22\cdot 47^{57} + 25\cdot 47^{58} + 45\cdot 47^{59} + 8\cdot 47^{60} + 42\cdot 47^{61} + 27\cdot 47^{62} + 18\cdot 47^{63} + 34\cdot 47^{64} + 39\cdot 47^{65} + 28\cdot 47^{66} + 44\cdot 47^{67} + 38\cdot 47^{68} + 45\cdot 47^{69} + 45\cdot 47^{70} + 36\cdot 47^{71} + 4\cdot 47^{72} + 43\cdot 47^{73} + 40\cdot 47^{74} + 47^{75} + 13\cdot 47^{76} + 3\cdot 47^{77} + 18\cdot 47^{78} + 24\cdot 47^{79} + 22\cdot 47^{80} + 31\cdot 47^{81} + 41\cdot 47^{82} + 31\cdot 47^{83} + 4\cdot 47^{84} + 21\cdot 47^{85} + 28\cdot 47^{86} + 44\cdot 47^{87} + 11\cdot 47^{88} + 10\cdot 47^{89} + 32\cdot 47^{90} + 36\cdot 47^{91} + 24\cdot 47^{92} + 7\cdot 47^{93} + 5\cdot 47^{94} + 12\cdot 47^{95} + 33\cdot 47^{96} + 41\cdot 47^{97} + 34\cdot 47^{98} + 40\cdot 47^{99} + 18\cdot 47^{100} + 32\cdot 47^{101} + 33\cdot 47^{102} + 9\cdot 47^{103} + 28\cdot 47^{104} + 41\cdot 47^{105} + 33\cdot 47^{106} + 2\cdot 47^{107} + 42\cdot 47^{108} + 37\cdot 47^{109} + 6\cdot 47^{110} + 10\cdot 47^{111} + 42\cdot 47^{112} + 26\cdot 47^{113} + 11\cdot 47^{114} + 26\cdot 47^{115} + 23\cdot 47^{116} + 13\cdot 47^{117} + 40\cdot 47^{118} + 38\cdot 47^{119} + 25\cdot 47^{120} + 32\cdot 47^{121} + 25\cdot 47^{122} + 12\cdot 47^{123} + 29\cdot 47^{124} +O\left(47^{ 125 }\right)$ $r_{ 3 }$ $=$ $33 a + 30 + \left(25 a + 40\right)\cdot 47 + \left(43 a + 1\right)\cdot 47^{2} + \left(33 a + 7\right)\cdot 47^{3} + \left(a + 4\right)\cdot 47^{4} + \left(11 a + 18\right)\cdot 47^{5} + \left(7 a + 33\right)\cdot 47^{6} + \left(34 a + 41\right)\cdot 47^{7} + \left(5 a + 30\right)\cdot 47^{8} + \left(3 a + 9\right)\cdot 47^{9} + \left(21 a + 12\right)\cdot 47^{10} + \left(36 a + 33\right)\cdot 47^{11} + \left(32 a + 20\right)\cdot 47^{12} + \left(6 a + 39\right)\cdot 47^{13} + \left(4 a + 2\right)\cdot 47^{14} + \left(41 a + 38\right)\cdot 47^{15} + \left(14 a + 7\right)\cdot 47^{16} + \left(46 a + 22\right)\cdot 47^{17} + \left(33 a + 8\right)\cdot 47^{18} + \left(39 a + 42\right)\cdot 47^{19} + \left(43 a + 19\right)\cdot 47^{20} + \left(34 a + 20\right)\cdot 47^{21} + \left(10 a + 8\right)\cdot 47^{22} + \left(21 a + 26\right)\cdot 47^{23} + \left(8 a + 23\right)\cdot 47^{24} + \left(21 a + 21\right)\cdot 47^{25} + \left(35 a + 12\right)\cdot 47^{26} + \left(a + 5\right)\cdot 47^{27} + \left(30 a + 5\right)\cdot 47^{28} + \left(33 a + 11\right)\cdot 47^{29} + \left(39 a + 44\right)\cdot 47^{30} + \left(31 a + 30\right)\cdot 47^{31} + \left(17 a + 17\right)\cdot 47^{32} + \left(44 a + 23\right)\cdot 47^{33} + \left(12 a + 34\right)\cdot 47^{34} + \left(42 a + 34\right)\cdot 47^{35} + \left(15 a + 41\right)\cdot 47^{36} + \left(36 a + 15\right)\cdot 47^{37} + 9\cdot 47^{38} + \left(33 a + 7\right)\cdot 47^{39} + \left(32 a + 30\right)\cdot 47^{40} + \left(20 a + 43\right)\cdot 47^{41} + \left(3 a + 37\right)\cdot 47^{42} + \left(14 a + 41\right)\cdot 47^{43} + \left(11 a + 23\right)\cdot 47^{44} + \left(21 a + 43\right)\cdot 47^{45} + \left(29 a + 31\right)\cdot 47^{46} + \left(25 a + 24\right)\cdot 47^{47} + \left(32 a + 12\right)\cdot 47^{48} + \left(11 a + 1\right)\cdot 47^{49} + \left(11 a + 36\right)\cdot 47^{50} + 23 a\cdot 47^{51} + \left(14 a + 8\right)\cdot 47^{52} + \left(39 a + 19\right)\cdot 47^{53} + \left(42 a + 45\right)\cdot 47^{54} + \left(a + 27\right)\cdot 47^{55} + \left(29 a + 44\right)\cdot 47^{56} + \left(2 a + 6\right)\cdot 47^{57} + \left(12 a + 6\right)\cdot 47^{58} + \left(29 a + 11\right)\cdot 