Properties

Label 8.2e12_3e6_7e2_11e2.12t213.1c1
Dimension 8
Group $S_3\wr S_3$
Conductor $ 2^{12} \cdot 3^{6} \cdot 7^{2} \cdot 11^{2}$
Root number 1
Frobenius-Schur indicator 1

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Basic invariants

Dimension:$8$
Group:$S_3\wr S_3$
Conductor:$17703899136= 2^{12} \cdot 3^{6} \cdot 7^{2} \cdot 11^{2} $
Artin number field: Splitting field of $f= x^{9} - x^{8} - 3 x^{6} + x^{5} + 3 x^{4} + 3 x^{3} - 4 x^{2} + 1 $ over $\Q$
Size of Galois orbit: 1
Smallest containing permutation representation: 12T213
Parity: Even
Determinant: 1.1.1t1.1c1

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 31 }$ to precision 131.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 31 }$: $ x^{4} + 3 x^{2} + 16 x + 3 $
Roots:
$r_{ 1 }$ $=$ $ 16 + 14\cdot 31 + 3\cdot 31^{2} + 29\cdot 31^{3} + 6\cdot 31^{5} + 7\cdot 31^{6} + 13\cdot 31^{7} + 3\cdot 31^{8} + 16\cdot 31^{9} + 3\cdot 31^{10} + 30\cdot 31^{11} + 16\cdot 31^{12} + 22\cdot 31^{13} + 12\cdot 31^{14} + 19\cdot 31^{15} + 10\cdot 31^{16} + 9\cdot 31^{17} + 19\cdot 31^{18} + 17\cdot 31^{19} + 13\cdot 31^{20} + 23\cdot 31^{21} + 14\cdot 31^{22} + 2\cdot 31^{23} + 22\cdot 31^{24} + 28\cdot 31^{25} + 8\cdot 31^{26} + 15\cdot 31^{27} + 31^{28} + 13\cdot 31^{29} + 17\cdot 31^{30} + 25\cdot 31^{31} + 13\cdot 31^{32} + 25\cdot 31^{33} + 18\cdot 31^{34} + 27\cdot 31^{35} + 18\cdot 31^{36} + 28\cdot 31^{37} + 6\cdot 31^{38} + 10\cdot 31^{39} + 14\cdot 31^{40} + 2\cdot 31^{41} + 11\cdot 31^{42} + 11\cdot 31^{43} + 27\cdot 31^{44} + 2\cdot 31^{45} + 4\cdot 31^{46} + 20\cdot 31^{47} + 25\cdot 31^{49} + 19\cdot 31^{50} + 2\cdot 31^{51} + 5\cdot 31^{52} + 5\cdot 31^{53} + 3\cdot 31^{54} + 9\cdot 31^{55} + 18\cdot 31^{56} + 10\cdot 31^{58} + 18\cdot 31^{61} + 25\cdot 31^{62} + 4\cdot 31^{63} + 5\cdot 31^{65} + 11\cdot 31^{68} + 14\cdot 31^{69} + 20\cdot 31^{70} + 14\cdot 31^{71} + 9\cdot 31^{72} + 13\cdot 31^{73} + 30\cdot 31^{74} + 11\cdot 31^{75} + 10\cdot 31^{76} + 14\cdot 31^{77} + 5\cdot 31^{78} + 23\cdot 31^{79} + 22\cdot 31^{80} + 4\cdot 31^{81} + 9\cdot 31^{82} + 13\cdot 31^{83} + 5\cdot 31^{84} + 21\cdot 31^{85} + 30\cdot 31^{86} + 3\cdot 31^{87} + 30\cdot 31^{88} + 5\cdot 31^{89} + 8\cdot 31^{90} + 19\cdot 31^{91} + 19\cdot 31^{92} + 24\cdot 31^{94} + 5\cdot 31^{95} + 24\cdot 31^{96} + 14\cdot 31^{97} + 12\cdot 31^{98} + 27\cdot 31^{99} + 5\cdot 31^{100} + 11\cdot 31^{101} + 25\cdot 31^{102} + 16\cdot 31^{103} + 21\cdot 31^{104} + 7\cdot 31^{105} + 29\cdot 31^{106} + 13\cdot 31^{107} + 23\cdot 31^{108} + 12\cdot 31^{109} + 28\cdot 31^{110} + 20\cdot 31^{111} + 11\cdot 31^{112} + 26\cdot 31^{113} + 19\cdot 31^{114} + 22\cdot 31^{115} + 9\cdot 31^{116} + 27\cdot 31^{117} + 10\cdot 31^{118} + 28\cdot 31^{119} + 29\cdot 31^{120} + 5\cdot 31^{121} + 8\cdot 31^{122} + 9\cdot 31^{123} + 3\cdot 31^{124} + 8\cdot 31^{125} + 20\cdot 31^{126} + 6\cdot 31^{127} + 20\cdot 31^{128} + 15\cdot 31^{129} + 17\cdot 31^{130} +O\left(31^{ 131 }\right)$
$r_{ 2 }$ $=$ $ 17 a^{3} + 19 a^{2} + 3 a + 25 + \left(25 a^{3} + 20 a^{2} + 5 a\right)\cdot 31 + \left(28 a^{3} + 12 a^{2} + 22 a + 10\right)\cdot 31^{2} + \left(21 a^{3} + 30 a^{2} + 22\right)\cdot 31^{3} + \left(4 a^{3} + 7 a^{2} + 20 a + 24\right)\cdot 31^{4} + \left(10 a^{3} + 7 a^{2} + 23 a + 10\right)\cdot 31^{5} + \left(5 a^{3} + 24 a + 23\right)\cdot 31^{6} + \left(21 a^{3} + 25 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 31^{7} + \left(23 a^{3} + 25 a^{2} + 27 a + 4\right)\cdot 31^{8} + \left(29 a^{3} + 5 a^{2} + 29 a + 12\right)\cdot 31^{9} + \left(15 a^{3} + 25 a^{2} + 13 a + 26\right)\cdot 31^{10} + \left(3 a^{3} + 8 a^{2} + 13\right)\cdot 31^{11} + \left(18 a^{3} + 30 a^{2} + 6 a + 23\right)\cdot 31^{12} + \left(17 a^{3} + 28 a^{2} + 26 a + 24\right)\cdot 31^{13} + \left(18 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 23\right)\cdot 31^{14} + \left(28 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 31^{15} + \left(a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 27\right)\cdot 31^{16} + \left(19 a^{3} + 24 a^{2} + a + 21\right)\cdot 31^{17} + \left(29 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 29\right)\cdot 31^{18} + \left(7 a^{3} + 18 a^{2} + 14 a + 1\right)\cdot 31^{19} + \left(5 a^{3} + 19 a^{2} + a + 9\right)\cdot 31^{20} + \left(11 a^{3} + 29 a^{2} + 5\right)\cdot 31^{21} + \left(25 a^{3} + 29 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 31^{22} + \left(28 a^{3} + 19 a^{2} + 6 a + 25\right)\cdot 31^{23} + \left(28 a^{3} + 26 a^{2} + 28 a + 16\right)\cdot 31^{24} + \left(2 a^{3} + 23 a^{2} + 10\right)\cdot 31^{25} + \left(22 a^{3} + 21 a^{2} + 17 a + 24\right)\cdot 31^{26} + \left(25 a^{3} + 29 a^{2} + 6 a + 30\right)\cdot 31^{27} + \left(13 a^{2} + 26 a + 7\right)\cdot 31^{28} + \left(7 a^{3} + 14 a^{2} + 11 a + 25\right)\cdot 31^{29} + \left(28 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 31^{30} + \left(26 a^{3} + 25 a^{2} + 20 a + 15\right)\cdot 31^{31} + \left(4 a^{3} + 25 a^{2} + 27 a + 13\right)\cdot 31^{32} + \left(12 a^{2} + 24 a + 24\right)\cdot 31^{33} + \left(22 a^{3} + 3 a^{2} + 14 a\right)\cdot 31^{34} + \left(7 a^{3} + 3 a^{2} + 18 a\right)\cdot 31^{35} + \left(29 a^{3} + 28 a^{2} + 4 a + 24\right)\cdot 31^{36} + \left(25 a^{3} + 29 a^{2} + 9 a + 29\right)\cdot 31^{37} + \left(29 a^{3} + 18 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 31^{38} + \left(15 a^{3} + a^{2} + 21 a + 12\right)\cdot 31^{39} + \left(17 a^{3} + 8 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 31^{40} + \left(7 a^{3} + 22 a^{2} + 18 a + 12\right)\cdot 31^{41} + \left(18 a^{3} + 27 a^{2} + 25 a + 23\right)\cdot 31^{42} + \left(18 a^{3} + 25 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 31^{43} + \left(28 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 21\right)\cdot 31^{44} + \left(3 a^{3} + 22 a^{2} + 17 a + 21\right)\cdot 31^{45} + \left(25 a^{3} + 20 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 31^{46} + \left(9 a^{2} + 27 a + 2\right)\cdot 31^{47} + \left(22 a^{3} + a^{2} + 25 a + 14\right)\cdot 31^{48} + \left(a^{3} + 19 a^{2} + 25 a + 22\right)\cdot 31^{49} + \left(20 a^{3} + 17 a^{2} + a + 1\right)\cdot 31^{50} + \left(23 a^{3} + 15 a^{2} + 20 a + 4\right)\cdot 31^{51} + \left(8 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 31^{52} + \left(16 a^{3} + 20 a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 31^{53} + \left(6 a^{3} + 20 a^{2} + 30 a + 21\right)\cdot 31^{54} + \left(13 a^{3} + 19 a^{2} + 27 a + 14\right)\cdot 31^{55} + \left(18 a^{3} + 15 a^{2} + 23 a + 2\right)\cdot 31^{56} + \left(10 a^{3} + 29 a^{2} + 14 a + 12\right)\cdot 31^{57} + \left(19 a^{3} + 13 a^{2} + 15 a + 2\right)\cdot 31^{58} + \left(19 a^{3} + 29 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 31^{59} + \left(15 a^{3} + 12 a^{2} + 24 a + 10\right)\cdot 31^{60} + \left(3 a^{3} + 22 a^{2} + 22 a + 9\right)\cdot 31^{61} + \left(20 a^{3} + 17 a^{2} + 14 a + 27\right)\cdot 31^{62} + \left(7 a^{3} + 18 a^{2} + 29 a + 22\right)\cdot 31^{63} + \left(30 a^{3} + 25 a^{2} + 22 a + 19\right)\cdot 31^{64} + \left(10 a^{3} + 29 a^{2} + 6 a + 30\right)\cdot 31^{65} + \left(18 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 30\right)\cdot 31^{66} + \left(a^{3} + 24 a^{2} + 20 a + 26\right)\cdot 31^{67} + \left(7 a^{3} + 8 a^{2} + 28 a + 18\right)\cdot 31^{68} + \left(28 a^{3} + 5 a^{2} + 14 a + 18\right)\cdot 31^{69} + \left(25 a + 16\right)\cdot 31^{70} + \left(14 a^{3} + 28 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 31^{71} + \left(9 a^{3} + 6 a^{2} + 14 a + 24\right)\cdot 31^{72} + \left(14 a^{3} + 2 a^{2} + 17 a + 3\right)\cdot 31^{73} + \left(18 a^{3} + 24 a^{2} + 26 a + 12\right)\cdot 31^{74} + \left(15 a^{3} + 24 a^{2} + 28 a + 10\right)\cdot 31^{75} + \left(17 a^{3} + 14 a^{2} + 27 a + 11\right)\cdot 31^{76} + \left(8 a^{3} + 23 a^{2} + 20\right)\cdot 31^{77} + \left(26 a^{3} + 22 a^{2} + 27 a + 29\right)\cdot 31^{78} + \left(14 a^{3} + a^{2} + 27 a + 14\right)\cdot 31^{79} + \left(10 a^{3} + 20 a^{2} + a + 7\right)\cdot 31^{80} + \left(9 a^{3} + 13 a^{2} + 22 a + 9\right)\cdot 31^{81} + \left(30 a^{3} + 14 a^{2} + 2 a + 22\right)\cdot 31^{82} + \left(7 a^{3} + 10 a^{2} + 30 a + 12\right)\cdot 31^{83} + \left(23 a^{3} + 20 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 31^{84} + \left(21 a^{3} + 3 a^{2} + 18 a + 3\right)\cdot 31^{85} + \left(a^{3} + 27 a^{2} + 16 a\right)\cdot 31^{86} + \left(8 a^{3} + a^{2} + 22 a + 12\right)\cdot 31^{87} + \left(24 a^{3} + 28 a^{2} + 23 a + 12\right)\cdot 31^{88} + \left(13 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 29\right)\cdot 31^{89} + \left(29 a^{3} + 23 a^{2} + 27 a + 28\right)\cdot 31^{90} + \left(14 a^{3} + 20 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 31^{91} + \left(22 a^{3} + 22 a^{2} + 8 a + 14\right)\cdot 31^{92} + \left(21 a^{3} + 9 a^{2} + 23 a + 18\right)\cdot 31^{93} + \left(4 