Properties

Label 8.3e9_97e3.9t26.1c1
Dimension 8
Group $((C_3^2:Q_8):C_3):C_2$
Conductor $ 3^{9} \cdot 97^{3}$
Root number 1
Frobenius-Schur indicator 1

Related objects

Learn more about

Basic invariants

Dimension:$8$
Group:$((C_3^2:Q_8):C_3):C_2$
Conductor:$17964142659= 3^{9} \cdot 97^{3} $
Artin number field: Splitting field of $f= x^{9} - 3 x^{8} + 7 x^{6} - 3 x^{5} - 12 x^{4} + 8 x^{3} + 3 x - 2 $ over $\Q$
Size of Galois orbit: 1
Smallest containing permutation representation: $((C_3^2:Q_8):C_3):C_2$
Parity: Odd
Determinant: 1.3_97.2t1.1c1

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 23 }$ to precision 44.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 23 }$: $ x^{4} + 3 x^{2} + 19 x + 5 $
Roots:
$r_{ 1 }$ $=$ $ 8 a^{3} + 20 a^{2} + 6 a + 6 + \left(17 a^{3} + 2 a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 23 + \left(3 a^{3} + 18 a^{2} + 19 a\right)\cdot 23^{2} + \left(18 a^{3} + a^{2} + a + 6\right)\cdot 23^{3} + \left(13 a^{3} + 4 a^{2} + 15 a + 2\right)\cdot 23^{4} + \left(11 a^{3} + 15 a^{2} + 12 a + 20\right)\cdot 23^{5} + \left(a^{3} + 14 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 23^{6} + \left(7 a^{3} + 22 a^{2} + 16 a + 17\right)\cdot 23^{7} + \left(21 a^{3} + 21 a^{2} + 18 a + 21\right)\cdot 23^{8} + \left(21 a^{3} + 12 a^{2} + 16 a + 2\right)\cdot 23^{9} + \left(6 a^{3} + 15 a^{2} + 11 a + 13\right)\cdot 23^{10} + \left(16 a^{3} + 14 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 23^{11} + \left(16 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 23^{12} + \left(21 a^{3} + 21 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 23^{13} + \left(14 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 23^{14} + \left(4 a^{3} + 5 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 23^{15} + \left(11 a^{2} + 21 a + 14\right)\cdot 23^{16} + \left(6 a^{3} + 17 a^{2} + 17 a + 11\right)\cdot 23^{17} + \left(4 a^{3} + 10 a^{2} + 15 a + 10\right)\cdot 23^{18} + \left(11 a^{2} + 14 a + 18\right)\cdot 23^{19} + \left(14 a^{3} + 3 a^{2} + 19 a + 11\right)\cdot 23^{20} + \left(16 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 23^{21} + \left(14 a^{3} + 19 a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 23^{22} + \left(14 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 23^{23} + \left(19 a^{3} + 4 a + 15\right)\cdot 23^{24} + \left(20 a^{3} + 3 a^{2} + 5\right)\cdot 23^{25} + \left(10 a^{3} + 2 a^{2} + 22 a + 1\right)\cdot 23^{26} + \left(5 a^{3} + 9 a^{2} + 17\right)\cdot 23^{27} + \left(20 a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 19\right)\cdot 23^{28} + \left(3 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 23^{29} + \left(21 a^{3} + 14 a^{2} + 7 a + 16\right)\cdot 23^{30} + \left(8 a^{3} + 6 a + 16\right)\cdot 23^{31} + \left(10 a^{3} + 5 a^{2} + 20 a + 7\right)\cdot 23^{32} + \left(6 a^{3} + 15 a^{2} + 12\right)\cdot 23^{33} + \left(8 a^{3} + 14 a^{2} + 19 a + 12\right)\cdot 23^{34} + \left(19 a^{3} + 21 a^{2} + 8 a + 18\right)\cdot 23^{35} + \left(6 a^{3} + 2 a + 18\right)\cdot 23^{36} + \left(18 a^{3} + 3 a^{2} + 17 a + 21\right)\cdot 23^{37} + \left(12 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 23^{38} + \left(22 a^{3} + 16 a^{2} + 16 a + 12\right)\cdot 23^{39} + \left(21 a^{3} + 17 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 23^{40} + \left(5 a^{3} + a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 23^{41} + \left(17 a^{3} + 14 a^{2} + 2 a + 19\right)\cdot 23^{42} + \left(7 a^{3} + 16 a^{2} + 16 a + 10\right)\cdot 23^{43} +O\left(23^{ 44 }\right)$