47^{59} + \left(44 a + 45\right)\cdot 47^{60} + \left(37 a + 23\right)\cdot 47^{61} + \left(43 a + 36\right)\cdot 47^{62} + \left(42 a + 17\right)\cdot 47^{63} + 18\cdot 47^{64} + \left(36 a + 11\right)\cdot 47^{65} + \left(8 a + 37\right)\cdot 47^{66} + \left(13 a + 42\right)\cdot 47^{67} + \left(34 a + 35\right)\cdot 47^{68} + \left(43 a + 20\right)\cdot 47^{69} + \left(3 a + 19\right)\cdot 47^{70} + \left(43 a + 23\right)\cdot 47^{71} + \left(31 a + 12\right)\cdot 47^{72} + \left(4 a + 40\right)\cdot 47^{73} + \left(15 a + 10\right)\cdot 47^{74} + \left(17 a + 2\right)\cdot 47^{75} + \left(22 a + 6\right)\cdot 47^{76} + 44 a\cdot 47^{77} + \left(41 a + 5\right)\cdot 47^{78} + \left(10 a + 7\right)\cdot 47^{79} + \left(37 a + 24\right)\cdot 47^{80} + \left(30 a + 33\right)\cdot 47^{81} + \left(41 a + 36\right)\cdot 47^{82} + \left(21 a + 13\right)\cdot 47^{83} + \left(2 a + 33\right)\cdot 47^{84} + \left(37 a + 2\right)\cdot 47^{85} + \left(23 a + 6\right)\cdot 47^{86} + \left(22 a + 46\right)\cdot 47^{87} + \left(45 a + 45\right)\cdot 47^{88} + \left(10 a + 40\right)\cdot 47^{89} + \left(29 a + 33\right)\cdot 47^{90} + \left(3 a + 36\right)\cdot 47^{91} + \left(18 a + 27\right)\cdot 47^{92} + \left(41 a + 30\right)\cdot 47^{93} + \left(17 a + 5\right)\cdot 47^{94} + \left(4 a + 34\right)\cdot 47^{95} + \left(38 a + 3\right)\cdot 47^{96} + \left(40 a + 6\right)\cdot 47^{97} + \left(33 a + 24\right)\cdot 47^{98} + \left(17 a + 44\right)\cdot 47^{99} + \left(18 a + 13\right)\cdot 47^{100} + \left(22 a + 25\right)\cdot 47^{101} + \left(22 a + 45\right)\cdot 47^{102} + \left(27 a + 42\right)\cdot 47^{103} + \left(42 a + 44\right)\cdot 47^{104} + \left(44 a + 24\right)\cdot 47^{105} + \left(28 a + 27\right)\cdot 47^{106} + \left(42 a + 46\right)\cdot 47^{107} + \left(41 a + 37\right)\cdot 47^{108} + \left(14 a + 39\right)\cdot 47^{109} + \left(32 a + 46\right)\cdot 47^{110} + \left(45 a + 41\right)\cdot 47^{111} + \left(41 a + 4\right)\cdot 47^{112} + \left(37 a + 16\right)\cdot 47^{113} + \left(38 a + 44\right)\cdot 47^{114} + 42\cdot 47^{115} + \left(5 a + 27\right)\cdot 47^{116} + 17 a\cdot 47^{117} + \left(5 a + 11\right)\cdot 47^{118} + \left(9 a + 39\right)\cdot 47^{119} + \left(5 a + 1\right)\cdot 47^{120} + \left(36 a + 8\right)\cdot 47^{121} + \left(29 a + 19\right)\cdot 47^{122} + \left(21 a + 24\right)\cdot 47^{123} + \left(44 a + 29\right)\cdot 47^{124} +O\left(47^{ 125 }\right)$ $r_{ 4 }$ $=$ $12 a + 19 + \left(41 a + 32\right)\cdot 47 + \left(40 a + 17\right)\cdot 47^{2} + \left(29 a + 18\right)\cdot 47^{3} + \left(41 a + 31\right)\cdot 47^{4} + \left(5 a + 33\right)\cdot 47^{5} + \left(37 a + 24\right)\cdot 47^{6} + \left(34 a + 5\right)\cdot 47^{7} + \left(19 a + 25\right)\cdot 47^{8} + \left(38 a + 8\right)\cdot 47^{9} + \left(4 a + 6\right)\cdot 47^{10} + \left(24 a + 13\right)\cdot 47^{11} + \left(42 a + 28\right)\cdot 47^{12} + \left(30 a + 7\right)\cdot 47^{13} + \left(46 a + 12\right)\cdot 47^{14} + \left(6 a + 33\right)\cdot 47^{15} + \left(16 a + 8\right)\cdot 47^{16} + \left(28 a + 36\right)\cdot 47^{17} + 17\cdot 47^{18} + \left(3 a + 26\right)\cdot 47^{19} + \left(5 a + 46\right)\cdot 47^{20} + \left(41 a + 21\right)\cdot 47^{21} + \left(22 a + 19\right)\cdot 47^{22} + \left(21 a + 18\right)\cdot 47^{23} + \left(a + 11\right)\cdot 47^{24} + \left(19 a + 37\right)\cdot 47^{25} + 18\cdot 47^{26} + \left(7 a + 27\right)\cdot 47^{27} + 