a^{2} + 27 a + 6\right)\cdot 31^{94} + \left(11 a^{3} + 24 a^{2} + 27 a + 11\right)\cdot 31^{95} + \left(a^{3} + 20 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 31^{96} + \left(7 a^{3} + 18 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 31^{97} + \left(22 a^{3} + 8 a^{2} + 20 a + 17\right)\cdot 31^{98} + \left(20 a^{3} + 5 a^{2} + 19 a + 5\right)\cdot 31^{99} + \left(10 a^{2} + 25 a + 19\right)\cdot 31^{100} + \left(7 a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 30\right)\cdot 31^{101} + \left(16 a^{3} + 16 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 31^{102} + \left(29 a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 31^{103} + \left(26 a^{3} + 19 a^{2} + a + 14\right)\cdot 31^{104} + \left(12 a^{3} + 20 a^{2} + 18 a + 29\right)\cdot 31^{105} + \left(10 a^{3} + 21 a^{2} + 11 a + 23\right)\cdot 31^{106} + \left(14 a^{3} + 16 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 31^{107} + \left(22 a^{3} + 7 a + 23\right)\cdot 31^{108} + \left(6 a^{3} + 26 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 31^{109} + \left(22 a^{3} + 4 a^{2} + 16 a + 12\right)\cdot 31^{110} + \left(7 a^{3} + 30 a^{2} + 27 a + 13\right)\cdot 31^{111} + \left(23 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 31^{112} + \left(20 a^{3} + 27 a^{2} + 2\right)\cdot 31^{113} + \left(3 a^{3} + 12 a^{2} + 21 a + 11\right)\cdot 31^{114} + \left(11 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 19\right)\cdot 31^{115} + \left(3 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 31^{116} + \left(a^{3} + 11 a + 27\right)\cdot 31^{117} + \left(9 a^{3} + 20 a + 12\right)\cdot 31^{118} + \left(15 a^{3} + 27 a^{2} + 25 a + 21\right)\cdot 31^{119} + \left(a^{3} + 18 a^{2} + 13 a + 24\right)\cdot 31^{120} + \left(8 a^{3} + 17 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 31^{121} + \left(21 a^{3} + 6 a^{2} + 13\right)\cdot 31^{122} + \left(9 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 31^{123} + \left(7 a^{3} + 21 a^{2} + 4 a + 16\right)\cdot 31^{124} + \left(28 a^{3} + 25 a^{2} + 29\right)\cdot 31^{125} + \left(10 a^{3} + 25 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 31^{126} + \left(28 a^{3} + a + 2\right)\cdot 31^{127} + \left(10 a^{3} + 23 a + 11\right)\cdot 31^{128} + \left(28 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 21\right)\cdot 31^{129} + \left(2 a^{3} + a^{2} + 15 a + 28\right)\cdot 31^{130} +O\left(31^{ 131 }\right)$
$r_{ 3 }$ $=$ $ 9 a^{3} + 17 a^{2} + 18 a + 26 + \left(17 a^{3} + 17 a^{2} + 14 a + 27\right)\cdot 31 + \left(7 a^{2} + 14 a + 26\right)\cdot 31^{2} + \left(10 a^{3} + 28 a^{2} + 5 a + 30\right)\cdot 31^{3} + \left(14 a^{3} + 7 a^{2} + 20 a + 28\right)\cdot 31^{4} + \left(3 a^{3} + 20 a^{2} + 11 a\right)\cdot 31^{5} + \left(30 a^{3} + 14 a^{2} + a + 6\right)\cdot 31^{6} + \left(5 a^{3} + 6 a^{2} + 15 a + 17\right)\cdot 31^{7} + \left(a^{3} + 11 a^{2} + 18 a + 15\right)\cdot 31^{8} + \left(14 a^{3} + 8 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 31^{9} + \left(4 a^{3} + 30 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 31^{10} + \left(5 a^{3} + 13 a^{2} + 25 a + 6\right)\cdot 31^{11} + \left(30 a^{3} + 12 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 31^{12} + \left(4 a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 28\right)\cdot 31^{13} + \left(21 a^{3} + 7 a + 25\right)\cdot 31^{14} + \left(17 a^{3} + 29 a^{2} + 24 a\right)\cdot 31^{15} + \left(25 a^{3} + 8 a^{2} + 27 a + 30\right)\cdot 31^{16} + \left(14 a^{3} + 20 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 31^{17} + \left(12 a^{3} + 20 a^{2} + 8 a\right)\cdot 31^{18} + \left(25 a^{3} + 23 a^{2} + 26 a + 15\right)\cdot 31^{19} + \left(15 a^{3} + 23 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 31^{20} + \left(18 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 23\right)\cdot 31^{21} + \left(10 a^{3} + 24 a^{2} + 14 a + 4\right)\cdot 31^{22} + \left(23 a^{3} + 6 a^{2} + 25 a + 29\right)\cdot 31^{23} + \left(a^{3} + 10 a^{2} + 22 a + 23\right)\cdot 31^{24} + \left(15 a^{3} + 3 a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 31^{25} + \left(7 a^{3} + 5 a^{2} + 21 a\right)\cdot 31^{26} + \left(7 a^{3} + a^{2} + 19 a + 2\right)\cdot 31^{27} + \left(6 a^{3} + 23 a^{2} + 24 a + 21\right)\cdot 31^{28} + \left(a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 31^{29} + \left(19 a^{3} + 25 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 31^{30} + \left(28 a^{3} + 24 a^{2} + 5 a + 24\right)\cdot 31^{31} + \left(16 a^{3} + 11 a^{2} + 8\right)\cdot 31^{32} + \left(28 a^{3} + 24 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 31^{33} + \left(3 a^{3} + 26 a^{2} + 14 a + 3\right)\cdot 31^{34} + \left(26 a^{3} + 20 a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 31^{35} + \left(2 a^{3} + 29 a^{2} + 21 a + 9\right)\cdot 31^{36} + \left(26 a^{3} + 18 a^{2} + a + 15\right)\cdot 31^{37} + \left(10 a^{3} + 29 a^{2} + 5 a + 24\right)\cdot 31^{38} + \left(29 a^{3} + 14 a^{2} + 5 a + 19\right)\cdot 31^{39} + \left(13 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 31^{40} + \left(6 a^{3} + 23 a^{2} + 28 a + 13\right)\cdot 31^{41} + \left(22 a^{3} + 19 a^{2} + 14 a + 22\right)\cdot 31^{42} + \left(a^{3} + 11 a^{2} + 26 a + 9\right)\cdot 31^{43} + \left(17 a^{3} + 15 a^{2} + 27 a + 15\right)\cdot 31^{44} + \left(13 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 31^{45} + \left(17 a^{3} + 4 a^{2} + 21 a + 8\right)\cdot 31^{46} + \left(30 a^{3} + 21 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 31^{47} + \left(29 a^{3} + 18 a^{2} + 26 a + 25\right)\cdot 31^{48} + \left(3 a^{3} + a + 19\right)\cdot 31^{49} + \left(30 a^{3} + 24 a^{2} + 23 a + 28\right)\cdot 31^{50} + \left(8 a^{3} + 26 a^{2} + 14 a + 26\right)\cdot 31^{51} + \left(22 a^{3} + 20 a^{2} + 4 a + 22\right)\cdot 31^{52} + \left(13 a^{3} + 8 a + 22\right)\cdot 31^{53} + \left(2 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 31^{54} + \left(15 a^{3} + 18 a^{2} + 24 a + 14\right)\cdot 31^{55} + \left(11 a^{3} + 3 a + 13\right)\cdot 31^{56} + \left(30 a^{3} + 6 a^{2} + 28 a + 23\right)\cdot 31^{57} + \left(12 a^{3} + a^{2} + 13 a + 26\right)\cdot 31^{58} + \left(20 a^{3} + 20 a^{2} + 22 a + 22\right)\cdot 31^{59} + \left(6 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 31^{60} + \left(22 a^{3} + 25 a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 31^{61} + \left(29 a^{3} + 16 a^{2} + 5 a + 30\right)\cdot 31^{62} + \left(22 a^{3} + 29 a^{2} + 21 a + 23\right)\cdot 31^{63} + \left(2 a^{3} + 7 a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 31^{64} + \left(21 a^{3} + 27 a^{2} + 26 a + 11\right)\cdot 31^{65} + \left(28 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 28\right)\cdot 31^{66} + \left(28 a^{3} + 27 a^{2} + 2 a + 20\right)\cdot 31^{67} + \left(7 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a\right)\cdot 31^{68} + \left(12 a^{3} + 7 a^{2} + 23 a + 5\right)\cdot 31^{69} + \left(23 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 31^{70} + \left(10 a^{3} + 29 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 31^{71} + \left(23 a^{3} + a^{2} + 13 a + 26\right)\cdot 31^{72} + \left(10 a^{3} + 30 a^{2} + 6 a + 17\right)\cdot 31^{73} + \left(26 a^{3} + 25 a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 31^{74} + \left(4 a^{3} + 2 a^{2} + 22 a + 30\right)\cdot 31^{75} + \left(10 a^{3} + 3 a^{2} + 23 a + 28\right)\cdot 31^{76} + \left(3 a^{3} + 23 a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 31^{77} + \left(12 a^{3} + 25 a^{2} + 30 a + 23\right)\cdot 31^{78} + \left(16 a^{3} + 11 a^{2} + 28 a + 8\right)\cdot 31^{79} + \left(10 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 31^{80} + \left(18 a^{3} + 21 a^{2} + 5 a + 23\right)\cdot 31^{81} + \left(5 a^{3} + 14 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 31^{82} + \left(24 a^{3} + 4 a^{2} + 19 a + 26\right)\cdot 31^{83} + \left(12 a^{3} + 13 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 31^{84} + \left(21 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 18\right)\cdot 31^{85} + \left(10 a^{3} + 28 a^{2} + 14 a + 30\right)\cdot 31^{86} + \left(22 a^{3} + 21 a + 1\right)\cdot 31^{87} + \left(29 a^{3} + 7 a^{2} + 26 a + 10\right)\cdot 31^{88} + \left(21 a^{3} + 12 a^{2} + 27\right)\cdot 31^{89} + \left(7 a^{3} + 22 a^{2} + 25 a + 19\right)\cdot 31^{90} + \left(25 a^{2} + 28 a + 28\right)\cdot 31^{91} + \left(20 a^{3} + 12 a^{2} + 21 a + 3\right)\cdot 31^{92} + \left(16 a^{3} + 4 a^{2} + 13 a + 10\right)\cdot 31^{93} + \left(14 a^{3} + 16 a^{2} + 13 a + 24\right)\cdot 31^{94} + \left(13 a^{3} + 8 a^{2} + 30 a + 2\right)\cdot 31^{95} + \left(30 a^{3} + 21 a^{2} + 28 a + 26\right)\cdot 31^{96} + \left(5 a^{3} + 15 a^{2} + 6 a + 25\right)\cdot 31^{97} + \left(22 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 31^{98} + \left(4 a^{3} + 24 a^{2} + a + 13\right)\cdot 