Properties

Label 8.2e10_1229e2.12t213.1c1
Dimension 8
Group $S_3\wr S_3$
Conductor $ 2^{10} \cdot 1229^{2}$
Root number 1
Frobenius-Schur indicator 1

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Basic invariants

Dimension:$8$
Group:$S_3\wr S_3$
Conductor:$1546691584= 2^{10} \cdot 1229^{2} $
Artin number field: Splitting field of $f= x^{9} - 2 x^{8} - x^{7} - x^{6} + 19 x^{5} - 41 x^{4} + 50 x^{3} - 35 x^{2} + 4 x + 8 $ over $\Q$
Size of Galois orbit: 1
Smallest containing permutation representation: 12T213
Parity: Even
Determinant: 1.1.1t1.1c1

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 89 }$ to precision 129.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 89 }$: $ x^{3} + 3 x + 86 $
Roots:
$r_{ 1 }$ $=$ $ 12 a^{2} + 20 a + 68 + \left(11 a^{2} + 42 a\right)\cdot 89 + \left(71 a^{2} + 46 a + 7\right)\cdot 89^{2} + \left(14 a^{2} + 66 a + 5\right)\cdot 89^{3} + \left(60 a^{2} + 21 a + 77\right)\cdot 89^{4} + \left(24 a^{2} + 64 a + 38\right)\cdot 89^{5} + \left(5 a^{2} + 42 a + 74\right)\cdot 89^{6} + \left(7 a^{2} + 60 a + 28\right)\cdot 89^{7} + \left(82 a^{2} + 46 a + 20\right)\cdot 89^{8} + \left(49 a^{2} + 17 a\right)\cdot 89^{9} + \left(62 a^{2} + 10 a + 13\right)\cdot 89^{10} + \left(67 a^{2} + 68 a + 31\right)\cdot 89^{11} + \left(82 a^{2} + 59 a + 51\right)\cdot 89^{12} + \left(39 a^{2} + 10 a + 72\right)\cdot 89^{13} + \left(34 a^{2} + 73 a + 20\right)\cdot 89^{14} + \left(68 a^{2} + 5 a + 42\right)\cdot 89^{15} + \left(81 a^{2} + 49 a + 4\right)\cdot 89^{16} + \left(78 a^{2} + 54 a + 77\right)\cdot 89^{17} + \left(83 a^{2} + 26 a + 81\right)\cdot 89^{18} + \left(37 a^{2} + 87 a + 29\right)\cdot 89^{19} + \left(22 a^{2} + 27 a + 66\right)\cdot 89^{20} + \left(66 a^{2} + 34 a + 12\right)\cdot 89^{21} + \left(77 a^{2} + 19 a + 12\right)\cdot 89^{22} + \left(19 a^{2} + 50 a + 31\right)\cdot 89^{23} + \left(34 a^{2} + 27 a + 30\right)\cdot 89^{24} + \left(18 a^{2} + 66 a + 68\right)\cdot 89^{25} + \left(33 a^{2} + 73 a + 74\right)\cdot 89^{26} + \left(31 a^{2} + 35 a + 54\right)\cdot 89^{27} + \left(19 a^{2} + 85 a + 87\right)\cdot 89^{28} + \left(25 a^{2} + 56 a + 39\right)\cdot 89^{29} + \left(73 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 89^{30} + \left(50 a^{2} + 40 a + 22\right)\cdot 89^{31} + \left(53 a^{2} + 5 a + 85\right)\cdot 89^{32} + \left(2 a^{2} + 7 a + 34\right)\cdot 89^{33} + \left(62 a^{2} + 5 a + 74\right)\cdot 89^{34} + \left(31 a^{2} + 46 a + 51\right)\cdot 89^{35} + \left(38 a^{2} + 5 a + 20\right)\cdot 89^{36} + \left(14 a^{2} + 21 a + 1\right)\cdot 89^{37} + \left(35 a^{2} + 2 a + 23\right)\cdot 89^{38} + \left(64 a^{2} + 75 a + 25\right)\cdot 89^{39} + \left(57 a^{2} + 9 a + 56\right)\cdot 89^{40} + \left(9 a^{2} + 87 a + 8\right)\cdot 89^{41} + \left(77 a^{2} + 24 a + 36\right)\cdot 89^{42} + \left(36 a^{2} + 3 a + 56\right)\cdot 89^{43} + \left(58 a^{2} + 45 a + 59\right)\cdot 89^{44} + \left(28 a^{2} + 30 a + 14\right)\cdot 89^{45} + \left(23 a^{2} + 66 a + 21\right)\cdot 89^{46} + \left(74 a^{2} + 67 a + 63\right)\cdot 89^{47} + \left(47 a^{2} + 37 a + 49\right)\cdot 89^{48} + \left(69 a^{2} + 7 a + 85\right)\cdot 89^{49} + \left(3 a^{2} + 77 a + 23\right)\cdot 89^{50} + \left(51 a^{2} + 29 a + 38\right)\cdot 89^{51} + \left(77 a^{2} + 6 a + 32\right)\cdot 89^{52} + \left(22 a^{2} + 81 a + 38\right)\cdot 89^{53} + \left(82 a^{2} + 16 a + 58\right)\cdot 89^{54} + \left(85 a^{2} + 11 a + 74\right)\cdot 89^{55} + \left(64 a + 80\right)\cdot 89^{56} + \left(63 a^{2} + 16 a + 17\right)\cdot 89^{57} + \left(22 a^{2} + 16 a + 37\right)\cdot 89^{58} + \left(66 a^{2} + 8 a + 35\right)\cdot 89^{59} + \left(73 a^{2} + 66 a + 72\right)\cdot 89^{60} + \left(36 a^{2} + 35 a + 46\right)\cdot 89^{61} + \left(55 a^{2} + 24 a + 39\right)\cdot 89^{62} + \left(82 a^{2} + 13 a + 2\right)\cdot 89^{63} + \left(86 a^{2} + 51 a + 63\right)\cdot 89^{64} + \left(4 a^{2} + 45 a + 20\right)\cdot 89^{65} + \left(24 a^{2} + 59 a + 1\right)\cdot 89^{66} + \left(74 a^{2} + 21 a + 14\right)\cdot 89^{67} + \left(87 a^{2} + 70 a + 52\right)\cdot 89^{68} + \left(55 a^{2} + 71 a + 19\right)\cdot 89^{69} + \left(3 a^{2} + 5 a + 33\right)\cdot 89^{70} + \left(3 a^{2} + 54 a + 54\right)\cdot 89^{71} + \left(52 a^{2} + 12 a + 19\right)\cdot 89^{72} + \left(81 a^{2} + 38 a + 9\right)\cdot 89^{73} + \left(5 a^{2} + 13 a + 44\right)\cdot 89^{74} + \left(11 a^{2} + 68 a + 85\right)\cdot 89^{75} + \left(40 a^{2} + 74 a + 21\right)\cdot 89^{76} + \left(47 a^{2} + 85 a + 47\right)\cdot 89^{77} + \left(39 a^{2} + 53 a + 68\right)\cdot 89^{78} + \left(50 a^{2} + 21 a + 23\right)\cdot 89^{79} + \left(65 a^{2} + 43 a + 53\right)\cdot 89^{80} + \left(42 a^{2} + 38 a + 74\right)\cdot 89^{81} + \left(14 a^{2} + 6 a + 63\right)\cdot 89^{82} + \left(52 a^{2} + 71 a + 40\right)\cdot 89^{83} + \left(68 a^{2} + 66 a + 72\right)\cdot 89^{84} + \left(47 a^{2} + 46 a + 23\right)\cdot 89^{85} + \left(54 a^{2} + 48 a + 44\right)\cdot 89^{86} + \left(59 a^{2} + 41 a\right)\cdot 89^{87} + \left(14 a^{2} + 5 a + 22\right)\cdot 89^{88} + \left(60 a^{2} + 37 a + 29\right)\cdot 89^{89} + \left(12 a^{2} + 86 a + 42\right)\cdot 89^{90} + \left(48 a^{2} + 22 a + 38\right)\cdot 89^{91} + \left(72 a^{2} + 29 a + 43\right)\cdot 89^{92} + \left(57 a^{2} + 16 a + 29\right)\cdot 89^{93} + \left(62 a^{2} + 42 a + 15\right)\cdot 89^{94} + \left(83 a^{2} + 41 a + 50\right)\cdot 89^{95} + \left(52 a^{2} + 54 a + 4\right)\cdot 89^{96} + \left(23 a^{2} + 23 a + 58\right)\cdot 89^{97} + \left(10 a^{2} + 23 a + 22\right)\cdot 89^{98} + \left(54 a^{2} + 59 a + 9\right)\cdot 89^{99} + \left(34 a^{2} + 30 a + 24\right)\cdot 89^{100} + \left(35 a^{2} + 63 a + 79\right)\cdot 89^{101} + \left(46 a^{2} + 63 a + 55\right)\cdot 89^{102} + \left(42 a^{2} + 81 a + 10\right)\cdot 89^{103} + \left(54 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 89^{104} + \left(60 a^{2} + 68 a + 34\right)\cdot 89^{105} + \left(66 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 89^{106} + \left(87 a^{2} + 50 a + 13\right)\cdot 89^{107} + \left(70 a^{2} + 7 a + 45\right)\cdot 89^{108} + \left(88 a^{2} + 79 a + 1\right)\cdot 89^{109} + \left(57 a^{2} + 56 a + 29\right)\cdot 89^{110} + \left(74 a^{2} + 82 a + 58\right)\cdot 89^{111} + \left(7 a^{2} + 5 a + 55\right)\cdot 89^{112} + \left(12 a^{2} + 40 a + 85\right)\cdot 89^{113} + \left(40 a^{2} + 67 a + 68\right)\cdot 89^{114} + 80 a^{2}89^{115} + \left(60 a^{2} + 68\right)\cdot 89^{116} + \left(14 a^{2} + 85 a + 56\right)\cdot 89^{117} + \left(49 a^{2} + 33 a\right)\cdot 89^{118} + \left(87 a^{2} + 34 a + 37\right)\cdot 89^{119} + \left(5 a^{2} + 59 a + 11\right)\cdot 89^{120} + \left(22 a^{2} + 17 a + 61\right)\cdot 89^{121} + \left(47 a^{2} + 57 a + 86\right)\cdot 89^{122} + \left(26 a^{2} + 53 a + 64\right)\cdot 89^{123} + \left(8 a^{2} + 20 a + 80\right)\cdot 89^{124} + \left(50 a^{2} + 71 a + 5\right)\cdot 89^{125} + \left(37 a^{2} + 81 a + 5\right)\cdot 89^{126} + \left(29 a^{2} + 9 a + 62\right)\cdot 89^{127} + \left(3 a^{2} + 59 a + 35\right)\cdot 89^{128} +O\left(89^{ 129 }\right)$
