Properties

Label 8.2e12_3e10_7e2.12t213.1c1
Dimension 8
Group $S_3\wr S_3$
Conductor $ 2^{12} \cdot 3^{10} \cdot 7^{2}$
Root number 1
Frobenius-Schur indicator 1

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Basic invariants

Dimension:$8$
Group:$S_3\wr S_3$
Conductor:$11851370496= 2^{12} \cdot 3^{10} \cdot 7^{2} $
Artin number field: Splitting field of $f= x^{9} - 3 x^{8} + 3 x^{7} + 3 x^{6} - 3 x^{5} - 3 x^{4} + 15 x^{3} - 9 x^{2} + 12 $ over $\Q$
Size of Galois orbit: 1
Smallest containing permutation representation: 12T213
Parity: Even
Determinant: 1.1.1t1.1c1

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 13 }$ to precision 211.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 13 }$: $ x^{4} + 3 x^{2} + 12 x + 2 $
Roots:
$r_{ 1 }$ $=$ $ 10 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 2 a\cdot 13 + \left(10 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{2} + \left(3 a^{3} + 8 a^{2} + 6\right)\cdot 13^{3} + \left(7 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{4} + \left(3 a^{3} + 12 a^{2} + 8\right)\cdot 13^{5} + \left(8 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 13^{6} + \left(9 a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 13^{7} + \left(8 a^{3} + 6 a^{2} + 10\right)\cdot 13^{8} + \left(a^{3} + a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 13^{9} + \left(5 a^{3} + 2 a^{2} + 7\right)\cdot 13^{10} + \left(3 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 13^{11} + \left(3 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 13^{12} + \left(12 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 13^{13} + \left(8 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{14} + \left(6 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 13^{15} + \left(7 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 13^{16} + \left(9 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{17} + \left(8 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 13^{18} + \left(11 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 13^{19} + \left(a^{3} + 8 a\right)\cdot 13^{20} + \left(3 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{21} + \left(3 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{22} + \left(11 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 13^{23} + \left(3 a^{3} + 12 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 13^{24} + \left(9 a^{3} + 9 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{25} + \left(7 a^{3} + 8 a^{2} + 7\right)\cdot 13^{26} + \left(a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 13^{27} + \left(10 a^{3} + 6 a^{2} + a + 7\right)\cdot 13^{28} + \left(4 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 13^{29} + \left(3 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 13^{30} + \left(12 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a\right)\cdot 13^{31} + \left(10 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{32} + \left(5 a^{3} + 10 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 13^{33} + \left(10 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 13^{34} + \left(8 a^{3} + a^{2} + 4\right)\cdot 13^{35} + \left(6 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a\right)\cdot 13^{36} + \left(11 a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 13^{37} + \left(6 a^{3} + 7 a^{2} + a\right)\cdot 13^{38} + \left(10 a^{3} + 6 a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{39} + \left(5 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 13^{40} + \left(a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 13^{41} + \left(7 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 13^{42} + \left(a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{43} + \left(11 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{44} + \left(12 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{45} + \left(7 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 13^{46} + \left(7 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 13^{47} + \left(2 a^{2} + a\right)\cdot 13^{48} + \left(7 a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 13^{49} + \left(a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 13^{50} + \left(5 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{51} + \left(2 a^{3} + 11 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 13^{52} + \left(12 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 13^{53} + \left(9 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 13^{54} + \left(11 a^{3} + a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 13^{55} + \left(8 a + 5\right)\cdot 13^{56} + \left(a^{3} + 7 a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{57} + \left(10 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{58} + \left(8 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 13^{59} + \left(9 a^{3} + 2 a^{2} + a + 4\right)\cdot 13^{60} + \left(2 a^{3} + 2 a^{2} + a + 4\right)\cdot 13^{61} + \left(5 a^{2} + a + 8\right)\cdot 13^{62} + \left(a^{3} + a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 13^{63} + \left(6 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 13^{64} + \left(5 a^{3} + 8 a + 1\right)\cdot 13^{65} + \left(7 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 13^{66} + \left(10 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 13^{67} + \left(3 a^{3} + 9 a^{2} + a + 10\right)\cdot 13^{68} + \left(a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 13^{69} + \left(5 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 13^{70} + \left(a^{3} + 8 a^{2} + a + 11\right)\cdot 13^{71} + \left(9 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 13^{72} + \left(7 a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 13^{73} + \left(11 a^{3} + 3 a^{2} + 11 a\right)\cdot 13^{74} + \left(12 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 13^{75} + \left(3 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 13^{76} + \left(12 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 13^{77} + \left(11 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a\right)\cdot 13^{78} + \left(3 a^{3} + 7 a + 5\right)\cdot 13^{79} + \left(12 a^{3} + 4 a + 6\right)\cdot 13^{80} + \left(8 a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 13^{81} + \left(3 a^{3} + 10 a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{82} + \left(10 a^{3} + 8 a + 2\right)\cdot 13^{83} + \left(3 a^{3} + 11 a^{2} + 2\right)\cdot 13^{84} + \left(5 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 13^{85} + \left(4 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{86} + \left(9 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 13^{87} + \left(2 a^{3} + 9 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 13^{88} + \left(a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 13^{89} + \left(12 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 13^{90} + \left(a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{91} + \left(2 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 13^{92} + \left(8 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 13^{93} + \left(8 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 13^{94} + \left(6 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 13^{95} + \left(12 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 13^{96} + 5 a\cdot 13^{97} + \left(4 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 13^{98} + \left(12 a^{3} + 10 a^{2} + a + 4\right)\cdot 13^{99} + \left(12 a^{3} + a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 13^{100} + \left(9 a^{3} + 9 a + 4\right)\cdot 13^{101} + \left(6 a^{3} + 11 a^{2} + 7\right)\cdot 13^{102} + \left(10 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 13^{103} + \left(a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{104} + \left(4 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 13^{105} + \left(4 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 13^{106} + \left(5 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 13^{107} + \left(7 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 13^{108} + \left(12 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a\right)\cdot 13^{109} + \left(4 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 13^{110} + \left(7 a^{3} + 12 a + 1\right)\cdot 13^{111} + \left(12 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 13^{112} + \left(2 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 13^{113} + \left(8 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{114} + \left(3 a^{3} + 9 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 13^{115} + \left(a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 13^{116} + \left(2 a^{2} + a + 6\right)\cdot 13^{117} + \left(10 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 13^{118} + \left(a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13^{119} + \left(11 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 13^{120} + \left(a^{3} + 5 a^{2} + 1\right)\cdot 13^{121} + \left(2 a^{3} + 6 a + 5\right)\cdot 13^{122} + \left(9 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{123} + \left(5 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 13^{124} + \left(12 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 13^{125} + \left(3 a^{3} + 5 a^{2} + a + 1\right)\cdot 13^{126} + \left(11 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 13^{127} + \left(9 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 13^{128} + \left(10 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a\right)\cdot 13^{129} + \left(4 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 13^{130} + \left(5 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 13^{131} + \left(12 a^{3} + 6 a^{2} + 7\right)\cdot 13^{132} + \left(11 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{133} + \left(8 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a\right)\cdot 13^{134} + \left(5 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 13^{135} + \left(3 a^{3} + 11 a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{136} + \left(6 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 13^{137} + \left(12 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 13^{138} + \left(12 a^{3} + 12 a\right)\cdot 13^{139} + \left(10 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a\right)\cdot 13^{140} + \left(3 a + 12\right)\cdot 13^{141} + \left(10 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{142} + \left(12 a + 12\right)\cdot 13^{143} + 11 a^{3}13^{144} + \left(12 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 13^{145} + \left(3 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 13^{146} + \left(4 a^{3} + a^{2} + 9\right)\cdot 13^{147} + \left(5 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 13^{148} + \left(3 a^{3} + 8 a^{2} + 7\right)\cdot 13^{149} + \left(12 a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 13^{150} + \left(4 a^{3} + 6 a^{2} + 8\right)\cdot 13^{151} + \left(4 a^{3} + a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 13^{152} + \left(5 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 13^{153} + \left(7 a^{3} + 11 a^{2} + 11\right)\cdot 13^{154} + \left(9 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 13^{155} + \left(2 a^{3} + a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 13^{156} + \left(9 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 13^{157} + \left(2 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 13^{158} + \left(8 a^{3} + 12 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{159} + \left(5 a^{3} + 6 a^{2} + 7\right)\cdot 13^{160} + \left(3 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 13^{161} + \left(5 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 13^{162} + \left(7 a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{163} + \left(9 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{164} + \left(11 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 13^{165} + \left(12 a^{3} + 6 a + 12\right)\cdot 13^{166} + \left(10 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 13^{167} + \left(11 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{168} + \left(12 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 13^{169} + \left(10 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a\right)\cdot 13^{170} + \left(4 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 13^{171} + \left(12 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 13^{172} + \left(4 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 13^{173} + \left(10 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 13^{174} + \left(2 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 13^{175} + \left(9 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 13^{176} + \left(4 a^{3} + 11 a + 6\right)\cdot 13^{177} + \left(3 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 13^{178} + \left(10 a^{3} + 3 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{179} + \left(5 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 13^{180} + \left(5 a^{3} + 10 a^{2} + a + 1\right)\cdot 13^{181} + \left(9 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{182} + \left(12 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 13^{183} + \left(11 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 13^{184} + \left(5 a^{3} + a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 13^{185} + \left(5 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 13^{186} + \left(2 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 13^{187} + \left(11 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 13^{188} + \left(7 a^{3} + 4 a^{2} + 7\right)\cdot 13^{189} + \left(2 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 13^{190} + \left(8 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 13^{191} + \left(5 a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 13^{192} + \left(6 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 13^{193} + \left(9 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{194} + \left(8 a^{3} + 7\right)\cdot 13^{195} + \left(10 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 13^{196} + \left(2 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 13^{197} + \left(5 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 13^{198} + \left(3 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 13^{199} + \left(6 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 13^{200} + \left(2 a^{3} + 10 a^{2} + a + 2\right)\cdot 13^{201} + \left(8 a^{3} + a\right)\cdot 13^{202} + \left(a^{2} + a + 6\right)\cdot 13^{203} + \left(6 a^{3} + 5 a + 2\right)\cdot 13^{204} + \left(6 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 13^{205} + \left(2 a^{3} + 7 a + 10\right)\cdot 13^{206} + \left(2 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{207} + \left(11 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 13^{208} + \left(2 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 13^{209} + \left(7 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 13^{210} +O\left(13^{ 211 }\right)$