39 a\cdot 47^{28} + \left(3 a + 33\right)\cdot 47^{29} + \left(17 a + 11\right)\cdot 47^{30} + \left(40 a + 19\right)\cdot 47^{31} + \left(2 a + 21\right)\cdot 47^{32} + \left(8 a + 28\right)\cdot 47^{33} + \left(38 a + 34\right)\cdot 47^{34} + \left(20 a + 21\right)\cdot 47^{35} + \left(7 a + 13\right)\cdot 47^{36} + \left(37 a + 16\right)\cdot 47^{37} + \left(10 a + 39\right)\cdot 47^{38} + \left(22 a + 13\right)\cdot 47^{39} + \left(33 a + 25\right)\cdot 47^{40} + \left(9 a + 29\right)\cdot 47^{41} + \left(17 a + 3\right)\cdot 47^{42} + \left(24 a + 24\right)\cdot 47^{43} + \left(43 a + 34\right)\cdot 47^{44} + \left(42 a + 13\right)\cdot 47^{45} + \left(30 a + 10\right)\cdot 47^{46} + \left(31 a + 42\right)\cdot 47^{47} + \left(35 a + 41\right)\cdot 47^{48} + \left(45 a + 45\right)\cdot 47^{49} + \left(2 a + 1\right)\cdot 47^{50} + \left(9 a + 21\right)\cdot 47^{51} + \left(9 a + 31\right)\cdot 47^{52} + \left(10 a + 13\right)\cdot 47^{53} + \left(6 a + 24\right)\cdot 47^{54} + \left(12 a + 29\right)\cdot 47^{55} + \left(43 a + 7\right)\cdot 47^{56} + \left(43 a + 6\right)\cdot 47^{57} + \left(17 a + 34\right)\cdot 47^{58} + \left(41 a + 3\right)\cdot 47^{59} + \left(2 a + 13\right)\cdot 47^{60} + \left(36 a + 43\right)\cdot 47^{61} + \left(27 a + 22\right)\cdot 47^{62} + \left(43 a + 25\right)\cdot 47^{63} + \left(10 a + 36\right)\cdot 47^{64} + \left(16 a + 12\right)\cdot 47^{65} + \left(32 a + 18\right)\cdot 47^{66} + \left(17 a + 17\right)\cdot 47^{67} + \left(31 a + 31\right)\cdot 47^{68} + \left(5 a + 9\right)\cdot 47^{69} + \left(12 a + 36\right)\cdot 47^{70} + \left(30 a + 28\right)\cdot 47^{71} + \left(20 a + 18\right)\cdot 47^{72} + \left(38 a + 13\right)\cdot 47^{73} + \left(31 a + 34\right)\cdot 47^{74} + \left(43 a + 30\right)\cdot 47^{75} + \left(40 a + 31\right)\cdot 47^{76} + \left(14 a + 42\right)\cdot 47^{77} + 5\cdot 47^{78} + \left(44 a + 6\right)\cdot 47^{79} + \left(21 a + 38\right)\cdot 47^{80} + \left(9 a + 2\right)\cdot 47^{81} + \left(20 a + 39\right)\cdot 47^{82} + \left(9 a + 32\right)\cdot 47^{83} + \left(7 a + 19\right)\cdot 47^{84} + 35\cdot 47^{85} + \left(9 a + 26\right)\cdot 47^{86} + \left(34 a + 7\right)\cdot 47^{87} + \left(a + 29\right)\cdot 47^{88} + \left(11 a + 7\right)\cdot 47^{89} + \left(7 a + 11\right)\cdot 47^{90} + \left(43 a + 5\right)\cdot 47^{91} + \left(29 a + 18\right)\cdot 47^{92} + \left(43 a + 2\right)\cdot 47^{93} + \left(46 a + 19\right)\cdot 47^{94} + \left(3 a + 13\right)\cdot 47^{95} + \left(24 a + 32\right)\cdot 47^{96} + \left(5 a + 25\right)\cdot 47^{97} + \left(29 a + 6\right)\cdot 47^{98} + \left(46 a + 40\right)\cdot 47^{99} + \left(14 a + 31\right)\cdot 47^{100} + \left(12 a + 3\right)\cdot 47^{101} + 43 a\cdot 47^{102} + \left(43 a + 36\right)\cdot 47^{103} + \left(16 a + 1\right)\cdot 47^{104} + \left(33 a + 44\right)\cdot 47^{105} + \left(7 a + 21\right)\cdot 47^{106} + \left(17 a + 29\right)\cdot 47^{107} + \left(7 a + 36\right)\cdot 47^{108} + \left(2 a + 14\right)\cdot 47^{109} + \left(25 a + 45\right)\cdot 47^{110} + \left(25 a + 32\right)\cdot 47^{111} + \left(3 a + 8\right)\cdot 47^{112} + \left(28 a + 11\right)\cdot 47^{113} + \left(17 a + 26\right)\cdot 47^{114} + \left(29 a + 25\right)\cdot 47^{115} + \left(27 a + 1\right)\cdot 47^{116} + \left(27 a + 18\right)\cdot 47^{117} + \left(a + 4\right)\cdot 47^{118} + \left(27 a + 22\right)\cdot 47^{119} + \left(43 a + 14\right)\cdot 