$r_{ 2 }$ $=$ $ 68 a^{2} + 31 a + 2 + \left(13 a^{2} + 82 a + 6\right)\cdot 89 + \left(39 a^{2} + 57 a + 32\right)\cdot 89^{2} + \left(47 a^{2} + 29 a + 70\right)\cdot 89^{3} + \left(3 a^{2} + 45 a + 52\right)\cdot 89^{4} + \left(50 a^{2} + 64 a\right)\cdot 89^{5} + \left(21 a^{2} + 15 a + 18\right)\cdot 89^{6} + \left(72 a^{2} + 46 a + 70\right)\cdot 89^{7} + \left(74 a^{2} + 71 a + 5\right)\cdot 89^{8} + \left(62 a^{2} + 60 a + 26\right)\cdot 89^{9} + \left(32 a^{2} + 51 a + 42\right)\cdot 89^{10} + \left(23 a^{2} + 87 a + 31\right)\cdot 89^{11} + \left(31 a^{2} + 51 a + 37\right)\cdot 89^{12} + \left(19 a^{2} + 76 a + 31\right)\cdot 89^{13} + \left(57 a^{2} + 74 a + 66\right)\cdot 89^{14} + \left(81 a^{2} + 10 a + 68\right)\cdot 89^{15} + \left(11 a^{2} + 27 a + 42\right)\cdot 89^{16} + \left(39 a^{2} + 72 a + 86\right)\cdot 89^{17} + \left(72 a^{2} + 73 a + 58\right)\cdot 89^{18} + \left(50 a^{2} + 26 a + 55\right)\cdot 89^{19} + \left(59 a^{2} + 83 a + 51\right)\cdot 89^{20} + \left(75 a^{2} + 70 a + 31\right)\cdot 89^{21} + \left(23 a^{2} + 77 a + 82\right)\cdot 89^{22} + \left(84 a^{2} + 60 a + 70\right)\cdot 89^{23} + \left(71 a^{2} + 11 a + 16\right)\cdot 89^{24} + \left(80 a^{2} + 47 a + 15\right)\cdot 89^{25} + \left(83 a^{2} + 47 a + 87\right)\cdot 89^{26} + \left(43 a^{2} + 33 a + 79\right)\cdot 89^{27} + \left(63 a^{2} + 48 a + 86\right)\cdot 89^{28} + \left(6 a^{2} + 54 a + 2\right)\cdot 89^{29} + \left(15 a^{2} + 35 a + 72\right)\cdot 89^{30} + \left(81 a^{2} + 76 a + 82\right)\cdot 89^{31} + \left(21 a^{2} + 81 a + 21\right)\cdot 89^{32} + \left(62 a^{2} + 25 a + 65\right)\cdot 89^{33} + \left(59 a^{2} + 63 a + 69\right)\cdot 89^{34} + \left(82 a^{2} + 23 a + 64\right)\cdot 89^{35} + \left(73 a^{2} + 18 a + 2\right)\cdot 89^{36} + \left(14 a^{2} + 83 a + 2\right)\cdot 89^{37} + \left(48 a^{2} + 25 a + 49\right)\cdot 89^{38} + \left(52 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 89^{39} + \left(80 a^{2} + 56 a + 13\right)\cdot 89^{40} + \left(a^{2} + 23 a + 82\right)\cdot 89^{41} + \left(88 a^{2} + 83 a + 57\right)\cdot 89^{42} + \left(24 a^{2} + 60 a + 32\right)\cdot 89^{43} + \left(27 a^{2} + 59 a + 86\right)\cdot 89^{44} + \left(20 a^{2} + 87 a + 86\right)\cdot 89^{45} + \left(10 a^{2} + 36 a + 83\right)\cdot 89^{46} + \left(27 a^{2} + 36 a + 57\right)\cdot 89^{47} + \left(52 a^{2} + 42 a + 58\right)\cdot 89^{48} + \left(46 a^{2} + 72 a + 39\right)\cdot 89^{49} + \left(43 a^{2} + 18 a + 14\right)\cdot 89^{50} + \left(11 a^{2} + 41 a + 48\right)\cdot 89^{51} + \left(71 a^{2} + 32 a + 19\right)\cdot 89^{52} + \left(21 a^{2} + 34 a + 36\right)\cdot 89^{53} + \left(10 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 89^{54} + \left(17 a^{2} + 87 a + 26\right)\cdot 89^{55} + \left(30 a^{2} + 37 a + 50\right)\cdot 89^{56} + \left(20 a^{2} + 15 a + 21\right)\cdot 89^{57} + \left(14 a^{2} + 84 a + 20\right)\cdot 89^{58} + \left(72 a^{2} + 9 a + 47\right)\cdot 89^{59} + \left(30 a^{2} + 48 a + 75\right)\cdot 89^{60} + \left(10 a^{2} + 17 a + 82\right)\cdot 89^{61} + \left(28 a^{2} + 51 a + 73\right)\cdot 89^{62} + \left(75 a^{2} + 64 a + 76\right)\cdot 89^{63} + \left(56 a^{2} + 27 a + 2\right)\cdot 89^{64} + \left(64 a^{2} + 45 a + 51\right)\cdot 89^{65} + \left(59 a^{2} + 71 a + 72\right)\cdot 89^{66} + \left(88 a^{2} + 36 a + 42\right)\cdot 89^{67} + \left(32 a^{2} + 14 a + 31\right)\cdot 89^{68} + \left(40 a^{2} + 29 a + 77\right)\cdot 89^{69} + \left(81 a^{2} + 62 a + 10\right)\cdot 89^{70} + \left(12 a^{2} + 76 a + 74\right)\cdot 89^{71} + \left(67 a^{2} + 59 a + 49\right)\cdot 89^{72} + \left(72 a^{2} + 47 a + 80\right)\cdot 89^{73} + \left(76 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 89^{74} + \left(4 a^{2} + 28 a + 73\right)\cdot 89^{75} + \left(23 a^{2} + 14 a + 76\right)\cdot 89^{76} + \left(86 a^{2} + 76 a + 35\right)\cdot 89^{77} + \left(78 a^{2} + 9 a + 58\right)\cdot 89^{78} + \left(78 a^{2} + 44 a + 80\right)\cdot 89^{79} + \left(60 a^{2} + 56 a + 43\right)\cdot 89^{80} + \left(24 a^{2} + 45 a + 38\right)\cdot 89^{81} + \left(7 a^{2} + 20 a + 49\right)\cdot 89^{82} + \left(69 a^{2} + 76 a + 74\right)\cdot 89^{83} + \left(84 a^{2} + 67 a + 15\right)\cdot 89^{84} + \left(59 a^{2} + 14 a + 48\right)\cdot 89^{85} + \left(14 a^{2} + 27 a + 53\right)\cdot 89^{86} + \left(25 a^{2} + 82 a + 20\right)\cdot 89^{87} + \left(42 a^{2} + 29 a + 77\right)\cdot 89^{88} + \left(71 a^{2} + 28 a + 51\right)\cdot 89^{89} + \left(80 a^{2} + 45 a\right)\cdot 89^{90} + \left(31 a^{2} + 60 a + 6\right)\cdot 89^{91} + \left(34 a^{2} + 79 a + 56\right)\cdot 89^{92} + \left(12 a^{2} + 84 a + 27\right)\cdot 89^{93} + \left(75 a^{2} + 17 a + 40\right)\cdot 89^{94} + \left(68 a^{2} + 28 a + 20\right)\cdot 89^{95} + \left(48 a^{2} + 18 a + 85\right)\cdot 89^{96} + \left(63 a^{2} + 26 a + 48\right)\cdot 89^{97} + \left(81 a^{2} + 9 a + 76\right)\cdot 89^{98} + \left(13 a^{2} + 82 a + 17\right)\cdot 89^{99} + \left(30 a^{2} + 52 a + 15\right)\cdot 89^{100} + \left(43 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 89^{101} + \left(32 a^{2} + 28\right)\cdot 89^{102} + \left(74 a^{2} + 13 a + 74\right)\cdot 89^{103} + \left(40 a^{2} + 82 a + 67\right)\cdot 89^{104} + \left(13 a^{2} + 8 a + 28\right)\cdot 89^{105} + \left(70 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 89^{106} + \left(55 a^{2} + 38 a + 38\right)\cdot 89^{107} + \left(18 a^{2} + 30 a + 29\right)\cdot 89^{108} + \left(42 a^{2} + 73 a + 86\right)\cdot 89^{109} + \left(16 a^{2} + 16 