# Properties

 Label 8.2e6_523e3.9t26.1c1 Dimension 8 Group $((C_3^2:Q_8):C_3):C_2$ Conductor $2^{6} \cdot 523^{3}$ Root number 1 Frobenius-Schur indicator 1

# Related objects

## Basic invariants

 Dimension: $8$ Group: $((C_3^2:Q_8):C_3):C_2$ Conductor: $9155562688= 2^{6} \cdot 523^{3}$ Artin number field: Splitting field of $f= x^{9} - x^{7} - 5 x^{6} + x^{5} + 2 x^{4} + 4 x^{3} - 3 x^{2} - x + 1$ over $\Q$ Size of Galois orbit: 1 Smallest containing permutation representation: $((C_3^2:Q_8):C_3):C_2$ Parity: Odd Determinant: 1.523.2t1.1c1

## Galois action

### Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 11 }$ to precision 51.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 11 }$: $x^{4} + 8 x^{2} + 10 x + 2$
Roots:
 $r_{ 1 }$ $=$ $3 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 9 + \left(a^{2} + 7\right)\cdot 11 + \left(6 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 11^{2} + \left(a^{3} + a^{2} + 8\right)\cdot 11^{3} + \left(8 a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 11^{4} + \left(5 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 11^{5} + \left(a^{3} + a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 11^{6} + \left(2 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 11^{7} + \left(9 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 11^{8} + \left(3 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 11^{9} + \left(2 a^{3} + a^{2} + a + 6\right)\cdot 11^{10} + \left(3 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 11^{11} + \left(3 a^{3} + a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 11^{12} + \left(4 a^{3} + 10 a^{2} + 6\right)\cdot 11^{13} + \left(8 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 11^{14} + \left(3 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 11^{15} + \left(a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 11^{16} + \left(a^{3} + 1\right)\cdot 11^{17} + \left(5 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 11^{18} + \left(2 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 11^{19} + \left(8 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 11^{20} + \left(10 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{21} + \left(10 a^{3} + 3 a^{2} + a + 8\right)\cdot 11^{22} + \left(a^{3} + 10 a^{2} + 7\right)\cdot 11^{23} + \left(4 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 11^{24} + \left(4 a^{3} + a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 11^{25} + \left(7 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 11^{26} + \left(2 a^{3} + 9 a^{2} + a + 10\right)\cdot 11^{27} + \left(6 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 11^{28} + \left(4 a^{3} + 10 a^{2} + a\right)\cdot 11^{29} + \left(5 a^{3} + 10 a + 1\right)\cdot 11^{30} + \left(8 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 11^{31} + \left(8 a^{3} + 9 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 11^{32} + \left(5 a^{3} + 8 a^{2} + a + 10\right)\cdot 11^{33} + \left(7 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 11^{34} + \left(8 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 11^{35} + \left(10 a^{3} + a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 11^{36} + \left(a^{3} + 8\right)\cdot 11^{37} + \left(3 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 11^{38} + \left(8 a^{3} + 5 a^{2} + a + 3\right)\cdot 11^{39} + \left(7 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 11^{40} + \left(3 a^{3} + a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 11^{41} + \left(2 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 11^{42} + \left(3 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 11^{43} + \left(7 a^{3} + a + 7\right)\cdot 11^{44} + \left(10 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 11^{45} + \left(6 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 11^{46} + \left(6 a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 11^{47} + \left(9 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 11^{48} + \left(4 a^{3} + 5 a^{2} + a + 1\right)\cdot 11^{49} + \left(10 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 11^{50} +O\left(11^{ 51 }\right)$ $r_{ 2 }$ $=$ $7 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 7 + \left(5 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 11 + \left(a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 11^{2} + \left(8 a^{3} + 9 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 11^{3} + \left(5 a^{3} + 2 a + 2\right)\cdot 11^{4} + \left(6 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 11^{5} + \left(6 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 11^{6} + \left(a^{3} + 6 a + 3\right)\cdot 11^{7} + \left(8 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 11^{8} + \left(a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 11^{9} + \left(a^{3} + a^{2} + 5\right)\cdot 11^{10} + \left(10 