Properties

Label 8.3e9_37e4.18t157.1c1
Dimension 8
Group $((C_3^2:Q_8):C_3):C_2$
Conductor $ 3^{9} \cdot 37^{4}$
Root number 1
Frobenius-Schur indicator 1

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Basic invariants

Dimension:$8$
Group:$((C_3^2:Q_8):C_3):C_2$
Conductor:$36889110963= 3^{9} \cdot 37^{4} $
Artin number field: Splitting field of $f= x^{9} + 3 x^{7} - 3 x^{6} + 6 x^{3} + 3 x^{2} - 9 x - 5 $ over $\Q$
Size of Galois orbit: 1
Smallest containing permutation representation: 18T157
Parity: Odd
Determinant: 1.3.2t1.1c1

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 19 }$ to precision 47.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 19 }$: $ x^{4} + 2 x^{2} + 11 x + 2 $
Roots:
$r_{ 1 }$ $=$ $ 11 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 8 + \left(3 a^{3} + 4 a^{2} + 14 a + 10\right)\cdot 19 + \left(8 a^{3} + 18 a^{2} + 17 a + 17\right)\cdot 19^{2} + \left(3 a^{3} + 7 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 19^{3} + \left(11 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 19^{4} + \left(12 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 19^{5} + \left(17 a^{3} + 10 a^{2} + 14\right)\cdot 19^{6} + \left(11 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 13\right)\cdot 19^{7} + \left(8 a^{3} + a^{2} + a + 18\right)\cdot 19^{8} + \left(18 a^{3} + 16 a^{2} + 13 a + 5\right)\cdot 19^{9} + \left(9 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 19^{10} + \left(17 a^{3} + 13 a^{2} + 3 a\right)\cdot 19^{11} + \left(18 a^{3} + 18 a^{2} + 6 a + 18\right)\cdot 19^{12} + \left(12 a^{3} + 17 a^{2} + 18 a + 14\right)\cdot 19^{13} + \left(16 a^{3} + 18 a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 19^{14} + \left(2 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 19^{15} + \left(11 a^{3} + 16 a^{2} + 11\right)\cdot 19^{16} + \left(12 a^{3} + 18 a^{2} + 16 a + 18\right)\cdot 19^{17} + \left(18 a^{3} + 17 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 19^{18} + \left(17 a^{2} + 14 a + 3\right)\cdot 19^{19} + \left(16 a^{3} + 4 a^{2} + 13 a + 10\right)\cdot 19^{20} + \left(6 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 17\right)\cdot 19^{21} + \left(5 a^{3} + 15 a^{2} + 9 a + 14\right)\cdot 19^{22} + \left(3 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 19^{23} + \left(7 a^{3} + 8 a^{2} + 17 a + 17\right)\cdot 19^{24} + \left(a^{3} + 8 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 19^{25} + \left(5 a^{3} + 16 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 19^{26} + \left(3 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 15\right)\cdot 19^{27} + \left(a^{3} + a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 19^{28} + \left(15 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 18\right)\cdot 19^{29} + \left(6 a^{3} + 16 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 19^{30} + \left(9 a^{3} + a^{2} + 1\right)\cdot 19^{31} + \left(12 a^{3} + 6 a^{2} + a + 6\right)\cdot 19^{32} + \left(3 a^{3} + 17 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 19^{33} + \left(18 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 18\right)\cdot 19^{34} + \left(17 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 19^{35} + \left(18 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 19^{36} + \left(4 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 19^{37} + \left(17 a^{3} + 13 a^{2} + 10 a + 17\right)\cdot 19^{38} + \left(9 a^{3} + 16 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 19^{39} + \left(14 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 19^{40} + \left(11 a^{3} + 18 a^{2} + 14 a\right)\cdot 19^{41} + \left(12 a^{3} + 9 a^{2} + 14 a + 9\right)\cdot 19^{42} + \left(5 a^{3} + 18 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 19^{43} + \left(11 a^{3} + 18 a^{2} + 16 a + 8\right)\cdot 19^{44} + \left(3 a^{3} + a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 19^{45} + \left(12 a^{3} + 14 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 19^{46} +O\left(19^{ 47 }\right)$
