# Properties

 Label 8.44899914816.12t213.a.a Dimension 8 Group $S_3\wr S_3$ Conductor $2^{6} \cdot 3^{10} \cdot 109^{2}$ Root number 1 Frobenius-Schur indicator 1

# Related objects

## Basic invariants

 Dimension: $8$ Group: $S_3\wr S_3$ Conductor: $44899914816= 2^{6} \cdot 3^{10} \cdot 109^{2}$ Artin number field: Splitting field of 9.1.60420873024.1 defined by $f= x^{9} - 4 x^{8} + 5 x^{7} + 5 x^{6} - 17 x^{5} + 10 x^{4} + 10 x^{3} - 13 x^{2} + 5 x - 3$ over $\Q$ Size of Galois orbit: 1 Smallest containing permutation representation: 12T213 Parity: Even Determinant: 1.1.1t1.a.a Projective image: $S_3\wr S_3$ Projective field: Galois closure of 9.1.60420873024.1

## Galois action

### Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 61 }$ to precision 128.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 61 }$: $x^{3} + 7 x + 59$
Roots:
 $r_{ 1 }$ $=$ $40 a^{2} + 40 a + 44 + \left(56 a^{2} + 52 a + 33\right)\cdot 61 + \left(35 a^{2} + 9 a + 36\right)\cdot 61^{2} + \left(32 a^{2} + 3 a + 24\right)\cdot 61^{3} + \left(54 a^{2} + 20 a + 10\right)\cdot 61^{4} + \left(14 a^{2} + 10 a + 58\right)\cdot 61^{5} + \left(58 a^{2} + a + 37\right)\cdot 61^{6} + \left(55 a^{2} + 23 a + 60\right)\cdot 61^{7} + \left(44 a^{2} + 60 a + 39\right)\cdot 61^{8} + \left(22 a^{2} + 47 a + 8\right)\cdot 61^{9} + \left(51 a^{2} + 35 a + 20\right)\cdot 61^{10} + \left(48 a^{2} + 36 a + 50\right)\cdot 61^{11} + \left(4 a^{2} + 36 a + 51\right)\cdot 61^{12} + \left(11 a^{2} + 24 a + 19\right)\cdot 61^{13} + \left(40 a^{2} + 42 a + 42\right)\cdot 61^{14} + \left(29 a^{2} + 29 a + 45\right)\cdot 61^{15} + \left(27 a^{2} + 8 a + 50\right)\cdot 61^{16} + \left(37 a^{2} + 23 a + 54\right)\cdot 61^{17} + \left(21 a^{2} + 45 a + 54\right)\cdot 61^{18} + \left(9 a^{2} + 48 a + 9\right)\cdot 61^{19} + \left(4 a^{2} + 8 a + 44\right)\cdot 61^{20} + \left(51 a^{2} + 9 a + 24\right)\cdot 61^{21} + \left(11 a^{2} + 25 a + 11\right)\cdot 61^{22} + \left(34 a^{2} + 3 a + 44\right)\cdot 61^{23} + \left(28 a^{2} + 59 a + 14\right)\cdot 61^{24} + \left(20 a^{2} + 28 a + 16\right)\cdot 61^{25} + \left(57 a^{2} + 50 a + 36\right)\cdot 61^{26} + \left(56 a^{2} + 41 a + 11\right)\cdot 61^{27} + \left(19 a^{2} + 27 a + 31\right)\cdot 61^{28} + \left(7 a^{2} + 7 a + 60\right)\cdot 61^{29} + \left(42 a + 29\right)\cdot 61^{30} + \left(11 a^{2} + 41 a + 59\right)\cdot 61^{31} + \left(38 a^{2} + 48 a + 46\right)\cdot 61^{32} + \left(59 a^{2} + 47 a + 5\right)\cdot 61^{33} + \left(5 a^{2} + 30 a\right)\cdot 61^{34} + \left(11 a^{2} + 19 a + 22\right)\cdot 61^{35} + \left(42 a^{2} + 12 a + 40\right)\cdot 61^{36} + \left(42 a^{2} + 55 a + 12\right)\cdot 61^{37} + \left(43 a^{2} + 2 a + 30\right)\cdot 61^{38} + \left(17 a^{2} + 16 a + 22\right)\cdot 61^{39} + \left(26 a^{2} + 19 a + 41\right)\cdot 61^{40} + \left(43 a^{2} + 37 a + 47\right)\cdot 61^{41} + \left(51 a^{2} + 35 a + 50\right)\cdot 61^{42} + \left(24 a^{2} + 15 a + 55\right)\cdot 61^{43} + \left(9 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 61^{44} + \left(50 a^{2} + 7 a + 24\right)\cdot 61^{45} + \left(41 a^{2} + 5 a + 18\right)\cdot 61^{46} + \left(41 a^{2} + 31 a + 46\right)\cdot 61^{47} + \left(20 a^{2} + 52 a + 36\right)\cdot 61^{48} + \left(8 a^{2} + 50 a + 32\right)\cdot 61^{49} + \left(13 a^{2} + 4 a + 44\right)\cdot 61^{50} + \left(19 a^{2} + 6 a + 37\right)\cdot 61^{51} + \left(12 a^{2} + 25 a + 58\right)\cdot 61^{52} + \left(8 a^{2} + 19 a + 33\right)\cdot 61^{53} + \left(10 a^{2} + 42 a + 19\right)\cdot 61^{54} + \left(8 a^{2} + 55 a + 56\right)\cdot 61^{55} + \left(27 a^{2} + 50 a + 23\right)\cdot 61^{56} + \left(39 a^{2} + 54 a + 25\right)\cdot 61^{57} + \left(34 a^{2} + 14 a + 24\right)\cdot 61^{58} + \left(57 a^{2} + 31 a + 41\right)\cdot 61^{59} + \left(35 a^{2} + 42 a + 54\right)\cdot 61^{60} + \left(32 a^{2} + 48 a + 46\right)\cdot 61^{61} + \left(37 a^{2} + 43 a + 11\right)\cdot 61^{62} + \left(48 a^{2} + 32 a + 25\right)\cdot 61^{63} + \left(37 a^{2} + 38 a + 29\right)\cdot 61^{64} + \left(32 a^{2} + 19 a + 2\right)\cdot 61^{65} + \left(11 a^{2} + 47 a + 2\right)\cdot 61^{66} + \left(21 a^{2} + 30 a + 30\right)\cdot 61^{67} + \left(39 a^{2} + 22 a + 2\right)\cdot 61^{68} + \left(28 a^{2} + 54 a + 60\right)\cdot 61^{69} + \left(47 a^{2} + 51 a + 57\right)\cdot 61^{70} + \left(55 a^{2} + a\right)\cdot 61^{71} + \left(27 a^{2} + 34 a + 17\right)\cdot 61^{72} + \left(20 a + 19\right)\cdot 61^{73} + \left(30 a^{2} + 20 a + 37\right)\cdot 61^{74} + \left(37 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 61^{75} + \left(56 a^{2} + 26 a + 29\right)\cdot 61^{76} + \left(47 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 61^{77} + \left(56 a^{2} + 3 a + 57\right)\cdot 61^{78} + 20\cdot 61^{79} + \left(19 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 61^{80} + \left(15 a^{2} + 39 a + 22\right)\cdot 61^{81} + \left(22 a^{2} + 31 a + 55\right)\cdot 61^{82} + \left(24 a^{2} + 49 a + 1\right)\cdot 61^{83} + \left(33 a^{2} + 29 a + 60\right)\cdot 61^{84} + \left(52 a^{2} + 18 a + 30\right)\cdot 61^{85} + \left(46 a^{2} + 45 a + 32\right)\cdot 61^{86} + \left(47 a^{2} + 38 a + 4\right)\cdot 61^{87} + \left(8 a^{2} + 22 a + 3\right)\cdot 61^{88} + \left(43 a^{2} + 52 a + 37\right)\cdot 61^{89} + \left(51 a^{2} + 58 a + 19\right)\cdot 61^{90} + \left(11 a^{2} + 35 a + 13\right)\cdot 61^{91} + \left(15 a^{2} + 47 a + 14\right)\cdot 61^{92} + \left(53 a^{2} + 56 a + 2\right)\cdot 61^{93} + \left(45 a^{2} + 45 a + 19\right)\cdot 61^{94} + \left(28 a^{2} + 40 a + 11\right)\cdot 61^{95} + \left(9 a^{2} + 44 a + 45\right)\cdot 61^{96} + \left(10 a^{2} + 10 a + 29\right)\cdot 61^{97} + \left(30 a^{2} + 4\right)\cdot 61^{98} + \left(32 a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 61^{99} + \left(34 a^{2} + 49 a + 39\right)\cdot 61^{100} + \left(35 a^{2} + 18 a + 37\right)\cdot 61^{101} + \left(3 a^{2} + 9 a + 18\right)\cdot 61^{102} + \left(2 a^{2} + 41 a + 22\right)\cdot 61^{103} + \left(50 a^{2} + 23 a + 57\right)\cdot 61^{104} + \left(26 a^{2} + 46 a + 11\right)\cdot 61^{105} + \left(2 a^{2} + 55 a\right)\cdot 61^{106} + \left(26 a^{2} + 46 a + 56\right)\cdot 61^{107} + \left(41 a^{2} + 13 a + 12\right)\cdot 61^{108} + \left(43 a^{2} + 7 a + 27\right)\cdot 61^{109} + \left(49 a^{2} + 5 a + 24\right)\cdot 61^{110} + \left(26 a^{2} + 40 a + 3\right)\cdot 61^{111} + \left(8 a^{2} + 50 a + 27\right)\cdot 61^{112} + \left(38 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 61^{113} + \left(44 a^{2} + 40 a + 44\right)\cdot 61^{114} + \left(20 a^{2} + 44 a + 15\right)\cdot 61^{115} + \left(12 a^{2} + 50 a + 27\right)\cdot 61^{116} + \left(34 a^{2} + 56 a + 28\right)\cdot 61^{117} + \left(11 a^{2} + 47 a + 21\right)\cdot 61^{118} + \left(31 a^{2} + 12 a + 47\right)\cdot 61^{119} + \left(\frac{1537}{32} a^{2} + 58 a + \frac{1247}{32}\right)\cdot 61^{120} + \left(36 a^{2} + 24 a + 40\right)\cdot 61^{121} + \left(5 a^{2} + 20 a + 60\right)\cdot 61^{122} + \left(15 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 61^{123} + \left(19 a^{2} + 35 a + 38\right)\cdot 61^{124} + \left(5 a^{2} + 36 a + 7\right)\cdot 61^{125} + \left(46 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 61^{126} + \left(53 a^{2} + 27 a + 60\right)\cdot 61^{127} +O\left(61^{ 128 }\right)$ $r_{ 2 }$ $=$ $5 a^{2} + 39 a + 35 + \left(53 a^{2} + 21 a + 24\right)\cdot 61 + \left(4 a^{2} + 57 a + 7\right)\cdot 61^{2} + \left(12 