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 11^{11} + \left(2 a^{3} + a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 11^{12} + \left(7 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 11^{13} + \left(6 a^{3} + a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 11^{14} + \left(3 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 11^{15} + \left(7 a^{3} + 6 a + 1\right)\cdot 11^{16} + \left(8 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 11^{17} + \left(3 a^{3} + a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 11^{18} + \left(5 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 11^{19} + \left(7 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a\right)\cdot 11^{20} + \left(10 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 11^{21} + \left(a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 11^{22} + \left(a^{3} + 2 a^{2} + 9\right)\cdot 11^{23} + \left(6 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 11^{24} + \left(8 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 11^{25} + \left(6 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 11^{26} + \left(4 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 11^{27} + \left(5 a^{3} + a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 11^{28} + \left(a^{3} + a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 11^{29} + \left(3 a^{3} + a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 11^{30} + \left(3 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 11^{31} + \left(8 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 11^{32} + \left(7 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a\right)\cdot 11^{33} + \left(7 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 11^{34} + \left(8 a^{3} + 7 a^{2} + 10\right)\cdot 11^{35} + \left(a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 11^{36} + \left(9 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 11^{37} + \left(a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 11^{38} + \left(5 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 11^{39} + \left(9 a^{3} + 2 a^{2} + a + 5\right)\cdot 11^{40} + \left(6 a^{3} + a^{2} + 7 a\right)\cdot 11^{41} + \left(6 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a\right)\cdot 11^{42} + \left(10 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 11^{43} + \left(9 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 11^{44} + \left(7 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 11^{45} + \left(3 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 11^{46} + \left(10 a^{2} + 3\right)\cdot 11^{47} + \left(5 a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 11^{48} + \left(10 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 11^{49} + \left(4 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a\right)\cdot 11^{50} +O\left(11^{ 51 }\right)$ $r_{ 3 }$ $=$ $2 a^{3} + 9 a^{2} + a + 5 + \left(2 a^{3} + 7 a + 3\right)\cdot 11 + \left(4 a^{3} + 8 a + 10\right)\cdot 11^{2} + \left(2 a^{2} + 8 a\right)\cdot 11^{3} + \left(3 a^{3} + 9 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 11^{4} + \left(10 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 11^{5} + \left(9 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 11^{6} + \left(2 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 11^{7} + \left(5 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 11^{8} + \left(10 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 11^{9} + \left(10 a^{3} + a^{2} + 6 a\right)\cdot 11^{10} + \left(2 a^{2} + 9 a\right)\cdot 11^{11} + \left(8 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 11^{12} + \left(10 a^{3} + 9 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 11^{13} + \left(3 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 11^{14} + \left(9 a^{3} + 6 a + 8\right)\cdot 11^{15} + \left(8 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 11^{16} + \left(2 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{17} + \left(3 a^{3} + 4 a^{2} + a + 10\right)\cdot 11^{18} + \left(4 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 11^{19} + \left(9 a^{3} + a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 11^{20} + \left(9 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 11^{21} + \left(a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 11^{22} + \left(4 a^{3} + 10 a\right)\cdot 11^{23} + \left(6 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 11^{24} + \left(5 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 11^{25} + \left(4 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 11^{26} + \left(10 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 11^{27} + \left(4 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 11^{28} + \left(9 a^{3} + 9 a^{2}\right)\cdot 11^{29} + \left(2 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 11^{30} + \left(a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 