Properties

Label 9.2e12_7e3_53e3.16t1294.1c1
Dimension 9
Group $S_4\wr C_2$
Conductor $ 2^{12} \cdot 7^{3} \cdot 53^{3}$
Root number 1
Frobenius-Schur indicator 1

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Basic invariants

Dimension:$9$
Group:$S_4\wr C_2$
Conductor:$209161465856= 2^{12} \cdot 7^{3} \cdot 53^{3} $
Artin number field: Splitting field of $f= x^{8} - 4 x^{7} + 8 x^{5} + 13 x^{4} - 18 x^{3} - 18 x^{2} + 7 $ over $\Q$
Size of Galois orbit: 1
Smallest containing permutation representation: 16T1294
Parity: Odd
Determinant: 1.7_53.2t1.1c1

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 113 }$ to precision 85.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 113 }$: $ x^{3} + 8 x + 110 $
Roots:
$r_{ 1 }$ $=$ $ 42 + 73\cdot 113 + 78\cdot 113^{2} + 44\cdot 113^{3} + 47\cdot 113^{4} + 39\cdot 113^{5} + 68\cdot 113^{6} + 105\cdot 113^{7} + 56\cdot 113^{8} + 94\cdot 113^{9} + 42\cdot 113^{10} + 81\cdot 113^{11} + 28\cdot 113^{12} + 80\cdot 113^{13} + 84\cdot 113^{14} + 96\cdot 113^{15} + 112\cdot 113^{16} + 15\cdot 113^{17} + 50\cdot 113^{18} + 74\cdot 113^{19} + 5\cdot 113^{20} + 112\cdot 113^{21} + 44\cdot 113^{22} + 75\cdot 113^{23} + 86\cdot 113^{24} + 37\cdot 113^{25} + 34\cdot 113^{26} + 55\cdot 113^{27} + 40\cdot 113^{28} + 109\cdot 113^{29} + 113^{30} + 24\cdot 113^{31} + 75\cdot 113^{32} + 57\cdot 113^{33} + 111\cdot 113^{34} + 68\cdot 113^{35} + 29\cdot 113^{36} + 17\cdot 113^{37} + 20\cdot 113^{38} + 25\cdot 113^{39} + 49\cdot 113^{40} + 89\cdot 113^{41} + 77\cdot 113^{42} + 10\cdot 113^{43} + 104\cdot 113^{44} + 80\cdot 113^{45} + 101\cdot 113^{46} + 4\cdot 113^{47} + 41\cdot 113^{48} + 6\cdot 113^{49} + 7\cdot 113^{50} + 38\cdot 113^{51} + 43\cdot 113^{52} + 11\cdot 113^{53} + 51\cdot 113^{54} + 66\cdot 113^{55} + 98\cdot 113^{56} + 40\cdot 113^{57} + 98\cdot 113^{58} + 34\cdot 113^{59} + 8\cdot 113^{60} + 66\cdot 113^{61} + 81\cdot 113^{62} + 88\cdot 113^{63} + 42\cdot 113^{64} + 7\cdot 113^{65} + 5\cdot 113^{66} + 28\cdot 113^{67} + 38\cdot 113^{68} + 18\cdot 113^{69} + 40\cdot 113^{70} + 61\cdot 113^{71} + 83\cdot 113^{72} + 103\cdot 113^{73} + 48\cdot 113^{74} + 46\cdot 113^{75} + 74\cdot 113^{76} + 38\cdot 113^{77} + 45\cdot 113^{78} + 56\cdot 113^{79} + 102\cdot 113^{80} + 39\cdot 113^{81} + 44\cdot 113^{82} + 48\cdot 113^{83} + 31\cdot 113^{84} +O\left(113^{ 85 }\right)$
$r_{ 2 }$ $=$ $ 108 + 26\cdot 113 + 35\cdot 113^{2} + 62\cdot 113^{3} + 74\cdot 113^{4} + 73\cdot 113^{5} + 86\cdot 113^{6} + 68\cdot 113^{7} + 69\cdot 113^{8} + 95\cdot 113^{9} + 84\cdot 113^{10} + 39\cdot 113^{11} + 102\cdot 113^{12} + 95\cdot 113^{13} + 101\cdot 113^{14} + 21\cdot 113^{15} + 64\cdot 113^{16} + 91\cdot 113^{17} + 60\cdot 113^{18} + 48\cdot 113^{19} + 19\cdot 113^{20} + 22\cdot 113^{21} + 109\cdot 113^{22} + 103\cdot 113^{23} + 101\cdot 113^{24} + 99\cdot 113^{25} + 102\cdot 113^{26} + 68\cdot 113^{27} + 66\cdot 113^{28} + 42\cdot 113^{29} + 35\cdot 113^{30} + 101\cdot 113^{31} + 15\cdot 113^{32} + 80\cdot 113^{33} + 63\cdot 113^{34} + 50\cdot 113^{35} + 107\cdot 113^{36} + 14\cdot 113^{37} + 2\cdot 113^{38} + 80\cdot 113^{39} + 75\cdot 113^{40} + 46\cdot 113^{41} + 110\cdot 113^{42} + 84\cdot 113^{43} + 33\cdot 113^{44} + 104\cdot 113^{45} + 96\cdot 113^{46} + 52\cdot 113^{47} + 26\cdot 113^{48} + 28\cdot 113^{49} + 105\cdot 113^{50} + 77\cdot 113^{51} + 33\cdot 113^{52} + 57\cdot 113^{53} + 88\cdot 113^{54} + 71\cdot 113^{55} + 82\cdot 113^{56} + 60\cdot 113^{57} + 76\cdot 113^{58} + 19\cdot 113^{59} + 51\cdot 113^{60} + 34\cdot 113^{61} + 18\cdot 113^{62} + 78\cdot 113^{63} + 36\cdot 113^{64} + 109\cdot 113^{65} + 64\cdot 113^{66} + 71\cdot 113^{67} + 102\cdot 113^{68} + 22\cdot 113^{69} + 64\cdot 113^{70} + 10\cdot 113^{71} + 42\cdot 113^{72} + 37\cdot 113^{73} + 59\cdot 113^{74} + 110\cdot 113^{75} + 46\cdot 113^{76} + 23\cdot 113^{77} + 70\cdot 113^{78} + 87\cdot 113^{79} + 40\cdot 113^{80} + 40\cdot 113^{81} + 88\cdot 113^{82} + 32\cdot 113^{83} + 17\cdot 113^{84} +O\left(113^{ 85 }\right)$
