# Properties

 Label 8.17256481947.9t26.a.a Dimension 8 Group $((C_3^2:Q_8):C_3):C_2$ Conductor $3^{7} \cdot 53^{4}$ Root number 1 Frobenius-Schur indicator 1

# Related objects

## Basic invariants

 Dimension: $8$ Group: $((C_3^2:Q_8):C_3):C_2$ Conductor: $17256481947= 3^{7} \cdot 53^{4}$ Artin number field: Splitting field of 9.3.17256481947.1 defined by $f= x^{9} - x^{8} - 3 x^{7} + 3 x^{6} - 3 x^{5} + 6 x^{4} + 9 x^{3} - 18 x^{2} - 9 x + 18$ over $\Q$ Size of Galois orbit: 1 Smallest containing permutation representation: $((C_3^2:Q_8):C_3):C_2$ Parity: Odd Determinant: 1.3.2t1.a.a Projective image: $AGL(2,3)$ Projective field: Galois closure of 9.3.17256481947.1

## Galois action

### Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 13 }$ to precision 51.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 13 }$: $x^{4} + 3 x^{2} + 12 x + 2$
Roots:
 $r_{ 1 }$ $=$ $12 + 13 + 11\cdot 13^{2} + 4\cdot 13^{4} + 12\cdot 13^{5} + 8\cdot 13^{6} + 5\cdot 13^{7} + 11\cdot 13^{8} + 3\cdot 13^{9} + 4\cdot 13^{10} + 7\cdot 13^{11} + 3\cdot 13^{12} + 13^{13} + 13^{14} + 8\cdot 13^{15} + 4\cdot 13^{16} + 12\cdot 13^{17} + 9\cdot 13^{18} + 7\cdot 13^{19} + 8\cdot 13^{20} + 6\cdot 13^{21} + 12\cdot 13^{22} + 11\cdot 13^{24} + 12\cdot 13^{25} + 5\cdot 13^{26} + 10\cdot 13^{27} + 10\cdot 13^{28} + 13^{29} + 8\cdot 13^{30} + 8\cdot 13^{31} + 12\cdot 13^{32} + 12\cdot 13^{33} + 2\cdot 13^{35} + 10\cdot 13^{36} + 10\cdot 13^{37} + 2\cdot 13^{38} + 10\cdot 13^{39} + 6\cdot 13^{40} + 5\cdot 13^{41} + 10\cdot 13^{42} + 10\cdot 13^{43} + 13^{44} + 3\cdot 13^{45} + 12\cdot 13^{46} + 7\cdot 13^{47} + 13^{48} + 7\cdot 13^{49} + 8\cdot 13^{50} +O\left(13^{ 51 }\right)$ $r_{ 2 }$ $=$ $7 a^{3} + 8 a^{2} + 1 + \left(5 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 13 + \left(a^{3} + 7 a + 7\right)\cdot 13^{2} + \left(2 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{3} + \left(a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{4} + \left(12 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 13^{5} + \left(12 a^{3} + 9 a^{2} + 10\right)\cdot 13^{6} + \left(a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 13^{7} + \left(9 a^{3} + 4 a^{2} + 2\right)\cdot 13^{8} + \left(12 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a\right)\cdot 13^{9} + \left(3 a^{3} + 10 a + 1\right)\cdot 13^{10} + \left(2 a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 13^{11} + \left(10 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 13^{12} + \left(3 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 13^{13} + \left(9 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{14} + \left(8 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 13^{15} + \left(3 a^{3} + 4 a^{2} + a + 11\right)\cdot 13^{16} + \left(2 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 13^{17} + \left(7 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 13^{18} + \left(2 a^{3} + a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{19} + \left(10 a^{3} + a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{20} + \left(5 a^{3} + 12 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{21} + \left(2 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{22} + \left(9 a^{3} + a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 13^{23} + \left(3 a^{3} + 9 a^{2} + 7\right)\cdot 13^{24} + \left(11 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{25} + \left(10 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 13^{26} + \left(2 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{27} + \left(3 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 13^{28} + \left(6 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 13^{29} + \left(11 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{30} + \left(12 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 13^{31} + \left(9 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{32} + \left(a^{3} + 4 a^{2} + a + 7\right)\cdot 13^{33} + \left(10 a^{3} + 2 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 13^{34} + \left(9 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 13^{35} + \left(12 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 13^{36} + \left(10 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 13^{37} + \left(11 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 13^{38} + \left(11 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 13^{39} + \left(2 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 13^{40} + \left(9 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 13^{41} + \left(2 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 13^{42} + \left(11 a^{3} + a^{2} + 2 a\right)\cdot 13^{43} + \left(5 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 13^{44} + \left(11 a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 13^{45} + \left(9 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 13^{46} + \left(11 a^{3} + 3 a^{2} + 3\right)\cdot 13^{47} + \left(a^{3} + 7 a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{48} + \left(7 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13^{49} + \left(9 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 13^{50} +O\left(13^{ 51 }\right)$ $r_{ 3 }$ $=$ $11 a^{3} + 2 a + 12 + \left(5 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13 + \left(3 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 13^{2} + \left(11 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a\right)\cdot 13^{3} + \left(11 a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 13^{4} + \left(a^{3} + 8 a + 3\right)\cdot 13^{5} + \left(12 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 13^{6} + \left(3 a^{3} + 7 a^{2} + 3\right)\cdot 13^{7} + \left(2 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a\right)\cdot 13^{8} + \left(7 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 13^{9} + \left(10 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a\right)\cdot 13^{10} + \left(11 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 13^{11} + \left(5 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 13^{12} + \left(8 a^{3} + 12 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 13^{13} + \left(10 a^{3} + 9 a + 12\right)\cdot 13^{14} + \left(a^{3} + 9 a + 10\right)\cdot 13^{15} + \left(7 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 13^{16} + \left(10 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 13^{17} + \left(8 a^{3} + 3 a^{2} + 6\right)\cdot 13^{18} + \left(9 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 13^{19} + \left(a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 13^{20} + \left(12 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 13^{21} + \left(5 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 13^{22} + \left(5 a^{3} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{23} + \left(6 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 13^{24} + \left(8 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 13^{25} + \left(2 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{26} + \left(9 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 13^{27} + \left(11 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 13^{28} + \left(2 a^{3} + 8 a^{2} + a + 12\right)\cdot 13^{29} + \left(3 a^{3} + a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 13^{30} + \left(9 a^{3} + 11 a^{2} + 8 a\right)\cdot 13^{31} + \left(9 a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 13^{32} + \left(12 a^{3} + 9 a + 9\right)\cdot 