11^{31} + \left(a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 11^{32} + \left(3 a^{3} + 2 a + 6\right)\cdot 11^{33} + \left(4 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 11^{34} + \left(10 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 11^{35} + \left(5 a^{3} + 6 a^{2} + 3\right)\cdot 11^{36} + 6 a^{3}11^{37} + \left(10 a^{3} + a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 11^{38} + \left(9 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 11^{39} + \left(5 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 11^{40} + \left(2 a^{3} + 7 a^{2} + 8\right)\cdot 11^{41} + \left(9 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 11^{42} + \left(a^{3} + 4\right)\cdot 11^{43} + \left(7 a + 3\right)\cdot 11^{44} + \left(8 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 11^{45} + \left(6 a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 11^{46} + \left(2 a^{3} + 2 a^{2} + 1\right)\cdot 11^{47} + \left(9 a^{3} + 7 a + 8\right)\cdot 11^{48} + \left(2 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 11^{49} + \left(7 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a\right)\cdot 11^{50} +O\left(11^{ 51 }\right)$ $r_{ 4 }$ $=$ $7 a^{3} + a^{2} + 5 a + 2 + \left(3 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 11 + \left(3 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 11^{2} + \left(9 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 11^{3} + \left(2 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 11^{4} + \left(3 a^{2} + 3\right)\cdot 11^{5} + \left(4 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 11^{6} + \left(10 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 11^{7} + \left(a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 11^{8} + \left(6 a^{3} + 10 a^{2} + 7\right)\cdot 11^{9} + \left(9 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 11^{10} + \left(4 a^{3} + 2 a^{2} + 5\right)\cdot 11^{11} + \left(a^{3} + 2 a + 2\right)\cdot 11^{12} + \left(3 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 11^{13} + \left(4 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 11^{14} + \left(a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 11^{15} + \left(5 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 11^{16} + \left(3 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 11^{17} + \left(5 a^{3} + 6 a^{2} + 1\right)\cdot 11^{18} + \left(5 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 11^{19} + \left(7 a^{3} + 5 a^{2} + a + 8\right)\cdot 11^{20} + \left(6 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 11^{21} + \left(7 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 11^{22} + \left(4 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 11^{23} + \left(6 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 11^{24} + \left(10 a^{3} + 10 a + 5\right)\cdot 11^{25} + \left(2 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 11^{26} + \left(6 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 11^{27} + \left(7 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 11^{28} + \left(8 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 11^{29} + \left(9 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 11^{30} + \left(6 a^{3} + 10 a^{2} + a + 3\right)\cdot 11^{31} + \left(9 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 11^{32} + \left(7 a^{3} + 7 a + 7\right)\cdot 11^{33} + \left(8 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 11^{34} + \left(5 a^{3} + 4 a^{2} + a + 10\right)\cdot 11^{35} + \left(7 a^{3} + 7 a^{2}\right)\cdot 11^{36} + \left(7 a^{3} + 10 a^{2} + 8\right)\cdot 11^{37} + \left(5 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 11^{38} + \left(4 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 11^{39} + \left(2 a + 2\right)\cdot 11^{40} + \left(6 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 11^{41} + \left(5 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 11^{42} + \left(a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 11^{43} + \left(7 a^{2} + 5\right)\cdot 11^{44} + \left(3 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a\right)\cdot 11^{45} + \left(7 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 11^{46} + \left(7 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 11^{47} + \left(4 a^{3} + 3 a + 4\right)\cdot 11^{48} + \left(6 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 11^{49} + \left(a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 11^{50} +O\left(11^{ 51 }\right)$ $r_{ 5 }$ $=$ $10 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 4 + \left(2 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 11 + \left(10 a^{3} + 7 a^{2} + a + 7\right)\cdot 11^{2} + \left(8 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 11^{3} + \left(5 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a\right)\cdot 11^{4} + \left(10 