Properties

Label 8.2e6_3e10_109e2.12t213.1c1
Dimension 8
Group $S_3\wr S_3$
Conductor $ 2^{6} \cdot 3^{10} \cdot 109^{2}$
Root number 1
Frobenius-Schur indicator 1

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Basic invariants

Dimension:$8$
Group:$S_3\wr S_3$
Conductor:$44899914816= 2^{6} \cdot 3^{10} \cdot 109^{2} $
Artin number field: Splitting field of $f= x^{9} - 4 x^{8} + 5 x^{7} + 5 x^{6} - 17 x^{5} + 10 x^{4} + 10 x^{3} - 13 x^{2} + 5 x - 3 $ over $\Q$
Size of Galois orbit: 1
Smallest containing permutation representation: 12T213
Parity: Even
Determinant: 1.1.1t1.1c1

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 61 }$ to precision 128.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 61 }$: $ x^{3} + 7 x + 59 $
Roots:
$r_{ 1 }$ $=$ $ 40 a^{2} + 40 a + 44 + \left(25 a^{2} + 56 a + 22\right)\cdot 61 + \left(22 a^{2} + 34 a + 6\right)\cdot 61^{2} + \left(55 a^{2} + a + 33\right)\cdot 61^{3} + \left(21 a^{2} + 18 a + 55\right)\cdot 61^{4} + \left(3 a^{2} + 40 a + 9\right)\cdot 61^{5} + \left(58 a^{2} + 22 a + 32\right)\cdot 61^{6} + \left(23 a^{2} + 39 a + 36\right)\cdot 61^{7} + \left(40 a^{2} + 16 a + 58\right)\cdot 61^{8} + \left(59 a^{2} + 53 a + 46\right)\cdot 61^{9} + \left(28 a^{2} + 41 a + 10\right)\cdot 61^{10} + \left(23 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 61^{11} + \left(7 a^{2} + 60 a + 56\right)\cdot 61^{12} + \left(50 a^{2} + 16 a + 29\right)\cdot 61^{13} + \left(39 a^{2} + 42 a + 15\right)\cdot 61^{14} + \left(19 a^{2} + 21 a + 26\right)\cdot 61^{15} + \left(58 a^{2} + 17 a + 33\right)\cdot 61^{16} + \left(39 a^{2} + 18 a + 32\right)\cdot 61^{17} + \left(14 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 61^{18} + \left(41 a^{2} + 32 a + 2\right)\cdot 61^{19} + \left(45 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 61^{20} + \left(35 a^{2} + 48 a + 41\right)\cdot 61^{21} + \left(37 a^{2} + 48 a + 34\right)\cdot 61^{22} + \left(33 a^{2} + 39 a + 2\right)\cdot 61^{23} + \left(26 a^{2} + 7 a + 22\right)\cdot 61^{24} + \left(41 a^{2} + 5 a + 48\right)\cdot 61^{25} + \left(12 a^{2} + 13 a + 28\right)\cdot 61^{26} + \left(17 a^{2} + 50 a + 22\right)\cdot 61^{27} + \left(43 a^{2} + 18 a + 33\right)\cdot 61^{28} + \left(59 a^{2} + 6 a + 46\right)\cdot 61^{29} + \left(51 a^{2} + 7 a + 32\right)\cdot 61^{30} + \left(5 a^{2} + 27 a + 40\right)\cdot 61^{31} + \left(45 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 61^{32} + \left(46 a^{2} + 33 a + 42\right)\cdot 61^{33} + \left(21 a^{2} + 60 a + 59\right)\cdot 61^{34} + \left(23 a^{2} + 53 a + 43\right)\cdot 61^{35} + \left(37 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 61^{36} + \left(33 a^{2} + 35 a + 26\right)\cdot 61^{37} + \left(25 a^{2} + 8 a\right)\cdot 61^{38} + \left(27 a^{2} + 46 a + 30\right)\cdot 61^{39} + \left(26 a^{2} + 21 a + 51\right)\cdot 61^{40} + \left(34 a^{2} + 14 a + 19\right)\cdot 61^{41} + \left(34 a^{2} + 31 a + 10\right)\cdot 61^{42} + \left(20 a^{2} + 49 a + 4\right)\cdot 61^{43} + \left(17 a^{2} + 18 a + 7\right)\cdot 61^{44} + \left(5 a^{2} + 48 a + 40\right)\cdot 61^{45} + \left(14 a^{2} + 17 a\right)\cdot 61^{46} + \left(56 a^{2} + 23 a + 37\right)\cdot 61^{47} + \left(50 a^{2} + 19 a + 5\right)\cdot 61^{48} + \left(40 a + 51\right)\cdot 61^{49} + \left(19 a^{2} + 16 a + 55\right)\cdot 61^{50} + \left(45 a^{2} + 38 a + 25\right)\cdot 61^{51} + \left(55 a^{2} + 56 a + 49\right)\cdot 61^{52} + \left(51 a^{2} + 7 a + 23\right)\cdot 61^{53} + \left(27 a^{2} + 6 a + 41\right)\cdot 61^{54} + \left(48 a^{2} + 8 a + 37\right)\cdot 61^{55} + \left(26 a^{2} + 22 a + 17\right)\cdot 61^{56} + \left(8 a^{2} + 17 a + 1\right)\cdot 61^{57} + \left(28 a^{2} + 56 a + 25\right)\cdot 61^{58} + \left(14 a^{2} + 48 a + 27\right)\cdot 61^{59} + \left(18 a^{2} + 32 a + 29\right)\cdot 61^{60} + \left(26 a^{2} + 60 a + 41\right)\cdot 61^{61} + \left(28 a^{2} + 28 a + 14\right)\cdot 61^{62} + \left(27 a^{2} + 7 a + 42\right)\cdot 61^{63} + \left(15 a^{2} + 57 a + 50\right)\cdot 61^{64} + \left(19 a^{2} + 22 a + 7\right)\cdot 61^{65} + \left(27 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 61^{66} + \left(5 a^{2} + 7 a + 31\right)\cdot 61^{67} + \left(57 a^{2} + 21 a + 45\right)\cdot 61^{68} + \left(49 a^{2} + 58 a + 11\right)\cdot 61^{69} + \left(18 a^{2} + a + 30\right)\cdot 61^{70} + \left(54 a^{2} + 52 a + 43\right)\cdot 61^{71} + \left(9 a^{2} + 43 a + 27\right)\cdot 61^{72} + \left(32 a^{2} + 26 a + 45\right)\cdot 61^{73} + \left(9 a^{2} + 32 a + 35\right)\cdot 61^{74} + \left(17 a^{2} + 25 a + 43\right)\cdot 61^{75} + \left(12 a^{2} + 21 a + 43\right)\cdot 61^{76} + \left(37 a^{2} + 18 a + 45\right)\cdot 61^{77} + \left(39 a^{2} + 12 a + 37\right)\cdot 61^{78} + \left(30 a + 16\right)\cdot 61^{79} + \left(20 a^{2} + a + 45\right)\cdot 61^{80} + \left(39 a^{2} + 38 a + 59\right)\cdot 61^{81} + \left(33 a^{2} + 14 a + 21\right)\cdot 61^{82} + \left(4 a^{2} + 21 a + 39\right)\cdot 61^{83} + \left(53 a^{2} + 18 a + 29\right)\cdot 61^{84} + \left(27 a^{2} + 59 a + 9\right)\cdot 61^{85} + \left(10 a^{2} + 46 a + 9\right)\cdot 61^{86} + \left(56 a^{2} + 39 a + 35\right)\cdot 61^{87} + \left(29 a^{2} + 38 a + 42\right)\cdot 61^{88} + \left(27 a^{2} + 10 a + 14\right)\cdot 61^{89} + \left(57 a^{2} + 4 a + 39\right)\cdot 61^{90} + \left(14 a^{2} + 39 a + 41\right)\cdot 61^{91} + \left(31 a^{2} + 50 a + 18\right)\cdot 61^{92} + \left(56 a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 61^{93} + \left(52 a^{2} + 3 a + 32\right)\cdot 61^{94} + \left(18 a^{2} + 36 a + 8\right)\cdot 61^{95} + \left(15 a^{2} + 54 a + 48\right)\cdot 61^{96} + \left(50 a^{2} + 16 a + 27\right)\cdot 61^{97} + \left(27 a^{2} + 32 a + 36\right)\cdot 61^{98} + \left(16 a^{2} + 40 a + 52\right)\cdot 61^{99} + \left(35 a^{2} + 29 a + 26\right)\cdot 61^{100} + \left(28 a^{2} + 11 a + 46\right)\cdot 61^{101} + \left(60 a^{2} + 37 a + 47\right)\cdot 61^{102} + \left(5 a^{2} + 48 a + 53\right)\cdot 61^{103} + \left(60 a^{2} + 26 a + 12\right)\cdot 61^{104} + \left(4 a^{2} + 39 a + 56\right)\cdot 61^{105} + \left(53 a^{2} + 47 a + 47\right)\cdot 61^{106} + \left(26 a^{2} + 29 a + 48\right)\cdot 61^{107} + \left(42 a^{2} + 43 a + 4\right)\cdot 61^{108} + \left(8 a^{2} + 29 a + 55\right)\cdot 61^{109} + \left(26 a^{2} + 7 a + 29\right)\cdot 61^{110} + \left(16 a^{2} + 47 a + 55\right)\cdot 61^{111} + \left(49 a^{2} + 46 a + 33\right)\cdot 61^{112} + \left(51 a^{2} + 14 a + 60\right)\cdot 61^{113} + \left(47 a^{2} + 30 a + 52\right)\cdot 61^{114} + \left(10 a^{2} + 21 a + 38\right)\cdot 61^{115} + \left(51 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 61^{116} + \left(34 a^{2} + 23 a + 32\right)\cdot 61^{117} + \left(46 a^{2} + 46 a + 4\right)\cdot 61^{118} + \left(35 a^{2} + 15 a + 35\right)\cdot 61^{119} + \left(48 a^{2} + 58 a + 39\right)\cdot 61^{120} + \left(36 a^{2} + 24 a + 40\right)\cdot 61^{121} + \left(5 a^{2} + 20 a + 60\right)\cdot 61^{122} + \left(15 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 61^{123} + \left(19 a^{2} + 35 a + 38\right)\cdot 61^{124} + \left(5 a^{2} + 36 a + 7\right)\cdot 61^{125} + \left(46 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 61^{126} + \left(53 a^{2} + 27 a + 60\right)\cdot 61^{127} +O\left(61^{ 128 }\right)$