13^{33} + \left(6 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 13^{34} + \left(a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 13^{35} + \left(3 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{36} + \left(6 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 13^{37} + \left(4 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a\right)\cdot 13^{38} + \left(8 a^{3} + a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 13^{39} + \left(3 a^{3} + 2 a^{2} + a + 6\right)\cdot 13^{40} + \left(7 a^{2} + 11\right)\cdot 13^{41} + \left(10 a^{3} + 9 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{42} + \left(5 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 13^{43} + \left(7 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 13^{44} + \left(7 a^{3} + 7 a^{2} + 4\right)\cdot 13^{45} + \left(7 a^{3} + a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 13^{46} + \left(5 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{47} + \left(5 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a\right)\cdot 13^{48} + \left(3 a^{3} + a^{2} + 4\right)\cdot 13^{49} + \left(7 a^{3} + 3 a^{2} + a + 8\right)\cdot 13^{50} +O\left(13^{ 51 }\right)$ $r_{ 4 }$ $=$ $9 a^{3} + 9 a^{2} + a + 1 + \left(10 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 13 + \left(11 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 13^{2} + \left(12 a^{3} + 10 a^{2} + 8\right)\cdot 13^{3} + \left(6 a^{3} + 9 a^{2} + 10\right)\cdot 13^{4} + \left(8 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 13^{5} + \left(7 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 13^{6} + \left(11 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{7} + \left(3 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{8} + \left(8 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{9} + \left(10 a^{3} + 5 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{10} + \left(a^{3} + 9 a + 9\right)\cdot 13^{11} + \left(9 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 13^{12} + \left(a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{13} + \left(8 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 13^{14} + \left(a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 13^{15} + \left(8 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 13^{16} + \left(6 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 13^{17} + \left(a^{3} + 4 a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{18} + \left(12 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 13^{19} + \left(10 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 13^{20} + \left(5 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 13^{21} + \left(6 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 13^{22} + \left(a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 13^{23} + \left(5 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 13^{24} + \left(4 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 13^{25} + \left(2 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 13^{26} + \left(11 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 13^{27} + \left(10 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{28} + \left(a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 13^{29} + \left(12 a^{3} + a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 13^{30} + \left(11 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 13^{31} + \left(7 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{32} + \left(4 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{33} + \left(6 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 13^{34} + \left(4 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 13^{35} + \left(11 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 13^{36} + \left(8 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 13^{37} + \left(5 a^{3} + 9 a^{2} + 4\right)\cdot 13^{38} + \left(11 a^{3} + 3 a + 4\right)\cdot 13^{39} + \left(7 a^{3} + a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 13^{40} + \left(a^{3} + 3 a^{2} + 4\right)\cdot 13^{41} + \left(a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 13^{42} + \left(a^{3} + 3 a^{2} + a + 4\right)\cdot 13^{43} + \left(5 a^{3} + 11 a^{2} + a + 12\right)\cdot 13^{44} + \left(7 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 13^{45} + \left(9 a^{3} + 12 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 13^{46} + \left(8 a^{3} + 11 a^{2} + 8\right)\cdot 13^{47} + \left(2 a^{3} + 3 a^{2} + a + 11\right)\cdot 13^{48} + \left(2 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{49} + \left(6 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{50} +O\left(13^{ 51 }\right)$ $r_{ 5 }$ $=$ $a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 4 + \left(4 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 13 + \left(10 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 13^{2} + \left(2 a^{3} + a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 13^{3} + \left(6 a^{3} + 3 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{4} + \left(2 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{5} + \left(11 a^{3} + 8 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{6} + \left(6 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{7} + \left(4 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 13^{8} + \left(a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 13^{9} + \left(a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 13^{10} + \left(11 a^{3} + 8 a^{2} + 4\right)\cdot 13^{11} + \left(11 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 13^{12} + \left(a^{3} + 10 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 13^{13} + \left(6 a^{3} + a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 13^{14} + \left(3 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 13^{15} + \left(4 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 13^{16} + \left(11 a^{2} + 6 a\right)\cdot 13^{17} + \left(a^{3} + 7 a^{2} + a + 9\right)\cdot 13^{18} + \left(8 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 13^{19} + \left(9 a^{3} + 9 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13^{20} + \left(4 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a\right)\cdot 13^{21} + \left(11 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a\right)\cdot 13^{22} + \left(a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 13^{23} + \left(12 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 13^{24} + \left(10 a^{3} + 9 a^{2} + 8\right)\cdot 13^{25} + \left(a^{3} + 9 a\right)\cdot 13^{26} + \left(5 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 13^{27} + \left(5 a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 13^{28} + \left(10 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 13^{29} + \left(8 a^{3} + 2 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 13^{30} + \left(4 a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 13^{31} + \left(11 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 13^{32} + \left(4 a^{3} + 4 a + 2\right)\cdot 13^{33} + \left(4 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13^{34} + \left(6 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 13^{35} + \left(4 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 13^{36} + \left(5 a^{3} + 10 a + 4\right)\cdot 13^{37} + \left(8 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a\right)\cdot 13^{38} + \left(4 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{39} + \left(5 