$r_{ 2 }$ $=$ $ 10 a^{3} + 12 a^{2} + 22 a + 7 + \left(21 a^{3} + 16 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 23 + \left(14 a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 21\right)\cdot 23^{2} + \left(20 a^{3} + 9 a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 23^{3} + \left(5 a^{3} + 17 a^{2} + 12 a + 20\right)\cdot 23^{4} + \left(7 a^{3} + 18 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 23^{5} + \left(18 a^{3} + 5 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 23^{6} + \left(22 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 23^{7} + \left(22 a^{3} + 14 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 23^{8} + \left(22 a^{3} + a^{2} + 18 a + 9\right)\cdot 23^{9} + \left(16 a^{3} + 14 a^{2} + 14 a + 9\right)\cdot 23^{10} + \left(15 a^{3} + 18 a^{2} + 19 a + 4\right)\cdot 23^{11} + \left(2 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 23^{12} + \left(18 a^{3} + 14 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 23^{13} + \left(20 a^{3} + 13 a^{2} + 4\right)\cdot 23^{14} + \left(6 a^{3} + a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 23^{15} + \left(a^{3} + 21 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 23^{16} + \left(21 a^{3} + 16 a^{2} + 17 a\right)\cdot 23^{17} + \left(22 a^{3} + 22 a + 11\right)\cdot 23^{18} + \left(12 a^{3} + 16 a^{2} + 6 a + 17\right)\cdot 23^{19} + \left(16 a^{3} + 11 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 23^{20} + \left(21 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 15\right)\cdot 23^{21} + \left(16 a^{3} + 10 a^{2} + 21 a + 17\right)\cdot 23^{22} + \left(21 a^{3} + 9 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 23^{23} + \left(16 a^{3} + 13 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 23^{24} + \left(11 a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 23^{25} + \left(14 a^{3} + 20 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 23^{26} + \left(9 a^{3} + 4 a^{2} + 20 a + 5\right)\cdot 23^{27} + \left(10 a^{3} + 15 a^{2} + 2 a + 20\right)\cdot 23^{28} + \left(10 a^{3} + 21 a^{2} + 12\right)\cdot 23^{29} + \left(14 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 23^{30} + \left(8 a^{3} + 6 a^{2} + 17 a + 15\right)\cdot 23^{31} + \left(8 a^{3} + 17 a^{2} + 18 a + 9\right)\cdot 23^{32} + \left(8 a^{3} + 12 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 23^{33} + \left(19 a^{3} + 16 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 23^{34} + \left(2 a^{3} + a^{2} + 12 a + 22\right)\cdot 23^{35} + \left(19 a^{3} + 19 a^{2} + 6 a + 19\right)\cdot 23^{36} + \left(8 a^{3} + 13 a^{2} + 9 a + 22\right)\cdot 23^{37} + \left(12 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 23^{38} + \left(7 a^{3} + 12 a^{2} + 13 a\right)\cdot 23^{39} + \left(16 a^{3} + 16 a + 17\right)\cdot 23^{40} + \left(5 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 21\right)\cdot 23^{41} + \left(21 a^{3} + 17 a^{2} + 22 a + 13\right)\cdot 23^{42} + \left(7 a^{3} + 22 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 23^{43} +O\left(23^{ 44 }\right)$
