Properties

Label 9.2e12_3e3_11e3_17e3.12t165.1c1
Dimension 9
Group $(A_4\wr C_2):C_2$
Conductor $ 2^{12} \cdot 3^{3} \cdot 11^{3} \cdot 17^{3}$
Root number 1
Frobenius-Schur indicator 1

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Basic invariants

Dimension:$9$
Group:$(A_4\wr C_2):C_2$
Conductor:$723183538176= 2^{12} \cdot 3^{3} \cdot 11^{3} \cdot 17^{3} $
Artin number field: Splitting field of $f= x^{8} - 4 x^{7} + 4 x^{6} - 25 x^{4} + 50 x^{3} + 16 $ over $\Q$
Size of Galois orbit: 1
Smallest containing permutation representation: 12T165
Parity: Even
Determinant: 1.3_11_17.2t1.1c1

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 67 }$ to precision 67.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 67 }$: $ x^{3} + 6 x + 65 $
Roots:
$r_{ 1 }$ $=$ $ 49 a^{2} + 59 a + 10 + \left(11 a^{2} + 21 a + 12\right)\cdot 67 + \left(59 a^{2} + 21\right)\cdot 67^{2} + \left(34 a^{2} + 58 a + 45\right)\cdot 67^{3} + \left(66 a^{2} + 35 a + 49\right)\cdot 67^{4} + \left(45 a^{2} + 62 a + 44\right)\cdot 67^{5} + \left(41 a^{2} + 2 a + 64\right)\cdot 67^{6} + \left(60 a^{2} + 38 a + 29\right)\cdot 67^{7} + \left(11 a^{2} + 29 a + 39\right)\cdot 67^{8} + \left(22 a^{2} + 5 a + 36\right)\cdot 67^{9} + \left(56 a^{2} + 60 a + 27\right)\cdot 67^{10} + \left(19 a^{2} + 54 a + 32\right)\cdot 67^{11} + \left(34 a^{2} + 58 a + 38\right)\cdot 67^{12} + \left(a^{2} + 38 a + 9\right)\cdot 67^{13} + \left(23 a^{2} + 30 a + 10\right)\cdot 67^{14} + \left(52 a^{2} + 51 a + 54\right)\cdot 67^{15} + \left(36 a^{2} + 64 a + 34\right)\cdot 67^{16} + \left(27 a^{2} + 4 a + 49\right)\cdot 67^{17} + \left(54 a^{2} + 51 a + 20\right)\cdot 67^{18} + \left(46 a^{2} + 17 a + 56\right)\cdot 67^{19} + \left(44 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 67^{20} + \left(15 a^{2} + 58 a + 17\right)\cdot 67^{21} + \left(62 a^{2} + 53 a + 44\right)\cdot 67^{22} + \left(51 a^{2} + 26 a + 39\right)\cdot 67^{23} + \left(55 a^{2} + 46 a + 28\right)\cdot 67^{24} + \left(a^{2} + 55 a + 11\right)\cdot 67^{25} + \left(62 a^{2} + 30 a + 35\right)\cdot 67^{26} + \left(44 a^{2} + 26 a + 29\right)\cdot 67^{27} + \left(a^{2} + 4 a + 43\right)\cdot 67^{28} + \left(62 a^{2} + 20 a + 53\right)\cdot 67^{29} + \left(65 a^{2} + 41 a + 47\right)\cdot 67^{30} + \left(2 a^{2} + 33 a + 9\right)\cdot 67^{31} + \left(62 a^{2} + 40 a + 33\right)\cdot 67^{32} + \left(54 a^{2} + 43 a + 55\right)\cdot 67^{33} + \left(6 a^{2} + 56 a + 41\right)\cdot 67^{34} + \left(23 a^{2} + 46 a + 20\right)\cdot 67^{35} + \left(62 a^{2} + 25 a + 50\right)\cdot 67^{36} + \left(43 a^{2} + 55 a + 50\right)\cdot 67^{37} + \left(64 a^{2} + 53 a + 65\right)\cdot 67^{38} + \left(60 a^{2} + 11 a + 57\right)\cdot 67^{39} + \left(3 a^{2} + a + 41\right)\cdot 67^{40} + \left(61 a^{2} + 31 a + 1\right)\cdot 67^{41} + \left(25 a^{2} + 54 a + 47\right)\cdot 67^{42} + \left(19 a^{2} + 14 a + 62\right)\cdot 67^{43} + \left(47 a^{2} + 19 a + 64\right)\cdot 67^{44} + \left(43 