$r_{ 2 }$ $=$ $ 5 a^{2} + 39 a + 35 + \left(25 a^{2} + 21 a + 40\right)\cdot 61 + \left(47 a^{2} + 51 a + 21\right)\cdot 61^{2} + \left(23 a^{2} + 21 a + 4\right)\cdot 61^{3} + \left(42 a^{2} + 53 a + 13\right)\cdot 61^{4} + \left(52 a^{2} + 24 a\right)\cdot 61^{5} + \left(59 a^{2} + 41 a + 6\right)\cdot 61^{6} + \left(13 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 61^{7} + \left(44 a^{2} + 60 a + 41\right)\cdot 61^{8} + \left(53 a^{2} + 5\right)\cdot 61^{9} + \left(5 a^{2} + 58 a + 21\right)\cdot 61^{10} + \left(23 a^{2} + 2 a + 53\right)\cdot 61^{11} + \left(57 a^{2} + 6 a\right)\cdot 61^{12} + \left(16 a^{2} + 33 a + 60\right)\cdot 61^{13} + \left(56 a^{2} + 56 a + 27\right)\cdot 61^{14} + \left(20 a^{2} + 60 a + 52\right)\cdot 61^{15} + \left(15 a^{2} + 41 a + 38\right)\cdot 61^{16} + \left(4 a^{2} + 40 a + 51\right)\cdot 61^{17} + \left(41 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 61^{18} + \left(57 a^{2} + 23 a + 40\right)\cdot 61^{19} + \left(56 a^{2} + 5 a + 35\right)\cdot 61^{20} + \left(32 a^{2} + 54 a + 51\right)\cdot 61^{21} + \left(18 a^{2} + 22 a + 6\right)\cdot 61^{22} + \left(a^{2} + 17 a + 28\right)\cdot 61^{23} + \left(31 a^{2} + 28 a + 30\right)\cdot 61^{24} + \left(30 a^{2} + 44 a + 22\right)\cdot 61^{25} + \left(21 a^{2} + 17 a + 42\right)\cdot 61^{26} + \left(4 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 61^{27} + \left(19 a^{2} + 20 a + 22\right)\cdot 61^{28} + \left(47 a^{2} + 48 a + 7\right)\cdot 61^{29} + \left(13 a^{2} + 2 a + 45\right)\cdot 61^{30} + \left(29 a^{2} + 35 a + 24\right)\cdot 61^{31} + \left(10 a^{2} + 19 a + 30\right)\cdot 61^{32} + \left(58 a^{2} + 54 a + 26\right)\cdot 61^{33} + \left(52 a^{2} + 40 a + 47\right)\cdot 61^{34} + \left(a^{2} + 54 a + 10\right)\cdot 61^{35} + \left(49 a^{2} + 7 a + 23\right)\cdot 61^{36} + \left(55 a^{2} + 10 a + 32\right)\cdot 61^{37} + \left(49 a^{2} + 17 a + 20\right)\cdot 61^{38} + \left(42 a^{2} + 54 a + 56\right)\cdot 61^{39} + \left(13 a^{2} + 6 a + 56\right)\cdot 61^{40} + \left(29 a^{2} + 42 a + 47\right)\cdot 61^{41} + \left(52 a^{2} + 30 a + 48\right)\cdot 61^{42} + \left(31 a^{2} + 25 a + 59\right)\cdot 61^{43} + \left(12 a^{2} + 45 a\right)\cdot 61^{44} + \left(25 a^{2} + 17 a + 50\right)\cdot 61^{45} + \left(8 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 61^{46} + \left(42 a^{2} + 18 a + 53\right)\cdot 61^{47} + \left(34 a^{2} + 47 a + 31\right)\cdot 61^{48} + \left(21 a^{2} + 57 a + 4\right)\cdot 61^{49} + \left(47 a^{2} + 9 a + 38\right)\cdot 61^{50} + \left(25 a^{2} + 38 a + 30\right)\cdot 61^{51} + \left(7 a^{2} + 45 a + 11\right)\cdot 61^{52} + \left(17 a^{2} + 9 a + 40\right)\cdot 61^{53} + \left(34 a^{2} + 23 a + 54\right)\cdot 61^{54} + \left(52 a^{2} + 20 a + 43\right)\cdot 61^{55} + \left(28 a^{2} + 59 a + 2\right)\cdot 61^{56} + \left(27 a^{2} + 42 a + 1\right)\cdot 61^{57} + \left(54 a^{2} + 10\right)\cdot 61^{58} + \left(8 a^{2} + 34 a + 14\right)\cdot 61^{59} + \left(50 a^{2} + 57 a + 52\right)\cdot 61^{60} + \left(3 a^{2} + 34 a + 1\right)\cdot 61^{61} + \left(55 a^{2} + 37 a + 12\right)\cdot 61^{62} + \left(5 a^{2} + 4 a + 21\right)\cdot 61^{63} + \left(36 a^{2} + 55 a + 34\right)\cdot 61^{64} + \left(36 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 61^{65} + \left(14 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 61^{66} + \left(5 a^{2} + 53 a + 37\right)\cdot 61^{67} + \left(29 a^{2} + 26 a + 4\right)\cdot 61^{68} + \left(22 a^{2} + 2 a + 34\right)\cdot 61^{69} + \left(48 a^{2} + 33 a + 53\right)\cdot 61^{70} + \left(31 a^{2} + 59 a + 12\right)\cdot 61^{71} + \left(42 a^{2} + 32 a + 40\right)\cdot 61^{72} + \left(23 a^{2} + 54 a + 1\right)\cdot 61^{73} + \left(44 a^{2} + 59 a\right)\cdot 61^{74} + \left(26 a^{2} + 12 a + 55\right)\cdot 61^{75} + \left(36 a^{2} + 23 a + 32\right)\cdot 61^{76} + \left(55 a^{2} + 59 a + 37\right)\cdot 61^{77} + \left(13 a^{2} + 6 a + 35\right)\cdot 61^{78} + \left(48 a^{2} + 30 a + 53\right)\cdot 61^{79} + \left(20 a^{2} + 51 a + 44\right)\cdot 61^{80} + \left(37 a^{2} + 51 a + 5\right)\cdot 61^{81} + \left(58 a^{2} + 32 a + 39\right)\cdot 61^{82} + \left(32 a^{2} + 50 a + 21\right)\cdot 61^{83} + \left(32 a^{2} + 21 a + 32\right)\cdot 61^{84} + \left(4 a^{2} + 30 a + 47\right)\cdot 61^{85} + \left(40 a^{2} + 42 a + 45\right)\cdot 61^{86} + \left(58 a^{2} + 22 a + 26\right)\cdot 61^{87} + \left(60 a^{2} + 36 a + 20\right)\cdot 61^{88} + \left(9 a^{2} + 53 a + 40\right)\cdot 61^{89} + \left(21 a^{2} + 8 a + 31\right)\cdot 61^{90} + \left(14 a^{2} + 46 a + 38\right)\cdot 61^{91} + \left(25 a^{2} + 29 a + 53\right)\cdot 61^{92} + \left(29 a^{2} + 32 a + 60\right)\cdot 61^{93} + \left(57 a^{2} + a + 21\right)\cdot 61^{94} + \left(2 a^{2} + 43 a + 10\right)\cdot 61^{95} + \left(32 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 61^{96} + \left(4 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 61^{97} + \left(43 a^{2} + a + 46\right)\cdot 61^{98} + \left(14 a^{2} + 57 a + 10\right)\cdot 61^{99} + \left(35 a^{2} + 40 a + 24\right)\cdot 61^{100} + \left(3 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 61^{101} + \left(5 a^{2} + 15 a + 50\right)\cdot 61^{102} + \left(41 a^{2} + 3 a\right)\cdot 61^{103} + \left(42 a^{2} + 58 a + 57\right)\cdot 61^{104} + \left(16 a^{2} + 55 a + 57\right)\cdot 61^{105} + \left(19 a^{2} + 13 a + 50\right)\cdot 61^{106} + \left(7 a^{2} + 28 a + 12\right)\cdot 61^{107} + \left(4 a^{2} + 38 a + 20\right)\cdot 61^{108} + \left(18 a^{2} + 30 a + 13\right)\cdot 61^{109} + \left(29 a^{2} + 23 a + 55\right)\cdot 61^{110} + \left(9 a^{2} + a + 7\right)\cdot 61^{111} + \left(18 a^{2} + 19 a + 42\right)\cdot 61^{112} + \left(60 a^{2} + 60 a + 32\right)\cdot 61^{113} + \left(37 a^{2} + 36 a + 21\right)\cdot 61^{114} + \left(56 a^{2} + 11 a + 48\right)\cdot 61^{115} + \left(5 a^{2} + 46 a + 28\right)\cdot 61^{116} + \left(11 a^{2} + 56 a + 29\right)\cdot 61^{117} + \left(54 a^{2} + 55 a + 21\right)\cdot 61^{118} + \left(47 a^{2} + 28 a + 60\right)\cdot 61^{119} + \left(14 a^{2} + 41 a + 59\right)\cdot 61^{120} + \left(42 a^{2} + 24 a + 57\right)\cdot 61^{121} + \left(26 a^{2} + 20 a + 25\right)\cdot 61^{122} + \left(51 a + 49\right)\cdot 61^{123} + \left(24 a^{2} + 58 a + 5\right)\cdot 61^{124} + \left(33 a^{2} + 7 a + 49\right)\cdot 61^{125} + \left(35 a^{2} + 26 a + 30\right)\cdot 61^{126} + \left(13 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 61^{127} +O\left(61^{ 128 }\right)$