$r_{ 3 }$ $=$ $ 17 a^{3} + 19 a^{2} + 9 a + 8 + \left(a^{3} + 21 a^{2} + a + 13\right)\cdot 23 + \left(16 a^{3} + 21 a^{2} + 22 a + 8\right)\cdot 23^{2} + \left(2 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 20\right)\cdot 23^{3} + \left(9 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 16\right)\cdot 23^{4} + \left(a^{3} + 11 a^{2} + 16 a + 4\right)\cdot 23^{5} + \left(12 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 22\right)\cdot 23^{6} + \left(18 a^{3} + 19 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 23^{7} + \left(2 a^{3} + 18 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 23^{8} + \left(18 a^{3} + 19 a^{2} + 3 a + 18\right)\cdot 23^{9} + \left(16 a^{3} + 22 a^{2} + 22 a + 13\right)\cdot 23^{10} + \left(22 a^{3} + 18 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 23^{11} + \left(18 a^{3} + 4 a^{2} + 21 a\right)\cdot 23^{12} + \left(13 a^{3} + 15 a\right)\cdot 23^{13} + \left(17 a^{3} + 22 a^{2} + 20 a + 6\right)\cdot 23^{14} + \left(17 a^{3} + 7 a^{2} + 1\right)\cdot 23^{15} + \left(10 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 18\right)\cdot 23^{16} + \left(18 a^{3} + 17 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 23^{17} + \left(19 a^{3} + 8 a^{2} + 19 a + 1\right)\cdot 23^{18} + \left(3 a^{3} + 11 a + 19\right)\cdot 23^{19} + \left(a^{3} + 19 a^{2} + a + 13\right)\cdot 23^{20} + \left(18 a^{3} + a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 23^{21} + \left(4 a^{3} + 6 a^{2} + 16\right)\cdot 23^{22} + \left(6 a^{3} + 18 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 23^{23} + \left(a^{3} + a^{2} + 14 a + 22\right)\cdot 23^{24} + \left(2 a^{3} + 20 a^{2} + 20 a + 4\right)\cdot 23^{25} + \left(15 a^{3} + 10 a^{2} + a + 18\right)\cdot 23^{26} + \left(15 a^{3} + 21 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 23^{27} + \left(14 a^{3} + 21 a^{2} + 11 a + 16\right)\cdot 23^{28} + \left(6 a^{3} + 17 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 23^{29} + \left(4 a^{3} + 13 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 23^{30} + \left(14 a^{3} + 17 a^{2} + a + 14\right)\cdot 23^{31} + \left(a^{3} + 22 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 23^{32} + \left(17 a^{3} + 14 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 23^{33} + \left(3 a^{2} + 21 a + 8\right)\cdot 23^{34} + \left(5 a^{3} + 8 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 23^{35} + \left(22 a^{3} + 5 a^{2} + 14 a + 20\right)\cdot 23^{36} + \left(7 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 23^{37} + \left(12 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 23^{38} + \left(a^{3} + 4 a^{2} + 14 a + 1\right)\cdot 23^{39} + \left(8 a^{3} + 18 a + 8\right)\cdot 23^{40} + \left(17 a^{3} + 10 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 23^{41} + \left(14 a^{3} + 19 a^{2} + 10 a + 16\right)\cdot 23^{42} + \left(10 a^{3} + 7 a^{2} + 22 a + 3\right)\cdot 23^{43} +O\left(23^{ 44 }\right)$