47^{120} + \left(5 a + 21\right)\cdot 47^{121} + \left(14 a + 28\right)\cdot 47^{122} + \left(12 a + 10\right)\cdot 47^{123} + \left(26 a + 34\right)\cdot 47^{124} +O\left(47^{ 125 }\right)$ $r_{ 5 }$ $=$ $20 + 16\cdot 47 + 32\cdot 47^{2} + 44\cdot 47^{3} + 25\cdot 47^{4} + 21\cdot 47^{5} + 19\cdot 47^{6} + 46\cdot 47^{7} + 34\cdot 47^{8} + 46\cdot 47^{9} + 33\cdot 47^{10} + 16\cdot 47^{11} + 23\cdot 47^{12} + 31\cdot 47^{13} + 8\cdot 47^{14} + 25\cdot 47^{15} + 25\cdot 47^{16} + 6\cdot 47^{18} + 11\cdot 47^{20} + 44\cdot 47^{21} + 47^{22} + 24\cdot 47^{23} + 15\cdot 47^{24} + 32\cdot 47^{25} + 45\cdot 47^{26} + 29\cdot 47^{28} + 12\cdot 47^{29} + 34\cdot 47^{31} + 3\cdot 47^{32} + 33\cdot 47^{33} + 36\cdot 47^{34} + 23\cdot 47^{35} + 14\cdot 47^{36} + 31\cdot 47^{37} + 17\cdot 47^{38} + 45\cdot 47^{39} + 17\cdot 47^{40} + 24\cdot 47^{41} + 25\cdot 47^{42} + 2\cdot 47^{43} + 39\cdot 47^{44} + 29\cdot 47^{45} + 46\cdot 47^{46} + 28\cdot 47^{47} + 22\cdot 47^{48} + 24\cdot 47^{49} + 30\cdot 47^{50} + 44\cdot 47^{51} + 40\cdot 47^{52} + 6\cdot 47^{53} + 31\cdot 47^{54} + 28\cdot 47^{56} + 38\cdot 47^{57} + 34\cdot 47^{58} + 17\cdot 47^{59} + 10\cdot 47^{60} + 40\cdot 47^{61} + 44\cdot 47^{62} + 5\cdot 47^{63} + 24\cdot 47^{64} + 34\cdot 47^{65} + 35\cdot 47^{66} + 19\cdot 47^{67} + 3\cdot 47^{68} + 19\cdot 47^{69} + 8\cdot 47^{70} + 45\cdot 47^{71} + 37\cdot 47^{72} + 13\cdot 47^{73} + 26\cdot 47^{74} + 36\cdot 47^{75} + 41\cdot 47^{76} + 16\cdot 47^{77} + 20\cdot 47^{78} + 25\cdot 47^{79} + 23\cdot 47^{80} + 35\cdot 47^{81} + 12\cdot 47^{82} + 25\cdot 47^{83} + 21\cdot 47^{84} + 18\cdot 47^{85} + 14\cdot 47^{86} + 10\cdot 47^{87} + 28\cdot 47^{88} + 41\cdot 47^{89} + 42\cdot 47^{90} + 41\cdot 47^{91} + 12\cdot 47^{92} + 19\cdot 47^{93} + 29\cdot 47^{94} + 44\cdot 47^{95} + 24\cdot 47^{96} + 3\cdot 47^{97} + 12\cdot 47^{98} + 25\cdot 47^{99} + 42\cdot 47^{100} + 4\cdot 47^{101} + 10\cdot 47^{102} + 19\cdot 47^{103} + 37\cdot 47^{104} + 6\cdot 47^{105} + 22\cdot 47^{106} + 6\cdot 47^{107} + 38\cdot 47^{108} + 47^{109} + 14\cdot 47^{110} + 13\cdot 47^{111} + 29\cdot 47^{112} + 28\cdot 47^{113} + 26\cdot 47^{114} + 30\cdot 47^{115} + 30\cdot 47^{116} + 13\cdot 47^{117} + 41\cdot 47^{118} + 39\cdot 47^{119} + 34\cdot 47^{120} + 4\cdot 47^{121} + 46\cdot 47^{122} + 9\cdot 47^{123} + 27\cdot 47^{124} +O\left(47^{ 125 }\right)$ $r_{ 6 }$ $=$ $35 a + 43 + \left(5 a + 8\right)\cdot 47 + \left(6 a + 11\right)\cdot 47^{2} + \left(17 a + 37\right)\cdot 47^{3} + \left(5 a + 37\right)\cdot 47^{4} + \left(41 a + 3\right)\cdot 47^{5} + \left(9 a + 46\right)\cdot 47^{6} + \left(12 a + 37\right)\cdot 47^{7} + \left(27 a + 29\right)\cdot 47^{8} + \left(8 a + 18\right)\cdot 47^{9} + \left(42 a + 24\right)\cdot 47^{10} + \left(22 a + 9\right)\cdot 47^{11} + \left(4 a + 42\right)\cdot 47^{12} + \left(16 a + 26\right)\cdot 47^{13} + 27\cdot 47^{14} + 40 a\cdot 47^{15} + \left(30 a + 34\right)\cdot 47^{16} + \left(18 a + 29\right)\cdot 47^{17} + \left(46 a + 37\right)\cdot 47^{18} + \left(43 a + 31\right)\cdot 47^{19} + \left(41 a + 6\right)\cdot 47^{20} + \left(5 a + 5\right)\cdot 47^{21} + \left(24 a + 24\right)\cdot 47^{22} + \left(25 a + 38\right)\cdot 47^{23} + \left(45 a + 39\right)\cdot 47^{24} + \left(27 a + 26\right)\cdot 47^{25} + 46 a\cdot 47^{26} + \left(39 a + 41\right)\cdot 47^{27} + \left(7 a + 24\right)\cdot 47^{28} + \left(43 a + 1\right)\cdot 47^{29} + \left(29 a + 42\right)\cdot 