a^{2} + 55 a + 52\right)\cdot 67^{45} + \left(22 a^{2} + 53 a + 24\right)\cdot 67^{46} + \left(30 a^{2} + 43 a + 24\right)\cdot 67^{47} + \left(55 a^{2} + 22 a + 3\right)\cdot 67^{48} + \left(17 a^{2} + 23 a + 56\right)\cdot 67^{49} + \left(34 a^{2} + 45 a + 60\right)\cdot 67^{50} + \left(14 a^{2} + 36 a + 22\right)\cdot 67^{51} + \left(50 a^{2} + 30 a + 18\right)\cdot 67^{52} + \left(37 a^{2} + 43 a + 48\right)\cdot 67^{53} + \left(39 a^{2} + 10 a + 31\right)\cdot 67^{54} + \left(6 a^{2} + 36 a + 17\right)\cdot 67^{55} + \left(53 a^{2} + 13 a\right)\cdot 67^{56} + \left(63 a^{2} + 50 a + 48\right)\cdot 67^{57} + \left(29 a^{2} + 41 a + 41\right)\cdot 67^{58} + \left(a^{2} + 5 a + 21\right)\cdot 67^{59} + \left(40 a^{2} + 4 a + 25\right)\cdot 67^{60} + \left(59 a^{2} + 62 a + 53\right)\cdot 67^{61} + \left(52 a^{2} + 52 a + 29\right)\cdot 67^{62} + \left(3 a^{2} + 7 a + 25\right)\cdot 67^{63} + \left(57 a^{2} + 66 a + 55\right)\cdot 67^{64} + \left(61 a^{2} + 2 a + 52\right)\cdot 67^{65} + \left(46 a^{2} + 20 a + 32\right)\cdot 67^{66} +O\left(67^{ 67 }\right)$
$r_{ 2 }$ $=$ $ 46 + 28\cdot 67 + 50\cdot 67^{2} + 52\cdot 67^{3} + 38\cdot 67^{4} + 25\cdot 67^{5} + 20\cdot 67^{6} + 16\cdot 67^{7} + 43\cdot 67^{8} + 35\cdot 67^{9} + 18\cdot 67^{10} + 34\cdot 67^{11} + 45\cdot 67^{12} + 21\cdot 67^{13} + 62\cdot 67^{14} + 46\cdot 67^{15} + 8\cdot 67^{16} + 2\cdot 67^{17} + 10\cdot 67^{18} + 46\cdot 67^{19} + 39\cdot 67^{20} + 18\cdot 67^{21} + 4\cdot 67^{22} + 48\cdot 67^{23} + 17\cdot 67^{24} + 16\cdot 67^{25} + 58\cdot 67^{26} + 67^{27} + 41\cdot 67^{28} + 34\cdot 67^{29} + 21\cdot 67^{30} + 50\cdot 67^{31} + 4\cdot 67^{32} + 57\cdot 67^{33} + 53\cdot 67^{34} + 31\cdot 67^{35} + 21\cdot 67^{36} + 25\cdot 67^{37} + 6\cdot 67^{38} + 42\cdot 67^{39} + 39\cdot 67^{40} + 41\cdot 67^{41} + 19\cdot 67^{42} + 17\cdot 67^{43} + 32\cdot 67^{44} + 46\cdot 67^{45} + 2\cdot 67^{46} + 42\cdot 67^{47} + 67^{48} + 28\cdot 67^{49} + 63\cdot 67^{50} + 23\cdot 67^{51} + 5\cdot 67^{52} + 31\cdot 67^{53} + 42\cdot 67^{54} + 19\cdot 67^{55} + 43\cdot 67^{56} + 17\cdot 67^{57} + 7\cdot 67^{58} + 63\cdot 67^{59} + 28\cdot 67^{60} + 7\cdot 67^{61} + 62\cdot 67^{62} + 55\cdot 67^{63} + 47\cdot 67^{64} + 34\cdot 67^{65} + 40\cdot 67^{66} +O\left(67^{ 67 }\right)$
$r_{ 3 }$ $=$ $ 22 a^{2} + 7 a + 51 + \left(22 a^{2} + 53 a + 12\right)\cdot 67 + \left(32 a^{2} + 25 a + 23\right)\cdot 67^{2} + \left(5 a^{2} + 40 a + 4\right)\cdot 67^{3} + \left(49 a^{2} + 39 a + 27\right)\cdot 67^{4} + \left(60 a^{2} + 10 a + 33\right)\cdot 67^{5} + \left(23 a^{2} + 16 a + 66\right)\cdot 67^{6} + \left(47 a^{2} + 47 a + 49\right)\cdot 67^{7} + \left(19 a^{2} + 54 a + 19\right)\cdot 67^{8} + \left(36 a^{2} + 10 a + 66\right)\cdot 67^{9} + \left(28 a^{2} + 31 a + 40\right)\cdot 67^{10} + \left(12 a^{2} + 38 a + 60\right)\cdot 67^{11} + \left(32 a^{2} + 56 a + 1\right)\cdot 67^{12} + \left(55 a^{2} + 58 a + 36\right)\cdot 67^{13} + \left(21 