$r_{ 4 }$ $=$ $ 9 a^{3} + 3 a^{2} + 16 a + 12 + \left(15 a^{3} + 19 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 23 + \left(15 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 22\right)\cdot 23^{2} + \left(14 a^{3} + 4 a^{2} + 17 a + 11\right)\cdot 23^{3} + \left(10 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a\right)\cdot 23^{4} + \left(6 a^{3} + 12 a^{2} + 15 a + 17\right)\cdot 23^{5} + \left(13 a^{3} + 6 a^{2} + 22 a + 15\right)\cdot 23^{6} + \left(16 a^{3} + 10 a^{2} + a + 7\right)\cdot 23^{7} + \left(10 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 23^{8} + \left(18 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 19\right)\cdot 23^{9} + \left(22 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 23^{10} + \left(7 a^{3} + 4 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 23^{11} + \left(4 a^{3} + a^{2} + 11 a + 21\right)\cdot 23^{12} + \left(10 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 23^{13} + \left(6 a^{3} + 14 a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 23^{14} + \left(13 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 23^{15} + \left(16 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 23^{16} + \left(5 a^{3} + 15 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 23^{17} + \left(20 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 23^{18} + \left(18 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 21\right)\cdot 23^{19} + \left(8 a^{3} + a^{2} + 10 a + 14\right)\cdot 23^{20} + \left(21 a^{2} + 5 a + 16\right)\cdot 23^{21} + \left(19 a^{3} + 8 a^{2} + 7\right)\cdot 23^{22} + \left(22 a^{3} + 17 a^{2} + 19 a + 10\right)\cdot 23^{23} + \left(11 a^{3} + 4 a^{2} + 16 a + 22\right)\cdot 23^{24} + \left(2 a^{3} + 18 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 23^{25} + \left(22 a^{3} + 11 a^{2} + 15 a + 20\right)\cdot 23^{26} + \left(22 a^{3} + 6 a + 11\right)\cdot 23^{27} + \left(20 a^{3} + 19 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 23^{28} + \left(11 a^{3} + 21 a^{2} + 19\right)\cdot 23^{29} + \left(22 a^{3} + 20 a^{2} + 21 a + 16\right)\cdot 23^{30} + \left(10 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 22\right)\cdot 23^{31} + \left(9 a^{3} + 19 a^{2} + 22 a + 4\right)\cdot 23^{32} + \left(8 a^{3} + 16 a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 23^{33} + \left(6 a^{3} + 10 a^{2} + 13 a + 2\right)\cdot 23^{34} + \left(19 a^{3} + 13 a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 23^{35} + \left(19 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 14\right)\cdot 23^{36} + \left(3 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 23^{37} + \left(15 a^{3} + 18 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 23^{38} + \left(13 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 17\right)\cdot 23^{39} + \left(4 a^{3} + 19 a^{2} + 17 a + 17\right)\cdot 23^{40} + \left(3 a^{3} + 17 a^{2} + 9 a + 19\right)\cdot 23^{41} + \left(3 a^{3} + 22 a^{2} + 8 a + 20\right)\cdot 23^{42} + \left(9 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 23^{43} +O\left(23^{ 44 }\right)$