$r_{ 2 }$ $=$ $ 2 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 12 + \left(8 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13 + \left(10 a^{3} + 9 a + 6\right)\cdot 13^{2} + \left(a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 13^{3} + \left(9 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{4} + \left(9 a^{2} + a + 12\right)\cdot 13^{5} + \left(10 a^{3} + 9\right)\cdot 13^{6} + \left(3 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 13^{7} + \left(12 a^{3} + 12 a^{2} + a + 4\right)\cdot 13^{8} + \left(11 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{9} + \left(4 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 13^{10} + \left(5 a^{3} + a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 13^{11} + \left(2 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 13^{12} + \left(2 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{13} + \left(4 a^{3} + 9 a + 7\right)\cdot 13^{14} + \left(10 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 13^{15} + \left(11 a^{3} + a^{2} + 11\right)\cdot 13^{16} + \left(2 a^{3} + 10 a + 10\right)\cdot 13^{17} + \left(4 a^{3} + 5 a^{2} + 9\right)\cdot 13^{18} + \left(7 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 13^{19} + \left(9 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 13^{20} + \left(9 a^{3} + 5 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 13^{21} + \left(10 a^{3} + 5 a + 5\right)\cdot 13^{22} + \left(6 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 13^{23} + \left(2 a^{3} + a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{24} + \left(6 a^{3} + 8 a^{2} + a + 5\right)\cdot 13^{25} + \left(7 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 13^{26} + \left(4 a^{2} + 4 a\right)\cdot 13^{27} + \left(5 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 13^{28} + \left(5 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 13^{29} + \left(11 a^{3} + a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 13^{30} + \left(2 a^{3} + a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 13^{31} + \left(8 a^{3} + 12 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 13^{32} + \left(6 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 13^{33} + \left(12 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{34} + \left(2 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a\right)\cdot 13^{35} + \left(12 a^{3} + 2 a^{2} + 10\right)\cdot 13^{36} + \left(10 a^{3} + 10 a + 10\right)\cdot 13^{37} + \left(7 a^{3} + a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 13^{38} + \left(a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{39} + \left(3 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 13^{40} + \left(7 a^{3} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{41} + \left(9 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{42} + \left(2 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 13^{43} + \left(2 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{44} + \left(a^{3} + 2 a^{2} + 6 a\right)\cdot 13^{45} + \left(7 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 13^{46} + \left(a^{3} + 9 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 13^{47} + \left(2 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 13^{48} + \left(a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{49} + \left(4 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 13^{50} + \left(11 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{51} + \left(3 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 13^{52} + \left(11 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 13^{53} + \left(6 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 13^{54} + \left(10 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 13^{55} + \left(6 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a\right)\cdot 13^{56} + \left(10 a^{3} + 9 a^{2} + a + 11\right)\cdot 13^{57} + \left(7 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 13^{58} + \left(9 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 13^{59} + \left(5 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 13^{60} + \left(9 a^{3} + 2 a^{2}\right)\cdot 13^{61} + \left(8 a^{3} + 12 a^{2} + 4\right)\cdot 13^{62} + \left(5 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 13^{63} + \left(5 a^{3} + 12\right)\cdot 13^{64} + \left(9 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 13^{65} + \left(a^{3} + 6\right)\cdot 13^{66} + \left(11 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{67} + \left(9 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 13^{68} + \left(8 a^{3} + 12\right)\cdot 13^{69} + \left(a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 13^{70} + \left(6 a^{3} + 4 a^{2} + a + 9\right)\cdot 13^{71} + \left(10 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{72} + \left(9 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{73} + \left(8 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 13^{74} + \left(8 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 13^{75} + \left(3 a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 13^{76} + \left(6 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a\right)\cdot 13^{77} + \left(12 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 13^{78} + \left(6 a^{3} + 12 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 13^{79} + \left(2 a^{3} + a^{2} + a + 2\right)\cdot 13^{80} + \left(12 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 13^{81} + \left(12 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{82} + \left(a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 13^{83} + \left(2 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 13^{84} + \left(8 a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 13^{85} + \left(9 a^{3} + 10 a^{2} + 6\right)\cdot 13^{86} + \left(9 a^{3} + 6 a + 8\right)\cdot 13^{87} + \left(7 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{88} + \left(8 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 13^{89} + \left(12 a^{3} + a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 13^{90} + \left(6 a^{3} + 12\right)\cdot 13^{91} + \left(5 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 13^{92} + \left(7 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{93} + \left(2 a^{3} + 12 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{94} + \left(7 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 13^{95} + \left(10 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a\right)\cdot 13^{96} + \left(7 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 13^{97} + \left(3 a^{3} + 9 a^{2} + a + 1\right)\cdot 13^{98} + \left(7 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 13^{99} + \left(10 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 13^{100} + \left(5 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{101} + \left(4 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 13^{102} + \left(12 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{103} + \left(10 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{104} + \left(7 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{105} + \left(9 a^{3} + 2 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 13^{106} + \left(10 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 13^{107} + \left(12 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 13^{108} + \left(5 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 13^{109} + \left(a^{3} + 7 a^{2} + a\right)\cdot 13^{110} + \left(a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 13^{111} + \left(11 a^{3} + 12 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 13^{112} + \left(6 a + 4\right)\cdot 13^{113} + \left(6 a^{3} + a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 13^{114} + \left(7 a^{3} + a^{2} + a + 1\right)\cdot 13^{115} + \left(9 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 13^{116} + \left(2 a^{3} + a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 13^{117} + \left(a^{3} + a^{2} + a + 5\right)\cdot 13^{118} + \left(9 a^{3} + a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 13^{119} + \left(10 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 13^{120} + \left(9 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{121} + \left(a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 13^{122} + \left(6 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 13^{123} + \left(4 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a\right)\cdot 13^{124} + \left(10 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a\right)\cdot 13^{125} + \left(10 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a\right)\cdot 13^{126} + \left(5 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 13^{127} + \left(5 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 13^{128} + \left(6 a^{3} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{129} + \left(2 a^{3} + 9 a + 5\right)\cdot 13^{130} + \left(10 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 13^{131} + \left(12 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{132} + \left(12 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{133} + \left(9 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 13^{134} + \left(7 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{135} + \left(10 a^{3} + 12 a^{2} + 8\right)\cdot 13^{136} + \left(6 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 13^{137} + \left(11 a^{3} + 4 a^{2} + a + 12\right)\cdot 13^{138} + \left(11 a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 13^{139} + \left(4 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 13^{140} + \left(12 a^{3} + a^{2} + 9 a\right)\cdot 13^{141} + \left(12 a^{2} + 8\right)\cdot 13^{142} + \left(12 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 13^{143} + \left(10 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 13^{144} + \left(5 a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 13^{145} + \left(6 a^{3} + a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 13^{146} + \left(a^{3} + 11 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{147} + \left(3 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 13^{148} + \left(12 a^{3} + 11 a^{2} + 7\right)\cdot 13^{149} + \left(4 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{150} + \left(11 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 13^{151} + \left(4 a^{3} + 6 a^{2} + a\right)\cdot 13^{152} + \left(3 a^{3} + 8 a^{2} + 7\right)\cdot 13^{153} + \left(9 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 13^{154} + \left(7 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 13^{155} + \left(10 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 13^{156} + \left(7 a^{3} + 8 a^{2} + a + 4\right)\cdot 13^{157} + \left(8 a^{3} + a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 13^{158} + \left(6 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 13^{159} + \left(5 a^{3} + 10 a^{2} + 11 a\right)\cdot 13^{160} + \left(12 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 13^{161} + \left(8 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 13^{162} + \left(7 a^{3} + a^{2} + 9 a\right)\cdot 13^{163} + \left(7 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 13^{164} + \left(11 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 13^{165} + \left(7 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 13^{166} + \left(a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 13^{167} + \left(2 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a\right)\cdot 13^{168} + \left(6 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 13^{169} + \left(8 a^{3} + 12 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 13^{170} + \left(6 a^{3} + 3 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{171} + \left(8 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 13^{172} + \left(4 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 13^{173} + \left(2 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 13^{174} + \left(6 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a\right)\cdot 13^{175} + \left(2 a^{3} + 4 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{176} + \left(4 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 13^{177} + \left(3 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a\right)\cdot 13^{178} + \left(10 a^{3} + 8 a + 1\right)\cdot 13^{179} + \left(7 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{180} + \left(8 a^{3} + 3 a^{2} + 7\right)\cdot 13^{181} + \left(2 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13^{182} + \left(6 a^{3} + 8 a + 12\right)\cdot 13^{183} + \left(7 a^{3} + 12 a^{2} + a + 11\right)\cdot 13^{184} + \left(6 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 13^{185} + \left(9 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 13^{186} + \left(11 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 13^{187} + \left(4 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 13^{188} + \left(11 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 13^{189} + \left(10 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 13^{190} + \left(12 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 13^{191} + \left(11 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{192} + \left(4 a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 13^{193} + \left(2 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{194} + \left(9 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 13^{195} + \left(3 a^{3} + 9 a^{2} + a + 11\right)\cdot 13^{196} + \left(8 a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 13^{197} + \left(7 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 13^{198} + \left(8 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{199} + \left(2 a^{3} + 3 a + 6\right)\cdot 13^{200} + \left(6 a^{3} + 7 a^{2} + a + 11\right)\cdot 13^{201} + \left(6 a^{3} + 11 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{202} + \left(6 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a\right)\cdot 13^{203} + \left(6 a^{2} + a + 7\right)\cdot 13^{204} + \left(4 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 13^{205} + \left(5 a^{3} + a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 13^{206} + \left(a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 13^{207} + \left(8 a^{3} + 2 a^{2} + a + 11\right)\cdot 13^{208} + \left(a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 13^{209} + \left(10 a^{3} + 6 a^{2} + a + 10\right)\cdot 13^{210} +O\left(13^{ 211 }\right)$