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 13^{40} + \left(12 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 13^{41} + \left(11 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 13^{42} + \left(3 a^{3} + 12 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{43} + \left(7 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 13^{44} + \left(5 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 13^{45} + \left(11 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 13^{46} + \left(10 a^{3} + 12 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 13^{47} + \left(8 a^{3} + a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{48} + \left(3 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 13^{49} + \left(3 a^{3} + 7 a^{2} + a + 12\right)\cdot 13^{50} +O\left(13^{ 51 }\right)$ $r_{ 6 }$ $=$ $12 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 2 + \left(3 a^{3} + 2 a^{2} + 11\right)\cdot 13 + \left(9 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 13^{2} + \left(12 a^{3} + a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 13^{3} + \left(5 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{4} + \left(3 a^{3} + a + 10\right)\cdot 13^{5} + \left(6 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{6} + \left(8 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 13^{7} + \left(10 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 13^{8} + \left(10 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 13^{9} + \left(11 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 13^{10} + \left(10 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 13^{11} + \left(10 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 13^{12} + \left(4 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{13} + \left(11 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 13^{14} + \left(4 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 13^{15} + \left(a^{3} + 7 a^{2} + a + 11\right)\cdot 13^{16} + \left(7 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{17} + \left(8 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 13^{18} + \left(3 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 13^{19} + \left(4 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 13^{20} + \left(2 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a\right)\cdot 13^{21} + \left(4 a^{3} + a^{2}\right)\cdot 13^{22} + \left(10 a^{3} + 3 a^{2} + a\right)\cdot 13^{23} + \left(10 a^{3} + 5 a\right)\cdot 13^{24} + \left(a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 13^{25} + \left(10 a^{3} + 11 a + 9\right)\cdot 13^{26} + \left(2 a^{3} + 8 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{27} + \left(a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 13^{28} + \left(2 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{29} + \left(12 a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 13^{30} + \left(4 a^{3} + 6 a + 4\right)\cdot 13^{31} + \left(11 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 13^{32} + \left(6 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 13^{33} + \left(2 a^{3} + a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 13^{34} + \left(a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 13^{35} + \left(12 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 13^{36} + \left(12 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{37} + \left(3 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 13^{38} + \left(7 a^{3} + 12 a + 12\right)\cdot 13^{39} + \left(11 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 13^{40} + \left(a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 13^{41} + \left(12 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 13^{42} + \left(7 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 13^{43} + \left(7 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 13^{44} + \left(12 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 13^{45} + \left(11 a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 13^{46} + \left(12 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 13^{47} + \left(2 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 13^{48} + \left(7 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 13^{49} + \left(3 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 13^{50} +O\left(13^{ 51 }\right)$ $r_{ 7 }$ $=$ $12 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 8 + \left(5 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 13 + \left(5 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 13^{2} + \left(3 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 13^{3} + \left(12 a + 1\right)\cdot 13^{4} + \left(8 a^{3} + a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 13^{5} + \left(10 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{6} + \left(2 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 13^{7} + \left(10 a^{3} + 4 a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{8} + \left(12 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 13^{9} + \left(2 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 13^{10} + \left(7 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 13^{11} + \left(11 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 13^{12} + \left(a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 13^{13} + \left(4 a^{3} + 6 a + 12\right)\cdot 13^{14} + \left(3 a^{3} + 12 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 13^{15} + \left(11 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 13^{16} + \left(2 a^{3} + 10 a^{2} + 8\right)\cdot 13^{17} + \left(11 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{18} + \left(5 a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 13^{19} + \left(4 a^{2} + 6 a\right)\cdot 13^{20} + \left(8 a^{3} + 2 a + 1\right)\cdot 13^{21} + \left(9 a^{3} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{22} + \left(7 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 13^{23} + \left(5 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{24} + \left(7 a^{3} + 6 a^{2} + a + 5\right)\cdot 13^{25} + \left(4 a^{2} + 1\right)\cdot 13^{26} + \left(2 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 13^{27} + \left(4 a^{3} + 11 a^{2} + a + 2\right)\cdot 13^{28} + \left(12 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 13^{29} + \left(11 a^{3} + 11 a^{2} + 11\right)\cdot 13^{30} + \left(11 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{31} + \left(7 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 13^{32} + \left(11 a^{3} + a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 13^{33} + \left(6 a^{3} + 9 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{34} + \left(10 a^{3} + 6 a\right)\cdot 13^{35} + \left(6 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{36} + \left(5 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 13^{37} + \left(11 a^{3} + 3 a^{2} + 1\right)\cdot 13^{38} + \left(11 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 13^{39} + \left(3 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 13^{40} + \left(9 a^{3} + a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 13^{41} + \left(6 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a\right)\cdot 13^{42} + \left(10 a^{3} + 4 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 13^{43} + \left(6 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 13^{44} + \left(4 a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{45} + \left(9 