$r_{ 5 }$ $=$ $ 19 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 13 + \left(2 a^{3} + 17 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 23 + \left(19 a^{3} + 14 a^{2} + 21 a + 6\right)\cdot 23^{2} + \left(6 a^{3} + 19 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 23^{3} + \left(22 a^{3} + a^{2} + 22 a\right)\cdot 23^{4} + \left(a^{3} + 9 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 23^{5} + \left(4 a^{3} + 9 a^{2} + 17 a + 3\right)\cdot 23^{6} + \left(14 a^{3} + 16 a^{2} + 16 a + 10\right)\cdot 23^{7} + \left(18 a^{3} + 21 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 23^{8} + \left(10 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 23^{9} + \left(7 a^{3} + 8 a^{2} + 17 a + 20\right)\cdot 23^{10} + \left(11 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 23^{11} + \left(18 a^{3} + 17 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 23^{12} + \left(18 a^{2} + 22 a + 14\right)\cdot 23^{13} + \left(7 a^{3} + 17 a^{2} + a + 21\right)\cdot 23^{14} + \left(15 a^{3} + 17 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 23^{15} + \left(11 a^{3} + 15 a^{2} + 4 a + 16\right)\cdot 23^{16} + \left(8 a^{3} + 9 a^{2} + 13 a + 17\right)\cdot 23^{17} + \left(11 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 23^{18} + \left(12 a^{3} + 14 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 23^{19} + \left(7 a^{3} + 14 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 23^{20} + \left(16 a^{3} + 15 a + 21\right)\cdot 23^{21} + \left(11 a^{3} + 13 a + 7\right)\cdot 23^{22} + \left(2 a^{3} + 10 a^{2} + 20 a + 15\right)\cdot 23^{23} + \left(a^{3} + 13 a^{2} + 19 a + 8\right)\cdot 23^{24} + \left(21 a^{3} + 9 a^{2} + 17 a + 18\right)\cdot 23^{25} + \left(9 a^{3} + a + 20\right)\cdot 23^{26} + \left(7 a^{3} + a^{2} + 18 a + 19\right)\cdot 23^{27} + \left(8 a^{3} + 18 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 23^{28} + \left(8 a^{3} + 11 a^{2} + 21 a + 8\right)\cdot 23^{29} + \left(6 a^{3} + 2 a^{2} + 22 a + 3\right)\cdot 23^{30} + \left(16 a^{3} + 20 a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 23^{31} + \left(3 a^{3} + 9 a^{2} + 14 a + 12\right)\cdot 23^{32} + \left(12 a^{3} + 3 a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 23^{33} + \left(9 a^{3} + 8 a^{2} + 18 a + 2\right)\cdot 23^{34} + \left(12 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 23^{35} + \left(18 a^{3} + 2 a + 12\right)\cdot 23^{36} + \left(20 a^{3} + 20 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 23^{37} + \left(5 a^{3} + 2 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 23^{38} + \left(22 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 21\right)\cdot 23^{39} + \left(16 a^{3} + 12 a^{2} + 13 a + 14\right)\cdot 23^{40} + \left(7 a^{3} + 10 a + 7\right)\cdot 23^{41} + \left(14 a^{3} + 17 a^{2} + 11 a + 18\right)\cdot 23^{42} + \left(9 a^{3} + 20 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 23^{43} +O\left(23^{ 44 }\right)$