$r_{ 3 }$ $=$ $ 3 a^{3} + 4 a^{2} + a + 1 + \left(12 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 13 + \left(2 a^{3} + 8 a + 8\right)\cdot 13^{2} + \left(9 a^{3} + 4 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 13^{3} + \left(5 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 13^{4} + \left(9 a^{3} + 12 a + 10\right)\cdot 13^{5} + \left(4 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 13^{6} + \left(3 a^{3} + 3 a^{2} + a + 1\right)\cdot 13^{7} + \left(4 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 13^{8} + \left(11 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 13^{9} + \left(7 a^{3} + 10 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 13^{10} + \left(9 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 13^{11} + \left(9 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 13^{12} + \left(5 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{13} + \left(4 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 13^{14} + \left(6 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 13^{15} + \left(12 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 13^{16} + \left(3 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 13^{17} + \left(4 a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{18} + \left(a^{3} + a^{2} + 5 a\right)\cdot 13^{19} + \left(11 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{20} + \left(12 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 13^{21} + \left(9 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 13^{22} + \left(a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 13^{23} + \left(9 a^{3} + 10 a + 10\right)\cdot 13^{24} + \left(3 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a\right)\cdot 13^{25} + \left(5 a^{3} + 4 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 13^{26} + \left(11 a^{3} + a^{2} + 7\right)\cdot 13^{27} + \left(2 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 13^{28} + \left(8 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 13^{29} + \left(9 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{30} + \left(9 a^{2} + 2\right)\cdot 13^{31} + \left(2 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 13^{32} + \left(7 a^{3} + 2 a^{2} + 10\right)\cdot 13^{33} + \left(2 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{34} + \left(4 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 13^{35} + \left(6 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 13^{36} + \left(a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 13^{37} + \left(6 a^{3} + 5 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 13^{38} + \left(2 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 13^{39} + \left(12 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{40} + \left(11 a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 13^{41} + \left(5 a^{3} + a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 13^{42} + \left(11 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 13^{43} + \left(a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 13^{44} + \left(5 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 13^{45} + \left(5 a^{3} + 2 a + 4\right)\cdot 13^{46} + \left(12 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 13^{47} + \left(12 a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 13^{48} + \left(5 a^{3} + 6 a^{2} + 3 a\right)\cdot 13^{49} + \left(11 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 13^{50} + \left(7 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 13^{51} + \left(10 a^{3} + a^{2} + 3 a\right)\cdot 13^{52} + \left(12 a^{3} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{53} + \left(3 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 13^{54} + \left(a^{3} + 11 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 13^{55} + \left(12 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 13^{56} + \left(11 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{57} + \left(2 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 13^{58} + \left(12 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 13^{59} + \left(3 a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 13^{60} + \left(10 a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 13^{61} + \left(12 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 13^{62} + \left(11 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a\right)\cdot 13^{63} + \left(6 a^{3} + 9 a^{2} + 9 a\right)\cdot 13^{64} + \left(7 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 13^{65} + \left(5 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 13^{66} + \left(2 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 13^{67} + \left(9 a^{3} + 3 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 13^{68} + \left(11 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{69} + \left(7 a^{3} + 2 a + 2\right)\cdot 13^{70} + \left(11 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 13^{71} + \left(3 a^{3} + 9 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 13^{72} + \left(5 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 13^{73} + \left(a^{3} + 9 a^{2} + a + 1\right)\cdot 13^{74} + \left(2 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 13^{75} + \left(9 a^{3} + 9 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 13^{76} + \left(7 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 13^{77} + \left(a^{3} + a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 13^{78} + \left(9 a^{3} + 12 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{79} + \left(12 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 13^{80} + \left(4 a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 13^{81} + \left(9 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 13^{82} + \left(2 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 13^{83} + \left(9 a^{3} + a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 13^{84} + \left(7 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{85} + \left(8 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 13^{86} + \left(3 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{87} + \left(10 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a\right)\cdot 13^{88} + \left(11 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 13^{89} + \left(7 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 13^{90} + \left(11 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 13^{91} + \left(10 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 13^{92} + \left(4 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 13^{93} + \left(4 a^{3} + 4 a^{2} + 6\right)\cdot 13^{94} + \left(6 a^{3} + a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 13^{95} + \left(8 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 13^{96} + \left(12 a^{3} + 12 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 13^{97} + \left(8 a^{3} + 9 a\right)\cdot 13^{98} + \left(2 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{99} + \left(11 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{100} + \left(3 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 13^{101} + \left(6 a^{3} + a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{102} + \left(2 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 13^{103} + \left(11 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 13^{104} + \left(8 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{105} + \left(8 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{106} + \left(7 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 13^{107} + \left(5 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 13^{108} + \left(a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 13^{109} + \left(8 a^{3} + 10 a^{2} + a + 6\right)\cdot 13^{110} + \left(5 a^{3} + 12 a^{2} + 10\right)\cdot 13^{111} + \left(7 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 13^{112} + \left(10 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 13^{113} + \left(4 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 13^{114} + \left(9 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 13^{115} + \left(11 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 13^{116} + \left(12 a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{117} + \left(2 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 13^{118} + \left(11 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 13^{119} + \left(a^{3} + a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{120} + \left(11 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 13^{121} + \left(10 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 13^{122} + \left(3 a^{3} + a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 13^{123} + \left(7 a^{3} + 6 a^{2} + a + 8\right)\cdot 13^{124} + \left(8 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 13^{125} + \left(9 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 13^{126} + \left(a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{127} + \left(3 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 13^{128} + \left(2 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 13^{129} + \left(8 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 13^{130} + \left(7 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{131} + \left(6 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 13^{132} + \left(a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 13^{133} + \left(4 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a\right)\cdot 13^{134} + \left(7 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 13^{135} + \left(9 a^{3} + a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 13^{136} + \left(6 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 13^{137} + \left(5 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 13^{138} + \left(12 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{139} + \left(2 a^{3} + 3 a + 12\right)\cdot 13^{140} + \left(12 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 13^{141} + \left(2 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 13^{142} + \left(12 a^{3} + 12 a^{2} + 9\right)\cdot 13^{143} + \left(a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 13^{144} + \left(6 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 13^{145} + \left(9 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{146} + \left(8 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 13^{147} + \left(7 a^{3} + a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 13^{148} + \left(9 a^{3} + 4 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 13^{149} + \left(5 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 13^{150} + \left(8 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 13^{151} + \left(8 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a\right)\cdot 13^{152} + \left(7 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 13^{153} + \left(5 a^{3} + a^{2} + 12 a\right)\cdot 13^{154} + \left(3 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 13^{155} + \left(10 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 13^{156} + \left(3 a^{3} + 5 a^{2} + a + 1\right)\cdot 13^{157} + \left(10 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{158} + \left(4 a^{3} + 4 a + 6\right)\cdot 13^{159} + \left(7 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 13^{160} + \left(9 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 13^{161} + \left(7 a^{3} + 9 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 13^{162} + \left(5 a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 13^{163} + \left(3 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 13^{164} + \left(a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{165} + \left(12 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 13^{166} + \left(2 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 13^{167} + \left(a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 13^{168} + \left(8 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 13^{169} + \left(2 a^{3} + 4 a^{2} + 11\right)\cdot 13^{170} + \left(8 a^{3} + 6 a^{2} + a\right)\cdot 13^{171} + \left(7 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 13^{172} + \left(8 a^{3} + a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 13^{173} + \left(2 a^{3} + a + 1\right)\cdot 13^{174} + \left(10 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 13^{175} + \left(12 a^{3} + 3 a^{2} + a + 10\right)\cdot 13^{176} + \left(8 a^{3} + 12 a^{2} + a + 9\right)\cdot 13^{177} + \left(9 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 13^{178} + \left(2 a^{3} + 9 a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{179} + \left(7 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 13^{180} + \left(7 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 13^{181} + \left(3 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 13^{182} + \left(12 a^{3} + 8 a + 6\right)\cdot 13^{183} + \left(a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 13^{184} + \left(7 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 13^{185} + \left(7 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{186} + \left(10 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 13^{187} + \left(a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{188} + \left(5 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 13^{189} + \left(10 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 13^{190} + \left(4 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 13^{191} + \left(7 a^{3} + 2 a^{2} + a + 10\right)\cdot 13^{192} + \left(6 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 13^{193} + \left(12 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 13^{194} + \left(4 a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 13^{195} + \left(2 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{196} + \left(10 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 13^{197} + \left(7 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 13^{198} + \left(9 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 13^{199} + \left(6 a^{3} + 9 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 13^{200} + \left(10 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 13^{201} + \left(4 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 13^{202} + \left(12 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 13^{203} + \left(6 a^{3} + 12 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 13^{204} + \left(6 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 13^{205} + \left(10 a^{3} + 12 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 13^{206} + \left(10 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{207} + \left(a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{208} + \left(10 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 13^{209} + \left(5 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 13^{210} +O\left(13^{ 211 }\right)$