$r_{ 3 }$ $=$ $ 19 a^{2} + 16 a + 7 + \left(50 a^{2} + 59 a + 36\right)\cdot 61 + \left(56 a^{2} + 60 a + 24\right)\cdot 61^{2} + \left(5 a^{2} + 51 a + 46\right)\cdot 61^{3} + \left(51 a^{2} + 30 a + 8\right)\cdot 61^{4} + \left(51 a^{2} + 16 a + 53\right)\cdot 61^{5} + \left(a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 61^{6} + \left(17 a^{2} + 35 a + 4\right)\cdot 61^{7} + \left(45 a^{2} + 34 a\right)\cdot 61^{8} + \left(42 a^{2} + 33 a + 29\right)\cdot 61^{9} + \left(26 a^{2} + 24 a + 20\right)\cdot 61^{10} + \left(10 a^{2} + 60 a + 9\right)\cdot 61^{11} + \left(46 a^{2} + 56 a + 54\right)\cdot 61^{12} + \left(33 a^{2} + 19 a + 34\right)\cdot 61^{13} + \left(43 a^{2} + 28 a + 12\right)\cdot 61^{14} + \left(26 a^{2} + 11 a + 59\right)\cdot 61^{15} + \left(8 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 61^{16} + \left(38 a^{2} + 12 a + 24\right)\cdot 61^{17} + \left(55 a^{2} + 55 a + 3\right)\cdot 61^{18} + \left(10 a^{2} + 21 a + 3\right)\cdot 61^{19} + \left(2 a^{2} + 31 a + 48\right)\cdot 61^{20} + \left(32 a^{2} + 60 a + 23\right)\cdot 61^{21} + \left(55 a^{2} + 4 a + 57\right)\cdot 61^{22} + \left(58 a^{2} + 32 a + 18\right)\cdot 61^{23} + \left(32 a^{2} + 55 a + 11\right)\cdot 61^{24} + \left(53 a^{2} + 47 a + 3\right)\cdot 61^{25} + \left(48 a^{2} + 44 a + 35\right)\cdot 61^{26} + \left(42 a^{2} + 52 a + 60\right)\cdot 61^{27} + \left(25 a^{2} + 46 a + 52\right)\cdot 61^{28} + \left(31 a^{2} + 56 a + 56\right)\cdot 61^{29} + \left(8 a^{2} + 25 a + 12\right)\cdot 61^{30} + \left(11 a^{2} + 44 a + 4\right)\cdot 61^{31} + \left(4 a^{2} + 34 a + 16\right)\cdot 61^{32} + \left(23 a^{2} + 57 a + 33\right)\cdot 61^{33} + \left(12 a^{2} + 36 a + 56\right)\cdot 61^{34} + \left(23 a^{2} + 34 a + 22\right)\cdot 61^{35} + \left(12 a^{2} + 49 a + 35\right)\cdot 61^{36} + \left(a^{2} + 54 a + 37\right)\cdot 61^{37} + \left(50 a^{2} + 31 a + 53\right)\cdot 61^{38} + \left(25 a^{2} + 30 a + 42\right)\cdot 61^{39} + \left(7 a^{2} + 49 a + 23\right)\cdot 61^{40} + \left(23 a^{2} + 47 a + 48\right)\cdot 61^{41} + \left(39 a^{2} + 43 a + 32\right)\cdot 61^{42} + \left(18 a^{2} + 15\right)\cdot 61^{43} + \left(34 a^{2} + 17 a + 25\right)\cdot 61^{44} + \left(10 a^{2} + 43 a + 44\right)\cdot 61^{45} + \left(25 a^{2} + 59 a + 11\right)\cdot 61^{46} + \left(37 a^{2} + 37 a + 10\right)\cdot 61^{47} + \left(49 a^{2} + 43 a + 40\right)\cdot 61^{48} + \left(20 a + 30\right)\cdot 61^{49} + \left(16 a^{2} + 34 a + 21\right)\cdot 61^{50} + \left(37 a^{2} + 14 a + 49\right)\cdot 61^{51} + \left(56 a^{2} + 44 a + 12\right)\cdot 61^{52} + \left(41 a^{2} + 58 a + 38\right)\cdot 61^{53} + \left(30 a^{2} + 28 a + 54\right)\cdot 61^{54} + \left(56 a^{2} + 14 a + 54\right)\cdot 61^{55} + \left(58 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 61^{56} + \left(10 a^{2} + 52 a + 13\right)\cdot 61^{57} + \left(3 a^{2} + 38 a + 10\right)\cdot 61^{58} + \left(19 a^{2} + 8\right)\cdot 61^{59} + \left(43 a^{2} + 38 a + 4\right)\cdot 61^{60} + \left(55 a^{2} + 47 a + 16\right)\cdot 61^{61} + \left(20 a^{2} + 58 a + 20\right)\cdot 61^{62} + \left(49 a^{2} + 11 a + 22\right)\cdot 61^{63} + \left(29 a^{2} + 17 a + 36\right)\cdot 61^{64} + \left(7 a^{2} + 28 a + 54\right)\cdot 61^{65} + \left(41 a^{2} + 2 a + 34\right)\cdot 61^{66} + \left(3 a^{2} + 20 a + 2\right)\cdot 61^{67} + \left(40 a^{2} + 45 a + 27\right)\cdot 61^{68} + \left(36 a^{2} + 25 a + 51\right)\cdot 61^{69} + \left(38 a^{2} + 22 a + 20\right)\cdot 61^{70} + \left(37 a^{2} + 31 a + 6\right)\cdot 61^{71} + \left(36 a^{2} + 58 a + 10\right)\cdot 61^{72} + \left(23 a^{2} + 33 a + 46\right)\cdot 61^{73} + \left(19 a^{2} + 30 a + 20\right)\cdot 61^{74} + \left(27 a^{2} + 21 a + 50\right)\cdot 61^{75} + \left(40 a^{2} + 13 a + 32\right)\cdot 61^{76} + \left(15 a^{2} + a + 26\right)\cdot 61^{77} + \left(15 a^{2} + 20 a + 5\right)\cdot 61^{78} + \left(12 a^{2} + 48 a + 30\right)\cdot 61^{79} + \left(16 a^{2} + 16 a + 27\right)\cdot 61^{80} + \left(29 a^{2} + 30 a + 53\right)\cdot 61^{81} + \left(14 a^{2} + 49 a + 13\right)\cdot 61^{82} + \left(3 a^{2} + a + 33\right)\cdot 61^{83} + \left(16 a^{2} + 19\right)\cdot 61^{84} + \left(31 a^{2} + 8 a + 25\right)\cdot 61^{85} + \left(55 a^{2} + 33 a + 36\right)\cdot 61^{86} + \left(13 a^{2} + 38 a\right)\cdot 61^{87} + \left(42 a^{2} + 18 a + 39\right)\cdot 61^{88} + \left(29 a^{2} + 38 a + 4\right)\cdot 61^{89} + \left(24 a^{2} + 48 a + 48\right)\cdot 61^{90} + \left(39 a^{2} + 46 a + 33\right)\cdot 61^{91} + \left(46 a^{2} + 24 a + 29\right)\cdot 61^{92} + \left(11 a^{2} + 49\right)\cdot 61^{93} + \left(21 a^{2} + 36 a + 46\right)\cdot 61^{94} + \left(58 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 61^{95} + \left(3 a^{2} + 16 a + 56\right)\cdot 61^{96} + \left(9 a^{2} + 14 a + 38\right)\cdot 61^{97} + \left(20 a^{2} + 29 a\right)\cdot 61^{98} + \left(27 a + 18\right)\cdot 61^{99} + \left(17 a^{2} + 19 a + 43\right)\cdot 61^{100} + \left(53 a^{2} + 43 a + 39\right)\cdot 61^{101} + \left(32 a^{2} + 33 a + 20\right)\cdot 61^{102} + \left(3 a^{2} + 32 a + 42\right)\cdot 61^{103} + \left(25 a^{2} + 46 a + 52\right)\cdot 61^{104} + \left(13 a^{2} + 35 a + 54\right)\cdot 61^{105} + \left(7 a^{2} + 26 a + 16\right)\cdot 61^{106} + \left(12 a^{2} + 54 a\right)\cdot 61^{107} + \left(6 a^{2} + 39 a + 39\right)\cdot 61^{108} + \left(12 a^{2} + 36 a + 50\right)\cdot 61^{109} + \left(48 a^{2} + 39 a + 10\right)\cdot 61^{110} + \left(49 a + 23\right)\cdot 61^{111} + \left(33 a^{2} + 17 a + 39\right)\cdot 61^{112} + \left(30 a^{2} + 23 a + 42\right)\cdot 61^{113} + \left(35 a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 61^{114} + \left(54 a^{2} + 24 a + 60\right)\cdot 61^{115} + \left(17 a^{2} + 43 a + 13\right)\cdot 61^{116} + \left(25 a^{2} + 50 a + 28\right)\cdot 61^{117} + \left(a^{2} + 27 a + 17\right)\cdot 61^{118} + \left(15 a^{2} + a + 60\right)\cdot 61^{119} + \left(22 a^{2} + 18 a + 58\right)\cdot 61^{120} + \left(50 a^{2} + 25 a + 42\right)\cdot 61^{121} + \left(48 a^{2} + 11 a + 38\right)\cdot 61^{122} + \left(49 a^{2} + 19 a + 27\right)\cdot 61^{123} + \left(37 a^{2} + 24 a + 43\right)\cdot 61^{124} + \left(44 a^{2} + 55 a + 48\right)\cdot 61^{125} + \left(57 a^{2} + 24 a + 15\right)\cdot 61^{126} + \left(43 a^{2} + 38 a + 14\right)\cdot 61^{127} +O\left(61^{ 128 }\right)$
$r_{ 4 }$ $=$ $ 51 a^{2} + 47 a + 45 + \left(55 a^{2} + 46 a + 47\right)\cdot 61 + \left(34 a^{2} + 26 a + 33\right)\cdot 61^{2} + \left(8 a^{2} + a + 46\right)\cdot 61^{3} + \left(35 a^{2} + 48 a + 49\right)\cdot 61^{4} + \left(53 a^{2} + 58 a + 33\right)\cdot 61^{5} + \left(27 a^{2} + 47 a + 52\right)\cdot 61^{6} + \left(51 a^{2} + 21 a + 33\right)\cdot 61^{7} + \left(18 a^{2} + 31 a + 37\right)\cdot 61^{8} + \left(11 a^{2} + 28 a\right)\cdot 61^{9} + \left(18 a^{2} + 30 a + 53\right)\cdot 61^{10} + \left(53 a^{2} + 6 a + 57\right)\cdot 61^{11} + \left(a^{2} + 31 a + 9\right)\cdot 61^{12} + \left(27 a^{2} + 37 a + 44\right)\cdot 61^{13} + \left(27 a^{2} + 36 a + 24\right)\cdot 61^{14} + \left(51 a^{2} + 20 a + 25\right)\cdot 61^{15} + \left(40 a^{2} + 46 a + 55\right)\cdot 61^{16} + \left(35 a^{2} + 19 a + 3\right)\cdot 61^{17} + \left(27 a^{2} + 14 a + 44\right)\cdot 61^{18} + \left(54 a^{2} + 46 a + 22\right)\cdot 61^{19} + \left(30 a^{2} + 10 a + 31\right)\cdot 61^{20} + \left(23 a^{2} + 25 a + 32\right)\cdot 61^{21} + \left(43 a^{2} + 54 a + 36\right)\cdot 61^{22} + \left(57 a^{2} + 54 a + 35\right)\cdot 61^{23} + \left(60 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 61^{24} + \left(6 a^{2} + 22 a + 33\right)\cdot 61^{25} + \left(8 a^{2} + 26 a + 24\right)\cdot 61^{26} + \left(49 a^{2} + 26 a + 32\right)\cdot 61^{27} + \left(35 a^{2} + 18 a + 36\right)\cdot 61^{28} + \left(44 a^{2} + 3 a + 43\right)\cdot 61^{29} + \left(54 a^{2} + 11 a + 16\right)\cdot 61^{30} + \left(40 a^{2} + 47 a + 45\right)\cdot 61^{31} + \left(49 a^{2} + 44 a + 9\right)\cdot 61^{32} + \left(43 a^{2} + 56 a + 56\right)\cdot 61^{33} + \left(6 a^{2} + 57 a + 28\right)\cdot 61^{34} + \left(40 a^{2} + 40 a + 26\right)\cdot 61^{35} + \left(2 a^{2} + 54 a + 57\right)\cdot 61^{36} + \left(40 a^{2} + 38 a + 16\right)\cdot 61^{37} + \left(13 a^{2} + 41 a + 49\right)\cdot 61^{38} + \left(43 a^{2} + 6 a + 56\right)\cdot 61^{39} + \left(58 a^{2} + 28 a + 47\right)\cdot 61^{40} + \left(8 a^{2} + 41 a + 6\right)\cdot 61^{41} + \left(41 a^{2} + 55 a + 51\right)\cdot 61^{42} + \left(5 a^{2} + 29 a + 3\right)\cdot 61^{43} + \left(a^{2} + 14 a + 55\right)\cdot 