# Properties

 Label 8.2e8_3e6_251e2.12t213.1c1 Dimension 8 Group $S_3\wr S_3$ Conductor $2^{8} \cdot 3^{6} \cdot 251^{2}$ Root number 1 Frobenius-Schur indicator 1

# Learn more about

## Basic invariants

 Dimension: $8$ Group: $S_3\wr S_3$ Conductor: $11757498624= 2^{8} \cdot 3^{6} \cdot 251^{2}$ Artin number field: Splitting field of $f= x^{9} - 4 x^{8} + 11 x^{7} - 34 x^{6} + 71 x^{5} - 104 x^{4} + 117 x^{3} - 82 x^{2} + 60 x - 24$ over $\Q$ Size of Galois orbit: 1 Smallest containing permutation representation: 12T213 Parity: Even Determinant: 1.1.1t1.1c1

## Galois action

### Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 163 }$ to precision 121.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 163 }$: $x^{3} + 7 x + 161$
Roots:
 $r_{ 1 }$ $=$ $8 a^{2} + 51 a + 62 + \left(130 a^{2} + 119 a + 29\right)\cdot 163 + \left(46 a^{2} + 103 a + 121\right)\cdot 163^{2} + \left(161 a^{2} + 99 a + 117\right)\cdot 163^{3} + \left(128 a^{2} + 100 a + 89\right)\cdot 163^{4} + \left(151 a^{2} + 7 a + 146\right)\cdot 163^{5} + \left(125 a^{2} + 158 a + 73\right)\cdot 163^{6} + \left(81 a^{2} + 110 a + 56\right)\cdot 163^{7} + \left(87 a^{2} + 144 a + 86\right)\cdot 163^{8} + \left(140 a^{2} + 133 a + 40\right)\cdot 163^{9} + \left(95 a^{2} + 105 a + 28\right)\cdot 163^{10} + \left(28 a^{2} + 6 a + 49\right)\cdot 163^{11} + \left(150 a^{2} + 109 a + 57\right)\cdot 163^{12} + \left(6 a^{2} + 154 a + 136\right)\cdot 163^{13} + \left(82 a^{2} + 81 a + 108\right)\cdot 163^{14} + \left(107 a^{2} + 108 a + 53\right)\cdot 163^{15} + \left(70 a^{2} + 3 a + 129\right)\cdot 163^{16} + \left(135 a^{2} + 46 a + 79\right)\cdot 163^{17} + \left(144 a^{2} + 132 a + 161\right)\cdot 163^{18} + \left(145 a^{2} + 29 a + 83\right)\cdot 163^{19} + \left(158 a^{2} + 63 a + 19\right)\cdot 163^{20} + \left(67 a^{2} + 35 a + 93\right)\cdot 163^{21} + \left(156 a^{2} + 40 a + 81\right)\cdot 163^{22} + \left(26 a^{2} + 87 a + 32\right)\cdot 163^{23} + \left(144 a^{2} + 70 a + 157\right)\cdot 163^{24} + \left(15 a^{2} + 162 a + 30\right)\cdot 163^{25} + \left(133 a^{2} + 161 a + 161\right)\cdot 163^{26} + \left(135 a^{2} + 149 a + 85\right)\cdot 163^{27} + \left(152 a^{2} + 160 a + 88\right)\cdot 163^{28} + \left(77 a^{2} + 23 a + 92\right)\cdot 163^{29} + \left(15 a^{2} + 110 a + 54\right)\cdot 163^{30} + \left(116 a^{2} + 134 a + 31\right)\cdot 163^{31} + \left(15 a^{2} + 6 a + 115\right)\cdot 163^{32} + \left(156 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 163^{33} + \left(48 a^{2} + 91 a + 98\right)\cdot 163^{34} + \left(27 a^{2} + 91 a + 142\right)\cdot 163^{35} + \left(115 a^{2} + 94 a + 151\right)\cdot 163^{36} + \left(129 a^{2} + 4 a + 139\right)\cdot 163^{37} + \left(58 a^{2} + 26 a + 67\right)\cdot 163^{38} + \left(2 a^{2} + 44 a + 114\right)\cdot 163^{39} + \left(121 a^{2} + 57 a + 7\right)\cdot 163^{40} + \left(90 a^{2} + 149 a + 62\right)\cdot 163^{41} + \left(132 a^{2} + 131 a + 99\right)\cdot 163^{42} + \left(50 a^{2} + 127 a + 18\right)\cdot 163^{43} + \left(43 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 163^{44} + \left(92 a^{2} + 120 a + 89\right)\cdot 163^{45} + \left(95 a^{2} + 81 a + 116\right)\cdot 163^{46} + \left(12 a + 86\right)\cdot 163^{47} + \left(134 a^{2} + 64 a + 134\right)\cdot 163^{48} + \left(135 a^{2} + 50 a + 31\right)\cdot 163^{49} + \left(113 a^{2} + 98 a + 94\right)\cdot 163^{50} + \left(95 a^{2} + 113 a + 133\right)\cdot 163^{51} + \left(119 a^{2} + 152 a + 103\right)\cdot 163^{52} + \left(116 a^{2} + 89 a + 146\right)\cdot 163^{53} + \left(45 a^{2} + 36 a + 14\right)\cdot 163^{54} + \left(142 a^{2} + 12 a + 116\right)\cdot 163^{55} + \left(146 a^{2} + 120 a + 134\right)\cdot 163^{56} + \left(80 a^{2} + 24 a + 115\right)\cdot 163^{57} + \left(156 a^{2} + 75 a + 75\right)\cdot 163^{58} + \left(59 a^{2} + 17 a + 161\right)\cdot 163^{59} + \left(73 a^{2} + 35 a + 1\right)\cdot 163^{60} + \left(156 a^{2} + 123 a + 158\right)\cdot 163^{61} + \left(123 a^{2} + 158 a + 143\right)\cdot 163^{62} + \left(2 a^{2} + 46 a + 71\right)\cdot 163^{63} + \left(156 a^{2} + 40 a + 57\right)\cdot 163^{64} + \left(86 a^{2} + 140 a + 108\right)\cdot 163^{65} + \left(133 a^{2} + 83 a + 83\right)\cdot 163^{66} + \left(106 a^{2} + 22 a + 67\right)\cdot 163^{67} + \left(18 a^{2} + 149 a + 18\right)\cdot 163^{68} + \left(111 a^{2} + 21 a + 18\right)\cdot 163^{69} + \left(61 a^{2} + 41 a + 18\right)\cdot 163^{70} + \left(66 a^{2} + 41 a + 102\right)\cdot 163^{71} + \left(90 a^{2} + 140 a + 42\right)\cdot 163^{72} + \left(130 a^{2} + 3 a + 45\right)\cdot 163^{73} + \left(19 a^{2} + 107\right)\cdot 163^{74} + \left(133 a^{2} + 69 a + 82\right)\cdot 163^{75} + \left(105 a^{2} + 14 a + 76\right)\cdot 163^{76} + \left(123 a^{2} + 75 a + 73\right)\cdot 163^{77} + \left(108 a^{2} + 33 a + 77\right)\cdot 163^{78} + \left(15 a^{2} + 67 a + 93\right)\cdot 163^{79} + \left(37 a^{2} + 149 a + 80\right)\cdot 163^{80} + \left(114 a^{2} + 97 a + 95\right)\cdot 163^{81} + \left(69 a^{2} + 98 a + 98\right)\cdot 163^{82} + \left(5 a^{2} + 56 a + 91\right)\cdot 163^{83} + \left(91 a^{2} + 29 a + 153\right)\cdot 163^{84} + \left(90 a^{2} + 44 a + 34\right)\cdot 163^{85} + \left(129 a^{2} + 131 a + 51\right)\cdot 163^{86} + \left(123 a^{2} + 79 a + 33\right)\cdot 163^{87} + \left(56 a^{2} + 60 a + 111\right)\cdot 163^{88} + \left(84 a^{2} + 13 a + 96\right)\cdot 163^{89} + \left(101 a^{2} + 108 a + 49\right)\cdot 163^{90} + \left(52 a^{2} + 126 a + 68\right)\cdot 163^{91} + \left(106 a^{2} + 52 a + 112\right)\cdot 163^{92} + \left(133 a^{2} + 18 a + 57\right)\cdot 163^{93} + \left(86 a^{2} + 100 a + 52\right)\cdot 163^{94} + \left(76 a^{2} + 53 a + 110\right)\cdot 163^{95} + \left(76 a^{2} + 52 a + 162\right)\cdot 163^{96} + \left(126 a^{2} + 46 a + 22\right)\cdot 163^{97} + \left(82 a^{2} + 116 a + 134\right)\cdot 163^{98} + \left(87 a^{2} + 102 a + 150\right)\cdot 163^{99} + \left(58 a^{2} + 4 a + 117\right)\cdot 163^{100} + \left(54 a^{2} + 102 a + 161\right)\cdot 163^{101} + \left(5 a^{2} + 107 a + 69\right)\cdot 163^{102} + \left(136 a^{2} + 95 a + 100\right)\cdot 163^{103} + \left(137 a^{2} + 21 a + 132\right)\cdot 163^{104} + \left(2 a^{2} + 56 a + 44\right)\cdot 163^{105} + \left(41 a^{2} + 26 a + 90\right)\cdot 163^{106} + \left(85 a^{2} + 102 a + 150\right)\cdot 163^{107} + \left(29 a^{2} + 85 a + 107\right)\cdot 163^{108} + \left(118 a^{2} + 34 a + 129\right)\cdot 163^{109} + \left(18 a^{2} + 125 a + 8\right)\cdot 163^{110} + \left(55 a^{2} + 114 a + 41\right)\cdot 163^{111} + \left(154 a^{2} + 114 a + 120\right)\cdot 163^{112} + \left(85 a^{2} + 9 a + 45\right)\cdot 163^{113} + \left(120 a^{2} + 79 a + 134\right)\cdot 163^{114} + \left(90 a^{2} + 123 a + 69\right)\cdot 163^{115} + \left(127 a^{2} + 113 a + 123\right)\cdot 163^{116} + \left(117 a^{2} + 66 a + 26\right)\cdot 163^{117} + \left(29 a^{2} + 42 a + 142\right)\cdot 163^{118} + \left(109 a^{2} + 3 a + 40\right)\cdot 163^{119} + \left(142 a^{2} + 140 a + 34\right)\cdot 163^{120} +O\left(163^{ 121 }\right)$ $r_{ 2 }$ $=$ $10 a^{2} + 157 a + 73 + \left(5 a^{2} + 136 a + 57\right)\cdot 163 + \left(80 a^{2} + 25 a + 30\right)\cdot 163^{2} + \left(52 a^{2} + 129 a + 50\right)\cdot 163^{3} + \left(128 a^{2} + 5 a + 