$r_{ 4 }$ $=$ $ 3 + 6\cdot 13^{2} + 3\cdot 13^{3} + 8\cdot 13^{4} + 9\cdot 13^{5} + 13^{8} + 9\cdot 13^{10} + 13^{11} + 12\cdot 13^{12} + 9\cdot 13^{13} + 8\cdot 13^{14} + 13^{15} + 9\cdot 13^{16} + 6\cdot 13^{17} + 8\cdot 13^{18} + 2\cdot 13^{19} + 9\cdot 13^{20} + 5\cdot 13^{21} + 7\cdot 13^{22} + 12\cdot 13^{23} + 4\cdot 13^{24} + 10\cdot 13^{25} + 7\cdot 13^{26} + 11\cdot 13^{27} + 9\cdot 13^{28} + 2\cdot 13^{29} + 2\cdot 13^{30} + 8\cdot 13^{31} + 4\cdot 13^{32} + 2\cdot 13^{33} + 2\cdot 13^{34} + 13^{35} + 9\cdot 13^{36} + 9\cdot 13^{37} + 13^{38} + 9\cdot 13^{40} + 6\cdot 13^{42} + 8\cdot 13^{43} + 5\cdot 13^{44} + 10\cdot 13^{45} + 9\cdot 13^{46} + 3\cdot 13^{47} + 3\cdot 13^{48} + 9\cdot 13^{51} + 7\cdot 13^{52} + 12\cdot 13^{53} + 11\cdot 13^{55} + 8\cdot 13^{57} + 9\cdot 13^{59} + 9\cdot 13^{60} + 5\cdot 13^{61} + 3\cdot 13^{62} + 4\cdot 13^{65} + 3\cdot 13^{66} + 12\cdot 13^{67} + 12\cdot 13^{68} + 4\cdot 13^{69} + 4\cdot 13^{70} + 13^{71} + 12\cdot 13^{73} + 5\cdot 13^{74} + 13^{75} + 11\cdot 13^{77} + 11\cdot 13^{78} + 6\cdot 13^{79} + 5\cdot 13^{80} + 10\cdot 13^{81} + 6\cdot 13^{82} + 3\cdot 13^{83} + 2\cdot 13^{84} + 10\cdot 13^{85} + 12\cdot 13^{86} + 13^{87} + 11\cdot 13^{88} + 3\cdot 13^{89} + 3\cdot 13^{90} + 10\cdot 13^{91} + 9\cdot 13^{92} + 6\cdot 13^{93} + 10\cdot 13^{94} + 2\cdot 13^{95} + 3\cdot 13^{96} + 6\cdot 13^{97} + 7\cdot 13^{98} + 5\cdot 13^{99} + 8\cdot 13^{100} + 7\cdot 13^{101} + 6\cdot 13^{102} + 3\cdot 13^{103} + 4\cdot 13^{104} + 10\cdot 13^{105} + 5\cdot 13^{107} + 4\cdot 13^{108} + 4\cdot 13^{109} + 7\cdot 13^{110} + 5\cdot 13^{111} + 7\cdot 13^{112} + 4\cdot 13^{113} + 5\cdot 13^{114} + 12\cdot 13^{115} + 4\cdot 13^{116} + 5\cdot 13^{117} + 11\cdot 13^{118} + 4\cdot 13^{119} + 6\cdot 13^{120} + 2\cdot 13^{121} + 12\cdot 13^{122} + 12\cdot 13^{124} + 9\cdot 13^{125} + 3\cdot 13^{126} + 4\cdot 13^{127} + 3\cdot 13^{128} + 3\cdot 13^{129} + 13^{130} + 3\cdot 13^{131} + 3\cdot 13^{132} + 3\cdot 13^{133} + 5\cdot 13^{134} + 13^{135} + 6\cdot 13^{136} + 7\cdot 13^{137} + 5\cdot 13^{138} + 9\cdot 13^{139} + 13^{140} + 6\cdot 13^{141} + 6\cdot 13^{142} + 8\cdot 13^{144} + 10\cdot 13^{145} + 4\cdot 13^{146} + 8\cdot 13^{147} + 4\cdot 13^{148} + 12\cdot 13^{149} + 7\cdot 13^{150} + 9\cdot 13^{151} + 11\cdot 13^{152} + 9\cdot 13^{153} + 3\cdot 13^{154} + 13^{155} + 11\cdot 13^{156} + 12\cdot 13^{157} + 5\cdot 13^{158} + 4\cdot 13^{159} + 11\cdot 13^{160} + 11\cdot 13^{161} + 10\cdot 13^{162} + 3\cdot 13^{164} + 9\cdot 13^{165} + 6\cdot 13^{166} + 10\cdot 13^{167} + 6\cdot 13^{168} + 9\cdot 13^{170} + 6\cdot 13^{171} + 11\cdot 13^{172} + 9\cdot 13^{173} + 11\cdot 13^{174} + 8\cdot 13^{175} + 11\cdot 13^{176} + 10\cdot 13^{177} + 2\cdot 13^{178} + 10\cdot 13^{180} + 3\cdot 13^{181} + 10\cdot 13^{182} + 10\cdot 13^{183} + 4\cdot 13^{184} + 3\cdot 13^{185} + 11\cdot 13^{186} + 6\cdot 13^{187} + 13^{188} + 7\cdot 13^{189} + 2\cdot 13^{190} + 2\cdot 13^{191} + 7\cdot 13^{192} + 5\cdot 13^{193} + 3\cdot 13^{194} + 7\cdot 13^{195} + 8\cdot 13^{196} + 5\cdot 13^{197} + 10\cdot 13^{198} + 10\cdot 13^{199} + 3\cdot 13^{200} + 9\cdot 13^{201} + 13^{202} + 11\cdot 13^{203} + 8\cdot 13^{204} + 9\cdot 13^{205} + 8\cdot 13^{206} + 13^{207} + 9\cdot 13^{208} + 12\cdot 13^{209} + 11\cdot 13^{210} +O\left(13^{ 211 }\right)$
$r_{ 5 }$ $=$ $ 4 a^{3} + a^{2} + 10 a + 4 + \left(12 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 13 + \left(12 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 13^{2} + \left(6 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 13^{3} + \left(4 a^{3} + 12 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 13^{4} + \left(8 a^{3} + 2 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 13^{5} + \left(5 a^{3} + a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 13^{6} + \left(9 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{7} + \left(4 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 13^{8} + \left(11 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{9} + \left(2 a^{3} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{10} + \left(6 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 13^{11} + \left(12 a^{3} + 8 a + 12\right)\cdot 13^{12} + \left(6 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a\right)\cdot 13^{13} + \left(3 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 13^{14} + \left(2 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 13^{15} + \left(a^{3} + 12 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 13^{16} + \left(7 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 13^{17} + \left(3 a^{3} + a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 13^{18} + \left(9 a^{3} + 9\right)\cdot 13^{19} + \left(7 a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 13^{20} + \left(10 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 13^{21} + \left(9 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 13^{22} + \left(3 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 13^{23} + \left(10 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{24} + \left(12 a^{3} + a^{2} + 8 a\right)\cdot 13^{25} + \left(7 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 13^{26} + \left(a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{27} + \left(4 a^{3} + 10 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 13^{28} + \left(3 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 13^{29} + \left(a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 13^{30} + \left(3 a^{3} + 12 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{31} + \left(8 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 13^{32} + \left(6 a^{3} + a^{2} + 3\right)\cdot 13^{33} + \left(a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 13^{34} + \left(10 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 13^{35} + \left(11 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 13^{36} + \left(6 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 13^{37} + \left(3 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 13^{38} + \left(12 a^{2} + 9\right)\cdot 13^{39} + \left(3 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 13^{40} + \left(a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 13^{41} + \left(4 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 13^{42} + \left(2 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 13^{43} + \left(a^{3} + 3 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{44} + \left(9 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 13^{45} + \left(12 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 13^{46} + \left(11 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a\right)\cdot 13^{47} + \left(4 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{48} + \left(6 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{49} + \left(3 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 13^{50} + \left(4 a^{2} + 2 a\right)\cdot 13^{51} + \left(5 a^{3} + 10 a^{2} + 11 a\right)\cdot 13^{52} + \left(2 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 13^{53} + \left(11 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{54} + \left(8 a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 13^{55} + \left(7 a^{3} + a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 13^{56} + \left(6 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 13^{57} + \left(6 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 13^{58} + \left(5 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 13^{59} + \left(2 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 13^{60} + \left(5 a^{3} + 6 a^{2} + a + 12\right)\cdot 13^{61} + \left(3 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a\right)\cdot 13^{62} + \left(9 a^{3} + a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 13^{63} + \left(8 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 13^{64} + \left(12 a^{3} + 3 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 13^{65} + \left(9 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 13^{66} + \left(3 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{67} + \left(3 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 13^{68} + \left(3 a^{3} + a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{69} + \left(5 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 13^{70} + \left(12 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 13^{71} + \left(10 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 13^{72} + \left(8 a^{3} + 3 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 13^{73} + \left(3 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{74} + \left(11 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 13^{75} + \left(5 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{76} + \left(a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 13^{77} + \left(8 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 13^{78} + \left(5 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 13^{79} + \left(a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{80} + \left(5 a^{3} + 4 a^{2} + a + 7\right)\cdot 13^{81} + \left(10 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{82} + \left(7 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{83} + \left(12 a^{3} + 11 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 13^{84} + \left(12 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{85} + \left(5 a^{3} + 2 a^{2} + 5\right)\cdot 13^{86} + \left(3 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 13^{87} + \left(9 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 13^{88} + \left(10 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 13^{89} + \left(5 a^{3} + 8 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 13^{90} + \left(5 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a\right)\cdot 13^{91} + \left(10 a^{3} + 9 a^{2} + 11\right)\cdot 13^{92} + \left(a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 13^{93} + \left(2 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 13^{94} + \left(8 a^{3} + 6 a + 8\right)\cdot 13^{95} + \left(a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 13^{96} + \left(9 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{97} + \left(a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 13^{98} + \left(10 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 13^{99} + \left(3 a + 11\right)\cdot 13^{100} + \left(11 a^{3} + 2 a^{2} + a + 6\right)\cdot 13^{101} + \left(11 a^{3} + 4 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 13^{102} + \left(7 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 13^{103} + \left(10 a^{3} + 4 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 13^{104} + \left(2 a^{3} + 8 a^{2} + 7\right)\cdot 13^{105} + \left(8 a^{3} + 11 a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{106} + \left(a^{3} + a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{107} + \left(12 a^{3} + 4 a^{2} + a + 7\right)\cdot 13^{108} + \left(2 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 13^{109} + \left(8 a^{3} + a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{110} + \left(7 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 13^{111} + \left(6 a^{3} + 6 a^{2} + a + 1\right)\cdot 13^{112} + \left(a^{3} + a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 13^{113} + \left(4 a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 13^{114} + \left(a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 13^{115} + \left(4 a^{3} + a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 13^{116} + \left(8 a^{3} + 7 a^{2} + a + 8\right)\cdot 13^{117} + \left(5 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a\right)\cdot 13^{118} + \left(12 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 13^{119} + \left(5 a^{3} + 8 a^{2} + 7\right)\cdot 13^{120} + \left(10 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 13^{121} + \left(4 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 13^{122} + \left(a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 13^{123} + \left(12 a^{3} + a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 13^{124} + \left(4 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{125} + \left(8 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 13^{126} + \left(7 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 13^{127} + \left(5 a^{3} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{128} + \left(3 a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 13^{129} + \left(5 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 13^{130} + \left(5 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 13^{131} + \left(3 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 13^{132} + \left(6 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a\right)\cdot 13^{133} + \left(3 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a\right)\cdot 13^{134} + \left(3 a^{2} + 6\right)\cdot 13^{135} + \left(4 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{136} + \left(11 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 13^{137} + \left(5 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 13^{138} + \left(8 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 13^{139} + \left(5 a^{3} + a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 13^{140} + \left(a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13^{141} + \left(7 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 13^{142} + \left(a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{143} + \left(6 a^{3} + 11 a^{2} + 8 a\right)\cdot 13^{144} + \left(8 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 13^{145} + \left(12 a^{3} + 9 a^{2} + a + 6\right)\cdot 13^{146} + \left(10 a^{3} + 12 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 13^{147} + \left(3 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 13^{148} + \left(10 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a\right)\cdot 13^{149} + \left(5 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 13^{150} + \left(a^{3} + 6 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 13^{151} + \left(a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{152} + \left(11 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 13^{153} + \left(2 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a\right)\cdot 13^{154} + \left(12 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 13^{155} + \left(3 a^{3} + 3 a + 6\right)\cdot 13^{156} + \left(9 a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{157} + \left(5 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 13^{158} + \left(6 a + 11\right)\cdot 13^{159} + \left(5 a^{3} + 9 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 13^{160} + \left(3 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 13^{161} + \left(4 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 13^{162} + \left(6 a^{3} + 12 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 13^{163} + \left(4 a^{3} + 8 a^{2} + 9\right)\cdot 13^{164} + \left(a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 13^{165} + \left(12 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{166} + \left(a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 13^{167} + \left(10 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 13^{168} + \left(2 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 13^{169} + \left(a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 13^{170} + \left(7 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{171} + \left(5 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 13^{172} + \left(4 a^{3} + a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 13^{173} + \left(3 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 13^{174} + \left(9 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{175} + \left(12 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 13^{176} + \left(12 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 13^{177} + \left(3 a^{3} + 9 a^{2} + 10\right)\cdot 13^{178} + \left(3 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{179} + \left(2 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 13^{180} + \left(6 a^{3} + 12 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 13^{181} + \left(3 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 13^{182} + \left(2 a^{3} + 4 a^{2}\right)\cdot 13^{183} + \left(8 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 13^{184} + \left(5 a^{3} + 4 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 13^{185} + \left(a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{186} + \left(8 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 13^{187} + \left(8 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a\right)\cdot 13^{188} + \left(3 a^{3} + 7 a^{2} + 7\right)\cdot 13^{189} + \left(11 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 13^{190} + \left(10 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 13^{191} + \left(5 a^{3} + 2 a\right)\cdot 13^{192} + \left(7 a^{3} + 2 a + 1\right)\cdot 13^{193} + \left(6 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 13^{194} + \left(2 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{195} + \left(11 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 13^{196} + \left(4 a^{3} + 10 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 13^{197} + \left(11 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a\right)\cdot 13^{198} + \left(12 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a\right)\cdot 13^{199} + \left(6 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 13^{200} + \left(a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 13^{201} + \left(3 a^{3} + 9 a + 5\right)\cdot 13^{202} + \left(10 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{203} + \left(3 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 13^{204} + \left(9 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 13^{205} + \left(3 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{206} + \left(5 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 13^{207} + \left(12 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 13^{208} + \left(9 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 13^{209} + \left(a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 13^{210} +O\left(13^{ 211 }\right)$