61^{44} + \left(49 a^{2} + 60 a + 36\right)\cdot 61^{45} + \left(41 a^{2} + 24 a + 52\right)\cdot 61^{46} + \left(30 a^{2} + 47 a + 3\right)\cdot 61^{47} + \left(55 a^{2} + 21 a + 11\right)\cdot 61^{48} + \left(a^{2} + 49 a + 17\right)\cdot 61^{49} + \left(54 a^{2} + 43 a\right)\cdot 61^{50} + \left(49 a^{2} + 47 a + 20\right)\cdot 61^{51} + \left(7 a^{2} + 43 a + 26\right)\cdot 61^{52} + \left(46 a^{2} + 27 a + 46\right)\cdot 61^{53} + \left(20 a^{2} + 47 a + 46\right)\cdot 61^{54} + \left(57 a^{2} + 15 a + 6\right)\cdot 61^{55} + \left(43 a^{2} + 7 a + 58\right)\cdot 61^{56} + \left(41 a^{2} + 57 a + 54\right)\cdot 61^{57} + \left(30 a^{2} + 45 a + 25\right)\cdot 61^{58} + \left(3 a^{2} + 52 a + 2\right)\cdot 61^{59} + \left(27 a^{2} + 50 a + 18\right)\cdot 61^{60} + \left(58 a^{2} + 49 a + 24\right)\cdot 61^{61} + \left(15 a^{2} + 15 a + 10\right)\cdot 61^{62} + \left(52 a^{2} + 34 a + 31\right)\cdot 61^{63} + \left(49 a^{2} + 57 a + 42\right)\cdot 61^{64} + \left(21 a^{2} + 13 a + 20\right)\cdot 61^{65} + \left(48 a^{2} + 13 a + 49\right)\cdot 61^{66} + \left(28 a^{2} + 3 a + 54\right)\cdot 61^{67} + \left(42 a^{2} + 2 a + 41\right)\cdot 61^{68} + \left(34 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 61^{69} + \left(7 a^{2} + 45 a + 21\right)\cdot 61^{70} + \left(35 a^{2} + 9 a + 21\right)\cdot 61^{71} + \left(54 a^{2} + 24 a + 4\right)\cdot 61^{72} + \left(14 a^{2} + 4 a + 39\right)\cdot 61^{73} + \left(13 a^{2} + 36 a + 33\right)\cdot 61^{74} + \left(26 a^{2} + a + 45\right)\cdot 61^{75} + \left(38 a^{2} + 54 a + 4\right)\cdot 61^{76} + \left(45 a^{2} + 16 a + 34\right)\cdot 61^{77} + \left(35 a^{2} + 55 a + 58\right)\cdot 61^{78} + \left(20 a^{2} + 9\right)\cdot 61^{79} + \left(24 a^{2} + 15 a + 51\right)\cdot 61^{80} + \left(51 a^{2} + 4 a + 23\right)\cdot 61^{81} + \left(39 a^{2} + 23 a + 6\right)\cdot 61^{82} + \left(55 a^{2} + 29 a + 28\right)\cdot 61^{83} + \left(4 a^{2} + 8 a + 55\right)\cdot 61^{84} + \left(22 a^{2} + 30 a + 54\right)\cdot 61^{85} + \left(17 a^{2} + 11 a + 17\right)\cdot 61^{86} + \left(a^{2} + 40 a + 12\right)\cdot 61^{87} + \left(2 a^{2} + 6 a + 45\right)\cdot 61^{88} + \left(29 a^{2} + 31 a + 31\right)\cdot 61^{89} + \left(13 a^{2} + 28 a + 33\right)\cdot 61^{90} + \left(37 a^{2} + 50 a + 6\right)\cdot 61^{91} + \left(40 a^{2} + 60 a + 35\right)\cdot 61^{92} + \left(60 a^{2} + 16 a + 39\right)\cdot 61^{93} + \left(32 a^{2} + 35 a + 45\right)\cdot 61^{94} + \left(47 a^{2} + 30 a + 60\right)\cdot 61^{95} + \left(58 a^{2} + 59 a + 7\right)\cdot 61^{96} + \left(24 a^{2} + 24 a + 36\right)\cdot 61^{97} + \left(18 a^{2} + 34 a + 49\right)\cdot 61^{98} + \left(48 a^{2} + 15 a + 22\right)\cdot 61^{99} + \left(6 a^{2} + 41 a + 45\right)\cdot 61^{100} + \left(22 a^{2} + 37 a + 33\right)\cdot 61^{101} + \left(36 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 61^{102} + \left(48 a^{2} + 39 a + 46\right)\cdot 61^{103} + \left(4 a^{2} + 25 a + 45\right)\cdot 61^{104} + \left(16 a^{2} + 18 a + 41\right)\cdot 61^{105} + \left(12 a^{2} + a + 31\right)\cdot 61^{106} + \left(12 a^{2} + 25 a + 12\right)\cdot 61^{107} + \left(33 a^{2} + 30 a + 42\right)\cdot 61^{108} + \left(23 a^{2} + 36 a + 3\right)\cdot 61^{109} + \left(43 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 61^{110} + \left(54 a^{2} + 35 a + 28\right)\cdot 61^{111} + \left(6 a^{2} + 30 a + 6\right)\cdot 61^{112} + \left(12 a^{2} + 33 a + 39\right)\cdot 61^{113} + \left(22 a^{2} + 58 a + 2\right)\cdot 61^{114} + \left(21 a^{2} + 14 a + 22\right)\cdot 61^{115} + \left(4 a^{2} + 25 a + 7\right)\cdot 61^{116} + \left(50 a^{2} + 14 a\right)\cdot 61^{117} + \left(51 a^{2} + 50 a + 15\right)\cdot 61^{118} + \left(30 a^{2} + 23 a + 32\right)\cdot 61^{119} + \left(46 a^{2} + 21 a + 6\right)\cdot 61^{120} + \left(52 a^{2} + 23 a + 8\right)\cdot 61^{121} + \left(53 a^{2} + 40 a + 51\right)\cdot 61^{122} + \left(59 a^{2} + a + 9\right)\cdot 61^{123} + \left(20 a^{2} + 46 a + 32\right)\cdot 61^{124} + \left(56 a^{2} + 38 a\right)\cdot 61^{125} + \left(5 a^{2} + 24 a + 30\right)\cdot 61^{126} + \left(31 a^{2} + 48 a + 10\right)\cdot 61^{127} +O\left(61^{ 128 }\right)$
$r_{ 5 }$ $=$ $ 52 a^{2} + 3 a + 51 + \left(40 a^{2} + 15 a + 32\right)\cdot 61 + \left(53 a^{2} + 33 a + 30\right)\cdot 61^{2} + \left(43 a^{2} + 57 a + 57\right)\cdot 61^{3} + \left(36 a^{2} + 46 a + 6\right)\cdot 61^{4} + \left(21 a^{2} + 55 a + 38\right)\cdot 61^{5} + \left(18 a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 61^{6} + \left(60 a^{2} + 54 a + 34\right)\cdot 61^{7} + \left(14 a^{2} + 18 a + 26\right)\cdot 61^{8} + \left(34 a^{2} + a + 16\right)\cdot 61^{9} + \left(8 a^{2} + 27 a + 13\right)\cdot 61^{10} + \left(26 a^{2} + 22 a + 47\right)\cdot 61^{11} + \left(24 a^{2} + 22 a + 9\right)\cdot 61^{12} + \left(34 a^{2} + 54 a + 60\right)\cdot 61^{13} + \left(37 a^{2} + a + 21\right)\cdot 61^{14} + \left(31 a^{2} + 41 a + 41\right)\cdot 61^{15} + \left(29 a^{2} + 15 a + 23\right)\cdot 61^{16} + \left(50 a^{2} + 21 a + 23\right)\cdot 61^{17} + \left(6 a^{2} + 44 a + 47\right)\cdot 61^{18} + \left(8 a^{2} + 6 a + 52\right)\cdot 61^{19} + \left(23 a^{2} + a + 60\right)\cdot 61^{20} + \left(5 a^{2} + 41 a + 44\right)\cdot 61^{21} + \left(41 a^{2} + 55 a + 30\right)\cdot 61^{22} + \left(19 a^{2} + 21 a + 32\right)\cdot 61^{23} + \left(10 a^{2} + 58 a + 35\right)\cdot 61^{24} + \left(32 a^{2} + 26 a + 50\right)\cdot 61^{25} + \left(11 a^{2} + 28 a + 56\right)\cdot 61^{26} + \left(13 a^{2} + 7 a + 51\right)\cdot 61^{27} + \left(27 a^{2} + 13 a + 39\right)\cdot 61^{28} + \left(44 a^{2} + 53 a + 34\right)\cdot 61^{29} + \left(41 a^{2} + 14 a + 53\right)\cdot 61^{30} + \left(13 a^{2} + 34 a + 53\right)\cdot 61^{31} + \left(18 a^{2} + 20 a + 25\right)\cdot 61^{32} + \left(16 a^{2} + 7 a + 34\right)\cdot 61^{33} + \left(6 a^{2} + 41 a + 12\right)\cdot 61^{34} + \left(47 a^{2} + 15 a + 59\right)\cdot 61^{35} + \left(21 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 61^{36} + \left(32 a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 61^{37} + \left(20 a^{2} + 22 a + 46\right)\cdot 61^{38} + \left(52 a^{2} + 17 a + 39\right)\cdot 61^{39} + \left(9 a^{2} + 31 a + 18\right)\cdot 61^{40} + \left(36 a^{2} + 14 a + 19\right)\cdot 61^{41} + \left(18 a^{2} + 59 a + 53\right)\cdot 61^{42} + \left(12 a^{2} + 49 a + 49\right)\cdot 61^{43} + \left(60 a^{2} + 35 a + 60\right)\cdot 61^{44} + \left(34 a^{2} + 54 a + 54\right)\cdot 61^{45} + \left(35 a^{2} + 60 a + 27\right)\cdot 61^{46} + \left(51 a^{2} + 51 a + 56\right)\cdot 61^{47} + \left(19 a^{2} + 20 a + 43\right)\cdot 61^{48} + \left(10 a^{2} + 31 a + 53\right)\cdot 61^{49} + \left(47 a^{2} + 42 a + 16\right)\cdot 61^{50} + \left(18 a^{2} + a + 18\right)\cdot 61^{51} + \left(55 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 61^{52} + \left(45 a^{2} + a + 32\right)\cdot 61^{53} + \left(24 a^{2} + 17 a + 30\right)\cdot 61^{54} + \left(36 a^{2} + 22 a + 29\right)\cdot 61^{55} + \left(27 a^{2} + 60 a + 37\right)\cdot 61^{56} + \left(49 a^{2} + 44 a + 42\right)\cdot 61^{57} + \left(51 a^{2} + 12 a + 58\right)\cdot 61^{58} + \left(25 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 61^{59} + \left(10 a^{2} + 28 a + 9\right)\cdot 61^{60} + \left(13 a^{2} + 58 a + 25\right)\cdot 61^{61} + \left(46 a^{2} + 25 a + 11\right)\cdot 61^{62} + \left(44 a^{2} + 32 a + 60\right)\cdot 61^{63} + \left(45 a^{2} + 40 a + 