$r_{ 3 }$ $=$ $ 18 a^{2} + 44 a + 23 + \left(55 a^{2} + 59 a + 59\right)\cdot 113 + \left(2 a^{2} + 20 a + 1\right)\cdot 113^{2} + \left(29 a^{2} + 23 a + 21\right)\cdot 113^{3} + \left(95 a^{2} + 33 a + 31\right)\cdot 113^{4} + \left(34 a^{2} + 2 a + 48\right)\cdot 113^{5} + \left(a^{2} + 91 a + 53\right)\cdot 113^{6} + \left(74 a^{2} + 5 a + 70\right)\cdot 113^{7} + \left(42 a^{2} + 61 a + 53\right)\cdot 113^{8} + \left(17 a^{2} + 91 a + 98\right)\cdot 113^{9} + \left(25 a^{2} + 30 a + 105\right)\cdot 113^{10} + \left(89 a^{2} + 29 a + 85\right)\cdot 113^{11} + \left(18 a^{2} + 27 a + 103\right)\cdot 113^{12} + \left(11 a^{2} + 77 a + 102\right)\cdot 113^{13} + \left(24 a^{2} + 32 a + 56\right)\cdot 113^{14} + \left(18 a^{2} + 70 a + 14\right)\cdot 113^{15} + \left(13 a^{2} + 73 a + 11\right)\cdot 113^{16} + \left(32 a^{2} + 9 a + 103\right)\cdot 113^{17} + \left(35 a^{2} + 82 a + 54\right)\cdot 113^{18} + \left(22 a^{2} + 79 a + 27\right)\cdot 113^{19} + \left(30 a^{2} + 35 a + 79\right)\cdot 113^{20} + \left(15 a^{2} + 80 a + 111\right)\cdot 113^{21} + \left(50 a^{2} + 80 a + 4\right)\cdot 113^{22} + \left(55 a^{2} + 58 a + 35\right)\cdot 113^{23} + \left(64 a^{2} + 105 a + 46\right)\cdot 113^{24} + \left(12 a^{2} + 68 a + 71\right)\cdot 113^{25} + \left(64 a^{2} + 58 a + 81\right)\cdot 113^{26} + \left(28 a^{2} + 45 a + 91\right)\cdot 113^{27} + \left(27 a^{2} + 9 a + 47\right)\cdot 113^{28} + \left(40 a^{2} + 76 a + 87\right)\cdot 113^{29} + \left(14 a^{2} + 24 a + 64\right)\cdot 113^{30} + \left(87 a^{2} + 50 a + 16\right)\cdot 113^{31} + \left(91 a^{2} + 69 a + 32\right)\cdot 113^{32} + \left(27 a^{2} + 107 a + 46\right)\cdot 113^{33} + \left(58 a^{2} + 46 a + 63\right)\cdot 113^{34} + \left(37 a^{2} + 31 a + 32\right)\cdot 113^{35} + \left(110 a^{2} + 80 a + 25\right)\cdot 113^{36} + \left(80 a^{2} + 7 a + 50\right)\cdot 113^{37} + \left(58 a^{2} + 11 a + 86\right)\cdot 113^{38} + \left(97 a^{2} + 3\right)\cdot 113^{39} + \left(54 a^{2} + 29 a + 79\right)\cdot 113^{40} + \left(49 a^{2} + 17 a + 97\right)\cdot 113^{41} + \left(a^{2} + 68 a + 83\right)\cdot 113^{42} + \left(108 a^{2} + 45 a + 95\right)\cdot 113^{43} + \left(51 a^{2} + 70 a + 39\right)\cdot 113^{44} + \left(57 a^{2} + 66 a + 83\right)\cdot 113^{45} + \left(59 a^{2} + 47 a + 96\right)\cdot 113^{46} + \left(19 a^{2} + 96 a + 48\right)\cdot 113^{47} + \left(47 a^{2} + 64 a + 54\right)\cdot 113^{48} + \left(31 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 113^{49} + \left(90 a^{2} + a + 32\right)\cdot 113^{50} + \left(15 a^{2} + 28 a + 58\right)\cdot 113^{51} + \left(75 a^{2} + 12 a + 50\right)\cdot 113^{52} + \left(62 a^{2} + 66 a + 51\right)\cdot 113^{53} + \left(14 a^{2} + 93 a + 10\right)\cdot 113^{54} + \left(80 a^{2} + 12 a + 102\right)\cdot 113^{55} + \left(107 a^{2} + 104 a + 94\right)\cdot 113^{56} + \left(48 a^{2} + 75 a + 14\right)\cdot 113^{57} + \left(38 a^{2} + 47 a + 104\right)\cdot 113^{58} + \left(66 a^{2} + 36 a + 45\right)\cdot 113^{59} + \left(68 a^{2} + 55 a + 47\right)\cdot 113^{60} + \left(90 a^{2} + 2 a + 57\right)\cdot 113^{61} + \left(43 a^{2} + 110 a + 1\right)\cdot 113^{62} + \left(61 a^{2} + 26 a\right)\cdot 113^{63} + \left(76 a^{2} + 105 a + 57\right)\cdot 113^{64} + \left(10 a^{2} + 92 a + 20\right)\cdot 113^{65} + \left(20 a^{2} + 23 a + 10\right)\cdot 113^{66} + \left(31 a^{2} + 9 a + 67\right)\cdot 113^{67} + \left(46 a^{2} + 69 a + 99\right)\cdot 113^{68} + \left(81 a^{2} + 95 a + 49\right)\cdot 113^{69} + \left(41 a^{2} + 100 a + 50\right)\cdot 113^{70} + \left(5 a^{2} + 43 a + 100\right)\cdot 113^{71} + \left(112 a^{2} + 12 