a^{2} + 25 a + 9\right)\cdot 61^{3} + \left(27 a^{2} + 39 a + 50\right)\cdot 61^{4} + \left(10 a^{2} + 48 a + 51\right)\cdot 61^{5} + \left(11 a^{2} + 22 a + 6\right)\cdot 61^{6} + \left(59 a^{2} + 23 a + 9\right)\cdot 61^{7} + \left(9 a^{2} + 54\right)\cdot 61^{8} + \left(11 a^{2} + 37 a + 30\right)\cdot 61^{9} + \left(21 a^{2} + 9 a + 45\right)\cdot 61^{10} + \left(36 a^{2} + 14 a + 18\right)\cdot 61^{11} + \left(39 a^{2} + 47 a + 39\right)\cdot 61^{12} + \left(38 a^{2} + 22 a + 59\right)\cdot 61^{13} + \left(60 a^{2} + 49 a + 50\right)\cdot 61^{14} + \left(11 a^{2} + 53 a + 55\right)\cdot 61^{15} + \left(7 a + 41\right)\cdot 61^{16} + \left(43 a^{2} + 44 a + 46\right)\cdot 61^{17} + \left(45 a^{2} + 21 a + 22\right)\cdot 61^{18} + \left(59 a^{2} + 32 a + 30\right)\cdot 61^{19} + \left(40 a^{2} + 58 a + 33\right)\cdot 61^{20} + \left(12 a^{2} + 45 a + 30\right)\cdot 61^{21} + \left(31 a^{2} + 52 a + 51\right)\cdot 61^{22} + \left(10 a^{2} + 11 a + 44\right)\cdot 61^{23} + \left(43 a^{2} + 40 a + 33\right)\cdot 61^{24} + \left(4 a^{2} + 34 a + 40\right)\cdot 61^{25} + \left(13 a^{2} + 18 a + 52\right)\cdot 61^{26} + \left(18 a^{2} + 38 a + 4\right)\cdot 61^{27} + \left(14 a^{2} + 24 a + 59\right)\cdot 61^{28} + \left(33 a^{2} + 27 a + 29\right)\cdot 61^{29} + \left(60 a^{2} + 22 a + 14\right)\cdot 61^{30} + \left(27 a^{2} + 19 a + 54\right)\cdot 61^{31} + \left(18 a^{2} + 29 a + 43\right)\cdot 61^{32} + \left(2 a^{2} + 33 a + 18\right)\cdot 61^{33} + \left(4 a^{2} + 20 a + 14\right)\cdot 61^{34} + \left(30 a^{2} + 15 a + 28\right)\cdot 61^{35} + \left(18 a^{2} + 25 a + 13\right)\cdot 61^{36} + \left(21 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 61^{37} + \left(43 a^{2} + 28 a + 48\right)\cdot 61^{38} + \left(11 a^{2} + 15 a + 36\right)\cdot 61^{39} + \left(18 a^{2} + 23 a + 9\right)\cdot 61^{40} + \left(22 a^{2} + 58 a + 10\right)\cdot 61^{41} + \left(32 a^{2} + 55 a + 28\right)\cdot 61^{42} + \left(40 a^{2} + 17 a + 46\right)\cdot 61^{43} + \left(20 a^{2} + 5 a + 41\right)\cdot 61^{44} + \left(7 a^{2} + 21 a + 42\right)\cdot 61^{45} + \left(36 a^{2} + 33 a + 8\right)\cdot 61^{46} + \left(15 a^{2} + 58 a + 1\right)\cdot 61^{47} + \left(2 a^{2} + 19 a + 46\right)\cdot 61^{48} + \left(17 a^{2} + 32 a + 38\right)\cdot 61^{49} + \left(21 a^{2} + 4 a + 45\right)\cdot 61^{50} + \left(60 a^{2} + 9 a + 29\right)\cdot 61^{51} + \left(21 a^{2} + 37 a + 38\right)\cdot 61^{52} + \left(19 a^{2} + 35 a + 59\right)\cdot 61^{53} + \left(34 a^{2} + 17 a + 50\right)\cdot 61^{54} + \left(5 a^{2} + 17 a + 48\right)\cdot 61^{55} + \left(4 a^{2} + 24 a + 29\right)\cdot 61^{56} + \left(48 a^{2} + 41 a + 12\right)\cdot 61^{57} + \left(43 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 61^{58} + \left(3 a^{2} + 20 a + 17\right)\cdot 61^{59} + \left(51 a^{2} + 57 a + 4\right)\cdot 61^{60} + \left(24 a^{2} + 45 a + 54\right)\cdot 61^{61} + \left(40 a^{2} + 22 a + 31\right)\cdot 61^{62} + \left(23 a^{2} + 32 a + 37\right)\cdot 61^{63} + \left(18 a^{2} + 32 a + 32\right)\cdot 61^{64} + \left(23 a^{2} + 26 a + 5\right)\cdot 61^{65} + \left(26 a^{2} + 24 a + 37\right)\cdot 61^{66} + \left(12 a^{2} + 55 a + 55\right)\cdot 61^{67} + \left(37 a^{2} + 32 a + 12\right)\cdot 61^{68} + \left(35 a^{2} + 24 a + 40\right)\cdot 61^{69} + \left(30 a + 21\right)\cdot 61^{70} + \left(13 a^{2} + 29 a + 13\right)\cdot 61^{71} + \left(38 a^{2} + 33 a + 4\right)\cdot 61^{72} + \left(54 a^{2} + 16 a + 22\right)\cdot 61^{73} + \left(43 a^{2} + 51 a + 12\right)\cdot 61^{74} + \left(55 a^{2} + 47 a + 58\right)\cdot 61^{75} + \left(37 a^{2} + 57 a + 43\right)\cdot 61^{76} + \left(41 a^{2} + 16 a + 50\right)\cdot 61^{77} + \left(16 a^{2} + 22 a + 36\right)\cdot 61^{78} + \left(18 a^{2} + 44 a + 23\right)\cdot 61^{79} + \left(42 a^{2} + 19 a + 16\right)\cdot 61^{80} + \left(a^{2} + 4 a + 38\right)\cdot 61^{81} + \left(18 a^{2} + 13 a + 37\right)\cdot 61^{82} + \left(54 a^{2} + 45 a + 40\right)\cdot 61^{83} + \left(27 a^{2} + 29 a + 26\right)\cdot 61^{84} + \left(a^{2} + 21 a + 2\right)\cdot 61^{85} + \left(30 a^{2} + a + 33\right)\cdot 61^{86} + \left(25 a^{2} + 3 a + 34\right)\cdot 61^{87} + \left(30 a^{2} + 58 a + 7\right)\cdot 61^{88} + \left(25 a^{2} + 12 a + 27\right)\cdot 61^{89} + \left(35 a^{2} + 51 a + 50\right)\cdot 61^{90} + \left(41 a^{2} + 26 a + 9\right)\cdot 61^{91} + \left(28 a^{2} + 24 a + 29\right)\cdot 61^{92} + \left(34 a^{2} + 6 a\right)\cdot 61^{93} + \left(33 a^{2} + 19 a + 46\right)\cdot 61^{94} + \left(23 a^{2} + 49 a + 41\right)\cdot 61^{95} + \left(56 a^{2} + 23 a + 9\right)\cdot 61^{96} + \left(60 a^{2} + 36 a + 11\right)\cdot 61^{97} + \left(57 a^{2} + 18 a + 49\right)\cdot 61^{98} + \left(24 a^{2} + 51 a + 7\right)\cdot 61^{99} + \left(27 a^{2} + 49 a + 22\right)\cdot 61^{100} + \left(32 a^{2} + 49 a + 49\right)\cdot 61^{101} + \left(28 a^{2} + 39 a + 16\right)\cdot 61^{102} + \left(58 a^{2} + 4 a + 22\right)\cdot 61^{103} + \left(27 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 61^{104} + \left(10 a^{2} + 10 a + 45\right)\cdot 61^{105} + \left(37 a^{2} + 48 a + 18\right)\cdot 61^{106} + \left(47 a^{2} + 4 a + 52\right)\cdot 61^{107} + \left(22 a^{2} + 35 a + 22\right)\cdot 61^{108} + \left(38 a^{2} + 5 a + 26\right)\cdot 61^{109} + \left(53 a^{2} + 7 a + 59\right)\cdot 61^{110} + \left(33 a^{2} + 2 a + 39\right)\cdot 61^{111} + \left(58 a^{2} + 57 a + 27\right)\cdot 61^{112} + \left(26 a^{2} + 9 a + 38\right)\cdot 61^{113} + \left(25 a^{2} + 2 a + 55\right)\cdot 61^{114} + \left(42 a^{2} + 35 a + 33\right)\cdot 61^{115} + \left(33 a^{2} + 19 a + 30\right)\cdot 61^{116} + \left(34 a^{2} + 47 a + 38\right)\cdot 61^{117} + \left(29 a^{2} + 59 a + 40\right)\cdot 61^{118} + \left(48 a^{2} + 28 a + 60\right)\cdot 61^{119} + \left(14 a^{2} + 41 a + 59\right)\cdot 61^{120} + \left(42 a^{2} + 24 a + 57\right)\cdot 61^{121} + \left(26 a^{2} + 20 a + 25\right)\cdot 61^{122} + \left(51 a + 49\right)\cdot 61^{123} + \left(24 a^{2} + 58 a + 5\right)\cdot 61^{124} + \left(33 a^{2} + 7 a + 49\right)\cdot 61^{125} + \left(35 a^{2} + 26 a + 30\right)\cdot 61^{126} + \left(13 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 61^{127} +O\left(61^{ 128 }\right)$ $r_{ 3 }$ $=$ $19 a^{2} + 16 a + 7 + \left(19 a^{2} + 46 a + 6\right)\cdot 61 + \left(16 a^{2} + 48 a + 14\right)\cdot 61^{2} + \left(9 a^{2} + 14 a + 42\right)\cdot 61^{3} + \left(8 a^{2} + 60 a + 53\right)\cdot 61^{4} + \left(44 a^{2} + 52 a + 27\right)\cdot 61^{5} + \left(28 a^{2} + 36 a + 8\right)\cdot 61^{6} + \left(44 a^{2} + 51 a + 56\right)\cdot 61^{7} + \left(9 a^{2} + 57 a + 59\right)\cdot 61^{8} + \left(6 a^{2} + 46 a + 28\right)\cdot 61^{9} + \left(a^{2} + 37 a + 31\right)\cdot 61^{10} + \left(60 a^{2} + 28 a + 32\right)\cdot 61^{11} + \left(35 a^{2} + 60 a + 35\right)\cdot 61^{12} + \left(60 a^{2} + 49 a + 17\right)\cdot 61^{13} + \left(40 a^{2} + 53 a + 20\right)\cdot 61^{14} + \left(46 a^{2} + 20 a + 34\right)\cdot 61^{15} + \left(33 a^{2} + 53 a + 14\right)\cdot 61^{16} + \left(2 a^{2} + 31 a + 1\right)\cdot 61^{17} + \left(55 a^{2} + 19 a + 31\right)\cdot 61^{18} + \left(48 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 61^{19} + \left(27 a^{2} + 32 a + 56\right)\cdot 61^{20} + \left(6 a^{2} + 60 a + 21\right)\cdot 61^{21} + \left(a^{2} + 8 a + 55\right)\cdot 61^{22} + \left(28 a^{2} + 20 a + 32\right)\cdot 61^{23} + \left(10 a^{2} + 2 a + 55\right)\cdot 61^{24} + \left(42 