58\right)\cdot 61^{64} + \left(47 a^{2} + 40 a + 19\right)\cdot 61^{65} + \left(28 a^{2} + 56 a + 20\right)\cdot 61^{66} + \left(35 a + 35\right)\cdot 61^{67} + \left(37 a^{2} + 18 a + 41\right)\cdot 61^{68} + \left(37 a^{2} + 25 a + 43\right)\cdot 61^{69} + \left(12 a^{2} + 48 a + 8\right)\cdot 61^{70} + \left(28 a^{2} + 26 a + 57\right)\cdot 61^{71} + \left(55 a^{2} + 7 a + 59\right)\cdot 61^{72} + \left(33 a^{2} + 4 a + 28\right)\cdot 61^{73} + \left(8 a^{2} + 25 a + 56\right)\cdot 61^{74} + \left(16 a^{2} + 11 a + 25\right)\cdot 61^{75} + \left(48 a^{2} + 11 a + 47\right)\cdot 61^{76} + \left(49 a^{2} + 22 a + 30\right)\cdot 61^{77} + \left(37 a^{2} + 47 a + 45\right)\cdot 61^{78} + \left(30 a^{2} + 46 a + 52\right)\cdot 61^{79} + \left(12 a^{2} + 60 a + 46\right)\cdot 61^{80} + \left(34 a^{2} + 15 a + 31\right)\cdot 61^{81} + \left(32 a^{2} + 21 a + 39\right)\cdot 61^{82} + \left(46 a^{2} + a + 3\right)\cdot 61^{83} + \left(27 a^{2} + 32 a + 10\right)\cdot 61^{84} + \left(12 a^{2} + 24 a + 3\right)\cdot 61^{85} + \left(60 a^{2} + 19 a + 38\right)\cdot 61^{86} + \left(14 a^{2} + 58 a + 46\right)\cdot 61^{87} + \left(9 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 61^{88} + \left(47 a^{2} + 48 a + 51\right)\cdot 61^{89} + \left(49 a^{2} + 32 a + 22\right)\cdot 61^{90} + \left(8 a^{2} + 17 a + 53\right)\cdot 61^{91} + \left(10 a^{2} + 2 a + 23\right)\cdot 61^{92} + \left(49 a^{2} + 51 a + 51\right)\cdot 61^{93} + \left(4 a^{2} + 31 a + 60\right)\cdot 61^{94} + \left(30 a^{2} + 57 a + 14\right)\cdot 61^{95} + \left(60 a^{2} + 56 a + 43\right)\cdot 61^{96} + \left(51 a^{2} + 10 a + 41\right)\cdot 61^{97} + \left(25 a^{2} + 44 a + 26\right)\cdot 61^{98} + \left(57 a^{2} + 36 a + 47\right)\cdot 61^{99} + \left(15 a^{2} + 41 a + 35\right)\cdot 61^{100} + \left(13 a^{2} + 60 a + 55\right)\cdot 61^{101} + \left(38 a^{2} + 9 a + 21\right)\cdot 61^{102} + \left(3 a^{2} + 16 a + 29\right)\cdot 61^{103} + \left(41 a^{2} + 21 a + 49\right)\cdot 61^{104} + \left(12 a^{2} + a + 18\right)\cdot 61^{105} + \left(40 a^{2} + 40 a + 6\right)\cdot 61^{106} + \left(57 a^{2} + 22 a + 24\right)\cdot 61^{107} + \left(48 a^{2} + 54 a + 46\right)\cdot 61^{108} + \left(7 a^{2} + 8 a + 46\right)\cdot 61^{109} + \left(46 a^{2} + 18 a + 11\right)\cdot 61^{110} + \left(25 a^{2} + 18 a + 43\right)\cdot 61^{111} + \left(48 a^{2} + 3 a + 20\right)\cdot 61^{112} + \left(16 a^{2} + 48 a + 53\right)\cdot 61^{113} + \left(58 a^{2} + 7 a + 34\right)\cdot 61^{114} + \left(60 a^{2} + 21 a + 7\right)\cdot 61^{115} + \left(22 a^{2} + 37 a + 27\right)\cdot 61^{116} + \left(10 a^{2} + 33 a + 46\right)\cdot 61^{117} + \left(5 a^{2} + 48 a + 36\right)\cdot 61^{118} + \left(5 a^{2} + 25 a + 43\right)\cdot 61^{119} + \left(6 a^{2} + 23 a + 39\right)\cdot 61^{120} + \left(20 a^{2} + 55 a + 15\right)\cdot 61^{121} + \left(36 a^{2} + 58 a + 30\right)\cdot 61^{122} + \left(51 a^{2} + 51 a + 3\right)\cdot 61^{123} + \left(44 a^{2} + 24 a + 42\right)\cdot 61^{124} + \left(24 a^{2} + 24 a + 8\right)\cdot 61^{125} + \left(39 a^{2} + 8\right)\cdot 61^{126} + \left(50 a^{2} + 11 a + 33\right)\cdot 61^{127} +O\left(61^{ 128 }\right)$
$r_{ 6 }$ $=$ $ 17 a^{2} + 54 a + 49 + \left(40 a^{2} + 22 a + 15\right)\cdot 61 + \left(46 a^{2} + 51 a + 7\right)\cdot 61^{2} + \left(20 a + 10\right)\cdot 61^{3} + \left(23 a^{2} + 14 a + 54\right)\cdot 61^{4} + \left(54 a^{2} + 59 a + 57\right)\cdot 61^{5} + \left(14 a^{2} + 31 a + 52\right)\cdot 61^{6} + \left(54 a^{2} + 11 a + 46\right)\cdot 61^{7} + \left(43 a^{2} + 28 a + 52\right)\cdot 61^{8} + \left(35 a + 52\right)\cdot 61^{9} + \left(27 a^{2} + 59 a + 12\right)\cdot 61^{10} + \left(13 a^{2} + 54 a + 14\right)\cdot 61^{11} + \left(22 a^{2} + 23 a + 3\right)\cdot 61^{12} + \left(37 a^{2} + 56 a + 11\right)\cdot 61^{13} + \left(60 a^{2} + 9 a + 37\right)\cdot 61^{14} + \left(60 a^{2} + 46 a + 49\right)\cdot 61^{15} + \left(24 a^{2} + 58 a + 1\right)\cdot 61^{16} + \left(44 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 61^{17} + \left(22 a^{2} + 51 a + 1\right)\cdot 61^{18} + \left(26 a^{2} + 24 a + 34\right)\cdot 61^{19} + \left(18 a^{2} + 31 a + 54\right)\cdot 61^{20} + \left(17 a^{2} + 38 a + 23\right)\cdot 61^{21} + \left(39 a^{2} + 41 a + 17\right)\cdot 61^{22} + \left(49 a^{2} + 16 a + 18\right)\cdot 61^{23} + \left(49 a^{2} + 60 a + 1\right)\cdot 61^{24} + \left(4 a + 45\right)\cdot 61^{25} + \left(14 a^{2} + 31 a + 31\right)\cdot 61^{26} + \left(27 a^{2} + 54 a + 11\right)\cdot 61^{27} + \left(8 a^{2} + 18 a + 51\right)\cdot 61^{28} + \left(40 a^{2} + 57 a + 22\right)\cdot 61^{29} + \left(42 a^{2} + 16 a + 21\right)\cdot 61^{30} + \left(3 a^{2} + 19 a + 34\right)\cdot 61^{31} + \left(60 a^{2} + 21 a + 17\right)\cdot 61^{32} + \left(54 a^{2} + 34 a + 47\right)\cdot 61^{33} + \left(21 a^{2} + 36 a + 38\right)\cdot 61^{34} + \left(26 a^{2} + 35 a + 43\right)\cdot 61^{35} + \left(11 a^{2} + 60 a + 57\right)\cdot 61^{36} + \left(58 a^{2} + 2 a + 60\right)\cdot 61^{37} + \left(48 a^{2} + 48 a + 30\right)\cdot 61^{38} + \left(20 a^{2} + 54 a + 33\right)\cdot 61^{39} + \left(22 a^{2} + 11 a + 20\right)\cdot 61^{40} + \left(50 a^{2} + 3 a + 37\right)\cdot 61^{41} + \left(19 a^{2} + 58 a + 12\right)\cdot 61^{42} + \left(12 a + 60\right)\cdot 61^{43} + \left(28 a^{2} + 43 a + 17\right)\cdot 61^{44} + \left(3 a^{2} + 16 a + 7\right)\cdot 61^{45} + \left(24 a^{2} + 45 a + 51\right)\cdot 61^{46} + \left(51 a^{2} + 2 a + 59\right)\cdot 61^{47} + \left(25 a^{2} + 57 a + 14\right)\cdot 61^{48} + \left(50 a^{2} + 30 a + 40\right)\cdot 61^{49} + \left(37 a^{2} + 13 a + 46\right)\cdot 61^{50} + \left(55 a^{2} + 57 a + 46\right)\cdot 61^{51} + \left(26 a^{2} + 53 a + 13\right)\cdot 61^{52} + \left(27 a^{2} + 48 a + 20\right)\cdot 61^{53} + \left(15 a^{2} + 3 a + 42\right)\cdot 61^{54} + \left(58 a^{2} + 39 a + 51\right)\cdot 61^{55} + \left(12 a^{2} + 48 a + 55\right)\cdot 61^{56} + \left(57 a^{2} + 60 a + 45\right)\cdot 61^{57} + \left(36 a^{2} + 46 a + 34\right)\cdot 61^{58} + \left(2 a^{2} + 60 a + 18\right)\cdot 61^{59} + \left(22 a^{2} + 58 a + 35\right)\cdot 61^{60} + \left(53 a^{2} + 51 a\right)\cdot 61^{61} + \left(24 a^{2} + 58 a + 52\right)\cdot 61^{62} + \left(34 a^{2} + 41 a + 8\right)\cdot 61^{63} + \left(9 a^{2} + 31 a + 17\right)\cdot 61^{64} + \left(52 a^{2} + 58 a + 40\right)\cdot 61^{65} + \left(36 a + 10\right)\cdot 61^{66} + \left(60 a^{2} + 55 a + 58\right)\cdot 61^{67} + \left(13 a^{2} + 55 a + 30\right)\cdot 61^{68} + \left(33 a^{2} + 37 a + 40\right)\cdot 61^{69} + \left(54 a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 61^{70} + \left(60 a^{2} + 46 a + 60\right)\cdot 61^{71} + \left(52 a^{2} + 24 a + 57\right)\cdot 61^{72} + \left(47 a^{2} + 45 a + 9\right)\cdot 61^{73} + \left(36 a^{2} + 60 a + 1\right)\cdot 61^{74} + \left(a + 48\right)\cdot 61^{75} + \left(56 a^{2} + 40 a + 25\right)\cdot 61^{76} + \left(6 a^{2} + 55 a + 36\right)\cdot 61^{77} + \left(55 a^{2} + 15 a + 6\right)\cdot 61^{78} + \left(37 a^{2} + 39 a + 50\right)\cdot 61^{79} + \left(24 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 61^{80} + \left(35 a^{2} + 39 a + 10\right)\cdot 61^{81} + \left(21 a^{2} + 39 a + 43\right)\cdot 61^{82} + \left(47 a^{2} + 37 a + 9\right)\cdot 61^{83} + \left(32 a^{2} + 51 a + 43\right)\cdot 61^{84} + \left(4 a^{2} + 31 a + 13\right)\cdot 61^{85} + \left(10 a^{2} + 37 a + 4\right)\cdot 61^{86} + \left(15 a^{2} + 