a + 34\right)\cdot 89^{110} + \left(31 a^{2} + 61 a + 60\right)\cdot 89^{111} + \left(67 a^{2} + 83 a + 85\right)\cdot 89^{112} + \left(45 a^{2} + 8 a + 63\right)\cdot 89^{113} + \left(56 a^{2} + 78 a + 12\right)\cdot 89^{114} + \left(59 a^{2} + 16 a + 48\right)\cdot 89^{115} + \left(88 a^{2} + 34\right)\cdot 89^{116} + \left(45 a^{2} + 15 a + 30\right)\cdot 89^{117} + \left(82 a^{2} + 61 a + 67\right)\cdot 89^{118} + \left(30 a^{2} + 76 a + 12\right)\cdot 89^{119} + \left(3 a^{2} + 80 a + 6\right)\cdot 89^{120} + \left(23 a^{2} + 8 a + 63\right)\cdot 89^{121} + \left(40 a^{2} + 33 a + 72\right)\cdot 89^{122} + \left(27 a^{2} + a + 66\right)\cdot 89^{123} + \left(31 a^{2} + 70 a + 37\right)\cdot 89^{124} + \left(24 a^{2} + 85 a + 43\right)\cdot 89^{125} + \left(17 a^{2} + 51 a + 53\right)\cdot 89^{126} + \left(22 a^{2} + 27 a + 47\right)\cdot 89^{127} + \left(10 a^{2} + 56 a + 49\right)\cdot 89^{128} +O\left(89^{ 129 }\right)$
$r_{ 3 }$ $=$ $ 23 a^{2} + 29 a + 8 + \left(56 a^{2} + 6 a + 61\right)\cdot 89 + \left(64 a^{2} + 5 a + 59\right)\cdot 89^{2} + \left(78 a^{2} + 79 a + 70\right)\cdot 89^{3} + \left(83 a + 28\right)\cdot 89^{4} + \left(5 a^{2} + 22 a + 84\right)\cdot 89^{5} + \left(69 a^{2} + 31 a + 62\right)\cdot 89^{6} + \left(52 a^{2} + 38 a + 57\right)\cdot 89^{7} + \left(12 a^{2} + 41 a + 19\right)\cdot 89^{8} + \left(50 a^{2} + 26 a + 42\right)\cdot 89^{9} + \left(19 a^{2} + 71 a + 20\right)\cdot 89^{10} + \left(33 a^{2} + 38 a + 56\right)\cdot 89^{11} + \left(80 a^{2} + 51 a + 86\right)\cdot 89^{12} + \left(10 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 89^{13} + \left(46 a^{2} + 65 a + 53\right)\cdot 89^{14} + \left(85 a^{2} + 78 a + 20\right)\cdot 89^{15} + \left(13 a^{2} + 62 a + 9\right)\cdot 89^{16} + \left(37 a^{2} + 28 a + 86\right)\cdot 89^{17} + \left(69 a^{2} + 75 a + 63\right)\cdot 89^{18} + \left(64 a^{2} + 24 a + 9\right)\cdot 89^{19} + \left(75 a^{2} + 6 a + 66\right)\cdot 89^{20} + \left(51 a^{2} + 72 a + 30\right)\cdot 89^{21} + \left(55 a^{2} + 19 a + 71\right)\cdot 89^{22} + \left(25 a^{2} + 3 a + 37\right)\cdot 89^{23} + \left(13 a^{2} + 32 a + 31\right)\cdot 89^{24} + \left(24 a^{2} + 67 a + 79\right)\cdot 89^{25} + \left(83 a^{2} + 52 a + 34\right)\cdot 89^{26} + \left(54 a^{2} + 47 a + 43\right)\cdot 89^{27} + \left(30 a^{2} + 75 a + 46\right)\cdot 89^{28} + \left(42 a^{2} + 12 a + 58\right)\cdot 89^{29} + \left(51 a^{2} + 19 a + 81\right)\cdot 89^{30} + \left(2 a^{2} + 47 a + 58\right)\cdot 89^{31} + \left(73 a^{2} + 64 a + 35\right)\cdot 89^{32} + \left(67 a^{2} + 20 a + 84\right)\cdot 89^{33} + \left(67 a^{2} + 70 a + 23\right)\cdot 89^{34} + \left(42 a^{2} + 41 a + 38\right)\cdot 89^{35} + \left(14 a^{2} + 57 a + 41\right)\cdot 89^{36} + \left(17 a^{2} + 61 a + 72\right)\cdot 89^{37} + \left(47 a^{2} + 14 a + 42\right)\cdot 89^{38} + \left(10 a^{2} + 6 a + 42\right)\cdot 89^{39} + \left(70 a^{2} + 16 a + 55\right)\cdot 89^{40} + \left(15 a^{2} + 31 a + 62\right)\cdot 89^{41} + \left(67 a^{2} + 32 a + 33\right)\cdot 89^{42} + \left(15 a^{2} + 33 a + 15\right)\cdot 89^{43} + \left(38 a^{2} + 45 a + 13\right)\cdot 89^{44} + \left(60 a^{2} + 39 a + 36\right)\cdot 89^{45} + \left(42 a^{2} + 50 a + 50\right)\cdot 89^{46} + \left(15 a^{2} + 6 a + 28\right)\cdot 89^{47} + \left(67 a^{2} + 79 a + 6\right)\cdot 89^{48} + \left(4 a^{2} + 36 a + 26\right)\cdot 89^{49} + \left(18 a^{2} + 29 a + 61\right)\cdot 89^{50} + \left(6 a^{2} + 68 a + 17\right)\cdot 89^{51} + \left(9 a^{2} + 53 a + 40\right)\cdot 89^{52} + \left(13 a^{2} + 17 a + 68\right)\cdot 89^{53} + \left(77 a^{2} + 58 a + 12\right)\cdot 89^{54} + \left(35 a^{2} + 67 a + 5\right)\cdot 89^{55} + \left(80 a^{2} + 42 a + 59\right)\cdot 89^{56} + \left(29 a^{2} + 40 a + 34\right)\cdot 89^{57} + \left(52 a^{2} + 7 a + 66\right)\cdot 89^{58} + \left(24 a^{2} + 19 a + 17\right)\cdot 89^{59} + \left(47 a^{2} + 2 a + 74\right)\cdot 89^{60} + \left(12 a^{2} + 31 a + 43\right)\cdot 89^{61} + \left(84 a^{2} + 41 a + 76\right)\cdot 89^{62} + \left(62 a^{2} + 57 a + 38\right)\cdot 89^{63} + \left(22 a^{2} + 37 a + 73\right)\cdot 89^{64} + \left(87 a^{2} + 82 a + 38\right)\cdot 89^{65} + \left(13 a^{2} + 16 a + 5\right)\cdot 89^{66} + \left(85 a^{2} + 64 a + 46\right)\cdot 89^{67} + \left(85 a^{2} + 28 a + 58\right)\cdot 89^{68} + \left(24 a^{2} + 32 a + 30\right)\cdot 89^{69} + \left(8 a^{2} + 33 a + 70\right)\cdot 89^{70} + \left(44 a^{2} + 82 a + 44\right)\cdot 89^{71} + \left(72 a^{2} + 14 a + 10\right)\cdot 89^{72} + \left(12 a^{2} + 42 a + 77\right)\cdot 89^{73} + \left(17 a^{2} + 39 a + 17\right)\cdot 89^{74} + \left(9 a^{2} + 77 a + 58\right)\cdot 89^{75} + \left(9 a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 89^{76} + \left(44 a^{2} + a + 13\right)\cdot 89^{77} + \left(83 a^{2} + 32 a + 58\right)\cdot 89^{78} + \left(a^{2} + 45 a + 9\right)\cdot 89^{79} + \left(17 a^{2} + 60 a + 15\right)\cdot 89^{80} + \left(54 a^{2} + 42 a + 54\right)\cdot 89^{81} + \left(69 a^{2} + 84 a + 85\right)\cdot 89^{82} + \left(66 a^{2} + 48 a + 70\right)\cdot 89^{83} + \left(9 a^{2} + 33 a + 14\right)\cdot 89^{84} + \left(17 a^{2} + 88 a + 64\right)\cdot 89^{85} + \left(54 a^{2} + 16 a + 78\right)\cdot 89^{86} + \left(a^{2} + 45 a + 83\right)\cdot 89^{87} + \left(48 a^{2} + 68 a + 5\right)\cdot 89^{88} + \left(7 a^{2} + 75 a + 20\right)\cdot 89^{89} + \left(71 a^{2} + 62 a + 10\right)\cdot 89^{90} + \left(56 a^{2} + 20 a + 25\right)\cdot 89^{91} + \left(51 a + 34\right)\cdot 89^{92} + \left(21 a^{2} + 71 a + 33\right)\cdot 89^{93} + \left(58 a^{2} + 52 a + 52\right)\cdot 89^{94} + \left(20 a^{2} + 82 a + 17\right)\cdot 89^{95} + \left(42 a^{2} + 42 a + 64\right)\cdot 89^{96} + \left(79 a^{2} + 52 a + 81\right)\cdot 89^{97} + \left(49 a^{2} + 6 a + 79\right)\cdot 89^{98} + \left(79 a^{2} + 83 a + 28\right)\cdot 89^{99} + \left(45 a^{2} + 2 a + 35\right)\cdot 89^{100} + \left(87 a^{2} + a + 47\right)\cdot 89^{101} + \left(83 a^{2} + 16 a + 4\right)\cdot 89^{102} + \left(a^{2} + 16 a + 12\right)\cdot 89^{103} + \left(88 a^{2} + 74 a + 58\right)\cdot 89^{104} + \left(12 a^{2} + 77 a + 48\right)\cdot 89^{105} + \left(37 a^{2} + 88 a + 64\right)\cdot 89^{106} + \left(82 a^{2} + 13 a + 64\right)\cdot 89^{107} + \left(68 a^{2} + 67 a + 25\right)\cdot 89^{108} + \left(49 