a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 61^{25} + \left(17 a^{2} + 56 a + 50\right)\cdot 61^{26} + \left(39 a^{2} + 50 a + 48\right)\cdot 61^{27} + \left(41 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 61^{28} + \left(5 a^{2} + 11 a\right)\cdot 61^{29} + \left(15 a^{2} + 44 a + 38\right)\cdot 61^{30} + \left(38 a^{2} + 32 a + 17\right)\cdot 61^{31} + \left(a^{2} + 29 a + 1\right)\cdot 61^{32} + \left(26 a^{2} + 30 a + 10\right)\cdot 61^{33} + \left(16 a^{2} + 14 a + 59\right)\cdot 61^{34} + \left(59 a^{2} + 3 a + 50\right)\cdot 61^{35} + \left(48 a^{2} + 32 a + 30\right)\cdot 61^{36} + \left(51 a^{2} + 16 a + 25\right)\cdot 61^{37} + \left(51 a^{2} + 24 a + 24\right)\cdot 61^{38} + \left(44 a^{2} + 9 a + 29\right)\cdot 61^{39} + \left(19 a^{2} + 39 a + 20\right)\cdot 61^{40} + \left(22 a^{2} + 15\right)\cdot 61^{41} + \left(9 a + 29\right)\cdot 61^{42} + \left(45 a^{2} + 5 a + 41\right)\cdot 61^{43} + \left(6 a^{2} + 11 a + 48\right)\cdot 61^{44} + \left(6 a^{2} + 14 a + 10\right)\cdot 61^{45} + \left(30 a^{2} + 18 a + 41\right)\cdot 61^{46} + \left(9 a^{2} + 15\right)\cdot 61^{47} + \left(18 a^{2} + 42 a + 56\right)\cdot 61^{48} + \left(42 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 61^{49} + \left(50 a^{2} + 40 a + 56\right)\cdot 61^{50} + \left(19 a^{2} + 33 a + 4\right)\cdot 61^{51} + \left(29 a^{2} + 16 a + 45\right)\cdot 61^{52} + \left(38 a^{2} + 43 a + 43\right)\cdot 61^{53} + \left(35 a^{2} + 11 a + 57\right)\cdot 61^{54} + \left(50 a^{2} + 38 a + 51\right)\cdot 61^{55} + \left(46 a^{2} + 28 a + 38\right)\cdot 61^{56} + \left(17 a^{2} + 22 a + 31\right)\cdot 61^{57} + \left(42 a^{2} + 51 a + 17\right)\cdot 61^{58} + \left(47 a^{2} + 26 a + 56\right)\cdot 61^{59} + \left(49 a^{2} + 42 a + 32\right)\cdot 61^{60} + \left(14 a^{2} + 21 a + 24\right)\cdot 61^{61} + \left(33 a^{2} + 31 a + 47\right)\cdot 61^{62} + \left(59 a^{2} + 9 a + 42\right)\cdot 61^{63} + \left(51 a^{2} + 27 a + 10\right)\cdot 61^{64} + \left(13 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 61^{65} + \left(5 a^{2} + 41 a + 57\right)\cdot 61^{66} + \left(44 a^{2} + 4 a + 55\right)\cdot 61^{67} + \left(16 a^{2} + 47 a + 22\right)\cdot 61^{68} + \left(31 a^{2} + 41 a + 34\right)\cdot 61^{69} + \left(48 a^{2} + 51 a + 3\right)\cdot 61^{70} + \left(44 a^{2} + 50 a + 42\right)\cdot 61^{71} + \left(49 a^{2} + 13 a + 46\right)\cdot 61^{72} + \left(19 a^{2} + 37 a + 28\right)\cdot 61^{73} + \left(40 a^{2} + 48 a\right)\cdot 61^{74} + \left(34 a^{2} + 45 a + 31\right)\cdot 61^{75} + \left(49 a^{2} + 29 a + 45\right)\cdot 61^{76} + \left(47 a^{2} + 57 a\right)\cdot 61^{77} + \left(56 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 61^{78} + \left(18 a^{2} + 38 a + 1\right)\cdot 61^{79} + \left(19 a^{2} + 20 a + 18\right)\cdot 61^{80} + \left(49 a^{2} + 37 a + 30\right)\cdot 61^{81} + \left(17 a^{2} + a + 19\right)\cdot 61^{82} + \left(48 a^{2} + 39 a + 25\right)\cdot 61^{83} + \left(17 a^{2} + 57 a + 32\right)\cdot 61^{84} + \left(49 a^{2} + 48 a + 46\right)\cdot 61^{85} + \left(33 a^{2} + 7 a + 52\right)\cdot 61^{86} + \left(10 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 61^{87} + \left(35 a^{2} + 37 a + 40\right)\cdot 61^{88} + \left(44 a^{2} + 19 a + 24\right)\cdot 61^{89} + \left(35 a^{2} + 30 a + 26\right)\cdot 61^{90} + \left(2 a^{2} + 3 a + 54\right)\cdot 61^{91} + \left(48 a^{2} + 25 a + 10\right)\cdot 61^{92} + \left(26 a^{2} + 44 a + 52\right)\cdot 61^{93} + \left(45 a^{2} + 34 a + 10\right)\cdot 61^{94} + \left(14 a^{2} + 46 a + 42\right)\cdot 61^{95} + \left(11 a^{2} + 60 a + 8\right)\cdot 61^{96} + \left(41 a^{2} + 42 a + 27\right)\cdot 61^{97} + \left(2 a^{2} + 26 a + 24\right)\cdot 61^{98} + \left(5 a^{2} + 17 a + 44\right)\cdot 61^{99} + \left(50 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 61^{100} + \left(58 a^{2} + 29 a + 36\right)\cdot 61^{101} + \left(56 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 61^{102} + \left(36 a^{2} + 21 a + 11\right)\cdot 61^{103} + \left(7 a^{2} + 38 a + 49\right)\cdot 61^{104} + \left(29 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 61^{105} + \left(11 a^{2} + 58 a + 59\right)\cdot 61^{106} + \left(50 a^{2} + 56 a + 47\right)\cdot 61^{107} + \left(36 a^{2} + 36 a + 2\right)\cdot 61^{108} + \left(3 a^{2} + 55 a + 9\right)\cdot 61^{109} + \left(17 a^{2} + 29 a + 22\right)\cdot 61^{110} + \left(59 a^{2} + 23 a + 40\right)\cdot 61^{111} + \left(45 a^{2} + 31 a + 18\right)\cdot 61^{112} + \left(23 a^{2} + 51 a + 12\right)\cdot 61^{113} + \left(51 a^{2} + 12 a + 48\right)\cdot 61^{114} + \left(7 a^{2} + 32 a + 48\right)\cdot 61^{115} + \left(12 a^{2} + 56 a + 46\right)\cdot 61^{116} + \left(44 a^{2} + 31 a + 38\right)\cdot 61^{117} + \left(33 a^{2} + 55 a + 40\right)\cdot 61^{118} + \left(20 a^{2} + 3 a + 59\right)\cdot 61^{119} + \left(22 a^{2} + 18 a + 58\right)\cdot 61^{120} + \left(50 a^{2} + 25 a + 42\right)\cdot 61^{121} + \left(48 a^{2} + 11 a + 38\right)\cdot 61^{122} + \left(49 a^{2} + 19 a + 27\right)\cdot 61^{123} + \left(37 a^{2} + 24 a + 43\right)\cdot 61^{124} + \left(44 a^{2} + 55 a + 48\right)\cdot 61^{125} + \left(57 a^{2} + 24 a + 15\right)\cdot 61^{126} + \left(43 a^{2} + 38 a + 14\right)\cdot 61^{127} +O\left(61^{ 128 }\right)$ $r_{ 4 }$ $=$ $51 a^{2} + 47 a + 45 + \left(37 a^{2} + 2 a + 26\right)\cdot 61 + \left(51 a^{2} + 56 a + 20\right)\cdot 61^{2} + \left(39 a^{2} + 46 a + 34\right)\cdot 61^{3} + \left(23 a^{2} + 13 a + 19\right)\cdot 61^{4} + \left(18 a^{2} + 45 a + 48\right)\cdot 61^{5} + \left(30 a^{2} + 23 a + 9\right)\cdot 61^{6} + \left(46 a^{2} + 16 a + 47\right)\cdot 61^{7} + \left(39 a^{2} + 5 a + 32\right)\cdot 61^{8} + \left(33 a^{2} + 21 a + 58\right)\cdot 61^{9} + \left(49 a^{2} + 14 a + 40\right)\cdot 61^{10} + \left(12 a^{2} + 26 a + 22\right)\cdot 61^{11} + \left(13 a^{2} + 57 a + 57\right)\cdot 61^{12} + \left(30 a^{2} + 17\right)\cdot 61^{13} + \left(51 a^{2} + 57 a + 38\right)\cdot 61^{14} + \left(45 a^{2} + 7 a + 24\right)\cdot 61^{15} + \left(46 a^{2} + 18 a + 45\right)\cdot 61^{16} + \left(54 a^{2} + 58 a + 16\right)\cdot 61^{17} + \left(17 a^{2} + 37 a + 51\right)\cdot 61^{18} + \left(35 a^{2} + 4 a + 49\right)\cdot 61^{19} + \left(31 a^{2} + 45 a + 58\right)\cdot 61^{20} + \left(33 a^{2} + 11 a + 45\right)\cdot 61^{21} + \left(23 a^{2} + 56 a + 56\right)\cdot 61^{22} + \left(20 a^{2} + 27 a + 11\right)\cdot 61^{23} + \left(33 a^{2} + 30 a + 28\right)\cdot 61^{24} + \left(50 a^{2} + 3 a + 23\right)\cdot 61^{25} + \left(24 a^{2} + 52 a + 41\right)\cdot 61^{26} + \left(a^{2} + 16 a + 53\right)\cdot 61^{27} + \left(54 a^{2} + 52 a + 12\right)\cdot 61^{28} + \left(31 a^{2} + 25 a + 24\right)\cdot 61^{29} + \left(25 a^{2} + 6 a + 20\right)\cdot 61^{30} + \left(35 a^{2} + 60 a + 40\right)\cdot 61^{31} + \left(a^{2} + 55 a + 26\right)\cdot 61^{32} + \left(35 a^{2} + 31 a + 20\right)\cdot 61^{33} + \left(36 a^{2} + 59 a + 28\right)\cdot 61^{34} + \left(17 a^{2} + 52 a + 12\right)\cdot 61^{35} + \left(34 a^{2} + 2 a + 16\right)\cdot 61^{36} + \left(38 a^{2} + 54 a + 27\right)\cdot 61^{37} + \left(6 a^{2} + 29 a + 10\right)\cdot 61^{38} + \left(28 a^{2} + 32\right)\cdot 61^{39} + \left(42 a^{2} + 57 a + 47\right)\cdot 61^{40} + \left(19 a^{2} + 52 a + 57\right)\cdot 61^{41} + \left(46 a^{2} + 42 a + 17\right)\cdot 61^{42} + \left(49 a^{2} + 30 a + 38\right)\cdot 61^{43} + \left(55 a^{2} + 52 a + 50\right)\cdot 61^{44} + \left(12 a^{2} + 