59 a + 16\right)\cdot 61^{87} + \left(59 a^{2} + 16 a + 7\right)\cdot 61^{88} + \left(50 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 61^{89} + \left(50 a^{2} + 51 a + 45\right)\cdot 61^{90} + \left(2 a^{2} + 58 a + 8\right)\cdot 61^{91} + \left(41 a^{2} + 57 a + 37\right)\cdot 61^{92} + \left(54 a^{2} + 24 a + 11\right)\cdot 61^{93} + \left(51 a^{2} + 49 a + 32\right)\cdot 61^{94} + \left(12 a^{2} + 47 a\right)\cdot 61^{95} + \left(47 a^{2} + 38 a + 15\right)\cdot 61^{96} + \left(32 a^{2} + 28 a + 52\right)\cdot 61^{97} + \left(22 a^{2} + 41 a + 7\right)\cdot 61^{98} + \left(30 a^{2} + 15 a\right)\cdot 61^{99} + \left(24 a^{2} + 33 a + 6\right)\cdot 61^{100} + \left(52 a^{2} + 11 a + 53\right)\cdot 61^{101} + \left(16 a^{2} + 26 a + 1\right)\cdot 61^{102} + \left(39 a^{2} + 18 a + 23\right)\cdot 61^{103} + \left(49 a^{2} + 40 a + 31\right)\cdot 61^{104} + \left(56 a + 31\right)\cdot 61^{105} + \left(26 a^{2} + 32 a + 14\right)\cdot 61^{106} + \left(23 a^{2} + 41 a + 24\right)\cdot 61^{107} + \left(10 a^{2} + 9 a + 37\right)\cdot 61^{108} + \left(10 a^{2} + 60 a + 22\right)\cdot 61^{109} + \left(49 a^{2} + 4 a + 57\right)\cdot 61^{110} + \left(24 a^{2} + 39 a + 30\right)\cdot 61^{111} + \left(56 a^{2} + 9 a + 54\right)\cdot 61^{112} + \left(55 a^{2} + 8 a + 19\right)\cdot 61^{113} + \left(8 a^{2} + 21 a + 42\right)\cdot 61^{114} + \left(11 a^{2} + 10 a + 55\right)\cdot 61^{115} + \left(36 a^{2} + 39 a + 33\right)\cdot 61^{116} + \left(37 a^{2} + 48 a + 43\right)\cdot 61^{117} + \left(51 a^{2} + 6 a + 54\right)\cdot 61^{118} + \left(29 a^{2} + 45 a + 47\right)\cdot 61^{119} + \left(20 a^{2} + 52 a + 47\right)\cdot 61^{120} + \left(47 a^{2} + 13 a + 43\right)\cdot 61^{121} + \left(50 a^{2} + 40 a + 36\right)\cdot 61^{122} + \left(36 a^{2} + 20 a + 44\right)\cdot 61^{123} + \left(38 a^{2} + 55 a + 12\right)\cdot 61^{124} + \left(14 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 61^{125} + \left(18 a^{2} + 50 a + 6\right)\cdot 61^{126} + \left(57 a^{2} + 3 a + 31\right)\cdot 61^{127} +O\left(61^{ 128 }\right)$
$r_{ 7 }$ $=$ $ 54 a^{2} + 21 a + 59 + \left(25 a^{2} + 52 a + 29\right)\cdot 61 + \left(40 a^{2} + 43 a + 59\right)\cdot 61^{2} + \left(51 a^{2} + 38 a + 23\right)\cdot 61^{3} + \left(2 a^{2} + 59 a + 41\right)\cdot 61^{4} + \left(14 a^{2} + 3 a + 52\right)\cdot 61^{5} + \left(18 a^{2} + 42 a + 27\right)\cdot 61^{6} + \left(16 a^{2} + 27 a + 32\right)\cdot 61^{7} + \left(59 a^{2} + a + 2\right)\cdot 61^{8} + \left(48 a^{2} + 58 a + 34\right)\cdot 61^{9} + \left(15 a^{2} + 31 a + 21\right)\cdot 61^{10} + \left(55 a^{2} + 60 a + 26\right)\cdot 61^{11} + \left(36 a^{2} + 5 a + 51\right)\cdot 61^{12} + \left(57 a^{2} + 28 a + 3\right)\cdot 61^{13} + \left(33 a^{2} + 14 a + 55\right)\cdot 61^{14} + \left(9 a^{2} + 55 a + 12\right)\cdot 61^{15} + \left(56 a^{2} + 16 a + 25\right)\cdot 61^{16} + \left(41 a^{2} + 28 a + 53\right)\cdot 61^{17} + \left(10 a^{2} + 56 a + 5\right)\cdot 61^{18} + \left(41 a^{2} + 50 a + 42\right)\cdot 61^{19} + \left(11 a^{2} + 18 a + 2\right)\cdot 61^{20} + \left(20 a^{2} + 58 a + 17\right)\cdot 61^{21} + \left(39 a^{2} + 25 a + 58\right)\cdot 61^{22} + \left(14 a^{2} + 50 a + 37\right)\cdot 61^{23} + \left(11 a^{2} + 55 a + 24\right)\cdot 61^{24} + \left(53 a^{2} + 33 a + 45\right)\cdot 61^{25} + \left(38 a^{2} + 3 a + 25\right)\cdot 61^{26} + \left(45 a^{2} + 41 a + 36\right)\cdot 61^{27} + \left(16 a^{2} + 23 a + 8\right)\cdot 61^{28} + \left(37 a^{2} + 50\right)\cdot 61^{29} + \left(24 a^{2} + 33 a + 38\right)\cdot 61^{30} + \left(16 a^{2} + 55 a + 32\right)\cdot 61^{31} + \left(12 a^{2} + 55 a + 38\right)\cdot 61^{32} + \left(23 a^{2} + 30 a\right)\cdot 61^{33} + \left(32 a^{2} + 27 a + 47\right)\cdot 61^{34} + \left(55 a^{2} + 45 a + 57\right)\cdot 61^{35} + \left(46 a^{2} + 6 a + 19\right)\cdot 61^{36} + \left(23 a^{2} + 19 a + 22\right)\cdot 61^{37} + \left(59 a^{2} + 32 a + 59\right)\cdot 61^{38} + \left(57 a^{2} + 60 a + 23\right)\cdot 61^{39} + \left(40 a^{2} + 20 a + 46\right)\cdot 61^{40} + \left(a^{2} + 16 a + 33\right)\cdot 61^{41} + \left(8 a + 1\right)\cdot 61^{42} + \left(55 a^{2} + 18 a + 51\right)\cdot 61^{43} + \left(31 a^{2} + 3 a + 15\right)\cdot 61^{44} + \left(8 a^{2} + 45 a + 51\right)\cdot 61^{45} + \left(56 a^{2} + 51 a + 17\right)\cdot 61^{46} + \left(39 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 61^{47} + \left(40 a^{2} + 43 a + 23\right)\cdot 61^{48} + \left(8 a^{2} + 41 a + 28\right)\cdot 61^{49} + \left(30 a^{2} + 3 a + 51\right)\cdot 61^{50} + \left(16 a^{2} + 17 a + 26\right)\cdot 61^{51} + \left(26 a^{2} + 24 a + 51\right)\cdot 61^{52} + \left(48 a^{2} + 45 a + 36\right)\cdot 61^{53} + \left(24 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 61^{54} + \left(6 a^{2} + 6 a + 13\right)\cdot 61^{55} + \left(4 a^{2} + 5 a + 55\right)\cdot 61^{56} + \left(23 a^{2} + 4 a + 28\right)\cdot 61^{57} + \left(54 a^{2} + 29 a + 14\right)\cdot 61^{58} + \left(54 a^{2} + 8 a + 59\right)\cdot 61^{59} + \left(11 a^{2} + 12 a + 48\right)\cdot 61^{60} + \left(10 a^{2} + 20 a + 22\right)\cdot 61^{61} + \left(20 a^{2} + 47 a + 50\right)\cdot 61^{62} + \left(35 a^{2} + 45 a + 53\right)\cdot 61^{63} + \left(a^{2} + 32 a + 40\right)\cdot 61^{64} + \left(48 a^{2} + 49 a\right)\cdot 61^{65} + \left(11 a^{2} + 10 a + 21\right)\cdot 61^{66} + \left(33 a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 61^{67} + \left(4 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 61^{68} + \left(54 a^{2} + 17 a + 36\right)\cdot 61^{69} + \left(59 a^{2} + 3 a + 41\right)\cdot 61^{70} + \left(25 a^{2} + 5 a + 39\right)\cdot 61^{71} + \left(14 a^{2} + 12 a + 40\right)\cdot 61^{72} + \left(59 a^{2} + 11 a + 42\right)\cdot 61^{73} + \left(10 a^{2} + 25 a + 2\right)\cdot 61^{74} + \left(34 a^{2} + 57 a + 42\right)\cdot 61^{75} + \left(27 a^{2} + 27 a + 55\right)\cdot 61^{76} + \left(8 a^{2} + 49 a + 2\right)\cdot 61^{77} + \left(31 a^{2} + 50 a + 37\right)\cdot 61^{78} + \left(2 a^{2} + 20 a + 47\right)\cdot 61^{79} + \left(12 a^{2} + 30 a + 54\right)\cdot 61^{80} + \left(35 a^{2} + 17 a + 49\right)\cdot 61^{81} + \left(60 a^{2} + 59 a + 21\right)\cdot 61^{82} + \left(18 a^{2} + 54 a + 60\right)\cdot 61^{83} + \left(23 a^{2} + 59\right)\cdot 61^{84} + \left(34 a^{2} + 60 a + 30\right)\cdot 61^{85} + \left(33 a^{2} + 11 a + 32\right)\cdot 61^{86} + \left(44 a^{2} + 22 a + 51\right)\cdot 61^{87} + \left(60 a^{2} + 37 a + 54\right)\cdot 61^{88} + \left(41 a^{2} + 27 a + 10\right)\cdot 61^{89} + \left(57 a^{2} + 42 a + 16\right)\cdot 61^{90} + \left(20 a^{2} + 12 a + 32\right)\cdot 61^{91} + \left(40 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 61^{92} + \left(6 a^{2} + 19 a + 11\right)\cdot 61^{93} + \left(37 a^{2} + 37 a + 24\right)\cdot 61^{94} + \left(43 a + 4\right)\cdot 61^{95} + \left(16 a^{2} + 23 a + 32\right)\cdot 61^{96} + \left(3 a^{2} + 7 a + 36\right)\cdot 61^{97} + \left(20 a^{2} + 46 a + 16\right)\cdot 61^{98} + \left(43 a^{2} + 29 a + 40\right)\cdot 61^{99} + \left(29 a^{2} + 47 a + 50\right)\cdot 61^{100} + \left(47 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 61^{101} + \left(7 a^{2} + 20 a\right)\cdot 61^{102} + \left(34 a^{2} + 3 a + 60\right)\cdot 61^{103} + \left(6 a^{2} + 56 a + 53\right)\cdot 61^{104} + \left(44 a^{2} + 46 a + 9\right)\cdot 61^{105} + \left(22 a^{2} + 26 a + 60\right)\cdot 61^{106} + \left(25 a^{2} + 55 a + 12\right)\cdot 61^{107} + \left(17 a^{2} + 20 a + 9\right)\cdot 61^{108} + \left(27 a^{2} + 25 a + 21\right)\cdot 61^{109} + \left(29 a^{2} + 45 a + 26\right)\cdot 61^{110} + \left(42 a^{2} + 47 a + 52\right)\cdot 61^{111} + \left(58 a^{2} + 20 a + 44\right)\cdot 61^{112} + \left(53 a^{2} + 19 a + 10\right)\cdot 61^{113} + \left(29 a^{2} + 42 a + 18\right)\cdot 61^{114} + \left(28 a^{2} + 35 a + 55\right)\cdot 61^{115} + \left(20 a^{2} + 57 a + 41\right)\cdot 61^{116} + \left(34 a^{2} + 58 a + 48\right)\cdot 61^{117} + \left(18 a^{2} + 3 a + 42\right)\cdot 61^{118} + \left(53 a + 11\right)\cdot 61^{119} + \left(55 a^{2} + 47 a + 46\right)\cdot 61^{120} + \left(21 a^{2} + 23 a + 26\right)\cdot 61^{121} + \left(17 a^{2} + 41 a + 43\right)\cdot 61^{122} + \left(25 a^{2} + 38 a + 51\right)\cdot 61^{123} + \left(a^{2} + 20 a + 1\right)\cdot 61^{124} + \left(51 a^{2} + 12 a + 57\right)\cdot 61^{125} + \left(36 a^{2} + 47 a + 31\right)\cdot 61^{126} + \left(33 a^{2} + 8 a + 42\right)\cdot 61^{127} +O\left(61^{ 128 }\right)$