a + 93\right)\cdot 113^{72} + \left(41 a^{2} + 11 a + 60\right)\cdot 113^{73} + \left(51 a^{2} + 75 a + 103\right)\cdot 113^{74} + \left(6 a^{2} + 41 a + 72\right)\cdot 113^{75} + \left(50 a^{2} + 42 a + 100\right)\cdot 113^{76} + \left(79 a^{2} + 99 a + 76\right)\cdot 113^{77} + \left(109 a^{2} + 50 a + 109\right)\cdot 113^{78} + \left(63 a^{2} + 38 a + 85\right)\cdot 113^{79} + \left(98 a^{2} + 92 a + 97\right)\cdot 113^{80} + \left(54 a^{2} + 37 a + 90\right)\cdot 113^{81} + \left(52 a^{2} + 73 a + 99\right)\cdot 113^{82} + \left(2 a^{2} + 47 a + 39\right)\cdot 113^{83} + \left(6 a^{2} + 37 a + 26\right)\cdot 113^{84} +O\left(113^{ 85 }\right)$
$r_{ 4 }$ $=$ $ 20 a^{2} + 112 a + 109 + \left(15 a^{2} + 16 a + 71\right)\cdot 113 + \left(17 a^{2} + 79\right)\cdot 113^{2} + \left(12 a^{2} + 36 a + 81\right)\cdot 113^{3} + \left(8 a^{2} + 29 a + 93\right)\cdot 113^{4} + \left(14 a^{2} + 59 a + 12\right)\cdot 113^{5} + \left(70 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 113^{6} + \left(111 a^{2} + 48 a + 45\right)\cdot 113^{7} + \left(69 a^{2} + 94 a + 86\right)\cdot 113^{8} + \left(86 a^{2} + 22 a + 15\right)\cdot 113^{9} + \left(44 a^{2} + 96 a + 22\right)\cdot 113^{10} + \left(85 a^{2} + 5 a + 103\right)\cdot 113^{11} + \left(a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 113^{12} + \left(110 a^{2} + 79 a + 65\right)\cdot 113^{13} + \left(105 a^{2} + 11 a + 41\right)\cdot 113^{14} + \left(95 a^{2} + 61 a + 52\right)\cdot 113^{15} + \left(100 a^{2} + 65 a + 64\right)\cdot 113^{16} + \left(a^{2} + 11 a + 92\right)\cdot 113^{17} + \left(80 a^{2} + 33 a + 29\right)\cdot 113^{18} + \left(95 a^{2} + 75 a + 42\right)\cdot 113^{19} + \left(12 a^{2} + 88 a + 24\right)\cdot 113^{20} + \left(29 a^{2} + 39 a + 110\right)\cdot 113^{21} + \left(85 a^{2} + 78 a + 3\right)\cdot 113^{22} + \left(86 a^{2} + 59 a + 89\right)\cdot 113^{23} + \left(29 a^{2} + 72 a + 11\right)\cdot 113^{24} + \left(26 a^{2} + 96 a + 69\right)\cdot 113^{25} + \left(23 a^{2} + 109 a + 89\right)\cdot 113^{26} + \left(109 a^{2} + 14 a + 69\right)\cdot 113^{27} + \left(18 a^{2} + 110 a + 3\right)\cdot 113^{28} + \left(94 a^{2} + 77 a + 36\right)\cdot 113^{29} + \left(78 a^{2} + 25 a + 107\right)\cdot 113^{30} + \left(4 a^{2} + 108 a + 28\right)\cdot 113^{31} + \left(57 a^{2} + 4 a + 35\right)\cdot 113^{32} + \left(106 a^{2} + 102 a + 89\right)\cdot 113^{33} + \left(88 a^{2} + 73 a + 38\right)\cdot 113^{34} + \left(38 a^{2} + 16 a + 39\right)\cdot 113^{35} + \left(25 a^{2} + 14 a + 99\right)\cdot 113^{36} + \left(60 a^{2} + 32 a + 14\right)\cdot 113^{37} + \left(33 a^{2} + 84 a + 65\right)\cdot 113^{38} + \left(23 a^{2} + 4 a + 97\right)\cdot 113^{39} + \left(70 a^{2} + 32 a + 47\right)\cdot 113^{40} + \left(66 a^{2} + 28 a + 38\right)\cdot 113^{41} + \left(6 a^{2} + 47 a + 111\right)\cdot 113^{42} + \left(88 a^{2} + 75 a + 26\right)\cdot 113^{43} + \left(9 a^{2} + 108 a + 3\right)\cdot 113^{44} + \left(67 a^{2} + 61 a + 97\right)\cdot 113^{45} + \left(90 a^{2} + 7 a + 111\right)\cdot 113^{46} + \left(91 a^{2} + 76 a + 19\right)\cdot 113^{47} + \left(102 a^{2} + 86 a + 12\right)\cdot 113^{48} + \left(50 a^{2} + 58 a + 36\right)\cdot 113^{49} + \left(4 a^{2} + 2 a + 26\right)\cdot 113^{50} + \left(12 a^{2} + 21 a + 38\right)\cdot 113^{51} + \left(80 a^{2} + 10 a + 39\right)\cdot 113^{52} + \left(73 a^{2} + 19 a + 110\right)\cdot 113^{53} + \left(24 a^{2} + 32 a + 101\right)\cdot 113^{54} + \left(58 a^{2} + 17 a + 22\right)\cdot 113^{55} + \left(84 a^{2} + 23 a + 84\right)\cdot 113^{56} + \left(2 a^{2} + 94 a + 69\right)\cdot 113^{57} + \left(80 a^{2} + 24 a + 24\right)\cdot 113^{58} + \left(67 a^{2} + 53\right)\cdot 113^{59} + \left(52 a^{2} + 15 a + 37\right)\cdot 113^{60} + \left(76 a^{2} + 64 a + 57\right)\cdot 113^{61} + \left(63 a^{2} + 103 a + 107\right)\cdot 