31^{99} + \left(30 a^{3} + 16 a^{2} + 23 a + 24\right)\cdot 31^{100} + \left(3 a^{3} + 22 a^{2} + 30 a + 25\right)\cdot 31^{101} + \left(30 a^{3} + 2 a^{2} + 17 a + 21\right)\cdot 31^{102} + \left(28 a^{3} + 9 a + 4\right)\cdot 31^{103} + \left(15 a^{3} + 15 a^{2} + 2 a\right)\cdot 31^{104} + \left(29 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 31^{105} + \left(11 a^{3} + 5 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 31^{106} + \left(3 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 31^{107} + \left(20 a^{3} + 27 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 31^{108} + \left(17 a^{3} + 29 a^{2} + 7 a + 26\right)\cdot 31^{109} + \left(26 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 16\right)\cdot 31^{110} + \left(30 a^{3} + 29 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 31^{111} + \left(25 a^{3} + 16 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 31^{112} + \left(19 a^{3} + 29 a^{2} + 26 a + 18\right)\cdot 31^{113} + \left(15 a^{3} + 27 a^{2} + 5 a + 30\right)\cdot 31^{114} + \left(22 a^{3} + 16 a^{2} + 5 a + 14\right)\cdot 31^{115} + \left(4 a^{3} + 21 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 31^{116} + \left(27 a^{3} + 29 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 31^{117} + \left(15 a^{3} + 21 a^{2} + 13 a + 27\right)\cdot 31^{118} + \left(22 a^{3} + 24 a^{2} + 24 a + 17\right)\cdot 31^{119} + \left(28 a^{3} + 23 a^{2} + 8 a + 24\right)\cdot 31^{120} + \left(3 a^{3} + 18 a^{2} + 14 a + 26\right)\cdot 31^{121} + \left(29 a^{3} + 23 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 31^{122} + \left(12 a^{3} + 16 a^{2} + 5 a + 27\right)\cdot 31^{123} + \left(22 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 31^{124} + \left(a^{3} + 17 a^{2} + 24 a + 6\right)\cdot 31^{125} + \left(19 a^{3} + 20 a^{2} + 3 a + 16\right)\cdot 31^{126} + \left(11 a^{3} + 19 a^{2} + 19 a + 23\right)\cdot 31^{127} + \left(12 a^{3} + 5 a^{2} + 19 a + 22\right)\cdot 31^{128} + \left(18 a^{3} + 29 a^{2} + 12 a + 14\right)\cdot 31^{129} + \left(2 a^{3} + 26 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 31^{130} +O\left(31^{ 131 }\right)$
$r_{ 4 }$ $=$ $ 24 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 2 + \left(15 a^{3} + 22 a^{2} + 26 a + 1\right)\cdot 31 + \left(30 a^{3} + 12 a^{2} + 5 a + 22\right)\cdot 31^{2} + \left(18 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 31^{3} + \left(10 a^{3} + 15 a^{2} + 29 a + 11\right)\cdot 31^{4} + \left(11 a^{3} + 23 a^{2} + 18 a + 7\right)\cdot 31^{5} + \left(15 a^{3} + 11 a^{2} + 9 a + 26\right)\cdot 31^{6} + \left(4 a^{2} + a + 25\right)\cdot 31^{7} + \left(2 a^{3} + 29 a^{2} + 22 a + 5\right)\cdot 31^{8} + \left(23 a^{3} + 26 a^{2} + 14 a + 3\right)\cdot 31^{9} + \left(8 a^{3} + 29 a^{2} + 22 a + 6\right)\cdot 31^{10} + \left(28 a^{3} + 9 a^{2} + 25 a + 30\right)\cdot 31^{11} + \left(17 a^{3} + 16 a^{2} + 19 a + 24\right)\cdot 31^{12} + \left(13 a^{3} + 25 a^{2} + 5 a\right)\cdot 31^{13} + \left(2 a^{3} + 18 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 31^{14} + \left(12 a^{3} + 13 a + 30\right)\cdot 31^{15} + \left(26 a^{3} + 18 a^{2} + 17 a + 6\right)\cdot 31^{16} + \left(2 a^{3} + 7 a^{2} + 29\right)\cdot 31^{17} + \left(8 a^{3} + 17 a^{2} + 16 a + 19\right)\cdot 31^{18} + \left(28 a^{3} + 25 a^{2} + 26 a + 5\right)\cdot 31^{19} + \left(17 a^{3} + 13 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 31^{20} + \left(26 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 31^{21} + \left(30 a^{3} + 20 a^{2} + 17 a + 9\right)\cdot 31^{22} + \left(30 a^{3} + 16 a^{2} + 13 a + 27\right)\cdot 31^{23} + \left(23 a^{3} + 21 a + 12\right)\cdot 31^{24} + \left(9 a^{3} + 23 a^{2} + 13 a + 15\right)\cdot 31^{25} + \left(29 a^{2} + 13 a + 28\right)\cdot 31^{26} + \left(11 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 31^{27} + \left(17 a^{3} + 23 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 31^{28} + \left(12 a^{3} + 14 a^{2} + 19 a + 16\right)\cdot 31^{29} + \left(4 a^{3} + 28 a^{2} + 22 a + 5\right)\cdot 31^{30} + \left(19 a^{2} + 7 a + 16\right)\cdot 31^{31} + \left(21 a^{3} + 26 a^{2} + 19 a + 2\right)\cdot 31^{32} + \left(30 a^{3} + 29 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 31^{33} + \left(2 a^{3} + 2 a^{2} + 17 a + 18\right)\cdot 31^{34} + \left(29 a^{3} + 24 a^{2} + 9 a + 25\right)\cdot 31^{35} + \left(25 a^{3} + 11 a^{2} + 23 a + 11\right)\cdot 31^{36} + \left(30 a^{3} + 30 a^{2} + 24 a + 27\right)\cdot 31^{37} + \left(13 a^{3} + 17 a^{2} + 13\right)\cdot 31^{38} + \left(14 a^{3} + 12 a + 5\right)\cdot 31^{39} + \left(a^{3} + 13 a^{2} + 23 a + 5\right)\cdot 31^{40} + \left(9 a^{3} + 30 a^{2} + 4 a + 24\right)\cdot 31^{41} + \left(20 a^{3} + 25 a^{2} + 20 a + 8\right)\cdot 31^{42} + \left(16 a^{3} + 25 a^{2} + 28 a + 24\right)\cdot 31^{43} + \left(7 a^{3} + 7 a^{2} + 25 a + 13\right)\cdot 31^{44} + \left(2 a^{3} + 30 a^{2} + 20 a + 25\right)\cdot 31^{45} + \left(24 a^{2} + 28 a + 1\right)\cdot 31^{46} + \left(23 a^{3} + 11 a^{2} + 18\right)\cdot 31^{47} + \left(5 a^{3} + 30 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 31^{48} + \left(14 a^{3} + 20 a^{2} + 15 a + 2\right)\cdot 31^{49} + \left(8 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 26\right)\cdot 31^{50} + \left(6 a^{2} + 23 a + 15\right)\cdot 31^{51} + \left(6 a^{3} + 4 a^{2} + 12 a + 19\right)\cdot 31^{52} + \left(12 a^{3} + 16 a^{2} + 27 a + 27\right)\cdot 31^{53} + \left(a^{3} + 11 a^{2} + 9 a + 21\right)\cdot 31^{54} + \left(23 a^{3} + 18 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 31^{55} + \left(14 a^{3} + 18 a^{2} + 25 a + 2\right)\cdot 31^{56} + \left(19 a^{3} + 11 a^{2} + 27 a + 25\right)\cdot 31^{57} + \left(22 a^{3} + 8 a^{2} + 21 a + 13\right)\cdot 31^{58} + \left(12 a^{2} + 29 a + 7\right)\cdot 31^{59} + \left(30 a^{2} + 26 a + 13\right)\cdot 31^{60} + \left(27 a^{3} + 11 a^{2} + 21 a + 21\right)\cdot 31^{61} + \left(11 a^{3} + 25 a^{2} + 6 a + 30\right)\cdot 31^{62} + \left(28 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 31^{63} + \left(16 a^{3} + 17 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 31^{64} + \left(3 a^{3} + 26 a^{2} + 22 a + 1\right)\cdot 31^{65} + \left(12 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 23\right)\cdot 31^{66} + \left(29 a^{3} + 13 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 31^{67} + \left(17 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 31^{68} + \left(4 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 31^{69} + \left(18 a^{3} + 5 a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 31^{70} + \left(13 a^{3} + 26 a^{2} + 25 a + 19\right)\cdot 31^{71} + \left(28 a^{3} + 2 a^{2} + 16 a + 26\right)\cdot 31^{72} + \left(25 a^{3} + 12 a + 30\right)\cdot 31^{73} + \left(20 a^{2} + 10 a + 23\right)\cdot 31^{74} + \left(13 a^{3} + 18 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 31^{75} + \left(15 a^{3} + a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 31^{76} + \left(30 a^{3} + 13 a^{2} + 16 a + 30\right)\cdot 31^{77} + \left(10 a^{3} + 17 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 31^{78} + \left(5 a^{3} + 29 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 31^{79} + \left(21 a^{3} + 28 a^{2} + 30 a + 29\right)\cdot 31^{80} + \left(22 a^{3} + 19 a^{2} + 26\right)\cdot 31^{81} + \left(23 a^{3} + 15 a^{2} + 13 a + 10\right)\cdot 31^{82} + \left(2 a^{3} + 29 a^{2} + 28 a + 8\right)\cdot 31^{83} + \left(23 a^{3} + 20 a^{2} + 10 a + 22\right)\cdot 31^{84} + \left(8 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 31^{85} + \left(18 a^{3} + 16 a^{2} + a + 7\right)\cdot 31^{86} + \left(22 a^{2} + 22 a + 21\right)\cdot 31^{87} + \left(18 a^{3} + 12 a^{2} + 21 a + 17\right)\cdot 31^{88} + \left(9 a^{3} + 8 a^{2} + 20 a + 12\right)\cdot 31^{89} + \left(16 a^{3} + 24 a^{2} + 5 a + 17\right)\cdot 31^{90} + \left(a^{3} + 6 a^{2} + 20 a + 15\right)\cdot 31^{91} + \left(23 a^{3} + 18 a^{2} + 30 a + 17\right)\cdot 31^{92} + \left(16 a^{3} + 26 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 31^{93} + \left(13 a^{3} + 8 a^{2} + 14 a + 1\right)\cdot 31^{94} + \left(10 a^{3} + 20 a^{2} + 19 a + 15\right)\cdot 31^{95} + \left(22 a^{3} + 20 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 31^{96} + \left(9 a^{3} + 18 a^{2} + 6 a + 13\right)\cdot 31^{97} + \left(a^{3} + 29 a^{2} + 5 a + 23\right)\cdot 31^{98} + \left(19 a^{3} + 8 a^{2} + 26 a + 22\right)\cdot 31^{99} + \left(12 a^{3} + 30 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 31^{100} + \left(20 a^{3} + 18 a^{2} + 18 a + 16\right)\cdot 31^{101} + \left(11 a^{3} + 3 a + 29\right)\cdot 31^{102} + \left(21 a^{3} + 2 a^{2} + 25 a + 24\right)\cdot 31^{103} + \left(4 a^{3} + a^{2} + 9 a + 14\right)\cdot 31^{104} + \left(23 a^{3} + 27 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 31^{105} + \left(6 a^{3} + 29 a^{2} + 27 a + 1\right)\cdot 