137\right)\cdot 163^{4} + \left(42 a^{2} + 56 a + 22\right)\cdot 163^{5} + \left(24 a^{2} + 138 a + 75\right)\cdot 163^{6} + \left(17 a^{2} + 160 a\right)\cdot 163^{7} + \left(51 a^{2} + 121 a + 133\right)\cdot 163^{8} + \left(99 a^{2} + 144 a + 140\right)\cdot 163^{9} + \left(50 a^{2} + 119 a + 6\right)\cdot 163^{10} + \left(115 a^{2} + 132 a + 37\right)\cdot 163^{11} + \left(141 a^{2} + 14 a + 88\right)\cdot 163^{12} + \left(54 a^{2} + 55 a + 155\right)\cdot 163^{13} + \left(162 a^{2} + 86 a + 101\right)\cdot 163^{14} + \left(81 a^{2} + 5 a + 137\right)\cdot 163^{15} + \left(2 a^{2} + 6 a + 26\right)\cdot 163^{16} + \left(75 a^{2} + 93 a + 19\right)\cdot 163^{17} + \left(69 a^{2} + 43 a + 121\right)\cdot 163^{18} + \left(34 a^{2} + 82 a + 73\right)\cdot 163^{19} + \left(29 a^{2} + 47 a + 61\right)\cdot 163^{20} + \left(12 a^{2} + 134 a + 30\right)\cdot 163^{21} + \left(105 a^{2} + 131 a + 110\right)\cdot 163^{22} + \left(153 a^{2} + 72 a + 54\right)\cdot 163^{23} + \left(97 a^{2} + 101 a + 36\right)\cdot 163^{24} + \left(66 a^{2} + 54 a + 158\right)\cdot 163^{25} + \left(60 a^{2} + 82 a + 81\right)\cdot 163^{26} + \left(79 a^{2} + 133 a + 150\right)\cdot 163^{27} + \left(89 a^{2} + 35 a + 19\right)\cdot 163^{28} + \left(44 a^{2} + 37 a + 108\right)\cdot 163^{29} + \left(9 a^{2} + 52 a + 115\right)\cdot 163^{30} + \left(78 a^{2} + 161 a + 149\right)\cdot 163^{31} + \left(24 a + 39\right)\cdot 163^{32} + \left(34 a^{2} + 39 a + 103\right)\cdot 163^{33} + \left(142 a^{2} + 107 a + 4\right)\cdot 163^{34} + \left(120 a^{2} + 33 a + 31\right)\cdot 163^{35} + \left(13 a^{2} + 94 a + 143\right)\cdot 163^{36} + \left(103 a^{2} + 99 a + 93\right)\cdot 163^{37} + \left(31 a^{2} + 31 a + 34\right)\cdot 163^{38} + \left(75 a^{2} + 92 a + 32\right)\cdot 163^{39} + \left(96 a^{2} + 119 a + 8\right)\cdot 163^{40} + \left(a^{2} + 22 a + 136\right)\cdot 163^{41} + \left(151 a^{2} + 47 a + 82\right)\cdot 163^{42} + \left(85 a^{2} + 123 a + 3\right)\cdot 163^{43} + \left(113 a^{2} + 53 a + 120\right)\cdot 163^{44} + \left(158 a^{2} + 64 a + 29\right)\cdot 163^{45} + \left(38 a^{2} + 139 a + 96\right)\cdot 163^{46} + \left(119 a^{2} + 2 a + 84\right)\cdot 163^{47} + \left(131 a^{2} + 71 a + 161\right)\cdot 163^{48} + \left(110 a^{2} + 154 a + 135\right)\cdot 163^{49} + \left(73 a^{2} + 49 a + 36\right)\cdot 163^{50} + \left(155 a^{2} + 119 a + 4\right)\cdot 163^{51} + \left(93 a^{2} + 156 a + 145\right)\cdot 163^{52} + \left(6 a^{2} + 33 a + 5\right)\cdot 163^{53} + \left(6 a^{2} + 136 a + 120\right)\cdot 163^{54} + \left(158 a^{2} + 29 a + 130\right)\cdot 163^{55} + \left(126 a^{2} + 120 a + 155\right)\cdot 163^{56} + \left(29 a^{2} + 57 a + 17\right)\cdot 163^{57} + \left(136 a^{2} + 159 a + 116\right)\cdot 163^{58} + \left(117 a^{2} + 44 a + 23\right)\cdot 163^{59} + \left(159 a^{2} + 6 a + 31\right)\cdot 163^{60} + \left(61 a^{2} + 86 a + 2\right)\cdot 163^{61} + \left(158 a^{2} + 76 a + 134\right)\cdot 163^{62} + \left(34 a^{2} + 61 a + 32\right)\cdot 163^{63} + \left(20 a^{2} + 149 a + 143\right)\cdot 163^{64} + \left(115 a^{2} + 75 a + 93\right)\cdot 163^{65} + \left(58 a^{2} + 55 a + 35\right)\cdot 163^{66} + \left(78 a^{2} + 134 a + 87\right)\cdot 163^{67} + \left(125 a^{2} + 148 a + 28\right)\cdot 163^{68} + \left(109 a^{2} + 83 a + 155\right)\cdot 163^{69} + \left(72 a^{2} + 90 a + 118\right)\cdot 163^{70} + \left(142 a^{2} + 33 a + 23\right)\cdot 163^{71} + \left(51 a^{2} + 85 a + 17\right)\cdot 163^{72} + \left(37 a^{2} + 94 a + 88\right)\cdot 163^{73} + \left(41 a^{2} + 136 a + 90\right)\cdot 163^{74} + \left(27 a^{2} + 2 a + 72\right)\cdot 163^{75} + \left(65 a^{2} + 141 a + 103\right)\cdot 163^{76} + \left(75 a^{2} + 95 a + 84\right)\cdot 163^{77} + \left(141 a^{2} + 108 a + 62\right)\cdot 163^{78} + \left(156 a^{2} + 103 a + 90\right)\cdot 163^{79} + \left(36 a^{2} + 16 a + 31\right)\cdot 163^{80} + \left(20 a^{2} + 108 a + 52\right)\cdot 163^{81} + \left(30 a^{2} + 83 a + 162\right)\cdot 163^{82} + \left(30 a^{2} + 50 a + 58\right)\cdot 163^{83} + \left(135 a^{2} + 66 a + 123\right)\cdot 163^{84} + \left(25 a^{2} + 17 a + 105\right)\cdot 163^{85} + \left(147 a^{2} + 93 a + 7\right)\cdot 163^{86} + \left(53 a^{2} + 39 a + 150\right)\cdot 163^{87} + \left(149 a^{2} + 113 a + 80\right)\cdot 163^{88} + \left(57 a^{2} + 38 a + 115\right)\cdot 163^{89} + \left(71 a^{2} + 62 a + 161\right)\cdot 163^{90} + \left(45 a^{2} + 121 a + 57\right)\cdot 163^{91} + \left(27 a^{2} + 62 a + 47\right)\cdot 163^{92} + \left(26 a^{2} + 141 a + 7\right)\cdot 163^{93} + \left(3 a^{2} + 34 a + 160\right)\cdot 163^{94} + \left(109 a^{2} + 39 a + 161\right)\cdot 163^{95} + \left(34 a^{2} + 90 a + 109\right)\cdot 163^{96} + \left(69 a^{2} + 92 a + 98\right)\cdot 163^{97} + \left(45 a^{2} + 58 a + 138\right)\cdot 163^{98} + \left(12 a^{2} + 91 a + 129\right)\cdot 163^{99} + \left(160 a^{2} + 128 a + 152\right)\cdot 163^{100} + \left(140 a^{2} + 6 a + 29\right)\cdot 163^{101} + \left(22 a^{2} + 97 a + 50\right)\cdot 163^{102} + \left(90 a^{2} + 14 a + 128\right)\cdot 163^{103} + \left(155 a^{2} + 42 a + 104\right)\cdot 163^{104} + \left(18 a^{2} + 154 a + 7\right)\cdot 163^{105} + \left(61 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 163^{106} + \left(56 a^{2} + 22 a + 10\right)\cdot 163^{107} + \left(44 a + 87\right)\cdot 163^{108} + \left(148 a^{2} + 6 a + 124\right)\cdot 163^{109} + \left(31 a^{2} + 149 a + 74\right)\cdot 163^{110} + \left(157 a^{2} + 25 a + 119\right)\cdot 163^{111} + \left(149 a^{2} + 136 a + 18\right)\cdot 163^{112} + \left(84 a^{2} + 23 a + 73\right)\cdot 163^{113} + \left(69 a^{2} + 84 a + 2\right)\cdot 163^{114} + \left(11 a^{2} + 129 a + 43\right)\cdot 163^{115} + \left(52 a^{2} + 74 a + 3\right)\cdot 163^{116} + \left(112 a^{2} + 145 a + 103\right)\cdot 163^{117} + \left(160 a^{2} + 96 a + 121\right)\cdot 163^{118} + \left(98 a^{2} + 107 a + 126\right)\cdot 163^{119} + \left(130 a^{2} + 94 a\right)\cdot 163^{120} +O\left(163^{ 121 }\right)$ $r_{ 3 }$ $=$ $16 a^{2} + 161 a + 25 + \left(80 a^{2} + 109 a + 48\right)\cdot 163 + \left(142 a^{2} + 143 a + 127\right)\cdot 163^{2} + \left(151 a^{2} + 136 a + 125\right)\cdot 163^{3} + \left(18 a^{2} + 89 a + 29\right)\cdot 163^{4} + \left(103 a^{2} + 120 a + 133\right)\cdot 163^{5} + \left(22 a^{2} + 139 a + 59\right)\cdot 163^{6} + \left(30 a^{2} + 5 a + 56\right)\cdot 163^{7} + \left(41 a^{2} + 76 a + 76\right)\cdot 163^{8} + \left(161 a^{2} + 54 a + 60\right)\cdot 163^{9} + \left(139 a^{2} + 54 a + 106\right)\cdot 163^{10} + \left(161 a^{2} + 146 a + 36\right)\cdot 163^{11} + \left(6 a^{2} + 156 a + 108\right)\cdot 163^{12} + \left(18 a^{2} + 138 a + 80\right)\cdot 163^{13} + \left(25 a^{2} + 52 a + 14\right)\cdot 163^{14} + \left(46 a^{2} + 88 a + 39\right)\cdot 163^{15} + \left(158 a^{2} + 8 a\right)\cdot 163^{16} + \left(152 a^{2} + 122 a + 130\right)\cdot 163^{17} + \left(118 a^{2} + 58 a + 22\right)\cdot 163^{18} + \left(104 a^{2} + 76 a + 140\right)\cdot 163^{19} + \left(33 a^{2} + 137 a + 138\right)\cdot 163^{20} + \left(22 a^{2} + 19 a + 136\right)\cdot 163^{21} + \left(136 a^{2} + 123 a + 33\right)\cdot 163^{22} + \left(75 a^{2} + 11 a + 77\right)\cdot 163^{23} + \left(13 a^{2} + 57 a + 75\right)\cdot 163^{24} + \left(95 