Properties

Label 8.2e20_5e2_17e2.12t213.1c1
Dimension 8
Group $S_3\wr S_3$
Conductor $ 2^{20} \cdot 5^{2} \cdot 17^{2}$
Root number 1
Frobenius-Schur indicator 1

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Basic invariants

Dimension:$8$
Group:$S_3\wr S_3$
Conductor:$7575961600= 2^{20} \cdot 5^{2} \cdot 17^{2} $
Artin number field: Splitting field of $f= x^{9} - 2 x^{8} + 5 x^{7} + 2 x^{6} + 2 x^{5} + 6 x^{4} + 2 x^{3} + 4 x^{2} + 8 x + 4 $ over $\Q$
Size of Galois orbit: 1
Smallest containing permutation representation: 12T213
Parity: Even
Determinant: 1.1.1t1.1c1

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 53 }$ to precision 150.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 53 }$: $ x^{3} + 3 x + 51 $
Roots:
$r_{ 1 }$ $=$ $ 50 a^{2} + 21 a + 52 + \left(a^{2} + 6 a + 48\right)\cdot 53 + \left(46 a^{2} + 31 a + 25\right)\cdot 53^{2} + \left(5 a^{2} + 15 a + 26\right)\cdot 53^{3} + \left(10 a^{2} + 48 a + 48\right)\cdot 53^{4} + \left(20 a^{2} + 50 a + 30\right)\cdot 53^{5} + \left(9 a^{2} + 11 a + 50\right)\cdot 53^{6} + \left(8 a^{2} + 45 a + 5\right)\cdot 53^{7} + \left(9 a^{2} + 30 a + 12\right)\cdot 53^{8} + \left(8 a^{2} + 31 a + 2\right)\cdot 53^{9} + \left(13 a^{2} + 25 a + 3\right)\cdot 53^{10} + \left(51 a^{2} + 44 a + 24\right)\cdot 53^{11} + \left(10 a^{2} + 8 a + 47\right)\cdot 53^{12} + \left(52 a^{2} + 18 a + 21\right)\cdot 53^{13} + \left(2 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 53^{14} + \left(51 a^{2} + 48 a + 45\right)\cdot 53^{15} + \left(30 a^{2} + 40 a + 49\right)\cdot 53^{16} + \left(30 a^{2} + 47 a + 21\right)\cdot 53^{17} + \left(8 a^{2} + 45 a + 16\right)\cdot 53^{18} + \left(29 a^{2} + 33 a + 7\right)\cdot 53^{19} + \left(28 a^{2} + 41 a + 36\right)\cdot 53^{20} + \left(35 a^{2} + 50 a + 26\right)\cdot 53^{21} + \left(24 a^{2} + 24 a\right)\cdot 53^{22} + \left(24 a^{2} + 41 a + 1\right)\cdot 53^{23} + \left(11 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 53^{24} + \left(19 a^{2} + 2 a + 42\right)\cdot 53^{25} + \left(39 a^{2} + 52 a + 47\right)\cdot 53^{26} + \left(51 a^{2} + 42 a + 42\right)\cdot 53^{27} + \left(5 a^{2} + 33 a\right)\cdot 53^{28} + \left(3 a^{2} + 13 a + 29\right)\cdot 53^{29} + \left(4 a^{2} + 36 a + 41\right)\cdot 53^{30} + \left(9 a + 48\right)\cdot 53^{31} + \left(9 a^{2} + 20 a + 32\right)\cdot 53^{32} + \left(13 a^{2} + 45 a + 9\right)\cdot 53^{33} + \left(39 a^{2} + 24 a + 16\right)\cdot 53^{34} + \left(36 a^{2} + 42 a + 49\right)\cdot 53^{35} + \left(6 a^{2} + 22 a + 38\right)\cdot 53^{36} + \left(12 a^{2} + 26 a + 48\right)\cdot 53^{37} + \left(23 a^{2} + 49\right)\cdot 53^{38} + \left(27 a^{2} + 19 a + 45\right)\cdot 53^{39} + \left(4 a^{2} + 33 a + 23\right)\cdot 53^{40} + \left(12 a^{2} + 24 a + 19\right)\cdot 53^{41} + \left(7 a^{2} + 47 a + 21\right)\cdot 53^{42} + \left(43 a^{2} + 5 a + 31\right)\cdot 53^{43} + \left(35 a^{2} + 11 a + 45\right)\cdot 53^{44} + \left(28 a^{2} + 15 a + 45\right)\cdot 53^{45} + \left(49 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 53^{46} + \left(14 a^{2} + 12 a + 44\right)\cdot 53^{47} + \left(43 a^{2} + 18 a + 29\right)\cdot 53^{48} + \left(38 a^{2} + 22 a + 40\right)\cdot 53^{49} + \left(17 a^{2} + 46 a + 11\right)\cdot 53^{50} + \left(15 a^{2} + 25 a + 26\right)\cdot 53^{51} + \left(2 a^{2} + 9 a + 38\right)\cdot 53^{52} + \left(23 a^{2} + 14 a + 24\right)\cdot 53^{53} + \left(24 a + 29\right)\cdot 53^{54} + \left(42 a^{2} + 16 a + 52\right)\cdot 53^{55} + \left(43 a^{2} + 41 a + 25\right)\cdot 53^{56} + \left(21 a^{2} + 7 a + 31\right)\cdot 53^{57} + \left(41 a^{2} + 41 a + 52\right)\cdot 53^{58} + \left(29 a^{2} + 32 a + 24\right)\cdot 53^{59} + \left(15 a^{2} + 27 a + 48\right)\cdot 53^{60} + \left(7 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 53^{61} + \left(2 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 53^{62} + \left(46 a^{2} + 33 a + 46\right)\cdot 53^{63} + \left(8 a^{2} + 34 a + 32\right)\cdot 53^{64} + \left(18 a^{2} + 47 a + 2\right)\cdot 53^{65} + \left(17 a^{2} + 42 a + 47\right)\cdot 53^{66} + \left(46 a^{2} + 52 a + 29\right)\cdot 53^{67} + \left(37 a^{2} + 11 a + 30\right)\cdot 53^{68} + \left(10 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 53^{69} + \left(47 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 53^{70} + \left(16 a^{2} + 27 a + 40\right)\cdot 53^{71} + \left(35 a^{2} + 43 a + 11\right)\cdot 53^{72} + \left(52 a^{2} + 28\right)\cdot 53^{73} + \left(28 a^{2} + 37 a + 41\right)\cdot 53^{74} + \left(9 a^{2} + 44 a + 42\right)\cdot 53^{75} + \left(34 a^{2} + 23 a + 44\right)\cdot 53^{76} + \left(a^{2} + 16 a + 41\right)\cdot 53^{77} + \left(6 a^{2} + 12 a + 19\right)\cdot 53^{78} + \left(34 a^{2} + 11 a + 13\right)\cdot 53^{79} + \left(6 a^{2} + 52 a + 36\right)\cdot 53^{80} + \left(44 a^{2} + 22 a + 14\right)\cdot 53^{81} + \left(30 a^{2} + 37 a + 27\right)\cdot 53^{82} + \left(9 a^{2} + 47 a + 48\right)\cdot 53^{83} + \left(49 a^{2} + 42 a + 30\right)\cdot 53^{84} + \left(39 a^{2} + 6\right)\cdot 53^{85} + \left(20 a^{2} + 30 a\right)\cdot 53^{86} + \left(21 a^{2} + 8 a + 49\right)\cdot 53^{87} + \left(a^{2} + 38 a + 52\right)\cdot 53^{88} + \left(52 a^{2} + 42 a + 1\right)\cdot 53^{89} + \left(16 a^{2} + 46 a + 49\right)\cdot 53^{90} + \left(45 a + 32\right)\cdot 53^{91} + \left(35 a^{2} + 44 a + 48\right)\cdot 53^{92} + \left(21 a^{2} + 29 a + 52\right)\cdot 53^{93} + \left(19 a^{2} + 46 a + 47\right)\cdot 53^{94} + \left(7 a^{2} + 22 a + 41\right)\cdot 53^{95} + \left(32 a^{2} + 23 a + 33\right)\cdot 53^{96} + \left(30 a^{2} + 31 a + 6\right)\cdot 53^{97} + \left(21 a^{2} + 28 a + 8\right)\cdot 53^{98} + \left(17 a^{2} + 38 a + 36\right)\cdot 53^{99} + \left(32 a^{2} + 22 a + 17\right)\cdot 53^{100} + \left(24 a^{2} + 9 a + 30\right)\cdot 53^{101} + \left(50 a^{2} + 12 a + 21\right)\cdot 53^{102} + \left(38 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 53^{103} + \left(23 a^{2} + 39 a + 6\right)\cdot 53^{104} + \left(16 a^{2} + 3 a + 25\right)\cdot 53^{105} + \left(44 a^{2} + 44 a + 13\right)\cdot 53^{106} + \left(13 a^{2} + 38 a + 35\right)\cdot 53^{107} + \left(a^{2} + 19 a + 6\right)\cdot 53^{108} + \left(50 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 53^{109} + \left(31 a^{2} + 24 a + 9\right)\cdot 53^{110} + \left(39 a^{2} + 50 a + 31\right)\cdot 53^{111} + \left(18 a^{2} + 42 a + 26\right)\cdot 53^{112} + \left(39 a^{2} + 4 a + 27\right)\cdot 53^{113} + \left(30 a^{2} + 34 a + 9\right)\cdot 53^{114} + \left(47 a^{2} + 47 a + 22\right)\cdot 53^{115} + \left(7 a^{2} + 39 a + 49\right)\cdot 53^{116} + \left(17 a^{2} + 30 a + 21\right)\cdot 53^{117} + \left(24 a^{2} + 34 a + 18\right)\cdot 53^{118} + \left(24 a + 23\right)\cdot 53^{119} + \left(17 a^{2} + 27 a + 43\right)\cdot 53^{120} + \left(23 a^{2} + 8 a + 34\right)\cdot 53^{121} + \left(31 a^{2} + 33 a + 7\right)\cdot 53^{122} + \left(3 a^{2} + 15 a + 26\right)\cdot 53^{123} + \left(39 a^{2} + 41 a + 11\right)\cdot 53^{124} + \left(39 a^{2} + 27 a + 50\right)\cdot 53^{125} + \left(49 a^{2} + 4 a + 29\right)\cdot 53^{126} + \left(21 a^{2} + 41 a + 51\right)\cdot 53^{127} + \left(40 a^{2} + 9 a + 20\right)\cdot 53^{128} + \left(22 a^{2} + 43 a + 15\right)\cdot 53^{129} + \left(18 a + 51\right)\cdot 53^{130} + \left(27 a^{2} + 20 a + 28\right)\cdot 53^{131} + \left(34 a^{2} + 44 a\right)\cdot 53^{132} + \left(45 a^{2} + 8 a + 26\right)\cdot 53^{133} + \left(46 a^{2} + 9 a + 46\right)\cdot 53^{134} + \left(12 a^{2} + 51 a + 7\right)\cdot 53^{135} + \left(18 a^{2} + 19 a + 15\right)\cdot 53^{136} + \left(2 a^{2} + 42 a + 36\right)\cdot 53^{137} + \left(3 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 53^{138} + \left(38 a^{2} + 12 a + 37\right)\cdot 53^{139} + \left(36 a^{2} + 24 a + 4\right)\cdot 53^{140} + \left(37 a^{2} + 47 a + 20\right)\cdot 53^{141} + \left(42 a^{2} + 14 a + 46\right)\cdot 53^{142} + \left(51 a^{2} + 37 a + 33\right)\cdot 53^{143} + \left(38 a^{2} + 43 a + 32\right)\cdot 53^{144} + \left(51 a^{2} + 46 a + 21\right)\cdot 53^{145} + \left(50 a^{2} + 20 a + 12\right)\cdot 53^{146} + \left(37 a^{2} + 37 a + 45\right)\cdot 53^{147} + \left(6 a^{2} + 29 a + 30\right)\cdot 53^{148} + \left(34 a^{2} + 46 a + 43\right)\cdot 53^{149} +O\left(53^{ 150 }\right)$