113^{62} + \left(41 a^{2} + 54 a + 44\right)\cdot 113^{63} + \left(7 a^{2} + 54 a + 102\right)\cdot 113^{64} + \left(68 a^{2} + 83 a + 62\right)\cdot 113^{65} + \left(86 a^{2} + 82 a + 63\right)\cdot 113^{66} + \left(63 a^{2} + 65 a + 52\right)\cdot 113^{67} + \left(106 a^{2} + 15 a + 44\right)\cdot 113^{68} + \left(20 a^{2} + 48 a + 66\right)\cdot 113^{69} + \left(72 a^{2} + 18 a + 24\right)\cdot 113^{70} + \left(38 a^{2} + 91 a + 14\right)\cdot 113^{71} + \left(77 a^{2} + 99 a + 97\right)\cdot 113^{72} + \left(77 a^{2} + 95 a + 62\right)\cdot 113^{73} + \left(108 a^{2} + 49 a + 32\right)\cdot 113^{74} + \left(32 a^{2} + 75 a + 101\right)\cdot 113^{75} + \left(53 a^{2} + 4\right)\cdot 113^{76} + \left(50 a^{2} + 74 a + 73\right)\cdot 113^{77} + \left(4 a^{2} + 35 a + 75\right)\cdot 113^{78} + \left(90 a^{2} + 108 a + 36\right)\cdot 113^{79} + \left(97 a^{2} + 17 a + 18\right)\cdot 113^{80} + \left(110 a^{2} + 81 a + 88\right)\cdot 113^{81} + \left(93 a^{2} + 103 a + 19\right)\cdot 113^{82} + \left(15 a^{2} + 15 a + 111\right)\cdot 113^{83} + \left(48 a^{2} + 82 a + 24\right)\cdot 113^{84} +O\left(113^{ 85 }\right)$
$r_{ 5 }$ $=$ $ 22 a^{2} + 62 a + 104 + \left(17 a^{2} + 106 a + 104\right)\cdot 113 + \left(81 a^{2} + 72 a + 29\right)\cdot 113^{2} + \left(25 a^{2} + 104 a + 9\right)\cdot 113^{3} + \left(75 a^{2} + 11 a + 84\right)\cdot 113^{4} + \left(92 a^{2} + 10 a + 66\right)\cdot 113^{5} + \left(85 a^{2} + 66 a + 20\right)\cdot 113^{6} + \left(88 a^{2} + 52 a + 99\right)\cdot 113^{7} + \left(78 a^{2} + 14 a + 99\right)\cdot 113^{8} + \left(82 a^{2} + 87 a + 32\right)\cdot 113^{9} + \left(5 a^{2} + 68 a + 16\right)\cdot 113^{10} + \left(24 a^{2} + 14 a + 101\right)\cdot 113^{11} + \left(38 a^{2} + 53 a + 5\right)\cdot 113^{12} + \left(62 a^{2} + 80 a + 42\right)\cdot 113^{13} + \left(17 a^{2} + 55 a + 65\right)\cdot 113^{14} + \left(65 a^{2} + 24 a + 51\right)\cdot 113^{15} + \left(82 a^{2} + 54 a + 101\right)\cdot 113^{16} + \left(34 a^{2} + 103 a + 66\right)\cdot 113^{17} + \left(60 a^{2} + 28 a + 3\right)\cdot 113^{18} + \left(47 a^{2} + 59 a + 78\right)\cdot 113^{19} + \left(3 a^{2} + 20 a + 91\right)\cdot 113^{20} + \left(102 a^{2} + 84 a + 54\right)\cdot 113^{21} + \left(99 a^{2} + 3 a + 103\right)\cdot 113^{22} + \left(22 a^{2} + 74 a + 96\right)\cdot 113^{23} + \left(65 a^{2} + 14 a + 92\right)\cdot 113^{24} + \left(76 a^{2} + 53 a + 56\right)\cdot 113^{25} + \left(109 a^{2} + 48 a + 8\right)\cdot 113^{26} + \left(18 a^{2} + 58 a + 45\right)\cdot 113^{27} + \left(5 a^{2} + 61 a + 89\right)\cdot 113^{28} + \left(33 a^{2} + 86 a + 26\right)\cdot 113^{29} + \left(41 a^{2} + 20 a + 31\right)\cdot 113^{30} + \left(57 a^{2} + 5 a + 34\right)\cdot 113^{31} + \left(81 a^{2} + 37 a + 108\right)\cdot 113^{32} + \left(41 a^{2} + 39 a + 14\right)\cdot 113^{33} + \left(23 a^{2} + 14 a + 12\right)\cdot 113^{34} + \left(66 a^{2} + 104\right)\cdot 113^{35} + \left(50 a^{2} + 112 a + 33\right)\cdot 113^{36} + \left(98 a^{2} + 37 a + 67\right)\cdot 113^{37} + \left(80 a^{2} + 25 a + 85\right)\cdot 113^{38} + \left(61 a^{2} + 54 a + 94\right)\cdot 113^{39} + \left(37 a^{2} + 104 a + 70\right)\cdot 113^{40} + \left(82 a^{2} + 60 a + 32\right)\cdot 113^{41} + \left(21 a^{2} + 49 a + 52\right)\cdot 113^{42} + \left(37 a^{2} + 45 a + 6\right)\cdot 113^{43} + \left(76 a^{2} + 29 a + 71\right)\cdot 113^{44} + \left(30 a^{2} + 54 a + 23\right)\cdot 113^{45} + \left(16 a^{2} + 21 a + 15\right)\cdot 113^{46} + \left(61 a^{2} + 30 a + 23\right)\cdot 113^{47} + \left(67 a + 102\right)\cdot 113^{48} + \left(20 a^{2} + 18 a + 66\right)\cdot 113^{49} + \left(24 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 113^{50} + \left(71 a^{2} + 80 a + 28\right)\cdot 113^{51} + \left(9 a^{2} + 18 a + 112\right)\cdot 113^{52} + \left(65 a^{2} + 5 a + 