a + 87\right)\cdot 163^{25} + \left(88 a^{2} + 145 a + 92\right)\cdot 163^{26} + \left(157 a^{2} + 9 a + 144\right)\cdot 163^{27} + \left(158 a^{2} + 155 a + 79\right)\cdot 163^{28} + \left(42 a^{2} + 110 a + 82\right)\cdot 163^{29} + \left(158 a^{2} + 121 a + 140\right)\cdot 163^{30} + \left(87 a^{2} + 155 a + 48\right)\cdot 163^{31} + \left(122 a^{2} + 52 a + 3\right)\cdot 163^{32} + \left(70 a^{2} + 158 a + 76\right)\cdot 163^{33} + \left(124 a^{2} + 128 a + 120\right)\cdot 163^{34} + \left(143 a^{2} + 150 a + 47\right)\cdot 163^{35} + \left(16 a^{2} + 26 a + 59\right)\cdot 163^{36} + \left(24 a^{2} + 101 a + 41\right)\cdot 163^{37} + \left(39 a^{2} + 48 a + 13\right)\cdot 163^{38} + \left(108 a^{2} + 12 a + 14\right)\cdot 163^{39} + \left(46 a^{2} + 100 a + 130\right)\cdot 163^{40} + \left(48 a^{2} + 82 a + 77\right)\cdot 163^{41} + \left(43 a^{2} + 53 a + 93\right)\cdot 163^{42} + \left(156 a^{2} + 146 a + 95\right)\cdot 163^{43} + \left(121 a^{2} + 99 a + 142\right)\cdot 163^{44} + \left(57 a^{2} + 104 a + 17\right)\cdot 163^{45} + \left(88 a^{2} + 127 a + 121\right)\cdot 163^{46} + \left(61 a^{2} + 126 a + 131\right)\cdot 163^{47} + \left(162 a^{2} + 124 a + 71\right)\cdot 163^{48} + \left(54 a^{2} + 13 a + 44\right)\cdot 163^{49} + \left(95 a^{2} + 142 a + 102\right)\cdot 163^{50} + \left(12 a^{2} + 157 a + 60\right)\cdot 163^{51} + \left(118 a^{2} + 156 a + 103\right)\cdot 163^{52} + \left(155 a^{2} + 121 a + 8\right)\cdot 163^{53} + \left(132 a^{2} + 148 a + 75\right)\cdot 163^{54} + \left(a^{2} + 63 a + 76\right)\cdot 163^{55} + \left(104 a^{2} + 95 a + 114\right)\cdot 163^{56} + \left(22 a^{2} + 144 a + 53\right)\cdot 163^{57} + \left(42 a^{2} + 36 a + 12\right)\cdot 163^{58} + \left(75 a^{2} + 24 a + 72\right)\cdot 163^{59} + \left(69 a^{2} + 20\right)\cdot 163^{60} + \left(76 a^{2} + 82 a + 129\right)\cdot 163^{61} + \left(139 a^{2} + 126 a + 114\right)\cdot 163^{62} + \left(10 a^{2} + 98 a + 67\right)\cdot 163^{63} + \left(112 a^{2} + 72 a + 112\right)\cdot 163^{64} + \left(71 a^{2} + 47 a + 151\right)\cdot 163^{65} + \left(89 a^{2} + 36 a + 162\right)\cdot 163^{66} + \left(35 a^{2} + 105 a + 5\right)\cdot 163^{67} + \left(21 a^{2} + 148 a + 127\right)\cdot 163^{68} + \left(68 a^{2} + 2 a + 88\right)\cdot 163^{69} + \left(137 a^{2} + 69 a + 44\right)\cdot 163^{70} + \left(28 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 163^{71} + \left(45 a^{2} + 102 a\right)\cdot 163^{72} + \left(149 a^{2} + 123 a + 97\right)\cdot 163^{73} + \left(66 a^{2} + 49 a + 127\right)\cdot 163^{74} + \left(18 a^{2} + 122 a + 135\right)\cdot 163^{75} + \left(84 a^{2} + 148 a + 86\right)\cdot 163^{76} + \left(90 a^{2} + 141 a + 106\right)\cdot 163^{77} + \left(105 a^{2} + 160 a + 107\right)\cdot 163^{78} + \left(26 a^{2} + 159 a + 93\right)\cdot 163^{79} + \left(139 a^{2} + 160 a + 13\right)\cdot 163^{80} + \left(20 a^{2} + 45 a + 88\right)\cdot 163^{81} + \left(14 a^{2} + 22 a + 53\right)\cdot 163^{82} + \left(56 a^{2} + 143 a + 114\right)\cdot 163^{83} + \left(61 a^{2} + 34 a + 32\right)\cdot 163^{84} + \left(91 a^{2} + 60 a + 68\right)\cdot 163^{85} + \left(55 a^{2} + 125 a + 133\right)\cdot 163^{86} + \left(68 a^{2} + 153 a + 149\right)\cdot 163^{87} + \left(94 a^{2} + 22 a + 14\right)\cdot 163^{88} + \left(137 a^{2} + a + 7\right)\cdot 163^{89} + \left(33 a^{2} + 93 a + 47\right)\cdot 163^{90} + \left(53 a^{2} + 114 a + 36\right)\cdot 163^{91} + \left(88 a^{2} + 54 a + 115\right)\cdot 163^{92} + \left(44 a^{2} + 86 a + 73\right)\cdot 163^{93} + \left(99 a^{2} + 22 a + 127\right)\cdot 163^{94} + \left(53 a^{2} + 58 a + 28\right)\cdot 163^{95} + \left(114 a^{2} + 84 a + 73\right)\cdot 163^{96} + \left(53 a^{2} + 109 a + 118\right)\cdot 163^{97} + \left(91 a^{2} + 82 a + 99\right)\cdot 163^{98} + \left(94 a^{2} + 58 a + 28\right)\cdot 163^{99} + \left(58 a^{2} + 47 a + 99\right)\cdot 163^{100} + \left(147 a^{2} + 129 a + 103\right)\cdot 163^{101} + \left(65 a^{2} + 125 a + 101\right)\cdot 163^{102} + \left(48 a^{2} + 41 a + 74\right)\cdot 163^{103} + \left(7 a^{2} + 15 a + 133\right)\cdot 163^{104} + \left(116 a^{2} + 39 a + 101\right)\cdot 163^{105} + \left(157 a^{2} + 127 a + 18\right)\cdot 163^{106} + \left(108 a^{2} + 106 a + 85\right)\cdot 163^{107} + \left(45 a^{2} + 145 a + 157\right)\cdot 163^{108} + \left(41 a^{2} + 70 a + 93\right)\cdot 163^{109} + \left(150 a^{2} + 152 a + 147\right)\cdot 163^{110} + \left(63 a^{2} + 93 a + 41\right)\cdot 163^{111} + \left(120 a^{2} + 22 a + 104\right)\cdot 163^{112} + \left(72 a^{2} + 85 a + 148\right)\cdot 163^{113} + \left(68 a^{2} + 18 a + 145\right)\cdot 163^{114} + \left(153 a^{2} + 84 a + 101\right)\cdot 163^{115} + \left(91 a^{2} + 114 a + 162\right)\cdot 163^{116} + \left(153 a^{2} + 38 a + 84\right)\cdot 163^{117} + \left(80 a^{2} + 159 a + 24\right)\cdot 163^{118} + \left(97 a^{2} + 149 a + 9\right)\cdot 163^{119} + \left(140 a^{2} + 157 a + 49\right)\cdot 163^{120} +O\left(163^{ 121 }\right)$ $r_{ 4 }$ $=$ $40 a^{2} + 82 a + 137 + \left(94 a^{2} + 120 a + 59\right)\cdot 163 + \left(54 a^{2} + 53 a + 97\right)\cdot 163^{2} + \left(41 a^{2} + 36 a + 44\right)\cdot 163^{3} + \left(31 a^{2} + 105 a + 87\right)\cdot 163^{4} + \left(137 a^{2} + 149 a + 20\right)\cdot 163^{5} + \left(47 a^{2} + 17 a + 123\right)\cdot 163^{6} + \left(2 a^{2} + 3 a + 143\right)\cdot 163^{7} + \left(26 a^{2} + 80 a + 59\right)\cdot 163^{8} + \left(10 a^{2} + 26 a + 7\right)\cdot 163^{9} + \left(90 a^{2} + 80 a + 145\right)\cdot 163^{10} + \left(78 a^{2} + 100 a + 136\right)\cdot 163^{11} + \left(95 a^{2} + 161 a + 140\right)\cdot 163^{12} + \left(66 a^{2} + 154 a + 89\right)\cdot 163^{13} + \left(50 a^{2} + 122 a + 132\right)\cdot 163^{14} + \left(98 a^{2} + 98 a + 10\right)\cdot 163^{15} + \left(60 a^{2} + 10 a + 142\right)\cdot 163^{16} + \left(109 a^{2} + 143 a + 143\right)\cdot 163^{17} + \left(119 a^{2} + 151 a + 134\right)\cdot 163^{18} + \left(112 a^{2} + 83 a + 68\right)\cdot 163^{19} + \left(70 a^{2} + 63 a + 94\right)\cdot 163^{20} + \left(57 a^{2} + 19 a + 29\right)\cdot 163^{21} + \left(78 a^{2} + 18 a + 90\right)\cdot 163^{22} + \left(148 a^{2} + 105 a + 144\right)\cdot 163^{23} + \left(58 a^{2} + 160 a + 15\right)\cdot 163^{24} + \left(154 a^{2} + 83 a + 101\right)\cdot 163^{25} + \left(123 a^{2} + 114 a + 151\right)\cdot 163^{26} + \left(108 a^{2} + 18 a + 79\right)\cdot 163^{27} + \left(38 a^{2} + 109 a + 7\right)\cdot 163^{28} + \left(114 a^{2} + 128 a + 89\right)\cdot 163^{29} + \left(116 a^{2} + 55 a + 109\right)\cdot 163^{30} + \left(100 a^{2} + 55 a + 162\right)\cdot 163^{31} + \left(88 a^{2} + 144 a + 7\right)\cdot 163^{32} + \left(72 a^{2} + 83 a + 30\right)\cdot 163^{33} + \left(139 a^{2} + 99 a + 136\right)\cdot 163^{34} + \left(40 a^{2} + 151 a + 110\right)\cdot 163^{35} + \left(107 a^{2} + 65 a + 100\right)\cdot 163^{36} + \left(22 a^{2} + 137 a + 34\right)\cdot 163^{37} + \left(2 a^{2} + 43 a + 112\right)\cdot 163^{38} + \left(118 a^{2} + 55 a + 59\right)\cdot 163^{39} + \left(97 a^{2} + 145 a + 42\right)\cdot 163^{40} + \left(31 a^{2} + 30 a + 54\right)\cdot 163^{41} + \left(37 a^{2} + 155 a + 119\right)\cdot 163^{42} + \left(109 a^{2} + 33 a + 147\right)\cdot 163^{43} + \left(36 a^{2} + 65 a + 