$r_{ 2 }$ $=$ $ 35 a^{2} + 8 a + 22 + \left(44 a^{2} + 10 a + 28\right)\cdot 53 + \left(23 a^{2} + 39 a + 34\right)\cdot 53^{2} + \left(14 a^{2} + 4 a + 43\right)\cdot 53^{3} + \left(30 a^{2} + 35 a + 35\right)\cdot 53^{4} + \left(34 a^{2} + 32 a + 6\right)\cdot 53^{5} + \left(52 a^{2} + 31 a + 31\right)\cdot 53^{6} + \left(42 a^{2} + 52 a + 22\right)\cdot 53^{7} + \left(48 a^{2} + 41 a + 38\right)\cdot 53^{8} + \left(51 a^{2} + 7 a + 36\right)\cdot 53^{9} + \left(47 a^{2} + 16 a + 19\right)\cdot 53^{10} + \left(34 a^{2} + 46 a + 44\right)\cdot 53^{11} + \left(7 a^{2} + 45 a + 40\right)\cdot 53^{12} + \left(19 a^{2} + 29 a + 8\right)\cdot 53^{13} + \left(42 a^{2} + 30 a + 37\right)\cdot 53^{14} + \left(6 a^{2} + 51 a + 9\right)\cdot 53^{15} + \left(6 a^{2} + 43 a\right)\cdot 53^{16} + \left(49 a^{2} + 15 a + 6\right)\cdot 53^{17} + \left(23 a^{2} + a + 47\right)\cdot 53^{18} + \left(16 a^{2} + 27 a + 34\right)\cdot 53^{19} + \left(21 a^{2} + 8 a + 21\right)\cdot 53^{20} + \left(39 a^{2} + 52 a + 34\right)\cdot 53^{21} + \left(24 a^{2} + 52 a\right)\cdot 53^{22} + \left(22 a^{2} + 31 a + 50\right)\cdot 53^{23} + \left(4 a + 35\right)\cdot 53^{24} + \left(32 a^{2} + 34 a + 14\right)\cdot 53^{25} + \left(23 a^{2} + 4 a + 16\right)\cdot 53^{26} + \left(26 a^{2} + 7 a + 45\right)\cdot 53^{27} + \left(28 a^{2} + 25 a + 45\right)\cdot 53^{28} + \left(a^{2} + 37 a + 25\right)\cdot 53^{29} + \left(23 a^{2} + 36 a + 26\right)\cdot 53^{30} + \left(19 a^{2} + 24 a + 34\right)\cdot 53^{31} + \left(12 a^{2} + 34 a + 39\right)\cdot 53^{32} + \left(11 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 53^{33} + \left(12 a^{2} + 34 a + 15\right)\cdot 53^{34} + \left(35 a + 29\right)\cdot 53^{35} + \left(10 a^{2} + 43 a + 45\right)\cdot 53^{36} + \left(38 a^{2} + 17 a + 47\right)\cdot 53^{37} + \left(22 a^{2} + 13 a + 48\right)\cdot 53^{38} + \left(49 a^{2} + 7 a + 36\right)\cdot 53^{39} + \left(34 a^{2} + 14 a + 31\right)\cdot 53^{40} + \left(21 a^{2} + 16 a + 38\right)\cdot 53^{41} + \left(33 a^{2} + 52 a + 20\right)\cdot 53^{42} + \left(35 a^{2} + 35 a + 16\right)\cdot 53^{43} + \left(36 a^{2} + 45 a + 47\right)\cdot 53^{44} + \left(52 a^{2} + 7 a + 40\right)\cdot 53^{45} + \left(18 a^{2} + 2 a + 52\right)\cdot 53^{46} + \left(41 a^{2} + 32 a + 43\right)\cdot 53^{47} + \left(8 a^{2} + 50 a + 13\right)\cdot 53^{48} + \left(28 a^{2} + 39 a + 19\right)\cdot 53^{49} + \left(46 a^{2} + 35 a + 16\right)\cdot 53^{50} + \left(40 a^{2} + 2 a + 24\right)\cdot 53^{51} + \left(12 a^{2} + 15 a + 6\right)\cdot 53^{52} + \left(52 a^{2} + 40 a + 30\right)\cdot 53^{53} + \left(48 a^{2} + 24 a + 20\right)\cdot 53^{54} + \left(50 a^{2} + 6 a + 17\right)\cdot 53^{55} + \left(49 a^{2} + 10 a + 38\right)\cdot 53^{56} + \left(38 a^{2} + 31 a + 12\right)\cdot 53^{57} + \left(2 a^{2} + 23 a + 28\right)\cdot 53^{58} + \left(16 a^{2} + 46 a + 50\right)\cdot 53^{59} + \left(17 a^{2} + 35 a + 51\right)\cdot 53^{60} + \left(11 a^{2} + 25 a + 10\right)\cdot 53^{61} + \left(17 a^{2} + 41 a + 31\right)\cdot 53^{62} + \left(18 a^{2} + 22 a + 43\right)\cdot 53^{63} + \left(26 a^{2} + 9 a + 14\right)\cdot 53^{64} + \left(50 a^{2} + 19 a + 14\right)\cdot 53^{65} + \left(40 a^{2} + 23 a + 41\right)\cdot 53^{66} + \left(21 a^{2} + 32 a + 33\right)\cdot 53^{67} + \left(19 a^{2} + 37 a + 46\right)\cdot 53^{68} + \left(21 a + 43\right)\cdot 53^{69} + \left(16 a^{2} + 35 a + 45\right)\cdot 53^{70} + \left(6 a^{2} + 3 a + 18\right)\cdot 53^{71} + \left(18 a^{2} + 10 a + 30\right)\cdot 53^{72} + \left(50 a^{2} + 22 a + 23\right)\cdot 53^{73} + \left(37 a^{2} + 35 a + 6\right)\cdot 53^{74} + \left(20 a^{2} + 24 a + 12\right)\cdot 53^{75} + \left(36 a^{2} + 48 a + 49\right)\cdot 53^{76} + \left(35 a^{2} + 35 a + 3\right)\cdot 53^{77} + \left(34 a^{2} + 29 a + 24\right)\cdot 53^{78} + \left(27 a^{2} + 40 a\right)\cdot 53^{79} + \left(30 a^{2} + 2 a + 31\right)\cdot 53^{80} + \left(38 a^{2} + 25 a + 3\right)\cdot 53^{81} + \left(41 a^{2} + 45 a + 49\right)\cdot 53^{82} + \left(43 a^{2} + 50 a + 10\right)\cdot 53^{83} + \left(16 a^{2} + 17 a + 19\right)\cdot 53^{84} + \left(39 a^{2} + 41 a + 5\right)\cdot 53^{85} + \left(48 a^{2} + 31 a + 3\right)\cdot 53^{86} + \left(35 a^{2} + 47 a + 25\right)\cdot 53^{87} + \left(46 a^{2} + 50 a + 37\right)\cdot 53^{88} + \left(44 a^{2} + 12 a + 40\right)\cdot 53^{89} + \left(27 a^{2} + 45 a + 17\right)\cdot 53^{90} + \left(46 a^{2} + 52 a + 19\right)\cdot 53^{91} + \left(34 a^{2} + 25 a + 48\right)\cdot 53^{92} + \left(10 a^{2} + 3 a + 30\right)\cdot 53^{93} + \left(3 a^{2} + 20 a + 15\right)\cdot 53^{94} + \left(52 a^{2} + 48 a + 25\right)\cdot 53^{95} + \left(4 a^{2} + 28 a + 32\right)\cdot 53^{96} + \left(29 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 53^{97} + \left(33 a^{2} + 42 a + 32\right)\cdot 53^{98} + \left(23 a^{2} + 47 a + 48\right)\cdot 53^{99} + \left(27 a^{2} + 47 a + 7\right)\cdot 53^{100} + \left(26 a^{2} + 44 a + 34\right)\cdot 53^{101} + \left(31 a^{2} + 51 a + 36\right)\cdot 53^{102} + \left(10 a + 32\right)\cdot 53^{103} + \left(52 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 53^{104} + \left(39 a^{2} + 32 a + 19\right)\cdot 53^{105} + \left(30 a^{2} + 2 a + 39\right)\cdot 53^{106} + \left(21 a^{2} + 37 a + 50\right)\cdot 53^{107} + \left(9 a^{2} + 26 a + 22\right)\cdot 53^{108} + \left(30 a^{2} + 52 a + 21\right)\cdot 53^{109} + \left(41 a^{2} + 52 a + 28\right)\cdot 53^{110} + \left(23 a^{2} + 39 a + 52\right)\cdot 53^{111} + \left(33 a^{2} + 23 a + 2\right)\cdot 53^{112} + \left(47 a^{2} + 21 a + 44\right)\cdot 53^{113} + \left(30 a + 2\right)\cdot 53^{114} + \left(3 a^{2} + 12 a + 39\right)\cdot 53^{115} + \left(32 a^{2} + 45 a + 44\right)\cdot 53^{116} + \left(36 a^{2} + a + 7\right)\cdot 53^{117} + \left(39 a^{2} + 36 a + 49\right)\cdot 53^{118} + \left(47 a^{2} + 46 a + 11\right)\cdot 53^{119} + \left(47 a^{2} + 44 a + 52\right)\cdot 53^{120} + \left(15 a^{2} + 8 a + 19\right)\cdot 53^{121} + \left(21 a^{2} + 27 a + 40\right)\cdot 53^{122} + \left(29 a^{2} + 9 a + 24\right)\cdot 53^{123} + \left(5 a^{2} + 51 a + 50\right)\cdot 53^{124} + \left(48 a + 23\right)\cdot 53^{125} + \left(4 a^{2} + 19 a + 44\right)\cdot 53^{126} + \left(4 a^{2} + 38 a + 15\right)\cdot 53^{127} + \left(22 a^{2} + 29 a + 37\right)\cdot 53^{128} + \left(25 a^{2} + 34 a + 20\right)\cdot 53^{129} + \left(41 a^{2} + 6 a + 27\right)\cdot 53^{130} + \left(32 a^{2} + 15 a + 40\right)\cdot 53^{131} + \left(49 a^{2} + 21 a + 30\right)\cdot 53^{132} + \left(10 a^{2} + 13 a + 9\right)\cdot 53^{133} + \left(9 a^{2} + 48 a + 24\right)\cdot 53^{134} + \left(26 a^{2} + 31 a + 34\right)\cdot 53^{135} + \left(37 a^{2} + 49 a\right)\cdot 53^{136} + \left(15 a^{2} + 32 a + 10\right)\cdot 53^{137} + \left(31 a^{2} + 49 a + 14\right)\cdot 53^{138} + \left(47 a^{2} + 32 a + 3\right)\cdot 53^{139} + \left(16 a^{2} + a + 18\right)\cdot 53^{140} + \left(17 a^{2} + 27 a + 32\right)\cdot 53^{141} + \left(31 a^{2} + 52 a + 23\right)\cdot 53^{142} + \left(24 a^{2} + 32 a + 32\right)\cdot 53^{143} + \left(25 a^{2} + 16 a + 5\right)\cdot 53^{144} + \left(29 a^{2} + 15 a + 30\right)\cdot 53^{145} + \left(13 a^{2} + 42 a + 43\right)\cdot 53^{146} + \left(22 a^{2} + 36 a + 13\right)\cdot 53^{147} + \left(48 a^{2} + 43 a + 8\right)\cdot 53^{148} + \left(23 a^{2} + 34 a + 23\right)\cdot 53^{149} +O\left(53^{ 150 }\right)$
$r_{ 3 }$ $=$ $ 32 a^{2} + 30 a + 48 + \left(12 a^{2} + 52 a + 19\right)\cdot 53 + \left(11 a^{2} + 16 a + 18\right)\cdot 53^{2} + \left(42 a^{2} + 6 a + 45\right)\cdot 53^{3} + \left(30 a^{2} + 31 a + 47\right)\cdot 53^{4} + \left(31 a^{2} + 5 a + 47\right)\cdot 53^{5} + \left(2 a^{2} + 51 a + 27\right)\cdot 53^{6} + \left(37 a^{2} + 24 a + 49\right)\cdot 53^{7} + \left(28 a^{2} + 17 a + 22\right)\cdot 53^{8} + \left(9 a^{2} + 47 a + 22\right)\cdot 53^{9} + \left(42 a^{2} + 9 a + 30\right)\cdot 53^{10} + \left(4 a^{2} + 47 a + 39\right)\cdot 53^{11} + \left(45 a^{2} + 29 a + 21\right)\cdot 53^{12} + \left(19 a^{2} + 45 a + 26\right)\cdot 53^{13} + \left(52 a^{2} + 6 a + 33\right)\cdot 53^{14} + \left(21 a^{2} + 40 a + 16\right)\cdot 53^{15} + \left(a^{2} + 30 a + 10\right)\cdot 53^{16} + \left(2 a^{2} + 9 a + 31\right)\cdot 53^{17} + \left(34 a^{2} + 23 a + 18\right)\cdot 53^{18} + \left(25 a^{2} + 7 a + 49\right)\cdot 53^{19} + \left(47 a^{2} + 27 a + 29\right)\cdot 53^{20} + \left(42 a^{2} + 9 a + 21\right)\cdot 53^{21} + \left(11 a^{2} + 48 a + 34\right)\cdot 53^{22} + \left(15 a^{2} + 33 a + 34\right)\cdot 53^{23} + \left(49 a^{2} + 9 a + 43\right)\cdot 53^{24} + \left(41 a^{2} + 29 a + 31\right)\cdot 53^{25} + \left(46 a^{2} + 4 a + 33\right)\cdot 53^{26} + \left(a^{2} + 25 a + 1\right)\cdot 53^{27} + \left(49 a^{2} + 31 a + 43\right)\cdot 53^{28} + \left(8 a^{2} + 37 a + 1\right)\cdot 53^{29} + \left(12 a^{2} + 17 a + 49\right)\cdot 53^{30} + \left(4 a^{2} + 39 a + 21\right)\cdot 53^{31} + \left(16 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 53^{32} + \left(37 a^{2} + 37 a + 19\right)\cdot 53^{33} + \left(51 a^{2} + 11 a + 30\right)\cdot 53^{34} + \left(9 a^{2} + 43 a + 35\right)\cdot 53^{35} + \left(14 a^{2} + 