a^{2} + 57 a + 59\right)\cdot 89^{109} + \left(87 a^{2} + 42 a + 88\right)\cdot 89^{110} + \left(81 a^{2} + 11 a + 68\right)\cdot 89^{111} + \left(80 a^{2} + 59 a + 18\right)\cdot 89^{112} + \left(27 a^{2} + 73 a + 23\right)\cdot 89^{113} + \left(41 a^{2} + 68 a + 6\right)\cdot 89^{114} + \left(75 a^{2} + 87 a + 69\right)\cdot 89^{115} + \left(a^{2} + 76 a + 45\right)\cdot 89^{116} + \left(85 a^{2} + 57 a + 27\right)\cdot 89^{117} + \left(59 a^{2} + 10 a + 63\right)\cdot 89^{118} + \left(73 a^{2} + 20 a + 12\right)\cdot 89^{119} + \left(39 a^{2} + 33 a + 77\right)\cdot 89^{120} + \left(10 a^{2} + 27 a + 56\right)\cdot 89^{121} + \left(44 a^{2} + 73 a + 32\right)\cdot 89^{122} + \left(60 a^{2} + 48 a + 8\right)\cdot 89^{123} + \left(60 a^{2} + 32 a + 61\right)\cdot 89^{124} + \left(10 a^{2} + 35 a + 18\right)\cdot 89^{125} + \left(69 a^{2} + 38 a + 4\right)\cdot 89^{126} + \left(17 a^{2} + 24 a + 17\right)\cdot 89^{127} + \left(51 a^{2} + 64 a + 21\right)\cdot 89^{128} +O\left(89^{ 129 }\right)$
$r_{ 4 }$ $=$ $ 38 a^{2} + 62 a + 41 + \left(60 a^{2} + 35 a + 45\right)\cdot 89 + \left(78 a^{2} + 70 a + 65\right)\cdot 89^{2} + \left(39 a^{2} + 45 a + 42\right)\cdot 89^{3} + \left(39 a^{2} + 29 a + 65\right)\cdot 89^{4} + \left(20 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 89^{5} + \left(26 a^{2} + 80 a + 34\right)\cdot 89^{6} + \left(54 a^{2} + 9 a + 82\right)\cdot 89^{7} + \left(10 a^{2} + 40 a + 51\right)\cdot 89^{8} + \left(75 a^{2} + 61 a + 70\right)\cdot 89^{9} + \left(64 a^{2} + 75 a + 52\right)\cdot 89^{10} + \left(48 a^{2} + 46 a + 63\right)\cdot 89^{11} + \left(53 a^{2} + 21 a + 87\right)\cdot 89^{12} + \left(13 a^{2} + 73\right)\cdot 89^{13} + \left(20 a^{2} + 37 a + 8\right)\cdot 89^{14} + \left(79 a^{2} + 2 a + 77\right)\cdot 89^{15} + \left(87 a^{2} + 50 a + 56\right)\cdot 89^{16} + \left(49 a^{2} + 39 a + 20\right)\cdot 89^{17} + \left(23 a^{2} + 4 a\right)\cdot 89^{18} + \left(42 a^{2} + 76 a + 13\right)\cdot 89^{19} + \left(76 a^{2} + 60 a + 9\right)\cdot 89^{20} + \left(57 a^{2} + 88 a + 71\right)\cdot 89^{21} + \left(66 a^{2} + 85 a + 19\right)\cdot 89^{22} + \left(77 a^{2} + 41 a + 29\right)\cdot 89^{23} + \left(73 a^{2} + 11 a + 62\right)\cdot 89^{24} + \left(15 a^{2} + 83 a + 87\right)\cdot 89^{25} + \left(32 a^{2} + 56 a + 68\right)\cdot 89^{26} + \left(26 a^{2} + 48 a + 67\right)\cdot 89^{27} + \left(65 a^{2} + 41 a + 66\right)\cdot 89^{28} + \left(2 a^{2} + 82 a + 71\right)\cdot 89^{29} + \left(8 a^{2} + 17 a + 54\right)\cdot 89^{30} + \left(87 a^{2} + 24 a + 51\right)\cdot 89^{31} + \left(21 a^{2} + 65 a + 57\right)\cdot 89^{32} + \left(26 a^{2} + 5 a + 14\right)\cdot 89^{33} + \left(85 a^{2} + 31 a + 35\right)\cdot 89^{34} + \left(4 a^{2} + 80 a + 9\right)\cdot 89^{35} + \left(79 a^{2} + 88 a + 83\right)\cdot 89^{36} + \left(25 a^{2} + 9 a + 70\right)\cdot 89^{37} + \left(38 a^{2} + a + 56\right)\cdot 89^{38} + \left(15 a^{2} + 5 a + 53\right)\cdot 89^{39} + \left(27 a^{2} + 60 a + 79\right)\cdot 89^{40} + \left(4 a^{2} + 9 a + 17\right)\cdot 89^{41} + \left(16 a^{2} + 77 a + 43\right)\cdot 89^{42} + \left(49 a^{2} + 31 a + 72\right)\cdot 89^{43} + \left(68 a^{2} + 80 a + 49\right)\cdot 89^{44} + \left(65 a^{2} + 59 a + 21\right)\cdot 89^{45} + \left(7 a^{2} + 9 a + 46\right)\cdot 89^{46} + \left(65 a^{2} + 53 a + 69\right)\cdot 89^{47} + \left(2 a^{2} + 35 a + 60\right)\cdot 89^{48} + \left(29 a^{2} + 67 a + 35\right)\cdot 89^{49} + \left(27 a^{2} + 12 a + 72\right)\cdot 89^{50} + \left(15 a^{2} + 55 a + 29\right)\cdot 89^{51} + \left(53 a^{2} + 46 a + 88\right)\cdot 89^{52} + \left(60 a^{2} + 46 a + 26\right)\cdot 89^{53} + \left(47 a^{2} + 84 a + 46\right)\cdot 89^{54} + \left(16 a^{2} + 81 a + 48\right)\cdot 89^{55} + \left(52 a^{2} + 71 a + 8\right)\cdot 89^{56} + \left(7 a^{2} + 88 a\right)\cdot 89^{57} + \left(26 a^{2} + 40 a + 69\right)\cdot 89^{58} + \left(68 a^{2} + 9 a + 27\right)\cdot 89^{59} + \left(72 a^{2} + 43 a + 33\right)\cdot 89^{60} + \left(88 a^{2} + 16 a + 37\right)\cdot 89^{61} + \left(76 a^{2} + 23 a + 20\right)\cdot 89^{62} + \left(48 a^{2} + 48 a + 21\right)\cdot 89^{63} + \left(14 a^{2} + 66 a + 82\right)\cdot 89^{64} + \left(44 a^{2} + 42 a + 64\right)\cdot 89^{65} + \left(27 a^{2} + 87 a + 5\right)\cdot 89^{66} + \left(54 a^{2} + 31 a + 41\right)\cdot 89^{67} + \left(22 a^{2} + 71 a + 74\right)\cdot 89^{68} + \left(52 a^{2} + 67 a + 67\right)\cdot 89^{69} + \left(66 a^{2} + 12 a + 23\right)\cdot 89^{70} + \left(61 a^{2} + 81 a + 59\right)\cdot 89^{71} + \left(62 a^{2} + 20 a + 47\right)\cdot 89^{72} + \left(6 a^{2} + 80 a + 56\right)\cdot 89^{73} + \left(75 a^{2} + 45 a + 15\right)\cdot 89^{74} + \left(59 a^{2} + 36 a + 46\right)\cdot 89^{75} + \left(33 a^{2} + 80 a + 22\right)\cdot 89^{76} + \left(58 a^{2} + 30 a + 2\right)\cdot 89^{77} + \left(43 a^{2} + 23 a + 88\right)\cdot 89^{78} + \left(23 a^{2} + 18 a + 58\right)\cdot 89^{79} + \left(72 a^{2} + 80 a + 33\right)\cdot 89^{80} + \left(36 a^{2} + 52 a + 79\right)\cdot 89^{81} + \left(17 a^{2} + 77 a + 23\right)\cdot 89^{82} + \left(52 a^{2} + 24 a + 82\right)\cdot 89^{83} + \left(19 a^{2} + 18 a + 78\right)\cdot 89^{84} + \left(75 a^{2} + 63 a + 43\right)\cdot 89^{85} + \left(38 a^{2} + 21 a + 53\right)\cdot 89^{86} + \left(47 a^{2} + 86 a + 73\right)\cdot 89^{87} + \left(29 a^{2} + 23 a + 37\right)\cdot 89^{88} + \left(35 a^{2} + 20 a + 8\right)\cdot 89^{89} + \left(5 a^{2} + 15 a + 7\right)\cdot 89^{90} + \left(73 a^{2} + 56 a + 55\right)\cdot 89^{91} + \left(18 a^{2} + 79 a + 76\right)\cdot 89^{92} + \left(88 a^{2} + 65 a + 33\right)\cdot 89^{93} + \left(4 a^{2} + 25 a + 65\right)\cdot 89^{94} + \left(44 a^{2} + 29 a + 80\right)\cdot 89^{95} + \left(66 a^{2} + 74 a + 46\right)\cdot 89^{96} + \left(82 a^{2} + 51 a + 83\right)\cdot 89^{97} + \left(24 a^{2} + 46 a + 37\right)\cdot 89^{98} + \left(3 a^{2} + 30 a + 87\right)\cdot 89^{99} + \left(55 a^{2} + 17 a + 3\right)\cdot 89^{100} + \left(88 a^{2} + 63 a + 59\right)\cdot 89^{101} + \left(17 a^{2} + 54 a + 28\right)\cdot 89^{102} + \left(39 a^{2} + 69 a + 85\right)\cdot 89^{103} + \left(14 a^{2} + 9 a + 41\right)\cdot 89^{104} + \left(4 a^{2} + 68 a + 13\right)\cdot 89^{105} + \left(21 a^{2} + 58 a + 60\right)\cdot 89^{106} + \left(22 a^{2} + 43 a + 69\right)\cdot 89^{107} + \left(16 