$r_{ 2 }$ $=$ $ 2 + 11\cdot 19 + 15\cdot 19^{2} + 2\cdot 19^{3} + 6\cdot 19^{4} + 16\cdot 19^{5} + 17\cdot 19^{6} + 19^{8} + 12\cdot 19^{9} + 5\cdot 19^{10} + 14\cdot 19^{11} + 13\cdot 19^{12} + 5\cdot 19^{13} + 9\cdot 19^{14} + 4\cdot 19^{15} + 15\cdot 19^{16} + 8\cdot 19^{18} + 16\cdot 19^{19} + 5\cdot 19^{20} + 16\cdot 19^{21} + 3\cdot 19^{22} + 11\cdot 19^{23} + 10\cdot 19^{24} + 2\cdot 19^{25} + 14\cdot 19^{26} + 10\cdot 19^{27} + 5\cdot 19^{28} + 13\cdot 19^{29} + 12\cdot 19^{30} + 4\cdot 19^{31} + 15\cdot 19^{32} + 15\cdot 19^{33} + 9\cdot 19^{34} + 3\cdot 19^{35} + 17\cdot 19^{37} + 12\cdot 19^{38} + 18\cdot 19^{39} + 3\cdot 19^{40} + 3\cdot 19^{41} + 3\cdot 19^{42} + 2\cdot 19^{43} + 11\cdot 19^{44} + 15\cdot 19^{45} + 13\cdot 19^{46} +O\left(19^{ 47 }\right)$
$r_{ 3 }$ $=$ $ 4 a^{3} + 18 a^{2} + 11 a + 7 + \left(8 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 19 + \left(5 a^{3} + 15 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 19^{2} + \left(a^{3} + 6 a^{2} + 17 a + 17\right)\cdot 19^{3} + \left(9 a^{3} + 16 a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 19^{4} + \left(12 a^{3} + 3 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 19^{5} + \left(15 a^{3} + 4 a^{2} + 18 a + 6\right)\cdot 19^{6} + \left(15 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 19^{7} + \left(13 a^{3} + a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 19^{8} + \left(2 a^{3} + 16 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 19^{9} + \left(11 a^{3} + 14 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 19^{10} + \left(11 a^{3} + 2 a^{2} + 15 a + 16\right)\cdot 19^{11} + \left(18 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a\right)\cdot 19^{12} + \left(16 a^{3} + 8 a^{2} + 13 a\right)\cdot 19^{13} + \left(18 a^{3} + 17 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 19^{14} + \left(5 a^{2} + a + 4\right)\cdot 19^{15} + \left(9 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 19^{16} + \left(3 a^{3} + 6 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 19^{17} + \left(14 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 16\right)\cdot 19^{18} + \left(15 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 19^{19} + \left(6 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 19^{20} + \left(10 a^{3} + 14 a^{2} + a + 8\right)\cdot 19^{21} + \left(13 a^{3} + 16 a^{2} + 12 a + 17\right)\cdot 19^{22} + \left(8 a^{3} + 12 a^{2} + 5 a\right)\cdot 19^{23} + \left(14 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 19^{24} + \left(7 a^{2} + 18 a\right)\cdot 19^{25} + \left(3 a^{3} + 17 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 19^{26} + \left(12 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 19^{27} + \left(5 a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 19^{28} + \left(18 a^{3} + 2 a + 6\right)\cdot 19^{29} + \left(6 a^{3} + 10 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 19^{30} + \left(16 a^{3} + 18 a^{2} + 13 a + 18\right)\cdot 19^{31} + \left(3 a^{3} + 10 a^{2} + 13 a + 10\right)\cdot 19^{32} + \left(17 a^{3} + 17 a^{2} + 10 a + 18\right)\cdot 19^{33} + \left(16 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 17\right)\cdot 19^{34} + \left(15 a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 19^{35} + \left(5 a^{3} + 14 a^{2} + 5 a + 14\right)\cdot 19^{36} + \left(6 a^{3} + 12 a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 19^{37} + \left(2 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 18\right)\cdot 19^{38} + \left(3 a^{3} + 3 a + 9\right)\cdot 19^{39} + \left(11 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 19^{40} + \left(2 a^{3} + 11 a^{2} + 13 a + 17\right)\cdot 19^{41} + \left(12 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 18\right)\cdot 19^{42} + \left(9 a^{3} + 3 a^{2} + 13 a + 5\right)\cdot 19^{43} + \left(a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 14\right)\cdot 19^{44} + \left(4 a^{3} + 10 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 19^{45} + \left(a + 12\right)\cdot 19^{46} +O\left(19^{ 47 }\right)$