a^{2} + 9 a + 66\right)\cdot 67^{14} + \left(27 a^{2} + 12 a + 48\right)\cdot 67^{15} + \left(4 a^{2} + 40 a + 14\right)\cdot 67^{16} + \left(50 a^{2} + 46 a + 43\right)\cdot 67^{17} + \left(52 a^{2} + 19 a + 6\right)\cdot 67^{18} + \left(6 a^{2} + 30 a + 34\right)\cdot 67^{19} + \left(51 a^{2} + 23 a + 12\right)\cdot 67^{20} + \left(23 a^{2} + 19 a + 44\right)\cdot 67^{21} + \left(30 a^{2} + 11 a + 30\right)\cdot 67^{22} + \left(7 a^{2} + 61 a + 58\right)\cdot 67^{23} + \left(2 a^{2} + 59 a + 24\right)\cdot 67^{24} + \left(60 a^{2} + 54 a + 11\right)\cdot 67^{25} + \left(11 a^{2} + 58 a + 28\right)\cdot 67^{26} + \left(50 a^{2} + 27 a + 21\right)\cdot 67^{27} + \left(39 a^{2} + 56 a + 11\right)\cdot 67^{28} + \left(20 a^{2} + 59 a + 26\right)\cdot 67^{29} + \left(29 a^{2} + 56 a + 65\right)\cdot 67^{30} + \left(53 a^{2} + 20 a + 62\right)\cdot 67^{31} + \left(17 a^{2} + 63 a + 24\right)\cdot 67^{32} + \left(25 a^{2} + 60 a + 37\right)\cdot 67^{33} + \left(8 a^{2} + 30 a + 15\right)\cdot 67^{34} + \left(40 a^{2} + 63 a + 38\right)\cdot 67^{35} + \left(32 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 67^{36} + \left(12 a^{2} + 49 a + 19\right)\cdot 67^{37} + \left(52 a^{2} + 20 a + 50\right)\cdot 67^{38} + \left(35 a + 33\right)\cdot 67^{39} + \left(13 a^{2} + 19 a + 16\right)\cdot 67^{40} + \left(38 a^{2} + 16 a + 27\right)\cdot 67^{41} + \left(47 a^{2} + 5 a + 27\right)\cdot 67^{42} + \left(24 a^{2} + 20 a + 48\right)\cdot 67^{43} + \left(60 a^{2} + 14 a + 29\right)\cdot 67^{44} + \left(13 a^{2} + 42 a + 62\right)\cdot 67^{45} + \left(22 a^{2} + 44 a + 20\right)\cdot 67^{46} + \left(65 a^{2} + 15 a + 46\right)\cdot 67^{47} + \left(42 a^{2} + 46 a + 59\right)\cdot 67^{48} + \left(14 a^{2} + 55 a + 26\right)\cdot 67^{49} + \left(24 a^{2} + 42 a + 53\right)\cdot 67^{50} + \left(4 a^{2} + 63 a + 31\right)\cdot 67^{51} + \left(48 a^{2} + 31 a + 56\right)\cdot 67^{52} + \left(4 a^{2} + 21 a + 30\right)\cdot 67^{53} + \left(30 a^{2} + 40 a + 61\right)\cdot 67^{54} + \left(61 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 67^{55} + \left(31 a^{2} + 61 a + 46\right)\cdot 67^{56} + \left(66 a^{2} + 3 a + 36\right)\cdot 67^{57} + \left(16 a^{2} + 51 a + 65\right)\cdot 67^{58} + \left(64 a^{2} + 20 a + 34\right)\cdot 67^{59} + \left(11 a^{2} + 39 a + 60\right)\cdot 67^{60} + \left(59 a^{2} + 50 a + 10\right)\cdot 67^{61} + \left(20 a^{2} + 47 a + 18\right)\cdot 67^{62} + \left(2 a^{2} + 63 a + 35\right)\cdot 67^{63} + \left(49 a^{2} + 64 a + 1\right)\cdot 67^{64} + \left(12 a^{2} + 43 a + 17\right)\cdot 67^{65} + \left(17 a^{2} + 43 a + 55\right)\cdot 67^{66} +O\left(67^{ 67 }\right)$