47^{30} + \left(6 a + 35\right)\cdot 47^{31} + \left(44 a + 33\right)\cdot 47^{32} + \left(38 a + 41\right)\cdot 47^{33} + \left(8 a + 8\right)\cdot 47^{34} + \left(26 a + 25\right)\cdot 47^{35} + \left(39 a + 7\right)\cdot 47^{36} + \left(9 a + 36\right)\cdot 47^{37} + \left(36 a + 23\right)\cdot 47^{38} + 24 a\cdot 47^{39} + \left(13 a + 23\right)\cdot 47^{40} + \left(37 a + 15\right)\cdot 47^{41} + \left(29 a + 28\right)\cdot 47^{42} + \left(22 a + 8\right)\cdot 47^{43} + \left(3 a + 3\right)\cdot 47^{44} + \left(4 a + 9\right)\cdot 47^{45} + \left(16 a + 29\right)\cdot 47^{46} + \left(15 a + 27\right)\cdot 47^{47} + \left(11 a + 34\right)\cdot 47^{48} + \left(a + 7\right)\cdot 47^{49} + \left(44 a + 9\right)\cdot 47^{50} + \left(37 a + 36\right)\cdot 47^{51} + \left(37 a + 40\right)\cdot 47^{52} + \left(36 a + 24\right)\cdot 47^{53} + \left(40 a + 26\right)\cdot 47^{54} + 34 a\cdot 47^{55} + \left(3 a + 35\right)\cdot 47^{56} + \left(3 a + 3\right)\cdot 47^{57} + \left(29 a + 26\right)\cdot 47^{58} + \left(5 a + 21\right)\cdot 47^{59} + \left(44 a + 24\right)\cdot 47^{60} + \left(10 a + 18\right)\cdot 47^{61} + \left(19 a + 42\right)\cdot 47^{62} + \left(3 a + 37\right)\cdot 47^{63} + \left(36 a + 14\right)\cdot 47^{64} + \left(30 a + 34\right)\cdot 47^{65} + \left(14 a + 19\right)\cdot 47^{66} + \left(29 a + 20\right)\cdot 47^{67} + \left(15 a + 29\right)\cdot 47^{68} + \left(41 a + 36\right)\cdot 47^{69} + \left(34 a + 7\right)\cdot 47^{70} + \left(16 a + 30\right)\cdot 47^{71} + \left(26 a + 29\right)\cdot 47^{72} + \left(8 a + 22\right)\cdot 47^{73} + \left(15 a + 12\right)\cdot 47^{74} + \left(3 a + 39\right)\cdot 47^{75} + \left(6 a + 22\right)\cdot 47^{76} + \left(32 a + 31\right)\cdot 47^{77} + \left(46 a + 38\right)\cdot 47^{78} + \left(2 a + 46\right)\cdot 47^{79} + \left(25 a + 37\right)\cdot 47^{80} + \left(37 a + 46\right)\cdot 47^{81} + \left(26 a + 22\right)\cdot 47^{82} + \left(37 a + 31\right)\cdot 47^{83} + \left(39 a + 24\right)\cdot 47^{84} + \left(46 a + 28\right)\cdot 47^{85} + \left(37 a + 44\right)\cdot 47^{86} + \left(12 a + 19\right)\cdot 47^{87} + \left(45 a + 45\right)\cdot 47^{88} + \left(35 a + 27\right)\cdot 47^{89} + \left(39 a + 14\right)\cdot 47^{90} + \left(3 a + 37\right)\cdot 47^{91} + \left(17 a + 34\right)\cdot 47^{92} + \left(3 a + 12\right)\cdot 47^{93} + 22\cdot 47^{94} + \left(43 a + 21\right)\cdot 47^{95} + \left(22 a + 29\right)\cdot 47^{96} + \left(41 a + 12\right)\cdot 47^{97} + \left(17 a + 12\right)\cdot 47^{98} + 10\cdot 47^{99} + \left(32 a + 15\right)\cdot 47^{100} + \left(34 a + 13\right)\cdot 47^{101} + \left(3 a + 27\right)\cdot 47^{102} + \left(3 a + 33\right)\cdot 47^{103} + \left(30 a + 38\right)\cdot 47^{104} + \left(13 a + 46\right)\cdot 47^{105} + \left(39 a + 3\right)\cdot 47^{106} + \left(29 a + 9\right)\cdot 47^{107} + \left(39 a + 34\right)\cdot 47^{108} + \left(44 a + 11\right)\cdot 47^{109} + \left(21 a + 46\right)\cdot 47^{110} + \left(21 a + 11\right)\cdot 47^{111} + \left(43 a + 37\right)\cdot 47^{112} + \left(18 a + 16\right)\cdot 47^{113} + \left(29 a + 33\right)\cdot 47^{114} + \left(17 a + 19\right)\cdot 47^{115} + \left(19 a + 27\right)\cdot 47^{116} + \left(19 a + 45\right)\cdot 47^{117} + \left(45 a + 26\right)\cdot 47^{118} + \left(19 a + 27\right)\cdot 47^{119} + \left(3 a + 27\right)\cdot 47^{120} + \left(41 a + 36\right)\cdot 47^{121} + \left(32 a + 3\right)\cdot 