$r_{ 4 }$ $=$ $ 13 a^{3} + 13 a^{2} + 5 a + 7 + \left(8 a^{3} + 2 a^{2} + 14 a + 9\right)\cdot 19 + \left(3 a^{3} + 6 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 19^{2} + \left(8 a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 19^{3} + \left(15 a^{3} + 2 a^{2} + 13 a + 14\right)\cdot 19^{4} + \left(17 a^{3} + 10 a^{2} + 15 a\right)\cdot 19^{5} + \left(12 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 19^{6} + \left(12 a^{3} + a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 19^{7} + \left(15 a^{3} + 9 a^{2} + 18 a + 16\right)\cdot 19^{8} + \left(17 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 19^{9} + \left(14 a^{3} + 13 a^{2} + 3 a + 16\right)\cdot 19^{10} + \left(a^{3} + 13 a^{2} + 1\right)\cdot 19^{11} + \left(4 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 16\right)\cdot 19^{12} + \left(18 a^{3} + 12 a + 2\right)\cdot 19^{13} + \left(7 a^{3} + a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 19^{14} + \left(15 a^{3} + 2 a + 7\right)\cdot 19^{15} + \left(4 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 18\right)\cdot 19^{16} + \left(a^{3} + 5 a^{2} + 13 a + 14\right)\cdot 19^{17} + \left(2 a^{3} + 5 a^{2} + 15 a + 18\right)\cdot 19^{18} + \left(11 a^{3} + 14 a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 19^{19} + \left(13 a^{3} + 14 a^{2} + 7 a\right)\cdot 19^{20} + \left(13 a^{3} + 17 a^{2} + 10 a\right)\cdot 19^{21} + \left(2 a^{3} + 8 a^{2} + 15 a + 18\right)\cdot 19^{22} + \left(10 a^{3} + a^{2} + 7 a + 18\right)\cdot 19^{23} + \left(14 a^{3} + 17 a^{2} + 7 a + 17\right)\cdot 19^{24} + \left(16 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 19^{25} + \left(8 a^{3} + 13 a^{2} + a\right)\cdot 19^{26} + \left(2 a^{2} + 5\right)\cdot 19^{27} + \left(2 a^{3} + 15 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 19^{28} + \left(14 a^{3} + 10 a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 19^{29} + \left(18 a^{3} + 16 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 19^{30} + \left(15 a^{3} + 13 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 19^{31} + \left(4 a^{3} + 17 a^{2} + 7 a\right)\cdot 19^{32} + \left(6 a^{3} + 9 a^{2} + 17 a + 18\right)\cdot 19^{33} + \left(15 a^{3} + 17 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 19^{34} + \left(10 a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 19^{35} + \left(12 a^{3} + 16 a^{2} + 10 a + 16\right)\cdot 19^{36} + \left(7 a^{3} + 2 a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 19^{37} + \left(11 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a\right)\cdot 19^{38} + \left(11 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 19^{39} + \left(4 a^{3} + 8 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 19^{40} + \left(18 a^{3} + 3 a^{2} + 16 a + 16\right)\cdot 19^{41} + \left(18 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 19^{42} + \left(4 a^{3} + 17 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 19^{43} + \left(14 a^{3} + 4 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 19^{44} + \left(13 a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 16\right)\cdot 19^{45} + \left(2 a^{3} + 16 a + 4\right)\cdot 19^{46} +O\left(19^{ 47 }\right)$
$r_{ 5 }$ $=$ $ 16 a^{3} + 8 a^{2} + 17 a + 3 + \left(16 a^{3} + 10 a + 3\right)\cdot 19 + \left(10 a^{3} + 7 a^{2} + a + 9\right)\cdot 19^{2} + \left(14 a^{3} + 13 a^{2} + 6 a + 18\right)\cdot 19^{3} + \left(15 a^{3} + 8 a^{2} + 7\right)\cdot 19^{4} + \left(2 a^{3} + 14 a^{2}\right)\cdot 19^{5} + \left(14 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 19^{6} + \left(a^{3} + 12 a^{2} + 18\right)\cdot 19^{7} + \left(12 a^{3} + 5 a^{2} + 18 a + 6\right)\cdot 19^{8} + \left(16 a^{3} + 14 a^{2} + 11 a + 16\right)\cdot 19^{9} + \left(16 a^{3} + 6 a^{2} + 6\right)\cdot 19^{10} + \left(17 a^{3} + 14 a^{2} + a + 2\right)\cdot 19^{11} + \left(16 a^{3} + 12 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 19^{12} + \left(a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 19^{13} + \left(6 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 