a^{2} + 56 a + 33\right)\cdot 89^{108} + \left(79 a^{2} + 3 a + 48\right)\cdot 89^{109} + \left(36 a^{2} + 82 a + 39\right)\cdot 89^{110} + \left(8 a^{2} + a + 54\right)\cdot 89^{111} + \left(46 a^{2} + 54 a + 76\right)\cdot 89^{112} + \left(39 a^{2} + 37 a + 79\right)\cdot 89^{113} + \left(64 a^{2} + 75 a + 8\right)\cdot 89^{114} + \left(33 a^{2} + 51 a + 72\right)\cdot 89^{115} + \left(4 a^{2} + 75 a + 79\right)\cdot 89^{116} + \left(82 a^{2} + 76 a + 41\right)\cdot 89^{117} + \left(88 a^{2} + 12 a + 35\right)\cdot 89^{118} + \left(81 a^{2} + 88 a + 21\right)\cdot 89^{119} + \left(31 a^{2} + 78 a + 37\right)\cdot 89^{120} + \left(85 a^{2} + 71 a + 58\right)\cdot 89^{121} + \left(48 a^{2} + 83 a + 42\right)\cdot 89^{122} + \left(17 a^{2} + 6 a + 76\right)\cdot 89^{123} + \left(38 a^{2} + 71 a + 42\right)\cdot 89^{124} + \left(22 a^{2} + 55 a + 82\right)\cdot 89^{125} + \left(29 a^{2} + 15 a + 54\right)\cdot 89^{126} + \left(59 a^{2} + 73 a + 74\right)\cdot 89^{127} + \left(23 a^{2} + 25 a + 69\right)\cdot 89^{128} +O\left(89^{ 129 }\right)$
$r_{ 5 }$ $=$ $ 9 a^{2} + 38 a + 62 + \left(64 a^{2} + 53 a + 17\right)\cdot 89 + \left(67 a^{2} + 73 a\right)\cdot 89^{2} + \left(26 a^{2} + 81 a + 29\right)\cdot 89^{3} + \left(25 a^{2} + 21 a + 7\right)\cdot 89^{4} + \left(14 a^{2} + 49 a + 18\right)\cdot 89^{5} + \left(62 a^{2} + 30 a + 10\right)\cdot 89^{6} + \left(9 a^{2} + 71 a + 34\right)\cdot 89^{7} + \left(21 a^{2} + 59 a + 76\right)\cdot 89^{8} + \left(65 a^{2} + 10 a + 30\right)\cdot 89^{9} + \left(82 a^{2} + 27 a + 53\right)\cdot 89^{10} + \left(86 a^{2} + 22 a + 69\right)\cdot 89^{11} + \left(63 a^{2} + 66 a + 13\right)\cdot 89^{12} + \left(29 a^{2} + a + 52\right)\cdot 89^{13} + \left(86 a^{2} + 30 a + 35\right)\cdot 89^{14} + \left(27 a^{2} + 72 a + 50\right)\cdot 89^{15} + \left(84 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 89^{16} + \left(59 a^{2} + 51 a + 39\right)\cdot 89^{17} + \left(21 a^{2} + 77 a + 46\right)\cdot 89^{18} + \left(63 a + 43\right)\cdot 89^{19} + \left(7 a^{2} + 66 a + 35\right)\cdot 89^{20} + \left(36 a^{2} + 72 a + 41\right)\cdot 89^{21} + \left(76 a^{2} + 80 a + 9\right)\cdot 89^{22} + \left(73 a^{2} + 66 a + 50\right)\cdot 89^{23} + \left(71 a^{2} + 49 a + 16\right)\cdot 89^{24} + \left(78 a^{2} + 64 a + 11\right)\cdot 89^{25} + \left(60 a^{2} + 56 a + 41\right)\cdot 89^{26} + \left(13 a^{2} + 19 a + 19\right)\cdot 89^{27} + \left(6 a^{2} + 44 a + 61\right)\cdot 89^{28} + \left(57 a^{2} + 66 a + 14\right)\cdot 89^{29} + \left(41 a + 43\right)\cdot 89^{30} + \left(46 a^{2} + 61 a + 12\right)\cdot 89^{31} + \left(13 a^{2} + a + 5\right)\cdot 89^{32} + \left(24 a^{2} + 56 a + 78\right)\cdot 89^{33} + \left(56 a^{2} + 20 a + 62\right)\cdot 89^{34} + \left(63 a^{2} + 19 a + 26\right)\cdot 89^{35} + \left(65 a^{2} + 65 a + 75\right)\cdot 89^{36} + \left(59 a^{2} + 73 a + 2\right)\cdot 89^{37} + \left(5 a^{2} + 60 a + 53\right)\cdot 89^{38} + \left(61 a^{2} + 3 a + 18\right)\cdot 89^{39} + \left(39 a^{2} + 23 a + 20\right)\cdot 89^{40} + \left(77 a^{2} + 67 a + 55\right)\cdot 89^{41} + \left(12 a^{2} + 69 a + 85\right)\cdot 89^{42} + \left(27 a^{2} + 24 a + 36\right)\cdot 89^{43} + \left(3 a^{2} + 73 a + 38\right)\cdot 89^{44} + \left(40 a^{2} + 59 a + 37\right)\cdot 89^{45} + \left(55 a^{2} + 74 a + 85\right)\cdot 89^{46} + \left(76 a^{2} + 73 a + 67\right)\cdot 89^{47} + \left(77 a^{2} + 8 a + 20\right)\cdot 89^{48} + \left(61 a^{2} + 9 a + 70\right)\cdot 89^{49} + \left(41 a^{2} + 82 a + 10\right)\cdot 89^{50} + \left(26 a^{2} + 17 a + 78\right)\cdot 89^{51} + \left(29 a^{2} + 50 a + 24\right)\cdot 89^{52} + \left(44 a^{2} + 62 a + 81\right)\cdot 89^{53} + \left(85 a^{2} + 61 a + 64\right)\cdot 89^{54} + \left(74 a^{2} + 79 a + 52\right)\cdot 89^{55} + \left(57 a^{2} + 75 a + 16\right)\cdot 89^{56} + \left(5 a^{2} + 56 a + 81\right)\cdot 89^{57} + \left(52 a^{2} + 77 a + 6\right)\cdot 89^{58} + \left(39 a^{2} + 70 a + 71\right)\cdot 89^{59} + \left(73 a^{2} + 63 a + 71\right)\cdot 89^{60} + \left(41 a^{2} + 35 a + 56\right)\cdot 89^{61} + \left(5 a^{2} + 13 a + 28\right)\cdot 89^{62} + \left(20 a^{2} + 11 a + 55\right)\cdot 89^{63} + \left(34 a^{2} + 10 a + 46\right)\cdot 89^{64} + \left(19 a^{2} + 87 a + 49\right)\cdot 89^{65} + \left(5 a^{2} + 46 a + 52\right)\cdot 89^{66} + \left(15 a^{2} + 30 a + 73\right)\cdot 89^{67} + \left(57 a^{2} + 4 a + 79\right)\cdot 89^{68} + \left(81 a^{2} + 77 a + 70\right)\cdot 89^{69} + \left(3 a^{2} + 20 a + 33\right)\cdot 89^{70} + \left(73 a^{2} + 47 a + 16\right)\cdot 89^{71} + \left(58 a^{2} + 16 a + 33\right)\cdot 89^{72} + \left(23 a^{2} + 3 a + 71\right)\cdot 89^{73} + \left(6 a^{2} + 72 a + 44\right)\cdot 89^{74} + \left(73 a^{2} + 81 a + 31\right)\cdot 89^{75} + \left(25 a^{2} + 88 a + 82\right)\cdot 89^{76} + \left(44 a^{2} + 15 a + 40\right)\cdot 89^{77} + \left(59 a^{2} + 25 a + 19\right)\cdot 89^{78} + \left(48 a^{2} + 23 a + 20\right)\cdot 89^{79} + \left(51 a^{2} + 78 a + 25\right)\cdot 89^{80} + \left(21 a^{2} + 4 a + 32\right)\cdot 89^{81} + \left(67 a^{2} + 62 a + 80\right)\cdot 89^{82} + \left(56 a^{2} + 30 a + 49\right)\cdot 89^{83} + \left(24 a^{2} + 43 a + 73\right)\cdot 89^{84} + \left(70 a^{2} + 27 a + 68\right)\cdot 89^{85} + \left(19 a^{2} + 13 a + 63\right)\cdot 89^{86} + \left(4 a^{2} + 54 a + 67\right)\cdot 89^{87} + \left(32 a^{2} + 53 a + 56\right)\cdot 89^{88} + \left(46 a^{2} + 23 a + 1\right)\cdot 89^{89} + \left(84 a^{2} + 46 a + 8\right)\cdot 89^{90} + \left(8 a^{2} + 5 a + 49\right)\cdot 89^{91} + \left(71 a^{2} + 69 a + 40\right)\cdot 89^{92} + \left(18 a^{2} + 76 a + 40\right)\cdot 89^{93} + \left(40 a^{2} + 28 a + 59\right)\cdot 89^{94} + \left(25 a^{2} + 19 a + 22\right)\cdot 89^{95} + \left(76 a^{2} + 16 a + 51\right)\cdot 89^{96} + \left(a^{2} + 39 a + 14\right)\cdot 89^{97} + \left(86 a^{2} + 56 a + 85\right)\cdot 89^{98} + \left(20 a^{2} + 36 a + 31\right)\cdot 89^{99} + \left(24 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 89^{100} + \left(10 a^{2} + 13 a + 29\right)\cdot 89^{101} + \left(10 a^{2} + 25 a + 72\right)\cdot 89^{102} + \left(61 a^{2} + 83 a + 47\right)\cdot 89^{103} + \left(82 a^{2} + 82 a + 62\right)\cdot 89^{104} + \left(14 a^{2} + 11 a + 31\right)\cdot 89^{105} + \left(41 a^{2} + 74 a + 44\right)\cdot 