47^{122} + \left(34 a + 21\right)\cdot 47^{123} + \left(20 a + 27\right)\cdot 47^{124} +O\left(47^{ 125 }\right)$ $r_{ 7 }$ $=$ $32 a + \left(42 a + 39\right)\cdot 47 + \left(9 a + 5\right)\cdot 47^{2} + \left(22 a + 44\right)\cdot 47^{3} + \left(43 a + 7\right)\cdot 47^{4} + \left(44 a + 33\right)\cdot 47^{5} + \left(43 a + 41\right)\cdot 47^{6} + \left(24 a + 6\right)\cdot 47^{7} + \left(8 a + 43\right)\cdot 47^{8} + \left(32 a + 27\right)\cdot 47^{9} + \left(19 a + 43\right)\cdot 47^{10} + \left(10 a + 44\right)\cdot 47^{11} + \left(5 a + 15\right)\cdot 47^{12} + \left(13 a + 39\right)\cdot 47^{13} + \left(35 a + 44\right)\cdot 47^{14} + \left(13 a + 25\right)\cdot 47^{15} + \left(20 a + 40\right)\cdot 47^{16} + \left(43 a + 5\right)\cdot 47^{17} + \left(30 a + 27\right)\cdot 47^{18} + 34 a\cdot 47^{19} + \left(28 a + 5\right)\cdot 47^{20} + \left(44 a + 27\right)\cdot 47^{21} + \left(22 a + 37\right)\cdot 47^{22} + \left(45 a + 20\right)\cdot 47^{24} + \left(39 a + 4\right)\cdot 47^{25} + \left(24 a + 16\right)\cdot 47^{26} + \left(28 a + 42\right)\cdot 47^{27} + \left(13 a + 26\right)\cdot 47^{28} + \left(14 a + 8\right)\cdot 47^{29} + \left(18 a + 6\right)\cdot 47^{30} + \left(41 a + 38\right)\cdot 47^{31} + \left(24 a + 30\right)\cdot 47^{32} + \left(7 a + 42\right)\cdot 47^{33} + \left(18 a + 15\right)\cdot 47^{34} + \left(19 a + 23\right)\cdot 47^{35} + \left(2 a + 5\right)\cdot 47^{36} + \left(23 a + 24\right)\cdot 47^{37} + \left(10 a + 7\right)\cdot 47^{38} + \left(26 a + 38\right)\cdot 47^{39} + \left(40 a + 6\right)\cdot 47^{40} + \left(9 a + 13\right)\cdot 47^{41} + \left(25 a + 12\right)\cdot 47^{42} + \left(19 a + 45\right)\cdot 47^{43} + \left(41 a + 41\right)\cdot 47^{44} + \left(17 a + 19\right)\cdot 47^{45} + \left(40 a + 36\right)\cdot 47^{46} + \left(2 a + 36\right)\cdot 47^{47} + \left(46 a + 36\right)\cdot 47^{48} + \left(39 a + 44\right)\cdot 47^{49} + \left(20 a + 8\right)\cdot 47^{50} + \left(19 a + 16\right)\cdot 47^{51} + \left(43 a + 12\right)\cdot 47^{52} + \left(27 a + 26\right)\cdot 47^{53} + \left(17 a + 34\right)\cdot 47^{54} + \left(35 a + 35\right)\cdot 47^{55} + \left(23 a + 2\right)\cdot 47^{56} + \left(37 a + 38\right)\cdot 47^{57} + \left(38 a + 43\right)\cdot 47^{58} + \left(26 a + 7\right)\cdot 47^{59} + \left(2 a + 1\right)\cdot 47^{60} + \left(34 a + 20\right)\cdot 47^{61} + \left(24 a + 26\right)\cdot 47^{62} + \left(17 a + 29\right)\cdot 47^{63} + \left(42 a + 7\right)\cdot 47^{64} + \left(25 a + 5\right)\cdot 47^{65} + \left(36 a + 38\right)\cdot 47^{66} + \left(30 a + 25\right)\cdot 47^{67} + \left(5 a + 35\right)\cdot 47^{68} + \left(17 a + 23\right)\cdot 47^{69} + \left(39 a + 12\right)\cdot 47^{70} + \left(21 a + 27\right)\cdot 47^{71} + \left(11 a + 1\right)\cdot 47^{72} + \left(31 a + 40\right)\cdot 47^{73} + \left(5 a + 46\right)\cdot 47^{74} + \left(39 a + 14\right)\cdot 47^{75} + 38\cdot 47^{76} + \left(a + 12\right)\cdot 47^{77} + \left(20 a + 8\right)\cdot 47^{78} + \left(44 a + 11\right)\cdot 47^{79} + \left(10 a + 35\right)\cdot 47^{80} + \left(24 a + 41\right)\cdot 47^{81} + \left(31 a + 23\right)\cdot 47^{82} + \left(40 a + 40\right)\cdot 47^{83} + \left(14 a + 15\right)\cdot 47^{84} + \left(40 a + 41\right)\cdot 47^{85} + \left(18 a + 26\right)\cdot 47^{86} + \left(5 a + 23\right)\cdot 47^{87} + \left(28 a + 1\right)\cdot 47^{88} + \left(26 a + 32\right)\cdot 47^{89} + \left(23 a + 22\right)\cdot 47^{90} + \left(35 