$r_{ 8 }$ $=$ $ 4 a^{2} + 19 a + 10 + \left(56 a^{2} + 24 a + 2\right)\cdot 61 + \left(20 a^{2} + 37 a + 20\right)\cdot 61^{2} + \left(54 a^{2} + 42 a + 45\right)\cdot 61^{3} + \left(42 a^{2} + 21 a + 35\right)\cdot 61^{4} + \left(47 a^{2} + 41 a + 17\right)\cdot 61^{5} + \left(43 a^{2} + 14 a + 12\right)\cdot 61^{6} + \left(47 a^{2} + 58 a + 16\right)\cdot 61^{7} + \left(a^{2} + 42 a + 46\right)\cdot 61^{8} + \left(34 a^{2} + 58 a + 35\right)\cdot 61^{9} + \left(46 a^{2} + 36 a + 7\right)\cdot 61^{10} + \left(11 a^{2} + 35 a + 41\right)\cdot 61^{11} + \left(40 a^{2} + 32 a + 42\right)\cdot 61^{12} + \left(9 a^{2} + 34 a + 5\right)\cdot 61^{13} + \left(28 a^{2} + 2 a + 39\right)\cdot 61^{14} + \left(8 a^{2} + 20 a + 14\right)\cdot 61^{15} + \left(16 a^{2} + 3 a + 22\right)\cdot 61^{16} + \left(6 a^{2} + 60 a + 20\right)\cdot 61^{17} + \left(13 a^{2} + 2 a + 56\right)\cdot 61^{18} + \left(56 a^{2} + 31 a + 12\right)\cdot 61^{19} + \left(41 a^{2} + 54 a + 6\right)\cdot 61^{20} + \left(22 a^{2} + 26 a + 24\right)\cdot 61^{21} + \left(a^{2} + 43 a + 28\right)\cdot 61^{22} + \left(40 a^{2} + 21 a + 5\right)\cdot 61^{23} + \left(19 a^{2} + 35 a + 18\right)\cdot 61^{24} + \left(59 a^{2} + 50 a + 55\right)\cdot 61^{25} + \left(27 a^{2} + 14 a + 31\right)\cdot 61^{26} + \left(43 a^{2} + 50 a + 30\right)\cdot 61^{27} + \left(14 a^{2} + 27 a + 42\right)\cdot 61^{28} + \left(30 a^{2} + 20 a + 49\right)\cdot 61^{29} + \left(5 a^{2} + 43 a + 26\right)\cdot 61^{30} + \left(18 a^{2} + 52 a + 13\right)\cdot 61^{31} + \left(32 a^{2} + 20 a + 10\right)\cdot 61^{32} + \left(47 a^{2} + 60 a + 58\right)\cdot 61^{33} + \left(a^{2} + 39 a + 11\right)\cdot 61^{34} + \left(12 a^{2} + 51 a + 58\right)\cdot 61^{35} + \left(51 a^{2} + 49 a + 12\right)\cdot 61^{36} + \left(33 a^{2} + 37 a + 11\right)\cdot 61^{37} + \left(51 a^{2} + 21 a + 28\right)\cdot 61^{38} + \left(26 a^{2} + 50 a + 22\right)\cdot 61^{39} + \left(37 a^{2} + 22 a + 25\right)\cdot 61^{40} + \left(56 a^{2} + 4 a + 33\right)\cdot 61^{41} + \left(50 a^{2} + 32 a + 41\right)\cdot 61^{42} + \left(16 a^{2} + 46 a + 50\right)\cdot 61^{43} + \left(49 a^{2} + 40 a + 9\right)\cdot 61^{44} + \left(49 a + 58\right)\cdot 61^{45} + \left(17 a^{2} + 54 a + 42\right)\cdot 61^{46} + \left(28 a^{2} + 51 a + 8\right)\cdot 61^{47} + \left(6 a^{2} + 53 a + 22\right)\cdot 61^{48} + \left(29 a^{2} + 32 a + 19\right)\cdot 61^{49} + \left(27 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 61^{50} + \left(16 a^{2} + 21 a + 48\right)\cdot 61^{51} + \left(59 a^{2} + 29\right)\cdot 61^{52} + \left(58 a^{2} + 50 a + 52\right)\cdot 61^{53} + \left(a^{2} + 20 a + 25\right)\cdot 61^{54} + \left(33 a^{2} + 18 a + 54\right)\cdot 61^{55} + \left(4 a^{2} + 2 a + 51\right)\cdot 61^{56} + \left(45 a^{2} + 34 a + 1\right)\cdot 61^{57} + \left(15 a^{2} + 47 a + 53\right)\cdot 61^{58} + \left(26 a^{2} + 23 a + 13\right)\cdot 61^{59} + \left(36 a + 3\right)\cdot 61^{60} + \left(44 a^{2} + 28 a + 47\right)\cdot 61^{61} + \left(20 a^{2} + 58 a + 34\right)\cdot 61^{62} + \left(10 a^{2} + 23 a + 21\right)\cdot 61^{63} + \left(40 a^{2} + 26 a + 53\right)\cdot 61^{64} + \left(37 a^{2} + 4 a + 33\right)\cdot 61^{65} + \left(17 a^{2} + 54 a + 49\right)\cdot 61^{66} + \left(55 a^{2} + 32 a + 26\right)\cdot 61^{67} + \left(55 a^{2} + 15 a + 48\right)\cdot 61^{68} + \left(33 a + 14\right)\cdot 61^{69} + \left(40 a + 31\right)\cdot 61^{70} + \left(a^{2} + 35 a + 11\right)\cdot 61^{71} + \left(24 a^{2} + 20 a + 35\right)\cdot 61^{72} + \left(3 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 61^{73} + \left(8 a^{2} + 37 a + 54\right)\cdot 61^{74} + \left(18 a^{2} + 36 a + 14\right)\cdot 61^{75} + \left(37 a^{2} + 26 a + 57\right)\cdot 61^{76} + \left(16 a^{2} + 40 a + 58\right)\cdot 61^{77} + \left(9 a^{2} + 6 a + 13\right)\cdot 61^{78} + \left(43 a^{2} + 45 a + 50\right)\cdot 61^{79} + \left(27 a^{2} + 9 a + 56\right)\cdot 61^{80} + \left(50 a^{2} + 54 a + 5\right)\cdot 61^{81} + \left(30 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 61^{82} + \left(42 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 61^{83} + \left(7 a + 26\right)\cdot 61^{84} + \left(44 a^{2} + 6 a + 28\right)\cdot 61^{85} + \left(21 a^{2} + 60 a + 41\right)\cdot 61^{86} + \left(48 a^{2} + 40 a + 39\right)\cdot 61^{87} + \left(51 a^{2} + 16 a + 38\right)\cdot 61^{88} + \left(3 a^{2} + 20 a + 11\right)\cdot 61^{89} + \left(51 a^{2} + 19 a + 49\right)\cdot 61^{90} + \left(37 a^{2} + 58 a + 5\right)\cdot 61^{91} + \left(25 a^{2} + 28 a + 35\right)\cdot 61^{92} + \left(43 a^{2} + 38 a + 24\right)\cdot 61^{93} + \left(59 a^{2} + 27 a + 32\right)\cdot 61^{94} + \left(27 a^{2} + 21 a + 25\right)\cdot 61^{95} + \left(29 a^{2} + 52 a + 20\right)\cdot 61^{96} + \left(4 a^{2} + 45 a + 23\right)\cdot 61^{97} + \left(53 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 61^{98} + \left(49 a^{2} + 28 a + 12\right)\cdot 61^{99} + \left(9 a^{2} + 39 a + 7\right)\cdot 61^{100} + \left(44 a^{2} + 58 a + 37\right)\cdot 61^{101} + \left(17 a^{2} + 35 a + 7\right)\cdot 61^{102} + \left(16 a^{2} + 41 a + 7\right)\cdot 61^{103} + \left(38 a^{2} + 42 a + 16\right)\cdot 61^{104} + \left(31 a^{2} + 3 a + 46\right)\cdot 61^{105} + \left(a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 61^{106} + \left(57 a^{2} + 10 a + 21\right)\cdot 61^{107} + \left(7 a^{2} + 29 a + 58\right)\cdot 61^{108} + \left(35 a^{2} + 21 a + 31\right)\cdot 61^{109} + \left(46 a^{2} + 19 a + 54\right)\cdot 61^{110} + \left(25 a^{2} + 41 a + 22\right)\cdot 61^{111} + \left(55 a^{2} + 38 a + 53\right)\cdot 61^{112} + \left(44 a^{2} + 13 a + 21\right)\cdot 61^{113} + \left(25 a^{2} + 16 a + 25\right)\cdot 61^{114} + \left(4 a^{2} + 28 a + 28\right)\cdot 61^{115} + \left(32 a^{2} + 38 a + 8\right)\cdot 61^{116} + \left(39 a^{2} + 31 a + 40\right)\cdot 61^{117} + \left(a^{2} + 17 a + 40\right)\cdot 61^{118} + \left(8 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 61^{119} + \left(40 a^{2} + 57 a + 56\right)\cdot 61^{120} + \left(59 a^{2} + 41 a + 57\right)\cdot 61^{121} + \left(58 a^{2} + 42 a + 13\right)\cdot 61^{122} + \left(8 a^{2} + 18 a + 28\right)\cdot 61^{123} + \left(53 a^{2} + 38 a + 60\right)\cdot 61^{124} + \left(2 a^{2} + 28 a + 48\right)\cdot 61^{125} + \left(47 a^{2} + 34 a + 43\right)\cdot 61^{126} + \left(57 a^{2} + 43 a + 25\right)\cdot 61^{127} +O\left(61^{ 128 }\right)$