124\right)\cdot 163^{44} + \left(79 a^{2} + 79 a + 63\right)\cdot 163^{45} + \left(42 a^{2} + 126 a + 124\right)\cdot 163^{46} + \left(42 a^{2} + 37 a + 41\right)\cdot 163^{47} + \left(6 a^{2} + 120 a + 158\right)\cdot 163^{48} + \left(52 a^{2} + 139 a + 84\right)\cdot 163^{49} + \left(118 a^{2} + 57 a + 46\right)\cdot 163^{50} + \left(96 a^{2} + 24 a + 127\right)\cdot 163^{51} + \left(149 a^{2} + 118 a + 141\right)\cdot 163^{52} + \left(143 a^{2} + 32 a + 7\right)\cdot 163^{53} + \left(128 a^{2} + 110 a + 56\right)\cdot 163^{54} + \left(128 a^{2} + 151 a + 71\right)\cdot 163^{55} + \left(7 a^{2} + 45 a + 154\right)\cdot 163^{56} + \left(157 a^{2} + 47 a + 28\right)\cdot 163^{57} + \left(36 a^{2} + 151 a + 151\right)\cdot 163^{58} + \left(70 a^{2} + 46 a + 102\right)\cdot 163^{59} + \left(93 a^{2} + 61 a + 23\right)\cdot 163^{60} + \left(78 a^{2} + 154 a + 139\right)\cdot 163^{61} + \left(29 a^{2} + 162 a + 144\right)\cdot 163^{62} + \left(69 a^{2} + 113 a + 13\right)\cdot 163^{63} + \left(7 a^{2} + 150 a + 113\right)\cdot 163^{64} + \left(8 a^{2} + 105 a + 17\right)\cdot 163^{65} + \left(118 a^{2} + 107 a + 79\right)\cdot 163^{66} + \left(110 a^{2} + 84 a + 139\right)\cdot 163^{67} + \left(109 a^{2} + 151 a + 50\right)\cdot 163^{68} + \left(114 a^{2} + 10 a + 34\right)\cdot 163^{69} + \left(103 a^{2} + 77 a + 50\right)\cdot 163^{70} + \left(148 a^{2} + 49 a + 75\right)\cdot 163^{71} + \left(13 a^{2} + 37 a + 71\right)\cdot 163^{72} + \left(103 a^{2} + 5 a + 44\right)\cdot 163^{73} + \left(115 a^{2} + 106 a + 83\right)\cdot 163^{74} + \left(9 a^{2} + 54 a + 149\right)\cdot 163^{75} + \left(115 a^{2} + 70 a + 13\right)\cdot 163^{76} + \left(126 a^{2} + 86 a + 58\right)\cdot 163^{77} + \left(111 a^{2} + 8 a + 82\right)\cdot 163^{78} + \left(154 a^{2} + 101 a + 93\right)\cdot 163^{79} + \left(78 a^{2} + 114 a + 58\right)\cdot 163^{80} + \left(127 a^{2} + 149 a + 42\right)\cdot 163^{81} + \left(22 a^{2} + 105 a + 148\right)\cdot 163^{82} + \left(65 a^{2} + 154 a + 47\right)\cdot 163^{83} + \left(40 a^{2} + 139 a + 152\right)\cdot 163^{84} + \left(152 a^{2} + 70 a + 134\right)\cdot 163^{85} + \left(11 a^{2} + 130 a + 92\right)\cdot 163^{86} + \left(12 a^{2} + 71 a + 104\right)\cdot 163^{87} + \left(94 a^{2} + 136 a + 67\right)\cdot 163^{88} + \left(19 a^{2} + 41 a + 108\right)\cdot 163^{89} + \left(139 a^{2} + 100 a + 103\right)\cdot 163^{90} + \left(162 a^{2} + 53 a + 4\right)\cdot 163^{91} + \left(125 a^{2} + 94 a + 128\right)\cdot 163^{92} + \left(16 a^{2} + 98 a + 52\right)\cdot 163^{93} + \left(152 a^{2} + 102\right)\cdot 163^{94} + \left(61 a^{2} + 151 a + 67\right)\cdot 163^{95} + \left(82 a^{2} + 75 a + 141\right)\cdot 163^{96} + \left(29 a^{2} + 24 a + 59\right)\cdot 163^{97} + \left(71 a^{2} + 15 a + 114\right)\cdot 163^{98} + \left(96 a^{2} + 74 a + 91\right)\cdot 163^{99} + \left(102 a^{2} + 129 a + 141\right)\cdot 163^{100} + \left(153 a^{2} + 3 a + 132\right)\cdot 163^{101} + \left(89 a^{2} + 72 a + 50\right)\cdot 163^{102} + \left(11 a^{2} + 126 a + 11\right)\cdot 163^{103} + \left(129 a^{2} + 148 a + 104\right)\cdot 163^{104} + \left(108 a^{2} + 142 a + 13\right)\cdot 163^{105} + \left(90 a^{2} + 129 a + 86\right)\cdot 163^{106} + \left(126 a^{2} + 115 a + 58\right)\cdot 163^{107} + \left(139 a^{2} + 93 a + 53\right)\cdot 163^{108} + \left(107 a^{2} + 17 a + 24\right)\cdot 163^{109} + \left(80 a^{2} + 24 a + 40\right)\cdot 163^{110} + \left(119 a^{2} + 31 a + 138\right)\cdot 163^{111} + \left(118 a^{2} + 74 a + 150\right)\cdot 163^{112} + \left(11 a^{2} + 138 a + 26\right)\cdot 163^{113} + \left(103 a^{2} + 20 a + 90\right)\cdot 163^{114} + \left(124 a^{2} + 29 a + 130\right)\cdot 163^{115} + \left(26 a^{2} + 113 a + 75\right)\cdot 163^{116} + \left(31 a^{2} + 54 a + 111\right)\cdot 163^{117} + \left(30 a^{2} + 58 a + 113\right)\cdot 163^{118} + \left(150 a^{2} + 134 a + 37\right)\cdot 163^{119} + \left(56 a^{2} + 127 a + 93\right)\cdot 163^{120} +O\left(163^{ 121 }\right)$ $r_{ 5 }$ $=$ $54 a^{2} + 39 a + 5 + \left(91 a^{2} + 36 a + 66\right)\cdot 163 + \left(141 a^{2} + 130 a + 74\right)\cdot 163^{2} + \left(24 a^{2} + 109 a + 24\right)\cdot 163^{3} + \left(33 a^{2} + 66 a + 77\right)\cdot 163^{4} + \left(27 a^{2} + 135 a + 108\right)\cdot 163^{5} + \left(70 a^{2} + 59 a + 139\right)\cdot 163^{6} + \left(72 a^{2} + 51 a + 12\right)\cdot 163^{7} + \left(82 a^{2} + 126 a + 117\right)\cdot 163^{8} + \left(82 a^{2} + 94 a + 95\right)\cdot 163^{9} + \left(88 a^{2} + a + 102\right)\cdot 163^{10} + \left(158 a^{2} + 96 a + 3\right)\cdot 163^{11} + \left(37 a^{2} + 34 a + 77\right)\cdot 163^{12} + \left(71 a^{2} + a + 110\right)\cdot 163^{13} + \left(32 a^{2} + 53 a + 94\right)\cdot 163^{14} + \left(136 a^{2} + 143 a + 24\right)\cdot 163^{15} + \left(110 a^{2} + 76 a + 45\right)\cdot 163^{16} + \left(79 a^{2} + 92 a + 91\right)\cdot 163^{17} + \left(146 a^{2} + 76 a + 60\right)\cdot 163^{18} + \left(3 a^{2} + 32 a + 73\right)\cdot 163^{19} + \left(146 a^{2} + 156 a + 122\right)\cdot 163^{20} + \left(83 a^{2} + 117 a + 58\right)\cdot 163^{21} + \left(147 a^{2} + 33 a + 94\right)\cdot 163^{22} + \left(9 a^{2} + 35 a + 61\right)\cdot 163^{23} + \left(69 a^{2} + 112 a + 78\right)\cdot 163^{24} + \left(92 a^{2} + 83 a + 116\right)\cdot 163^{25} + \left(27 a^{2} + 8 a + 157\right)\cdot 163^{26} + \left(8 a^{2} + 93 a + 87\right)\cdot 163^{27} + \left(92 a^{2} + 15 a + 76\right)\cdot 163^{28} + \left(43 a^{2} + 111 a + 149\right)\cdot 163^{29} + \left(5 a^{2} + 132 a + 6\right)\cdot 163^{30} + \left(11 a^{2} + 13 a + 30\right)\cdot 163^{31} + \left(22 a^{2} + 5 a + 36\right)\cdot 163^{32} + \left(116 a^{2} + 47 a + 145\right)\cdot 163^{33} + \left(133 a^{2} + 85 a + 58\right)\cdot 163^{34} + \left(89 a^{2} + 37 a + 108\right)\cdot 163^{35} + \left(106 a^{2} + 75 a + 111\right)\cdot 163^{36} + \left(5 a^{2} + 96 a + 158\right)\cdot 163^{37} + \left(93 a^{2} + 132 a + 118\right)\cdot 163^{38} + \left(64 a^{2} + 64 a + 78\right)\cdot 163^{39} + \left(35 a^{2} + 134 a + 151\right)\cdot 163^{40} + \left(85 a^{2} + 4 a + 144\right)\cdot 163^{41} + \left(38 a + 80\right)\cdot 163^{42} + \left(137 a^{2} + 142 a + 40\right)\cdot 163^{43} + \left(123 a^{2} + 19 a + 110\right)\cdot 163^{44} + \left(12 a^{2} + 145 a + 152\right)\cdot 163^{45} + \left(92 a^{2} + 25 a + 45\right)\cdot 163^{46} + \left(130 a^{2} + 30 a + 41\right)\cdot 163^{47} + \left(127 a^{2} + 32 a + 51\right)\cdot 163^{48} + \left(73 a^{2} + 64 a + 68\right)\cdot 163^{49} + \left(90 a^{2} + 18 a + 39\right)\cdot 163^{50} + \left(97 a^{2} + 158 a + 142\right)\cdot 163^{51} + \left(24 a^{2} + 125 a + 40\right)\cdot 163^{52} + \left(3 a^{2} + 113 a + 51\right)\cdot 163^{53} + \left(116 a^{2} + 104 a + 71\right)\cdot 163^{54} + \left(12 a^{2} + 93 a\right)\cdot 163^{55} + \left(8 a^{2} + 49 a + 139\right)\cdot 163^{56} + \left(a^{2} + 142 a + 14\right)\cdot 163^{57} + \left(114 a^{2} + 127 a + 149\right)\cdot 163^{58} + \left(66 a^{2} + 137 a + 29\right)\cdot 163^{59} + \left(101 a^{2} + a + 24\right)\cdot 163^{60} + \left(96 a^{2} + 37 a + 96\right)\cdot 163^{61} + \left(40 a + 111\right)\cdot 163^{62} + \left(142 a^{2} + 34 a + 69\right)\cdot 163^{63} + \left(153 a^{2} + 154 a + 47\right)\cdot 163^{64} + \left(147 a^{2} + 