17 a + 26\right)\cdot 61^{45} + \left(14 a^{2} + 52 a + 28\right)\cdot 61^{46} + \left(36 a^{2} + 19 a + 23\right)\cdot 61^{47} + \left(22 a^{2} + 52 a + 28\right)\cdot 61^{48} + \left(19 a^{2} + 49 a + 29\right)\cdot 61^{49} + \left(56 a^{2} + 22 a + 49\right)\cdot 61^{50} + \left(59 a^{2} + 53 a\right)\cdot 61^{51} + \left(51 a^{2} + 45 a + 2\right)\cdot 61^{52} + \left(34 a^{2} + 18 a + 22\right)\cdot 61^{53} + \left(4 a^{2} + 25 a + 47\right)\cdot 61^{54} + \left(39 a^{2} + 9 a + 32\right)\cdot 61^{55} + \left(16 a^{2} + 9 a + 49\right)\cdot 61^{56} + \left(29 a^{2} + 50 a + 30\right)\cdot 61^{57} + \left(46 a^{2} + 26 a + 42\right)\cdot 61^{58} + \left(59 a^{2} + 55 a + 49\right)\cdot 61^{59} + \left(32 a^{2} + 15 a + 24\right)\cdot 61^{60} + \left(39 a^{2} + 51 a + 60\right)\cdot 61^{61} + \left(17 a^{2} + 54 a + 6\right)\cdot 61^{62} + \left(8 a^{2} + 10 a + 44\right)\cdot 61^{63} + \left(57 a^{2} + 53 a + 13\right)\cdot 61^{64} + \left(30 a^{2} + 56 a + 37\right)\cdot 61^{65} + \left(37 a^{2} + 49 a + 48\right)\cdot 61^{66} + \left(39 a^{2} + 27 a + 57\right)\cdot 61^{67} + \left(19 a^{2} + 43 a + 32\right)\cdot 61^{68} + \left(8 a^{2} + 14 a + 30\right)\cdot 61^{69} + \left(28 a^{2} + 17 a + 57\right)\cdot 61^{70} + \left(31 a^{2} + 28\right)\cdot 61^{71} + \left(30 a^{2} + 60 a + 21\right)\cdot 61^{72} + \left(58 a^{2} + a + 12\right)\cdot 61^{73} + \left(a^{2} + 15 a + 56\right)\cdot 61^{74} + \left(28 a^{2} + 52 a + 36\right)\cdot 61^{75} + \left(14 a^{2} + 4 a + 51\right)\cdot 61^{76} + \left(3 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 61^{77} + \left(2 a^{2} + 38 a + 15\right)\cdot 61^{78} + \left(42 a^{2} + 49 a + 58\right)\cdot 61^{79} + \left(60 a^{2} + 18 a + 40\right)\cdot 61^{80} + \left(17 a^{2} + 24 a + 41\right)\cdot 61^{81} + \left(35 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 61^{82} + \left(20 a^{2} + 29 a + 4\right)\cdot 61^{83} + \left(52 a^{2} + 60 a + 39\right)\cdot 61^{84} + \left(12 a^{2} + 15 a + 31\right)\cdot 61^{85} + \left(35 a^{2} + 44 a + 13\right)\cdot 61^{86} + \left(25 a^{2} + 56 a + 16\right)\cdot 61^{87} + \left(2 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 61^{88} + \left(3 a^{2} + 20 a + 27\right)\cdot 61^{89} + \left(14 a^{2} + 30 a + 5\right)\cdot 61^{90} + \left(30 a^{2} + 13\right)\cdot 61^{91} + \left(32 a^{2} + 25 a + 17\right)\cdot 61^{92} + \left(8 a^{2} + 52 a + 6\right)\cdot 61^{93} + \left(38 a^{2} + 6 a + 34\right)\cdot 61^{94} + \left(44 a^{2} + 33 a + 50\right)\cdot 61^{95} + \left(17 a^{2} + 51 a + 7\right)\cdot 61^{96} + \left(19 a^{2} + 57 a + 29\right)\cdot 61^{97} + \left(52 a^{2} + 56 a + 4\right)\cdot 61^{98} + \left(22 a^{2} + 20 a + 51\right)\cdot 61^{99} + \left(12 a^{2} + 40 a + 4\right)\cdot 61^{100} + \left(18 a^{2} + 33 a + 49\right)\cdot 61^{101} + \left(31 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 61^{102} + \left(54 a^{2} + 37 a + 54\right)\cdot 61^{103} + \left(22 a^{2} + 37 a + 52\right)\cdot 61^{104} + \left(7 a^{2} + a + 58\right)\cdot 61^{105} + \left(40 a^{2} + 17 a + 15\right)\cdot 61^{106} + \left(4 a^{2} + 56 a\right)\cdot 61^{107} + \left(28 a^{2} + 56 a + 54\right)\cdot 61^{108} + \left(2 a^{2} + 32 a + 34\right)\cdot 61^{109} + \left(53 a^{2} + 45 a + 16\right)\cdot 61^{110} + \left(21 a^{2} + 2 a + 41\right)\cdot 61^{111} + \left(34 a^{2} + 33 a + 30\right)\cdot 61^{112} + \left(45 a + 29\right)\cdot 61^{113} + \left(57 a^{2} + 28 a + 44\right)\cdot 61^{114} + \left(56 a^{2} + 19 a + 28\right)\cdot 61^{115} + \left(49 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 61^{116} + \left(35 a^{2} + 56\right)\cdot 61^{117} + \left(6 a^{2} + 40 a + 55\right)\cdot 61^{118} + \left(32 a^{2} + 27 a + 31\right)\cdot 61^{119} + \left(46 a^{2} + \frac{671}{32} a + 6\right)\cdot 61^{120} + \left(52 a^{2} + 23 a + 8\right)\cdot 61^{121} + \left(53 a^{2} + 40 a + 51\right)\cdot 61^{122} + \left(59 a^{2} + a + 9\right)\cdot 61^{123} + \left(20 a^{2} + 46 a + 32\right)\cdot 61^{124} + \left(56 a^{2} + 38 a\right)\cdot 61^{125} + \left(5 a^{2} + 24 a + 30\right)\cdot 61^{126} + \left(31 a^{2} + 48 a + 10\right)\cdot 61^{127} +O\left(61^{ 128 }\right)$ $r_{ 5 }$ $=$ $52 a^{2} + 3 a + 51 + \left(15 a^{2} + 46 a + 14\right)\cdot 61 + \left(9 a^{2} + 9 a + 49\right)\cdot 61^{2} + \left(3 a^{2} + 51 a + 5\right)\cdot 61^{3} + \left(40 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 61^{4} + \left(49 a^{2} + 28 a + 29\right)\cdot 61^{5} + \left(23 a^{2} + 2 a + 17\right)\cdot 61^{6} + \left(8 a^{2} + 54 a + 46\right)\cdot 61^{7} + \left(57 a^{2} + 33 a + 16\right)\cdot 61^{8} + \left(58 a^{2} + 7 a + 53\right)\cdot 61^{9} + \left(42 a^{2} + 50 a + 15\right)\cdot 61^{10} + \left(60 a^{2} + 41 a + 7\right)\cdot 61^{11} + \left(6 a^{2} + 34 a + 33\right)\cdot 61^{12} + \left(6 a^{2} + 7 a + 23\right)\cdot 61^{13} + \left(43 a^{2} + 37 a + 58\right)\cdot 61^{14} + \left(30 a^{2} + 50 a + 15\right)\cdot 61^{15} + \left(25 a^{2} + 56 a + 46\right)\cdot 61^{16} + \left(46 a^{2} + 43 a + 14\right)\cdot 61^{17} + \left(9 a^{2} + 9 a + 20\right)\cdot 61^{18} + \left(43 a^{2} + 5 a + 58\right)\cdot 61^{19} + \left(28 a^{2} + 16 a + 47\right)\cdot 61^{20} + \left(39 a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 61^{21} + \left(6 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 61^{22} + \left(58 a^{2} + 26 a + 16\right)\cdot 61^{23} + \left(35 a^{2} + 15 a + 31\right)\cdot 61^{24} + \left(55 a^{2} + 52 a + 43\right)\cdot 61^{25} + \left(6 a^{2} + a + 29\right)\cdot 61^{26} + \left(17 a^{2} + 26 a + 38\right)\cdot 61^{27} + \left(54 a^{2} + 52 a + 59\right)\cdot 61^{28} + \left(31 a^{2} + 13 a + 47\right)\cdot 61^{29} + \left(20 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 61^{30} + \left(47 a^{2} + 6 a + 40\right)\cdot 61^{31} + \left(50 a^{2} + 8 a + 58\right)\cdot 61^{32} + \left(12 a^{2} + 25 a + 29\right)\cdot 61^{33} + \left(48 a^{2} + 30 a + 12\right)\cdot 61^{34} + \left(9 a^{2} + 2 a + 16\right)\cdot 61^{35} + \left(32 a^{2} + 40 a + 1\right)\cdot 61^{36} + \left(8 a^{2} + 30 a + 56\right)\cdot 61^{37} + \left(37 a^{2} + 3 a + 14\right)\cdot 61^{38} + \left(51 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 61^{39} + \left(32 a^{2} + 2 a + 29\right)\cdot 61^{40} + \left(11 a^{2} + 34 a + 30\right)\cdot 61^{41} + \left(19 a^{2} + 10 a + 40\right)\cdot 61^{42} + \left(57 a^{2} + 32 a + 55\right)\cdot 61^{43} + \left(49 a^{2} + 27 a + 19\right)\cdot 61^{44} + \left(38 a^{2} + 19 a + 7\right)\cdot 61^{45} + \left(8 a^{2} + 37 a + 1\right)\cdot 61^{46} + \left(26 a^{2} + 24 a + 31\right)\cdot 61^{47} + \left(a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 61^{48} + \left(14 a^{2} + 23 a + 56\right)\cdot 61^{49} + \left(19 a^{2} + 9 a + 57\right)\cdot 61^{50} + \left(15 a^{2} + 2 a + 54\right)\cdot 61^{51} + \left(59 a^{2} + 9 a + 23\right)\cdot 61^{52} + \left(54 a^{2} + 11 a + 41\right)\cdot 61^{53} + \left(49 a^{2} + 32 a + 60\right)\cdot 61^{54} + \left(9 a^{2} + 24 a + 59\right)\cdot 61^{55} + \left(40 a^{2} + 17 a + 46\right)\cdot 61^{56} + \left(6 a^{2} + 50 a + 19\right)\cdot 61^{57} + \left(24 a^{2} + 39 a + 44\right)\cdot 61^{58} + \left(58 a^{2} + 49 a + 31\right)\cdot 61^{59} + \left(12 a^{2} + 7 a + 51\right)\cdot 61^{60} + \left(54 a^{2} + 32 a + 29\right)\cdot 61^{61} + \left(11 a^{2} + 31 a + 52\right)\cdot 61^{62} + \left(23 a^{2} + 52 a + 30\right)\cdot 61^{63} + \left(51 a^{2} + 35 a + 