$r_{ 4 }$ $=$ $ 34 a^{2} + 9 a + 17 + \left(15 a^{2} + 35 a + 27\right)\cdot 67 + \left(62 a^{2} + 35 a + 33\right)\cdot 67^{2} + \left(55 a^{2} + 49 a + 62\right)\cdot 67^{3} + \left(10 a^{2} + 28 a + 27\right)\cdot 67^{4} + \left(2 a^{2} + 43 a + 3\right)\cdot 67^{5} + \left(53 a^{2} + 17 a + 43\right)\cdot 67^{6} + \left(9 a^{2} + 13 a + 27\right)\cdot 67^{7} + \left(28 a^{2} + 11 a + 37\right)\cdot 67^{8} + \left(12 a^{2} + 5 a + 64\right)\cdot 67^{9} + \left(45 a^{2} + 61 a + 49\right)\cdot 67^{10} + \left(32 a + 22\right)\cdot 67^{11} + \left(4 a^{2} + 30 a + 51\right)\cdot 67^{12} + \left(50 a^{2} + 35 a + 2\right)\cdot 67^{13} + \left(25 a^{2} + 66 a + 21\right)\cdot 67^{14} + \left(26 a^{2} + 60 a + 17\right)\cdot 67^{15} + \left(47 a^{2} + 60 a + 10\right)\cdot 67^{16} + \left(38 a + 9\right)\cdot 67^{17} + \left(57 a^{2} + 60 a + 31\right)\cdot 67^{18} + \left(65 a^{2} + 26 a + 65\right)\cdot 67^{19} + \left(33 a^{2} + 10 a + 32\right)\cdot 67^{20} + \left(47 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 67^{21} + \left(64 a^{2} + 43 a + 54\right)\cdot 67^{22} + \left(46 a^{2} + 41 a + 19\right)\cdot 67^{23} + \left(48 a^{2} + 11 a\right)\cdot 67^{24} + \left(55 a^{2} + 39 a + 26\right)\cdot 67^{25} + \left(37 a^{2} + 24 a + 5\right)\cdot 67^{26} + \left(54 a^{2} + 38 a + 1\right)\cdot 67^{27} + \left(23 a^{2} + 24 a + 65\right)\cdot 67^{28} + \left(30 a^{2} + 34 a + 60\right)\cdot 67^{29} + \left(21 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 67^{30} + \left(36 a^{2} + 37 a + 9\right)\cdot 67^{31} + \left(7 a^{2} + 43 a + 16\right)\cdot 67^{32} + \left(20 a^{2} + 4 a + 50\right)\cdot 67^{33} + \left(26 a^{2} + 54 a + 52\right)\cdot 67^{34} + \left(a^{2} + 51 a\right)\cdot 67^{35} + \left(64 a^{2} + 16 a + 57\right)\cdot 67^{36} + \left(11 a^{2} + 47 a + 56\right)\cdot 67^{37} + \left(52 a^{2} + 57 a + 15\right)\cdot 67^{38} + \left(7 a^{2} + 62 a + 46\right)\cdot 67^{39} + \left(27 a^{2} + 36 a\right)\cdot 67^{40} + \left(29 a^{2} + 24 a + 9\right)\cdot 67^{41} + \left(5 a^{2} + 29 a + 32\right)\cdot 67^{42} + \left(23 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 67^{43} + \left(9 a + 11\right)\cdot 67^{44} + \left(23 a^{2} + 34 a + 37\right)\cdot 67^{45} + \left(7 a^{2} + 60 a + 30\right)\cdot 67^{46} + \left(16 a^{2} + 66 a + 34\right)\cdot 67^{47} + \left(60 a^{2} + 55 a + 22\right)\cdot 67^{48} + \left(39 a^{2} + 66 a + 10\right)\cdot 67^{49} + \left(23 a^{2} + 27 a + 18\right)\cdot 67^{50} + \left(28 a^{2} + 56 a + 11\right)\cdot 67^{51} + \left(63 a^{2} + 57 a + 4\right)\cdot 67^{52} + \left(12 a^{2} + 10 a + 16\right)\cdot 67^{53} + \left(57 a^{2} + 14 a + 35\right)\cdot 67^{54} + \left(2 a^{2} + 26 a + 2\right)\cdot 67^{55} + \left(39 a^{2} + 46 a + 11\right)\cdot 67^{56} + \left(52 a^{2} + 49 a + 3\right)\cdot 67^{57} + \left(44 a^{2} + 46 a + 34\right)\cdot 67^{58} + \left(13 a^{2} + 27 a + 3\right)\cdot 67^{59} + \left(62 a^{2} + 40 a + 47\right)\cdot 67^{60} + \left(40 a^{2} + 52 a + 45\right)\cdot 67^{61} + \left(65 a^{2} + 51 a + 13\right)\cdot 67^{62} + \left(46 a^{2} + 58 a + 64\right)\cdot 67^{63} + \left(35 a^{2} + 63 a + 36\right)\cdot 67^{64} + \left(45 a^{2} + 7 a + 54\right)\cdot 67^{65} + \left(49 a^{2} + 59 a + 43\right)\cdot 67^{66} +O\left(67^{ 67 }\right)$