61 a + 121\right)\cdot 163^{65} + \left(118 a^{2} + 109 a + 69\right)\cdot 163^{66} + \left(41 a^{2} + 17 a + 35\right)\cdot 163^{67} + \left(22 a^{2} + 102 a + 35\right)\cdot 163^{68} + \left(25 a^{2} + 59 a + 160\right)\cdot 163^{69} + \left(159 a^{2} + 98 a + 146\right)\cdot 163^{70} + \left(6 a^{2} + 90 a + 150\right)\cdot 163^{71} + \left(26 a^{2} + 120 a + 13\right)\cdot 163^{72} + \left(64 a^{2} + 57 a + 7\right)\cdot 163^{73} + \left(51 a^{2} + 48 a + 146\right)\cdot 163^{74} + \left(35 a^{2} + 126 a + 60\right)\cdot 163^{75} + \left(87 a^{2} + 98\right)\cdot 163^{76} + \left(28 a^{2} + 11 a + 118\right)\cdot 163^{77} + \left(9 a^{2} + 36 a + 101\right)\cdot 163^{78} + \left(73 a^{2} + 5 a + 89\right)\cdot 163^{79} + \left(142 a^{2} + 64 a + 137\right)\cdot 163^{80} + \left(81 a^{2} + 128 a + 161\right)\cdot 163^{81} + \left(161 a^{2} + 115 a + 37\right)\cdot 163^{82} + \left(115 a^{2} + 97 a + 64\right)\cdot 163^{83} + \left(47 a^{2} + 63 a + 114\right)\cdot 163^{84} + \left(152 a^{2} + 124 a + 105\right)\cdot 163^{85} + \left(40 a^{2} + 127 a + 126\right)\cdot 163^{86} + \left(59 a^{2} + 86 a + 3\right)\cdot 163^{87} + \left(139 a^{2} + 40 a + 62\right)\cdot 163^{88} + \left(123 a^{2} + 77 a + 9\right)\cdot 163^{89} + \left(41 a^{2} + 124 a + 151\right)\cdot 163^{90} + \left(105 a^{2} + 70 a + 150\right)\cdot 163^{91} + \left(120 a^{2} + 76 a + 124\right)\cdot 163^{92} + \left(17 a^{2} + 108 a + 5\right)\cdot 163^{93} + \left(11 a^{2} + 17 a + 25\right)\cdot 163^{94} + \left(121 a^{2} + 151 a + 155\right)\cdot 163^{95} + \left(138 a^{2} + 103 a + 72\right)\cdot 163^{96} + \left(122 a^{2} + 137 a + 60\right)\cdot 163^{97} + \left(82 a^{2} + 54 a + 25\right)\cdot 163^{98} + \left(10 a^{2} + 42 a + 63\right)\cdot 163^{99} + \left(58 a^{2} + 149 a + 61\right)\cdot 163^{100} + \left(18 a^{2} + 130 a + 102\right)\cdot 163^{101} + \left(44 a^{2} + 145 a + 33\right)\cdot 163^{102} + \left(40 a^{2} + a + 88\right)\cdot 163^{103} + \left(116 a^{2} + 36 a + 140\right)\cdot 163^{104} + \left(44 a^{2} + 141 a + 22\right)\cdot 163^{105} + \left(9 a^{2} + 96 a + 105\right)\cdot 163^{106} + \left(42 a^{2} + 53 a + 57\right)\cdot 163^{107} + \left(32 a^{2} + 158 a + 66\right)\cdot 163^{108} + \left(45 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 163^{109} + \left(149 a^{2} + 53 a + 129\right)\cdot 163^{110} + \left(17 a^{2} + 129 a + 84\right)\cdot 163^{111} + \left(105 a^{2} + 28 a + 53\right)\cdot 163^{112} + \left(23 a^{2} + 61 a + 135\right)\cdot 163^{113} + \left(55 a^{2} + 13 a + 100\right)\cdot 163^{114} + \left(44 a^{2} + 61 a + 70\right)\cdot 163^{115} + \left(27 a^{2} + 20 a + 144\right)\cdot 163^{116} + \left(68 a^{2} + 36 a + 66\right)\cdot 163^{117} + \left(77 a^{2} + 153 a + 147\right)\cdot 163^{118} + \left(5 a^{2} + 17 a + 45\right)\cdot 163^{119} + \left(a^{2} + 113 a + 25\right)\cdot 163^{120} +O\left(163^{ 121 }\right)$ $r_{ 6 }$ $=$ $56 a^{2} + 64 a + 16 + \left(74 a^{2} + 14 a + 109\right)\cdot 163 + \left(93 a^{2} + 162 a + 38\right)\cdot 163^{2} + \left(94 a^{2} + 42 a + 29\right)\cdot 163^{3} + \left(117 a^{2} + 54 a + 87\right)\cdot 163^{4} + \left(119 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 163^{5} + \left(13 a^{2} + 2 a + 26\right)\cdot 163^{6} + \left(102 a^{2} + 52 a + 125\right)\cdot 163^{7} + \left(120 a^{2} + 68 a + 22\right)\cdot 163^{8} + \left(25 a^{2} + 44 a + 69\right)\cdot 163^{9} + \left(10 a^{2} + 8 a + 35\right)\cdot 163^{10} + \left(139 a^{2} + 78 a + 39\right)\cdot 163^{11} + \left(106 a^{2} + 96 a + 34\right)\cdot 163^{12} + \left(4 a^{2} + 68 a + 84\right)\cdot 163^{13} + \left(49 a^{2} + 76 a + 116\right)\cdot 163^{14} + \left(82 a^{2} + 95 a + 84\right)\cdot 163^{15} + \left(24 a^{2} + 49 a + 129\right)\cdot 163^{16} + \left(75 a^{2} + 57 a + 19\right)\cdot 163^{17} + \left(156 a^{2} + 104 a + 38\right)\cdot 163^{18} + \left(70 a^{2} + 54 a + 81\right)\cdot 163^{19} + \left(22 a^{2} + 108 a + 138\right)\cdot 163^{20} + \left(140 a^{2} + 115 a + 29\right)\cdot 163^{21} + \left(117 a^{2} + 54 a + 61\right)\cdot 163^{22} + \left(66 a^{2} + 20 a + 29\right)\cdot 163^{23} + \left(108 a^{2} + 95 a + 85\right)\cdot 163^{24} + \left(92 a^{2} + 151 a + 62\right)\cdot 163^{25} + \left(116 a^{2} + 64 a + 72\right)\cdot 163^{26} + \left(111 a^{2} + 76 a + 138\right)\cdot 163^{27} + \left(31 a^{2} + 118 a + 21\right)\cdot 163^{28} + \left(12 a^{2} + 115 a + 120\right)\cdot 163^{29} + \left(5 a^{2} + 13 a + 41\right)\cdot 163^{30} + \left(6 a^{2} + 123 a + 85\right)\cdot 163^{31} + \left(116 a^{2} + 139 a + 144\right)\cdot 163^{32} + \left(115 a^{2} + 31 a + 49\right)\cdot 163^{33} + \left(38 a^{2} + 17 a + 119\right)\cdot 163^{34} + \left(124 a^{2} + 113 a + 46\right)\cdot 163^{35} + \left(10 a^{2} + 86 a + 129\right)\cdot 163^{36} + \left(54 a^{2} + 37 a + 136\right)\cdot 163^{37} + \left(96 a^{2} + 56 a + 64\right)\cdot 163^{38} + \left(117 a^{2} + 22 a + 121\right)\cdot 163^{39} + \left(160 a^{2} + 4 a + 90\right)\cdot 163^{40} + \left(39 a^{2} + 49 a + 43\right)\cdot 163^{41} + \left(93 a^{2} + 156 a + 139\right)\cdot 163^{42} + \left(38 a^{2} + 68 a + 162\right)\cdot 163^{43} + \left(12 a^{2} + 160 a + 81\right)\cdot 163^{44} + \left(108 a^{2} + 69 a + 119\right)\cdot 163^{45} + \left(75 a^{2} + 84 a + 158\right)\cdot 163^{46} + \left(114 a^{2} + 24 a + 7\right)\cdot 163^{47} + \left(81 a^{2} + 34 a + 91\right)\cdot 163^{48} + \left(28 a^{2} + 114 a + 23\right)\cdot 163^{49} + \left(70 a^{2} + 17 a + 129\right)\cdot 163^{50} + \left(145 a^{2} + 86 a + 11\right)\cdot 163^{51} + \left(30 a^{2} + 88 a + 68\right)\cdot 163^{52} + \left(119 a^{2} + 2 a + 42\right)\cdot 163^{53} + \left(39 a^{2} + 64 a + 114\right)\cdot 163^{54} + \left(72 a^{2} + 28 a + 110\right)\cdot 163^{55} + \left(62 a^{2} + 101 a + 17\right)\cdot 163^{56} + \left(132 a^{2} + 56 a + 62\right)\cdot 163^{57} + \left(68 a^{2} + 52 a + 73\right)\cdot 163^{58} + \left(151 a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 163^{59} + \left(157 a^{2} + 80 a + 77\right)\cdot 163^{60} + \left(12 a^{2} + 80 a + 99\right)\cdot 163^{61} + \left(146 a^{2} + 90 a + 76\right)\cdot 163^{62} + \left(143 a^{2} + 75 a + 106\right)\cdot 163^{63} + \left(49 a^{2} + 85 a + 118\right)\cdot 163^{64} + \left(95 a^{2} + 5 a + 55\right)\cdot 163^{65} + \left(58 a^{2} + 58 a + 89\right)\cdot 163^{66} + \left(57 a^{2} + 79 a + 43\right)\cdot 163^{67} + \left(6 a^{2} + 115 a + 70\right)\cdot 163^{68} + \left(55 a^{2} + 140 a + 8\right)\cdot 163^{69} + \left(142 a^{2} + 36 a + 118\right)\cdot 163^{70} + \left(141 a^{2} + 127 a + 129\right)\cdot 163^{71} + \left(6 a^{2} + 150 a + 78\right)\cdot 163^{72} + \left(122 a^{2} + 38 a + 157\right)\cdot 163^{73} + \left(136 a^{2} + 87 a + 155\right)\cdot 163^{74} + \left(102 a^{2} + 131 a + 44\right)\cdot 163^{75} + \left(49 a^{2} + 61 a + 85\right)\cdot 163^{76} + \left(120 a^{2} + 13 a + 22\right)\cdot 163^{77} + \left(36 a^{2} + 102 a + 117\right)\cdot 163^{78} + \left(127 a^{2} + 87 a + 60\right)\cdot 163^{79} + \left(19 a^{2} + 52 a + 114\right)\cdot 163^{80} + \left(19 a^{2} + 127 a + 155\right)\cdot 163^{81} + \left(89 a^{2} + 50 a + 2\right)\cdot 163^{82} + \left(147 a^{2} + 99 a + 9\right)\cdot 163^{83} + \left(160 a^{2} + 