a + 7\right)\cdot 47^{91} + \left(10 a + 35\right)\cdot 47^{92} + \left(4 a + 34\right)\cdot 47^{93} + \left(12 a + 19\right)\cdot 47^{94} + \left(25 a + 46\right)\cdot 47^{95} + \left(4 a + 25\right)\cdot 47^{96} + \left(3 a + 23\right)\cdot 47^{97} + \left(13 a + 35\right)\cdot 47^{98} + \left(33 a + 10\right)\cdot 47^{99} + 32\cdot 47^{100} + \left(2 a + 26\right)\cdot 47^{101} + \left(35 a + 14\right)\cdot 47^{102} + \left(15 a + 34\right)\cdot 47^{103} + \left(13 a + 8\right)\cdot 47^{104} + \left(45 a + 31\right)\cdot 47^{105} + \left(16 a + 24\right)\cdot 47^{106} + \left(4 a + 46\right)\cdot 47^{107} + \left(14 a + 41\right)\cdot 47^{108} + \left(19 a + 14\right)\cdot 47^{109} + \left(26 a + 43\right)\cdot 47^{110} + \left(35 a + 12\right)\cdot 47^{111} + \left(44 a + 31\right)\cdot 47^{112} + \left(15 a + 25\right)\cdot 47^{113} + \left(40 a + 42\right)\cdot 47^{114} + \left(44 a + 40\right)\cdot 47^{115} + \left(a + 16\right)\cdot 47^{116} + \left(29 a + 5\right)\cdot 47^{117} + \left(14 a + 6\right)\cdot 47^{118} + \left(2 a + 36\right)\cdot 47^{119} + \left(34 a + 30\right)\cdot 47^{120} + \left(16 a + 28\right)\cdot 47^{121} + \left(35 a + 7\right)\cdot 47^{122} + \left(40 a + 36\right)\cdot 47^{123} + \left(24 a + 37\right)\cdot 47^{124} +O\left(47^{ 125 }\right)$ $r_{ 8 }$ $=$ $15 a + 17 + \left(4 a + 45\right)\cdot 47 + \left(37 a + 29\right)\cdot 47^{2} + \left(24 a + 31\right)\cdot 47^{3} + \left(3 a + 25\right)\cdot 47^{4} + \left(2 a + 32\right)\cdot 47^{5} + \left(3 a + 37\right)\cdot 47^{6} + \left(22 a + 12\right)\cdot 47^{7} + \left(38 a + 35\right)\cdot 47^{8} + \left(14 a + 36\right)\cdot 47^{9} + \left(27 a + 3\right)\cdot 47^{10} + \left(36 a + 46\right)\cdot 47^{11} + \left(41 a + 15\right)\cdot 47^{12} + \left(33 a + 13\right)\cdot 47^{13} + \left(11 a + 8\right)\cdot 47^{14} + \left(33 a + 18\right)\cdot 47^{15} + \left(26 a + 20\right)\cdot 47^{16} + \left(3 a + 25\right)\cdot 47^{17} + \left(16 a + 45\right)\cdot 47^{18} + \left(12 a + 38\right)\cdot 47^{19} + \left(18 a + 27\right)\cdot 47^{20} + \left(2 a + 40\right)\cdot 47^{21} + \left(24 a + 38\right)\cdot 47^{22} + \left(46 a + 25\right)\cdot 47^{23} + \left(a + 15\right)\cdot 47^{24} + \left(7 a + 39\right)\cdot 47^{25} + \left(22 a + 25\right)\cdot 47^{26} + \left(18 a + 27\right)\cdot 47^{27} + \left(33 a + 25\right)\cdot 47^{28} + \left(32 a + 23\right)\cdot 47^{29} + \left(28 a + 28\right)\cdot 47^{30} + \left(5 a + 8\right)\cdot 47^{31} + \left(22 a + 39\right)\cdot 47^{32} + \left(39 a + 32\right)\cdot 47^{33} + \left(28 a + 44\right)\cdot 47^{34} + \left(27 a + 43\right)\cdot 47^{35} + \left(44 a + 37\right)\cdot 47^{36} + \left(23 a + 20\right)\cdot 47^{37} + \left(36 a + 5\right)\cdot 47^{38} + \left(20 a + 33\right)\cdot 47^{39} + \left(6 a + 14\right)\cdot 47^{40} + \left(37 a + 39\right)\cdot 47^{41} + \left(21 a + 5\right)\cdot 47^{42} + \left(27 a + 12\right)\cdot 47^{43} + \left(5 a + 11\right)\cdot 47^{44} + \left(29 a + 14\right)\cdot 47^{45} + \left(6 a + 5\right)\cdot 47^{46} + \left(44 a + 2\right)\cdot 47^{47} + 32\cdot 47^{48} + \left(7 a + 31\right)\cdot 47^{49} + \left(26 a + 10\right)\cdot 47^{50} + \left(27 a + 34\right)\cdot 47^{51} + \left(3 a + 32\right)\cdot 47^{52} + \left(19 a + 38\right)\cdot 47^{53} + \left(29 a + 41\right)\cdot 47^{54} + \left(11 a + 41\right)\cdot 47^{55} + \left(23 a + 14\right)\cdot 47^{56} + \left(9 a + 