$r_{ 6 }$ $=$ $ 8 a^{3} + 11 a^{2} + 9 a + 1 + \left(12 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 13 + \left(a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 13^{2} + \left(11 a^{3} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{3} + \left(10 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{4} + \left(a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{5} + \left(9 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{6} + \left(11 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 13^{7} + \left(10 a^{3} + a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 13^{8} + \left(9 a^{3} + 10 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 13^{9} + \left(12 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 13^{10} + \left(2 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 13^{11} + \left(10 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{12} + \left(9 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a\right)\cdot 13^{13} + \left(9 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 13^{14} + \left(8 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 13^{15} + \left(6 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 13^{16} + \left(9 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{17} + \left(5 a^{3} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{18} + \left(11 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 13^{19} + \left(5 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{20} + \left(12 a^{3} + 5 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 13^{21} + \left(12 a^{3} + 8 a\right)\cdot 13^{22} + \left(12 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 13^{23} + \left(6 a^{3} + 12 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{24} + \left(3 a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 13^{25} + \left(10 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 13^{26} + \left(7 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 13^{27} + \left(10 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 13^{28} + \left(4 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 13^{29} + \left(5 a^{3} + 3 a^{2} + 9\right)\cdot 13^{30} + \left(9 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 13^{31} + \left(9 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 13^{32} + \left(8 a^{3} + 6 a^{2} + a + 9\right)\cdot 13^{33} + \left(7 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 13^{34} + \left(11 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 13^{35} + \left(5 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 13^{36} + \left(11 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{37} + \left(a^{3} + 2 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 13^{38} + \left(9 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 13^{39} + \left(3 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 13^{40} + \left(11 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{41} + \left(10 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 13^{42} + \left(a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 13^{43} + \left(2 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 13^{44} + \left(3 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 13^{45} + \left(12 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 13^{46} + \left(a^{3} + a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 13^{47} + \left(2 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 13^{48} + \left(12 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 13^{49} + \left(2 a^{3} + a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 13^{50} + \left(5 a^{3} + 8 a^{2} + 7\right)\cdot 13^{51} + \left(12 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{52} + \left(5 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{53} + \left(8 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 13^{54} + \left(2 a^{3} + a^{2} + a + 9\right)\cdot 13^{55} + \left(3 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 13^{56} + \left(4 a^{3} + 10 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 13^{57} + \left(10 a^{3} + 3 a^{2} + 10\right)\cdot 13^{58} + \left(4 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 13^{59} + \left(8 a^{3} + 12 a + 9\right)\cdot 13^{60} + \left(4 a^{3} + a^{2} + 12 a\right)\cdot 13^{61} + \left(12 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 13^{62} + \left(12 a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{63} + \left(5 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 13^{64} + \left(9 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 13^{65} + \left(10 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 13^{66} + \left(8 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{67} + \left(11 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 13^{68} + \left(2 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 13^{69} + \left(10 a^{3} + 3 a^{2} + 2\right)\cdot 13^{70} + \left(10 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{71} + \left(8 a^{3} + 10 a + 8\right)\cdot 13^{72} + \left(4 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{73} + \left(8 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 13^{74} + \left(7 a^{2} + a + 6\right)\cdot 13^{75} + \left(8 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 13^{76} + \left(2 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{77} + \left(12 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 13^{78} + \left(9 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 13^{79} + \left(2 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{80} + \left(11 a^{3} + a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{81} + \left(4 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{82} + \left(4 a^{3} + a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 13^{83} + \left(9 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{84} + \left(5 a^{3} + a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 13^{85} + \left(a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{86} + \left(5 a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 13^{87} + \left(6 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 13^{88} + \left(6 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{89} + \left(11 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 13^{90} + \left(a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 13^{91} + \left(10 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 13^{92} + \left(8 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 13^{93} + \left(4 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 13^{94} + \left(7 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 13^{95} + \left(a^{3} + 10 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 13^{96} + \left(2 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 13^{97} + \left(11 a^{3} + 4 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 13^{98} + \left(3 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 13^{99} + \left(7 a^{3} + 8 a + 2\right)\cdot 13^{100} + \left(9 a^{3} + 6 a + 9\right)\cdot 13^{101} + \left(3 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 13^{102} + \left(a^{3} + 2 a^{2} + a + 8\right)\cdot 13^{103} + \left(7 a^{3} + 2 a + 6\right)\cdot 13^{104} + \left(3 a^{3} + 8 a^{2} + 1\right)\cdot 13^{105} + \left(a + 7\right)\cdot 13^{106} + \left(12 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 13^{107} + \left(9 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{108} + \left(10 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 13^{109} + \left(a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 13^{110} + \left(9 a^{3} + 1\right)\cdot 13^{111} + \left(5 a^{3} + 6 a^{2} + 4\right)\cdot 13^{112} + \left(3 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 13^{113} + \left(10 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 13^{114} + \left(6 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 13^{115} + \left(5 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 13^{116} + \left(9 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 13^{117} + \left(4 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 13^{118} + \left(a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 13^{119} + \left(a^{3} + 7 a^{2} + 5\right)\cdot 13^{120} + \left(11 a^{3} + 3 a + 12\right)\cdot 13^{121} + \left(8 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{122} + \left(4 a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 13^{123} + \left(6 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 13^{124} + \left(3 a^{3} + a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 13^{125} + \left(7 a^{3} + 9 a^{2} + a + 2\right)\cdot 13^{126} + \left(7 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 13^{127} + \left(4 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 13^{128} + \left(2 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 13^{129} + \left(a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 13^{130} + \left(8 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 13^{131} + \left(7 a^{3} + 3 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 13^{132} + \left(7 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a\right)\cdot 13^{133} + \left(5 a^{3} + a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 13^{134} + \left(11 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 13^{135} + \left(10 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 13^{136} + \left(3 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 13^{137} + \left(5 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 13^{138} + \left(11 a^{3} + 11 a^{2} + 4\right)\cdot 13^{139} + \left(9 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 13^{140} + \left(2 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 13^{141} + \left(a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 13^{142} + \left(10 a^{3} + a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{143} + \left(3 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 13^{144} + \left(6 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 13^{145} + \left(4 a^{3} + a + 4\right)\cdot 13^{146} + \left(2 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 13^{147} + \left(6 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{148} + \left(6 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a\right)\cdot 13^{149} + \left(11 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 13^{150} + \left(3 a^{3} + 5 a^{2} + a + 12\right)\cdot 13^{151} + \left(12 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 13^{152} + \left(2 a^{3} + 8 a^{2} + a + 9\right)\cdot 13^{153} + \left(2 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 13^{154} + \left(11 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 13^{155} + \left(3 a^{3} + 8 a + 2\right)\cdot 13^{156} + \left(11 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 13^{157} + \left(a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{158} + \left(7 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 13^{159} + \left(5 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{160} + \left(a^{3} + 11 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 13^{161} + \left(8 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 13^{162} + \left(10 a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 13^{163} + \left(12 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{164} + \left(7 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 13^{165} + \left(5 a^{3} + a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{166} + \left(8 a^{3} + a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 13^{167} + \left(a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{168} + \left(11 a^{3} + 12 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{169} + \left(7 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 13^{170} + \left(5 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 13^{171} + \left(4 a^{3} + 4 a^{2} + a + 4\right)\cdot 13^{172} + \left(11 a^{3} + 8 a + 8\right)\cdot 13^{173} + \left(5 a^{3} + 9 a^{2} + 10\right)\cdot 13^{174} + \left(5 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 13^{175} + \left(8 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 13^{176} + \left(10 a^{3} + 8 a + 9\right)\cdot 13^{177} + \left(12 a^{3} + 3 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 13^{178} + \left(5 a^{3} + 12 a + 7\right)\cdot 13^{179} + \left(a^{3} + 4 a^{2} + 3 a\right)\cdot 13^{180} + \left(2 a^{3} + 10 a + 3\right)\cdot 13^{181} + \left(11 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{182} + \left(8 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 13^{183} + \left(8 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 13^{184} + \left(2 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 13^{185} + \left(9 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 13^{186} + \left(8 a^{3} + 11 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 13^{187} + \left(6 a^{3} + 2 a^{2} + 1\right)\cdot 13^{188} + \left(a^{3} + a^{2} + 12\right)\cdot 13^{189} + \left(11 a^{3} + 8 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{190} + \left(5 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 13^{191} + \left(a^{3} + 12 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 13^{192} + \left(4 a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{193} + \left(12 a^{3} + 12 a^{2} + 5\right)\cdot 13^{194} + \left(7 a^{3} + 4 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 13^{195} + \left(a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 13^{196} + \left(5 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 13^{197} + \left(12 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 13^{198} + \left(a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 13^{199} + \left(12 a^{3} + 4 a^{2} + a + 7\right)\cdot 13^{200} + \left(9 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 13^{201} + \left(5 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 13^{202} + \left(10 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 13^{203} + \left(4 a^{3} + a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 13^{204} + \left(10 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 13^{205} + \left(11 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{206} + \left(a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 13^{207} + \left(8 a^{3} + 6 a^{2} + 5\right)\cdot 13^{208} + \left(3 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 13^{209} + \left(7 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 13^{210} +O\left(13^{ 211 }\right)$