$r_{ 6 }$ $=$ $ 4 a^{3} + 4 a^{2} + 18 a + 17 + \left(20 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 18\right)\cdot 23 + \left(22 a^{3} + 22 a^{2} + 22 a + 2\right)\cdot 23^{2} + \left(14 a^{3} + 16 a^{2} + 6 a + 18\right)\cdot 23^{3} + \left(18 a^{3} + 12 a^{2} + 21 a + 9\right)\cdot 23^{4} + \left(21 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 23^{5} + \left(8 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 23^{6} + \left(4 a^{3} + 16 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 23^{7} + \left(4 a^{3} + 6 a^{2} + a + 19\right)\cdot 23^{8} + \left(11 a^{3} + 6 a^{2} + 16 a\right)\cdot 23^{9} + \left(11 a^{3} + 22 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 23^{10} + \left(20 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a\right)\cdot 23^{11} + \left(13 a^{3} + 5 a^{2} + 22 a + 8\right)\cdot 23^{12} + \left(22 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 23^{13} + \left(11 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 18\right)\cdot 23^{14} + \left(6 a^{3} + 4 a^{2} + 16 a + 8\right)\cdot 23^{15} + \left(10 a^{3} + 18 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 23^{16} + \left(12 a^{3} + a^{2} + 18 a + 22\right)\cdot 23^{17} + \left(6 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 23^{18} + \left(10 a^{2} + 7 a + 18\right)\cdot 23^{19} + \left(15 a^{3} + 18 a^{2} + 15 a + 19\right)\cdot 23^{20} + \left(13 a^{3} + 6 a^{2} + 20 a + 11\right)\cdot 23^{21} + \left(a^{3} + 20 a^{2} + 18 a + 6\right)\cdot 23^{22} + \left(22 a^{3} + 18 a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 23^{23} + \left(6 a^{3} + 11 a^{2} + 1\right)\cdot 23^{24} + \left(17 a^{3} + 15 a^{2} + 3 a + 14\right)\cdot 23^{25} + \left(3 a^{3} + 10 a\right)\cdot 23^{26} + \left(8 a^{3} + 20 a^{2} + 8 a + 20\right)\cdot 23^{27} + \left(18 a^{3} + 15 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 23^{28} + \left(a^{3} + 9 a^{2} + a\right)\cdot 23^{29} + \left(12 a^{3} + a^{2} + 10 a + 17\right)\cdot 23^{30} + \left(3 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 23^{31} + \left(16 a^{3} + 16 a^{2} + 4 a + 20\right)\cdot 23^{32} + \left(16 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 23^{33} + \left(12 a^{3} + 18 a^{2} + 10 a + 18\right)\cdot 23^{34} + \left(6 a^{3} + 15 a^{2} + a + 22\right)\cdot 23^{35} + \left(22 a^{3} + 3 a^{2} + 20 a + 12\right)\cdot 23^{36} + \left(7 a^{3} + 16 a^{2} + 20 a + 3\right)\cdot 23^{37} + \left(6 a^{3} + 2 a^{2} + 17 a + 21\right)\cdot 23^{38} + \left(12 a^{3} + a^{2} + 16 a + 20\right)\cdot 23^{39} + \left(15 a^{3} + 17 a^{2} + 13 a + 20\right)\cdot 23^{40} + \left(8 a^{3} + 17 a^{2} + a + 22\right)\cdot 23^{41} + \left(4 a^{3} + 11 a^{2} + 15 a + 21\right)\cdot 23^{42} + \left(3 a^{3} + 15 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 23^{43} +O\left(23^{ 44 }\right)$
$r_{ 7 }$ $=$ $ 2 a^{3} + 19 a^{2} + 6 a + 11 + \left(16 a^{3} + 21 a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 23 + \left(3 a^{3} + 20 a^{2} + 19 a + 21\right)\cdot 23^{2} + \left(21 a^{3} + 22 a^{2} + 19 a + 22\right)\cdot 23^{3} + \left(2 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 23^{4} + \left(6 a^{3} + 11 a^{2} + 15 a + 16\right)\cdot 23^{5} + \left(22 a^{3} + 13 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 23^{6} + \left(17 a^{3} + 19 a^{2} + 17 a + 1\right)\cdot 23^{7} + \left(9 a^{3} + 14 a^{2} + 22 a + 2\right)\cdot 23^{8} + \left(17 a^{3} + 18\right)\cdot 23^{9} + \left(4 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 