42\right)\cdot 47^{57} + \left(8 a + 36\right)\cdot 47^{58} + \left(20 a + 22\right)\cdot 47^{59} + \left(44 a + 26\right)\cdot 47^{60} + \left(12 a + 38\right)\cdot 47^{61} + \left(22 a + 41\right)\cdot 47^{62} + \left(29 a + 39\right)\cdot 47^{63} + \left(4 a + 27\right)\cdot 47^{64} + \left(21 a + 14\right)\cdot 47^{65} + \left(10 a + 38\right)\cdot 47^{66} + \left(16 a + 3\right)\cdot 47^{67} + \left(41 a + 16\right)\cdot 47^{68} + \left(29 a + 5\right)\cdot 47^{69} + \left(7 a + 27\right)\cdot 47^{70} + \left(25 a + 31\right)\cdot 47^{71} + \left(35 a + 2\right)\cdot 47^{72} + \left(15 a + 44\right)\cdot 47^{73} + \left(41 a + 26\right)\cdot 47^{74} + \left(7 a + 40\right)\cdot 47^{75} + 46 a\cdot 47^{76} + \left(45 a + 14\right)\cdot 47^{77} + 26 a\cdot 47^{78} + \left(2 a + 33\right)\cdot 47^{79} + \left(36 a + 12\right)\cdot 47^{80} + \left(22 a + 32\right)\cdot 47^{81} + \left(15 a + 15\right)\cdot 47^{82} + \left(6 a + 43\right)\cdot 47^{83} + \left(32 a + 4\right)\cdot 47^{84} + \left(6 a + 13\right)\cdot 47^{85} + \left(28 a + 24\right)\cdot 47^{86} + \left(41 a + 15\right)\cdot 47^{87} + \left(18 a + 5\right)\cdot 47^{88} + \left(20 a + 10\right)\cdot 47^{89} + \left(23 a + 43\right)\cdot 47^{90} + \left(11 a + 7\right)\cdot 47^{91} + \left(36 a + 21\right)\cdot 47^{92} + \left(42 a + 32\right)\cdot 47^{93} + \left(34 a + 39\right)\cdot 47^{94} + \left(21 a + 37\right)\cdot 47^{95} + \left(42 a + 9\right)\cdot 47^{96} + \left(43 a + 25\right)\cdot 47^{97} + \left(33 a + 11\right)\cdot 47^{98} + \left(13 a + 17\right)\cdot 47^{99} + 46 a\cdot 47^{100} + \left(44 a + 30\right)\cdot 47^{101} + \left(11 a + 35\right)\cdot 47^{102} + \left(31 a + 30\right)\cdot 47^{103} + \left(33 a + 19\right)\cdot 47^{104} + \left(a + 14\right)\cdot 47^{105} + \left(30 a + 13\right)\cdot 47^{106} + \left(42 a + 38\right)\cdot 47^{107} + \left(32 a + 18\right)\cdot 47^{108} + \left(27 a + 39\right)\cdot 47^{109} + \left(20 a + 29\right)\cdot 47^{110} + \left(11 a + 10\right)\cdot 47^{111} + \left(2 a + 38\right)\cdot 47^{112} + \left(31 a + 12\right)\cdot 47^{113} + \left(6 a + 13\right)\cdot 47^{114} + \left(2 a + 43\right)\cdot 47^{115} + \left(45 a + 22\right)\cdot 47^{116} + \left(17 a + 14\right)\cdot 47^{117} + \left(32 a + 6\right)\cdot 47^{118} + \left(44 a + 26\right)\cdot 47^{119} + \left(12 a + 2\right)\cdot 47^{120} + \left(30 a + 28\right)\cdot 47^{121} + \left(11 a + 14\right)\cdot 47^{122} + \left(6 a + 35\right)\cdot 47^{123} + \left(22 a + 46\right)\cdot 47^{124} +O\left(47^{ 125 }\right)$

### Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 8 }$

 Cycle notation $(1,3)$ $(1,2)(3,5)(4,7)(6,8)$ $(1,3,4,6)$

### Character values on conjugacy classes

 Size Order Action on $r_1, \ldots, r_{ 8 }$ Character value $1$ $1$ $()$ $9$ $6$ $2$ $(2,7)(5,8)$ $-3$ $9$ $2$ $(1,4)(2,7)(3,6)(5,8)$ $1$ $12$ $2$ $(1,3)$ $3$ $24$ $2$ $(1,2)(3,5)(4,7)(6,8)$ $3$ $36$ $2$ $(1,3)(2,5)$ $1$ $36$ $2$ $(1,3)(2,7)(5,8)$ $-1$ $16$ $3$ $(1,4,6)$ $0$ $64$ $3$ $(1,4,6)(5,7,8)$ $0$ $12$ $4$ $(2,5,7,8)$ $-3$ $36$ $4$ $(1,3,4,6)(2,5,7,8)$ $1$ $36$ $4$ $(1,3,4,6)(2,7)(5,8)$ $1$ $72$ $4$ $(1,2,4,7)(3,5,6,8)$ $-1$ $72$ $4$ $(1,3)(2,5,7,8)$ $-1$ $144$ $4$ $(1,5,3,2)(4,7)(6,8)$ $1$ $48$ $6$ $(1,6,4)(2,7)(5,8)$ $0$ $96$ $6$ $(1,3)(5,8,7)$ $0$ $192$ $6$ $(1,5,4,7,6,8)(2,3)$ $0$ $144$ $8$ $(1,2,3,5,4,7,6,8)$ $-1$ $96$ $12$ $(1,4,6)(2,5,7,8)$ $0$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.