$r_{ 7 }$ $=$ $ 9 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 7 + \left(a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 13 + \left(3 a + 7\right)\cdot 13^{2} + \left(6 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 13^{3} + \left(8 a^{3} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{4} + \left(4 a^{3} + 10 a^{2} + 6\right)\cdot 13^{5} + \left(7 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{6} + \left(3 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 13^{7} + \left(8 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 13^{8} + \left(a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{9} + \left(10 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 13^{10} + \left(6 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{11} + \left(12 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 13^{12} + \left(6 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 13^{13} + \left(9 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{14} + \left(10 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{15} + \left(11 a^{3} + 4 a + 2\right)\cdot 13^{16} + \left(12 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{17} + \left(9 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 13^{18} + \left(3 a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 13^{19} + \left(5 a^{3} + 1\right)\cdot 13^{20} + \left(2 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 13^{21} + \left(3 a^{3} + 7 a^{2} + 1\right)\cdot 13^{22} + \left(12 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{23} + \left(2 a^{3} + a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{24} + \left(11 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 13^{25} + \left(5 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 13^{26} + \left(11 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 13^{27} + \left(8 a^{3} + 2 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{28} + \left(9 a^{3} + a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 13^{29} + \left(11 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 13^{30} + \left(9 a^{3} + 5 a\right)\cdot 13^{31} + \left(4 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 13^{32} + \left(6 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 13^{33} + \left(11 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{34} + \left(2 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 13^{35} + \left(12 a^{3} + a^{2} + a + 8\right)\cdot 13^{36} + \left(6 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{37} + \left(9 a^{3} + a^{2} + a + 5\right)\cdot 13^{38} + \left(12 a^{3} + 12 a + 5\right)\cdot 13^{39} + \left(9 a^{3} + a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 13^{40} + \left(11 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 13^{41} + \left(8 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{42} + \left(10 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 13^{43} + \left(11 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 13^{44} + \left(3 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{45} + \left(4 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 13^{46} + \left(a^{3} + 9 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 13^{47} + \left(8 a^{3} + a + 7\right)\cdot 13^{48} + \left(6 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 13^{49} + \left(9 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{50} + \left(12 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 13^{51} + \left(7 a^{3} + 2 a^{2} + a + 8\right)\cdot 13^{52} + \left(10 a^{3} + 7 a^{2} + 11\right)\cdot 13^{53} + \left(a^{3} + 8 a + 11\right)\cdot 13^{54} + \left(4 a^{3} + 3 a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{55} + \left(5 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 13^{56} + \left(6 a^{3} + a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 13^{57} + \left(6 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13^{58} + \left(7 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 13^{59} + \left(10 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 13^{60} + \left(7 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{61} + \left(9 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 13^{62} + \left(3 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 13^{63} + \left(12 a^{3} + 4 a^{2} + a + 1\right)\cdot 13^{64} + \left(9 a^{2} + a + 5\right)\cdot 13^{65} + \left(3 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 13^{66} + \left(9 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 13^{67} + \left(9 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{68} + \left(9 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 13^{69} + \left(7 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 13^{70} + \left(12 a^{3} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{71} + \left(12 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 13^{72} + \left(4 a^{3} + 9 a^{2} + a + 7\right)\cdot 13^{73} + \left(9 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 13^{74} + \left(a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 13^{75} + \left(7 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 13^{76} + \left(11 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 13^{77} + \left(4 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 13^{78} + \left(7 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 13^{79} + \left(11 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 13^{80} + \left(7 a^{3} + 8 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 13^{81} + \left(2 a^{3} + 3 a^{2} + 1\right)\cdot 13^{82} + \left(5 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{83} + \left(a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{84} + \left(6 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 13^{85} + \left(7 a^{3} + 10 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 13^{86} + \left(9 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 13^{87} + \left(3 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 13^{88} + \left(12 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 13^{89} + \left(7 a^{3} + 4 a^{2} + a + 6\right)\cdot 13^{90} + \left(7 a^{3} + 8 a + 8\right)\cdot 13^{91} + \left(2 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 13^{92} + \left(11 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 13^{93} + \left(10 a^{3} + a^{2} + 2 a\right)\cdot 13^{94} + \left(4 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 13^{95} + \left(11 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{96} + \left(3 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 13^{97} + \left(11 a^{3} + 9 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 13^{98} + \left(2 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{99} + \left(12 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 13^{100} + \left(a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 13^{101} + \left(a^{3} + 8 a^{2} + 10\right)\cdot 13^{102} + \left(5 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 13^{103} + \left(2 a^{3} + 8 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{104} + \left(10 a^{3} + 4 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 13^{105} + \left(4 a^{3} + a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 13^{106} + \left(11 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 13^{107} + \left(8 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{108} + \left(10 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a\right)\cdot 13^{109} + \left(4 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 13^{110} + \left(5 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 13^{111} + \left(6 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 13^{112} + \left(11 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 13^{113} + \left(8 a^{3} + 3 a^{2} + a + 5\right)\cdot 13^{114} + \left(11 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 13^{115} + \left(8 a^{3} + 11 a^{2} + a + 1\right)\cdot 13^{116} + \left(4 a^{3} + 5 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 13^{117} + \left(7 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a\right)\cdot 13^{118} + \left(7 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{119} + \left(7 a^{3} + 4 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 13^{120} + \left(2 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{121} + \left(12 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 13^{122} + \left(11 a^{3} + 3 a^{2} + a + 10\right)\cdot 13^{123} + \left(11 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{124} + \left(8 a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 13^{125} + \left(12 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{126} + \left(5 a^{3} + 3 a^{2} + 11\right)\cdot 13^{127} + \left(7 a^{3} + 12 a^{2} + 10\right)\cdot 13^{128} + \left(9 a^{3} + 9\right)\cdot 13^{129} + \left(7 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{130} + \left(7 a^{3} + 4 a^{2} + 3\right)\cdot 13^{131} + \left(9 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 13^{132} + \left(6 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 13^{133} + \left(9 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 13^{134} + \left(12 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 13^{135} + \left(8 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 13^{136} + \left(a^{3} + 8 a^{2} + a + 7\right)\cdot 13^{137} + \left(7 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 13^{138} + \left(4 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 13^{139} + \left(7 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 13^{140} + \left(11 a^{3} + 6 a + 9\right)\cdot 13^{141} + \left(5 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 13^{142} + \left(11 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 13^{143} + \left(6 a^{3} + a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{144} + \left(4 a^{3} + 6 a^{2} + a + 10\right)\cdot 13^{145} + \left(3 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 13^{146} + \left(2 a^{3} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{147} + \left(9 a^{3} + 9 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 13^{148} + \left(2 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 13^{149} + \left(7 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 13^{150} + \left(11 a^{3} + 6 a^{2} + a + 9\right)\cdot 13^{151} + \left(11 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 13^{152} + \left(a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 13^{153} + \left(10 a^{3} + 5 a^{2} + a + 4\right)\cdot 13^{154} + \left(4 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{155} + \left(9 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 13^{156} + \left(3 a^{3} + 2 a^{2} + a + 7\right)\cdot 13^{157} + \left(12 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 13^{158} + \left(12 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 13^{159} + \left(7 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 13^{160} + \left(9 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 13^{161} + \left(8 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 13^{162} + \left(6 a^{3} + 7 a + 9\right)\cdot 13^{163} + \left(8 a^{3} + 4 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 13^{164} + \left(11 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 13^{165} + \left(5 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{166} + \left(11 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 13^{167} + \left(2 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{168} + \left(10 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 13^{169} + \left(11 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 13^{170} + \left(5 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 13^{171} + \left(7 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 13^{172} + \left(8 a^{3} + 11 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 13^{173} + \left(9 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 13^{174} + \left(3 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 13^{175} + \left(7 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 13^{176} + \left(a^{2} + 1\right)\cdot 13^{177} + \left(9 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a\right)\cdot 13^{178} + \left(9 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{179} + \left(10 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 13^{180} + \left(6 a^{3} + 4 a + 6\right)\cdot 13^{181} + \left(9 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 13^{182} + \left(10 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 13^{183} + \left(4 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{184} + \left(7 a^{3} + 8 a^{2}\right)\cdot 13^{185} + \left(11 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{186} + \left(4 a^{3} + a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 13^{187} + \left(4 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{188} + \left(9 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 13^{189} + \left(a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 13^{190} + \left(2 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 13^{191} + \left(7 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{192} + \left(5 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{193} + \left(6 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13^{194} + \left(10 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 13^{195} + \left(a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{196} + \left(8 a^{3} + 2 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{197} + \left(a^{3} + 3 a + 3\right)\cdot 13^{198} + \left(6 a + 2\right)\cdot 13^{199} + \left(6 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{200} + \left(12 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{201} + \left(9 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 13^{202} + \left(2 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a\right)\cdot 13^{203} + \left(9 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{204} + \left(3 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 13^{205} + \left(9 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 13^{206} + \left(7 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 13^{207} + \left(4 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 13^{208} + \left(3 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 13^{209} + \left(12 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 13^{210} +O\left(13^{ 211 }\right)$