3\right)\cdot 61^{64} + \left(24 a^{2} + 25 a + 46\right)\cdot 61^{65} + \left(49 a^{2} + 18 a + 42\right)\cdot 61^{66} + \left(37 a^{2} + 50 a + 23\right)\cdot 61^{67} + \left(50 a^{2} + 58 a + 52\right)\cdot 61^{68} + \left(58 a^{2} + 46 a + 12\right)\cdot 61^{69} + \left(53 a^{2} + 20 a + 16\right)\cdot 61^{70} + \left(43 a^{2} + 7 a + 39\right)\cdot 61^{71} + \left(45 a^{2} + 44 a + 20\right)\cdot 61^{72} + \left(2 a^{2} + 31 a + 36\right)\cdot 61^{73} + \left(47 a^{2} + 51 a + 40\right)\cdot 61^{74} + \left(33 a^{2} + 5 a + 27\right)\cdot 61^{75} + \left(34 a^{2} + 7 a + 19\right)\cdot 61^{76} + \left(35 a^{2} + 55 a + 55\right)\cdot 61^{77} + \left(21 a^{2} + 37 a + 57\right)\cdot 61^{78} + \left(27 a^{2} + 50 a + 56\right)\cdot 61^{79} + \left(14 a^{2} + 41 a + 58\right)\cdot 61^{80} + \left(30 a^{2} + 41 a + 21\right)\cdot 61^{81} + \left(12 a^{2} + 40 a + 26\right)\cdot 61^{82} + \left(50 a^{2} + 36 a + 32\right)\cdot 61^{83} + \left(14 a + 28\right)\cdot 61^{84} + \left(12 a^{2} + 48 a + 14\right)\cdot 61^{85} + \left(26 a^{2} + 55 a + 25\right)\cdot 61^{86} + \left(60 a^{2} + 45\right)\cdot 61^{87} + \left(38 a^{2} + 4 a + 28\right)\cdot 61^{88} + \left(45 a^{2} + 32 a + 13\right)\cdot 61^{89} + \left(2 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 61^{90} + \left(11 a^{2} + 35 a + 24\right)\cdot 61^{91} + \left(48 a^{2} + 32 a + 19\right)\cdot 61^{92} + \left(2 a^{2} + 26 a + 47\right)\cdot 61^{93} + \left(17 a^{2} + 51 a + 53\right)\cdot 61^{94} + \left(21 a^{2} + 9 a + 59\right)\cdot 61^{95} + \left(12 a^{2} + 13 a + 22\right)\cdot 61^{96} + \left(55 a^{2} + 32 a + 42\right)\cdot 61^{97} + \left(36 a^{2} + 8 a + 18\right)\cdot 61^{98} + \left(48 a^{2} + 23 a + 34\right)\cdot 61^{99} + \left(47 a^{2} + 13 a + 57\right)\cdot 61^{100} + \left(8 a^{2} + 26 a + 31\right)\cdot 61^{101} + \left(55 a^{2} + 23 a + 9\right)\cdot 61^{102} + \left(38 a^{2} + 32\right)\cdot 61^{103} + \left(24 a^{2} + 16 a + 31\right)\cdot 61^{104} + \left(21 a^{2} + 34 a + 46\right)\cdot 61^{105} + \left(59 a^{2} + 55 a + 41\right)\cdot 61^{106} + \left(38 a^{2} + 34 a + 50\right)\cdot 61^{107} + \left(42 a^{2} + 56 a + 45\right)\cdot 61^{108} + \left(60 a^{2} + 5 a + 17\right)\cdot 61^{109} + \left(27 a^{2} + 43 a + 58\right)\cdot 61^{110} + \left(13 a^{2} + 42 a + 5\right)\cdot 61^{111} + \left(46 a^{2} + 51 a + 20\right)\cdot 61^{112} + \left(50 a^{2} + 13 a + 42\right)\cdot 61^{113} + \left(19 a^{2} + 38 a + 4\right)\cdot 61^{114} + \left(28 a^{2} + 15 a + 54\right)\cdot 61^{115} + \left(48 a^{2} + 24 a + 26\right)\cdot 61^{116} + \left(42 a^{2} + 2 a + 30\right)\cdot 61^{117} + \left(11 a^{2} + 25 a + 11\right)\cdot 61^{118} + \left(8 a^{2} + 25 a + 43\right)\cdot 61^{119} + \left(6 a^{2} + 23 a + 39\right)\cdot 61^{120} + \left(20 a^{2} + 55 a + 15\right)\cdot 61^{121} + \left(36 a^{2} + 58 a + 30\right)\cdot 61^{122} + \left(51 a^{2} + 51 a + 3\right)\cdot 61^{123} + \left(44 a^{2} + 24 a + 42\right)\cdot 61^{124} + \left(24 a^{2} + 24 a + 8\right)\cdot 61^{125} + \left(39 a^{2} + 8\right)\cdot 61^{126} + \left(50 a^{2} + 11 a + 33\right)\cdot 61^{127} +O\left(61^{ 128 }\right)$ $r_{ 6 }$ $=$ $17 a^{2} + 54 a + 49 + \left(35 a^{2} + 28 a + 58\right)\cdot 61 + \left(3 a^{2} + 36 a + 46\right)\cdot 61^{2} + \left(45 a^{2} + 43 a + 41\right)\cdot 61^{3} + \left(40 a^{2} + 50 a + 36\right)\cdot 61^{4} + \left(15 a^{2} + 9 a + 27\right)\cdot 61^{5} + \left(5 a^{2} + 13\right)\cdot 61^{6} + \left(9 a^{2} + 49 a + 41\right)\cdot 61^{7} + \left(4 a^{2} + 53 a + 53\right)\cdot 61^{8} + \left(10 a^{2} + 52 a + 55\right)\cdot 61^{9} + \left(40 a^{2} + 38 a + 4\right)\cdot 61^{10} + \left(42 a^{2} + 51 a + 1\right)\cdot 61^{11} + \left(39 a^{2} + 45 a + 18\right)\cdot 61^{12} + \left(3 a^{2} + 46 a + 56\right)\cdot 61^{13} + \left(21 a^{2} + 58 a + 15\right)\cdot 61^{14} + \left(53 a^{2} + 55 a + 19\right)\cdot 61^{15} + \left(50 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 61^{16} + \left(39 a^{2} + 30 a + 20\right)\cdot 61^{17} + \left(41 a^{2} + 7 a\right)\cdot 61^{18} + \left(37 a^{2} + 49 a + 5\right)\cdot 61^{19} + \left(49 a^{2} + 49 a + 14\right)\cdot 61^{20} + \left(47 a^{2} + 30 a + 48\right)\cdot 61^{21} + \left(33 a^{2} + 51 a + 57\right)\cdot 61^{22} + \left(18 a^{2} + 7 a + 39\right)\cdot 61^{23} + \left(39 a^{2} + 25 a + 7\right)\cdot 61^{24} + \left(19 a^{2} + 19 a + 54\right)\cdot 61^{25} + \left(30 a^{2} + 7 a + 43\right)\cdot 61^{26} + \left(31 a^{2} + 6 a + 50\right)\cdot 61^{27} + \left(23 a^{2} + 48 a + 46\right)\cdot 61^{28} + \left(25 a^{2} + 4 a + 32\right)\cdot 61^{29} + \left(35 a^{2} + 53 a + 26\right)\cdot 61^{30} + \left(53 a^{2} + 60 a + 55\right)\cdot 61^{31} + \left(27 a^{2} + 40 a + 13\right)\cdot 61^{32} + \left(5 a^{2} + a + 13\right)\cdot 61^{33} + \left(48 a^{2} + 22\right)\cdot 61^{34} + \left(54 a^{2} + 24 a + 55\right)\cdot 61^{35} + \left(36 a^{2} + 13 a\right)\cdot 61^{36} + \left(30 a^{2} + 42 a + 21\right)\cdot 61^{37} + \left(13 a^{2} + 9 a + 28\right)\cdot 61^{38} + \left(8 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 61^{39} + \left(12 a^{2} + 23 a + 32\right)\cdot 61^{40} + \left(54 a^{2} + 10 a + 41\right)\cdot 61^{41} + \left(49 a^{2} + 58 a + 52\right)\cdot 61^{42} + \left(57 a^{2} + 52 a + 1\right)\cdot 61^{43} + \left(27 a^{2} + 50\right)\cdot 61^{44} + \left(30 a^{2} + 5 a + 34\right)\cdot 61^{45} + \left(43 a^{2} + 49 a + 12\right)\cdot 61^{46} + \left(4 a^{2} + 17 a + 36\right)\cdot 61^{47} + \left(14 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 61^{48} + \left(31 a^{2} + 15 a + 42\right)\cdot 61^{49} + \left(2 a^{2} + 5 a + 47\right)\cdot 61^{50} + \left(6 a^{2} + 12 a + 35\right)\cdot 61^{51} + \left(23 a^{2} + 20 a + 23\right)\cdot 61^{52} + \left(60 a^{2} + 53 a + 7\right)\cdot 61^{53} + \left(42 a^{2} + 60 a + 56\right)\cdot 61^{54} + \left(30 a^{2} + 38 a + 47\right)\cdot 61^{55} + \left(52 a^{2} + 34 a + 10\right)\cdot 61^{56} + \left(22 a^{2} + 36 a + 12\right)\cdot 61^{57} + \left(29 a^{2} + 28 a + 12\right)\cdot 61^{58} + \left(30 a^{2} + 9 a + 37\right)\cdot 61^{59} + \left(6 a^{2} + 23 a + 40\right)\cdot 61^{60} + \left(4 a^{2} + 37 a + 49\right)\cdot 61^{61} + \left(19 a^{2} + 57 a + 11\right)\cdot 61^{62} + \left(17 a^{2} + 37 a + 45\right)\cdot 61^{63} + \left(8 a^{2} + 35 a + 28\right)\cdot 61^{64} + \left(47 a^{2} + 24 a + 23\right)\cdot 61^{65} + \left(10 a^{2} + 32 a + 52\right)\cdot 61^{66} + \left(6 a^{2} + 46 a + 29\right)\cdot 61^{67} + \left(30 a^{2} + 40 a + 19\right)\cdot 61^{68} + \left(37 a^{2} + 60 a + 56\right)\cdot 61^{69} + \left(34 a^{2} + 3 a + 20\right)\cdot 61^{70} + \left(3 a^{2} + 31 a + 10\right)\cdot 61^{71} + \left(58 a + 33\right)\cdot 61^{72} + \left(50 a^{2} + 52 a + 34\right)\cdot 61^{73} + \left(46 a^{2} + 19 a + 46\right)\cdot 61^{74} + \left(53 a^{2} + 6 a + 30\right)\cdot 61^{75} + \left(52 a^{2} + 45 a + 58\right)\cdot 61^{76} + \left(44 a^{2} + 27 a + 1\right)\cdot 61^{77} + \left(10 a^{2} + 49 a + 7\right)\cdot 61^{78} + \left(35 a^{2} + 26 a + 53\right)\cdot 61^{79} + \left(41 a^{2} + 9 a + 52\right)\cdot 61^{80} + \left(60 a^{2} + 48 a + 26\right)\cdot 61^{81} + \left(31 a^{2} + 22 a\right)\cdot 61^{82} + \left(26 a^{2} + 51 a + 9\right)\cdot 61^{83} + \left(51 a^{2} + 12 a + 55\right)\cdot 61^{84} + \left(51 a^{2} + 46 a + 9\right)\cdot 61^{85} + \left(60 a^{2} + 46 a + 8\right)\cdot 61^{86} + \left(60 a + 55\right)\cdot 