23^{10} + \left(a^{3} + 13\right)\cdot 23^{11} + \left(11 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 23^{12} + \left(14 a^{3} + 15 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 23^{13} + \left(12 a^{3} + 17 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 23^{14} + \left(21 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 19\right)\cdot 23^{15} + \left(18 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 22\right)\cdot 23^{16} + \left(21 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 20\right)\cdot 23^{17} + \left(14 a^{3} + 15 a^{2} + 19 a + 8\right)\cdot 23^{18} + \left(3 a^{3} + 19 a^{2} + 20 a + 5\right)\cdot 23^{19} + \left(8 a^{3} + 22 a^{2} + 9\right)\cdot 23^{20} + \left(15 a^{3} + 8 a^{2} + 11 a + 16\right)\cdot 23^{21} + \left(10 a^{3} + 20 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 23^{22} + \left(9 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 23^{23} + \left(7 a^{3} + 6 a^{2} + a + 5\right)\cdot 23^{24} + \left(5 a^{3} + 9 a^{2} + 14 a + 12\right)\cdot 23^{25} + \left(9 a^{3} + 8 a^{2} + 21 a + 15\right)\cdot 23^{26} + \left(9 a^{3} + 16 a^{2} + 6 a + 20\right)\cdot 23^{27} + \left(9 a^{3} + 4 a^{2} + 19 a\right)\cdot 23^{28} + \left(5 a^{3} + 4 a^{2} + 17 a + 15\right)\cdot 23^{29} + \left(13 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 23^{30} + \left(22 a^{3} + 5 a^{2} + a + 11\right)\cdot 23^{31} + \left(9 a^{3} + 5 a^{2} + 22 a + 19\right)\cdot 23^{32} + \left(14 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 21\right)\cdot 23^{33} + \left(18 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 23^{34} + \left(18 a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 23^{35} + \left(20 a^{3} + 9 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 23^{36} + \left(15 a^{3} + 15 a^{2} + 5 a\right)\cdot 23^{37} + \left(11 a^{3} + 15 a^{2} + 7 a + 19\right)\cdot 23^{38} + \left(20 a^{3} + a + 16\right)\cdot 23^{39} + \left(3 a^{3} + 15 a^{2} + 8 a + 18\right)\cdot 23^{40} + \left(5 a^{3} + 8 a^{2} + 16\right)\cdot 23^{41} + \left(21 a^{3} + 20 a^{2} + 20 a + 4\right)\cdot 23^{42} + \left(2 a^{3} + 4 a^{2} + 16 a + 22\right)\cdot 23^{43} +O\left(23^{ 44 }\right)$
$r_{ 8 }$ $=$ $ 19 + 22\cdot 23 + 16\cdot 23^{3} + 11\cdot 23^{4} + 19\cdot 23^{5} + 18\cdot 23^{6} + 23^{7} + 17\cdot 23^{8} + 4\cdot 23^{10} + 19\cdot 23^{11} + 13\cdot 23^{12} + 5\cdot 23^{13} + 17\cdot 23^{14} + 15\cdot 23^{15} + 3\cdot 23^{16} + 22\cdot 23^{17} + 13\cdot 23^{18} + 13\cdot 23^{19} + 11\cdot 23^{21} + 17\cdot 23^{22} + 10\cdot 23^{23} + 18\cdot 23^{24} + 21\cdot 23^{25} + 9\cdot 23^{26} + 4\cdot 23^{27} + 15\cdot 23^{28} + 4\cdot 23^{29} + 4\cdot 23^{30} + 15\cdot 23^{31} + 6\cdot 23^{32} + 20\cdot 23^{33} + 11\cdot 23^{34} + 19\cdot 23^{36} + 19\cdot 23^{37} + 19\cdot 23^{38} + 18\cdot 23^{39} + 21\cdot 23^{40} + 2\cdot 23^{41} + 20\cdot 23^{42} + 9\cdot 23^{43} +O\left(23^{ 44 }\right)$