19^{14} + \left(10 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 19^{15} + \left(6 a^{3} + 13 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 19^{16} + \left(14 a^{3} + 13 a^{2} + 11 a + 17\right)\cdot 19^{17} + \left(17 a^{3} + 11 a^{2} + 16 a + 16\right)\cdot 19^{18} + \left(9 a^{3} + a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 19^{19} + \left(16 a^{3} + 17 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 19^{20} + \left(5 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 19^{21} + \left(14 a^{3} + 13 a^{2} + 16 a + 4\right)\cdot 19^{22} + \left(2 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 17\right)\cdot 19^{23} + \left(7 a^{3} + 7 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 19^{24} + \left(18 a^{3} + 3 a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 19^{25} + \left(6 a^{3} + 15 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 19^{26} + \left(15 a^{3} + a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 19^{27} + \left(14 a^{3} + 13 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 19^{28} + \left(6 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 19^{29} + \left(4 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 19^{30} + \left(9 a^{3} + 16 a^{2} + 16\right)\cdot 19^{31} + \left(14 a^{3} + 17 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 19^{32} + \left(a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 19^{33} + \left(12 a^{3} + 13 a^{2} + a + 3\right)\cdot 19^{34} + \left(14 a^{3} + 17 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 19^{35} + \left(8 a^{3} + 17 a^{2} + 15 a + 10\right)\cdot 19^{36} + \left(10 a^{3} + 12 a^{2} + 13 a + 18\right)\cdot 19^{37} + \left(6 a^{3} + 3 a^{2} + 11 a + 16\right)\cdot 19^{38} + \left(7 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 19^{39} + \left(7 a^{3} + 16 a^{2} + a\right)\cdot 19^{40} + \left(3 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 19^{41} + \left(13 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 19^{42} + \left(17 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 17\right)\cdot 19^{43} + \left(8 a^{3} + 17 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 19^{44} + \left(2 a^{3} + 11 a^{2} + 17 a + 10\right)\cdot 19^{45} + \left(15 a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 19^{46} +O\left(19^{ 47 }\right)$
$r_{ 6 }$ $=$ $ 18 a^{3} + 16 a^{2} + 13 a + 18 + \left(4 a^{3} + 13 a^{2} + 3\right)\cdot 19 + \left(17 a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 19^{2} + \left(17 a^{3} + 15 a^{2} + a\right)\cdot 19^{3} + \left(4 a^{3} + 18 a^{2} + 13 a\right)\cdot 19^{4} + \left(7 a^{3} + 16 a^{2} + 11\right)\cdot 19^{5} + \left(10 a^{3} + 4 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 19^{6} + \left(3 a^{3} + 9 a^{2} + 17 a + 10\right)\cdot 19^{7} + \left(6 a^{3} + 8 a\right)\cdot 19^{8} + \left(17 a^{2} + 17 a + 8\right)\cdot 19^{9} + \left(14 a^{3} + 6 a^{2} + 2\right)\cdot 19^{10} + \left(11 a^{3} + 14 a^{2} + 7 a + 18\right)\cdot 19^{11} + \left(11 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 19^{12} + \left(8 a^{3} + 17 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 19^{13} + \left(14 a^{3} + a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 19^{14} + \left(10 a^{3} + 12 a + 12\right)\cdot 19^{15} + \left(15 a^{3} + 11 a^{2} + a + 9\right)\cdot 19^{16} + \left(12 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 19^{17} + \left(14 a^{3} + 2 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 19^{18} + \left(6 a^{3} + 13 a^{2} + 13 a + 16\right)\cdot 19^{19} + \left(5 a^{3} + 7 a^{2} + 14 a + 1\right)\cdot 19^{20} + \left(7 a^{3} + 15 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 19^{21} + \left(12 a^{3} + 11 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 19^{22} + \left(5 a^{3} + 17 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 19^{23} + \left(3 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 19^{24} + \left(3 a^{3} + 18 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 