11 a + 16\right)\cdot 53^{36} + \left(23 a^{2} + 45 a + 51\right)\cdot 53^{37} + \left(46 a^{2} + 47 a + 2\right)\cdot 53^{38} + \left(37 a^{2} + 20 a + 45\right)\cdot 53^{39} + \left(37 a^{2} + 17 a + 38\right)\cdot 53^{40} + \left(39 a^{2} + 47 a + 22\right)\cdot 53^{41} + \left(6 a^{2} + 5\right)\cdot 53^{42} + \left(13 a^{2} + 3 a + 38\right)\cdot 53^{43} + \left(30 a^{2} + 10 a + 40\right)\cdot 53^{44} + \left(50 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 53^{45} + \left(25 a^{2} + 36 a + 8\right)\cdot 53^{46} + \left(27 a^{2} + 40 a + 35\right)\cdot 53^{47} + \left(39 a^{2} + 44 a + 51\right)\cdot 53^{48} + \left(16 a^{2} + 47 a + 9\right)\cdot 53^{49} + \left(21 a^{2} + 47 a + 18\right)\cdot 53^{50} + \left(8 a^{2} + 51 a + 15\right)\cdot 53^{51} + \left(2 a^{2} + 34 a + 34\right)\cdot 53^{52} + \left(35 a^{2} + 7 a + 31\right)\cdot 53^{53} + \left(37 a^{2} + 33 a + 28\right)\cdot 53^{54} + \left(26 a^{2} + 19 a + 8\right)\cdot 53^{55} + \left(22 a^{2} + 31 a + 51\right)\cdot 53^{56} + \left(50 a^{2} + 44 a + 3\right)\cdot 53^{57} + \left(26 a^{2} + 22 a + 13\right)\cdot 53^{58} + \left(20 a^{2} + 46 a + 42\right)\cdot 53^{59} + \left(45 a^{2} + 32 a + 20\right)\cdot 53^{60} + \left(22 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 53^{61} + \left(36 a^{2} + 21 a + 3\right)\cdot 53^{62} + \left(18 a^{2} + 29 a + 1\right)\cdot 53^{63} + \left(18 a^{2} + 16 a\right)\cdot 53^{64} + \left(32 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 53^{65} + \left(30 a^{2} + 48 a + 38\right)\cdot 53^{66} + \left(11 a^{2} + 30 a + 3\right)\cdot 53^{67} + \left(20 a^{2} + 25 a + 26\right)\cdot 53^{68} + \left(4 a^{2} + 36 a + 9\right)\cdot 53^{69} + \left(20 a^{2} + 8 a + 25\right)\cdot 53^{70} + \left(40 a^{2} + 50 a + 14\right)\cdot 53^{71} + \left(38 a^{2} + 31 a + 25\right)\cdot 53^{72} + \left(5 a^{2} + 13 a + 25\right)\cdot 53^{73} + \left(39 a^{2} + 13 a + 29\right)\cdot 53^{74} + \left(46 a^{2} + 41 a + 14\right)\cdot 53^{75} + \left(16 a^{2} + 13 a\right)\cdot 53^{76} + \left(19 a^{2} + 37 a + 13\right)\cdot 53^{77} + \left(7 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 53^{78} + \left(52 a^{2} + 24 a + 48\right)\cdot 53^{79} + \left(48 a^{2} + 36 a + 34\right)\cdot 53^{80} + \left(13 a^{2} + 22 a + 52\right)\cdot 53^{81} + \left(41 a^{2} + 26 a + 22\right)\cdot 53^{82} + \left(35 a^{2} + 41 a + 20\right)\cdot 53^{83} + \left(4 a^{2} + 24 a + 12\right)\cdot 53^{84} + \left(43 a^{2} + 14 a + 10\right)\cdot 53^{85} + \left(8 a^{2} + 2 a + 31\right)\cdot 53^{86} + \left(40 a^{2} + 11 a + 32\right)\cdot 53^{87} + \left(22 a^{2} + 3\right)\cdot 53^{88} + \left(10 a^{2} + 48 a + 6\right)\cdot 53^{89} + \left(33 a^{2} + 3 a + 50\right)\cdot 53^{90} + \left(42 a^{2} + 39 a + 12\right)\cdot 53^{91} + \left(4 a^{2} + 44 a + 35\right)\cdot 53^{92} + \left(13 a^{2} + 27 a + 50\right)\cdot 53^{93} + \left(6 a^{2} + 9 a + 48\right)\cdot 53^{94} + \left(39 a^{2} + 28 a + 10\right)\cdot 53^{95} + \left(35 a^{2} + 33 a + 18\right)\cdot 53^{96} + \left(46 a^{2} + 35 a + 40\right)\cdot 53^{97} + \left(7 a^{2} + 4 a + 24\right)\cdot 53^{98} + \left(24 a^{2} + 15 a + 49\right)\cdot 53^{99} + \left(16 a^{2} + 45 a + 38\right)\cdot 53^{100} + \left(20 a^{2} + 20 a + 24\right)\cdot 53^{101} + \left(50 a^{2} + 47 a + 15\right)\cdot 53^{102} + \left(44 a^{2} + 42 a + 17\right)\cdot 53^{103} + \left(38 a^{2} + 21 a + 1\right)\cdot 53^{104} + \left(45 a^{2} + 41 a + 50\right)\cdot 53^{105} + \left(50 a^{2} + 28 a + 48\right)\cdot 53^{106} + \left(30 a^{2} + 16 a + 43\right)\cdot 53^{107} + \left(7 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 53^{108} + \left(25 a^{2} + 32 a + 2\right)\cdot 53^{109} + \left(40 a^{2} + 7 a + 22\right)\cdot 53^{110} + \left(49 a^{2} + 10 a + 37\right)\cdot 53^{111} + \left(41 a^{2} + 49 a + 18\right)\cdot 53^{112} + \left(6 a^{2} + a + 44\right)\cdot 53^{113} + \left(48 a^{2} + 30 a + 34\right)\cdot 53^{114} + \left(35 a^{2} + 26 a + 35\right)\cdot 53^{115} + \left(7 a^{2} + 28\right)\cdot 53^{116} + \left(47 a^{2} + 52 a + 30\right)\cdot 53^{117} + \left(34 a^{2} + 17 a + 43\right)\cdot 53^{118} + \left(44 a^{2} + 48 a + 7\right)\cdot 53^{119} + \left(13 a^{2} + 2 a + 28\right)\cdot 53^{120} + \left(43 a^{2} + 40 a + 47\right)\cdot 53^{121} + \left(9 a^{2} + 38 a + 41\right)\cdot 53^{122} + \left(24 a^{2} + 10 a + 52\right)\cdot 53^{123} + \left(41 a^{2} + 45 a + 8\right)\cdot 53^{124} + \left(24 a^{2} + 4 a + 20\right)\cdot 53^{125} + \left(36 a^{2} + 25 a + 30\right)\cdot 53^{126} + \left(43 a^{2} + 50 a + 1\right)\cdot 53^{127} + \left(27 a^{2} + 40 a + 31\right)\cdot 53^{128} + \left(38 a^{2} + 37 a + 47\right)\cdot 53^{129} + \left(8 a^{2} + 21 a + 27\right)\cdot 53^{130} + \left(a^{2} + 15 a + 38\right)\cdot 53^{131} + \left(10 a^{2} + 45 a + 49\right)\cdot 53^{132} + \left(37 a^{2} + 45 a + 5\right)\cdot 53^{133} + \left(36 a^{2} + 29 a + 32\right)\cdot 53^{134} + \left(35 a + 2\right)\cdot 53^{135} + \left(18 a^{2} + 29 a + 28\right)\cdot 53^{136} + \left(27 a^{2} + 20 a + 21\right)\cdot 53^{137} + \left(45 a^{2} + 2 a + 21\right)\cdot 53^{138} + \left(38 a^{2} + 7 a + 18\right)\cdot 53^{139} + \left(14 a^{2} + 48 a + 46\right)\cdot 53^{140} + \left(21 a^{2} + 18 a + 10\right)\cdot 53^{141} + \left(6 a^{2} + 6 a + 42\right)\cdot 53^{142} + \left(37 a^{2} + 51 a + 1\right)\cdot 53^{143} + \left(40 a^{2} + 12 a + 23\right)\cdot 53^{144} + \left(48 a^{2} + 41 a + 19\right)\cdot 53^{145} + \left(30 a^{2} + 47 a + 28\right)\cdot 53^{146} + \left(49 a^{2} + 4 a + 26\right)\cdot 53^{147} + \left(9 a^{2} + 48 a + 38\right)\cdot 53^{148} + \left(7 a^{2} + 15 a + 34\right)\cdot 53^{149} +O\left(53^{ 150 }\right)$
$r_{ 4 }$ $=$ $ 32 a^{2} + 34 a + 48 + \left(47 a^{2} + 35 a + 36\right)\cdot 53 + \left(30 a^{2} + 21 a + 4\right)\cdot 53^{2} + \left(3 a^{2} + 40 a + 21\right)\cdot 53^{3} + \left(50 a^{2} + 2 a + 33\right)\cdot 53^{4} + \left(34 a + 39\right)\cdot 53^{5} + \left(26 a^{2} + 30 a + 21\right)\cdot 53^{6} + \left(28 a^{2} + 25 a + 32\right)\cdot 53^{7} + \left(4 a^{2} + 22 a + 27\right)\cdot 53^{8} + \left(12 a^{2} + 47 a + 27\right)\cdot 53^{9} + \left(30 a^{2} + 15 a + 6\right)\cdot 53^{10} + \left(40 a^{2} + 29 a + 5\right)\cdot 53^{11} + \left(33 a^{2} + 14 a + 52\right)\cdot 53^{12} + \left(40 a^{2} + 49 a + 14\right)\cdot 53^{13} + \left(23 a^{2} + 39 a + 29\right)\cdot 53^{14} + \left(52 a^{2} + 37 a + 24\right)\cdot 53^{15} + \left(30 a^{2} + 15 a + 16\right)\cdot 53^{16} + \left(31 a^{2} + 20 a + 37\right)\cdot 53^{17} + \left(24 a^{2} + 31 a + 52\right)\cdot 53^{18} + \left(15 a^{2} + 36 a + 28\right)\cdot 53^{19} + \left(11 a^{2} + 26 a + 10\right)\cdot 53^{20} + \left(21 a^{2} + 17 a + 31\right)\cdot 53^{21} + \left(20 a^{2} + 50 a + 51\right)\cdot 53^{22} + \left(17 a^{2} + 15 a + 38\right)\cdot 53^{23} + \left(16 a^{2} + 40 a + 30\right)\cdot 53^{24} + \left(21 a^{2} + a + 43\right)\cdot 53^{25} + \left(10 a^{2} + 18 a + 13\right)\cdot 53^{26} + \left(30 a^{2} + 42 a + 5\right)\cdot 53^{27} + \left(29 a^{2} + 37 a + 4\right)\cdot 53^{28} + \left(18 a^{2} + 11 a + 21\right)\cdot 53^{29} + \left(17 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 53^{30} + \left(29 a^{2} + 28 a + 19\right)\cdot 53^{31} + \left(46 a^{2} + 39 a + 23\right)\cdot 53^{32} + \left(19 a^{2} + 9 a + 37\right)\cdot 53^{33} + \left(3 a^{2} + 6 a + 39\right)\cdot 53^{34} + \left(4 a^{2} + 40 a + 23\right)\cdot 53^{35} + \left(21 a^{2} + 28 a + 30\right)\cdot 53^{36} + \left(46 a^{2} + 38 a + 44\right)\cdot 53^{37} + \left(30 a^{2} + 10 a + 24\right)\cdot 53^{38} + \left(31 a^{2} + 29 a + 32\right)\cdot 53^{39} + \left(35 a^{2} + 22 a + 34\right)\cdot 53^{40} + \left(22 a^{2} + 41 a + 41\right)\cdot 53^{41} + \left(19 a^{2} + 30 a + 30\right)\cdot 53^{42} + \left(30 a^{2} + 8 a + 19\right)\cdot 53^{43} + \left(17 a^{2} + 42 a + 15\right)\cdot 53^{44} + \left(14 a^{2} + 42 a + 37\right)\cdot 53^{45} + \left(10 a^{2} + 41 a + 29\right)\cdot 53^{46} + \left(15 a^{2} + 51 a + 10\right)\cdot 53^{47} + \left(41 a^{2} + 23 a + 2\right)\cdot 53^{48} + \left(29 a^{2} + 10 a + 36\right)\cdot 53^{49} + \left(16 a^{2} + 31 a + 8\right)\cdot 53^{50} + \left(29 a^{2} + 41 a + 4\right)\cdot 53^{51} + \left(7 a^{2} + 8 a + 45\right)\cdot 53^{52} + \left(19 a^{2} + 17 a + 52\right)\cdot 53^{53} + \left(34 a^{2} + 50 a + 21\right)\cdot 53^{54} + \left(7 a^{2} + 21 a + 23\right)\cdot 53^{55} + \left(a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 53^{56} + \left(46 a^{2} + 43 a + 48\right)\cdot 53^{57} + \left(21 a^{2} + 38 a + 2\right)\cdot 53^{58} + \left(35 a^{2} + 18 a + 19\right)\cdot 53^{59} + \left(35 a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 