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{46} + \left(a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 13^{47} + \left(8 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 13^{48} + \left(9 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 13^{49} + \left(12 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a\right)\cdot 13^{50} +O\left(13^{ 51 }\right)$ $r_{ 8 }$ $=$ $9 a^{3} + 10 a^{2} + 8 + \left(9 a^{3} + a^{2} + 5 a\right)\cdot 13 + \left(a^{3} + 3\right)\cdot 13^{2} + \left(6 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 13^{3} + \left(8 a^{3} + 12 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 13^{4} + \left(6 a^{3} + 2 a^{2} + 7\right)\cdot 13^{5} + \left(5 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 13^{6} + \left(8 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 13^{7} + \left(12 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 13^{8} + \left(4 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 13^{9} + \left(8 a^{3} + 11 a^{2} + a\right)\cdot 13^{10} + \left(a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{11} + \left(10 a^{3} + 4 a^{2} + 5\right)\cdot 13^{12} + \left(12 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a\right)\cdot 13^{13} + \left(8 a^{3} + 12 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 13^{14} + \left(7 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 13^{15} + \left(5 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 13^{16} + \left(10 a^{3} + 2 a^{2} + a + 12\right)\cdot 13^{17} + \left(a^{3} + a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 13^{18} + \left(5 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 13^{19} + \left(5 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{20} + \left(a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 13^{21} + \left(4 a^{3} + 2 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 13^{22} + \left(8 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 13^{23} + \left(9 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 13^{24} + \left(8 a^{3} + a + 1\right)\cdot 13^{25} + \left(8 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{26} + \left(5 a^{3} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{27} + \left(5 a^{3} + 5 a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{28} + \left(4 a^{3} + a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{29} + \left(9 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{30} + \left(8 a^{3} + 2 a + 11\right)\cdot 13^{31} + \left(9 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 13^{32} + \left(9 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 13^{33} + \left(5 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 13^{34} + \left(11 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 13^{35} + \left(3 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{36} + \left(8 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a\right)\cdot 13^{37} + \left(7 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 13^{38} + \left(2 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 13^{39} + \left(9 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 13^{40} + \left(7 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 13^{41} + \left(9 a^{3} + 10 a^{2} + a + 11\right)\cdot 13^{42} + \left(9 a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 13^{43} + \left(4 a^{3} + a^{2} + 9 a\right)\cdot 13^{44} + \left(3 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 13^{45} + \left(3 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{46} + \left(9 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{47} + \left(a^{2} + 11 a\right)\cdot 13^{48} + \left(12 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a\right)\cdot 13^{49} + \left(4 a^{3} + 8 a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{50} +O\left(13^{ 51 }\right)$ $r_{ 9 }$ $=$ $4 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 5 + \left(6 a^{3} + 7 a^{2} + 5\right)\cdot 13 + \left(8 a^{3} + 8 a + 12\right)\cdot 13^{2} + \left(11 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 13^{3} + \left(11 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 13^{4} + \left(8 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{5} + \left(11 a^{3} + a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 13^{6} + \left(7 a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 13^{7} + \left(11 a^{3} + a + 4\right)\cdot 13^{8} + \left(10 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 13^{9} + \left(2 a^{2} + 4 a\right)\cdot 13^{10} + \left(6 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 13^{11} + \left(3 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 13^{12} + \left(10 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a\right)\cdot 13^{13} + \left(6 a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 13^{14} + \left(11 a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 13^{15} + \left(4 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 13^{16} + \left(12 a^{3} + a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 13^{17} + \left(11 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 13^{18} + \left(6 a^{3} + a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 13^{19} + \left(10 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 13^{20} + \left(11 a^{3} + 10 a^{2} + a + 4\right)\cdot 13^{21} + \left(11 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 13^{22} + \left(8 a^{3} + 4 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 13^{23} + \left(11 a^{3} + 8 a^{2} + a + 7\right)\cdot 13^{24} + \left(11 a^{3} + 9 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 13^{25} + \left(a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 13^{26} + \left(5 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 13^{27} + \left(11 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 13^{28} + \left(11 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 13^{29} + \left(8 a^{3} + 12 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 13^{30} + \left(9 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 13^{31} + \left(10 a^{3} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{32} + \left(8 a^{3} + a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 13^{33} + \left(9 a^{3} + a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{34} + \left(10 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{35} + \left(11 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 13^{36} + \left(7 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 13^{37} + \left(11 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{38} + \left(6 a^{3} + 10 a^{2} + 8\right)\cdot 13^{39} + \left(7 a^{3} + a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 13^{40} + \left(9 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a\right)\cdot 13^{41} + \left(10 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 13^{42} + \left(a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 13^{43} + \left(7 a^{3} + 7 a + 7\right)\cdot 13^{44} + \left(6 a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 13^{45} + \left(2 a^{3} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{46} + \left(5 a^{3} + 4 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 13^{47} + \left(8 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 13^{48} + \left(5 a^{2} + a + 11\right)\cdot 13^{49} + \left(5 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{50} +O\left(13^{ 51 }\right)$

### Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 9 }$

 Cycle notation $(1,3,8,5,4,9,6,7)$ $(1,2,4)(5,6,9)$ $(1,2,9,5)(3,6,8,4)$ $(1,4,2)(3,8,7)(5,6,9)$ $(2,6,8)(3,5,4)$ $(1,7,9)(2,8,6)(3,5,4)$

### Character values on conjugacy classes

 Size Order Action on $r_1, \ldots, r_{ 9 }$ Character value $1$ $1$ $()$ $8$ $9$ $2$ $(1,4)(3,9)(5,7)(6,8)$ $0$ $36$ $2$ $(1,5)(2,3)(6,7)$ $2$ $8$ $3$ $(1,7,9)(2,8,6)(3,5,4)$ $-1$ $24$ $3$ $(1,4,2)(5,9,6)$ $2$ $48$ $3$ $(1,3,5)(2,7,9)(4,8,6)$ $-1$ $54$ $4$ $(1,8,4,6)(3,5,9,7)$ $0$ $72$ $6$ $(1,2,6,5,3,7)(4,8,9)$ $-1$ $72$ $6$ $(1,4,6,8,3,9)(2,7)$ $0$ $54$ $8$ $(1,3,8,5,4,9,6,7)$ $0$ $54$ $8$ $(1,9,8,7,4,3,6,5)$ $0$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.