61^{87} + \left(7 a^{2} + 30 a + 6\right)\cdot 61^{88} + \left(9 a^{2} + 57 a + 48\right)\cdot 61^{89} + \left(13 a^{2} + 4 a + 26\right)\cdot 61^{90} + \left(6 a^{2} + 57 a + 44\right)\cdot 61^{91} + \left(43 a^{2} + 26 a + 1\right)\cdot 61^{92} + \left(10 a^{2} + 29 a + 37\right)\cdot 61^{93} + \left(3 a^{2} + 37 a + 24\right)\cdot 61^{94} + \left(7 a^{2} + 38 a + 47\right)\cdot 61^{95} + \left(4 a^{2} + 19 a + 19\right)\cdot 61^{96} + \left(33 a^{2} + 32 a + 39\right)\cdot 61^{97} + \left(15 a^{2} + 39 a + 3\right)\cdot 61^{98} + \left(20 a^{2} + 19 a + 30\right)\cdot 61^{99} + \left(50 a^{2} + 22 a + 7\right)\cdot 61^{100} + \left(35 a^{2} + 60 a + 10\right)\cdot 61^{101} + \left(54 a^{2} + 44 a + 41\right)\cdot 61^{102} + \left(35 a^{2} + 33 a + 53\right)\cdot 61^{103} + \left(41 a^{2} + 52 a + 56\right)\cdot 61^{104} + \left(8 a^{2} + 51 a + 45\right)\cdot 61^{105} + \left(25 a^{2} + 49 a + 44\right)\cdot 61^{106} + \left(55 a^{2} + 56 a + 35\right)\cdot 61^{107} + \left(19 a^{2} + 50 a + 51\right)\cdot 61^{108} + \left(4 a^{2} + 41 a + 36\right)\cdot 61^{109} + \left(49 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 61^{110} + \left(27 a^{2} + 26 a + 12\right)\cdot 61^{111} + \left(5 a^{2} + 54 a + 12\right)\cdot 61^{112} + \left(6 a^{2} + 53 a\right)\cdot 61^{113} + \left(a^{2} + 6 a + 25\right)\cdot 61^{114} + \left(30 a^{2} + 13 a + 47\right)\cdot 61^{115} + \left(29 a^{2} + 26 a + 2\right)\cdot 61^{116} + \left(43 a^{2} + 34 a + 32\right)\cdot 61^{117} + \left(12 a^{2} + 25 a + 55\right)\cdot 61^{118} + \left(28 a^{2} + 45 a + 45\right)\cdot 61^{119} + \left(20 a^{2} + 52 a + 47\right)\cdot 61^{120} + \left(47 a^{2} + 13 a + 43\right)\cdot 61^{121} + \left(50 a^{2} + 40 a + 36\right)\cdot 61^{122} + \left(36 a^{2} + 20 a + 44\right)\cdot 61^{123} + \left(38 a^{2} + 55 a + 12\right)\cdot 61^{124} + \left(14 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 61^{125} + \left(18 a^{2} + 50 a + 6\right)\cdot 61^{126} + \left(57 a^{2} + 3 a + 31\right)\cdot 61^{127} +O\left(61^{ 128 }\right)$ $r_{ 7 }$ $=$ $54 a^{2} + 21 a + 59 + \left(39 a^{2} + 44 a + 22\right)\cdot 61 + \left(2 a^{2} + 50 a + 60\right)\cdot 61^{2} + \left(2 a^{2} + 36 a + 58\right)\cdot 61^{3} + \left(2 a^{2} + 23 a + 3\right)\cdot 61^{4} + \left(4 a^{2} + 23 a + 42\right)\cdot 61^{5} + \left(44 a^{2} + 6 a + 23\right)\cdot 61^{6} + \left(45 a^{2} + 10 a + 40\right)\cdot 61^{7} + \left(47 a^{2} + 2 a + 55\right)\cdot 61^{8} + \left(a^{2} + 41 a + 25\right)\cdot 61^{9} + \left(55 a^{2} + 39 a\right)\cdot 61^{10} + \left(21 a^{2} + 25 a + 22\right)\cdot 61^{11} + \left(2 a^{2} + 52 a + 21\right)\cdot 61^{12} + \left(8 a^{2} + 14 a + 10\right)\cdot 61^{13} + \left(12 a^{2} + 19 a + 13\right)\cdot 61^{14} + \left(10 a^{2} + 7 a + 29\right)\cdot 61^{15} + \left(57 a^{2} + 49 a + 1\right)\cdot 61^{16} + \left(52 a^{2} + 50 a + 13\right)\cdot 61^{17} + \left(42 a^{2} + 11 a + 17\right)\cdot 61^{18} + \left(56 a^{2} + 33 a + 13\right)\cdot 61^{19} + \left(53 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 61^{20} + \left(40 a^{2} + 12 a + 27\right)\cdot 61^{21} + \left(27 a^{2} + 20 a + 13\right)\cdot 61^{22} + \left(17 a^{2} + 60 a + 47\right)\cdot 61^{23} + \left(16 a^{2} + 53 a + 41\right)\cdot 61^{24} + \left(3 a^{2} + 23 a + 31\right)\cdot 61^{25} + \left(48 a^{2} + 8 a + 40\right)\cdot 61^{26} + \left(22 a^{2} + 18 a + 2\right)\cdot 61^{27} + \left(39 a^{2} + 56 a + 17\right)\cdot 61^{28} + \left(26 a^{2} + 60 a + 52\right)\cdot 61^{29} + \left(57 a^{2} + 24 a + 31\right)\cdot 61^{30} + \left(54 a^{2} + 12 a + 48\right)\cdot 61^{31} + \left(57 a^{2} + 31 a + 54\right)\cdot 61^{32} + \left(16 a^{2} + 49 a\right)\cdot 61^{33} + \left(9 a^{2} + 48 a + 22\right)\cdot 61^{34} + \left(48 a^{2} + 24 a + 16\right)\cdot 61^{35} + \left(35 a^{2} + 53 a + 30\right)\cdot 61^{36} + \left(45 a^{2} + 10 a + 32\right)\cdot 61^{37} + \left(54 a^{2} + 60 a + 27\right)\cdot 61^{38} + \left(11 a^{2} + 42 a + 15\right)\cdot 61^{39} + \left(25 a^{2} + 12 a + 14\right)\cdot 61^{40} + \left(5 a^{2} + 49 a + 51\right)\cdot 61^{41} + \left(5 a^{2} + 56 a + 15\right)\cdot 61^{42} + \left(47 a^{2} + 24 a\right)\cdot 61^{43} + \left(36 a^{2} + 37 a + 17\right)\cdot 61^{44} + \left(16 a^{2} + 17 a + 36\right)\cdot 61^{45} + \left(12 a^{2} + 39 a + 50\right)\cdot 61^{46} + \left(3 a^{2} + 31 a + 38\right)\cdot 61^{47} + \left(9 a^{2} + 12 a + 24\right)\cdot 61^{48} + \left(38 a^{2} + 22 a + 57\right)\cdot 61^{49} + \left(13 a^{2} + 38 a + 18\right)\cdot 61^{50} + \left(57 a^{2} + 7 a + 33\right)\cdot 61^{51} + \left(41 a^{2} + 31 a + 32\right)\cdot 61^{52} + \left(18 a^{2} + 24 a + 15\right)\cdot 61^{53} + \left(45 a^{2} + 19 a + 1\right)\cdot 61^{54} + \left(27 a^{2} + 36 a + 52\right)\cdot 61^{55} + \left(15 a^{2} + 31 a + 49\right)\cdot 61^{56} + \left(55 a^{2} + 43 a + 29\right)\cdot 61^{57} + \left(6 a^{2} + 56 a + 28\right)\cdot 61^{58} + \left(15 a^{2} + a + 2\right)\cdot 61^{59} + \left(42 a^{2} + 13 a + 35\right)\cdot 61^{60} + \left(37 a^{2} + 45 a + 24\right)\cdot 61^{61} + \left(41 a^{2} + 35 a + 35\right)\cdot 61^{62} + \left(39 a + 27\right)\cdot 61^{63} + \left(23 a^{2} + 51 a + 21\right)\cdot 61^{64} + \left(49 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 61^{65} + \left(18 a^{2} + 5 a + 22\right)\cdot 61^{66} + \left(57 a^{2} + 49 a + 47\right)\cdot 61^{67} + \left(37 a^{2} + 36 a + 6\right)\cdot 61^{68} + \left(23 a^{2} + 27 a + 41\right)\cdot 61^{69} + \left(53 a^{2} + 50 a + 23\right)\cdot 61^{70} + \left(58 a^{2} + 18 a + 37\right)\cdot 61^{71} + \left(15 a^{2} + 46 a + 34\right)\cdot 61^{72} + \left(14 a^{2} + 46 a + 3\right)\cdot 61^{73} + \left(6 a^{2} + 35 a + 44\right)\cdot 61^{74} + \left(40 a^{2} + 17 a + 25\right)\cdot 61^{75} + \left(57 a^{2} + 56 a + 47\right)\cdot 61^{76} + \left(5 a^{2} + 45 a + 36\right)\cdot 61^{77} + \left(60 a^{2} + 39 a + 49\right)\cdot 61^{78} + \left(16 a^{2} + 49 a + 35\right)\cdot 61^{79} + \left(15 a^{2} + 54 a + 30\right)\cdot 61^{80} + \left(31 a^{2} + 8 a + 49\right)\cdot 61^{81} + \left(18 a^{2} + 51 a\right)\cdot 61^{82} + \left(49 a^{2} + 37 a + 23\right)\cdot 61^{83} + \left(8 a^{2} + 27 a + 32\right)\cdot 61^{84} + \left(12 a^{2} + 52 a + 46\right)\cdot 61^{85} + \left(11 a^{2} + 3 a + 48\right)\cdot 61^{86} + \left(57 a^{2} + 22 a + 2\right)\cdot 61^{87} + \left(26 a^{2} + 25 a + 12\right)\cdot 61^{88} + \left(57 a^{2} + 38 a + 30\right)\cdot 61^{89} + \left(57 a^{2} + 45 a + 39\right)\cdot 61^{90} + \left(30 a^{2} + 11 a + 22\right)\cdot 61^{91} + \left(57 a^{2} + 23 a + 49\right)\cdot 61^{92} + \left(23 a^{2} + a + 42\right)\cdot 61^{93} + \left(47 a^{2} + 33 a + 38\right)\cdot 61^{94} + \left(12 a^{2} + 38 a + 47\right)\cdot 61^{95} + \left(59 a^{2} + 38 a + 49\right)\cdot 61^{96} + \left(44 a^{2} + 14 a\right)\cdot 61^{97} + \left(21 a^{2} + 26 a + 22\right)\cdot 61^{98} + \left(11 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 61^{99} + \left(39 a^{2} + 28 a + 42\right)\cdot 61^{100} + \left(55 a^{2} + 50 a + 5\right)\cdot 61^{101} + \left(33 a^{2} + 47 a + 29\right)\cdot 61^{102} + \left(35 a^{2} + 33 a + 25\right)\cdot 61^{103} + \left(7 a^{2} + 3 a + 41\right)\cdot 61^{104} + \left(19 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 61^{105} + \left(53 a^{2} + 15 a + 7\right)\cdot 61^{106} + \left(17 a^{2} + 49 a + 3\right)\cdot 61^{107} + \left(28 a^{2} + 23 a + 40\right)\cdot 61^{108} + \left(21 