$r_{ 5 }$ $=$ $ 24 + 37\cdot 67 + 43\cdot 67^{2} + 14\cdot 67^{3} + 46\cdot 67^{4} + 15\cdot 67^{5} + 38\cdot 67^{6} + 34\cdot 67^{7} + 24\cdot 67^{8} + 22\cdot 67^{9} + 57\cdot 67^{10} + 6\cdot 67^{11} + 28\cdot 67^{12} + 56\cdot 67^{13} + 44\cdot 67^{14} + 63\cdot 67^{15} + 67^{16} + 48\cdot 67^{17} + 54\cdot 67^{18} + 57\cdot 67^{19} + 40\cdot 67^{20} + 2\cdot 67^{21} + 11\cdot 67^{22} + 35\cdot 67^{23} + 47\cdot 67^{24} + 54\cdot 67^{25} + 35\cdot 67^{26} + 48\cdot 67^{27} + 23\cdot 67^{28} + 47\cdot 67^{29} + 44\cdot 67^{30} + 6\cdot 67^{31} + 42\cdot 67^{32} + 23\cdot 67^{33} + 23\cdot 67^{34} + 14\cdot 67^{35} + 61\cdot 67^{36} + 39\cdot 67^{37} + 42\cdot 67^{38} + 21\cdot 67^{39} + 55\cdot 67^{40} + 57\cdot 67^{41} + 35\cdot 67^{42} + 44\cdot 67^{43} + 37\cdot 67^{44} + 30\cdot 67^{45} + 63\cdot 67^{46} + 22\cdot 67^{47} + 52\cdot 67^{48} + 45\cdot 67^{49} + 27\cdot 67^{50} + 38\cdot 67^{51} + 11\cdot 67^{52} + 40\cdot 67^{53} + 44\cdot 67^{54} + 26\cdot 67^{55} + 33\cdot 67^{56} + 18\cdot 67^{57} + 33\cdot 67^{58} + 19\cdot 67^{59} + 2\cdot 67^{60} + 19\cdot 67^{61} + 9\cdot 67^{62} + 36\cdot 67^{63} + 49\cdot 67^{64} + 47\cdot 67^{65} + 62\cdot 67^{66} +O\left(67^{ 67 }\right)$
$r_{ 6 }$ $=$ $ 22 a^{2} + 15 a + 51 + \left(48 a^{2} + 8 a + 49\right)\cdot 67 + \left(34 a^{2} + 52 a + 32\right)\cdot 67^{2} + \left(65 a^{2} + 58 a + 43\right)\cdot 67^{3} + \left(14 a^{2} + 57 a + 24\right)\cdot 67^{4} + \left(9 a^{2} + 7 a + 28\right)\cdot 67^{5} + \left(3 a^{2} + 50\right)\cdot 67^{6} + \left(28 a^{2} + 17 a + 39\right)\cdot 67^{7} + \left(30 a^{2} + 38 a + 62\right)\cdot 67^{8} + \left(21 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 67^{9} + \left(37 a^{2} + 23 a + 9\right)\cdot 67^{10} + \left(55 a^{2} + 13 a + 32\right)\cdot 67^{11} + \left(18 a^{2} + 38 a + 15\right)\cdot 67^{12} + \left(10 a^{2} + 53 a + 56\right)\cdot 67^{13} + \left(5 a^{2} + 29 a + 66\right)\cdot 67^{14} + \left(66 a^{2} + 39 a + 2\right)\cdot 67^{15} + \left(62 a^{2} + 46 a + 48\right)\cdot 67^{16} + \left(44 a^{2} + 37 a + 22\right)\cdot 67^{17} + \left(22 a^{2} + 31 a + 20\right)\cdot 67^{18} + \left(19 a^{2} + 58 a + 17\right)\cdot 67^{19} + \left(7 a^{2} + 43 a + 38\right)\cdot 67^{20} + \left(65 a^{2} + 57 a + 8\right)\cdot 67^{21} + \left(30 a^{2} + 27 a + 33\right)\cdot 67^{22} + \left(64 a^{2} + 16 a + 18\right)\cdot 67^{23} + \left(48 a^{2} + 47 a + 11\right)\cdot 67^{24} + \left(7 a + 42\right)\cdot 67^{25} + \left(26 a^{2} + 33 a + 17\right)\cdot 67^{26} + \left(4 a^{2} + 9 a + 39\right)\cdot 67^{27} + \left(39 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 67^{28} + \left(54 a^{2} + 28\right)\cdot 67^{29} + \left(44 a^{2} + 22 a + 60\right)\cdot 67^{30} + \left(36 a^{2} + 50 a + 62\right)\cdot 67^{31} + \left(29 a^{2} + 25 a + 4\right)\cdot 67^{32} + \left(46 a^{2} + 6 a + 55\right)\cdot 67^{33} + \left(50 a^{2} + 34 a + 50\right)\cdot 67^{34} + \left(38 a^{2} + 