53^{60} + \left(15 a^{2} + 32 a + 43\right)\cdot 53^{61} + \left(42 a^{2} + 25 a + 14\right)\cdot 53^{62} + \left(6 a^{2} + 43 a + 30\right)\cdot 53^{63} + \left(45 a^{2} + 7 a\right)\cdot 53^{64} + \left(10 a^{2} + 21 a + 16\right)\cdot 53^{65} + \left(44 a^{2} + 28 a + 12\right)\cdot 53^{66} + \left(46 a^{2} + 38 a + 21\right)\cdot 53^{67} + \left(31 a^{2} + 4 a + 49\right)\cdot 53^{68} + \left(36 a^{2} + 13 a + 20\right)\cdot 53^{69} + \left(23 a^{2} + 35 a + 32\right)\cdot 53^{70} + \left(6 a^{2} + 15 a + 52\right)\cdot 53^{71} + \left(46 a^{2} + 4 a + 39\right)\cdot 53^{72} + \left(24 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 53^{73} + \left(23 a^{2} + 4 a + 51\right)\cdot 53^{74} + \left(6 a^{2} + 33 a + 39\right)\cdot 53^{75} + \left(14 a^{2} + 42 a + 47\right)\cdot 53^{76} + \left(40 a^{2} + 14 a + 1\right)\cdot 53^{77} + \left(28 a^{2} + 36 a + 51\right)\cdot 53^{78} + \left(21 a^{2} + 36 a + 39\right)\cdot 53^{79} + \left(3 a^{2} + 24 a + 49\right)\cdot 53^{80} + \left(7 a^{2} + 37 a + 38\right)\cdot 53^{81} + \left(18 a^{2} + 5 a + 29\right)\cdot 53^{82} + \left(28 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 53^{83} + \left(4 a^{2} + 19 a + 12\right)\cdot 53^{84} + \left(26 a + 30\right)\cdot 53^{85} + \left(34 a^{2} + 46 a + 28\right)\cdot 53^{86} + \left(44 a^{2} + 29 a + 41\right)\cdot 53^{87} + \left(52 a^{2} + 33 a + 10\right)\cdot 53^{88} + \left(25 a^{2} + 42 a + 37\right)\cdot 53^{89} + \left(38 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 53^{90} + \left(5 a^{2} + 34 a + 45\right)\cdot 53^{91} + \left(22 a^{2} + 30 a + 16\right)\cdot 53^{92} + \left(23 a^{2} + 12 a + 18\right)\cdot 53^{93} + \left(24 a^{2} + 10 a + 32\right)\cdot 53^{94} + \left(39 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 53^{95} + \left(4 a^{2} + 42 a + 9\right)\cdot 53^{96} + \left(49 a^{2} + 27 a + 45\right)\cdot 53^{97} + \left(39 a^{2} + 37 a + 35\right)\cdot 53^{98} + \left(14 a^{2} + 45 a + 30\right)\cdot 53^{99} + \left(15 a^{2} + 13 a + 36\right)\cdot 53^{100} + \left(13 a^{2} + 42 a + 10\right)\cdot 53^{101} + \left(44 a^{2} + 37 a + 3\right)\cdot 53^{102} + \left(36 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 53^{103} + \left(35 a^{2} + 3 a + 48\right)\cdot 53^{104} + \left(8 a^{2} + 37 a + 28\right)\cdot 53^{105} + \left(50 a^{2} + 11 a + 47\right)\cdot 53^{106} + \left(36 a^{2} + 27 a + 2\right)\cdot 53^{107} + \left(13 a^{2} + 3 a + 18\right)\cdot 53^{108} + \left(33 a + 5\right)\cdot 53^{109} + \left(52 a^{2} + 3 a + 45\right)\cdot 53^{110} + \left(26 a^{2} + 30 a + 44\right)\cdot 53^{111} + \left(14 a^{2} + 40 a + 16\right)\cdot 53^{112} + \left(17 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 53^{113} + \left(49 a^{2} + a + 37\right)\cdot 53^{114} + \left(30 a^{2} + 44 a + 25\right)\cdot 53^{115} + \left(45 a^{2} + 29 a + 51\right)\cdot 53^{116} + \left(5 a^{2} + 37 a\right)\cdot 53^{117} + \left(41 a^{2} + 49 a + 3\right)\cdot 53^{118} + \left(14 a^{2} + 43 a + 1\right)\cdot 53^{119} + \left(14 a^{2} + 20 a + 29\right)\cdot 53^{120} + \left(17 a^{2} + 39 a + 48\right)\cdot 53^{121} + \left(12 a^{2} + 23 a + 46\right)\cdot 53^{122} + \left(50 a^{2} + 49 a + 51\right)\cdot 53^{123} + \left(9 a^{2} + 22 a + 51\right)\cdot 53^{124} + \left(47 a^{2} + 41 a + 11\right)\cdot 53^{125} + \left(36 a^{2} + a + 31\right)\cdot 53^{126} + \left(18 a^{2} + 17 a + 4\right)\cdot 53^{127} + \left(11 a^{2} + 26 a + 51\right)\cdot 53^{128} + \left(23 a^{2} + 40 a + 16\right)\cdot 53^{129} + \left(24 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 53^{130} + \left(18 a^{2} + 3 a + 20\right)\cdot 53^{131} + \left(29 a^{2} + 51 a + 35\right)\cdot 53^{132} + \left(46 a^{2} + 48 a + 24\right)\cdot 53^{133} + \left(27 a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 53^{134} + \left(11 a^{2} + 12 a + 24\right)\cdot 53^{135} + \left(15 a^{2} + 23 a + 22\right)\cdot 53^{136} + \left(6 a^{2} + 27 a + 32\right)\cdot 53^{137} + \left(22 a^{2} + 20 a + 27\right)\cdot 53^{138} + \left(29 a^{2} + 26 a + 52\right)\cdot 53^{139} + \left(48 a^{2} + 14 a + 7\right)\cdot 53^{140} + \left(50 a^{2} + 12 a + 17\right)\cdot 53^{141} + \left(8 a^{2} + 25 a + 47\right)\cdot 53^{142} + \left(52 a^{2} + 49 a + 31\right)\cdot 53^{143} + \left(40 a^{2} + 37 a + 23\right)\cdot 53^{144} + \left(48 a^{2} + 4 a + 19\right)\cdot 53^{145} + \left(31 a^{2} + 41 a + 30\right)\cdot 53^{146} + \left(32 a^{2} + 11 a + 45\right)\cdot 53^{147} + \left(10 a^{2} + 42 a + 39\right)\cdot 53^{148} + \left(12 a^{2} + 47 a + 44\right)\cdot 53^{149} +O\left(53^{ 150 }\right)$
$r_{ 5 }$ $=$ $ 13 a^{2} + 20 a + 20 + \left(13 a^{2} + 33 a + 4\right)\cdot 53 + \left(26 a^{2} + 17 a + 52\right)\cdot 53^{2} + \left(a^{2} + 37 a + 44\right)\cdot 53^{3} + \left(28 a^{2} + 36 a + 23\right)\cdot 53^{4} + \left(23 a^{2} + a + 36\right)\cdot 53^{5} + \left(32 a^{2} + 32 a + 45\right)\cdot 53^{6} + \left(5 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 53^{7} + \left(44 a^{2} + 50 a + 5\right)\cdot 53^{8} + \left(36 a^{2} + 37 a + 49\right)\cdot 53^{9} + \left(46 a + 7\right)\cdot 53^{10} + \left(50 a^{2} + 34 a + 7\right)\cdot 53^{11} + \left(50 a^{2} + a + 21\right)\cdot 53^{12} + \left(29 a^{2} + 18 a + 14\right)\cdot 53^{13} + \left(17 a^{2} + 12 a + 30\right)\cdot 53^{14} + \left(40 a^{2} + 41 a + 23\right)\cdot 53^{15} + \left(a^{2} + 10 a + 43\right)\cdot 53^{16} + \left(49 a^{2} + 34 a + 21\right)\cdot 53^{17} + \left(46 a^{2} + 49 a + 20\right)\cdot 53^{18} + \left(20 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 53^{19} + \left(14 a^{2} + 48 a + 44\right)\cdot 53^{20} + \left(5 a^{2} + 45 a + 30\right)\cdot 53^{21} + \left(45 a^{2} + 33 a + 4\right)\cdot 53^{22} + \left(38 a^{2} + 3 a + 33\right)\cdot 53^{23} + \left(42 a^{2} + 15 a + 34\right)\cdot 53^{24} + \left(6 a^{2} + 2 a + 26\right)\cdot 53^{25} + \left(48 a^{2} + 25 a + 10\right)\cdot 53^{26} + \left(18 a^{2} + 30 a + 12\right)\cdot 53^{27} + \left(26 a^{2} + 30 a + 48\right)\cdot 53^{28} + \left(18 a^{2} + 49 a + 47\right)\cdot 53^{29} + \left(22 a^{2} + 39 a + 21\right)\cdot 53^{30} + \left(26 a^{2} + 36 a + 8\right)\cdot 53^{31} + \left(24 a^{2} + 31 a + 33\right)\cdot 53^{32} + \left(4 a^{2} + 13 a + 45\right)\cdot 53^{33} + \left(9 a^{2} + 24 a + 29\right)\cdot 53^{34} + \left(48 a^{2} + 44 a + 16\right)\cdot 53^{35} + \left(34 a^{2} + 45 a + 38\right)\cdot 53^{36} + \left(20 a^{2} + 14 a + 29\right)\cdot 53^{37} + \left(25 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 53^{38} + \left(22 a^{2} + 51 a + 49\right)\cdot 53^{39} + \left(21 a^{2} + 14 a + 46\right)\cdot 53^{40} + \left(15 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 53^{41} + \left(29 a^{2} + 18 a + 42\right)\cdot 53^{42} + \left(25 a + 8\right)\cdot 53^{43} + \left(16 a^{2} + 18 a + 7\right)\cdot 53^{44} + \left(22 a^{2} + 31 a + 12\right)\cdot 53^{45} + \left(28 a^{2} + 38 a + 15\right)\cdot 53^{46} + \left(8 a^{2} + 41 a + 40\right)\cdot 53^{47} + \left(7 a^{2} + 48 a + 27\right)\cdot 53^{48} + \left(42 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 53^{49} + \left(34 a^{2} + 17 a + 47\right)\cdot 53^{50} + \left(16 a^{2} + 49 a + 3\right)\cdot 53^{51} + \left(12 a^{2} + 23 a + 49\right)\cdot 53^{52} + \left(13 a^{2} + 19 a + 50\right)\cdot 53^{53} + \left(8 a^{2} + 34 a + 16\right)\cdot 53^{54} + \left(28 a^{2} + 3 a + 44\right)\cdot 53^{55} + \left(21 a^{2} + 16 a + 27\right)\cdot 53^{56} + \left(49 a + 21\right)\cdot 53^{57} + \left(31 a^{2} + 34 a + 9\right)\cdot 53^{58} + \left(a^{2} + 47 a + 1\right)\cdot 53^{59} + \left(9 a^{2} + 12 a\right)\cdot 53^{60} + \left(22 a^{2} + 42 a + 9\right)\cdot 53^{61} + \left(15 a^{2} + 36 a + 33\right)\cdot 53^{62} + \left(5 a^{2} + 22 a + 4\right)\cdot 53^{63} + \left(20 a^{2} + a + 44\right)\cdot 53^{64} + \left(18 a^{2} + 20 a + 40\right)\cdot 53^{65} + \left(30 a^{2} + 12 a\right)\cdot 53^{66} + \left(39 a^{2} + 19 a + 20\right)\cdot 53^{67} + \left(36 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 53^{68} + \left(8 a^{2} + 51 a + 44\right)\cdot 53^{69} + \left(4 a^{2} + 43 a + 44\right)\cdot 53^{70} + \left(40 a^{2} + 49 a + 51\right)\cdot 53^{71} + \left(22 a^{2} + 10 a + 32\right)\cdot 53^{72} + \left(40 a^{2} + 32 a + 2\right)\cdot 53^{73} + \left(51 a^{2} + 29 a + 45\right)\cdot 53^{74} + \left(a^{2} + 49 a + 23\right)\cdot 53^{75} + \left(32 a^{2} + 22 a + 50\right)\cdot 53^{76} + \left(32 a^{2} + a + 16\right)\cdot 53^{77} + \left(41 a^{2} + 22 a + 11\right)\cdot 53^{78} + \left(20 a^{2} + 49 a + 11\right)\cdot 53^{79} + \left(16 a^{2} + 43 a + 2\right)\cdot 53^{80} + \left(15 a^{2} + 8 a + 44\right)\cdot 53^{81} + \left(21 