41\right)\cdot 113^{53} + \left(91 a^{2} + 75 a + 19\right)\cdot 113^{54} + \left(54 a^{2} + 100 a + 44\right)\cdot 113^{55} + \left(17 a^{2} + 63 a + 60\right)\cdot 113^{56} + \left(22 a^{2} + 98 a + 104\right)\cdot 113^{57} + \left(109 a^{2} + 29 a + 59\right)\cdot 113^{58} + \left(17 a^{2} + 89 a + 46\right)\cdot 113^{59} + \left(89 a^{2} + 30 a + 58\right)\cdot 113^{60} + \left(51 a^{2} + 40 a + 103\right)\cdot 113^{61} + \left(25 a^{2} + 14 a + 70\right)\cdot 113^{62} + \left(56 a^{2} + 75 a + 6\right)\cdot 113^{63} + \left(19 a^{2} + 45 a + 52\right)\cdot 113^{64} + \left(16 a^{2} + 42 a + 8\right)\cdot 113^{65} + \left(54 a^{2} + 43 a + 61\right)\cdot 113^{66} + \left(43 a^{2} + 2 a + 109\right)\cdot 113^{67} + \left(73 a^{2} + 104 a + 1\right)\cdot 113^{68} + \left(69 a^{2} + 107 a + 64\right)\cdot 113^{69} + \left(100 a^{2} + 44 a + 33\right)\cdot 113^{70} + \left(99 a^{2} + 102 a + 60\right)\cdot 113^{71} + \left(56 a^{2} + 2 a + 49\right)\cdot 113^{72} + \left(a^{2} + 105 a + 86\right)\cdot 113^{73} + \left(105 a^{2} + 33 a + 91\right)\cdot 113^{74} + \left(14 a^{2} + 109 a + 101\right)\cdot 113^{75} + \left(5 a^{2} + 28 a + 77\right)\cdot 113^{76} + \left(60 a^{2} + 49 a + 43\right)\cdot 113^{77} + \left(23 a^{2} + 5 a + 110\right)\cdot 113^{78} + \left(98 a^{2} + 8 a + 52\right)\cdot 113^{79} + \left(58 a^{2} + 87 a + 91\right)\cdot 113^{80} + \left(27 a^{2} + 41 a + 95\right)\cdot 113^{81} + \left(98 a^{2} + 85 a + 94\right)\cdot 113^{82} + \left(69 a^{2} + 73 a + 92\right)\cdot 113^{83} + \left(73 a^{2} + 5 a + 80\right)\cdot 113^{84} +O\left(113^{ 85 }\right)$
$r_{ 6 }$ $=$ $ 37 a^{2} + 35 a + 71 + \left(9 a^{2} + 5 a + 100\right)\cdot 113 + \left(48 a^{2} + 53 a + 41\right)\cdot 113^{2} + \left(27 a^{2} + 24 a + 18\right)\cdot 113^{3} + \left(75 a^{2} + 66 a + 84\right)\cdot 113^{4} + \left(92 a^{2} + 87 a + 66\right)\cdot 113^{5} + \left(44 a^{2} + 10 a + 65\right)\cdot 113^{6} + \left(43 a^{2} + 99 a + 45\right)\cdot 113^{7} + \left(31 a^{2} + 89 a + 35\right)\cdot 113^{8} + \left(102 a^{2} + 30 a + 24\right)\cdot 113^{9} + \left(82 a^{2} + 13 a + 51\right)\cdot 113^{10} + \left(85 a^{2} + 32 a + 53\right)\cdot 113^{11} + \left(23 a^{2} + 102 a + 79\right)\cdot 113^{12} + \left(77 a^{2} + 98 a + 83\right)\cdot 113^{13} + \left(102 a^{2} + 2 a + 29\right)\cdot 113^{14} + \left(67 a^{2} + 35 a + 66\right)\cdot 113^{15} + \left(51 a^{2} + 55 a + 11\right)\cdot 113^{16} + \left(89 a^{2} + 107 a + 95\right)\cdot 113^{17} + \left(112 a^{2} + 8 a + 19\right)\cdot 113^{18} + \left(15 a^{2} + 52 a + 98\right)\cdot 113^{19} + \left(28 a^{2} + 78 a + 72\right)\cdot 113^{20} + \left(94 a^{2} + 68 a + 88\right)\cdot 113^{21} + \left(13 a^{2} + 52 a + 58\right)\cdot 113^{22} + \left(50 a^{2} + 78 a + 91\right)\cdot 113^{23} + \left(66 a^{2} + 100 a + 61\right)\cdot 113^{24} + \left(99 a^{2} + 52 a + 66\right)\cdot 113^{25} + \left(79 a^{2} + 64 a + 75\right)\cdot 113^{26} + \left(85 a^{2} + 28 a + 99\right)\cdot 113^{27} + \left(76 a^{2} + 76 a + 56\right)\cdot 113^{28} + \left(93 a^{2} + 108 a + 86\right)\cdot 113^{29} + \left(76 a^{2} + 68 a + 107\right)\cdot 113^{30} + \left(18 a^{2} + 61 a + 53\right)\cdot 113^{31} + \left(7 a^{2} + 31 a + 88\right)\cdot 113^{32} + \left(82 a^{2} + 83 a + 41\right)\cdot 113^{33} + \left(90 a^{2} + 23 a + 32\right)\cdot 113^{34} + \left(47 a^{2} + 49 a + 81\right)\cdot 113^{35} + \left(49 a^{2} + 103 a + 27\right)\cdot 113^{36} + \left(60 a^{2} + 81 a + 15\right)\cdot 113^{37} + \left(45 a^{2} + 48 a + 10\right)\cdot 113^{38} + \left(87 a^{2} + 48 a + 81\right)\cdot 113^{39} + \left(59 a^{2} + 54 a + 38\right)\cdot 113^{40} + \left(13 a^{2} + 17 a + 42\right)\cdot 113^{41} + \left(104 a^{2} + 23 a + 77\right)\cdot 113^{42} + \left(73 a^{2} + 70 a + 51\right)\cdot 113^{43} + \left(43 a^{2} + 6 a + 47\right)\cdot 113^{44} + \left(112 a^{2} + 18 a + 7\right)\cdot 113^{45} + \left(87 a^{2} + 48 a + 21\right)\cdot 113^{46} + \left(111 a^{2} + 71 a + 67\right)\cdot 113^{47} + \left(81 a^{2} + 86 a + 84\right)\cdot 113^{48} + \left(99 a^{2} + 42 a + 77\right)\cdot 113^{49} + \left(23 a^{2} + 6 a + 49\right)\cdot 113^{50} + \left(8 a^{2} + 42 a + 106\right)\cdot 113^{51} + \left(86 a^{2} + 19 a + 67\right)\cdot 113^{52} + \left(38 a^{2} + 112 a + 14\right)\cdot 113^{53} + \left(85 a^{2} + 96 a + 99\right)\cdot 113^{54} + \left(41 a^{2} + 49\right)\cdot 113^{55} + \left(76 a^{2} + 91 a + 35\right)\cdot 113^{56} + \left(109 a^{2} + 27 a + 6\right)\cdot 113^{57} + \left(103 a^{2} + 101 a + 32\right)\cdot 113^{58} + \left(100 a^{2} + 98 a + 112\right)\cdot 113^{59} + \left(76 a^{2} + 70 a + 105\right)\cdot 113^{60} + \left(50 a^{2} + 66 a + 59\right)\cdot 113^{61} + \left(85 a^{2} + 99 a + 89\right)\cdot 113^{62} + \left(89 a^{2} + 85 a + 34\right)\cdot 113^{63} + \left(107 a^{2} + 51 a + 33\right)\cdot 113^{64} + \left(95 a^{2} + 89 a + 57\right)\cdot 113^{65} + \left(23 a^{2} + 49 a + 12\right)\cdot 113^{66} + \left(95 a^{2} + 91 a + 84\right)\cdot 113^{67} + \left(38 a^{2} + 29 a + 43\right)\cdot 113^{68} + \left(29 a^{2} + 42 a + 37\right)\cdot 113^{69} + \left(18 a^{2} + 15 a + 46\right)\cdot 113^{70} + \left(93 a^{2} + 92 a + 24\right)\cdot 113^{71} + \left(80 a^{2} + 60 a + 64\right)\cdot 113^{72} + \left(82 a^{2} + 23 a + 67\right)\cdot 113^{73} + \left(102 a^{2} + 73 a + 79\right)\cdot 113^{74} + \left(6 a^{2} + 23 a + 96\right)\cdot 113^{75} + \left(78 a^{2} + 89 a + 14\right)\cdot 113^{76} + \left(27 a^{2} + 34 a + 97\right)\cdot 113^{77} + \left(81 a^{2} + 42 a + 3\right)\cdot 113^{78} + \left(82 a^{2} + 34 a + 8\right)\cdot 113^{79} + \left(16 a^{2} + 29 a + 55\right)\cdot 113^{80} + \left(73 a^{2} + 41 a + 75\right)\cdot 113^{81} + \left(4 a^{2} + 53 a + 47\right)\cdot 113^{82} + \left(84 a^{2} + 73 a + 55\right)\cdot 113^{83} + \left(63 a^{2} + 92 a + 103\right)\cdot 113^{84} +O\left(113^{ 85 }\right)$
$r_{ 7 }$ $=$ $ 54 a^{2} + 16 a + 11 + \left(86 a^{2} + a + 60\right)\cdot 113 + \left(96 a^{2} + 100 a + 75\right)\cdot 113^{2} + \left(59 a^{2} + 96 a + 40\right)\cdot 113^{3} + \left(75 a^{2} + 34 a + 10\right)\cdot 113^{4} + \left(40 a^{2} + 15 a + 53\right)\cdot 113^{5} + \left(95 a^{2} + 36 a + 71\right)\cdot 113^{6} + \left(93 a^{2} + 74 a + 88\right)\cdot 113^{7} + \left(2 a^{2} + 8 a + 33\right)\cdot 113^{8} + \left(41 a^{2} + 108 a + 74\right)\cdot 113^{9} + \left(24 a^{2} + 30 a + 2\right)\cdot 113^{10} + \left(3 a^{2} + 66 a + 103\right)\cdot 113^{11} + \left(51 a^{2} + 70 a + 111\right)\cdot 113^{12} + \left(86 a^{2} + 46 a + 19\right)\cdot 113^{13} + \left(105 a^{2} + 54 a + 46\right)\cdot 113^{14} + \left(92 a^{2} + 53 a + 11\right)\cdot 113^{15} + \left(91 a^{2} + 3 a\right)\cdot 113^{16} + \left(101 a^{2} + 15 a + 48\right)\cdot 113^{17} + \left(52 a^{2} + 75 a + 39\right)\cdot 113^{18} + \left(49 a^{2} + a + 88\right)\cdot 113^{19} + \left(81 a^{2} + 14 a + 55\right)\cdot 113^{20} + \left(29 a^{2} + 73 a + 83\right)\cdot 113^{21} + \left(112 a^{2} + 56 a + 18\right)\cdot 113^{22} + \left(39 a^{2} + 73 a + 75\right)\cdot 113^{23} + \left(94 a^{2} + 110 a + 97\right)\cdot 113^{24} + \left(49 a^{2} + 6 a + 64\right)\cdot 113^{25} + \left(36 a^{2} + 107\right)\cdot 113^{26} + \left(8 a^{2} + 26 a + 25\right)\cdot 113^{27} + \left(31 a^{2} + 88 a + 39\right)\cdot 113^{28} + \left(99 a^{2} + 30 a + 3\right)\cdot 113^{29} + \left(107 a^{2} + 23 a + 85\right)\cdot 113^{30} + \left(36 a^{2} + 46 a\right)\cdot 113^{31} + \left(24 a^{2} + 44 a + 67\right)\cdot 113^{32} + \left(102 a^{2} + 103 a + 111\right)\cdot 113^{33} + \left(111 a^{2} + 74 a + 69\right)\cdot 113^{34} + \left(111 a^{2} + 63 a + 84\right)\cdot 