16 a + 32\right)\cdot 67^{35} + \left(4 a^{2} + 52 a + 33\right)\cdot 67^{36} + \left(61 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 67^{37} + \left(43 a^{2} + 66 a + 17\right)\cdot 67^{38} + \left(20 a^{2} + 7 a + 46\right)\cdot 67^{39} + \left(26 a^{2} + 61 a + 2\right)\cdot 67^{40} + \left(56 a^{2} + 17 a + 33\right)\cdot 67^{41} + \left(5 a^{2} + 11 a + 61\right)\cdot 67^{42} + \left(57 a^{2} + 39 a + 43\right)\cdot 67^{43} + \left(22 a^{2} + 28 a + 13\right)\cdot 67^{44} + \left(27 a^{2} + 57 a + 49\right)\cdot 67^{45} + \left(66 a^{2} + 6 a + 63\right)\cdot 67^{46} + \left(20 a^{2} + 65 a + 2\right)\cdot 67^{47} + \left(24 a^{2} + 12 a + 52\right)\cdot 67^{48} + \left(28 a^{2} + 65 a + 14\right)\cdot 67^{49} + \left(51 a^{2} + 21 a + 28\right)\cdot 67^{50} + \left(64 a^{2} + 37 a + 5\right)\cdot 67^{51} + \left(29 a^{2} + 14 a + 51\right)\cdot 67^{52} + \left(a^{2} + 48 a + 17\right)\cdot 67^{53} + \left(3 a^{2} + 37 a + 20\right)\cdot 67^{54} + \left(46 a^{2} + 31 a + 21\right)\cdot 67^{55} + \left(46 a^{2} + 30 a + 38\right)\cdot 67^{56} + \left(45 a^{2} + 23 a + 20\right)\cdot 67^{57} + \left(7 a^{2} + 28 a + 28\right)\cdot 67^{58} + \left(2 a^{2} + 13 a + 54\right)\cdot 67^{59} + \left(64 a^{2} + 24 a\right)\cdot 67^{60} + \left(64 a^{2} + 37 a + 34\right)\cdot 67^{61} + \left(61 a^{2} + 52 a + 48\right)\cdot 67^{62} + \left(66 a^{2} + 47 a + 25\right)\cdot 67^{63} + \left(58 a^{2} + 24 a + 41\right)\cdot 67^{64} + \left(2 a^{2} + 6 a + 44\right)\cdot 67^{65} + \left(4 a^{2} + a + 2\right)\cdot 67^{66} +O\left(67^{ 67 }\right)$
$r_{ 7 }$ $=$ $ 51 a^{2} + 66 a + 18 + \left(39 a^{2} + 9 a + 57\right)\cdot 67 + \left(12 a^{2} + 31 a + 35\right)\cdot 67^{2} + \left(43 a^{2} + 26 a + 11\right)\cdot 67^{3} + \left(56 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 67^{4} + \left(18 a^{2} + 28 a + 3\right)\cdot 67^{5} + \left(39 a^{2} + 46 a + 55\right)\cdot 67^{6} + \left(63 a^{2} + 15 a + 41\right)\cdot 67^{7} + \left(26 a^{2} + 26 a + 32\right)\cdot 67^{8} + \left(32 a^{2} + 56 a + 10\right)\cdot 67^{9} + \left(32 a^{2} + 12 a + 66\right)\cdot 67^{10} + \left(46 a^{2} + 46 a + 4\right)\cdot 67^{11} + \left(28 a^{2} + 44 a + 16\right)\cdot 67^{12} + \left(15 a^{2} + 59 a + 65\right)\cdot 67^{13} + \left(18 a^{2} + 36 a + 57\right)\cdot 67^{14} + \left(55 a^{2} + 21 a + 65\right)\cdot 67^{15} + \left(49 a^{2} + 8 a + 19\right)\cdot 67^{16} + \left(38 a^{2} + 23 a + 27\right)\cdot 67^{17} + \left(22 a^{2} + 22 a + 27\right)\cdot 67^{18} + \left(21 a^{2} + 22 a + 21\right)\cdot 67^{19} + \left(55 a^{2} + 41 a + 51\right)\cdot 67^{20} + \left(3 a^{2} + 65 a + 36\right)\cdot 67^{21} + \left(7 a^{2} + 36 a + 24\right)\cdot 67^{22} + \left(35 a^{2} + 65 a + 39\right)\cdot 67^{23} + \left(29 a^{2} + 8 a + 57\right)\cdot 67^{24} + \left(9 a^{2} + 39 a + 41\right)\cdot 67^{25} + \left(34 a^{2} + 11 a + 57\right)\cdot 67^{26} + \left(34 a^{2} + 2 a + 54\right)\cdot 67^{27} + \left(41 