113 a + 26\right)\cdot 163^{84} + \left(14 a^{2} + 76 a + 55\right)\cdot 163^{85} + \left(46 a^{2} + 162 a + 79\right)\cdot 163^{86} + \left(97 a^{2} + 118 a + 26\right)\cdot 163^{87} + \left(145 a^{2} + 85 a + 9\right)\cdot 163^{88} + \left(63 a^{2} + 135 a + 89\right)\cdot 163^{89} + \left(118 a^{2} + 53 a + 109\right)\cdot 163^{90} + \left(107 a^{2} + 92 a + 22\right)\cdot 163^{91} + \left(98 a^{2} + 162 a\right)\cdot 163^{92} + \left(54 a^{2} + 76 a + 140\right)\cdot 163^{93} + \left(8 a^{2} + 70 a + 129\right)\cdot 163^{94} + \left(80 a^{2} + 138 a + 26\right)\cdot 163^{95} + \left(67 a^{2} + 128 a + 100\right)\cdot 163^{96} + \left(19 a^{2} + 21 a + 83\right)\cdot 163^{97} + \left(152 a^{2} + 76 a + 147\right)\cdot 163^{98} + \left(27 a^{2} + 138 a + 39\right)\cdot 163^{99} + \left(138 a^{2} + 121 a + 159\right)\cdot 163^{100} + \left(109 a^{2} + 65 a + 101\right)\cdot 163^{101} + \left(104 a^{2} + 161 a + 51\right)\cdot 163^{102} + \left(89 a^{2} + 41 a + 17\right)\cdot 163^{103} + \left(26 a^{2} + 158 a + 46\right)\cdot 163^{104} + \left(111 a^{2} + 106 a + 3\right)\cdot 163^{105} + \left(25 a^{2} + 84 a + 69\right)\cdot 163^{106} + \left(139 a^{2} + 85 a + 70\right)\cdot 163^{107} + \left(117 a^{2} + 51 a + 146\right)\cdot 163^{108} + \left(69 a^{2} + 42 a + 30\right)\cdot 163^{109} + \left(76 a^{2} + 58 a + 65\right)\cdot 163^{110} + \left(87 a^{2} + 86 a + 11\right)\cdot 163^{111} + \left(105 a^{2} + 116 a + 83\right)\cdot 163^{112} + \left(151 a^{2} + 77 a + 58\right)\cdot 163^{113} + \left(86 a^{2} + 52 a + 29\right)\cdot 163^{114} + \left(144 a^{2} + 58 a + 12\right)\cdot 163^{115} + \left(46 a^{2} + 77 a + 142\right)\cdot 163^{116} + \left(154 a^{2} + 34 a + 135\right)\cdot 163^{117} + \left(55 a^{2} + 126 a + 121\right)\cdot 163^{118} + \left(121 a^{2} + 81 a + 13\right)\cdot 163^{119} + \left(15 a^{2} + 59 a + 8\right)\cdot 163^{120} +O\left(163^{ 121 }\right)$ $r_{ 7 }$ $=$ $97 a^{2} + 105 a + 153 + \left(83 a^{2} + 11 a + 97\right)\cdot 163 + \left(152 a^{2} + 138 a + 42\right)\cdot 163^{2} + \left(15 a^{2} + 153 a + 151\right)\cdot 163^{3} + \left(80 a^{2} + 102 a + 20\right)\cdot 163^{4} + \left(96 a + 97\right)\cdot 163^{5} + \left(125 a^{2} + 22 a + 110\right)\cdot 163^{6} + \left(43 a^{2} + 113 a + 124\right)\cdot 163^{7} + \left(154 a^{2} + 135 a + 16\right)\cdot 163^{8} + \left(37 a^{2} + 136 a + 126\right)\cdot 163^{9} + \left(102 a^{2} + 34 a + 84\right)\cdot 163^{10} + \left(71 a^{2} + 115 a + 50\right)\cdot 163^{11} + \left(77 a^{2} + 51 a + 114\right)\cdot 163^{12} + \left(103 a^{2} + 39 a + 110\right)\cdot 163^{13} + \left(114 a^{2} + 96\right)\cdot 163^{14} + \left(161 a^{2} + 62 a + 20\right)\cdot 163^{15} + \left(135 a^{2} + 107 a + 52\right)\cdot 163^{16} + \left(12 a^{2} + 12 a + 109\right)\cdot 163^{17} + \left(100 a^{2} + 15 a + 46\right)\cdot 163^{18} + \left(57 a^{2} + 26 a + 73\right)\cdot 163^{19} + \left(111 a^{2} + 7 a + 64\right)\cdot 163^{20} + \left(10 a^{2} + 76 a + 23\right)\cdot 163^{21} + \left(103 a^{2} + 139 a + 155\right)\cdot 163^{22} + \left(105 a^{2} + 69 a + 47\right)\cdot 163^{23} + \left(119 a^{2} + 129 a + 83\right)\cdot 163^{24} + \left(3 a^{2} + 119 a + 136\right)\cdot 163^{25} + \left(149 a^{2} + 15 a + 60\right)\cdot 163^{26} + \left(134 a^{2} + 116 a + 29\right)\cdot 163^{27} + \left(41 a^{2} + 8 a + 69\right)\cdot 163^{28} + \left(106 a^{2} + 10 a + 124\right)\cdot 163^{29} + \left(148 a^{2} + 97 a + 59\right)\cdot 163^{30} + \left(78 a^{2} + 41 a + 99\right)\cdot 163^{31} + \left(46 a^{2} + 161 a + 91\right)\cdot 163^{32} + \left(13 a^{2} + 91 a + 6\right)\cdot 163^{33} + \left(145 a^{2} + 38 a + 18\right)\cdot 163^{34} + \left(80 a^{2} + 16 a + 116\right)\cdot 163^{35} + \left(138 a^{2} + 145 a + 127\right)\cdot 163^{36} + \left(5 a^{2} + 25 a + 74\right)\cdot 163^{37} + \left(35 a^{2} + 75 a + 50\right)\cdot 163^{38} + \left(133 a^{2} + 48 a + 31\right)\cdot 163^{39} + \left(68 a^{2} + 39 a + 42\right)\cdot 163^{40} + \left(121 a^{2} + 91 a + 43\right)\cdot 163^{41} + \left(81 a^{2} + 122 a + 31\right)\cdot 163^{42} + \left(38 a^{2} + 133 a + 108\right)\cdot 163^{43} + \left(37 a^{2} + 111 a + 35\right)\cdot 163^{44} + \left(59 a^{2} + 28 a\right)\cdot 163^{45} + \left(48 a^{2} + 102 a + 140\right)\cdot 163^{46} + \left(92 a^{2} + 135 a + 121\right)\cdot 163^{47} + \left(112 a^{2} + 57 a + 17\right)\cdot 163^{48} + \left(23 a^{2} + 57 a + 1\right)\cdot 163^{49} + \left(19 a^{2} + 95 a + 54\right)\cdot 163^{50} + \left(25 a^{2} + 120 a + 102\right)\cdot 163^{51} + \left(38 a^{2} + 80 a + 47\right)\cdot 163^{52} + \left(37 a^{2} + 126 a + 40\right)\cdot 163^{53} + \left(117 a^{2} + 125 a + 41\right)\cdot 163^{54} + \left(95 a^{2} + 104 a + 57\right)\cdot 163^{55} + \left(136 a^{2} + 104 a + 146\right)\cdot 163^{56} + \left(48 a + 45\right)\cdot 163^{57} + \left(121 a^{2} + 114 a + 45\right)\cdot 163^{58} + \left(56 a^{2} + 99 a + 10\right)\cdot 163^{59} + \left(8 a^{2} + 76 a + 31\right)\cdot 163^{60} + \left(88 a^{2} + 159 a + 15\right)\cdot 163^{61} + \left(21 a^{2} + 158 a + 93\right)\cdot 163^{62} + \left(147 a^{2} + 25 a + 121\right)\cdot 163^{63} + \left(92 a^{2} + 91 a + 47\right)\cdot 163^{64} + \left(115 a^{2} + 81 a + 150\right)\cdot 163^{65} + \left(45 a^{2} + 49 a + 137\right)\cdot 163^{66} + \left(27 a^{2} + 112 a + 11\right)\cdot 163^{67} + \left(31 a^{2} + 61 a + 23\right)\cdot 163^{68} + \left(161 a^{2} + 101 a + 69\right)\cdot 163^{69} + \left(110 a^{2} + 35 a + 80\right)\cdot 163^{70} + \left(41 a^{2} + 2 a + 42\right)\cdot 163^{71} + \left(104 a^{2} + 90 a + 44\right)\cdot 163^{72} + \left(3 a^{2} + 29 a + 148\right)\cdot 163^{73} + \left(148 a^{2} + 102 a + 99\right)\cdot 163^{74} + \left(32 a^{2} + 28 a + 44\right)\cdot 163^{75} + \left(48 a^{2} + 123 a + 24\right)\cdot 163^{76} + \left(130 a^{2} + 53 a + 69\right)\cdot 163^{77} + \left(147 a^{2} + 115 a + 146\right)\cdot 163^{78} + \left(41 a^{2} + 134 a + 42\right)\cdot 163^{79} + \left(106 a^{2} + 93 a + 83\right)\cdot 163^{80} + \left(123 a^{2} + 90 a + 154\right)\cdot 163^{81} + \left(43 a^{2} + 28 a + 62\right)\cdot 163^{82} + \left(148 a^{2} + 13 a + 12\right)\cdot 163^{83} + \left(29 a^{2} + 146 a + 121\right)\cdot 163^{84} + \left(122 a^{2} + 68 a + 120\right)\cdot 163^{85} + \left(132 a^{2} + 70 a + 157\right)\cdot 163^{86} + \left(11 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 163^{87} + \left(31 a^{2} + 127 a + 18\right)\cdot 163^{88} + \left(41 a^{2} + 151 a + 146\right)\cdot 163^{89} + \left(136 a^{2} + 46 a + 29\right)\cdot 163^{90} + \left(9 a^{2} + 112 a + 109\right)\cdot 163^{91} + \left(37 a^{2} + 100 a + 38\right)\cdot 163^{92} + \left(82 a^{2} + 107 a + 160\right)\cdot 163^{93} + \left(151 a^{2} + 57 a + 145\right)\cdot 163^{94} + \left(136 a^{2} + 148 a + 74\right)\cdot 163^{95} + \left(60 a^{2} + 106 a + 123\right)\cdot 163^{96} + \left(74 a^{2} + 48 a + 122\right)\cdot 163^{97} + \left(128 a^{2} + 28 a + 145\right)\cdot 163^{98} + \left(122 a^{2} + 96 a + 47\right)\cdot 163^{99} + \left(27 a^{2} + 75 a + 24\right)\cdot 163^{100} + \left(75 a^{2} + 90 a + 103\right)\cdot 163^{101} + \left(35 a^{2} + 67 a + 54\right)\cdot 163^{102} + \left(146 a^{2} + 106 a + 118\right)\cdot 163^{103} + \left(143 