113^{35} + \left(12 a^{2} + 10 a + 21\right)\cdot 113^{36} + \left(67 a^{2} + 106 a + 13\right)\cdot 113^{37} + \left(99 a^{2} + 38 a + 110\right)\cdot 113^{38} + \left(76 a^{2} + 10 a + 24\right)\cdot 113^{39} + \left(15 a^{2} + 67 a + 67\right)\cdot 113^{40} + \left(17 a^{2} + 34 a + 61\right)\cdot 113^{41} + \left(100 a^{2} + 40 a + 18\right)\cdot 113^{42} + \left(a^{2} + 110 a + 44\right)\cdot 113^{43} + \left(106 a^{2} + 76 a + 3\right)\cdot 113^{44} + \left(82 a^{2} + 40 a + 1\right)\cdot 113^{45} + \left(8 a^{2} + 43 a + 88\right)\cdot 113^{46} + \left(53 a^{2} + 11 a + 17\right)\cdot 113^{47} + \left(30 a^{2} + 72 a + 111\right)\cdot 113^{48} + \left(106 a^{2} + 51 a + 74\right)\cdot 113^{49} + \left(64 a^{2} + 104 a + 42\right)\cdot 113^{50} + \left(33 a^{2} + 103 a + 53\right)\cdot 113^{51} + \left(17 a^{2} + 74 a + 2\right)\cdot 113^{52} + \left(9 a^{2} + 108 a + 45\right)\cdot 113^{53} + \left(49 a^{2} + 53 a + 56\right)\cdot 113^{54} + \left(16 a^{2} + 11 a + 65\right)\cdot 113^{55} + \left(19 a^{2} + 71 a + 31\right)\cdot 113^{56} + \left(94 a^{2} + 99 a + 74\right)\cdot 113^{57} + \left(12 a^{2} + 94 a + 35\right)\cdot 113^{58} + \left(107 a^{2} + 37 a + 32\right)\cdot 113^{59} + \left(59 a^{2} + 11 a + 53\right)\cdot 113^{60} + \left(10 a^{2} + 6 a + 109\right)\cdot 113^{61} + \left(2 a^{2} + 112 a + 96\right)\cdot 113^{62} + \left(80 a^{2} + 64 a + 95\right)\cdot 113^{63} + \left(98 a^{2} + 15 a + 97\right)\cdot 113^{64} + \left(94 a + 39\right)\cdot 113^{65} + \left(35 a^{2} + 19 a + 34\right)\cdot 113^{66} + \left(87 a^{2} + 19 a + 4\right)\cdot 113^{67} + \left(92 a + 29\right)\cdot 113^{68} + \left(14 a^{2} + 75 a + 106\right)\cdot 113^{69} + \left(107 a^{2} + 52 a + 105\right)\cdot 113^{70} + \left(32 a^{2} + 31 a + 79\right)\cdot 113^{71} + \left(88 a^{2} + 49 a + 28\right)\cdot 113^{72} + \left(28 a^{2} + 97 a + 81\right)\cdot 113^{73} + \left(18 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 113^{74} + \left(91 a^{2} + 93 a + 94\right)\cdot 113^{75} + \left(29 a^{2} + 107 a + 58\right)\cdot 113^{76} + \left(25 a^{2} + 28 a + 46\right)\cdot 113^{77} + \left(8 a^{2} + 65 a + 66\right)\cdot 113^{78} + \left(45 a^{2} + 70 a + 108\right)\cdot 113^{79} + \left(37 a^{2} + 109 a + 89\right)\cdot 113^{80} + \left(12 a^{2} + 29 a + 14\right)\cdot 113^{81} + \left(10 a^{2} + 87 a + 39\right)\cdot 113^{82} + \left(72 a^{2} + 78 a + 29\right)\cdot 113^{83} + \left(88 a^{2} + 14 a + 10\right)\cdot 113^{84} +O\left(113^{ 85 }\right)$
$r_{ 8 }$ $=$ $ 75 a^{2} + 70 a + 101 + \left(42 a^{2} + 36 a + 67\right)\cdot 113 + \left(93 a^{2} + 92 a + 109\right)\cdot 113^{2} + \left(71 a^{2} + 53 a + 60\right)\cdot 113^{3} + \left(9 a^{2} + 50 a + 26\right)\cdot 113^{4} + \left(64 a^{2} + 51 a + 91\right)\cdot 113^{5} + \left(41 a^{2} + 16 a + 79\right)\cdot 113^{6} + \left(40 a^{2} + 59 a + 41\right)\cdot 113^{7} + \left(70 a + 16\right)\cdot 113^{8} + \left(9 a^{2} + 111 a + 16\right)\cdot 113^{9} + \left(43 a^{2} + 98 a + 13\right)\cdot 113^{10} + \left(51 a^{2} + 77 a + 110\right)\cdot 113^{11} + \left(92 a^{2} + 83 a + 6\right)\cdot 113^{12} + \left(104 a^{2} + 69 a + 75\right)\cdot 113^{13} + \left(95 a^{2} + 68 a + 25\right)\cdot 113^{14} + \left(111 a^{2} + 94 a + 24\right)\cdot 113^{15} + \left(111 a^{2} + 86 a + 86\right)\cdot 113^{16} + \left(78 a^{2} + 91 a + 51\right)\cdot 113^{17} + \left(110 a^{2} + 110 a + 80\right)\cdot 113^{18} + \left(107 a^{2} + 70 a + 107\right)\cdot 113^{19} + \left(69 a^{2} + 101 a + 102\right)\cdot 113^{20} + \left(68 a^{2} + 105 a + 94\right)\cdot 113^{21} + \left(90 a^{2} + 66 a + 107\right)\cdot 113^{22} + \left(83 a^{2} + 107 a + 110\right)\cdot 113^{23} + \left(18 a^{2} + 47 a + 65\right)\cdot 113^{24} + \left(74 a^{2} + 60 a + 98\right)\cdot 113^{25} + \left(25 a^{2} + 57 a + 64\right)\cdot 