31^{106} + \left(16 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 31^{107} + \left(29 a^{3} + 17 a^{2} + 12 a + 26\right)\cdot 31^{108} + \left(a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 19\right)\cdot 31^{109} + \left(25 a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 25\right)\cdot 31^{110} + \left(23 a^{3} + 23 a^{2} + 18 a + 9\right)\cdot 31^{111} + \left(30 a^{3} + 13 a^{2} + 7 a + 21\right)\cdot 31^{112} + \left(10 a^{3} + 28 a^{2} + 23 a + 3\right)\cdot 31^{113} + \left(10 a^{3} + 16 a^{2} + 13 a + 28\right)\cdot 31^{114} + \left(14 a^{3} + 9 a^{2} + 6 a + 29\right)\cdot 31^{115} + \left(15 a^{2} + a + 8\right)\cdot 31^{116} + \left(22 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 31^{117} + \left(11 a^{3} + 13 a^{2} + 15 a + 26\right)\cdot 31^{118} + \left(18 a^{3} + 9 a^{2} + 20 a + 22\right)\cdot 31^{119} + \left(2 a^{3} + 27 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 31^{120} + \left(a^{3} + 11 a^{2} + 26 a + 13\right)\cdot 31^{121} + \left(10 a^{3} + 9 a^{2} + 19 a + 4\right)\cdot 31^{122} + \left(10 a^{3} + 7 a^{2} + 20 a + 28\right)\cdot 31^{123} + \left(24 a^{3} + 8 a^{2} + 1\right)\cdot 31^{124} + \left(10 a^{3} + 24 a^{2} + 24 a + 2\right)\cdot 31^{125} + \left(7 a^{3} + 28 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 31^{126} + \left(14 a^{3} + 15 a^{2} + 9 a + 18\right)\cdot 31^{127} + \left(21 a^{3} + 3 a^{2} + 29 a + 4\right)\cdot 31^{128} + \left(30 a^{3} + 23 a^{2} + 15 a + 29\right)\cdot 31^{129} + \left(29 a^{2} + 17 a + 7\right)\cdot 31^{130} +O\left(31^{ 131 }\right)$
$r_{ 5 }$ $=$ $ 14 a^{3} + 12 a^{2} + 28 a + 25 + \left(5 a^{3} + 10 a^{2} + 25 a + 7\right)\cdot 31 + \left(2 a^{3} + 18 a^{2} + 8 a + 24\right)\cdot 31^{2} + \left(9 a^{3} + 30 a + 24\right)\cdot 31^{3} + \left(26 a^{3} + 23 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 31^{4} + \left(20 a^{3} + 23 a^{2} + 7 a + 24\right)\cdot 31^{5} + \left(25 a^{3} + 30 a^{2} + 6 a + 18\right)\cdot 31^{6} + \left(9 a^{3} + 5 a^{2} + 22 a + 19\right)\cdot 31^{7} + \left(7 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 31^{8} + \left(a^{3} + 25 a^{2} + a + 24\right)\cdot 31^{9} + \left(15 a^{3} + 5 a^{2} + 17 a + 1\right)\cdot 31^{10} + \left(27 a^{3} + 22 a^{2} + 30 a + 27\right)\cdot 31^{11} + \left(12 a^{3} + 24 a + 24\right)\cdot 31^{12} + \left(13 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 31^{13} + \left(12 a^{3} + 22 a^{2} + 28 a + 16\right)\cdot 31^{14} + \left(2 a^{3} + 19 a^{2} + 20 a + 28\right)\cdot 31^{15} + \left(29 a^{3} + 26 a^{2} + 22 a + 29\right)\cdot 31^{16} + \left(11 a^{3} + 6 a^{2} + 29 a + 18\right)\cdot 31^{17} + \left(a^{3} + 18 a^{2} + 21 a + 24\right)\cdot 31^{18} + \left(23 a^{3} + 12 a^{2} + 16 a + 3\right)\cdot 31^{19} + \left(25 a^{3} + 11 a^{2} + 29 a + 10\right)\cdot 31^{20} + \left(19 a^{3} + a^{2} + 30 a + 20\right)\cdot 31^{21} + \left(5 a^{3} + a^{2} + 21 a + 19\right)\cdot 31^{22} + \left(2 a^{3} + 11 a^{2} + 24 a + 17\right)\cdot 31^{23} + \left(2 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 17\right)\cdot 31^{24} + \left(28 a^{3} + 7 a^{2} + 30 a + 23\right)\cdot 31^{25} + \left(8 a^{3} + 9 a^{2} + 13 a + 17\right)\cdot 31^{26} + \left(5 a^{3} + a^{2} + 24 a + 6\right)\cdot 31^{27} + \left(30 a^{3} + 17 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 31^{28} + \left(23 a^{3} + 16 a^{2} + 19 a + 30\right)\cdot 31^{29} + \left(2 a^{3} + 21 a^{2} + 26 a + 24\right)\cdot 31^{30} + \left(4 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 31^{31} + \left(26 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 31^{32} + \left(30 a^{3} + 18 a^{2} + 6 a + 13\right)\cdot 31^{33} + \left(8 a^{3} + 27 a^{2} + 16 a + 20\right)\cdot 31^{34} + \left(23 a^{3} + 27 a^{2} + 12 a + 22\right)\cdot 31^{35} + \left(a^{3} + 2 a^{2} + 26 a + 12\right)\cdot 31^{36} + \left(5 a^{3} + a^{2} + 21 a + 30\right)\cdot 31^{37} + \left(a^{3} + 12 a^{2} + 23 a + 11\right)\cdot 31^{38} + \left(15 a^{3} + 29 a^{2} + 9 a + 27\right)\cdot 31^{39} + \left(13 a^{3} + 22 a^{2} + 16 a\right)\cdot 31^{40} + \left(23 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 31^{41} + \left(12 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 29\right)\cdot 31^{42} + \left(12 a^{3} + 5 a^{2} + 26 a + 11\right)\cdot 31^{43} + \left(2 a^{3} + 27 a^{2} + 24 a + 5\right)\cdot 31^{44} + \left(27 a^{3} + 8 a^{2} + 13 a + 16\right)\cdot 31^{45} + \left(5 a^{3} + 10 a^{2} + 19 a + 1\right)\cdot 31^{46} + \left(30 a^{3} + 21 a^{2} + 3 a + 16\right)\cdot 31^{47} + \left(8 a^{3} + 29 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 31^{48} + \left(29 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 17\right)\cdot 31^{49} + \left(10 a^{3} + 13 a^{2} + 29 a + 25\right)\cdot 31^{50} + \left(7 a^{3} + 15 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 31^{51} + \left(22 a^{3} + 28 a^{2} + 19 a + 14\right)\cdot 31^{52} + \left(14 a^{3} + 10 a^{2} + 23 a + 28\right)\cdot 31^{53} + \left(24 a^{3} + 10 a^{2} + 19\right)\cdot 31^{54} + \left(17 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 31^{55} + \left(12 a^{3} + 15 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 31^{56} + \left(20 a^{3} + a^{2} + 16 a + 10\right)\cdot 31^{57} + \left(11 a^{3} + 17 a^{2} + 15 a + 23\right)\cdot 31^{58} + \left(11 a^{3} + a^{2} + 20 a + 8\right)\cdot 31^{59} + \left(15 a^{3} + 18 a^{2} + 6 a + 30\right)\cdot 31^{60} + \left(27 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 31^{61} + \left(10 a^{3} + 13 a^{2} + 16 a + 18\right)\cdot 31^{62} + \left(23 a^{3} + 12 a^{2} + a\right)\cdot 31^{63} + \left(5 a^{2} + 8 a + 23\right)\cdot 31^{64} + \left(20 a^{3} + a^{2} + 24 a + 18\right)\cdot 31^{65} + \left(12 a^{3} + 25 a^{2} + 25 a + 6\right)\cdot 31^{66} + \left(29 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 31^{67} + \left(23 a^{3} + 22 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 31^{68} + \left(2 a^{3} + 25 a^{2} + 16 a + 7\right)\cdot 31^{69} + \left(30 a^{3} + 30 a^{2} + 5 a + 25\right)\cdot 31^{70} + \left(16 a^{3} + 2 a^{2} + 19 a + 17\right)\cdot 31^{71} + \left(21 a^{3} + 24 a^{2} + 16 a + 24\right)\cdot 31^{72} + \left(16 a^{3} + 28 a^{2} + 13 a + 25\right)\cdot 31^{73} + \left(12 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 23\right)\cdot 31^{74} + \left(15 a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 26\right)\cdot 31^{75} + \left(13 a^{3} + 16 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 31^{76} + \left(22 a^{3} + 7 a^{2} + 30 a + 23\right)\cdot 31^{77} + \left(4 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 31^{78} + \left(16 a^{3} + 29 a^{2} + 3 a + 25\right)\cdot 31^{79} + \left(20 a^{3} + 10 a^{2} + 29 a + 5\right)\cdot 31^{80} + \left(21 a^{3} + 17 a^{2} + 8 a + 23\right)\cdot 31^{81} + \left(16 a^{2} + 28 a + 26\right)\cdot 31^{82} + \left(23 a^{3} + 20 a^{2} + 6\right)\cdot 31^{83} + \left(7 a^{3} + 10 a^{2} + 25 a + 3\right)\cdot 31^{84} + \left(9 a^{3} + 27 a^{2} + 12 a + 28\right)\cdot 31^{85} + \left(29 a^{3} + 3 a^{2} + 14 a + 1\right)\cdot 31^{86} + \left(22 a^{3} + 29 a^{2} + 8 a + 30\right)\cdot 31^{87} + \left(6 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 27\right)\cdot 31^{88} + \left(17 a^{3} + 26 a^{2} + 24 a + 24\right)\cdot 31^{89} + \left(a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 27\right)\cdot 31^{90} + \left(16 a^{3} + 10 a^{2} + 24 a + 22\right)\cdot 31^{91} + \left(8 a^{3} + 8 a^{2} + 22 a + 26\right)\cdot 31^{92} + \left(9 a^{3} + 21 a^{2} + 7 a + 25\right)\cdot 31^{93} + \left(30 a^{3} + 26 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 31^{94} + \left(19 a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 15\right)\cdot 31^{95} + \left(29 a^{3} + 10 a^{2} + 25 a + 8\right)\cdot 31^{96} + \left(23 a^{3} + 12 a^{2} + 22 a + 27\right)\cdot 31^{97} + \left(8 a^{3} + 22 a^{2} + 10 a + 15\right)\cdot 31^{98} + \left(10 a^{3} + 25 a^{2} + 11 a + 19\right)\cdot 31^{99} + \left(30 a^{3} + 20 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 31^{100} + \left(23 a^{3} + 24 a^{2} + 28 a + 29\right)\cdot 31^{101} + \left(14 a^{3} + 14 a^{2} + 26 a + 1\right)\cdot 31^{102} + \left(a^{3} + 21 a^{2} + 19 a + 9\right)\cdot 31^{103} + \left(4 a^{3} + 11 a^{2} + 29 a + 22\right)\cdot 31^{104} + \left(18 a^{3} + 10 a^{2} + 12 a + 30\right)\cdot 31^{105} + \left(20 a^{3} + 9 a^{2} + 19 a + 18\right)\cdot 31^{106} + \left(16 a^{3} + 14 a^{2} + 23 a + 12\right)\cdot 31^{107} + \left(8 a^{3} + 30 a^{2} + 23 a + 9\right)\cdot 31^{108} + \left(24 a^{3} + 4 a^{2} + 28 a + 11\right)\cdot 31^{109} + \left(8 a^{3} + 26 a^{2} + 14 a + 22\right)\cdot 31^{110} + \left(23 a^{3} + 3 a + 16\right)\cdot 31^{111} + \left(7 a^{3} + 19 a^{2} + 24 a + 4\right)\cdot 31^{112} + \left(10 a^{3} + 3 a^{2} + 30 a + 11\right)\cdot 31^{113} + \left(27 a^{3} + 18 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 31^{114} + \left(19 a^{3} + 23 a^{2} + 28 a + 9\right)\cdot 31^{115} + \left(27 a^{3} + 22 a^{2} + 28 a + 23\right)\cdot 31^{116} + \left(29 a^{3} + 30 a^{2} + 19 a + 30\right)\cdot 31^{117} + \left(21 a^{3} + 30 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 31^{118} + \left(15 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 31^{119} + \left(29 a^{3} + 12 a^{2} + 17 a + 25\right)\cdot 31^{120} + \left(22 a^{3} + 13 a^{2} + 24 a + 9\right)\cdot 31^{121} + \left(9 a^{3} + 24 a^{2} + 30 a + 10\right)\cdot 31^{122} + \left(21 a^{3} + 27 a^{2} + 20 a + 14\right)\cdot 31^{123} + \left(23 a^{3} + 9 a^{2} + 26 a + 25\right)\cdot 31^{124} + \left(2 a^{3} + 5 a^{2} + 30 a + 18\right)\cdot 31^{125} + \left(20 a^{3} + 5 a^{2} + 25 a + 6\right)\cdot 31^{126} + \left(2 a^{3} + 30 a^{2} + 29 a + 1\right)\cdot 31^{127} + \left(20 a^{3} + 30 a^{2} + 7 a + 28\right)\cdot 31^{128} + \left(2 a^{3} + 23 a^{2} + 26 a + 1\right)\cdot 31^{129} + \left(28 a^{3} + 29 a^{2} + 15 a + 17\right)\cdot 31^{130} +O\left(31^{ 131 }\right)$