19^{25} + \left(13 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 19^{26} + \left(4 a^{3} + 10 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 19^{27} + \left(6 a^{3} + 5 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 19^{28} + \left(a^{3} + 17 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 19^{29} + \left(11 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 19^{30} + \left(15 a^{3} + a^{2} + 14 a + 7\right)\cdot 19^{31} + \left(3 a^{3} + 16 a^{2} + 9 a + 18\right)\cdot 19^{32} + \left(16 a^{3} + 8 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 19^{33} + \left(17 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 19^{34} + \left(6 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 19^{35} + \left(10 a^{3} + 17 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 19^{36} + \left(6 a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 19^{37} + \left(2 a^{3} + 16 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 19^{38} + \left(11 a^{3} + 6 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 19^{39} + \left(4 a^{3} + 15 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 19^{40} + \left(17 a^{3} + 14 a^{2} + 8 a\right)\cdot 19^{41} + \left(12 a^{3} + 18 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 19^{42} + \left(17 a^{3} + 14 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 19^{43} + \left(5 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 19^{44} + \left(3 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 19^{45} + \left(5 a^{3} + 8 a^{2} + 13 a + 18\right)\cdot 19^{46} +O\left(19^{ 47 }\right)$
$r_{ 7 }$ $=$ $ 7 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 1 + \left(5 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 19 + \left(8 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 19^{2} + \left(6 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 19^{3} + \left(3 a^{3} + 4 a^{2} + 13 a + 9\right)\cdot 19^{4} + \left(4 a^{3} + 14 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 19^{5} + \left(10 a^{3} + a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 19^{6} + \left(2 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 19^{7} + \left(12 a^{3} + 9 a + 13\right)\cdot 19^{8} + \left(10 a^{3} + 18 a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 19^{9} + \left(16 a^{3} + a^{2} + 12 a\right)\cdot 19^{10} + \left(9 a^{3} + 6 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 19^{11} + \left(14 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 19^{12} + \left(11 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 19^{13} + \left(11 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 16\right)\cdot 19^{14} + \left(5 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 19^{15} + \left(16 a^{3} + 17 a^{2} + 17 a + 7\right)\cdot 19^{16} + \left(3 a^{3} + 12 a^{2} + 13 a + 2\right)\cdot 19^{17} + \left(11 a^{3} + 17 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 19^{18} + \left(2 a^{3} + 10 a^{2} + 15 a\right)\cdot 19^{19} + \left(13 a^{2} + a + 11\right)\cdot 19^{20} + \left(4 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 19^{21} + \left(18 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 19^{22} + \left(10 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 19^{23} + \left(a^{3} + 9 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 19^{24} + \left(a^{3} + 13 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 19^{25} + \left(6 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 19^{26} + \left(16 a^{3} + 13 a^{2} + a + 4\right)\cdot 19^{27} + \left(16 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 16\right)\cdot 19^{28} + \left(9 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 19^{29} + \left(4 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 19^{30} + \left(6 a^{3} + 12 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 19^{31} + \left(3 a^{3} + 17 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 19^{32} + \left(15 a^{3} + 11 a^{2} + 16 a + 5\right)\cdot 19^{33} + \left(9 