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 53^{82} + \left(16 a^{2} + 30 a + 19\right)\cdot 53^{83} + \left(42 a^{2} + 52 a + 25\right)\cdot 53^{84} + \left(35 a^{2} + 38 a + 26\right)\cdot 53^{85} + \left(29 a^{2} + 11 a + 16\right)\cdot 53^{86} + \left(7 a^{2} + 24 a + 21\right)\cdot 53^{87} + \left(52 a^{2} + 15 a + 25\right)\cdot 53^{88} + \left(26 a^{2} + 20 a + 29\right)\cdot 53^{89} + \left(43 a^{2} + 24 a + 17\right)\cdot 53^{90} + \left(9 a^{2} + 42 a + 24\right)\cdot 53^{91} + \left(28 a^{2} + 2 a + 34\right)\cdot 53^{92} + \left(20 a^{2} + 3 a + 24\right)\cdot 53^{93} + \left(43 a^{2} + 7 a + 23\right)\cdot 53^{94} + \left(30 a^{2} + 47 a + 13\right)\cdot 53^{95} + \left(18 a^{2} + 23 a + 50\right)\cdot 53^{96} + \left(23 a^{2} + 31 a + 12\right)\cdot 53^{97} + \left(12 a^{2} + 15 a + 33\right)\cdot 53^{98} + \left(18 a^{2} + 22 a + 51\right)\cdot 53^{99} + \left(a^{2} + a + 25\right)\cdot 53^{100} + \left(39 a^{2} + 35 a + 24\right)\cdot 53^{101} + \left(49 a^{2} + 25 a + 34\right)\cdot 53^{102} + \left(19 a^{2} + 9 a + 45\right)\cdot 53^{103} + \left(52 a^{2} + 43 a + 45\right)\cdot 53^{104} + \left(49 a^{2} + 20 a + 7\right)\cdot 53^{105} + \left(9 a^{2} + 24\right)\cdot 53^{106} + \left(34 a^{2} + 28 a + 43\right)\cdot 53^{107} + \left(5 a^{2} + 6 a + 51\right)\cdot 53^{108} + \left(7 a^{2} + 52 a + 12\right)\cdot 53^{109} + \left(17 a + 43\right)\cdot 53^{110} + \left(11 a^{2} + 22 a + 43\right)\cdot 53^{111} + \left(28 a^{2} + 27 a + 8\right)\cdot 53^{112} + \left(16 a^{2} + 2 a + 18\right)\cdot 53^{113} + \left(24 a^{2} + 11 a + 38\right)\cdot 53^{114} + \left(40 a^{2} + 31 a + 48\right)\cdot 53^{115} + \left(28 a^{2} + 48 a + 45\right)\cdot 53^{116} + \left(28 a^{2} + 33 a + 44\right)\cdot 53^{117} + \left(26 a^{2} + 11 a + 38\right)\cdot 53^{118} + \left(9 a^{2} + 14 a + 42\right)\cdot 53^{119} + \left(29 a^{2} + 15 a + 30\right)\cdot 53^{120} + \left(5 a^{2} + 22 a + 26\right)\cdot 53^{121} + \left(11 a^{2} + 7 a + 37\right)\cdot 53^{122} + \left(23 a^{2} + 5 a + 40\right)\cdot 53^{123} + \left(7 a^{2} + 48 a + 31\right)\cdot 53^{124} + \left(13 a^{2} + 45 a + 49\right)\cdot 53^{125} + \left(35 a^{2} + 26 a + 5\right)\cdot 53^{126} + \left(7 a^{2} + 44 a + 5\right)\cdot 53^{127} + \left(7 a^{2} + 36 a + 28\right)\cdot 53^{128} + \left(5 a^{2} + 29 a + 34\right)\cdot 53^{129} + \left(43 a^{2} + 31 a + 7\right)\cdot 53^{130} + \left(8 a^{2} + 20 a + 24\right)\cdot 53^{131} + \left(5 a^{2} + 2 a + 31\right)\cdot 53^{132} + \left(14 a^{2} + 38 a + 20\right)\cdot 53^{133} + \left(10 a^{2} + 3 a + 38\right)\cdot 53^{134} + \left(50 a^{2} + 44 a + 28\right)\cdot 53^{135} + \left(28 a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 53^{136} + \left(42 a^{2} + 27 a + 51\right)\cdot 53^{137} + \left(33 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 53^{138} + \left(51 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 53^{139} + \left(5 a^{2} + 6 a + 46\right)\cdot 53^{140} + \left(7 a^{2} + 38 a + 12\right)\cdot 53^{141} + \left(39 a^{2} + 32 a + 17\right)\cdot 53^{142} + \left(34 a^{2} + 6 a + 17\right)\cdot 53^{143} + \left(17 a^{2} + 19 a + 15\right)\cdot 53^{144} + \left(8 a^{2} + 8 a + 35\right)\cdot 53^{145} + \left(21 a^{2} + 50 a + 41\right)\cdot 53^{146} + \left(2 a^{2} + 32 a + 19\right)\cdot 53^{147} + \left(7 a^{2} + 28 a + 13\right)\cdot 53^{148} + \left(21 a^{2} + 49 a + 11\right)\cdot 53^{149} +O\left(53^{ 150 }\right)$
$r_{ 6 }$ $=$ $ 42 a^{2} + 42 a + 15 + \left(45 a^{2} + 17 a + 33\right)\cdot 53 + \left(10 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 53^{2} + \left(7 a^{2} + 6 a + 28\right)\cdot 53^{3} + \left(25 a^{2} + 19 a + 36\right)\cdot 53^{4} + \left(20 a^{2} + 13 a + 25\right)\cdot 53^{5} + \left(24 a^{2} + 24 a + 18\right)\cdot 53^{6} + \left(40 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 53^{7} + \left(19 a^{2} + 13 a + 5\right)\cdot 53^{8} + \left(31 a^{2} + 11 a + 13\right)\cdot 53^{9} + \left(33 a^{2} + 27 a + 13\right)\cdot 53^{10} + \left(7 a^{2} + 29 a + 45\right)\cdot 53^{11} + \left(27 a^{2} + 8 a + 38\right)\cdot 53^{12} + \left(45 a^{2} + 11 a + 24\right)\cdot 53^{13} + \left(29 a^{2} + 6 a + 41\right)\cdot 53^{14} + \left(31 a^{2} + 28 a + 35\right)\cdot 53^{15} + \left(20 a^{2} + 6 a + 48\right)\cdot 53^{16} + \left(19 a^{2} + 23 a + 12\right)\cdot 53^{17} + \left(47 a^{2} + 51 a + 45\right)\cdot 53^{18} + \left(11 a^{2} + 8 a + 21\right)\cdot 53^{19} + \left(47 a^{2} + 52 a + 29\right)\cdot 53^{20} + \left(41 a^{2} + 25 a + 19\right)\cdot 53^{21} + \left(20 a^{2} + 7 a + 52\right)\cdot 53^{22} + \left(20 a^{2} + 3 a + 44\right)\cdot 53^{23} + \left(40 a^{2} + 3 a + 25\right)\cdot 53^{24} + \left(42 a^{2} + 22 a + 33\right)\cdot 53^{25} + \left(48 a^{2} + 30 a + 37\right)\cdot 53^{26} + \left(20 a^{2} + 38 a + 39\right)\cdot 53^{27} + \left(27 a^{2} + 36 a + 52\right)\cdot 53^{28} + \left(25 a^{2} + 3 a + 34\right)\cdot 53^{29} + \left(23 a^{2} + 21 a + 18\right)\cdot 53^{30} + \left(19 a^{2} + 38 a + 52\right)\cdot 53^{31} + \left(43 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 53^{32} + \left(48 a^{2} + 6 a + 42\right)\cdot 53^{33} + \left(50 a^{2} + 35 a + 28\right)\cdot 53^{34} + \left(38 a^{2} + 22 a + 40\right)\cdot 53^{35} + \left(17 a^{2} + 12 a + 23\right)\cdot 53^{36} + \left(36 a^{2} + 22 a + 24\right)\cdot 53^{37} + \left(28 a^{2} + 47 a + 20\right)\cdot 53^{38} + \left(36 a^{2} + 2 a + 42\right)\cdot 53^{39} + \left(32 a^{2} + 13 a + 28\right)\cdot 53^{40} + \left(43 a^{2} + 17 a + 30\right)\cdot 53^{41} + \left(26 a^{2} + 21 a + 45\right)\cdot 53^{42} + \left(9 a^{2} + 41 a + 30\right)\cdot 53^{43} + \left(5 a^{2} + 43\right)\cdot 53^{44} + \left(41 a^{2} + 50 a + 37\right)\cdot 53^{45} + \left(16 a^{2} + 27 a + 42\right)\cdot 53^{46} + \left(10 a^{2} + 13 a\right)\cdot 53^{47} + \left(25 a^{2} + 37 a + 23\right)\cdot 53^{48} + \left(6 a^{2} + 47 a + 42\right)\cdot 53^{49} + \left(15 a^{2} + 26 a + 5\right)\cdot 53^{50} + \left(15 a^{2} + 12 a + 29\right)\cdot 53^{51} + \left(43 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 53^{52} + \left(51 a^{2} + 28 a + 12\right)\cdot 53^{53} + \left(33 a^{2} + 22 a + 21\right)\cdot 53^{54} + \left(18 a^{2} + 11 a + 45\right)\cdot 53^{55} + \left(29 a^{2} + 17 a + 11\right)\cdot 53^{56} + \left(9 a^{2} + 18 a + 28\right)\cdot 53^{57} + \left(4 a^{2} + 44 a + 20\right)\cdot 53^{58} + \left(50 a^{2} + 40 a + 48\right)\cdot 53^{59} + \left(24 a^{2} + a + 32\right)\cdot 53^{60} + \left(14 a^{2} + 15 a + 40\right)\cdot 53^{61} + \left(27 a^{2} + 6 a + 37\right)\cdot 53^{62} + \left(27 a^{2} + 33 a + 18\right)\cdot 53^{63} + \left(42 a^{2} + 28 a + 48\right)\cdot 53^{64} + \left(9 a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 53^{65} + \left(31 a^{2} + 29 a + 39\right)\cdot 53^{66} + \left(47 a^{2} + 36 a + 22\right)\cdot 53^{67} + \left(22 a + 40\right)\cdot 53^{68} + \left(12 a^{2} + 3 a + 24\right)\cdot 53^{69} + \left(9 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 53^{70} + \left(6 a^{2} + 40 a + 52\right)\cdot 53^{71} + \left(21 a^{2} + 16 a + 42\right)\cdot 53^{72} + \left(22 a^{2} + 37 a + 5\right)\cdot 53^{73} + \left(43 a^{2} + 35 a + 38\right)\cdot 53^{74} + \left(52 a^{2} + 31 a + 26\right)\cdot 53^{75} + \left(21 a^{2} + 49 a + 10\right)\cdot 53^{76} + \left(46 a^{2} + 14\right)\cdot 53^{77} + \left(16 a^{2} + 4 a + 27\right)\cdot 53^{78} + \left(32 a^{2} + 45 a + 8\right)\cdot 53^{79} + \left(44 a + 44\right)\cdot 53^{80} + \left(32 a^{2} + 45 a + 35\right)\cdot 53^{81} + \left(46 a^{2} + 20 a + 33\right)\cdot 53^{82} + \left(41 a^{2} + 5 a + 32\right)\cdot 53^{83} + \left(43 a^{2} + 9 a + 37\right)\cdot 53^{84} + \left(9 a^{2} + 12 a + 49\right)\cdot 53^{85} + \left(10 a^{2} + 4 a + 33\right)\cdot 53^{86} + \left(21 a^{2} + 12 a + 47\right)\cdot 53^{87} + \left(30 a^{2} + 19 a + 18\right)\cdot 53^{88} + \left(16 a^{2} + 15 a + 18\right)\cdot 53^{89} + \left(34 a^{2} + 44 a + 52\right)\cdot 53^{90} + \left(4 a^{2} + 32 a + 42\right)\cdot 53^{91} + \left(26 a^{2} + 30 a + 24\right)\cdot 53^{92} + \left(16 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 53^{93} + \left(22 a^{2} + 33 a + 28\right)\cdot 53^{94} + \left(27 a^{2} + 15 a + 40\right)\cdot 53^{95} + \left(12 a^{2} + 30 a + 24\right)\cdot 53^{96} + \left(10 a^{2} + 42 a + 20\right)\cdot 53^{97} + \left(5 a^{2} + 10 a + 19\right)\cdot 53^{98} + \left(14 a^{2} + 45 a + 29\right)\cdot 53^{99} + \left(21 a^{2} + 46 a + 48\right)\cdot 53^{100} + \left(19 a^{2} + 42 a + 22\right)\cdot 53^{101} + \left(11 a^{2} + 20 a + 43\right)\cdot 53^{102} + \left(24 a^{2} + 3 a + 28\right)\cdot 53^{103} + \left(31 a^{2} + 28 a + 39\right)\cdot 53^{104} + \left(51 a^{2} + 27 a + 