$r_{ 6 }$ $=$ $ a^{3} + 23 a^{2} + 2 a + 12 + \left(19 a^{3} + 28 a^{2} + 28 a + 5\right)\cdot 31 + \left(26 a^{3} + 21 a^{2} + 19 a + 21\right)\cdot 31^{2} + \left(23 a^{3} + 21 a^{2} + 1\right)\cdot 31^{3} + \left(7 a^{3} + 20 a^{2} + 28 a + 12\right)\cdot 31^{4} + \left(29 a^{3} + 27 a^{2} + 23 a + 2\right)\cdot 31^{5} + \left(7 a^{2} + 9\right)\cdot 31^{6} + \left(a^{3} + 14 a^{2} + a + 30\right)\cdot 31^{7} + \left(21 a^{3} + 24 a^{2} + 25 a + 16\right)\cdot 31^{8} + \left(20 a^{3} + 22 a^{2} + 13 a\right)\cdot 31^{9} + \left(17 a^{3} + 29 a^{2} + 19 a + 1\right)\cdot 31^{10} + \left(14 a^{2} + 25 a + 22\right)\cdot 31^{11} + \left(23 a^{3} + a^{2} + 2 a + 23\right)\cdot 31^{12} + \left(19 a^{3} + a^{2} + 21 a + 20\right)\cdot 31^{13} + \left(8 a^{3} + 26 a^{2} + 23 a + 30\right)\cdot 31^{14} + \left(21 a^{3} + 20 a^{2} + 21 a + 25\right)\cdot 31^{15} + \left(30 a^{3} + 26 a^{2} + 12 a + 24\right)\cdot 31^{16} + \left(8 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 29\right)\cdot 31^{17} + \left(8 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 29\right)\cdot 31^{18} + \left(10 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 22\right)\cdot 31^{19} + \left(19 a^{3} + 2 a^{2} + 19 a + 26\right)\cdot 31^{20} + \left(17 a^{3} + a^{2} + 19 a + 13\right)\cdot 31^{21} + \left(26 a^{3} + 30 a^{2} + 13 a + 26\right)\cdot 31^{22} + \left(5 a^{3} + 6 a^{2} + 27 a + 6\right)\cdot 31^{23} + \left(19 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 22\right)\cdot 31^{24} + \left(15 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 31^{25} + \left(25 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 31^{26} + \left(16 a^{3} + 27 a^{2} + 21 a + 2\right)\cdot 31^{27} + \left(26 a^{3} + 25 a^{2} + 23 a + 29\right)\cdot 31^{28} + \left(12 a^{3} + 9 a^{2} + 29 a + 28\right)\cdot 31^{29} + \left(30 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 31^{30} + \left(24 a^{3} + 25 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 31^{31} + \left(28 a^{3} + 12 a^{2} + 23 a + 13\right)\cdot 31^{32} + \left(3 a^{3} + 14 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 31^{33} + \left(11 a^{3} + 21 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 31^{34} + \left(23 a^{2} + 24 a + 21\right)\cdot 31^{35} + \left(7 a^{3} + 17 a^{2} + 8 a + 19\right)\cdot 31^{36} + \left(8 a^{3} + 24 a^{2} + 24 a + 30\right)\cdot 31^{37} + \left(14 a^{3} + 21 a^{2} + 23 a + 8\right)\cdot 31^{38} + \left(21 a^{3} + 21 a^{2} + 22 a + 29\right)\cdot 31^{39} + \left(29 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 27\right)\cdot 31^{40} + \left(24 a^{3} + 6 a^{2} + 16 a + 12\right)\cdot 31^{41} + \left(2 a^{3} + 21 a^{2} + 28 a + 7\right)\cdot 31^{42} + \left(25 a^{3} + 21 a^{2} + 16 a + 2\right)\cdot 31^{43} + \left(13 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 20\right)\cdot 31^{44} + \left(19 a^{3} + 8 a^{2} + 24 a + 24\right)\cdot 31^{45} + \left(20 a^{3} + 21 a^{2} + 9 a\right)\cdot 31^{46} + \left(7 a^{3} + 6 a^{2} + 13 a + 14\right)\cdot 31^{47} + \left(25 a^{3} + 11 a^{2} + 13 a + 25\right)\cdot 31^{48} + \left(11 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 25\right)\cdot 31^{49} + \left(11 a^{3} + 24 a^{2} + 29 a + 3\right)\cdot 31^{50} + \left(23 a^{3} + 15 a^{2} + 26\right)\cdot 31^{51} + \left(6 a^{3} + 19 a^{2} + 11 a + 24\right)\cdot 31^{52} + \left(19 a^{2} + 21 a + 14\right)\cdot 31^{53} + \left(11 a^{3} + 19 a^{2} + 18 a + 8\right)\cdot 31^{54} + \left(12 a^{3} + 30 a^{2} + 22 a + 22\right)\cdot 31^{55} + \left(10 a^{3} + 26 a^{2} + 30 a + 28\right)\cdot 31^{56} + \left(10 a^{3} + 20 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 31^{57} + \left(26 a^{3} + 17 a^{2} + 7 a + 28\right)\cdot 31^{58} + \left(18 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 31^{59} + \left(10 a^{3} + 21 a^{2} + 10 a + 18\right)\cdot 31^{60} + \left(12 a^{3} + 14 a^{2} + 17 a\right)\cdot 31^{61} + \left(7 a^{3} + 24 a^{2} + 20 a + 2\right)\cdot 31^{62} + \left(30 a^{3} + 7 a^{2} + 22\right)\cdot 31^{63} + \left(23 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 19\right)\cdot 31^{64} + \left(26 a^{3} + 20 a^{2} + 18 a + 21\right)\cdot 31^{65} + \left(21 a^{3} + 28 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 31^{66} + \left(25 a^{3} + 27 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 31^{67} + \left(7 a^{3} + 12 a^{2} + 24 a + 21\right)\cdot 31^{68} + \left(7 a^{3} + 23 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 31^{69} + \left(22 a^{3} + 20 a^{2} + 13 a + 17\right)\cdot 31^{70} + \left(a^{3} + 13 a^{2} + 12 a\right)\cdot 31^{71} + \left(18 a^{3} + 2 a^{2} + 19 a + 23\right)\cdot 31^{72} + \left(23 a^{3} + 28 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 31^{73} + \left(23 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 24\right)\cdot 31^{74} + \left(15 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 31^{75} + \left(8 a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 31^{76} + \left(3 a^{3} + 4 a^{2} + 23 a + 29\right)\cdot 31^{77} + \left(3 a^{3} + 29 a^{2} + 26 a + 5\right)\cdot 31^{78} + \left(13 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 20\right)\cdot 31^{79} + \left(23 a^{3} + 12 a^{2} + 11\right)\cdot 31^{80} + \left(6 a^{3} + 27 a^{2} + 9 a + 18\right)\cdot 31^{81} + \left(13 a^{2} + 22 a + 15\right)\cdot 31^{82} + \left(21 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a\right)\cdot 31^{83} + \left(15 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 31^{84} + \left(28 a^{3} + 7 a^{2} + 24 a + 8\right)\cdot 31^{85} + \left(22 a^{3} + 13 a^{2} + 3 a + 16\right)\cdot 31^{86} + \left(10 a^{3} + 21 a^{2} + 15 a + 6\right)\cdot 31^{87} + \left(12 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 28\right)\cdot 31^{88} + \left(27 a^{2} + 26 a + 12\right)\cdot 31^{89} + \left(24 a^{3} + 17 a^{2} + 14\right)\cdot 31^{90} + \left(15 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 31^{91} + \left(16 a^{3} + 19 a^{2} + 20 a + 20\right)\cdot 31^{92} + \left(19 a^{3} + 13 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 31^{93} + \left(25 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 25\right)\cdot 31^{94} + \left(14 a^{3} + 24 a^{2} + 26 a + 29\right)\cdot 31^{95} + \left(9 a^{3} + 23 a^{2} + 14 a + 1\right)\cdot 31^{96} + \left(a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 31^{97} + \left(12 a^{3} + 16 a^{2} + 2\right)\cdot 31^{98} + \left(17 a^{3} + 11 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 31^{99} + \left(22 a^{3} + 10 a^{2} + 14 a + 20\right)\cdot 31^{100} + \left(16 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 22\right)\cdot 31^{101} + \left(a^{3} + 10 a^{2} + 20 a + 22\right)\cdot 31^{102} + \left(14 a^{3} + 30 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 31^{103} + \left(5 a^{3} + 21 a^{2} + a + 16\right)\cdot 31^{104} + \left(7 a^{3} + 3 a^{2} + 30\right)\cdot 31^{105} + \left(7 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 31^{106} + \left(22 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 31^{107} + \left(23 a^{3} + a^{2} + 7 a + 20\right)\cdot 31^{108} + \left(6 a^{3} + 23 a^{2} + 30 a + 20\right)\cdot 31^{109} + \left(6 a^{2} + 15 a + 19\right)\cdot 31^{110} + \left(9 a^{3} + 24 a^{2} + 20 a + 27\right)\cdot 31^{111} + \left(24 a^{3} + 29 a^{2} + 12 a + 21\right)\cdot 31^{112} + \left(6 a^{3} + 13 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 31^{113} + \left(21 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 31^{114} + \left(8 a^{3} + 11 a^{2} + 13 a + 5\right)\cdot 31^{115} + \left(29 a^{3} + 27 a^{2} + a + 25\right)\cdot 31^{116} + \left(30 a^{3} + 13 a^{2} + 4 a + 27\right)\cdot 31^{117} + \left(28 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 31^{118} + \left(4 a^{3} + a^{2} + 11 a + 22\right)\cdot 31^{119} + \left(7 a^{3} + a^{2} + 3 a + 30\right)\cdot 31^{120} + \left(9 a^{3} + 12 a^{2} + 18 a + 27\right)\cdot 31^{121} + \left(9 a^{3} + 21 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 31^{122} + \left(20 a^{3} + 22 a^{2} + 6 a + 25\right)\cdot 31^{123} + \left(13 a^{3} + 24 a^{2} + 2 a + 23\right)\cdot 31^{124} + \left(2 a^{3} + 25 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 31^{125} + \left(16 a^{3} + 27 a^{2} + 8 a + 23\right)\cdot 31^{126} + \left(5 a^{3} + 9 a^{2} + 6 a + 25\right)\cdot 31^{127} + \left(29 a^{3} + 30 a^{2} + 18 a + 29\right)\cdot 31^{128} + \left(14 a^{3} + 19 a^{2} + 17 a + 22\right)\cdot 31^{129} + \left(25 a^{3} + 20 a^{2} + 21 a + 14\right)\cdot 31^{130} +O\left(31^{ 131 }\right)$