a^{3} + a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 11^{5} + \left(3 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 11^{6} + \left(4 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 11^{7} + \left(10 a^{3} + a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 11^{8} + \left(5 a^{3} + a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 11^{9} + \left(7 a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{10} + \left(10 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 11^{11} + \left(7 a^{3} + 9 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 11^{12} + \left(10 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 11^{13} + \left(2 a^{3} + 10 a^{2} + 2\right)\cdot 11^{14} + \left(5 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 11^{15} + \left(4 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 11^{16} + \left(9 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 11^{17} + \left(9 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 11^{18} + \left(9 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 11^{19} + \left(4 a^{3} + a^{2} + 5 a\right)\cdot 11^{20} + \left(2 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 11^{21} + \left(7 a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 11^{22} + \left(3 a^{3} + 8 a^{2} + 7\right)\cdot 11^{23} + \left(5 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a\right)\cdot 11^{24} + \left(5 a^{2} + a + 3\right)\cdot 11^{25} + \left(8 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 11^{26} + \left(4 a^{3} + 9 a^{2}\right)\cdot 11^{27} + 5 a^{3}11^{28} + \left(6 a^{3} + a^{2} + 5 a\right)\cdot 11^{29} + \left(10 a^{3} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{30} + \left(8 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 11^{31} + \left(3 a^{3} + 10 a^{2} + a + 1\right)\cdot 11^{32} + \left(5 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 11^{33} + \left(2 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 11^{34} + \left(5 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 11^{35} + \left(3 a^{3} + 3 a + 5\right)\cdot 11^{36} + \left(4 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 11^{37} + \left(6 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 11^{38} + \left(9 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 11^{39} + \left(9 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 11^{40} + \left(8 a^{3} + a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 11^{41} + \left(3 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 11^{42} + \left(6 a^{3} + 6 a + 8\right)\cdot 11^{43} + \left(4 a^{3} + 9 a + 8\right)\cdot 11^{44} + \left(6 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 11^{45} + \left(10 a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 11^{46} + \left(a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 11^{47} + \left(7 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 11^{48} + \left(4 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 11^{49} + \left(10 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 11^{50} +O\left(11^{ 51 }\right)$ $r_{ 6 }$ $=$ $a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 2 + \left(10 a^{3} + 10 a^{2} + 6\right)\cdot 11 + \left(3 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 11^{2} + \left(6 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 11^{3} + \left(8 a^{3} + 7 a^{2} + 3 a\right)\cdot 11^{4} + \left(5 a^{3} + a^{2} + 8 a\right)\cdot 11^{5} + \left(5 a^{3} + 6 a + 9\right)\cdot 11^{6} + \left(9 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 11^{7} + \left(9 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 11^{8} + \left(a^{2} + a\right)\cdot 11^{9} + \left(3 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 11^{10} + \left(4 a^{3} + a^{2} + 6\right)\cdot 11^{11} + \left(6 a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 11^{12} + \left(4 a^{3} + 10 a^{2} + 8\right)\cdot 11^{13} + \left(7 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 11^{14} + \left(a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 11^{15} + \left(10 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 11^{16} + \left(4 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 11^{17} + \left(9 a^{3} + a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 11^{18} + \left(10 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 11^{19} + \left(4 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 11^{20} + \left(9 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 11^{21} + \left(8 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 11^{22} + \left(a^{3} + 9 a + 10\right)\cdot 11^{23} + \left(a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 11^{24} + \left(2 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 11^{25} + \left(6 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 11^{26} + \left(9 