8\right)\cdot 53^{105} + \left(4 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 53^{106} + \left(38 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 53^{107} + \left(31 a^{2} + 46 a + 1\right)\cdot 53^{108} + \left(27 a^{2} + 40 a + 7\right)\cdot 53^{109} + \left(13 a^{2} + 41 a + 21\right)\cdot 53^{110} + \left(29 a^{2} + 12 a + 49\right)\cdot 53^{111} + \left(49 a^{2} + 16 a + 33\right)\cdot 53^{112} + \left(28 a^{2} + 39 a + 35\right)\cdot 53^{113} + \left(8 a^{2} + 21 a + 8\right)\cdot 53^{114} + \left(39 a^{2} + 35 a + 42\right)\cdot 53^{115} + \left(52 a^{2} + 22 a + 12\right)\cdot 53^{116} + \left(52 a^{2} + 16 a + 42\right)\cdot 53^{117} + \left(29 a^{2} + 38 a + 33\right)\cdot 53^{118} + \left(46 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 53^{119} + \left(24 a^{2} + 29 a + 50\right)\cdot 53^{120} + \left(45 a^{2} + 26 a + 51\right)\cdot 53^{121} + \left(30 a^{2} + 43 a + 30\right)\cdot 53^{122} + \left(31 a^{2} + 45 a + 14\right)\cdot 53^{123} + \left(a^{2} + 37 a + 35\right)\cdot 53^{124} + \left(34 a^{2} + 6 a + 38\right)\cdot 53^{125} + \left(32 a^{2} + 26 a + 22\right)\cdot 53^{126} + \left(43 a^{2} + 38 a + 1\right)\cdot 53^{127} + \left(13 a^{2} + 38 a + 3\right)\cdot 53^{128} + \left(44 a^{2} + 27 a + 6\right)\cdot 53^{129} + \left(19 a^{2} + 27 a + 50\right)\cdot 53^{130} + \left(33 a^{2} + 34 a + 49\right)\cdot 53^{131} + \left(13 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 53^{132} + \left(22 a^{2} + 11 a + 29\right)\cdot 53^{133} + \left(41 a^{2} + 15 a + 41\right)\cdot 53^{134} + \left(40 a^{2} + 5 a + 29\right)\cdot 53^{135} + \left(19 a^{2} + 31\right)\cdot 53^{136} + \left(19 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 53^{137} + \left(38 a^{2} + 30 a + 7\right)\cdot 53^{138} + \left(37 a^{2} + 19 a + 16\right)\cdot 53^{139} + \left(42 a^{2} + 43 a + 49\right)\cdot 53^{140} + \left(33 a^{2} + 21 a + 35\right)\cdot 53^{141} + \left(37 a^{2} + 21 a + 51\right)\cdot 53^{142} + \left(16 a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 53^{143} + \left(24 a^{2} + 2 a + 43\right)\cdot 53^{144} + \left(8 a^{2} + 7 a + 44\right)\cdot 53^{145} + \left(43 a^{2} + 17 a + 52\right)\cdot 53^{146} + \left(23 a^{2} + 36 a + 27\right)\cdot 53^{147} + \left(32 a^{2} + 15 a + 30\right)\cdot 53^{148} + \left(33 a^{2} + 42 a + 34\right)\cdot 53^{149} +O\left(53^{ 150 }\right)$
$r_{ 7 }$ $=$ $ 11 a^{2} + 46 a + 16 + \left(3 a^{2} + 9 a + 37\right)\cdot 53 + \left(40 a^{2} + 13 a + 26\right)\cdot 53^{2} + \left(20 a^{2} + 39 a + 30\right)\cdot 53^{3} + \left(27 a^{2} + 22\right)\cdot 53^{4} + \left(4 a^{2} + 30 a + 51\right)\cdot 53^{5} + \left(21 a^{2} + 2 a + 22\right)\cdot 53^{6} + \left(34 a^{2} + 31 a + 15\right)\cdot 53^{7} + \left(43 a^{2} + 45 a + 4\right)\cdot 53^{8} + \left(23 a^{2} + 47 a + 23\right)\cdot 53^{9} + \left(48 a^{2} + 10 a + 50\right)\cdot 53^{10} + \left(35 a^{2} + 49 a + 31\right)\cdot 53^{11} + \left(22 a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 53^{12} + \left(9 a^{2} + 23 a + 26\right)\cdot 53^{13} + \left(43 a^{2} + 9 a + 28\right)\cdot 53^{14} + \left(31 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 53^{15} + \left(38 a^{2} + 36 a + 11\right)\cdot 53^{16} + \left(12 a^{2} + 36 a + 2\right)\cdot 53^{17} + \left(a^{2} + 44 a + 35\right)\cdot 53^{18} + \left(29 a^{2} + 25 a + 22\right)\cdot 53^{19} + \left(37 a^{2} + 50 a + 37\right)\cdot 53^{20} + \left(28 a^{2} + 4 a + 24\right)\cdot 53^{21} + \left(21 a + 21\right)\cdot 53^{22} + \left(2 a + 8\right)\cdot 53^{23} + \left(46 a^{2} + 27 a + 41\right)\cdot 53^{24} + \left(7 a^{2} + 18 a + 28\right)\cdot 53^{25} + \left(37 a^{2} + 13 a + 41\right)\cdot 53^{26} + \left(43 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 53^{27} + \left(33 a^{2} + 28 a + 10\right)\cdot 53^{28} + \left(45 a^{2} + 14 a + 49\right)\cdot 53^{29} + \left(19 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 53^{30} + \left(6 a^{2} + 7 a + 21\right)\cdot 53^{31} + \left(36 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 53^{32} + \left(32 a^{2} + 28 a + 49\right)\cdot 53^{33} + \left(18 a^{2} + 40 a + 48\right)\cdot 53^{34} + \left(3 a^{2} + 17 a + 32\right)\cdot 53^{35} + \left(15 a^{2} + 27 a + 51\right)\cdot 53^{36} + \left(42 a^{2} + 28 a + 19\right)\cdot 53^{37} + \left(33 a^{2} + 19 a + 30\right)\cdot 53^{38} + \left(37 a + 5\right)\cdot 53^{39} + \left(23 a^{2} + 15 a + 50\right)\cdot 53^{40} + \left(16 a^{2} + 23 a + 5\right)\cdot 53^{41} + \left(3 a^{2} + 7 a + 43\right)\cdot 53^{42} + \left(24 a^{2} + 34 a + 2\right)\cdot 53^{43} + \left(45 a^{2} + 44 a + 13\right)\cdot 53^{44} + \left(49 a^{2} + 12 a + 14\right)\cdot 53^{45} + \left(44 a^{2} + 21 a + 48\right)\cdot 53^{46} + \left(30 a^{2} + 4 a + 31\right)\cdot 53^{47} + \left(28 a^{2} + 22 a + 17\right)\cdot 53^{48} + \left(13 a^{2} + 9 a + 52\right)\cdot 53^{49} + \left(21 a + 30\right)\cdot 53^{50} + \left(4 a^{2} + 33 a + 31\right)\cdot 53^{51} + \left(51 a^{2} + 26 a + 20\right)\cdot 53^{52} + \left(43 a^{2} + 27 a + 6\right)\cdot 53^{53} + \left(45 a^{2} + 45 a + 39\right)\cdot 53^{54} + \left(20 a^{2} + 37 a + 29\right)\cdot 53^{55} + \left(34 a^{2} + 3 a\right)\cdot 53^{56} + \left(48 a^{2} + 12\right)\cdot 53^{57} + \left(13 a^{2} + 41 a + 28\right)\cdot 53^{58} + \left(31 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 53^{59} + \left(20 a^{2} + 35 a + 23\right)\cdot 53^{60} + \left(12 a^{2} + 45 a + 42\right)\cdot 53^{61} + \left(13 a^{2} + 19 a + 28\right)\cdot 53^{62} + \left(45 a^{2} + 24 a + 31\right)\cdot 53^{63} + \left(20 a^{2} + 25 a + 45\right)\cdot 53^{64} + \left(26 a^{2} + 31 a + 3\right)\cdot 53^{65} + \left(31 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 53^{66} + \left(5 a^{2} + 40 a + 5\right)\cdot 53^{67} + \left(17 a^{2} + 22 a + 23\right)\cdot 53^{68} + \left(28 a^{2} + 26 a + 30\right)\cdot 53^{69} + \left(27 a^{2} + 21 a + 38\right)\cdot 53^{70} + \left(20 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 53^{71} + \left(25 a^{2} + 28 a + 38\right)\cdot 53^{72} + \left(32 a^{2} + 15 a + 39\right)\cdot 53^{73} + \left(27 a^{2} + a + 49\right)\cdot 53^{74} + \left(28 a^{2} + 2 a + 23\right)\cdot 53^{75} + \left(42 a^{2} + 41 a + 18\right)\cdot 53^{76} + \left(47 a^{2} + 19 a + 47\right)\cdot 53^{77} + \left(38 a^{2} + 26 a + 5\right)\cdot 53^{78} + \left(34 a^{2} + 27 a + 39\right)\cdot 53^{79} + \left(43 a^{2} + 38 a + 3\right)\cdot 53^{80} + \left(52 a^{2} + 49 a + 13\right)\cdot 53^{81} + \left(49 a^{2} + 7 a + 17\right)\cdot 53^{82} + \left(23 a^{2} + 9 a + 34\right)\cdot 53^{83} + \left(2 a^{2} + 49 a + 51\right)\cdot 53^{84} + \left(33 a^{2} + 38 a + 20\right)\cdot 53^{85} + \left(46 a^{2} + 33 a + 50\right)\cdot 53^{86} + \left(35 a^{2} + 51 a + 24\right)\cdot 53^{87} + \left(34 a^{2} + 36 a + 43\right)\cdot 53^{88} + \left(36 a^{2} + 15 a + 48\right)\cdot 53^{89} + \left(24 a^{2} + 25 a + 32\right)\cdot 53^{90} + \left(44 a^{2} + 23 a + 40\right)\cdot 53^{91} + \left(45 a^{2} + 16\right)\cdot 53^{92} + \left(20 a^{2} + 29 a + 25\right)\cdot 53^{93} + \left(14 a^{2} + 46 a + 18\right)\cdot 53^{94} + \left(28 a^{2} + a + 8\right)\cdot 53^{95} + \left(24 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 53^{96} + \left(36 a^{2} + 25 a + 39\right)\cdot 53^{97} + \left(13 a^{2} + 25 a + 35\right)\cdot 53^{98} + \left(34 a^{2} + 9 a + 30\right)\cdot 53^{99} + \left(49 a^{2} + 49 a + 16\right)\cdot 53^{100} + \left(12 a^{2} + 14 a + 25\right)\cdot 53^{101} + \left(40 a^{2} + 26 a + 15\right)\cdot 53^{102} + \left(51 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 53^{103} + \left(40 a^{2} + 33 a + 23\right)\cdot 53^{104} + \left(48 a^{2} + 29 a + 5\right)\cdot 53^{105} + \left(21 a^{2} + 47 a + 48\right)\cdot 53^{106} + \left(6 a^{2} + 34 a + 40\right)\cdot 53^{107} + \left(26 a^{2} + 25 a + 39\right)\cdot 53^{108} + \left(30 a^{2} + 19 a + 6\right)\cdot 53^{109} + \left(51 a^{2} + 9 a + 40\right)\cdot 53^{110} + \left(6 a^{2} + 23 a + 35\right)\cdot 53^{111} + \left(12 a^{2} + 50 a + 29\right)\cdot 53^{112} + \left(38 a^{2} + 46 a + 8\right)\cdot 53^{113} + \left(a^{2} + 37 a + 46\right)\cdot 53^{114} + \left(47 a^{2} + 44 a + 8\right)\cdot 53^{115} + \left(52 a^{2} + 8 a + 41\right)\cdot 53^{116} + \left(7 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 53^{117} + \left(a^{2} + 34 a + 41\right)\cdot 53^{118} + \left(28 a^{2} + 36 a + 26\right)\cdot 53^{119} + \left(20 a^{2} + 24 a + 13\right)\cdot 53^{120} + \left(24 a^{2} + 40 a + 11\right)\cdot 53^{121} + \left(19 a^{2} + 43 a + 1\right)\cdot 53^{122} + \left(43 a^{2} + 9 a + 28\right)\cdot 53^{123} + \left(6 a^{2} + 52 a + 30\right)\cdot 53^{124} + \left(18 a^{2} + 48 a + 6\right)\cdot 53^{125} + \left(17 a^{2} + 32 a + 23\right)\cdot 53^{126} + \left(19 a^{2} + 22 a + 28\right)\cdot 53^{127} + \left(13 a^{2} + 34 a + 40\right)\cdot 53^{128} + \left(26 a^{2} + 46 a + 23\right)\cdot 53^{129} + \left(34 a^{2} + 25 a + 43\right)\cdot 53^{130} + \left(43 a^{2} + 17 a + 40\right)\cdot 53^{131} + \left(14 a^{2} + 7 a + 50\right)\cdot 53^{132} + \left(18 a^{2} + 40 a + 28\right)\cdot 53^{133} + \left(33 a^{2} + 25 a + 31\right)\cdot 53^{134} + \left(30 a^{2} + 42\right)\cdot 53^{135} + \left(14 a^{2} + 22 a + 40\right)\cdot 53^{136} + \left(47 a^{2} + 42 a + 7\right)\cdot 53^{137} + \left(26 a^{2} + 3 a + 48\right)\cdot 53^{138} + \left(52 a^{2} + 33 a + 8\right)\cdot 53^{139} + \left(45 a^{2} + 24 a + 20\right)\cdot 53^{140} + \left(14 a^{2} + 5 a + 28\right)\cdot 53^{141} + \left(26 a^{2} + 45 a + 44\right)\cdot 53^{142} + \left(40 a^{2} + 50 a + 28\right)\cdot 53^{143} + \left(15 a^{2} + 17 a + 11\right)\cdot 53^{144} + \left(a^{2} + 44 a + 21\right)\cdot 53^{145} + \left(40 a^{2} + 37 a + 26\right)\cdot 53^{146} + \left(14 a^{2} + 23 a + 44\right)\cdot 53^{147} + \left(6 a^{2} + 38 a + 11\right)\cdot 53^{148} + \left(29 a^{2} + 18 a + 27\right)\cdot 53^{149} +O\left(53^{ 150 }\right)$