a^{2} + 125 a + 104\right)\cdot 163^{104} + \left(32 a^{2} + 64 a + 72\right)\cdot 163^{105} + \left(76 a^{2} + 74 a + 87\right)\cdot 163^{106} + \left(130 a^{2} + 55 a + 138\right)\cdot 163^{107} + \left(44 a^{2} + 67 a + 22\right)\cdot 163^{108} + \left(108 a^{2} + 114 a + 102\right)\cdot 163^{109} + \left(54 a^{2} + 118 a + 126\right)\cdot 163^{110} + \left(81 a^{2} + 50 a + 145\right)\cdot 163^{111} + \left(70 a^{2} + 73 a + 136\right)\cdot 163^{112} + \left(89 a^{2} + 61 a + 39\right)\cdot 163^{113} + \left(6 a^{2} + 26 a + 143\right)\cdot 163^{114} + \left(7 a^{2} + 138 a + 76\right)\cdot 163^{115} + \left(64 a^{2} + 10 a + 113\right)\cdot 163^{116} + \left(59 a^{2} + 146 a + 127\right)\cdot 163^{117} + \left(109 a^{2} + 102 a + 153\right)\cdot 163^{118} + \left(105 a^{2} + 136 a + 157\right)\cdot 163^{119} + \left(16 a^{2} + 8 a + 120\right)\cdot 163^{120} +O\left(163^{ 121 }\right)$ $r_{ 8 }$ $=$ $101 a^{2} + 73 a + 7 + \left(104 a^{2} + 7 a + 128\right)\cdot 163 + \left(137 a^{2} + 92 a + 1\right)\cdot 163^{2} + \left(139 a^{2} + 116 a + 72\right)\cdot 163^{3} + \left(158 a + 89\right)\cdot 163^{4} + \left(147 a^{2} + 19 a + 15\right)\cdot 163^{5} + \left(129 a^{2} + 108 a + 38\right)\cdot 163^{6} + \left(8 a^{2} + 96\right)\cdot 163^{7} + \left(156 a^{2} + 55 a + 134\right)\cdot 163^{8} + \left(102 a^{2} + 97 a + 136\right)\cdot 163^{9} + \left(141 a^{2} + 55 a + 78\right)\cdot 163^{10} + \left(138 a^{2} + 60 a + 20\right)\cdot 163^{11} + \left(137 a^{2} + 19 a + 54\right)\cdot 163^{12} + \left(84 a^{2} + 7 a + 65\right)\cdot 163^{13} + \left(48 a^{2} + 28 a + 115\right)\cdot 163^{14} + \left(82 a^{2} + 74 a + 44\right)\cdot 163^{15} + \left(144 a^{2} + 82 a + 39\right)\cdot 163^{16} + \left(110 a^{2} + 24 a + 128\right)\cdot 163^{17} + \left(34 a^{2} + 117 a + 27\right)\cdot 163^{18} + \left(13 a^{2} + 100 a + 8\right)\cdot 163^{19} + \left(21 a^{2} + 106 a + 137\right)\cdot 163^{20} + \left(11 a^{2} + 9 a + 153\right)\cdot 163^{21} + \left(22 a^{2} + 89 a + 160\right)\cdot 163^{22} + \left(126 a^{2} + 40 a + 114\right)\cdot 163^{23} + \left(112 a^{2} + 143 a + 10\right)\cdot 163^{24} + \left(54 a^{2} + 79 a + 49\right)\cdot 163^{25} + \left(2 a^{2} + 155 a + 94\right)\cdot 163^{26} + \left(19 a^{2} + 82 a + 138\right)\cdot 163^{27} + \left(81 a^{2} + 149 a + 79\right)\cdot 163^{28} + \left(41 a^{2} + 27 a + 85\right)\cdot 163^{29} + \left(142 a^{2} + 83 a + 48\right)\cdot 163^{30} + \left(35 a^{2} + 14 a + 37\right)\cdot 163^{31} + \left(125 a^{2} + 151 a + 137\right)\cdot 163^{32} + \left(53 a^{2} + 110 a + 125\right)\cdot 163^{33} + \left(143 a^{2} + 149 a + 103\right)\cdot 163^{34} + \left(45 a^{2} + 33 a + 120\right)\cdot 163^{35} + \left(104 a^{2} + 156 a + 46\right)\cdot 163^{36} + \left(27 a^{2} + 61 a + 98\right)\cdot 163^{37} + \left(11 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 163^{38} + \left(96 a^{2} + 54 a + 117\right)\cdot 163^{39} + \left(6 a^{2} + 134 a + 125\right)\cdot 163^{40} + \left(150 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 163^{41} + \left(29 a^{2} + 156 a + 55\right)\cdot 163^{42} + \left(138 a^{2} + 55 a + 100\right)\cdot 163^{43} + \left(158 a^{2} + 140 a + 110\right)\cdot 163^{44} + \left(57 a^{2} + 60 a + 37\right)\cdot 163^{45} + \left(138 a^{2} + 55 a + 153\right)\cdot 163^{46} + \left(31 a^{2} + 120 a + 123\right)\cdot 163^{47} + \left(64 a^{2} + 66 a + 134\right)\cdot 163^{48} + \left(116 a^{2} + 48 a + 49\right)\cdot 163^{49} + \left(121 a^{2} + 46 a + 22\right)\cdot 163^{50} + \left(132 a^{2} + 54 a + 89\right)\cdot 163^{51} + \left(18 a^{2} + 47 a + 122\right)\cdot 163^{52} + \left(43 a^{2} + 122 a + 74\right)\cdot 163^{53} + \left(a^{2} + 21 a + 133\right)\cdot 163^{54} + \left(8 a^{2} + 57 a + 32\right)\cdot 163^{55} + \left(8 a^{2} + 156 a + 30\right)\cdot 163^{56} + \left(81 a^{2} + 158 a + 62\right)\cdot 163^{57} + \left(55 a^{2} + 122 a + 93\right)\cdot 163^{58} + \left(36 a^{2} + 7 a + 105\right)\cdot 163^{59} + \left(151 a^{2} + 126 a + 93\right)\cdot 163^{60} + \left(72 a^{2} + 2 a + 148\right)\cdot 163^{61} + \left(38 a^{2} + 127 a + 70\right)\cdot 163^{62} + \left(18 a^{2} + 81 a + 35\right)\cdot 163^{63} + \left(16 a^{2} + 131 a + 2\right)\cdot 163^{64} + \left(91 a^{2} + 123 a + 19\right)\cdot 163^{65} + \left(73 a^{2} + 132 a + 21\right)\cdot 163^{66} + \left(14 a^{2} + 122 a + 71\right)\cdot 163^{67} + \left(122 a^{2} + 74 a + 66\right)\cdot 163^{68} + \left(26 a^{2} + 81 a + 113\right)\cdot 163^{69} + \left(105 a^{2} + 23 a + 3\right)\cdot 163^{70} + \left(89 a^{2} + 31 a + 102\right)\cdot 163^{71} + \left(46 a^{2} + 65 a + 109\right)\cdot 163^{72} + \left(131 a^{2} + 101 a + 48\right)\cdot 163^{73} + \left(91 a^{2} + 114 a + 117\right)\cdot 163^{74} + \left(157 a^{2} + 130 a + 33\right)\cdot 163^{75} + \left(132 a^{2} + 147 a + 40\right)\cdot 163^{76} + \left(10 a^{2} + 76 a + 90\right)\cdot 163^{77} + \left(45 a^{2} + 93 a + 160\right)\cdot 163^{78} + \left(74 a^{2} + 90 a + 40\right)\cdot 163^{79} + \left(146 a^{2} + 112 a + 156\right)\cdot 163^{80} + \left(129 a^{2} + 99 a + 59\right)\cdot 163^{81} + \left(94 a^{2} + 111 a + 161\right)\cdot 163^{82} + \left(41 a^{2} + 8 a + 42\right)\cdot 163^{83} + \left(24 a^{2} + 70 a + 59\right)\cdot 163^{84} + \left(83 a^{2} + 157 a\right)\cdot 163^{85} + \left(155 a^{2} + 66 a + 118\right)\cdot 163^{86} + \left(142 a^{2} + 159 a + 122\right)\cdot 163^{87} + \left(129 a^{2} + 61 a + 17\right)\cdot 163^{88} + \left(117 a^{2} + 72 a + 144\right)\cdot 163^{89} + \left(19 a^{2} + 93 a + 156\right)\cdot 163^{90} + \left(5 a^{2} + 128 a + 63\right)\cdot 163^{91} + \left(99 a^{2} + 33 a + 78\right)\cdot 163^{92} + \left(11 a^{2} + 36 a + 31\right)\cdot 163^{93} + \left(65 a^{2} + 45 a + 5\right)\cdot 163^{94} + \left(128 a^{2} + 121 a + 135\right)\cdot 163^{95} + \left(110 a^{2} + 6 a + 159\right)\cdot 163^{96} + \left(76 a^{2} + 142 a + 7\right)\cdot 163^{97} + \left(160 a^{2} + 154 a + 62\right)\cdot 163^{98} + \left(64 a^{2} + 17 a + 154\right)\cdot 163^{99} + \left(46 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 163^{100} + \left(90 a^{2} + 93 a + 112\right)\cdot 163^{101} + \left(113 a^{2} + 72 a + 31\right)\cdot 163^{102} + \left(149 a^{2} + 65 a + 1\right)\cdot 163^{103} + \left(71 a^{2} + 105 a + 151\right)\cdot 163^{104} + \left(115 a^{2} + 128 a + 26\right)\cdot 163^{105} + \left(112 a^{2} + 39 a + 153\right)\cdot 163^{106} + \left(35 a^{2} + 7 a + 27\right)\cdot 163^{107} + \left(101 a^{2} + 82 a + 62\right)\cdot 163^{108} + \left(162 a^{2} + 119 a + 65\right)\cdot 163^{109} + \left(157 a^{2} + 147 a + 115\right)\cdot 163^{110} + \left(89 a^{2} + 81 a + 40\right)\cdot 163^{111} + \left(66 a^{2} + 19 a + 145\right)\cdot 163^{112} + \left(53 a^{2} + 92 a + 56\right)\cdot 163^{113} + \left(150 a^{2} + 70 a + 110\right)\cdot 163^{114} + \left(27 a^{2} + 141 a + 102\right)\cdot 163^{115} + \left(8 a^{2} + 28 a + 109\right)\cdot 163^{116} + \left(140 a^{2} + 60 a + 130\right)\cdot 163^{117} + \left(55 a^{2} + 130 a + 46\right)\cdot 163^{118} + \left(48 a^{2} + 141 a + 137\right)\cdot 163^{119} + \left(19 a^{2} + 72 a + 1\right)\cdot 163^{120} +O\left(163^{ 121 }\right)$ $r_{ 9 }$ $=$ $107 a^{2} + 83 a + 15 + \left(151 a^{2} + 