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 19^{34} + \left(5 a^{3} + 14 a^{2} + 18\right)\cdot 19^{35} + \left(4 a^{3} + 2 a^{2} + 13 a + 8\right)\cdot 19^{36} + \left(9 a^{3} + 18 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 19^{37} + \left(12 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 19^{38} + \left(12 a^{3} + 14 a^{2} + 16 a + 16\right)\cdot 19^{39} + \left(10 a^{2} + a + 15\right)\cdot 19^{40} + \left(2 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 19^{41} + \left(4 a^{3} + 6 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 19^{42} + \left(9 a^{3} + 18 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 19^{43} + \left(3 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 14\right)\cdot 19^{44} + \left(7 a^{3} + 11 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 19^{45} + \left(5 a^{3} + 11 a^{2} + a + 4\right)\cdot 19^{46} +O\left(19^{ 47 }\right)$
$r_{ 8 }$ $=$ $ 10 a^{3} + a^{2} + 3 a + 13 + \left(7 a^{3} + 2 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 19 + \left(6 a^{3} + 18 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 19^{2} + \left(5 a^{3} + 15 a + 5\right)\cdot 19^{3} + \left(2 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 19^{4} + \left(10 a^{3} + 15 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 19^{5} + \left(15 a^{2} + 13 a + 14\right)\cdot 19^{6} + \left(a^{3} + 14 a^{2} + 14 a + 9\right)\cdot 19^{7} + \left(4 a^{3} + 3 a^{2} + 11 a\right)\cdot 19^{8} + \left(3 a^{3} + 18 a^{2} + 3 a + 14\right)\cdot 19^{9} + \left(11 a^{3} + 10 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 19^{10} + \left(6 a^{3} + 14 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 19^{11} + \left(5 a^{3} + 8 a^{2} + 13 a + 16\right)\cdot 19^{12} + \left(9 a^{3} + 13 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 19^{13} + \left(15 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a\right)\cdot 19^{14} + \left(a^{3} + 7 a^{2} + 17\right)\cdot 19^{15} + \left(11 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 19^{16} + \left(9 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 17\right)\cdot 19^{17} + \left(3 a^{3} + 18 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 19^{18} + \left(10 a^{3} + 8 a^{2} + 18 a + 16\right)\cdot 19^{19} + \left(2 a^{3} + 17 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 19^{20} + \left(11 a^{3} + 15 a^{2} + 13 a + 14\right)\cdot 19^{21} + \left(8 a^{3} + 3 a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 19^{22} + \left(15 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 19^{23} + \left(13 a^{3} + 3 a + 3\right)\cdot 19^{24} + \left(18 a^{3} + 11 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 19^{25} + \left(8 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 17\right)\cdot 19^{26} + \left(17 a^{3} + 4 a^{2} + 18 a + 13\right)\cdot 19^{27} + \left(14 a^{3} + 4 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 19^{28} + \left(15 a^{3} + 6 a^{2} + a + 12\right)\cdot 19^{29} + \left(14 a^{3} + 4 a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 19^{30} + \left(16 a^{3} + 6 a^{2} + 18 a + 12\right)\cdot 19^{31} + \left(14 a^{3} + 5 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 19^{32} + \left(13 a^{3} + 16 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 19^{33} + \left(11 a^{3} + 17 a^{2} + 11 a\right)\cdot 19^{34} + \left(15 a^{3} + a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 19^{35} + \left(6 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a\right)\cdot 19^{36} + \left(13 a^{3} + 15 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 19^{37} + \left(17 a^{3} + 13 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 19^{38} + \left(18 a^{3} + 14 a^{2} + 16 a + 16\right)\cdot 19^{39} + \left(2 a^{3} + 16 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 19^{40} + \left(18 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 19^{41} + \left(11 a^{3} + 2 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 19^{42} + \left(16 a^{3} + 16 a^{2} + 16\right)\cdot 19^{43} + \left(8 a^{3} + 12 a^{2} + a + 6\right)\cdot 19^{44} + \left(18 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 19^{45} + \left(10 a^{3} + 13 a^{2} + 3 a\right)\cdot 19^{46} +O\left(19^{ 47 }\right)$