$r_{ 8 }$ $=$ $ 29 a^{2} + 40 a + 52 + \left(36 a^{2} + 9 a + 50\right)\cdot 53 + \left(39 a^{2} + 22 a + 25\right)\cdot 53^{2} + \left(30 a^{2} + 29 a + 50\right)\cdot 53^{3} + \left(50 a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 53^{4} + \left(24 a^{2} + 21 a + 39\right)\cdot 53^{5} + \left(52 a^{2} + 18 a + 32\right)\cdot 53^{6} + \left(12 a^{2} + 13 a + 25\right)\cdot 53^{7} + \left(18 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 53^{8} + \left(45 a^{2} + 20 a + 13\right)\cdot 53^{9} + \left(3 a^{2} + 48 a + 14\right)\cdot 53^{10} + \left(20 a^{2} + 21 a\right)\cdot 53^{11} + \left(32 a^{2} + 32 a + 37\right)\cdot 53^{12} + \left(13 a^{2} + 11 a + 34\right)\cdot 53^{13} + \left(45 a^{2} + 31 a + 32\right)\cdot 53^{14} + \left(33 a^{2} + 48 a + 10\right)\cdot 53^{15} + \left(12 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 53^{16} + \left(44 a^{2} + 35 a + 12\right)\cdot 53^{17} + \left(4 a^{2} + 11 a + 42\right)\cdot 53^{18} + \left(3 a^{2} + 12 a + 23\right)\cdot 53^{19} + \left(a^{2} + 7 a + 17\right)\cdot 53^{20} + \left(19 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 53^{21} + \left(7 a^{2} + 51 a + 35\right)\cdot 53^{22} + \left(14 a^{2} + 46 a + 36\right)\cdot 53^{23} + \left(17 a^{2} + 10 a + 36\right)\cdot 53^{24} + \left(38 a^{2} + 32 a + 36\right)\cdot 53^{25} + \left(20 a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 53^{26} + \left(43 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 53^{27} + \left(45 a^{2} + 47 a + 34\right)\cdot 53^{28} + \left(41 a^{2} + 41 a + 41\right)\cdot 53^{29} + \left(10 a^{2} + 3 a + 51\right)\cdot 53^{30} + \left(20 a^{2} + 9 a + 48\right)\cdot 53^{31} + \left(45 a^{2} + 11 a + 21\right)\cdot 53^{32} + \left(15 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 53^{33} + \left(25 a^{2} + 41 a + 9\right)\cdot 53^{34} + \left(a^{2} + 43 a + 29\right)\cdot 53^{35} + \left(3 a^{2} + 32 a + 27\right)\cdot 53^{36} + \left(43 a^{2} + 9 a + 21\right)\cdot 53^{37} + \left(46 a^{2} + 20 a + 3\right)\cdot 53^{38} + \left(29 a^{2} + 17 a + 11\right)\cdot 53^{39} + \left(8 a^{2} + 22 a + 21\right)\cdot 53^{40} + \left(21 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 53^{41} + \left(20 a^{2} + 27 a + 24\right)\cdot 53^{42} + \left(28 a^{2} + 46 a + 11\right)\cdot 53^{43} + \left(44 a^{2} + 42 a + 11\right)\cdot 53^{44} + \left(33 a^{2} + 8 a + 35\right)\cdot 53^{45} + \left(32 a^{2} + 46 a + 23\right)\cdot 53^{46} + \left(13 a^{2} + 6 a + 50\right)\cdot 53^{47} + \left(17 a^{2} + 35 a + 47\right)\cdot 53^{48} + \left(50 a^{2} + 35 a + 19\right)\cdot 53^{49} + \left(17 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 53^{50} + \left(32 a^{2} + 23 a + 35\right)\cdot 53^{51} + \left(42 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 53^{52} + \left(48 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 53^{53} + \left(51 a^{2} + 26 a + 51\right)\cdot 53^{54} + \left(3 a^{2} + 11 a + 48\right)\cdot 53^{55} + \left(50 a^{2} + 33 a + 31\right)\cdot 53^{56} + \left(3 a^{2} + 3 a + 28\right)\cdot 53^{57} + \left(8 a^{2} + 30 a + 16\right)\cdot 53^{58} + \left(20 a^{2} + 38\right)\cdot 53^{59} + \left(23 a^{2} + 5 a + 28\right)\cdot 53^{60} + \left(18 a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 53^{61} + \left(24 a^{2} + 49 a + 51\right)\cdot 53^{62} + \left(2 a^{2} + 5 a + 51\right)\cdot 53^{63} + \left(12 a^{2} + 26 a + 27\right)\cdot 53^{64} + \left(8 a^{2} + a + 20\right)\cdot 53^{65} + \left(44 a^{2} + 33 a + 28\right)\cdot 53^{66} + \left(7 a^{2} + 46 a + 9\right)\cdot 53^{67} + \left(52 a^{2} + 23 a + 40\right)\cdot 53^{68} + \left(15 a^{2} + 28 a + 5\right)\cdot 53^{69} + \left(21 a^{2} + 40 a + 26\right)\cdot 53^{70} + \left(45 a^{2} + 43 a + 9\right)\cdot 53^{71} + \left(4 a^{2} + 13 a + 50\right)\cdot 53^{72} + \left(33 a^{2} + 5 a + 40\right)\cdot 53^{73} + \left(26 a^{2} + 22 a + 47\right)\cdot 53^{74} + \left(22 a^{2} + a + 11\right)\cdot 53^{75} + \left(31 a^{2} + 42 a + 49\right)\cdot 53^{76} + \left(25 a^{2} + 31 a + 2\right)\cdot 53^{77} + \left(25 a^{2} + 4 a + 32\right)\cdot 53^{78} + \left(50 a^{2} + 29 a + 17\right)\cdot 53^{79} + \left(45 a^{2} + 23 a + 8\right)\cdot 53^{80} + \left(37 a^{2} + 47 a + 36\right)\cdot 53^{81} + \left(34 a^{2} + 37 a + 39\right)\cdot 53^{82} + \left(12 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 53^{83} + \left(8 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 53^{84} + \left(37 a^{2} + 28 a + 29\right)\cdot 53^{85} + \left(29 a^{2} + 7 a + 16\right)\cdot 53^{86} + \left(9 a^{2} + 30 a + 25\right)\cdot 53^{87} + \left(19 a^{2} + 12\right)\cdot 53^{88} + \left(42 a^{2} + 17 a + 7\right)\cdot 53^{89} + \left(37 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 53^{90} + \left(51 a^{2} + 40 a + 2\right)\cdot 53^{91} + \left(31 a^{2} + 49 a + 42\right)\cdot 53^{92} + \left(11 a^{2} + 20 a + 6\right)\cdot 53^{93} + \left(48 a^{2} + 52 a + 33\right)\cdot 53^{94} + \left(46 a^{2} + 3 a + 45\right)\cdot 53^{95} + \left(9 a^{2} + 21 a + 32\right)\cdot 53^{96} + \left(46 a^{2} + 49 a + 5\right)\cdot 53^{97} + \left(26 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 53^{98} + \left(21 a + 16\right)\cdot 53^{99} + \left(2 a^{2} + 2 a + 27\right)\cdot 53^{100} + \left(a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 53^{101} + \left(16 a^{2} + a + 20\right)\cdot 53^{102} + \left(34 a^{2} + 33 a + 21\right)\cdot 53^{103} + \left(12 a^{2} + 29 a + 19\right)\cdot 53^{104} + \left(7 a^{2} + 2 a + 28\right)\cdot 53^{105} + \left(21 a^{2} + 5 a + 46\right)\cdot 53^{106} + \left(12 a^{2} + 43 a + 52\right)\cdot 53^{107} + \left(21 a^{2} + 20 a + 29\right)\cdot 53^{108} + \left(15 a^{2} + 34 a + 29\right)\cdot 53^{109} + \left(a^{2} + 25 a + 45\right)\cdot 53^{110} + \left(35 a^{2} + 7 a + 38\right)\cdot 53^{111} + \left(12 a^{2} + 28 a + 30\right)\cdot 53^{112} + \left(51 a^{2} + 3 a + 34\right)\cdot 53^{113} + \left(26 a^{2} + 4 a + 43\right)\cdot 53^{114} + \left(18 a^{2} + 30 a + 4\right)\cdot 53^{115} + \left(24 a^{2} + 48 a + 37\right)\cdot 53^{116} + \left(16 a^{2} + 10 a + 20\right)\cdot 53^{117} + \left(25 a^{2} + 7 a + 36\right)\cdot 53^{118} + \left(15 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 53^{119} + \left(3 a^{2} + 13 a + 32\right)\cdot 53^{120} + \left(23 a^{2} + 43 a + 8\right)\cdot 53^{121} + \left(22 a^{2} + a + 7\right)\cdot 53^{122} + \left(39 a^{2} + 38 a + 20\right)\cdot 53^{123} + \left(38 a^{2} + 5 a + 41\right)\cdot 53^{124} + \left(21 a^{2} + 11 a + 13\right)\cdot 53^{125} + \left(46 a + 42\right)\cdot 53^{126} + \left(26 a^{2} + 38 a + 41\right)\cdot 53^{127} + \left(32 a^{2} + 34 a + 25\right)\cdot 53^{128} + \left(21 a^{2} + 29 a + 14\right)\cdot 53^{129} + \left(28 a^{2} + 48 a + 31\right)\cdot 53^{130} + \left(14 a + 7\right)\cdot 53^{131} + \left(33 a^{2} + 43 a + 34\right)\cdot 53^{132} + \left(20 a^{2} + 27 a + 33\right)\cdot 53^{133} + \left(9 a^{2} + 23 a + 36\right)\cdot 53^{134} + \left(25 a^{2} + 8 a + 31\right)\cdot 53^{135} + \left(9 a^{2} + 16 a + 30\right)\cdot 53^{136} + \left(16 a^{2} + 36 a + 51\right)\cdot 53^{137} + \left(45 a^{2} + 37 a + 31\right)\cdot 53^{138} + \left(a^{2} + 11 a + 13\right)\cdot 53^{139} + \left(a^{2} + 22 a + 36\right)\cdot 53^{140} + \left(31 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 53^{141} + \left(40 a^{2} + 28 a + 20\right)\cdot 53^{142} + \left(30 a^{2} + 48 a + 9\right)\cdot 53^{143} + \left(19 a^{2} + 15 a + 19\right)\cdot 53^{144} + \left(43 a^{2} + 52\right)\cdot 53^{145} + \left(44 a^{2} + 18 a + 35\right)\cdot 53^{146} + \left(35 a^{2} + 49 a + 33\right)\cdot 53^{147} + \left(39 a^{2} + 38 a + 25\right)\cdot 53^{148} + \left(2 a^{2} + 37 a + 27\right)\cdot 53^{149} +O\left(53^{ 150 }\right)$