113^{26} + \left(88 a^{2} + 52 a + 108\right)\cdot 113^{27} + \left(66 a^{2} + 106 a + 107\right)\cdot 113^{28} + \left(91 a^{2} + 71 a + 59\right)\cdot 113^{29} + \left(19 a^{2} + 62 a + 18\right)\cdot 113^{30} + \left(21 a^{2} + 67 a + 79\right)\cdot 113^{31} + \left(77 a^{2} + 38 a + 29\right)\cdot 113^{32} + \left(91 a^{2} + 16 a + 10\right)\cdot 113^{33} + \left(78 a^{2} + 105 a + 60\right)\cdot 113^{34} + \left(36 a^{2} + 64 a + 103\right)\cdot 113^{35} + \left(90 a^{2} + 18 a + 106\right)\cdot 113^{36} + \left(84 a^{2} + 73 a + 32\right)\cdot 113^{37} + \left(20 a^{2} + 17 a + 72\right)\cdot 113^{38} + \left(105 a^{2} + 108 a + 44\right)\cdot 113^{39} + \left(100 a^{2} + 51 a + 23\right)\cdot 113^{40} + \left(109 a^{2} + 67 a + 43\right)\cdot 113^{41} + \left(104 a^{2} + 110 a + 33\right)\cdot 113^{42} + \left(29 a^{2} + 104 a + 18\right)\cdot 113^{43} + \left(51 a^{2} + 46 a + 36\right)\cdot 113^{44} + \left(101 a^{2} + 97 a + 54\right)\cdot 113^{45} + \left(75 a^{2} + 57 a + 33\right)\cdot 113^{46} + \left(a^{2} + 53 a + 104\right)\cdot 113^{47} + \left(76 a^{2} + 74 a + 19\right)\cdot 113^{48} + \left(30 a^{2} + 44 a + 41\right)\cdot 113^{49} + \left(18 a^{2} + 109 a + 62\right)\cdot 113^{50} + \left(85 a^{2} + 63 a + 51\right)\cdot 113^{51} + \left(70 a^{2} + 90 a + 102\right)\cdot 113^{52} + \left(89 a^{2} + 27 a + 6\right)\cdot 113^{53} + \left(73 a^{2} + 100 a + 25\right)\cdot 113^{54} + \left(87 a^{2} + 82 a + 29\right)\cdot 113^{55} + \left(33 a^{2} + 98 a + 77\right)\cdot 113^{56} + \left(61 a^{2} + 55 a + 80\right)\cdot 113^{57} + \left(107 a^{2} + 40 a + 20\right)\cdot 113^{58} + \left(91 a^{2} + 76 a + 107\right)\cdot 113^{59} + \left(104 a^{2} + 42 a + 89\right)\cdot 113^{60} + \left(58 a^{2} + 46 a + 76\right)\cdot 113^{61} + \left(5 a^{2} + 12 a + 98\right)\cdot 113^{62} + \left(10 a^{2} + 31 a + 102\right)\cdot 113^{63} + \left(29 a^{2} + 66 a + 29\right)\cdot 113^{64} + \left(34 a^{2} + 49 a + 33\right)\cdot 113^{65} + \left(6 a^{2} + 6 a + 87\right)\cdot 113^{66} + \left(18 a^{2} + 38 a + 34\right)\cdot 113^{67} + \left(73 a^{2} + 28 a + 92\right)\cdot 113^{68} + \left(10 a^{2} + 82 a + 86\right)\cdot 113^{69} + \left(112 a^{2} + 106 a + 86\right)\cdot 113^{70} + \left(68 a^{2} + 90 a + 100\right)\cdot 113^{71} + \left(36 a^{2} + 105\right)\cdot 113^{72} + \left(106 a^{2} + 6 a + 64\right)\cdot 113^{73} + \left(65 a^{2} + 101 a + 30\right)\cdot 113^{74} + \left(73 a^{2} + 108 a + 54\right)\cdot 113^{75} + \left(9 a^{2} + 69 a + 73\right)\cdot 113^{76} + \left(96 a^{2} + 52 a + 52\right)\cdot 113^{77} + \left(111 a^{2} + 26 a + 83\right)\cdot 113^{78} + \left(71 a^{2} + 79 a + 15\right)\cdot 113^{79} + \left(29 a^{2} + 2 a + 69\right)\cdot 113^{80} + \left(60 a^{2} + 107 a + 6\right)\cdot 113^{81} + \left(79 a^{2} + 48 a + 18\right)\cdot 113^{82} + \left(94 a^{2} + 49 a + 42\right)\cdot 113^{83} + \left(58 a^{2} + 106 a + 44\right)\cdot 113^{84} +O\left(113^{ 85 }\right)$

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 8 }$

Cycle notation
$(1,5,6,7)$
$(1,2)(3,5)(4,6)(7,8)$
$(1,5)$

Character values on conjugacy classes

SizeOrderAction on $r_1, \ldots, r_{ 8 }$ Character value
$1$$1$$()$$9$
$6$$2$$(2,4)(3,8)$$-3$
$9$$2$$(1,6)(2,4)(3,8)(5,7)$$1$
$12$$2$$(2,3)$$3$
$24$$2$$(1,2)(3,5)(4,6)(7,8)$$3$
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$36$$2$$(1,6)(2,3)(5,7)$$-1$
$16$$3$$(5,7,6)$$0$
$64$$3$$(2,4,8)(5,6,7)$$0$
$12$$4$$(2,3,4,8)$$-3$
$36$$4$$(1,5,6,7)(2,3,4,8)$$1$
$36$$4$$(1,5,6,7)(2,4)(3,8)$$1$
$72$$4$$(1,2,6,4)(3,7,8,5)$$-1$
$72$$4$$(1,5,6,7)(2,3)$$-1$
$144$$4$$(1,2,5,3)(4,6)(7,8)$$1$
$48$$6$$(2,4)(3,8)(5,6,7)$$0$
$96$$6$$(2,3)(5,7,6)$$0$
$192$$6$$(1,3)(2,5,4,6,8,7)$$0$
$144$$8$$(1,2,5,3,6,4,7,8)$$-1$
$96$$12$$(2,3,4,8)(5,7,6)$$0$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.