$r_{ 9 }$ $=$ $ 16 a^{3} + 5 a^{2} + 14 a + 17 + \left(a^{3} + 16 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 19 + \left(16 a^{3} + 12 a^{2} + 17 a + 15\right)\cdot 19^{2} + \left(7 a^{3} + 17 a^{2} + 17 a + 6\right)\cdot 19^{3} + \left(14 a^{3} + 11 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 19^{4} + \left(8 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 16\right)\cdot 19^{5} + \left(13 a^{3} + 2 a^{2} + 14 a\right)\cdot 19^{6} + \left(7 a^{3} + 17 a^{2} + 16 a + 18\right)\cdot 19^{7} + \left(3 a^{3} + 15 a^{2} + a + 13\right)\cdot 19^{8} + \left(6 a^{3} + 6 a^{2} + 14 a + 4\right)\cdot 19^{9} + \left(16 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 19^{10} + \left(18 a^{3} + 15 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 19^{11} + \left(4 a^{3} + 10 a^{2} + a + 13\right)\cdot 19^{12} + \left(15 a^{3} + 8 a^{2} + 17 a + 14\right)\cdot 19^{13} + \left(9 a^{3} + 16 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 19^{14} + \left(9 a^{3} + 13 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 19^{15} + \left(a^{3} + a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 19^{16} + \left(18 a^{3} + 10 a + 7\right)\cdot 19^{17} + \left(12 a^{3} + 14 a^{2} + 13 a + 8\right)\cdot 19^{18} + \left(18 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 19^{19} + \left(14 a^{3} + 13 a^{2} + 10 a\right)\cdot 19^{20} + \left(16 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 19^{21} + \left(13 a^{2} + 13 a + 9\right)\cdot 19^{22} + \left(6 a^{3} + 8 a^{2} + 11 a + 17\right)\cdot 19^{23} + \left(15 a^{3} + 17 a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 19^{24} + \left(15 a^{3} + 8 a^{2} + 13 a + 7\right)\cdot 19^{25} + \left(4 a^{3} + 10 a^{2} + a + 9\right)\cdot 19^{26} + \left(6 a^{3} + 3 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 19^{27} + \left(14 a^{3} + 14 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 19^{28} + \left(13 a^{3} + 3 a^{2}\right)\cdot 19^{29} + \left(18 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 19^{30} + \left(6 a^{3} + 4 a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 19^{31} + \left(18 a^{3} + 3 a^{2} + 18 a + 13\right)\cdot 19^{32} + \left(a^{3} + 10 a^{2} + 13\right)\cdot 19^{33} + \left(12 a^{3} + 6 a^{2} + 14 a + 18\right)\cdot 19^{34} + \left(17 a^{3} + 10 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 19^{35} + \left(8 a^{3} + 9 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 19^{36} + \left(17 a^{3} + 4 a + 7\right)\cdot 19^{37} + \left(5 a^{3} + 10 a^{2} + 17 a + 1\right)\cdot 19^{38} + \left(12 a^{3} + 6 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 19^{39} + \left(11 a^{3} + 13 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 19^{40} + \left(2 a^{3} + 2 a^{2} + 4\right)\cdot 19^{41} + \left(9 a^{3} + 12 a^{2} + 15 a + 6\right)\cdot 19^{42} + \left(13 a^{3} + 16 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 19^{43} + \left(2 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 19^{44} + \left(4 a^{3} + 14 a^{2} + 3 a + 14\right)\cdot 19^{45} + \left(a^{3} + 11 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 19^{46} +O\left(19^{ 47 }\right)$

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 9 }$

Cycle notation
$(1,5,7)(2,4,6)(3,9,8)$
$(1,3,2)(4,5,9)(6,7,8)$
$(1,3,2)(4,9,5)$
$(1,3,8,2,9,5,7,4)$
$(1,8,9,7)(2,5,4,3)$
$(1,5,7)(3,8,9)$

Character values on conjugacy classes

SizeOrderAction on $r_1, \ldots, r_{ 9 }$ Character value
$1$$1$$()$$8$
$9$$2$$(1,8)(2,6)(3,7)(5,9)$$0$
$36$$2$$(1,7)(3,9)(4,6)$$-2$
$8$$3$$(1,3,2)(4,5,9)(6,7,8)$$-1$
$24$$3$$(2,7,9)(3,5,6)$$2$
$48$$3$$(1,9,8)(2,5,7)(3,4,6)$$-1$
$54$$4$$(1,2,8,6)(3,5,7,9)$$0$
$72$$6$$(1,4,9,7,6,3)(2,8,5)$$1$
$72$$6$$(1,2,4,7,8,9)(3,6)$$0$
$54$$8$$(1,3,8,2,9,5,7,4)$$0$
$54$$8$$(1,5,8,4,9,3,7,2)$$0$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.