$r_{ 9 }$ $=$ $ 21 a^{2} + 24 a + 47 + \left(6 a^{2} + 36 a + 4\right)\cdot 53 + \left(36 a^{2} + 35 a + 6\right)\cdot 53^{2} + \left(32 a^{2} + 32 a + 27\right)\cdot 53^{3} + \left(12 a^{2} + 22 a\right)\cdot 53^{4} + \left(51 a^{2} + 22 a + 40\right)\cdot 53^{5} + \left(43 a^{2} + 9 a + 13\right)\cdot 53^{6} + \left(a^{2} + 8 a + 46\right)\cdot 53^{7} + \left(48 a^{2} + 33 a + 36\right)\cdot 53^{8} + \left(45 a^{2} + 13 a + 24\right)\cdot 53^{9} + \left(44 a^{2} + 11 a + 13\right)\cdot 53^{10} + \left(19 a^{2} + 15 a + 14\right)\cdot 53^{11} + \left(34 a^{2} + 51 a + 41\right)\cdot 53^{12} + \left(34 a^{2} + 4 a + 39\right)\cdot 53^{13} + \left(7 a^{2} + 9 a + 20\right)\cdot 53^{14} + \left(48 a^{2} + 6 a + 39\right)\cdot 53^{15} + \left(15 a^{2} + 21 a + 19\right)\cdot 53^{16} + \left(26 a^{2} + 42 a + 13\right)\cdot 53^{17} + \left(20 a^{2} + 5 a + 40\right)\cdot 53^{18} + \left(7 a^{2} + 45 a + 16\right)\cdot 53^{19} + \left(3 a^{2} + 2 a + 38\right)\cdot 53^{20} + \left(31 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 53^{21} + \left(3 a^{2} + 28 a + 11\right)\cdot 53^{22} + \left(6 a^{2} + 32 a + 17\right)\cdot 53^{23} + \left(41 a^{2} + 42 a + 11\right)\cdot 53^{24} + \left(a^{2} + 16 a + 7\right)\cdot 53^{25} + \left(43 a^{2} + 49 a + 2\right)\cdot 53^{26} + \left(27 a^{2} + 2 a + 48\right)\cdot 53^{27} + \left(18 a^{2} + 47 a + 25\right)\cdot 53^{28} + \left(48 a^{2} + a + 13\right)\cdot 53^{29} + \left(25 a^{2} + 33 a + 32\right)\cdot 53^{30} + \left(33 a^{2} + 18 a + 9\right)\cdot 53^{31} + \left(31 a^{2} + 51 a + 25\right)\cdot 53^{32} + \left(28 a^{2} + 44 a + 40\right)\cdot 53^{33} + \left(a^{2} + 46 a + 46\right)\cdot 53^{34} + \left(16 a^{2} + 27 a + 7\right)\cdot 53^{35} + \left(36 a^{2} + 39 a + 45\right)\cdot 53^{36} + \left(2 a^{2} + 8 a + 29\right)\cdot 53^{37} + \left(7 a^{2} + 39 a + 17\right)\cdot 53^{38} + \left(29 a^{2} + 26 a + 49\right)\cdot 53^{39} + \left(13 a^{2} + 5 a + 41\right)\cdot 53^{40} + \left(19 a^{2} + 12 a + 33\right)\cdot 53^{41} + \left(12 a^{2} + 6 a + 31\right)\cdot 53^{42} + \left(27 a^{2} + 11 a + 52\right)\cdot 53^{43} + \left(33 a^{2} + 49 a + 40\right)\cdot 53^{44} + \left(24 a^{2} + 29 a + 37\right)\cdot 53^{45} + \left(37 a^{2} + 44 a + 36\right)\cdot 53^{46} + \left(49 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 53^{47} + \left(37 a + 51\right)\cdot 53^{48} + \left(39 a^{2} + 43 a + 40\right)\cdot 53^{49} + \left(41 a^{2} + 23 a + 6\right)\cdot 53^{50} + \left(49 a^{2} + 24 a + 42\right)\cdot 53^{51} + \left(37 a^{2} + 28 a + 3\right)\cdot 53^{52} + \left(30 a^{2} + 51 a + 40\right)\cdot 53^{53} + \left(3 a^{2} + 3 a + 35\right)\cdot 53^{54} + \left(13 a^{2} + 30 a + 47\right)\cdot 53^{55} + \left(12 a^{2} + a + 15\right)\cdot 53^{56} + \left(45 a^{2} + 14 a + 25\right)\cdot 53^{57} + \left(8 a^{2} + 41 a + 40\right)\cdot 53^{58} + \left(7 a^{2} + 26 a + 32\right)\cdot 53^{59} + \left(20 a^{2} + 42 a + 4\right)\cdot 53^{60} + \left(34 a^{2} + 20 a + 4\right)\cdot 53^{61} + \left(33 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 53^{62} + \left(41 a^{2} + 50 a + 37\right)\cdot 53^{63} + \left(17 a^{2} + 8 a + 50\right)\cdot 53^{64} + \left(37 a^{2} + 39 a + 40\right)\cdot 53^{65} + \left(47 a^{2} + 39 a + 1\right)\cdot 53^{66} + \left(37 a^{2} + 20 a + 13\right)\cdot 53^{67} + \left(48 a^{2} + 3 a + 52\right)\cdot 53^{68} + \left(41 a^{2} + 18 a + 20\right)\cdot 53^{69} + \left(42 a^{2} + 11 a + 46\right)\cdot 53^{70} + \left(29 a^{2} + 22 a + 12\right)\cdot 53^{71} + \left(52 a^{2} + 52 a + 46\right)\cdot 53^{72} + \left(2 a^{2} + 29 a + 34\right)\cdot 53^{73} + \left(39 a^{2} + 33 a + 8\right)\cdot 53^{74} + \left(22 a^{2} + 36 a + 16\right)\cdot 53^{75} + \left(35 a^{2} + 33 a + 47\right)\cdot 53^{76} + \left(15 a^{2} + 16\right)\cdot 53^{77} + \left(12 a^{2} + 11 a + 32\right)\cdot 53^{78} + \left(44 a^{2} + a + 33\right)\cdot 53^{79} + \left(15 a^{2} + 51 a + 1\right)\cdot 53^{80} + \left(23 a^{2} + 4 a + 26\right)\cdot 53^{81} + \left(33 a^{2} + 23 a + 32\right)\cdot 53^{82} + \left(52 a^{2} + 7 a + 28\right)\cdot 53^{83} + \left(39 a^{2} + 45 a + 12\right)\cdot 53^{84} + \left(26 a^{2} + 10 a + 33\right)\cdot 53^{85} + \left(36 a^{2} + 44 a + 31\right)\cdot 53^{86} + \left(48 a^{2} + 49 a + 50\right)\cdot 53^{87} + \left(4 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 53^{88} + \left(9 a^{2} + 50 a + 22\right)\cdot 53^{89} + \left(8 a^{2} + 13 a + 31\right)\cdot 53^{90} + \left(6 a^{2} + 7 a + 44\right)\cdot 53^{91} + \left(36 a^{2} + 35 a + 50\right)\cdot 53^{92} + \left(20 a^{2} + 19 a + 50\right)\cdot 53^{93} + \left(30 a^{2} + 39 a + 16\right)\cdot 53^{94} + \left(46 a^{2} + 34 a + 14\right)\cdot 53^{95} + \left(15 a^{2} + 1\right)\cdot 53^{96} + \left(46 a^{2} + 6 a + 38\right)\cdot 53^{97} + \left(50 a^{2} + 35 a + 13\right)\cdot 53^{98} + \left(11 a^{2} + 19 a + 25\right)\cdot 53^{99} + \left(46 a^{2} + 35 a + 45\right)\cdot 53^{100} + \left(a^{2} + 51 a + 37\right)\cdot 53^{101} + \left(24 a^{2} + 41 a + 21\right)\cdot 53^{102} + \left(13 a^{2} + 38 a + 5\right)\cdot 53^{103} + \left(30 a^{2} + 11 a + 19\right)\cdot 53^{104} + \left(49 a^{2} + 17 a + 38\right)\cdot 53^{105} + \left(30 a^{2} + 6 a + 39\right)\cdot 53^{106} + \left(17 a^{2} + 30 a + 42\right)\cdot 53^{107} + \left(42 a^{2} + 6 a + 35\right)\cdot 53^{108} + \left(25 a^{2} + 44 a + 12\right)\cdot 53^{109} + \left(32 a^{2} + 28 a + 10\right)\cdot 53^{110} + \left(42 a^{2} + 15 a + 37\right)\cdot 53^{111} + \left(39 a + 43\right)\cdot 53^{112} + \left(19 a^{2} + 26 a + 39\right)\cdot 53^{113} + \left(21 a^{2} + 41 a + 43\right)\cdot 53^{114} + \left(2 a^{2} + 45 a + 37\right)\cdot 53^{115} + \left(13 a^{2} + 20 a + 6\right)\cdot 53^{116} + \left(52 a^{2} + 20 a + 39\right)\cdot 53^{117} + \left(41 a^{2} + 35 a\right)\cdot 53^{118} + \left(4 a^{2} + 34 a + 32\right)\cdot 53^{119} + \left(41 a^{2} + 33 a + 38\right)\cdot 53^{120} + \left(13 a^{2} + 35 a + 15\right)\cdot 53^{121} + \left(45 a + 51\right)\cdot 53^{122} + \left(20 a^{2} + 27 a + 5\right)\cdot 53^{123} + \left(8 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 53^{124} + \left(13 a^{2} + 29 a + 50\right)\cdot 53^{125} + \left(52 a^{2} + 28 a + 34\right)\cdot 53^{126} + \left(26 a^{2} + 26 a + 8\right)\cdot 53^{127} + \left(43 a^{2} + 13 a + 27\right)\cdot 53^{128} + \left(4 a^{2} + 28 a + 32\right)\cdot 53^{129} + \left(11 a^{2} + 27 a + 19\right)\cdot 53^{130} + \left(46 a^{2} + 17 a + 14\right)\cdot 53^{131} + \left(21 a^{2} + 40 a + 28\right)\cdot 53^{132} + \left(49 a^{2} + 30 a + 33\right)\cdot 53^{133} + \left(49 a^{2} + 48 a + 52\right)\cdot 53^{134} + \left(13 a^{2} + 22 a + 9\right)\cdot 53^{135} + \left(50 a^{2} + 36 a + 26\right)\cdot 53^{136} + \left(34 a^{2} + 30 a + 48\right)\cdot 53^{137} + \left(18 a^{2} + 50 a + 41\right)\cdot 53^{138} + \left(20 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 53^{139} + \left(52 a^{2} + 27 a + 36\right)\cdot 53^{140} + \left(50 a^{2} + 31 a + 46\right)\cdot 53^{141} + \left(31 a^{2} + 38 a + 24\right)\cdot 53^{142} + \left(29 a^{2} + 35 a + 42\right)\cdot 53^{143} + \left(41 a^{2} + 45 a + 37\right)\cdot 53^{144} + \left(24 a^{2} + 43 a + 20\right)\cdot 53^{145} + \left(41 a^{2} + 42 a + 46\right)\cdot 53^{146} + \left(45 a^{2} + 31 a + 7\right)\cdot 53^{147} + \left(50 a^{2} + 32 a + 13\right)\cdot 53^{148} + \left(47 a^{2} + 24 a + 18\right)\cdot 53^{149} +O\left(53^{ 150 }\right)$

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 9 }$

Cycle notation
$(3,7)$
$(1,3)(4,7)(8,9)$
$(2,5,6)$
$(3,7,9)$
$(1,4,8)$
$(1,2,3)(4,5,7)(6,9,8)$

Character values on conjugacy classes

SizeOrderAction on $r_1, \ldots, r_{ 9 }$ Character value
$1$$1$$()$$8$
$9$$2$$(3,7)$$0$
$18$$2$$(1,3)(4,7)(8,9)$$4$
$27$$2$$(1,4)(3,7)$$0$
$27$$2$$(1,4)(2,5)(3,7)$$0$
$54$$2$$(1,4)(2,3)(5,7)(6,9)$$0$
$6$$3$$(2,5,6)$$-4$
$8$$3$$(1,4,8)(2,5,6)(3,7,9)$$-1$
$12$$3$$(2,5,6)(3,7,9)$$2$
$72$$3$$(1,2,3)(4,5,7)(6,9,8)$$2$
$54$$4$$(1,7,4,3)(8,9)$$0$
$162$$4$$(1,4)(2,3,5,7)(6,9)$$0$
$36$$6$$(1,3)(2,5,6)(4,7)(8,9)$$-2$
$36$$6$$(2,7,5,9,6,3)$$-2$
$36$$6$$(2,5,6)(3,7)$$0$
$36$$6$$(1,4,8)(2,5,6)(3,7)$$0$
$54$$6$$(1,4)(2,6,5)(3,7)$$0$
$72$$6$$(1,9,8,7,4,3)(2,5,6)$$1$
$108$$6$$(1,4)(2,7,5,9,6,3)$$0$
$216$$6$$(1,2,3,4,5,7)(6,9,8)$$0$
$144$$9$$(1,2,7,4,5,9,8,6,3)$$-1$
$108$$12$$(1,7,4,3)(2,5,6)(8,9)$$0$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.