$r_{ 7 }$ $=$ $ 20 a^{3} + 30 a^{2} + 9 a + 7 + \left(24 a^{3} + 28 a^{2} + 27 a + 9\right)\cdot 31 + \left(23 a^{3} + 12 a^{2} + 13 a + 19\right)\cdot 31^{2} + \left(9 a^{3} + 11 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 31^{3} + \left(17 a^{3} + 2 a^{2} + 28 a + 10\right)\cdot 31^{4} + \left(25 a^{3} + 13 a^{2} + 14 a + 7\right)\cdot 31^{5} + \left(6 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 21\right)\cdot 31^{6} + \left(15 a^{3} + 18 a^{2} + 22 a + 21\right)\cdot 31^{7} + \left(20 a^{2} + 21 a + 5\right)\cdot 31^{8} + \left(16 a^{3} + 24 a^{2} + 8\right)\cdot 31^{9} + \left(29 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 31^{10} + \left(19 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 19\right)\cdot 31^{11} + \left(30 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 31^{12} + \left(16 a^{3} + 21 a^{2} + 19 a + 4\right)\cdot 31^{13} + \left(19 a^{3} + 26 a^{2} + 23 a + 15\right)\cdot 31^{14} + \left(28 a^{3} + 21 a^{2} + 7 a + 28\right)\cdot 31^{15} + \left(10 a^{3} + 20 a^{2} + 16 a + 26\right)\cdot 31^{16} + \left(15 a^{3} + 29 a^{2} + 28 a + 10\right)\cdot 31^{17} + \left(14 a^{3} + 26 a^{2} + 26 a + 18\right)\cdot 31^{18} + \left(26 a^{3} + 4 a^{2} + 25 a + 30\right)\cdot 31^{19} + \left(7 a^{3} + 3 a^{2} + 29 a + 8\right)\cdot 31^{20} + \left(18 a^{3} + 22 a + 4\right)\cdot 31^{21} + \left(16 a^{3} + 23 a + 9\right)\cdot 31^{22} + \left(17 a^{3} + 30 a^{2} + 21 a + 25\right)\cdot 31^{23} + \left(11 a^{3} + 6 a^{2} + 22 a + 12\right)\cdot 31^{24} + \left(25 a^{3} + 22 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 31^{25} + \left(24 a^{3} + 29 a^{2} + 23 a + 12\right)\cdot 31^{26} + \left(26 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 17\right)\cdot 31^{27} + \left(3 a^{3} + 26 a^{2} + 28 a + 28\right)\cdot 31^{28} + \left(4 a^{2} + 13 a + 22\right)\cdot 31^{29} + \left(8 a^{3} + 25 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 31^{30} + \left(9 a^{3} + 15 a^{2} + 3 a + 26\right)\cdot 31^{31} + \left(6 a^{3} + 8 a^{2} + 15\right)\cdot 31^{32} + \left(5 a^{3} + 22 a^{2} + 30 a + 21\right)\cdot 31^{33} + \left(12 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 22\right)\cdot 31^{34} + \left(14 a^{3} + 9 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 31^{35} + \left(a^{3} + 16 a^{2} + 22 a + 19\right)\cdot 31^{36} + \left(9 a^{3} + 19 a^{2} + 19 a + 28\right)\cdot 31^{37} + \left(21 a^{3} + 27 a^{2} + 9 a + 22\right)\cdot 31^{38} + \left(3 a^{3} + 8 a^{2} + 14 a + 12\right)\cdot 31^{39} + \left(29 a^{3} + 25 a^{2} + 4 a + 14\right)\cdot 31^{40} + \left(19 a^{3} + 2 a^{2} + 22 a + 20\right)\cdot 31^{41} + \left(16 a^{3} + 9 a^{2} + a + 1\right)\cdot 31^{42} + \left(26 a^{3} + 30 a^{2} + 19 a + 10\right)\cdot 31^{43} + \left(16 a^{3} + 27 a^{2} + 21 a + 16\right)\cdot 31^{44} + \left(19 a^{3} + 5 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 31^{45} + \left(3 a^{3} + 28 a^{2} + 7 a + 18\right)\cdot 31^{46} + \left(26 a^{3} + 24 a^{2} + 12 a + 28\right)\cdot 31^{47} + \left(7 a^{3} + 22 a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 31^{48} + \left(5 a^{3} + 2 a^{2} + 14 a + 7\right)\cdot 31^{49} + \left(12 a^{3} + 25 a^{2} + 7 a + 16\right)\cdot 31^{50} + \left(5 a^{3} + 27 a^{2} + 29 a + 16\right)\cdot 31^{51} + \left(11 a^{3} + 15 a^{2} + a + 21\right)\cdot 31^{52} + \left(16 a^{3} + 29 a^{2} + 19 a + 4\right)\cdot 31^{53} + \left(27 a^{3} + 23 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 31^{54} + \left(13 a^{3} + 16 a^{2} + 27 a + 13\right)\cdot 31^{55} + \left(21 a^{3} + a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 31^{56} + \left(25 a^{3} + 18 a^{2} + 25 a + 16\right)\cdot 31^{57} + \left(11 a^{3} + 24 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 31^{58} + \left(30 a^{3} + 20 a + 5\right)\cdot 31^{59} + \left(20 a^{3} + 23 a^{2} + 13 a + 21\right)\cdot 31^{60} + \left(26 a^{3} + 7 a^{2} + a + 26\right)\cdot 31^{61} + \left(10 a^{3} + 9 a^{2} + 28 a + 9\right)\cdot 31^{62} + \left(17 a^{3} + 13 a^{2} + 4 a + 25\right)\cdot 31^{63} + \left(2 a^{3} + 6 a^{2} + 29 a + 24\right)\cdot 31^{64} + \left(7 a^{3} + 11 a^{2} + 18 a + 20\right)\cdot 31^{65} + \left(4 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a\right)\cdot 31^{66} + \left(29 a^{3} + 19 a + 14\right)\cdot 31^{67} + \left(18 a^{3} + 14 a^{2} + 28 a + 5\right)\cdot 31^{68} + \left(11 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 13\right)\cdot 31^{69} + \left(20 a^{3} + 14 a^{2} + 12 a + 26\right)\cdot 31^{70} + \left(23 a^{3} + 23 a^{2} + 25 a + 27\right)\cdot 31^{71} + \left(10 a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 31^{72} + \left(14 a^{3} + 27 a^{2} + 26 a + 10\right)\cdot 31^{73} + \left(28 a^{3} + 10 a^{2} + 16 a + 16\right)\cdot 31^{74} + \left(18 a^{3} + 23 a^{2} + 24 a + 28\right)\cdot 31^{75} + \left(19 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 31^{76} + \left(26 a^{3} + 17 a^{2} + 10 a + 21\right)\cdot 31^{77} + \left(2 a^{3} + 17 a^{2} + 8\right)\cdot 31^{78} + \left(10 a^{3} + 5 a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 31^{79} + \left(24 a^{3} + 25 a^{2} + 25 a + 15\right)\cdot 31^{80} + \left(19 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 28\right)\cdot 31^{81} + \left(7 a^{3} + 29 a^{2} + 22 a + 23\right)\cdot 31^{82} + \left(5 a^{3} + 11 a^{2} + 11\right)\cdot 31^{83} + \left(9 a^{3} + 15 a^{2} + 5 a + 17\right)\cdot 31^{84} + \left(27 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 19\right)\cdot 31^{85} + \left(25 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 31^{86} + \left(20 a^{3} + 6 a^{2} + 24 a + 7\right)\cdot 31^{87} + \left(29 a^{3} + 26 a^{2} + 18 a + 7\right)\cdot 31^{88} + \left(25 a^{3} + 8 a^{2} + 17 a + 8\right)\cdot 31^{89} + \left(24 a^{3} + 3 a^{2} + 11 a + 26\right)\cdot 31^{90} + \left(23 a^{3} + 18 a^{2} + 9 a + 20\right)\cdot 31^{91} + \left(4 a^{3} + 24 a^{2} + 2 a + 24\right)\cdot 31^{92} + \left(16 a^{3} + 6 a + 29\right)\cdot 31^{93} + \left(30 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 31^{94} + \left(10 a^{3} + 21 a^{2} + a + 7\right)\cdot 31^{95} + \left(2 a^{3} + 21 a^{2} + 3 a + 15\right)\cdot 31^{96} + \left(13 a^{3} + a^{2} + 30 a + 12\right)\cdot 31^{97} + \left(7 a^{3} + 19 a^{2} + 18 a + 3\right)\cdot 31^{98} + \left(28 a^{3} + 6 a^{2} + 30 a + 21\right)\cdot 31^{99} + \left(7 a^{3} + 3 a^{2} + 19 a\right)\cdot 31^{100} + \left(20 a^{3} + 27 a^{2} + a + 11\right)\cdot 31^{101} + \left(28 a^{3} + 8 a^{2} + 27 a + 13\right)\cdot 31^{102} + \left(12 a^{2} + 14 a + 27\right)\cdot 31^{103} + \left(13 a^{3} + 29 a^{2} + 24 a + 17\right)\cdot 31^{104} + \left(11 a^{3} + 19 a^{2} + 8 a + 25\right)\cdot 31^{105} + \left(30 a^{3} + 14 a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 31^{106} + \left(21 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a + 16\right)\cdot 31^{107} + \left(5 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 31^{108} + \left(11 a^{3} + 30 a^{2} + 20 a + 11\right)\cdot 31^{109} + \left(25 a^{3} + 12 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 31^{110} + \left(21 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 31^{111} + \left(7 a^{3} + 18 a^{2} + 28 a + 30\right)\cdot 31^{112} + \left(9 a^{3} + 28 a^{2} + 18 a + 13\right)\cdot 31^{113} + \left(19 a^{3} + 25 a^{2} + 30 a + 9\right)\cdot 31^{114} + \left(11 a^{3} + a^{2} + 24 a + 1\right)\cdot 31^{115} + \left(24 a^{3} + 24 a^{2} + 28 a + 30\right)\cdot 31^{116} + \left(12 a^{3} + 18 a^{2} + 13 a + 16\right)\cdot 31^{117} + \left(28 a^{3} + 22 a^{2} + 29 a + 23\right)\cdot 31^{118} + \left(5 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 22\right)\cdot 31^{119} + \left(15 a^{3} + 8 a + 12\right)\cdot 31^{120} + \left(4 a^{3} + 28 a^{2} + 16\right)\cdot 31^{121} + \left(19 a^{3} + 24 a^{2} + 24 a + 28\right)\cdot 31^{122} + \left(14 a^{3} + 4 a + 7\right)\cdot 31^{123} + \left(4 a^{3} + 14 a^{2} + 4 a + 20\right)\cdot 31^{124} + \left(22 a^{3} + 8 a^{2} + 21\right)\cdot 31^{125} + \left(24 a^{3} + 19 a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 31^{126} + \left(23 a^{3} + 28 a^{2} + 15 a + 28\right)\cdot 31^{127} + \left(21 a^{3} + 10 a^{2} + 16 a + 3\right)\cdot 31^{128} + \left(15 a^{3} + 9 a^{2} + 30 a + 30\right)\cdot 31^{129} + \left(20 a^{2} + 16 a + 18\right)\cdot 31^{130} +O\left(31^{ 131 }\right)$