$r_{ 9 }$ $=$ $ 2 a^{2} + 5 a + 9 + \left(46 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 61 + \left(42 a^{2} + 26 a + 40\right)\cdot 61^{2} + \left(60 a^{2} + 7 a + 37\right)\cdot 61^{3} + \left(48 a^{2} + 12 a + 39\right)\cdot 61^{4} + \left(5 a^{2} + 4 a + 41\right)\cdot 61^{5} + \left(a^{2} + 22 a + 30\right)\cdot 61^{6} + \left(20 a^{2} + 47 a + 38\right)\cdot 61^{7} + \left(36 a^{2} + 9 a + 39\right)\cdot 61^{8} + \left(19 a^{2} + 35 a + 22\right)\cdot 61^{9} + \left(5 a^{2} + 55 a + 22\right)\cdot 61^{10} + \left(27 a^{2} + 49 a + 46\right)\cdot 61^{11} + \left(7 a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 61^{12} + \left(38 a^{2} + 24 a + 55\right)\cdot 61^{13} + \left(38 a^{2} + 51 a + 9\right)\cdot 61^{14} + \left(14 a^{2} + 27 a + 23\right)\cdot 61^{15} + \left(55 a^{2} + 41 a + 39\right)\cdot 61^{16} + \left(43 a^{2} + 30 a + 30\right)\cdot 61^{17} + \left(51 a^{2} + 57 a + 5\right)\cdot 61^{18} + \left(8 a^{2} + 6 a + 34\right)\cdot 61^{19} + \left(13 a^{2} + 18 a + 58\right)\cdot 61^{20} + \left(54 a^{2} + 13 a + 45\right)\cdot 61^{21} + \left(28 a^{2} + 7 a + 34\right)\cdot 61^{22} + \left(29 a^{2} + 50 a + 3\right)\cdot 61^{23} + \left(a^{2} + 58 a + 27\right)\cdot 61^{24} + \left(27 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 61^{25} + \left(60 a^{2} + 3 a + 28\right)\cdot 61^{26} + \left(19 a + 48\right)\cdot 61^{27} + \left(53 a^{2} + 56 a + 17\right)\cdot 61^{28} + \left(30 a^{2} + 58 a + 54\right)\cdot 61^{29} + \left(27 a + 56\right)\cdot 61^{30} + \left(44 a^{2} + 50 a + 55\right)\cdot 61^{31} + \left(11 a^{2} + 16 a + 30\right)\cdot 61^{32} + \left(52 a^{2} + 31 a + 6\right)\cdot 61^{33} + \left(26 a^{2} + 24 a + 2\right)\cdot 61^{34} + \left(14 a^{2} + 33 a + 43\right)\cdot 61^{35} + \left(11 a^{2} + a + 9\right)\cdot 61^{36} + \left(26 a^{2} + 32 a + 32\right)\cdot 61^{37} + \left(46 a^{2} + 20 a + 16\right)\cdot 61^{38} + \left(7 a^{2} + 45 a + 60\right)\cdot 61^{39} + \left(27 a^{2} + 50 a + 13\right)\cdot 61^{40} + \left(3 a^{2} + 59 a + 58\right)\cdot 61^{41} + \left(48 a^{2} + 46 a + 52\right)\cdot 61^{42} + \left(21 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 61^{43} + \left(9 a^{2} + 25 a + 51\right)\cdot 61^{44} + \left(45 a^{2} + 30 a + 22\right)\cdot 61^{45} + \left(21 a^{2} + 44 a + 36\right)\cdot 61^{46} + \left(28 a^{2} + 60 a + 8\right)\cdot 61^{47} + \left(21 a^{2} + 58 a + 51\right)\cdot 61^{48} + \left(59 a^{2} + 60 a + 59\right)\cdot 61^{49} + \left(25 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 61^{50} + \left(39 a^{2} + 8 a + 39\right)\cdot 61^{51} + \left(9 a^{2} + 21 a + 37\right)\cdot 61^{52} + \left(28 a^{2} + 55 a + 14\right)\cdot 61^{53} + \left(2 a^{2} + 25 a + 4\right)\cdot 61^{54} + \left(17 a^{2} + 38 a + 13\right)\cdot 61^{55} + \left(36 a^{2} + 33 a + 21\right)\cdot 61^{56} + \left(41 a^{2} + 52 a + 54\right)\cdot 61^{57} + \left(29 a^{2} + 26 a + 11\right)\cdot 61^{58} + \left(27 a^{2} + 11 a + 27\right)\cdot 61^{59} + \left(60 a^{2} + 51 a + 43\right)\cdot 61^{60} + \left(39 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 61^{61} + \left(11 a^{2} + 34 a + 38\right)\cdot 61^{62} + \left(45 a^{2} + 41 a + 43\right)\cdot 61^{63} + \left(15 a^{2} + 47 a + 31\right)\cdot 61^{64} + \left(34 a^{2} + 9 a + 57\right)\cdot 61^{65} + \left(53 a^{2} + 55 a + 31\right)\cdot 61^{66} + \left(51 a^{2} + 33 a + 44\right)\cdot 61^{67} + \left(24 a^{2} + 55 a + 57\right)\cdot 61^{68} + \left(35 a^{2} + 37 a + 4\right)\cdot 61^{69} + \left(3 a^{2} + 36 a + 20\right)\cdot 61^{70} + \left(30 a^{2} + 38 a + 52\right)\cdot 61^{71} + \left(14 a^{2} + 19 a + 28\right)\cdot 61^{72} + \left(5 a^{2} + 21\right)\cdot 61^{73} + \left(32 a^{2} + 59 a + 39\right)\cdot 61^{74} + \left(16 a^{2} + 13 a + 40\right)\cdot 61^{75} + \left(8 a^{2} + 26 a + 4\right)\cdot 61^{76} + \left(8 a^{2} + 41 a + 32\right)\cdot 61^{77} + \left(6 a^{2} + 28 a + 3\right)\cdot 61^{78} + \left(48 a^{2} + 43 a + 55\right)\cdot 61^{79} + \left(24 a^{2} + 42 a + 26\right)\cdot 61^{80} + \left(53 a^{2} + 53 a + 3\right)\cdot 61^{81} + \left(12 a^{2} + 57 a + 47\right)\cdot 61^{82} + \left(53 a^{2} + 37 a + 42\right)\cdot 61^{83} + \left(52 a^{2} + 42 a + 28\right)\cdot 61^{84} + \left(a^{2} + 54 a + 30\right)\cdot 61^{85} + \left(56 a^{2} + 41 a + 18\right)\cdot 61^{86} + \left(51 a^{2} + 43 a + 15\right)\cdot 61^{87} + \left(49 a^{2} + 3 a + 54\right)\cdot 61^{88} + \left(3 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 61^{89} + \left(40 a^{2} + 8 a + 19\right)\cdot 61^{90} + \left(6 a^{2} + 36 a + 23\right)\cdot 61^{91} + \left(44 a^{2} + 46 a + 58\right)\cdot 61^{92} + \left(53 a^{2} + 57 a + 41\right)\cdot 61^{93} + \left(47 a^{2} + 21 a + 8\right)\cdot 61^{94} + \left(44 a^{2} + 13 a + 48\right)\cdot 61^{95} + \left(41 a^{2} + 51 a + 8\right)\cdot 61^{96} + \left(a^{2} + 29 a + 45\right)\cdot 61^{97} + \left(13 a^{2} + 60 a + 48\right)\cdot 61^{98} + \left(44 a^{2} + 53 a + 39\right)\cdot 61^{99} + \left(8 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 61^{100} + \left(40 a^{2} + 6 a + 19\right)\cdot 61^{101} + \left(28 a^{2} + 51 a + 21\right)\cdot 61^{102} + \left(51 a^{2} + 40 a + 42\right)\cdot 61^{103} + \left(36 a^{2} + 48 a + 46\right)\cdot 61^{104} + \left(42 a^{2} + 46 a + 48\right)\cdot 61^{105} + \left(47 a + 6\right)\cdot 61^{106} + \left(22 a^{2} + 37 a + 26\right)\cdot 61^{107} + \left(12 a^{2} + 38 a + 47\right)\cdot 61^{108} + \left(40 a^{2} + 55 a + 59\right)\cdot 61^{109} + \left(47 a^{2} + 13 a + 48\right)\cdot 61^{110} + \left(43 a^{2} + 25 a + 40\right)\cdot 61^{111} + \left(39 a^{2} + 57 a + 9\right)\cdot 61^{112} + \left(39 a^{2} + 22 a + 24\right)\cdot 61^{113} + \left(38 a^{2} + 15 a + 30\right)\cdot 61^{114} + \left(56 a^{2} + 15 a + 49\right)\cdot 61^{115} + \left(52 a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 61^{116} + \left(48 a + 36\right)\cdot 61^{117} + \left(13 a^{2} + 47 a + 10\right)\cdot 61^{118} + \left(10 a^{2} + 43 a + 58\right)\cdot 61^{119} + \left(51 a^{2} + 45 a + 10\right)\cdot 61^{120} + \left(34 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 61^{121} + \left(6 a^{2} + 29 a + 4\right)\cdot 61^{122} + \left(57 a^{2} + 38 a + 21\right)\cdot 61^{123} + \left(3 a^{2} + a + 7\right)\cdot 61^{124} + \left(11 a^{2} + 30 a + 14\right)\cdot 61^{125} + \left(18 a^{2} + 25 a + 14\right)\cdot 61^{126} + \left(24 a^{2} + 56 a + 24\right)\cdot 61^{127} +O\left(61^{ 128 }\right)$

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 9 }$

Cycle notation
$(2,5)(3,7)(4,9)$
$(1,2,5)(3,7,6)(4,9,8)$
$(2,3,4)$
$(1,6,8)$
$(2,3)$
$(5,7,9)$

Character values on conjugacy classes

SizeOrderAction on $r_1, \ldots, r_{ 9 }$ Character value
$1$$1$$()$$8$
$9$$2$$(2,3)$$0$
$18$$2$$(2,5)(3,7)(4,9)$$4$
$27$$2$$(1,6)(2,3)(5,7)$$0$
$27$$2$$(2,3)(5,7)$$0$
$54$$2$$(1,5)(2,3)(6,7)(8,9)$$0$
$6$$3$$(1,6,8)$$-4$
$8$$3$$(1,6,8)(2,3,4)(5,7,9)$$-1$
$12$$3$$(1,6,8)(2,3,4)$$2$
$72$$3$$(1,2,5)(3,7,6)(4,9,8)$$2$
$54$$4$$(2,7,3,5)(4,9)$$0$
$162$$4$$(1,2,6,3)(4,8)(7,9)$$0$
$36$$6$$(1,6,8)(2,5)(3,7)(4,9)$$-2$
$36$$6$$(1,3,6,4,8,2)$$-2$
$36$$6$$(1,6,8)(2,3)$$0$
$36$$6$$(1,6,8)(2,3)(5,7,9)$$0$
$54$$6$$(1,8,6)(2,3)(5,7)$$0$
$72$$6$$(1,6,8)(2,5,3,7,4,9)$$1$
$108$$6$$(1,7,6,9,8,5)(2,3)$$0$
$216$$6$$(1,2,7,6,3,5)(4,9,8)$$0$
$144$$9$$(1,3,7,6,4,9,8,2,5)$$-1$
$108$$12$$(1,6,8)(2,7,3,5)(4,9)$$0$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.