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 11^{27} + \left(4 a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 11^{28} + \left(8 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 11^{29} + \left(3 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 11^{30} + \left(7 a^{3} + a^{2} + 2\right)\cdot 11^{31} + \left(10 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 11^{32} + \left(2 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 11^{33} + \left(a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 11^{34} + \left(a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 11^{35} + \left(7 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 11^{36} + \left(8 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 11^{37} + \left(7 a^{3} + 7 a^{2} + 5\right)\cdot 11^{38} + \left(2 a^{3} + 5 a^{2} + a + 8\right)\cdot 11^{39} + \left(4 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a\right)\cdot 11^{40} + \left(3 a^{3} + 4 a^{2} + 5\right)\cdot 11^{41} + \left(7 a^{2} + 9\right)\cdot 11^{42} + \left(7 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 11^{43} + \left(2 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 11^{44} + \left(4 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 11^{45} + \left(7 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 11^{46} + \left(3 a^{3} + 3 a + 6\right)\cdot 11^{47} + \left(8 a^{3} + 9 a^{2} + 4\right)\cdot 11^{48} + \left(10 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 11^{49} + \left(10 a^{3} + 10 a^{2} + a + 10\right)\cdot 11^{50} +O\left(11^{ 51 }\right)$ $r_{ 7 }$ $=$ $9 a^{3} + a^{2} + 3 a + 6 + \left(3 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 11 + \left(6 a^{3} + 6 a^{2} + a + 2\right)\cdot 11^{2} + \left(8 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 11^{3} + \left(3 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 11^{4} + \left(4 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 11^{5} + \left(3 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a\right)\cdot 11^{6} + \left(3 a^{2} + 7 a\right)\cdot 11^{7} + \left(7 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 11^{8} + \left(6 a^{3} + 3 a + 6\right)\cdot 11^{9} + \left(5 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 11^{10} + \left(8 a^{3} + 10 a^{2} + 7\right)\cdot 11^{11} + \left(8 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 11^{12} + \left(a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 11^{13} + \left(9 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 11^{14} + \left(a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 11^{15} + \left(7 a^{3} + 6\right)\cdot 11^{16} + \left(2 a^{3} + 9 a^{2} + 3\right)\cdot 11^{17} + \left(10 a^{3} + a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 11^{18} + \left(4 a^{3} + a^{2} + 1\right)\cdot 11^{19} + \left(2 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 11^{20} + \left(8 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 11^{21} + \left(7 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 11^{22} + \left(7 a^{3} + a^{2} + a + 3\right)\cdot 11^{23} + \left(7 a^{3} + 8 a^{2} + a + 5\right)\cdot 11^{24} + \left(4 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 11^{25} + \left(5 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 11^{26} + \left(7 a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 11^{27} + \left(a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 11^{28} + \left(6 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 11^{29} + \left(6 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 11^{30} + \left(2 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 11^{31} + \left(6 a^{3} + 10 a^{2} + 2\right)\cdot 11^{32} + \left(3 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 11^{33} + \left(4 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 11^{34} + \left(8 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 11^{35} + \left(10 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 11^{36} + \left(7 a^{3} + 3 a + 2\right)\cdot 11^{37} + \left(a^{3} + 5 a + 1\right)\cdot 11^{38} + \left(8 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 11^{39} + \left(4 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 11^{40} + \left(6 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 11^{41} + \left(10 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 11^{42} + \left(5 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 11^{43} + \left(8 a^{3} + 8 a^{2} + 2\right)\cdot 11^{44} + \left(8 a^{3} + a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 11^{45} + \left(3 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 11^{46} + \left(9 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 11^{47} + \left(9 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 11^{48} + \left(7 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 11^{49} + \left(7 