$r_{ 8 }$ $=$ $ 30 a^{3} + 8 a^{2} + 29 a + 12 + \left(11 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 20\right)\cdot 31 + \left(4 a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 29\right)\cdot 31^{2} + \left(7 a^{3} + 9 a^{2} + 30 a + 14\right)\cdot 31^{3} + \left(23 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 31^{4} + \left(a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 23\right)\cdot 31^{5} + \left(30 a^{3} + 23 a^{2} + 30 a + 24\right)\cdot 31^{6} + \left(29 a^{3} + 16 a^{2} + 29 a + 24\right)\cdot 31^{7} + \left(9 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 27\right)\cdot 31^{8} + \left(10 a^{3} + 8 a^{2} + 17 a + 24\right)\cdot 31^{9} + \left(13 a^{3} + a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 31^{10} + \left(30 a^{3} + 16 a^{2} + 5 a + 25\right)\cdot 31^{11} + \left(7 a^{3} + 29 a^{2} + 28 a + 24\right)\cdot 31^{12} + \left(11 a^{3} + 29 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 31^{13} + \left(22 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 24\right)\cdot 31^{14} + \left(9 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 31^{15} + \left(4 a^{2} + 18 a + 14\right)\cdot 31^{16} + \left(22 a^{3} + 26 a^{2} + 19 a + 16\right)\cdot 31^{17} + \left(22 a^{3} + 24 a^{2} + 20 a + 29\right)\cdot 31^{18} + \left(20 a^{3} + 27 a^{2} + 20 a + 14\right)\cdot 31^{19} + \left(11 a^{3} + 28 a^{2} + 11 a + 21\right)\cdot 31^{20} + \left(13 a^{3} + 29 a^{2} + 11 a + 21\right)\cdot 31^{21} + \left(4 a^{3} + 17 a + 11\right)\cdot 31^{22} + \left(25 a^{3} + 24 a^{2} + 3 a\right)\cdot 31^{23} + \left(11 a^{3} + 22 a^{2} + 24 a + 2\right)\cdot 31^{24} + \left(15 a^{3} + 23 a^{2} + 18 a + 12\right)\cdot 31^{25} + \left(5 a^{3} + 22 a^{2} + 18 a + 21\right)\cdot 31^{26} + \left(14 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 31^{27} + \left(4 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 27\right)\cdot 31^{28} + \left(18 a^{3} + 21 a^{2} + a\right)\cdot 31^{29} + \left(26 a^{2} + 25 a + 11\right)\cdot 31^{30} + \left(6 a^{3} + 5 a^{2} + 17 a + 10\right)\cdot 31^{31} + \left(2 a^{3} + 18 a^{2} + 7 a + 27\right)\cdot 31^{32} + \left(27 a^{3} + 16 a^{2} + 19 a + 1\right)\cdot 31^{33} + \left(19 a^{3} + 9 a^{2} + 25 a + 13\right)\cdot 31^{34} + \left(30 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 31^{35} + \left(23 a^{3} + 13 a^{2} + 22 a + 15\right)\cdot 31^{36} + \left(22 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 31^{37} + \left(16 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 31^{38} + \left(9 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 31^{39} + \left(a^{3} + 25 a^{2} + 27 a + 11\right)\cdot 31^{40} + \left(6 a^{3} + 24 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 31^{41} + \left(28 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a\right)\cdot 31^{42} + \left(5 a^{3} + 9 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 31^{43} + \left(17 a^{3} + 21 a^{2} + 18 a\right)\cdot 31^{44} + \left(11 a^{3} + 22 a^{2} + 6 a + 29\right)\cdot 31^{45} + \left(10 a^{3} + 9 a^{2} + 21 a + 30\right)\cdot 31^{46} + \left(23 a^{3} + 24 a^{2} + 17 a + 26\right)\cdot 31^{47} + \left(5 a^{3} + 19 a^{2} + 17 a + 5\right)\cdot 31^{48} + \left(19 a^{3} + 21 a^{2} + 26 a + 24\right)\cdot 31^{49} + \left(19 a^{3} + 6 a^{2} + a + 29\right)\cdot 31^{50} + \left(7 a^{3} + 15 a^{2} + 30 a + 6\right)\cdot 31^{51} + \left(24 a^{3} + 11 a^{2} + 19 a + 21\right)\cdot 31^{52} + \left(30 a^{3} + 11 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 31^{53} + \left(19 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 26\right)\cdot 31^{54} + \left(18 a^{3} + 8 a + 5\right)\cdot 31^{55} + \left(20 a^{3} + 4 a^{2} + 8\right)\cdot 31^{56} + \left(20 a^{3} + 10 a^{2} + 28 a + 6\right)\cdot 31^{57} + \left(4 a^{3} + 13 a^{2} + 23 a + 25\right)\cdot 31^{58} + \left(12 a^{3} + 19 a^{2} + 20 a + 18\right)\cdot 31^{59} + \left(20 a^{3} + 9 a^{2} + 20 a + 9\right)\cdot 31^{60} + \left(18 a^{3} + 16 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 31^{61} + \left(23 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 30\right)\cdot 31^{62} + \left(23 a^{2} + 30 a + 16\right)\cdot 31^{63} + \left(7 a^{3} + 19 a^{2} + 19 a + 30\right)\cdot 31^{64} + \left(4 a^{3} + 10 a^{2} + 12 a + 30\right)\cdot 31^{65} + \left(9 a^{3} + 2 a^{2} + 26 a + 17\right)\cdot 31^{66} + \left(5 a^{3} + 3 a^{2} + 27 a + 24\right)\cdot 31^{67} + \left(23 a^{3} + 18 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 31^{68} + \left(23 a^{3} + 7 a^{2} + 22 a + 8\right)\cdot 31^{69} + \left(8 a^{3} + 10 a^{2} + 17 a + 10\right)\cdot 31^{70} + \left(29 a^{3} + 17 a^{2} + 18 a + 11\right)\cdot 31^{71} + \left(12 a^{3} + 28 a^{2} + 11 a + 16\right)\cdot 31^{72} + \left(7 a^{3} + 2 a^{2} + 22 a + 12\right)\cdot 31^{73} + \left(7 a^{3} + 18 a^{2} + 27 a + 4\right)\cdot 31^{74} + \left(15 a^{3} + 27 a^{2} + 24 a\right)\cdot 31^{75} + \left(22 a^{3} + 24 a^{2} + 27 a + 5\right)\cdot 31^{76} + \left(27 a^{3} + 26 a^{2} + 7 a\right)\cdot 31^{77} + \left(27 a^{3} + a^{2} + 4 a + 30\right)\cdot 31^{78} + \left(17 a^{3} + 24 a^{2} + 24 a + 25\right)\cdot 31^{79} + \left(7 a^{3} + 18 a^{2} + 30 a + 1\right)\cdot 31^{80} + \left(24 a^{3} + 3 a^{2} + 21 a + 22\right)\cdot 31^{81} + \left(30 a^{3} + 17 a^{2} + 8 a + 30\right)\cdot 31^{82} + \left(9 a^{3} + 21 a^{2} + 22 a + 25\right)\cdot 31^{83} + \left(30 a^{3} + 15 a^{2} + 20 a + 8\right)\cdot 31^{84} + \left(2 a^{3} + 23 a^{2} + 6 a + 26\right)\cdot 31^{85} + \left(8 a^{3} + 17 a^{2} + 27 a + 15\right)\cdot 31^{86} + \left(20 a^{3} + 9 a^{2} + 15 a + 25\right)\cdot 31^{87} + \left(18 a^{3} + 26 a^{2} + 24 a + 27\right)\cdot 31^{88} + \left(30 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 14\right)\cdot 31^{89} + \left(6 a^{3} + 13 a^{2} + 30 a + 4\right)\cdot 31^{90} + \left(30 a^{3} + 15 a^{2} + 24 a + 29\right)\cdot 31^{91} + \left(14 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 31^{92} + \left(11 a^{3} + 17 a^{2} + 19 a + 22\right)\cdot 31^{93} + \left(5 a^{3} + 25 a^{2} + 20 a + 13\right)\cdot 31^{94} + \left(16 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 31^{95} + \left(21 a^{3} + 7 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 31^{96} + \left(29 a^{3} + 27 a^{2} + 27 a + 1\right)\cdot 31^{97} + \left(18 a^{3} + 14 a^{2} + 30 a + 6\right)\cdot 31^{98} + \left(13 a^{3} + 19 a^{2} + 12 a\right)\cdot 31^{99} + \left(8 a^{3} + 20 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 31^{100} + \left(14 a^{3} + 24 a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 31^{101} + \left(29 a^{3} + 20 a^{2} + 10 a + 17\right)\cdot 31^{102} + \left(16 a^{3} + 23 a + 8\right)\cdot 31^{103} + \left(25 a^{3} + 9 a^{2} + 29 a + 5\right)\cdot 31^{104} + \left(23 a^{3} + 27 a^{2} + 30 a + 2\right)\cdot 31^{105} + \left(23 a^{3} + 23 a^{2} + 21 a + 7\right)\cdot 31^{106} + \left(8 a^{3} + 20 a^{2} + 25 a + 2\right)\cdot 31^{107} + \left(7 a^{3} + 29 a^{2} + 23 a + 5\right)\cdot 31^{108} + \left(24 a^{3} + 7 a^{2} + 6\right)\cdot 31^{109} + \left(30 a^{3} + 24 a^{2} + 15 a + 25\right)\cdot 31^{110} + \left(21 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 17\right)\cdot 31^{111} + \left(6 a^{3} + a^{2} + 18 a\right)\cdot 31^{112} + \left(24 a^{3} + 17 a^{2} + 21 a + 18\right)\cdot 31^{113} + \left(9 a^{3} + 24 a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 31^{114} + \left(22 a^{3} + 19 a^{2} + 17 a + 11\right)\cdot 31^{115} + \left(a^{3} + 3 a^{2} + 29 a + 15\right)\cdot 31^{116} + \left(17 a^{2} + 26 a + 18\right)\cdot 31^{117} + \left(2 a^{3} + 21 a^{2} + 20 a + 27\right)\cdot 31^{118} + \left(26 a^{3} + 29 a^{2} + 19 a + 23\right)\cdot 31^{119} + \left(23 a^{3} + 29 a^{2} + 27 a + 10\right)\cdot 31^{120} + \left(21 a^{3} + 18 a^{2} + 12 a + 18\right)\cdot 31^{121} + \left(21 a^{3} + 9 a^{2} + 21 a + 7\right)\cdot 31^{122} + \left(10 a^{3} + 8 a^{2} + 24 a + 28\right)\cdot 31^{123} + \left(17 a^{3} + 6 a^{2} + 28 a + 24\right)\cdot 31^{124} + \left(28 a^{3} + 5 a^{2} + 24 a + 29\right)\cdot 31^{125} + \left(14 a^{3} + 3 a^{2} + 22 a + 18\right)\cdot 31^{126} + \left(25 a^{3} + 21 a^{2} + 24 a + 18\right)\cdot 31^{127} + \left(a^{3} + 12 a + 13\right)\cdot 31^{128} + \left(16 a^{3} + 11 a^{2} + 13 a + 7\right)\cdot 31^{129} + \left(5 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 23\right)\cdot 31^{130} +O\left(31^{ 131 }\right)$