89^{106} + \left(34 a^{2} + 84\right)\cdot 89^{107} + \left(88 a^{2} + 51 a + 79\right)\cdot 89^{108} + \left(46 a^{2} + 25 a + 6\right)\cdot 89^{109} + \left(14 a^{2} + 15 a + 31\right)\cdot 89^{110} + \left(72 a^{2} + 34 a + 53\right)\cdot 89^{111} + \left(13 a^{2} + 88 a + 67\right)\cdot 89^{112} + \left(31 a^{2} + 39 a + 34\right)\cdot 89^{113} + \left(81 a^{2} + 32 a + 62\right)\cdot 89^{114} + \left(37 a^{2} + 71 a + 4\right)\cdot 89^{115} + \left(28 a^{2} + 88 a + 3\right)\cdot 89^{116} + \left(28 a^{2} + 77 a + 84\right)\cdot 89^{117} + \left(46 a^{2} + 82 a + 83\right)\cdot 89^{118} + \left(59 a^{2} + 66 a + 69\right)\cdot 89^{119} + \left(79 a^{2} + 37 a + 69\right)\cdot 89^{120} + \left(43 a^{2} + 62 a + 15\right)\cdot 89^{121} + \left(a^{2} + 87 a + 84\right)\cdot 89^{122} + \left(35 a^{2} + 33 a + 81\right)\cdot 89^{123} + \left(49 a^{2} + 87 a + 73\right)\cdot 89^{124} + \left(14 a^{2} + 20 a + 23\right)\cdot 89^{125} + \left(34 a^{2} + 44 a + 87\right)\cdot 89^{126} + \left(37 a^{2} + 51 a + 77\right)\cdot 89^{127} + \left(75 a^{2} + 62 a + 1\right)\cdot 89^{128} +O\left(89^{ 129 }\right)$
$r_{ 6 }$ $=$ $ 63 a^{2} + 17 a + 2 + \left(28 a^{2} + 84 a + 71\right)\cdot 89 + \left(75 a^{2} + 20 a + 58\right)\cdot 89^{2} + \left(59 a^{2} + 54 a + 82\right)\cdot 89^{3} + \left(37 a^{2} + 73 a + 61\right)\cdot 89^{4} + \left(84 a^{2} + 51 a + 45\right)\cdot 89^{5} + \left(27 a^{2} + 20 a + 37\right)\cdot 89^{6} + \left(31 a + 63\right)\cdot 89^{7} + \left(33 a^{2} + 55 a + 7\right)\cdot 89^{8} + \left(5 a^{2} + 57 a + 20\right)\cdot 89^{9} + \left(23 a^{2} + 19 a + 58\right)\cdot 89^{10} + \left(24 a^{2} + 62 a + 14\right)\cdot 89^{11} + \left(73 a^{2} + 50 a + 38\right)\cdot 89^{12} + \left(37 a^{2} + 3 a + 33\right)\cdot 89^{13} + \left(36 a^{2} + 22 a + 41\right)\cdot 89^{14} + \left(36 a^{2} + 42 a + 80\right)\cdot 89^{15} + \left(14 a^{2} + 43 a + 87\right)\cdot 89^{16} + \left(8 a^{2} + 28 a + 25\right)\cdot 89^{17} + \left(60 a^{2} + 54 a + 73\right)\cdot 89^{18} + \left(85 a^{2} + 10\right)\cdot 89^{19} + \left(45 a^{2} + 3 a + 37\right)\cdot 89^{20} + \left(80 a^{2} + 34 a + 27\right)\cdot 89^{21} + \left(52 a^{2} + 39 a + 81\right)\cdot 89^{22} + \left(57 a^{2} + 73 a + 77\right)\cdot 89^{23} + \left(48 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 89^{24} + \left(73 a^{2} + 10 a + 25\right)\cdot 89^{25} + \left(8 a^{2} + 8 a + 22\right)\cdot 89^{26} + \left(44 a^{2} + 61 a + 14\right)\cdot 89^{27} + \left(15 a^{2} + a + 56\right)\cdot 89^{28} + \left(83 a^{2} + 43 a + 54\right)\cdot 89^{29} + \left(43 a^{2} + 28 a + 37\right)\cdot 89^{30} + \left(65 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 89^{31} + \left(35 a^{2} + 49 a + 85\right)\cdot 89^{32} + \left(18 a^{2} + 81 a + 87\right)\cdot 89^{33} + \left(75 a^{2} + 9 a + 14\right)\cdot 89^{34} + \left(73 a^{2} + 39 a + 58\right)\cdot 89^{35} + \left(40 a^{2} + 45 a + 6\right)\cdot 89^{36} + \left(41 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 89^{37} + \left(34 a^{2} + 84 a + 49\right)\cdot 89^{38} + \left(31 a^{2} + 9 a + 85\right)\cdot 89^{39} + \left(63 a^{2} + 77 a + 62\right)\cdot 89^{40} + \left(4 a^{2} + 19 a + 18\right)\cdot 89^{41} + \left(60 a^{2} + 3 a + 42\right)\cdot 89^{42} + \left(36 a^{2} + 41 a + 47\right)\cdot 89^{43} + \left(20 a^{2} + 58 a + 42\right)\cdot 89^{44} + \left(3 a^{2} + 43 a + 74\right)\cdot 89^{45} + \left(18 a^{2} + 47 a + 66\right)\cdot 89^{46} + \left(50 a^{2} + 64 a + 39\right)\cdot 89^{47} + \left(44 a^{2} + 55\right)\cdot 89^{48} + \left(35 a^{2} + 35 a + 48\right)\cdot 89^{49} + \left(32 a^{2} + 37 a + 82\right)\cdot 89^{50} + \left(37 a^{2} + 19 a + 73\right)\cdot 89^{51} + \left(8 a^{2} + 45 a + 87\right)\cdot 89^{52} + \left(80 a^{2} + 48 a + 65\right)\cdot 89^{53} + \left(37 a^{2} + 45 a + 26\right)\cdot 89^{54} + \left(37 a^{2} + 17 a + 1\right)\cdot 89^{55} + \left(26 a^{2} + 81 a + 46\right)\cdot 89^{56} + \left(28 a^{2} + 29 a + 41\right)\cdot 89^{57} + \left(56 a^{2} + 31 a + 40\right)\cdot 89^{58} + \left(19 a^{2} + 62 a + 19\right)\cdot 89^{59} + \left(57 a^{2} + 87 a + 2\right)\cdot 89^{60} + \left(55 a^{2} + 81 a + 60\right)\cdot 89^{61} + \left(53 a^{2} + 31 a + 62\right)\cdot 89^{62} + \left(59 a^{2} + 69 a + 42\right)\cdot 89^{63} + \left(77 a^{2} + 62 a + 30\right)\cdot 89^{64} + \left(56 a^{2} + 78 a + 1\right)\cdot 89^{65} + \left(73 a^{2} + 31 a + 9\right)\cdot 89^{66} + \left(84 a^{2} + 33 a + 13\right)\cdot 89^{67} + \left(30 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 89^{68} + \left(36 a^{2} + 83 a + 36\right)\cdot 89^{69} + \left(63 a^{2} + 73 a + 17\right)\cdot 89^{70} + \left(47 a^{2} + 71 a + 31\right)\cdot 89^{71} + \left(46 a^{2} + 71 a + 15\right)\cdot 89^{72} + \left(18 a^{2} + 3 a + 80\right)\cdot 89^{73} + \left(5 a^{2} + 59 a + 53\right)\cdot 89^{74} + \left(83 a^{2} + 57 a + 3\right)\cdot 89^{75} + \left(12 a^{2} + 83 a + 70\right)\cdot 89^{76} + \left(51 a^{2} + 23 a + 76\right)\cdot 89^{77} + \left(56 a^{2} + 5 a + 24\right)\cdot 89^{78} + \left(45 a^{2} + 86 a + 14\right)\cdot 89^{79} + \left(81 a^{2} + 75 a + 52\right)\cdot 89^{80} + \left(76 a^{2} + 85 a + 70\right)\cdot 89^{81} + \left(75 a^{2} + 65 a + 51\right)\cdot 89^{82} + \left(32 a^{2} + 51 a + 43\right)\cdot 89^{83} + \left(36 a^{2} + 84 a + 23\right)\cdot 89^{84} + \left(85 a^{2} + 34 a + 64\right)\cdot 89^{85} + \left(50 a^{2} + 37 a + 77\right)\cdot 89^{86} + \left(85 a^{2} + 86 a + 60\right)\cdot 89^{87} + \left(44 a^{2} + 42 a + 68\right)\cdot 89^{88} + \left(15 a^{2} + 2 a + 57\right)\cdot 89^{89} + \left(10 a^{2} + 61 a + 16\right)\cdot 89^{90} + \left(77 a^{2} + 21 a + 63\right)\cdot 89^{91} + \left(69 a^{2} + 54 a\right)\cdot 89^{92} + \left(24 a^{2} + 56 a + 85\right)\cdot 89^{93} + \left(71 a^{2} + 86 a + 19\right)\cdot 89^{94} + \left(68 a^{2} + 62 a + 41\right)\cdot 89^{95} + \left(65 a^{2} + 55 a + 45\right)\cdot 89^{96} + \left(40 a^{2} + 36 a + 88\right)\cdot 89^{97} + \left(43 a^{2} + 49 a + 74\right)\cdot 89^{98} + \left(68 a^{2} + 77 a + 39\right)\cdot 89^{99} + \left(6 a^{2} + 55 a + 85\right)\cdot 89^{100} + \left(77 a^{2} + 14 a + 35\right)\cdot 89^{101} + \left(45 a^{2} + 57 a + 84\right)\cdot 89^{102} + \left(38 a^{2} + 34 a + 83\right)\cdot 89^{103} + \left(53 a^{2} + 