a^{2} + 36 a + 47\right)\cdot 61^{109} + \left(28 a^{2} + 3 a + 21\right)\cdot 61^{110} + \left(37 a^{2} + 21 a + 4\right)\cdot 61^{111} + \left(56 a^{2} + 8 a + 56\right)\cdot 61^{112} + \left(32 a^{2} + 57 a + 56\right)\cdot 61^{113} + \left(34 a^{2} + 18 a + 58\right)\cdot 61^{114} + \left(53 a^{2} + a + 13\right)\cdot 61^{115} + \left(26 a^{2} + 40 a + 30\right)\cdot 61^{116} + \left(42 a^{2} + 40 a + 46\right)\cdot 61^{117} + \left(25 a^{2} + 20 a + 31\right)\cdot 61^{118} + \left(52 a + 9\right)\cdot 61^{119} + \left(55 a^{2} + 47 a + 46\right)\cdot 61^{120} + \left(21 a^{2} + 23 a + 26\right)\cdot 61^{121} + \left(17 a^{2} + 41 a + 43\right)\cdot 61^{122} + \left(25 a^{2} + 38 a + 51\right)\cdot 61^{123} + \left(a^{2} + 20 a + 1\right)\cdot 61^{124} + \left(51 a^{2} + 12 a + 57\right)\cdot 61^{125} + \left(36 a^{2} + 47 a + 31\right)\cdot 61^{126} + \left(33 a^{2} + 8 a + 42\right)\cdot 61^{127} +O\left(61^{ 128 }\right)$ $r_{ 8 }$ $=$ $4 a^{2} + 19 a + 10 + \left(30 a^{2} + 7 a + 44\right)\cdot 61 + \left(51 a^{2} + 27 a + 53\right)\cdot 61^{2} + \left(18 a^{2} + 32 a + 9\right)\cdot 61^{3} + \left(16 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 61^{4} + \left(34 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 61^{5} + \left(47 a^{2} + 11 a + 37\right)\cdot 61^{6} + \left(38 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 61^{7} + \left(23 a^{2} + 42 a + 10\right)\cdot 61^{8} + \left(51 a^{2} + 49 a + 18\right)\cdot 61^{9} + \left(36 a^{2} + 54 a + 29\right)\cdot 61^{10} + \left(49 a^{2} + 35 a + 45\right)\cdot 61^{11} + \left(60 a^{2} + 6 a + 50\right)\cdot 61^{12} + \left(22 a^{2} + 23 a + 31\right)\cdot 61^{13} + \left(25 a^{2} + 44 a + 49\right)\cdot 61^{14} + \left(8 a^{2} + 46 a + 32\right)\cdot 61^{15} + \left(18 a^{2} + 36 a + 33\right)\cdot 61^{16} + \left(12 a^{2} + 18 a + 51\right)\cdot 61^{17} + \left(56 a^{2} + 18 a + 16\right)\cdot 61^{18} + \left(19 a^{2} + 6 a + 29\right)\cdot 61^{19} + \left(22 a^{2} + 55 a + 22\right)\cdot 61^{20} + \left(49 a^{2} + 26 a + 7\right)\cdot 61^{21} + \left(3 a^{2} + 6 a + 48\right)\cdot 61^{22} + \left(23 a^{2} + 30 a + 50\right)\cdot 61^{23} + \left(22 a^{2} + 35 a + 3\right)\cdot 61^{24} + \left(39 a^{2} + 17 a + 52\right)\cdot 61^{25} + \left(16 a^{2} + 49 a + 12\right)\cdot 61^{26} + \left(49 a^{2} + 13 a + 49\right)\cdot 61^{27} + \left(27 a^{2} + 34 a + 42\right)\cdot 61^{28} + \left(21 a^{2} + 59 a + 3\right)\cdot 61^{29} + \left(16 a^{2} + 22 a + 10\right)\cdot 61^{30} + \left(26 a^{2} + 20 a + 10\right)\cdot 61^{31} + \left(35 a^{2} + 52 a + 16\right)\cdot 61^{32} + \left(17 a^{2} + 16 a + 19\right)\cdot 61^{33} + \left(22 a^{2} + 57 a + 57\right)\cdot 61^{34} + \left(23 a^{2} + 39 a + 17\right)\cdot 61^{35} + \left(36 a^{2} + 14 a + 7\right)\cdot 61^{36} + \left(5 a^{2} + 30 a + 19\right)\cdot 61^{37} + \left(18 a^{2} + 22 a + 31\right)\cdot 61^{38} + \left(23 a^{2} + 46 a + 45\right)\cdot 61^{39} + \left(11 a^{2} + 57 a + 55\right)\cdot 61^{40} + \left(13 a^{2} + 12 a + 19\right)\cdot 61^{41} + \left(21 a^{2} + 43 a + 32\right)\cdot 61^{42} + \left(38 a^{2} + 57 a + 22\right)\cdot 61^{43} + \left(53 a^{2} + a + 47\right)\cdot 61^{44} + \left(28 a^{2} + 60 a + 6\right)\cdot 61^{45} + \left(39 a^{2} + 22 a + 15\right)\cdot 61^{46} + \left(27 a^{2} + 40 a + 36\right)\cdot 61^{47} + \left(29 a^{2} + 53 a + 33\right)\cdot 61^{48} + \left(11 a^{2} + 10 a + 52\right)\cdot 61^{49} + \left(43 a^{2} + 16 a + 54\right)\cdot 61^{50} + \left(33 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 61^{51} + \left(4 a^{2} + 27 a + 42\right)\cdot 61^{52} + \left(48 a^{2} + 34 a + 8\right)\cdot 61^{53} + \left(31 a^{2} + 55 a + 20\right)\cdot 61^{54} + \left(29 a^{2} + 57 a + 20\right)\cdot 61^{55} + \left(37 a^{2} + 59 a + 29\right)\cdot 61^{56} + \left(25 a^{2} + 35 a + 28\right)\cdot 61^{57} + \left(7 a^{2} + 57 a + 37\right)\cdot 61^{58} + \left(60 a^{2} + 35 a + 16\right)\cdot 61^{59} + \left(57 a^{2} + 24 a + 41\right)\cdot 61^{60} + \left(31 a^{2} + 31 a + 38\right)\cdot 61^{61} + \left(50 a^{2} + 50 a + 52\right)\cdot 61^{62} + \left(48 a^{2} + 12 a + 39\right)\cdot 61^{63} + \left(42 a^{2} + 57 a + 2\right)\cdot 61^{64} + \left(60 a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 61^{65} + \left(47 a^{2} + 32 a + 45\right)\cdot 61^{66} + \left(54 a^{2} + 31 a + 8\right)\cdot 61^{67} + \left(40 a^{2} + 26 a + 43\right)\cdot 61^{68} + \left(49 a^{2} + 48 a + 33\right)\cdot 61^{69} + \left(32 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 61^{70} + \left(8 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 61^{71} + \left(34 a^{2} + 13 a + 43\right)\cdot 61^{72} + \left(25 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 61^{73} + \left(32 a^{2} + 54 a + 18\right)\cdot 61^{74} + \left(56 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 61^{75} + \left(19 a^{2} + 3 a + 18\right)\cdot 61^{76} + \left(26 a^{2} + 28 a + 34\right)\cdot 61^{77} + \left(15 a^{2} + 38 a + 49\right)\cdot 61^{78} + \left(17 a^{2} + 21 a + 36\right)\cdot 61^{79} + \left(14 a^{2} + 10 a + 20\right)\cdot 61^{80} + \left(7 a^{2} + 56 a + 18\right)\cdot 61^{81} + \left(14 a^{2} + 31 a + 29\right)\cdot 61^{82} + \left(18 a^{2} + 13 a + 60\right)\cdot 61^{83} + \left(9 a^{2} + 28 a + 54\right)\cdot 61^{84} + \left(51 a^{2} + 22 a + 10\right)\cdot 61^{85} + \left(51 a^{2} + 7 a + 58\right)\cdot 61^{86} + \left(14 a^{2} + 15 a + 21\right)\cdot 61^{87} + \left(54 a^{2} + 17 a + 15\right)\cdot 61^{88} + \left(28 a^{2} + 51 a + 4\right)\cdot 61^{89} + \left(21 a^{2} + 24 a + 59\right)\cdot 61^{90} + \left(57 a^{2} + 38 a + 52\right)\cdot 61^{91} + \left(50 a^{2} + 45 a + 31\right)\cdot 61^{92} + \left(19 a^{2} + 35 a + 1\right)\cdot 61^{93} + \left(25 a^{2} + 58 a + 41\right)\cdot 61^{94} + \left(58 a^{2} + 41 a + 35\right)\cdot 61^{95} + \left(25 a^{2} + 21 a + 42\right)\cdot 61^{96} + \left(2 a^{2} + 31 a + 57\right)\cdot 61^{97} + \left(26 a^{2} + 51 a + 28\right)\cdot 61^{98} + \left(47 a^{2} + 17 a + 50\right)\cdot 61^{99} + \left(44 a^{2} + 52 a + 29\right)\cdot 61^{100} + \left(27 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 61^{101} + \left(14 a^{2} + 9 a + 38\right)\cdot 61^{102} + \left(21 a^{2} + 13 a + 14\right)\cdot 61^{103} + \left(52 a^{2} + 47 a + 50\right)\cdot 61^{104} + \left(9 a^{2} + 34 a + 60\right)\cdot 61^{105} + \left(46 a^{2} + 17 a + 19\right)\cdot 61^{106} + \left(60 a^{2} + 26 a + 34\right)\cdot 61^{107} + \left(34 a^{2} + 35 a + 12\right)\cdot 61^{108} + \left(34 a^{2} + 26 a + 32\right)\cdot 61^{109} + \left(14 a^{2} + 25 a + 36\right)\cdot 61^{110} + \left(27 a^{2} + 51 a + 48\right)\cdot 61^{111} + \left(7 a + 57\right)\cdot 61^{112} + \left(26 a^{2} + 58 a + 6\right)\cdot 61^{113} + \left(18 a^{2} + 44 a + 17\right)\cdot 61^{114} + \left(43 a^{2} + 42 a + 14\right)\cdot 61^{115} + \left(50 a^{2} + 47 a + 49\right)\cdot 61^{116} + \left(36 a^{2} + 18 a + 56\right)\cdot 61^{117} + \left(9 a^{2} + 48 a + 12\right)\cdot 61^{118} + \left(8 a^{2} + 7 a + 18\right)\cdot 61^{119} + \left(40 a^{2} + 57 a + 56\right)\cdot 61^{120} + \left(59 a^{2} + 41 a + 57\right)\cdot 61^{121} + \left(58 a^{2} + 42 a + 13\right)\cdot 61^{122} + \left(8 a^{2} + 18 a + 28\right)\cdot 61^{123} + \left(53 a^{2} + 38 a + 60\right)\cdot 61^{124} + \left(2 a^{2} + 28 a + 48\right)\cdot 61^{125} + \left(47 a^{2} + 34 a + 43\right)\cdot 61^{126} + \left(57 a^{2} + 43 a + 25\right)\cdot 