$r_{ 9 }$ $=$ $ 9 a^{3} + 10 a^{2} + 25 a + \left(4 a^{3} + 24 a^{2} + 24 a + 6\right)\cdot 31 + \left(7 a^{3} + 28 a^{2} + 27 a + 29\right)\cdot 31^{2} + \left(23 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 23\right)\cdot 31^{3} + \left(19 a^{3} + 5 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 31^{4} + \left(21 a^{3} + 5 a^{2} + 16 a + 10\right)\cdot 31^{5} + \left(9 a^{3} + 12 a + 18\right)\cdot 31^{6} + \left(9 a^{3} + 2 a^{2} + 23 a + 19\right)\cdot 31^{7} + \left(27 a^{3} + a^{2} + 30 a + 3\right)\cdot 31^{8} + \left(8 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 28\right)\cdot 31^{9} + \left(19 a^{3} + 27 a^{2} + 19 a + 19\right)\cdot 31^{10} + \left(8 a^{3} + 30 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 31^{11} + \left(14 a^{3} + 24 a^{2} + 29 a + 25\right)\cdot 31^{12} + \left(26 a^{3} + 5 a^{2} + 25 a + 1\right)\cdot 31^{13} + \left(18 a^{3} + 16 a^{2} + 24 a + 22\right)\cdot 31^{14} + \left(3 a^{3} + 10 a^{2} + 16 a + 5\right)\cdot 31^{15} + \left(30 a^{3} + 14 a^{2} + 15\right)\cdot 31^{16} + \left(28 a^{3} + 4 a^{2} + 24 a + 12\right)\cdot 31^{17} + \left(26 a^{3} + 28 a^{2} + 10 a + 14\right)\cdot 31^{18} + \left(12 a^{3} + 7 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 31^{19} + \left(20 a^{3} + 21 a^{2} + 3 a + 16\right)\cdot 31^{20} + \left(29 a^{3} + 9 a^{2} + 26 a\right)\cdot 31^{21} + \left(3 a^{3} + 17 a^{2} + 6 a + 23\right)\cdot 31^{22} + \left(21 a^{3} + 8 a^{2} + a + 20\right)\cdot 31^{23} + \left(24 a^{3} + 13 a^{2} + 26 a + 24\right)\cdot 31^{24} + \left(11 a^{3} + 13 a^{2} + 26 a + 9\right)\cdot 31^{25} + \left(29 a^{3} + 28 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 31^{26} + \left(16 a^{3} + 15 a^{2} + 26 a + 1\right)\cdot 31^{27} + \left(3 a^{3} + 20 a^{2} + 30 a + 16\right)\cdot 31^{28} + \left(18 a^{3} + 9 a^{2} + 22 a + 13\right)\cdot 31^{29} + \left(30 a^{3} + 14 a^{2} + 19 a + 19\right)\cdot 31^{30} + \left(23 a^{3} + a^{2} + 14 a + 26\right)\cdot 31^{31} + \left(17 a^{3} + 15 a^{2} + 11 a + 23\right)\cdot 31^{32} + \left(28 a^{3} + 16 a^{2} + 16 a + 29\right)\cdot 31^{33} + \left(11 a^{3} + 27 a^{2} + 25 a + 22\right)\cdot 31^{34} + \left(23 a^{3} + 7 a^{2} + 22 a + 25\right)\cdot 31^{35} + \left(4 a^{2} + 25 a + 23\right)\cdot 31^{36} + \left(27 a^{3} + 24 a^{2} + 15 a + 18\right)\cdot 31^{37} + \left(15 a^{3} + 17 a^{2} + 15 a + 20\right)\cdot 31^{38} + \left(14 a^{3} + 6 a^{2} + 30 a + 30\right)\cdot 31^{39} + \left(17 a^{3} + 15 a^{2} + 30 a + 29\right)\cdot 31^{40} + \left(26 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 31^{41} + \left(2 a^{3} + 7 a^{2} + 25 a + 19\right)\cdot 31^{42} + \left(17 a^{3} + 25 a^{2} + 18 a + 28\right)\cdot 31^{43} + \left(20 a^{3} + 10 a^{2} + 17 a + 3\right)\cdot 31^{44} + \left(26 a^{3} + 20 a^{2} + 26 a + 9\right)\cdot 31^{45} + \left(9 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 31^{46} + \left(13 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 31^{47} + \left(18 a^{3} + 21 a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 31^{48} + \left(7 a^{3} + 6 a^{2} + 30 a + 10\right)\cdot 31^{49} + \left(11 a^{3} + 3 a^{2} + 20 a + 3\right)\cdot 31^{50} + \left(16 a^{3} + a^{2} + 25 a + 15\right)\cdot 31^{51} + \left(22 a^{3} + 21 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 31^{52} + \left(19 a^{3} + 15 a^{2} + 7 a + 24\right)\cdot 31^{53} + \left(30 a^{3} + 18 a^{2} + 28 a + 26\right)\cdot 31^{54} + \left(9 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a\right)\cdot 31^{55} + \left(14 a^{3} + 10 a^{2} + 24 a\right)\cdot 31^{56} + \left(17 a^{3} + 26 a^{2} + 11 a + 23\right)\cdot 31^{57} + \left(14 a^{3} + 27 a^{2} + 12 a + 23\right)\cdot 31^{58} + \left(10 a^{3} + 28 a^{2} + 20 a + 9\right)\cdot 31^{59} + \left(3 a^{3} + 27 a^{2} + 9 a + 18\right)\cdot 31^{60} + \left(17 a^{3} + 16 a^{2} + 3 a + 18\right)\cdot 31^{61} + \left(9 a^{3} + 10 a^{2} + 22 a + 11\right)\cdot 31^{62} + \left(24 a^{3} + 6 a^{2} + 24 a + 5\right)\cdot 31^{63} + \left(8 a^{3} + 30 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 31^{64} + \left(30 a^{3} + 27 a^{2} + 25 a + 14\right)\cdot 31^{65} + \left(16 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 31^{66} + \left(5 a^{3} + 21 a^{2} + 29 a + 10\right)\cdot 31^{67} + \left(17 a^{3} + 30 a^{2} + 18 a + 9\right)\cdot 31^{68} + \left(2 a^{3} + 4 a^{2} + 25 a + 9\right)\cdot 31^{69} + \left(8 a^{2} + 28 a + 6\right)\cdot 31^{70} + \left(14 a^{3} + 14 a^{2} + a + 22\right)\cdot 31^{71} + \left(30 a^{3} + 18 a^{2} + 28 a + 27\right)\cdot 31^{72} + \left(10 a^{3} + 4 a^{2} + 16 a + 28\right)\cdot 31^{73} + \left(6 a^{3} + 5 a^{2} + 17 a + 5\right)\cdot 31^{74} + \left(25 a^{3} + 17 a^{2} + 30 a + 17\right)\cdot 31^{75} + \left(16 a^{3} + 18 a^{2} + 22 a + 23\right)\cdot 31^{76} + \left(a^{3} + 8 a^{2} + 17 a + 1\right)\cdot 31^{77} + \left(5 a^{3} + a^{2} + 23 a + 26\right)\cdot 31^{78} + \left(30 a^{3} + 15 a^{2} + 23\right)\cdot 31^{79} + \left(5 a^{3} + 28 a^{2} + 28 a + 16\right)\cdot 31^{80} + \left(a^{3} + 17 a^{2} + 13 a + 29\right)\cdot 31^{81} + \left(25 a^{3} + 2 a^{2} + 19 a + 6\right)\cdot 31^{82} + \left(29 a^{3} + 16 a^{2} + 13 a + 18\right)\cdot 31^{83} + \left(16 a^{3} + 12 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 31^{84} + \left(12 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 14\right)\cdot 31^{85} + \left(7 a^{3} + 14 a^{2} + 10 a + 16\right)\cdot 31^{86} + \left(18 a^{3} + a^{2} + 25 a + 15\right)\cdot 31^{87} + \left(15 a^{3} + 16 a^{2} + 25 a + 24\right)\cdot 31^{88} + \left(4 a^{3} + a^{2} + 22 a + 18\right)\cdot 31^{89} + \left(13 a^{3} + 12 a^{2} + 19 a + 7\right)\cdot 31^{90} + \left(5 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 31^{91} + \left(14 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 17\right)\cdot 31^{92} + \left(12 a^{3} + 30 a^{2} + 8 a + 29\right)\cdot 31^{93} + \left(3 a^{3} + 30 a^{2} + 28 a + 5\right)\cdot 31^{94} + \left(27 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 31^{95} + \left(6 a^{3} + 29 a^{2} + 27 a + 19\right)\cdot 31^{96} + \left(2 a^{3} + 25 a^{2} + 18 a + 11\right)\cdot 31^{97} + \left(8 a^{2} + 28 a + 8\right)\cdot 31^{98} + \left(10 a^{3} + 22 a^{2} + 3 a + 27\right)\cdot 31^{99} + \left(11 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 31^{100} + \left(17 a^{3} + 24 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 31^{101} + \left(22 a^{3} + 18 a^{2} + 13 a + 17\right)\cdot 31^{102} + \left(10 a^{3} + 16 a^{2} + 12 a + 27\right)\cdot 31^{103} + \left(28 a^{3} + 16 a^{2} + 25 a + 11\right)\cdot 31^{104} + \left(26 a^{3} + 16 a^{2} + 24 a + 20\right)\cdot 31^{105} + \left(13 a^{3} + 11 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 31^{106} + \left(20 a^{3} + 5 a^{2} + 26 a + 18\right)\cdot 31^{107} + \left(6 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 31^{108} + \left(26 a^{2} + 25 a + 13\right)\cdot 31^{109} + \left(16 a^{3} + 25 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 31^{110} + \left(16 a^{3} + 26 a + 28\right)\cdot 31^{111} + \left(28 a^{3} + 13 a^{2} + 16 a + 8\right)\cdot 31^{112} + \left(21 a^{3} + 6 a^{2} + 24 a + 24\right)\cdot 31^{113} + \left(16 a^{3} + 22 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 31^{114} + \left(13 a^{3} + 2 a^{2} + 25 a + 10\right)\cdot 31^{115} + \left(a^{3} + a^{2} + 23 a + 30\right)\cdot 31^{116} + \left(6 a^{2} + 4 a + 30\right)\cdot 31^{117} + \left(6 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 31^{118} + \left(15 a^{3} + 22 a^{2} + 14 a + 19\right)\cdot 31^{119} + \left(15 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 16\right)\cdot 31^{120} + \left(21 a^{3} + 3 a^{2} + 21 a + 28\right)\cdot 31^{121} + \left(3 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 28\right)\cdot 31^{122} + \left(24 a^{3} + 6 a^{2} + 5\right)\cdot 31^{123} + \left(10 a^{3} + 6 a^{2} + 20 a + 22\right)\cdot 31^{124} + \left(27 a^{3} + 12 a^{2} + 13 a + 27\right)\cdot 31^{125} + \left(10 a^{3} + 24 a^{2} + 3 a + 16\right)\cdot 31^{126} + \left(12 a^{3} + 28 a^{2} + 18 a + 30\right)\cdot 31^{127} + \left(6 a^{3} + 10 a^{2} + 27 a + 20\right)\cdot 31^{128} + \left(28 a^{3} + 2 a + 11\right)\cdot 31^{129} + \left(26 a^{3} + 16 a^{2} + 22 a + 19\right)\cdot 31^{130} +O\left(31^{ 131 }\right)$

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 9 }$

Cycle notation
$(1,3,2)(4,6,5)(7,9,8)$
$(2,4)$
$(1,6,8)$
$(3,5,7)$
$(1,2)(4,6)(8,9)$
$(2,4,9)$

Character values on conjugacy classes

SizeOrderAction on $r_1, \ldots, r_{ 9 }$ Character value
$1$$1$$()$$8$
$9$$2$$(2,4)$$0$
$18$$2$$(1,2)(4,6)(8,9)$$4$
$27$$2$$(1,6)(2,4)(3,5)$$0$
$27$$2$$(2,4)(3,5)$$0$
$54$$2$$(1,3)(2,4)(5,6)(7,8)$$0$
$6$$3$$(3,5,7)$$-4$
$8$$3$$(1,8,6)(2,9,4)(3,7,5)$$-1$
$12$$3$$(1,6,8)(3,5,7)$$2$
$72$$3$$(1,3,2)(4,6,5)(7,9,8)$$2$
$54$$4$$(2,3,4,5)(7,9)$$0$
$162$$4$$(2,3,4,5)(6,8)(7,9)$$0$
$36$$6$$(1,2)(3,5,7)(4,6)(8,9)$$-2$
$36$$6$$(2,3,9,7,4,5)$$-2$
$36$$6$$(2,4)(3,5,7)$$0$
$36$$6$$(1,6,8)(2,4)(3,5,7)$$0$
$54$$6$$(1,8,6)(2,4)(3,5)$$0$
$72$$6$$(1,4,6,9,8,2)(3,5,7)$$1$
$108$$6$$(1,3,6,5,8,7)(2,4)$$0$
$216$$6$$(1,3,4,6,5,2)(7,9,8)$$0$
$144$$9$$(1,3,9,8,7,4,6,5,2)$$-1$
$108$$12$$(1,6,8)(2,3,4,5)(7,9)$$0$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.