a^{2} + 38 a + 1\right)\cdot 67^{28} + \left(41 a^{2} + 12 a + 39\right)\cdot 67^{29} + \left(46 a^{2} + 10 a + 37\right)\cdot 67^{30} + \left(27 a^{2} + 63 a + 41\right)\cdot 67^{31} + \left(64 a^{2} + 49 a + 42\right)\cdot 67^{32} + \left(58 a^{2} + 18 a + 4\right)\cdot 67^{33} + \left(33 a^{2} + 23 a + 16\right)\cdot 67^{34} + \left(42 a^{2} + 35 a + 31\right)\cdot 67^{35} + \left(7 a^{2} + 24 a + 32\right)\cdot 67^{36} + \left(11 a^{2} + 31 a + 53\right)\cdot 67^{37} + \left(17 a^{2} + 22 a + 9\right)\cdot 67^{38} + \left(65 a^{2} + 59 a + 8\right)\cdot 67^{39} + \left(35 a^{2} + 28 a + 36\right)\cdot 67^{40} + \left(43 a^{2} + 11 a + 65\right)\cdot 67^{41} + \left(35 a^{2} + 50 a + 18\right)\cdot 67^{42} + \left(24 a^{2} + 45 a + 16\right)\cdot 67^{43} + \left(19 a^{2} + 38 a + 20\right)\cdot 67^{44} + \left(44 a + 13\right)\cdot 67^{45} + \left(37 a^{2} + 19 a + 15\right)\cdot 67^{46} + \left(20 a^{2} + 23 a + 52\right)\cdot 67^{47} + \left(18 a^{2} + 55 a + 55\right)\cdot 67^{48} + \left(9 a^{2} + 43 a + 21\right)\cdot 67^{49} + \left(9 a^{2} + 60 a + 27\right)\cdot 67^{50} + \left(24 a^{2} + 40 a + 61\right)\cdot 67^{51} + \left(20 a^{2} + 45 a + 32\right)\cdot 67^{52} + \left(16 a^{2} + 12 a + 29\right)\cdot 67^{53} + \left(37 a^{2} + 42 a + 22\right)\cdot 67^{54} + \left(57 a^{2} + 4 a + 20\right)\cdot 67^{55} + \left(41 a^{2} + 7 a + 22\right)\cdot 67^{56} + \left(17 a^{2} + 34 a + 64\right)\cdot 67^{57} + \left(59 a^{2} + 45 a + 24\right)\cdot 67^{58} + \left(51 a^{2} + 33 a + 22\right)\cdot 67^{59} + \left(31 a^{2} + 22 a + 59\right)\cdot 67^{60} + \left(33 a^{2} + 19 a + 15\right)\cdot 67^{61} + \left(15 a^{2} + 29 a + 14\right)\cdot 67^{62} + \left(16 a^{2} + 8\right)\cdot 67^{63} + \left(41 a^{2} + 4 a + 59\right)\cdot 67^{64} + \left(26 a^{2} + 56 a + 45\right)\cdot 67^{65} + \left(37 a^{2} + 54 a + 61\right)\cdot 67^{66} +O\left(67^{ 67 }\right)$
$r_{ 8 }$ $=$ $ 23 a^{2} + 45 a + 55 + \left(63 a^{2} + 5 a + 42\right)\cdot 67 + \left(66 a^{2} + 56 a + 27\right)\cdot 67^{2} + \left(62 a^{2} + 34 a + 33\right)\cdot 67^{3} + \left(2 a^{2} + 36 a + 43\right)\cdot 67^{4} + \left(64 a^{2} + 48 a + 46\right)\cdot 67^{5} + \left(39 a^{2} + 50 a + 63\right)\cdot 67^{6} + \left(58 a^{2} + 2 a + 27\right)\cdot 67^{7} + \left(16 a^{2} + 41 a + 8\right)\cdot 67^{8} + \left(9 a^{2} + 47 a + 25\right)\cdot 67^{9} + \left(a^{2} + 12 a + 65\right)\cdot 67^{10} + \left(66 a^{2} + 15 a + 6\right)\cdot 67^{11} + \left(15 a^{2} + 39 a + 4\right)\cdot 67^{12} + \left(a^{2} + 21 a + 20\right)\cdot 67^{13} + \left(40 a^{2} + 27 a + 5\right)\cdot 67^{14} + \left(40 a^{2} + 15 a + 35\right)\cdot 67^{15} + \left(66 a^{2} + 47 a + 62\right)\cdot 67^{16} + \left(38 a^{2} + 49 a + 65\right)\cdot 67^{17} + \left(58 a^{2} + 15 a + 29\right)\cdot 67^{18} + \left(40 a^{2} + 45 a + 36\right)\cdot 67^{19} + \left(8 a^{2} + 66 a + 43\right)\cdot 67^{20} + \left(45 a^{2} + 56 a + 62\right)\cdot 67^{21} + \left(5 