61^{127} +O\left(61^{ 128 }\right)$ $r_{ 9 }$ $=$ $2 a^{2} + 5 a + 9 + \left(12 a^{2} + 13 a + 47\right)\cdot 61 + \left(58 a^{2} + 60 a + 10\right)\cdot 61^{2} + \left(45 a^{2} + 54 a + 35\right)\cdot 61^{3} + \left(59 a^{2} + 36 a + 58\right)\cdot 61^{4} + \left(40 a^{2} + 53 a + 30\right)\cdot 61^{5} + \left(54 a^{2} + 20 a + 6\right)\cdot 61^{6} + \left(a^{2} + 39 a + 42\right)\cdot 61^{7} + \left(37 a^{2} + 3 a + 35\right)\cdot 61^{8} + \left(16 a^{2} + 17 a + 41\right)\cdot 61^{9} + \left(53 a^{2} + 11 a + 34\right)\cdot 61^{10} + \left(15 a^{2} + 24 a + 41\right)\cdot 61^{11} + \left(18 a^{2} + 35 a + 44\right)\cdot 61^{12} + \left(17 a^{2} + 60 a + 59\right)\cdot 61^{13} + \left(40 a^{2} + 35 a + 3\right)\cdot 61^{14} + \left(23 a^{2} + 15 a + 43\right)\cdot 61^{15} + \left(27 a^{2} + 48 a + 50\right)\cdot 61^{16} + \left(20 a^{2} + 53 a + 16\right)\cdot 61^{17} + \left(51 a^{2} + 33 a + 43\right)\cdot 61^{18} + \left(29 a^{2} + 8 a + 29\right)\cdot 61^{19} + \left(27 a^{2} + 52 a + 41\right)\cdot 61^{20} + \left(38 a^{2} + 52 a\right)\cdot 61^{21} + \left(51 a^{2} + 30 a + 5\right)\cdot 61^{22} + \left(57 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 61^{23} + \left(51 a^{2} + 48 a + 8\right)\cdot 61^{24} + \left(34 a^{2} + 20 a + 9\right)\cdot 61^{25} + \left(53 a^{2} + 4 a + 50\right)\cdot 61^{26} + \left(37 a^{2} + 50 a + 37\right)\cdot 61^{27} + \left(21 a^{2} + 51 a + 55\right)\cdot 61^{28} + \left(48 a^{2} + 33 a + 18\right)\cdot 61^{29} + \left(54 a^{2} + 58 a + 51\right)\cdot 61^{30} + \left(7 a^{2} + 8 a + 19\right)\cdot 61^{31} + \left(14 a + 53\right)\cdot 61^{32} + \left(36 a^{2} + 41 a + 10\right)\cdot 61^{33} + \left(53 a^{2} + 49 a + 58\right)\cdot 61^{34} + \left(2 a^{2} + 2 a + 24\right)\cdot 61^{35} + \left(31 a^{2} + 27 a + 25\right)\cdot 61^{36} + \left(2 a^{2} + 54 a + 36\right)\cdot 61^{37} + \left(33 a^{2} + 50 a + 30\right)\cdot 61^{38} + \left(45 a^{2} + 23 a + 52\right)\cdot 61^{39} + \left(13 a^{2} + 28 a + 3\right)\cdot 61^{40} + \left(58 a^{2} + 32 a + 46\right)\cdot 61^{41} + \left(3 a^{2} + 56 a + 50\right)\cdot 61^{42} + \left(28 a^{2} + 11 a\right)\cdot 61^{43} + \left(3 a^{2} + 36 a + 60\right)\cdot 61^{44} + \left(43 a^{2} + 30 a + 44\right)\cdot 61^{45} + \left(59 a^{2} + 21 a\right)\cdot 61^{46} + \left(60 a^{2} + 24 a + 3\right)\cdot 61^{47} + \left(9 a^{2} + 16 a + 54\right)\cdot 61^{48} + \left(38 a^{2} + 24 a + 40\right)\cdot 61^{49} + \left(8 a^{2} + 34 a + 21\right)\cdot 61^{50} + \left(5 a^{2} + 4 a + 58\right)\cdot 61^{51} + \left(50 a^{2} + a + 8\right)\cdot 61^{52} + \left(58 a^{2} + 48 a + 33\right)\cdot 61^{53} + \left(42 a^{2} + 57 a + 36\right)\cdot 61^{54} + \left(10 a^{2} + 3 a + 55\right)\cdot 61^{55} + \left(39 a^{2} + 5 a + 44\right)\cdot 61^{56} + \left(13 a^{2} + 30 a + 28\right)\cdot 61^{57} + \left(17 a^{2} + 18 a + 50\right)\cdot 61^{58} + \left(2 a^{2} + 5 a + 50\right)\cdot 61^{59} + \left(3 a^{2} + 29 a + 43\right)\cdot 61^{60} + \left(34 a^{2} + 58 a + 37\right)\cdot 61^{61} + \left(7 a^{2} + 39 a + 28\right)\cdot 61^{62} + \left(36 a^{2} + 57 a + 45\right)\cdot 61^{63} + \left(19 a^{2} + 46 a + 8\right)\cdot 61^{64} + \left(20 a^{2} + a + 50\right)\cdot 61^{65} + \left(49 a^{2} + 27 a + 31\right)\cdot 61^{66} + \left(13 a^{2} + 20 a + 17\right)\cdot 61^{67} + \left(31 a^{2} + 13 a + 29\right)\cdot 61^{68} + \left(28 a^{2} + 53 a + 58\right)\cdot 61^{69} + \left(53 a^{2} + 46 a + 28\right)\cdot 61^{70} + \left(40 a^{2} + 2 a + 25\right)\cdot 61^{71} + \left(42 a^{2} + 10 a + 41\right)\cdot 61^{72} + \left(50 a^{2} + 12 a + 39\right)\cdot 61^{73} + \left(25 a^{2} + 31 a + 56\right)\cdot 61^{74} + \left(45 a^{2} + 23 a + 44\right)\cdot 61^{75} + \left(46 a^{2} + 13 a + 24\right)\cdot 61^{76} + \left(8 a^{2} + 44 a + 55\right)\cdot 61^{77} + \left(50 a^{2} + 13 a + 56\right)\cdot 61^{78} + \left(6 a^{2} + 16 a + 24\right)\cdot 61^{79} + \left(55 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 61^{80} + \left(27 a^{2} + 59 a + 52\right)\cdot 61^{81} + \left(32 a^{2} + 7\right)\cdot 61^{82} + \left(55 a^{2} + 34 a + 32\right)\cdot 61^{83} + \left(31 a^{2} + 34 a + 9\right)\cdot 61^{84} + \left(30 a^{2} + 12 a + 48\right)\cdot 61^{85} + \left(55 a^{2} + 55 a + 33\right)\cdot 61^{86} + \left(14 a^{2} + 30 a + 57\right)\cdot 61^{87} + \left(29 a^{2} + 47 a + 4\right)\cdot 61^{88} + \left(12 a^{2} + 42 a + 50\right)\cdot 61^{89} + \left(13 a^{2} + 36 a + 49\right)\cdot 61^{90} + \left(58 a^{2} + 21 a + 50\right)\cdot 61^{91} + \left(56 a^{2} + 30 a + 47\right)\cdot 61^{92} + \left(55 a^{2} + 37 a + 40\right)\cdot 61^{93} + \left(14 a^{2} + 41 a + 33\right)\cdot 61^{94} + \left(6 a^{2} + 3 a + 56\right)\cdot 61^{95} + \left(55 a^{2} + 22 a + 29\right)\cdot 61^{96} + \left(23 a^{2} + 26 a + 27\right)\cdot 61^{97} + \left(8 a^{2} + 56 a + 10\right)\cdot 61^{98} + \left(30 a + 20\right)\cdot 61^{99} + \left(37 a^{2} + 19 a + 39\right)\cdot 61^{100} + \left(42 a^{2} + 32 a + 24\right)\cdot 61^{101} + \left(42 a^{2} + 27 a + 32\right)\cdot 61^{102} + \left(15 a^{2} + 36 a + 31\right)\cdot 61^{103} + \left(14 a^{2} + 41 a + 45\right)\cdot 61^{104} + \left(30 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 61^{105} + \left(56 a + 44\right)\cdot 61^{106} + \left(52 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 61^{107} + \left(56 a^{2} + 49 a + 1\right)\cdot 61^{108} + \left(42 a^{2} + 24 a + 48\right)\cdot 61^{109} + \left(3 a^{2} + 4 a + 54\right)\cdot 61^{110} + \left(17 a^{2} + 32 a + 60\right)\cdot 61^{111} + \left(33 a^{2} + 32 a + 60\right)\cdot 61^{112} + \left(32 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 61^{113} + \left(25 a^{2} + 12 a + 15\right)\cdot 61^{114} + \left(9 a^{2} + 23 a + 30\right)\cdot 61^{115} + \left(22 a^{2} + 5 a + 40\right)\cdot 61^{116} + \left(52 a^{2} + 15 a + 23\right)\cdot 61^{117} + \left(11 a^{2} + 60 a + 48\right)\cdot 61^{118} + \left(13 a^{2} + 42 a + 59\right)\cdot 61^{119} + \left(51 a^{2} + 45 a + 10\right)\cdot 61^{120} + \left(34 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 61^{121} + \left(6 a^{2} + 29 a + 4\right)\cdot 61^{122} + \left(57 a^{2} + 38 a + 21\right)\cdot 61^{123} + \left(3 a^{2} + a + 7\right)\cdot 61^{124} + \left(11 a^{2} + 30 a + 14\right)\cdot 61^{125} + \left(18 a^{2} + 25 a + 14\right)\cdot 61^{126} + \left(24 a^{2} + 56 a + 24\right)\cdot 61^{127} +O\left(61^{ 128 }\right)$

### Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 9 }$

 Cycle notation $(2,5)(3,7)(4,9)$ $(1,2,5)(3,7,6)(4,9,8)$ $(2,3,4)$ $(1,6,8)$ $(2,3)$ $(5,7,9)$

### Character values on conjugacy classes

 Size Order Action on $r_1, \ldots, r_{ 9 }$ Character value $1$ $1$ $()$ $8$ $9$ $2$ $(2,3)$ $0$ $18$ $2$ $(2,5)(3,7)(4,9)$ $4$ $27$ $2$ $(1,6)(2,3)(5,7)$ $0$ $27$ $2$ $(2,3)(5,7)$ $0$ $54$ $2$ $(1,5)(2,3)(6,7)(8,9)$ $0$ $6$ $3$ $(1,6,8)$ $-4$ $8$ $3$ $(1,6,8)(2,3,4)(5,7,9)$ $-1$ $12$ $3$ $(1,6,8)(2,3,4)$ $2$ $72$ $3$ $(1,2,5)(3,7,6)(4,9,8)$ $2$ $54$ $4$ $(2,7,3,5)(4,9)$ $0$ $162$ $4$ $(1,2,6,3)(4,8)(7,9)$ $0$ $36$ $6$ $(1,6,8)(2,5)(3,7)(4,9)$ $-2$ $36$ $6$ $(1,3,6,4,8,2)$ $-2$ $36$ $6$ $(1,6,8)(2,3)$ $0$ $36$ $6$ $(1,6,8)(2,3)(5,7,9)$ $0$ $54$ $6$ $(1,8,6)(2,3)(5,7)$ $0$ $72$ $6$ $(1,6,8)(2,5,3,7,4,9)$ $1$ $108$ $6$ $(1,7,6,9,8,5)(2,3)$ $0$ $216$ $6$ $(1,2,7,6,3,5)(4,9,8)$ $0$ $144$ $9$ $(1,3,7,6,4,9,8,2,5)$ $-1$ $108$ $12$ $(1,6,8)(2,7,3,5)(4,9)$ $0$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.