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 11^{50} +O\left(11^{ 51 }\right)$ $r_{ 8 }$ $=$ $5 a^{3} + 5 a^{2} + a + 3 + \left(4 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 11 + \left(8 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 11^{2} + \left(3 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 11^{3} + \left(7 a^{3} + 2 a^{2} + 3\right)\cdot 11^{4} + \left(4 a^{3} + a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 11^{5} + \left(2 a^{3} + a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 11^{6} + \left(4 a^{2} + 7\right)\cdot 11^{7} + \left(4 a^{3} + 10 a + 1\right)\cdot 11^{8} + \left(8 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 11^{9} + \left(a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 11^{10} + \left(5 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 11^{11} + \left(5 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 11^{12} + \left(a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 11^{13} + \left(a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 11^{14} + \left(7 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 11^{15} + \left(10 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 11^{16} + \left(2 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 11^{17} + \left(8 a^{3} + a^{2} + 9 a\right)\cdot 11^{18} + \left(a + 10\right)\cdot 11^{19} + \left(7 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a\right)\cdot 11^{20} + \left(8 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 11^{21} + \left(8 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 11^{22} + \left(7 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 11^{23} + \left(6 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 11^{24} + \left(4 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 11^{25} + \left(7 a^{3} + 4 a^{2} + a + 3\right)\cdot 11^{26} + \left(9 a^{3} + 6 a^{2}\right)\cdot 11^{27} + \left(7 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 11^{28} + \left(6 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a\right)\cdot 11^{29} + \left(2 a^{3} + 4 a^{2} + a + 9\right)\cdot 11^{30} + \left(5 a^{3} + 3 a^{2} + 5\right)\cdot 11^{31} + \left(4 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 11^{32} + \left(8 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 11^{33} + \left(7 a^{3} + 3 a^{2} + a + 3\right)\cdot 11^{34} + \left(6 a^{3} + 2 a^{2} + a + 4\right)\cdot 11^{35} + \left(7 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 11^{36} + \left(8 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 11^{37} + \left(6 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a\right)\cdot 11^{38} + \left(7 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 11^{39} + \left(6 a^{3} + a^{2} + 9 a\right)\cdot 11^{40} + \left(6 a^{3} + 7 a^{2} + a + 7\right)\cdot 11^{41} + \left(5 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 11^{42} + \left(7 a^{3} + 10 a + 5\right)\cdot 11^{43} + \left(10 a^{3} + a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 11^{44} + \left(5 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 11^{45} + \left(10 a^{3} + 3 a + 7\right)\cdot 11^{46} + \left(a^{3} + 9 a^{2} + 9 a\right)\cdot 11^{47} + \left(10 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 11^{48} + \left(7 a^{3} + 5 a^{2} + 9\right)\cdot 11^{49} + \left(a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 11^{50} +O\left(11^{ 51 }\right)$ $r_{ 9 }$ $=$ $6 + 2\cdot 11 + 2\cdot 11^{2} + 11^{3} + 7\cdot 11^{4} + 4\cdot 11^{5} + 11^{6} + 11^{7} + 7\cdot 11^{8} + 4\cdot 11^{10} + 2\cdot 11^{11} + 8\cdot 11^{12} + 4\cdot 11^{14} + 9\cdot 11^{16} + 10\cdot 11^{17} + 2\cdot 11^{18} + 2\cdot 11^{19} + 6\cdot 11^{20} + 10\cdot 11^{21} + 10\cdot 11^{22} + 10\cdot 11^{23} + 5\cdot 11^{24} + 6\cdot 11^{25} + 9\cdot 11^{26} + 4\cdot 11^{27} + 6\cdot 11^{29} + 4\cdot 11^{32} + 10\cdot 11^{33} + 6\cdot 11^{34} + 6\cdot 11^{35} + 11^{36} + 11^{37} + 5\cdot 11^{38} + 8\cdot 11^{39} + 9\cdot 11^{40} + 5\cdot 11^{42} + 8\cdot 11^{43} + 7\cdot 11^{44} + 2\cdot 11^{45} + 4\cdot 11^{46} + 6\cdot 11^{47} + 8\cdot 11^{48} + 5\cdot 11^{49} + 10\cdot 11^{50} +O\left(11^{ 51 }\right)$

### Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 9 }$

 Cycle notation $(1,5,7)(2,3,4)(6,9,8)$ $(1,7,5)(2,3,4)$ $(1,4,2,5)(3,9,7,6)$ $(3,5,6)(4,9,7)$ $(1,8,2)(3,5,6)(4,7,9)$ $(1,9,6,3,8,5,7,4)$

### Character values on conjugacy classes

 Size Order Action on $r_1, \ldots, r_{ 9 }$ Character value $1$ $1$ $()$ $8$ $9$ $2$ $(1,8)(3,4)(5,9)(6,7)$ $0$ $36$ $2$ $(1,9)(5,8)(6,7)$ $2$ $8$ $3$ $(1,5,7)(2,3,4)(6,9,8)$ $-1$ $24$ $3$ $(2,6,7)(4,5,8)$ $2$ $48$ $3$ $(1,8,4)(2,5,6)(3,7,9)$ $-1$ $54$ $4$ $(1,6,8,7)(3,5,4,9)$ $0$ $72$ $6$ $(1,6,9,7,3,2)(4,8)$ $0$ $72$ $6$ $(1,2,9,7,3,6)(4,8,5)$ $-1$ $54$ $8$ $(1,9,6,3,8,5,7,4)$ $0$ $54$ $8$ $(1,5,6,4,8,9,7,3)$ $0$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.