$r_{ 8 }$ $=$ $ 5 a^{3} + 7 a^{2} + 7 + \left(8 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 13 + \left(4 a^{3} + 10 a^{2} + a\right)\cdot 13^{2} + \left(5 a^{3} + 7 a^{2}\right)\cdot 13^{3} + \left(3 a^{3} + 7 a + 4\right)\cdot 13^{4} + \left(10 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 13^{5} + \left(5 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{6} + \left(12 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a\right)\cdot 13^{7} + \left(6 a^{3} + 9 a^{2} + 10\right)\cdot 13^{8} + \left(6 a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{9} + \left(11 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 13^{10} + \left(6 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 13^{11} + \left(2 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 13^{12} + \left(10 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13^{13} + \left(4 a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 13^{14} + \left(a^{2} + 4\right)\cdot 13^{15} + \left(4 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 13^{16} + \left(11 a^{3} + 6 a + 2\right)\cdot 13^{17} + \left(10 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 13^{18} + \left(8 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{19} + \left(7 a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 13^{20} + \left(a^{3} + 7 a^{2} + 4 a\right)\cdot 13^{21} + \left(a^{3} + 6 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 13^{22} + \left(12 a^{3} + 4 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{23} + \left(7 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 13^{24} + \left(10 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 13^{25} + \left(4 a^{3} + 5 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 13^{26} + \left(3 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 13^{27} + \left(a^{3} + 8 a^{2} + 9 a\right)\cdot 13^{28} + \left(11 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 13^{29} + \left(4 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 13^{30} + \left(7 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 13^{31} + \left(6 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{32} + \left(6 a^{3} + a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{33} + \left(8 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 13^{34} + \left(7 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 13^{35} + \left(11 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{36} + \left(3 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{37} + \left(12 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 13^{38} + \left(2 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{39} + \left(11 a^{3} + 11 a + 8\right)\cdot 13^{40} + \left(5 a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 13^{41} + \left(11 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a\right)\cdot 13^{42} + \left(9 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 13^{43} + \left(2 a^{3} + 5 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{44} + \left(3 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a\right)\cdot 13^{45} + \left(7 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 13^{46} + \left(11 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 13^{47} + \left(2 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 13^{48} + \left(9 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{49} + \left(5 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 13^{50} + \left(a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 13^{51} + \left(11 a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 13^{52} + \left(10 a^{3} + 11 a + 7\right)\cdot 13^{53} + \left(10 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 13^{54} + \left(2 a^{3} + a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 13^{55} + \left(11 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 13^{56} + \left(2 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{57} + \left(8 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{58} + \left(6 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 13^{59} + \left(7 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 13^{60} + \left(4 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 13^{61} + \left(4 a^{3} + 5 a + 5\right)\cdot 13^{62} + \left(a^{3} + 3 a^{2} + a + 6\right)\cdot 13^{63} + \left(4 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 13^{64} + \left(a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 13^{65} + \left(7 a^{3} + 10 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 13^{66} + \left(7 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{67} + \left(9 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{68} + \left(12 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 13^{69} + \left(2 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 13^{70} + \left(a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 13^{71} + \left(8 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 13^{72} + \left(9 a^{2} + a + 7\right)\cdot 13^{73} + \left(12 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 13^{74} + \left(12 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 13^{75} + \left(11 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 13^{76} + \left(12 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 13^{77} + \left(6 a^{3} + 8 a^{2} + a + 9\right)\cdot 13^{78} + \left(5 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{79} + \left(10 a^{3} + a + 9\right)\cdot 13^{80} + \left(4 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 13^{81} + \left(7 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 13^{82} + \left(11 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 13^{83} + \left(2 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13^{84} + \left(7 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 13^{85} + \left(8 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 13^{86} + \left(7 a^{3} + 11 a + 9\right)\cdot 13^{87} + \left(3 a^{3} + a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 13^{88} + \left(11 a^{3} + 10 a^{2} + a + 11\right)\cdot 13^{89} + \left(9 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 13^{90} + \left(6 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 13^{91} + \left(10 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 13^{92} + \left(2 a^{3} + 6 a^{2} + a + 11\right)\cdot 13^{93} + \left(5 a^{3} + 12 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 13^{94} + \left(9 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 13^{95} + \left(5 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a\right)\cdot 13^{96} + \left(7 a^{3} + a^{2} + a + 6\right)\cdot 13^{97} + \left(10 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 13^{98} + \left(6 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 13^{99} + \left(5 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 13^{100} + \left(9 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{101} + \left(2 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 13^{102} + \left(5 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a\right)\cdot 13^{103} + \left(12 a^{3} + 4 a^{2} + a + 9\right)\cdot 13^{104} + \left(12 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 13^{105} + \left(9 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 13^{106} + \left(10 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a\right)\cdot 13^{107} + \left(5 a^{3} + a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 13^{108} + \left(4 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 13^{109} + \left(4 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 13^{110} + \left(6 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 13^{111} + \left(3 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 13^{112} + \left(10 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 13^{113} + \left(2 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{114} + \left(8 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 13^{115} + \left(12 a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 13^{116} + \left(4 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 13^{117} + \left(5 a^{3} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{118} + \left(a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{119} + \left(10 a^{3} + 7 a + 4\right)\cdot 13^{120} + \left(4 a^{3} + 3 a^{2} + a + 11\right)\cdot 13^{121} + \left(10 a^{3} + 4 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 13^{122} + \left(11 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 13^{123} + \left(9 a^{3} + 3 a^{2} + 4\right)\cdot 13^{124} + \left(6 a^{3} + 11 a + 9\right)\cdot 13^{125} + \left(5 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 13^{126} + \left(4 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{127} + \left(a^{3} + 5 a + 7\right)\cdot 13^{128} + \left(11 a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 13^{129} + \left(5 a^{3} + 7 a^{2} + a + 1\right)\cdot 13^{130} + \left(3 a^{3} + 4 a + 11\right)\cdot 13^{131} + \left(7 a^{3} + 11 a^{2} + a + 4\right)\cdot 13^{132} + \left(6 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 13^{133} + \left(9 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 13^{134} + \left(12 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 13^{135} + \left(10 a^{3} + 9 a^{2} + 6\right)\cdot 13^{136} + \left(8 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a\right)\cdot 13^{137} + \left(3 a^{3} + 10 a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{138} + \left(6 a^{3} + 3 a + 7\right)\cdot 13^{139} + \left(a^{3} + 12 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{140} + \left(6 a^{3} + a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 13^{141} + \left(6 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{142} + \left(10 a^{2} + a + 11\right)\cdot 13^{143} + \left(2 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 13^{144} + \left(7 a^{2} + 4\right)\cdot 13^{145} + \left(12 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 13^{146} + \left(8 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 13^{147} + \left(12 a^{3} + 12 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{148} + \left(9 a^{2} + 12 a\right)\cdot 13^{149} + \left(8 a^{3} + 7 a + 1\right)\cdot 13^{150} + \left(3 a^{3} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{151} + \left(4 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 13^{152} + \left(8 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 13^{153} + \left(6 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 13^{154} + \left(5 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 13^{155} + \left(3 a^{3} + 7 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{156} + \left(10 a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 13^{157} + \left(7 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 13^{158} + \left(10 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 13^{159} + \left(7 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{160} + \left(3 a^{2} + 5\right)\cdot 13^{161} + \left(a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 13^{162} + \left(6 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 13^{163} + \left(2 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 13^{164} + \left(9 a^{3} + a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 13^{165} + \left(4 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 13^{166} + \left(3 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 13^{167} + \left(8 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 13^{168} + \left(3 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 13^{169} + \left(9 a^{3} + 2 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 13^{170} + \left(a^{3} + 4 a^{2} + a + 11\right)\cdot 13^{171} + \left(12 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 13^{172} + \left(4 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 13^{173} + \left(8 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{174} + \left(11 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 13^{175} + \left(5 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 13^{176} + \left(11 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a\right)\cdot 13^{177} + \left(4 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 13^{178} + \left(4 a^{3} + 4 a^{2} + a + 6\right)\cdot 13^{179} + \left(11 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a\right)\cdot 13^{180} + \left(2 a^{3} + 12 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 13^{181} + \left(3 a^{3} + 10 a^{2} + a + 12\right)\cdot 13^{182} + \left(12 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 13^{183} + \left(2 a^{3} + 3 a + 12\right)\cdot 13^{184} + \left(9 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{185} + \left(12 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 13^{186} + \left(3 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{187} + \left(2 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 13^{188} + \left(11 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{189} + \left(11 a^{3} + 8 a + 6\right)\cdot 13^{190} + \left(9 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 13^{191} + \left(5 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{192} + \left(11 a^{3} + a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 13^{193} + \left(11 a^{3} + 2 a^{2} + 11\right)\cdot 13^{194} + \left(a^{3} + a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 13^{195} + \left(12 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 13^{196} + \left(4 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 13^{197} + \left(9 a^{3} + a^{2} + a + 5\right)\cdot 13^{198} + \left(8 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 13^{199} + \left(11 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 13^{200} + \left(2 a^{3} + 3 a + 11\right)\cdot 13^{201} + \left(6 a^{3} + a^{2} + 7\right)\cdot 13^{202} + \left(8 a^{3} + 12 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{203} + \left(3 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 13^{204} + \left(10 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 13^{205} + \left(2 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 13^{206} + \left(3 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 13^{207} + \left(a^{3} + 12 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 13^{208} + \left(11 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{209} + \left(9 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 13^{210} +O\left(13^{ 211 }\right)$