a^{2} + 27 a + 65\right)\cdot 67^{22} + \left(62 a^{2} + 56 a + 8\right)\cdot 67^{23} + \left(15 a^{2} + 26 a + 13\right)\cdot 67^{24} + \left(6 a^{2} + 4 a + 64\right)\cdot 67^{25} + \left(29 a^{2} + 42 a + 29\right)\cdot 67^{26} + \left(12 a^{2} + 29 a + 4\right)\cdot 67^{27} + \left(55 a^{2} + 65 a + 6\right)\cdot 67^{28} + \left(58 a^{2} + 6 a + 45\right)\cdot 67^{29} + \left(59 a^{2} + 55 a + 53\right)\cdot 67^{30} + \left(43 a^{2} + 62 a + 24\right)\cdot 67^{31} + \left(19 a^{2} + 44 a + 32\right)\cdot 67^{32} + \left(62 a^{2} + 66 a + 51\right)\cdot 67^{33} + \left(7 a^{2} + a + 13\right)\cdot 67^{34} + \left(55 a^{2} + 54 a + 31\right)\cdot 67^{35} + \left(29 a^{2} + 66 a\right)\cdot 67^{36} + \left(60 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 67^{37} + \left(37 a^{2} + 47 a + 60\right)\cdot 67^{38} + \left(45 a^{2} + 23 a + 11\right)\cdot 67^{39} + \left(27 a^{2} + 53 a + 8\right)\cdot 67^{40} + \left(39 a^{2} + 32 a + 32\right)\cdot 67^{41} + \left(13 a^{2} + 50 a + 25\right)\cdot 67^{42} + \left(52 a^{2} + 7 a + 24\right)\cdot 67^{43} + \left(50 a^{2} + 24 a + 58\right)\cdot 67^{44} + \left(25 a^{2} + 34 a + 42\right)\cdot 67^{45} + \left(45 a^{2} + 15 a + 46\right)\cdot 67^{46} + \left(47 a^{2} + 53 a + 42\right)\cdot 67^{47} + \left(66 a^{2} + 7 a + 20\right)\cdot 67^{48} + \left(23 a^{2} + 13 a + 64\right)\cdot 67^{49} + \left(58 a^{2} + 2 a + 55\right)\cdot 67^{50} + \left(64 a^{2} + 33 a + 5\right)\cdot 67^{51} + \left(55 a^{2} + 20 a + 21\right)\cdot 67^{52} + \left(60 a^{2} + 64 a + 54\right)\cdot 67^{53} + \left(33 a^{2} + 55 a + 9\right)\cdot 67^{54} + \left(26 a^{2} + 29 a + 10\right)\cdot 67^{55} + \left(55 a^{2} + 42 a + 6\right)\cdot 67^{56} + \left(21 a^{2} + 39 a + 59\right)\cdot 67^{57} + \left(42 a^{2} + 54 a + 32\right)\cdot 67^{58} + \left(32 a + 48\right)\cdot 67^{59} + \left(58 a^{2} + 3 a + 43\right)\cdot 67^{60} + \left(9 a^{2} + 46 a + 14\right)\cdot 67^{61} + \left(51 a^{2} + 33 a + 5\right)\cdot 67^{62} + \left(64 a^{2} + 22 a + 17\right)\cdot 67^{63} + \left(25 a^{2} + 44 a + 43\right)\cdot 67^{64} + \left(51 a^{2} + 16 a + 37\right)\cdot 67^{65} + \left(45 a^{2} + 22 a + 35\right)\cdot 67^{66} +O\left(67^{ 67 }\right)$

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 8 }$

Cycle notation
$(2,6)(3,8)$
$(2,6,8)$
$(1,2)(3,4)(5,6)(7,8)$
$(1,3)(2,7)(4,6)(5,8)$

Character values on conjugacy classes

SizeOrderAction on $r_1, \ldots, r_{ 8 }$ Character value
$1$$1$$()$$9$
$6$$2$$(1,5)(4,7)$$-3$
$9$$2$$(1,5)(2,6)(3,8)(4,7)$$1$
$12$$2$$(1,2)(3,4)(5,6)(7,8)$$3$
$12$$2$$(1,3)(2,7)(4,6)(5,8)$$3$
$36$$2$$(3,6)(5,7)$$1$
$16$$3$$(2,8,3)$$0$
$32$$3$$(1,7,5)(2,8,6)$$0$
$32$$3$$(1,7,5)(2,8,3)$$0$
$36$$4$$(1,6,5,2)(3,4,8,7)$$-1$
$36$$4$$(1,7,5,4)(2,3,6,8)$$1$
$36$$4$$(1,3,5,8)(2,4,6,7)$$-1$
$72$$4$$(1,7,5,4)(6,8)$$-1$
$48$$6$$(1,5)(2,8,3)(4,7)$$0$
$96$$6$$(1,8,7,6,5,2)(3,4)$$0$
$96$$6$$(1,3,7,2,5,8)(4,6)$$0$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.