86 a + 30\right)\cdot 89^{104} + \left(41 a^{2} + 46 a + 88\right)\cdot 89^{105} + \left(10 a^{2} + 81 a + 38\right)\cdot 89^{106} + \left(2 a^{2} + 57 a + 29\right)\cdot 89^{107} + \left(64 a^{2} + 82 a + 40\right)\cdot 89^{108} + \left(24 a^{2} + 8 a + 28\right)\cdot 89^{109} + \left(a^{2} + 80 a + 57\right)\cdot 89^{110} + \left(88 a^{2} + 59 a + 35\right)\cdot 89^{111} + \left(6 a^{2} + 37 a + 87\right)\cdot 89^{112} + \left(78 a^{2} + 73 a + 67\right)\cdot 89^{113} + \left(39 a^{2} + 32 a + 48\right)\cdot 89^{114} + \left(76 a^{2} + 17 a + 68\right)\cdot 89^{115} + \left(42 a^{2} + 88 a + 67\right)\cdot 89^{116} + \left(8 a^{2} + 25 a + 72\right)\cdot 89^{117} + \left(53 a^{2} + 33 a + 52\right)\cdot 89^{118} + \left(73 a^{2} + 73 a + 4\right)\cdot 89^{119} + \left(76 a^{2} + 4 a + 38\right)\cdot 89^{120} + \left(57 a^{2} + 56 a + 3\right)\cdot 89^{121} + \left(52 a^{2} + 80 a + 50\right)\cdot 89^{122} + \left(3 a^{2} + 41 a + 48\right)\cdot 89^{123} + \left(67 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 89^{124} + \left(39 a^{2} + 83 a + 28\right)\cdot 89^{125} + \left(54 a^{2} + 40 a + 16\right)\cdot 89^{126} + \left(35 a^{2} + 74 a + 27\right)\cdot 89^{127} + \left(63 a^{2} + 42 a + 60\right)\cdot 89^{128} +O\left(89^{ 129 }\right)$
$r_{ 7 }$ $=$ $ 14 a^{2} + 17 a + 79 + \left(59 a^{2} + 82 a + 66\right)\cdot 89 + \left(3 a^{2} + 19 a + 26\right)\cdot 89^{2} + \left(51 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 89^{3} + \left(15 a^{2} + 84 a + 58\right)\cdot 89^{4} + \left(47 a^{2} + 82 a + 79\right)\cdot 89^{5} + \left(82 a^{2} + 63 a\right)\cdot 89^{6} + \left(14 a^{2} + 38 a + 71\right)\cdot 89^{7} + \left(87 a^{2} + 35 a + 79\right)\cdot 89^{8} + \left(25 a^{2} + 71 a + 82\right)\cdot 89^{9} + \left(10 a + 70\right)\cdot 89^{10} + \left(68 a^{2} + 9 a + 36\right)\cdot 89^{11} + \left(5 a^{2} + 27 a + 26\right)\cdot 89^{12} + \left(2 a^{2} + 62 a + 83\right)\cdot 89^{13} + \left(83 a^{2} + 52 a + 37\right)\cdot 89^{14} + \left(84 a^{2} + 78 a + 19\right)\cdot 89^{15} + \left(24 a^{2} + 47 a + 31\right)\cdot 89^{16} + \left(77 a^{2} + 49 a + 77\right)\cdot 89^{17} + \left(28 a^{2} + 36 a + 71\right)\cdot 89^{18} + \left(36 a^{2} + 34 a + 41\right)\cdot 89^{19} + \left(80 a^{2} + 62 a + 75\right)\cdot 89^{20} + \left(75 a^{2} + 83 a + 78\right)\cdot 89^{21} + \left(31 a^{2} + 59 a + 23\right)\cdot 89^{22} + \left(60 a^{2} + 2 a + 18\right)\cdot 89^{23} + \left(18 a^{2} + 49 a + 42\right)\cdot 89^{24} + \left(82 a^{2} + 85 a + 17\right)\cdot 89^{25} + \left(62 a^{2} + 85 a + 83\right)\cdot 89^{26} + \left(35 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 89^{27} + \left(18 a^{2} + 3 a + 22\right)\cdot 89^{28} + \left(46 a^{2} + 48 a + 66\right)\cdot 89^{29} + \left(83 a^{2} + 63 a + 56\right)\cdot 89^{30} + \left(24 a^{2} + 4 a + 14\right)\cdot 89^{31} + \left(57 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 89^{32} + \left(38 a^{2} + 4 a + 26\right)\cdot 89^{33} + \left(84 a^{2} + 80 a + 57\right)\cdot 89^{34} + \left(47 a^{2} + 73 a + 48\right)\cdot 89^{35} + \left(7 a^{2} + 44 a + 27\right)\cdot 89^{36} + \left(31 a^{2} + 75 a + 11\right)\cdot 89^{37} + \left(38 a^{2} + 84 a + 25\right)\cdot 89^{38} + \left(10 a^{2} + 40 a + 42\right)\cdot 89^{39} + \left(73 a^{2} + 63 a + 61\right)\cdot 89^{40} + \left(5 a^{2} + 33 a + 42\right)\cdot 89^{41} + \left(14 a^{2} + 30 a + 16\right)\cdot 89^{42} + \left(14 a^{2} + 23 a + 12\right)\cdot 89^{43} + \left(13 a^{2} + 15 a + 52\right)\cdot 89^{44} + \left(26 a^{2} + 69 a + 56\right)\cdot 89^{45} + \left(7 a^{2} + 68\right)\cdot 89^{46} + \left(20 a^{2} + 29 a + 37\right)\cdot 89^{47} + \left(9 a^{2} + 80 a + 68\right)\cdot 89^{48} + \left(83 a^{2} + 68 a + 4\right)\cdot 89^{49} + \left(6 a^{2} + 51 a + 39\right)\cdot 89^{50} + \left(43 a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 89^{51} + \left(13 a^{2} + 25 a + 49\right)\cdot 89^{52} + \left(76 a^{2} + 70 a + 16\right)\cdot 89^{53} + \left(8 a^{2} + 76 a + 54\right)\cdot 89^{54} + \left(56 a + 22\right)\cdot 89^{55} + \left(70 a^{2} + 62 a + 38\right)\cdot 89^{56} + \left(29 a^{2} + 40 a + 34\right)\cdot 89^{57} + \left(9 a^{2} + 43 a + 69\right)\cdot 89^{58} + \left(66 a^{2} + 23 a + 11\right)\cdot 89^{59} + \left(20 a^{2} + 39 a + 21\right)\cdot 89^{60} + \left(35 a^{2} + 21 a\right)\cdot 89^{61} + \left(81 a^{2} + 62 a + 71\right)\cdot 89^{62} + \left(74 a^{2} + 70 a + 62\right)\cdot 89^{63} + \left(9 a^{2} + 73 a + 47\right)\cdot 89^{64} + \left(26 a^{2} + 63 a + 5\right)\cdot 89^{65} + \left(8 a^{2} + 8 a + 83\right)\cdot 89^{66} + \left(10 a^{2} + 28 a + 73\right)\cdot 89^{67} + \left(56 a^{2} + 65 a + 87\right)\cdot 89^{68} + \left(46 a^{2} + 81 a + 73\right)\cdot 89^{69} + \left(40 a^{2} + 81 a + 45\right)\cdot 89^{70} + \left(13 a^{2} + 77 a + 72\right)\cdot 89^{71} + \left(6 a^{2} + 65 a + 55\right)\cdot 89^{72} + \left(11 a^{2} + 50 a + 73\right)\cdot 89^{73} + \left(54 a^{2} + 57 a + 2\right)\cdot 89^{74} + \left(16 a^{2} + 11 a + 73\right)\cdot 89^{75} + \left(45 a^{2} + 67 a + 74\right)\cdot 89^{76} + \left(71 a^{2} + 29 a + 67\right)\cdot 89^{77} + \left(31 a^{2} + 82 a + 43\right)\cdot 89^{78} + \left(53 a^{2} + 83 a + 23\right)\cdot 89^{79} + \left(65 a^{2} + 53 a + 23\right)\cdot 89^{80} + \left(82 a^{2} + 33 a + 22\right)\cdot 89^{81} + \left(76 a^{2} + 45 a + 11\right)\cdot 89^{82} + \left(82 a^{2} + 66 a + 14\right)\cdot 89^{83} + \left(5 a^{2} + 77 a + 7\right)\cdot 89^{84} + \left(85 a^{2} + 59 a + 22\right)\cdot 89^{85} + \left(7 a^{2} + 85 a + 75\right)\cdot 89^{86} + \left(8 a^{2} + 36 a + 7\right)\cdot 89^{87} + \left(51 a^{2} + 33 a + 12\right)\cdot 89^{88} + \left(3 a^{2} + 61 a + 12\right)\cdot 89^{89} + \left(30 a^{2} + 17\right)\cdot 89^{90} + \left(57 a^{2} + 79 a + 26\right)\cdot 89^{91} + \left(61 a^{2} + 73 a + 67\right)\cdot 89^{92} + \left(49 a^{2} + 23 a + 1\right)\cdot 89^{93} + \left(81 a^{2} + 44 a + 10\right)\cdot 89^{94} + \left(4 a^{2} + 78 a + 75\right)\cdot 89^{95} + \left(3 a^{2} + 74 a + 74\right)\cdot 89^{96} + \left(20 a^{2} + 37 a + 51\right)\cdot 89^{97} + \left(45 a^{2} + 78 a + 70\right)\cdot 89^{98} + \left(47 a^{2} + 46 a + 53\right)\cdot 89^{99} + \left(72 a^{2} + 67 a + 88\right)\cdot 89^{100} + \left(25 a^{2} + 64 a + 12\right)\cdot 