$r_{ 9 }$ $=$ $ 11 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 7 + \left(9 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13 + \left(8 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 13^{2} + \left(7 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 13^{3} + \left(2 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 13^{4} + \left(10 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 13^{5} + \left(a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{6} + \left(11 a^{3} + 6 a^{2} + a + 7\right)\cdot 13^{7} + \left(8 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{8} + \left(10 a^{3} + 2 a^{2} + 6\right)\cdot 13^{9} + \left(9 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 13^{10} + \left(10 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 13^{11} + \left(12 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 13^{12} + \left(2 a^{2} + 1\right)\cdot 13^{13} + \left(8 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 13^{14} + \left(6 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 13^{15} + \left(3 a^{3} + a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 13^{16} + \left(2 a^{3} + 5 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 13^{17} + \left(5 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 13^{18} + \left(5 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 13^{19} + \left(12 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{20} + \left(2 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 13^{21} + \left(a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 13^{22} + \left(11 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{23} + \left(9 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 13^{24} + \left(5 a^{3} + 4 a^{2} + 2\right)\cdot 13^{25} + \left(10 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{26} + \left(2 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 13^{27} + \left(9 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 13^{28} + \left(4 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 13^{29} + \left(4 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 13^{30} + \left(6 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13^{31} + \left(7 a^{3} + 10 a^{2}\right)\cdot 13^{32} + \left(4 a^{3} + 11 a^{2} + a + 6\right)\cdot 13^{33} + \left(10 a^{3} + 12 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 13^{34} + \left(3 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 13^{35} + \left(9 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 13^{36} + \left(12 a^{3} + 9 a^{2} + 2\right)\cdot 13^{37} + \left(3 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 13^{38} + \left(12 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a\right)\cdot 13^{39} + \left(7 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{40} + \left(a^{3} + 4 a^{2} + 7 a\right)\cdot 13^{41} + \left(7 a^{3} + 3 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 13^{42} + \left(11 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 13^{43} + \left(5 a^{3} + 4 a + 4\right)\cdot 13^{44} + \left(5 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 13^{45} + \left(12 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 13^{46} + \left(10 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a\right)\cdot 13^{47} + \left(5 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{48} + \left(2 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{49} + \left(6 a^{3} + 10 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 13^{50} + \left(8 a^{3} + 8 a^{2} + 5\right)\cdot 13^{51} + \left(10 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 13^{52} + \left(9 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{53} + \left(10 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 13^{54} + \left(10 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{55} + \left(4 a^{3} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{56} + \left(8 a^{3} + 7 a^{2}\right)\cdot 13^{57} + \left(12 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 13^{58} + \left(10 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 13^{59} + \left(4 a^{3} + a^{2} + 6\right)\cdot 13^{60} + \left(7 a^{3} + a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 13^{61} + \left(2 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{62} + \left(11 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 13^{63} + \left(10 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{64} + \left(5 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 13^{65} + \left(6 a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 13^{66} + \left(11 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 13^{67} + \left(7 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 13^{68} + \left(a^{3} + 12 a + 7\right)\cdot 13^{69} + \left(11 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{70} + \left(7 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a\right)\cdot 13^{71} + \left(11 a^{3} + 9 a^{2} + 8\right)\cdot 13^{72} + \left(6 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 13^{73} + \left(10 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 13^{74} + \left(3 a^{3} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{75} + \left(2 a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 13^{76} + \left(4 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 13^{77} + \left(7 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 13^{78} + \left(8 a^{3} + 12 a^{2} + 5 a\right)\cdot 13^{79} + \left(10 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 13^{80} + \left(10 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 13^{81} + \left(4 a^{2} + 4 a\right)\cdot 13^{82} + \left(8 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 13^{83} + \left(4 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 13^{84} + \left(5 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{85} + \left(7 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{86} + \left(3 a^{3} + 12 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 13^{87} + \left(8 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 13^{88} + \left(12 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a\right)\cdot 13^{89} + \left(4 a^{3} + a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 13^{90} + \left(10 a^{3} + a^{2} + 12\right)\cdot 13^{91} + \left(12 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13^{92} + \left(6 a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 13^{93} + \left(5 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 13^{94} + \left(2 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 13^{95} + \left(8 a^{3} + a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 13^{96} + \left(8 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{97} + \left(a + 5\right)\cdot 13^{98} + \left(8 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 13^{99} + \left(2 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 13^{100} + \left(10 a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 13^{101} + \left(6 a^{3} + 12 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{102} + \left(7 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 13^{103} + \left(8 a^{3} + 7\right)\cdot 13^{104} + \left(a^{3} + a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{105} + \left(6 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{106} + \left(5 a^{3} + 4 a^{2} + a + 11\right)\cdot 13^{107} + \left(10 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 13^{108} + \left(4 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 13^{109} + \left(5 a^{3} + 9 a^{2} + a + 5\right)\cdot 13^{110} + \left(9 a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 13^{111} + \left(5 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a\right)\cdot 13^{112} + \left(11 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 13^{113} + \left(6 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 13^{114} + \left(3 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 13^{115} + \left(11 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 13^{116} + \left(4 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{117} + \left(2 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 13^{118} + \left(a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 13^{119} + \left(4 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 13^{120} + \left(3 a + 6\right)\cdot 13^{121} + \left(5 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 13^{122} + \left(3 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 13^{123} + \left(5 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{124} + \left(5 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 13^{125} + \left(2 a^{3} + 4 a^{2} + a + 4\right)\cdot 13^{126} + \left(8 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 13^{127} + \left(a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 13^{128} + \left(6 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 13^{129} + \left(3 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{130} + \left(12 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 13^{131} + \left(11 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 13^{132} + \left(11 a^{3} + a^{2} + a + 5\right)\cdot 13^{133} + \left(2 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 13^{134} + \left(7 a^{3} + 8 a^{2} + 1\right)\cdot 13^{135} + \left(6 a^{3} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{136} + \left(6 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{137} + \left(5 a^{3} + 6 a^{2} + 6\right)\cdot 13^{138} + \left(9 a^{3} + a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 13^{139} + \left(9 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 13^{140} + \left(4 a^{3} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{141} + \left(4 a^{3} + a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 13^{142} + \left(3 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 13^{143} + \left(12 a^{3} + 11 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 13^{144} + \left(6 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 13^{145} + \left(2 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 13^{146} + \left(11 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{147} + \left(4 a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 13^{148} + \left(6 a^{3} + 5 a^{2} + a + 4\right)\cdot 13^{149} + \left(a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 13^{150} + \left(7 a^{3} + 12 a^{2} + a + 6\right)\cdot 13^{151} + \left(4 a^{3} + a + 8\right)\cdot 13^{152} + \left(11 a^{3} + a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 13^{153} + \left(7 a^{3} + 9 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 13^{154} + \left(6 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 13^{155} + \left(8 a^{3} + a^{2}\right)\cdot 13^{156} + \left(9 a^{3} + a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 13^{157} + \left(7 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{158} + \left(7 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{159} + \left(7 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 13^{160} + \left(11 a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 13^{161} + \left(2 a^{3} + a^{2} + 6\right)\cdot 13^{162} + \left(2 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 13^{163} + \left(3 a^{3} + 12 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 13^{164} + \left(8 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 13^{165} + \left(2 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 13^{166} + \left(3 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 13^{167} + \left(a^{3} + 2 a^{2} + 4\right)\cdot 13^{168} + \left(5 a^{3} + 11 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 13^{169} + \left(6 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 13^{170} + \left(12 a^{3} + a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 13^{171} + \left(2 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{172} + \left(5 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 13^{173} + \left(9 a^{3} + 12 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 13^{174} + \left(2 a^{3} + a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{175} + \left(9 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a\right)\cdot 13^{176} + \left(12 a^{3} + 9 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 13^{177} + \left(4 a^{3} + a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 13^{178} + \left(5 a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 13^{179} + \left(5 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{180} + \left(12 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{181} + \left(8 a^{3} + 2\right)\cdot 13^{182} + \left(11 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 13^{183} + \left(6 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a\right)\cdot 13^{184} + \left(7 a^{3} + 12 a^{2} + 12 a\right)\cdot 13^{185} + \left(7 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 13^{186} + \left(a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 13^{187} + \left(12 a^{3} + 7 a^{2} + a + 11\right)\cdot 13^{188} + \left(a^{3} + 7 a^{2} + a + 5\right)\cdot 13^{189} + \left(5 a^{3} + 12 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 13^{190} + \left(10 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 13^{191} + \left(6 a^{3} + 9 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 13^{192} + \left(5 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 13^{193} + \left(12 a^{3} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{194} + \left(6 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 13^{195} + \left(8 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 13^{196} + \left(7 a^{3} + 12 a^{2} + 4\right)\cdot 13^{197} + \left(9 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 13^{198} + \left(6 a^{3} + 8 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 13^{199} + \left(12 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{200} + \left(6 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a\right)\cdot 13^{201} + \left(7 a^{3} + 4 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{202} + \left(3 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 13^{203} + \left(4 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 13^{204} + \left(a^{3} + 2 a^{2} + 6\right)\cdot 13^{205} + \left(6 a^{3} + 10 a^{2} + a + 5\right)\cdot 13^{206} + \left(6 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a\right)\cdot 13^{207} + \left(8 a^{3} + 4 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{208} + \left(10 a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{209} + \left(11 a^{3} + 8 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{210} +O\left(13^{ 211 }\right)$

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 9 }$

Cycle notation
$(1,2,5)(3,7,6)(4,8,9)$
$(1,3,4)$
$(5,6,9)$
$(2,7,8)$
$(1,5)(3,6)(4,9)$
$(5,6)$

Character values on conjugacy classes

SizeOrderAction on $r_1, \ldots, r_{ 9 }$ Character value
$1$$1$$()$$8$
$9$$2$$(5,6)$$0$
$18$$2$$(1,5)(3,6)(4,9)$$4$
$27$$2$$(1,3)(2,7)(5,6)$$0$
$27$$2$$(1,3)(5,6)$$0$
$54$$2$$(1,2)(3,7)(4,8)(5,6)$$0$
$6$$3$$(2,7,8)$$-4$
$8$$3$$(1,3,4)(2,7,8)(5,6,9)$$-1$
$12$$3$$(1,3,4)(2,7,8)$$2$
$72$$3$$(1,2,5)(3,7,6)(4,8,9)$$2$
$54$$4$$(1,5,3,6)(4,9)$$0$
$162$$4$$(2,5,7,6)(3,4)(8,9)$$0$
$36$$6$$(1,5)(2,7,8)(3,6)(4,9)$$-2$
$36$$6$$(2,6,7,9,8,5)$$-2$
$36$$6$$(2,7,8)(5,6)$$0$
$36$$6$$(1,3,4)(2,7,8)(5,6)$$0$
$54$$6$$(1,3)(2,8,7)(5,6)$$0$
$72$$6$$(1,6,3,9,4,5)(2,7,8)$$1$
$108$$6$$(1,2,3,7,4,8)(5,6)$$0$
$216$$6$$(1,2,5,3,7,6)(4,8,9)$$0$
$144$$9$$(1,2,6,3,7,9,4,8,5)$$-1$
$108$$12$$(1,5,3,6)(2,7,8)(4,9)$$0$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.