95 a + 56\right)\cdot 163 + \left(128 a^{2} + 128 a + 118\right)\cdot 163^{2} + \left(132 a^{2} + 152 a + 36\right)\cdot 163^{3} + \left(112 a^{2} + 130 a + 33\right)\cdot 163^{4} + \left(85 a^{2} + 55 a + 106\right)\cdot 163^{5} + \left(92 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 163^{6} + \left(130 a^{2} + 154 a + 36\right)\cdot 163^{7} + \left(95 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 163^{8} + \left(154 a^{2} + 82 a + 138\right)\cdot 163^{9} + \left(95 a^{2} + 28 a + 63\right)\cdot 163^{10} + \left(85 a^{2} + 79 a + 115\right)\cdot 163^{11} + \left(60 a^{2} + 7 a + 140\right)\cdot 163^{12} + \left(78 a^{2} + 32 a + 144\right)\cdot 163^{13} + \left(87 a^{2} + 150 a + 33\right)\cdot 163^{14} + \left(18 a^{2} + 138 a + 73\right)\cdot 163^{15} + \left(107 a^{2} + 143 a + 87\right)\cdot 163^{16} + \left(63 a^{2} + 60 a + 93\right)\cdot 163^{17} + \left(87 a^{2} + 115 a + 38\right)\cdot 163^{18} + \left(108 a^{2} + 2 a + 49\right)\cdot 163^{19} + \left(58 a^{2} + 125 a + 38\right)\cdot 163^{20} + \left(83 a^{2} + 123 a + 96\right)\cdot 163^{21} + \left(111 a^{2} + 21 a + 27\right)\cdot 163^{22} + \left(101 a^{2} + 46 a + 89\right)\cdot 163^{23} + \left(90 a^{2} + 108 a + 109\right)\cdot 163^{24} + \left(8 a^{2} + 146 a + 72\right)\cdot 163^{25} + \left(114 a^{2} + 65 a + 105\right)\cdot 163^{26} + \left(59 a^{2} + 134 a + 122\right)\cdot 163^{27} + \left(128 a^{2} + 61 a + 45\right)\cdot 163^{28} + \left(5 a^{2} + 86 a + 126\right)\cdot 163^{29} + \left(51 a^{2} + 148 a + 74\right)\cdot 163^{30} + \left(137 a^{2} + 114 a + 7\right)\cdot 163^{31} + \left(114 a^{2} + 128 a + 76\right)\cdot 163^{32} + \left(19 a^{2} + 83 a + 109\right)\cdot 163^{33} + \left(62 a^{2} + 97 a + 155\right)\cdot 163^{34} + \left(141 a^{2} + 23 a + 90\right)\cdot 163^{35} + \left(38 a^{2} + 70 a + 107\right)\cdot 163^{36} + \left(116 a^{2} + 87 a + 36\right)\cdot 163^{37} + \left(121 a^{2} + 70 a + 18\right)\cdot 163^{38} + \left(99 a^{2} + 95 a + 83\right)\cdot 163^{39} + \left(18 a^{2} + 80 a + 53\right)\cdot 163^{40} + \left(83 a^{2} + 49 a + 77\right)\cdot 163^{41} + \left(82 a^{2} + 117 a + 113\right)\cdot 163^{42} + \left(60 a^{2} + 145 a + 137\right)\cdot 163^{43} + \left(4 a^{2} + 160 a + 82\right)\cdot 163^{44} + \left(26 a^{2} + 141 a + 141\right)\cdot 163^{45} + \left(32 a^{2} + 71 a + 21\right)\cdot 163^{46} + \left(59 a^{2} + 161 a + 12\right)\cdot 163^{47} + \left(157 a^{2} + 80 a + 157\right)\cdot 163^{48} + \left(55 a^{2} + 9 a + 48\right)\cdot 163^{49} + \left(112 a^{2} + 126 a + 127\right)\cdot 163^{50} + \left(53 a^{2} + 143 a + 143\right)\cdot 163^{51} + \left(58 a^{2} + 50 a + 41\right)\cdot 163^{52} + \left(26 a^{2} + 8 a + 111\right)\cdot 163^{53} + \left(64 a^{2} + 67 a + 25\right)\cdot 163^{54} + \left(32 a^{2} + 110 a + 56\right)\cdot 163^{55} + \left(51 a^{2} + 21 a + 85\right)\cdot 163^{56} + \left(146 a^{2} + 134 a + 87\right)\cdot 163^{57} + \left(83 a^{2} + 137 a + 98\right)\cdot 163^{58} + \left(17 a^{2} + 91 a + 128\right)\cdot 163^{59} + \left(101 a + 22\right)\cdot 163^{60} + \left(8 a^{2} + 89 a + 27\right)\cdot 163^{61} + \left(157 a^{2} + 36 a + 88\right)\cdot 163^{62} + \left(82 a^{2} + 113 a + 132\right)\cdot 163^{63} + \left(43 a^{2} + 102 a + 9\right)\cdot 163^{64} + \left(83 a^{2} + 9 a + 97\right)\cdot 163^{65} + \left(118 a^{2} + 19 a + 135\right)\cdot 163^{66} + \left(16 a^{2} + 136 a + 26\right)\cdot 163^{67} + \left(32 a^{2} + 25 a + 69\right)\cdot 163^{68} + \left(143 a^{2} + 149 a + 4\right)\cdot 163^{69} + \left(84 a^{2} + 16 a + 71\right)\cdot 163^{70} + \left(148 a^{2} + 107 a + 20\right)\cdot 163^{71} + \left(103 a^{2} + 23 a + 111\right)\cdot 163^{72} + \left(73 a^{2} + 34 a + 15\right)\cdot 163^{73} + \left(143 a^{2} + 7 a + 50\right)\cdot 163^{74} + \left(134 a^{2} + 149 a + 27\right)\cdot 163^{75} + \left(126 a^{2} + 106 a + 123\right)\cdot 163^{76} + \left(108 a^{2} + 97 a + 28\right)\cdot 163^{77} + \left(108 a^{2} + 156 a + 122\right)\cdot 163^{78} + \left(144 a^{2} + 64 a + 46\right)\cdot 163^{79} + \left(107 a^{2} + 50 a + 139\right)\cdot 163^{80} + \left(14 a^{2} + 130 a + 4\right)\cdot 163^{81} + \left(126 a^{2} + 34 a + 87\right)\cdot 163^{82} + \left(41 a^{2} + 28 a + 47\right)\cdot 163^{83} + \left(61 a^{2} + 151 a + 32\right)\cdot 163^{84} + \left(82 a^{2} + 31 a + 26\right)\cdot 163^{85} + \left(95 a^{2} + 70 a + 48\right)\cdot 163^{86} + \left(82 a^{2} + 100 a + 53\right)\cdot 163^{87} + \left(137 a^{2} + 3 a + 107\right)\cdot 163^{88} + \left(5 a^{2} + 120 a + 98\right)\cdot 163^{89} + \left(153 a^{2} + 132 a + 5\right)\cdot 163^{90} + \left(109 a^{2} + 157 a + 138\right)\cdot 163^{91} + \left(111 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 163^{92} + \left(101 a^{2} + 141 a + 123\right)\cdot 163^{93} + \left(74 a^{2} + 139 a + 66\right)\cdot 163^{94} + \left(47 a^{2} + 116 a + 54\right)\cdot 163^{95} + \left(129 a^{2} + 2 a + 34\right)\cdot 163^{96} + \left(79 a^{2} + 29 a + 77\right)\cdot 163^{97} + \left(65 a + 110\right)\cdot 163^{98} + \left(135 a^{2} + 30 a + 108\right)\cdot 163^{99} + \left(a^{2} + 149 a + 51\right)\cdot 163^{100} + \left(25 a^{2} + 29 a + 130\right)\cdot 163^{101} + \left(7 a^{2} + 128 a + 44\right)\cdot 163^{102} + \left(103 a^{2} + 157 a + 112\right)\cdot 163^{103} + \left(26 a^{2} + 161 a + 60\right)\cdot 163^{104} + \left(101 a^{2} + 143 a + 32\right)\cdot 163^{105} + \left(77 a^{2} + 68 a + 25\right)\cdot 163^{106} + \left(90 a^{2} + 103 a + 53\right)\cdot 163^{107} + \left(140 a^{2} + 86 a + 111\right)\cdot 163^{108} + \left(13 a^{2} + 74 a + 74\right)\cdot 163^{109} + \left(95 a^{2} + 149 a + 107\right)\cdot 163^{110} + \left(142 a^{2} + 37 a + 28\right)\cdot 163^{111} + \left(86 a^{2} + 66 a + 2\right)\cdot 163^{112} + \left(78 a^{2} + 102 a + 67\right)\cdot 163^{113} + \left(154 a^{2} + 123 a + 58\right)\cdot 163^{114} + \left(47 a^{2} + 49 a + 44\right)\cdot 163^{115} + \left(44 a^{2} + 98 a + 103\right)\cdot 163^{116} + \left(141 a^{2} + 69 a + 27\right)\cdot 163^{117} + \left(51 a^{2} + 108 a + 106\right)\cdot 163^{118} + \left(78 a^{2} + 41 a + 82\right)\cdot 163^{119} + \left(128 a^{2} + 40 a + 155\right)\cdot 163^{120} +O\left(163^{ 121 }\right)$

### Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 9 }$

 Cycle notation $(2,6,7)$ $(3,4)$ $(3,4,9)$ $(1,3)(4,5)(8,9)$ $(1,5,8)$ $(1,2,3)(4,5,6)(7,9,8)$

### Character values on conjugacy classes

 Size Order Action on $r_1, \ldots, r_{ 9 }$ Character value $1$ $1$ $()$ $8$ $9$ $2$ $(3,4)$ $0$ $18$ $2$ $(1,3)(4,5)(8,9)$ $4$ $27$ $2$ $(1,5)(3,4)$ $0$ $27$ $2$ $(1,5)(2,6)(3,4)$ $0$ $54$ $2$ $(1,5)(2,3)(4,6)(7,9)$ $0$ $6$ $3$ $(2,6,7)$ $-4$ $8$ $3$ $(1,5,8)(2,6,7)(3,4,9)$ $-1$ $12$ $3$ $(2,6,7)(3,4,9)$ $2$ $72$ $3$ $(1,2,3)(4,5,6)(7,9,8)$ $2$ $54$ $4$ $(1,4,5,3)(8,9)$ $0$ $162$ $4$ $(1,5)(2,3,6,4)(7,9)$ $0$ $36$ $6$ $(1,3)(2,6,7)(4,5)(8,9)$ $-2$ $36$ $6$ $(2,4,6,9,7,3)$ $-2$ $36$ $6$ $(2,6,7)(3,4)$ $0$ $36$ $6$ $(1,5,8)(2,6,7)(3,4)$ $0$ $54$ $6$ $(1,5)(2,7,6)(3,4)$ $0$ $72$ $6$ $(1,9,8,4,5,3)(2,6,7)$ $1$ $108$ $6$ $(1,5)(2,4,6,9,7,3)$ $0$ $216$ $6$ $(1,2,3,5,6,4)(7,9,8)$ $0$ $144$ $9$ $(1,2,4,5,6,9,8,7,3)$ $-1$ $108$ $12$ $(1,4,5,3)(2,6,7)(8,9)$ $0$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.