$r_{ 9 }$ $=$ $ 4 a^{2} + 13 a + 2 + \left(20 a^{3} + 13 a^{2} + 3 a + 19\right)\cdot 23 + \left(18 a^{3} + 2 a^{2} + 16 a + 7\right)\cdot 23^{2} + \left(15 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 23^{3} + \left(8 a^{3} + 15 a^{2} + 5 a + 16\right)\cdot 23^{4} + \left(12 a^{3} + 6 a^{2} + 22 a + 21\right)\cdot 23^{5} + \left(11 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 23^{6} + \left(13 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 23^{7} + \left(a^{3} + 14 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 23^{8} + \left(17 a^{3} + 11 a^{2} + 21 a + 8\right)\cdot 23^{9} + \left(4 a^{3} + 14 a + 21\right)\cdot 23^{10} + \left(19 a^{3} + 6 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 23^{11} + \left(5 a^{3} + 16 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 23^{12} + \left(13 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 16\right)\cdot 23^{13} + \left(15 a^{2} + 6\right)\cdot 23^{14} + \left(6 a^{3} + 18 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 23^{15} + \left(22 a^{3} + 2 a^{2} + 21\right)\cdot 23^{16} + \left(20 a^{3} + 2 a^{2} + 22 a + 22\right)\cdot 23^{17} + \left(14 a^{3} + a^{2} + 19 a\right)\cdot 23^{18} + \left(16 a^{3} + 15 a^{2} + 18 a + 22\right)\cdot 23^{19} + \left(20 a^{3} + 21 a + 11\right)\cdot 23^{20} + \left(12 a^{3} + 10 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 23^{21} + \left(12 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 23^{22} + \left(15 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 23^{23} + \left(3 a^{3} + 17 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 23^{24} + \left(11 a^{3} + 5 a^{2} + 19 a + 9\right)\cdot 23^{25} + \left(6 a^{3} + 14 a^{2} + 12 a + 21\right)\cdot 23^{26} + \left(13 a^{3} + 18 a^{2} + 18 a + 8\right)\cdot 23^{27} + \left(12 a^{3} + 13 a^{2} + 3 a + 14\right)\cdot 23^{28} + \left(20 a^{3} + 17 a^{2} + 13 a + 12\right)\cdot 23^{29} + \left(20 a^{3} + 10 a + 6\right)\cdot 23^{30} + \left(6 a^{3} + 2 a^{2} + 21 a + 19\right)\cdot 23^{31} + \left(9 a^{3} + 19 a^{2} + 19\right)\cdot 23^{32} + \left(8 a^{3} + 14 a^{2} + 21 a + 20\right)\cdot 23^{33} + \left(16 a^{3} + 17 a^{2} + 22 a + 21\right)\cdot 23^{34} + \left(2 a^{3} + a^{2} + 13 a + 8\right)\cdot 23^{35} + \left(9 a^{3} + 21 a^{2} + 22 a + 18\right)\cdot 23^{36} + \left(8 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 23^{37} + \left(15 a^{3} + 10 a^{2} + 19 a + 15\right)\cdot 23^{38} + \left(14 a^{3} + a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 23^{39} + \left(4 a^{3} + 10 a^{2} + 20 a + 14\right)\cdot 23^{40} + \left(15 a^{3} + 2 a^{2} + 16 a + 7\right)\cdot 23^{41} + \left(18 a^{3} + 15 a^{2} + a + 2\right)\cdot 23^{42} + \left(17 a^{3} + 17 a^{2} + 10 a + 17\right)\cdot 23^{43} +O\left(23^{ 44 }\right)$

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 9 }$

Cycle notation
$(3,7,6)(5,8,9)$
$(1,5,7)(2,8,3)(4,9,6)$
$(1,7)(2,8)(6,9)$
$(1,2,4)(3,6,7)(5,8,9)$
$(2,8,4,6)(3,7,9,5)$
$(2,8,3)(4,6,9)$

Character values on conjugacy classes

SizeOrderAction on $r_1, \ldots, r_{ 9 }$ Character value
$1$$1$$()$$8$
$9$$2$$(1,5)(2,9)(3,6)(4,8)$$0$
$36$$2$$(1,7)(2,8)(6,9)$$2$
$8$$3$$(1,2,4)(3,6,7)(5,8,9)$$-1$
$24$$3$$(1,9,3)(2,6,5)$$2$
$48$$3$$(1,9,7)(2,5,3)(4,8,6)$$-1$
$54$$4$$(1,8,5,4)(2,6,9,3)$$0$
$72$$6$$(1,9)(2,4,6,8,5,7)$$0$
$72$$6$$(1,7,5)(2,6,8,4,3,9)$$-1$
$54$$8$$(1,7,6,8,4,9,5,3)$$0$
$54$$8$$(1,9,6,3,4,7,5,8)$$0$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.