89^{101} + \left(38 a^{2} + 30 a + 2\right)\cdot 89^{102} + \left(44 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 89^{103} + \left(8 a^{2} + 28 a + 77\right)\cdot 89^{104} + \left(41 a^{2} + 25 a + 15\right)\cdot 89^{105} + \left(78 a^{2} + 65 a + 58\right)\cdot 89^{106} + \left(36 a^{2} + 50 a + 62\right)\cdot 89^{107} + \left(76 a^{2} + 53 a + 40\right)\cdot 89^{108} + \left(27 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 89^{109} + \left(77 a^{2} + 9 a + 68\right)\cdot 89^{110} + \left(4 a^{2} + 43 a + 3\right)\cdot 89^{111} + \left(26 a^{2} + 7 a + 87\right)\cdot 89^{112} + \left(44 a^{2} + 50 a + 55\right)\cdot 89^{113} + \left(13 a^{2} + 75 a + 39\right)\cdot 89^{114} + \left(45 a^{2} + 88 a + 8\right)\cdot 89^{115} + \left(86 a^{2} + 44 a + 37\right)\cdot 89^{116} + \left(74 a^{2} + 43 a + 7\right)\cdot 89^{117} + \left(38 a^{2} + 51 a + 21\right)\cdot 89^{118} + \left(46 a^{2} + 62 a + 47\right)\cdot 89^{119} + \left(49 a^{2} + 87 a + 7\right)\cdot 89^{120} + \left(38 a^{2} + 64 a + 24\right)\cdot 89^{121} + \left(12 a^{2} + 26 a + 58\right)\cdot 89^{122} + \left(36 a^{2} + 7 a + 48\right)\cdot 89^{123} + \left(29 a^{2} + 83 a + 87\right)\cdot 89^{124} + \left(25 a^{2} + 32 a + 47\right)\cdot 89^{125} + \left(6 a^{2} + 21 a + 56\right)\cdot 89^{126} + \left(80 a^{2} + 29 a + 52\right)\cdot 89^{127} + \left(20 a^{2} + 76 a + 49\right)\cdot 89^{128} +O\left(89^{ 129 }\right)$
$r_{ 8 }$ $=$ $ 52 a^{2} + 43 a + 66 + \left(62 a^{2} + 73\right)\cdot 89 + \left(20 a^{2} + 64 a + 60\right)\cdot 89^{2} + \left(48 a^{2} + 82 a + 9\right)\cdot 89^{3} + \left(72 a^{2} + 9 a + 83\right)\cdot 89^{4} + \left(36 a^{2} + 72 a + 58\right)\cdot 89^{5} + \left(26 a^{2} + 82 a + 66\right)\cdot 89^{6} + \left(21 a^{2} + 11 a + 83\right)\cdot 89^{7} + \left(78 a^{2} + 12 a + 61\right)\cdot 89^{8} + \left(12 a^{2} + 80 a + 56\right)\cdot 89^{9} + \left(69 a^{2} + 6 a + 30\right)\cdot 89^{10} + \left(76 a^{2} + 41 a + 54\right)\cdot 89^{11} + \left(2 a^{2} + 10 a + 20\right)\cdot 89^{12} + \left(76 a^{2} + 16 a + 53\right)\cdot 89^{13} + \left(48 a^{2} + 60 a + 58\right)\cdot 89^{14} + \left(7 a^{2} + 20 a + 42\right)\cdot 89^{15} + \left(50 a^{2} + 67 a + 81\right)\cdot 89^{16} + \left(63 a^{2} + 10 a + 49\right)\cdot 89^{17} + \left(79 a^{2} + 66 a + 84\right)\cdot 89^{18} + \left(76 a^{2} + 29 a + 33\right)\cdot 89^{19} + \left(21 a^{2} + 20 a + 47\right)\cdot 89^{20} + \left(50 a^{2} + 22 a + 27\right)\cdot 89^{21} + \left(a^{2} + 9 a + 52\right)\cdot 89^{22} + \left(3 a^{2} + 83 a + 81\right)\cdot 89^{23} + \left(57 a^{2} + 7 a + 29\right)\cdot 89^{24} + \left(71 a^{2} + 25 a + 85\right)\cdot 89^{25} + \left(31 a^{2} + 39 a + 20\right)\cdot 89^{26} + \left(87 a^{2} + 38 a + 19\right)\cdot 89^{27} + \left(39 a^{2} + 10 a + 65\right)\cdot 89^{28} + \left(28 a + 63\right)\cdot 89^{29} + \left(43 a^{2} + 6 a + 64\right)\cdot 89^{30} + \left(61 a^{2} + 37 a + 87\right)\cdot 89^{31} + \left(47 a^{2} + 20 a + 73\right)\cdot 89^{32} + \left(71 a^{2} + 64 a + 2\right)\cdot 89^{33} + \left(25 a^{2} + 27 a + 29\right)\cdot 89^{34} + \left(87 a^{2} + 62 a + 38\right)\cdot 89^{35} + \left(66 a^{2} + 75 a + 57\right)\cdot 89^{36} + \left(40 a^{2} + 40 a + 30\right)\cdot 89^{37} + \left(3 a^{2} + 78 a + 44\right)\cdot 89^{38} + \left(68 a^{2} + 41 a + 68\right)\cdot 89^{39} + \left(34 a^{2} + 9 a + 73\right)\cdot 89^{40} + \left(67 a^{2} + 24 a + 76\right)\cdot 89^{41} + \left(7 a^{2} + 26 a + 3\right)\cdot 89^{42} + \left(59 a^{2} + 32 a + 13\right)\cdot 89^{43} + \left(37 a^{2} + 28 a + 12\right)\cdot 89^{44} + \left(2 a^{2} + 69 a + 9\right)\cdot 89^{45} + \left(39 a^{2} + 37 a + 43\right)\cdot 89^{46} + \left(53 a^{2} + 53 a + 15\right)\cdot 89^{47} + \left(12 a^{2} + 18 a + 75\right)\cdot 89^{48} + \left(a^{2} + 72 a + 18\right)\cdot 89^{49} + \left(64 a^{2} + 7 a + 64\right)\cdot 89^{50} + \left(39 a^{2} + 6 a + 84\right)\cdot 89^{51} + \left(66 a^{2} + 10 a + 65\right)\cdot 89^{52} + \left(88 a^{2} + a + 41\right)\cdot 89^{53} + \left(2 a^{2} + 43 a + 42\right)\cdot 89^{54} + \left(53 a^{2} + 53 a + 39\right)\cdot 89^{55} + \left(27 a^{2} + 72 a + 42\right)\cdot 89^{56} + \left(29 a^{2} + 7 a + 33\right)\cdot 89^{57} + \left(27 a^{2} + 38 a + 16\right)\cdot 89^{58} + \left(87 a^{2} + 46 a + 54\right)\cdot 89^{59} + \left(20 a^{2} + 47 a + 21\right)\cdot 89^{60} + \left(41 a^{2} + 36 a + 12\right)\cdot 89^{61} + \left(12 a^{2} + 74 a + 22\right)\cdot 89^{62} + \left(40 a^{2} + 49 a + 82\right)\cdot 89^{63} + \left(56 a^{2} + 66 a + 51\right)\cdot 89^{64} + \left(64 a^{2} + 31 a + 82\right)\cdot 89^{65} + \left(66 a^{2} + 63 a + 21\right)\cdot 89^{66} + \left(82 a^{2} + 85 a + 41\right)\cdot 89^{67} + \left(35 a^{2} + 83 a + 47\right)\cdot 89^{68} + \left(17 a^{2} + 63 a + 15\right)\cdot 89^{69} + \left(40 a^{2} + 62 a + 45\right)\cdot 89^{70} + \left(31 a^{2} + 17 a + 19\right)\cdot 89^{71} + \left(10 a^{2} + 8 a + 64\right)\cdot 89^{72} + \left(65 a^{2} + 85 a + 3\right)\cdot 89^{73} + \left(17 a^{2} + 80 a + 19\right)\cdot 89^{74} + \left(63 a^{2} + 88 a + 77\right)\cdot 89^{75} + \left(34 a^{2} + 6 a + 53\right)\cdot 89^{76} + \left(62 a^{2} + 58 a + 49\right)\cdot 89^{77} + \left(62 a^{2} + 63 a + 16\right)\cdot 89^{78} + \left(33 a^{2} + 48 a + 73\right)\cdot 89^{79} + \left(6 a^{2} + 63 a + 82\right)\cdot 89^{80} + \left(41 a^{2} + 12 a + 27\right)\cdot 89^{81} + \left(31 a^{2} + 48 a + 9\right)\cdot 89^{82} + \left(28 a^{2} + 62 a + 83\right)\cdot 89^{83} + \left(73 a^{2} + 66 a + 52\right)\cdot 89^{84} + \left(75 a^{2} + 29 a + 3\right)\cdot 89^{85} + \left(26 a^{2} + 75 a + 24\right)\cdot 89^{86} + \left(79 a^{2} + 6 a + 61\right)\cdot 89^{87} + \left(78 a^{2} + 76 a + 67\right)\cdot 89^{88} + \left(77 a^{2} + 40 a + 71\right)\cdot 89^{89} + \left(76 a^{2} + 25 a + 21\right)\cdot 89^{90} + \left(63 a^{2} + 78 a + 39\right)\cdot 89^{91} + \left(26 a^{2} + 52 a + 86\right)\cdot 89^{92} + \left(18 a^{2} + 82 a + 27\right)\cdot 89^{93} + \left(38 a^{2} + 80 a + 12\right)\cdot 89^{94} + \left(63 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 89^{95} + \left(43 a^{2} + 60 a + 67\right)\cdot 89^{96} + \left(78 a^{2} + 87 a + 79\right)\cdot 89^{97} + \left(82 a^{2} + 3 a + 56\right)\cdot 89^{98} + \left(50 a^{2} + 48 a + 60\right)\cdot 89^{99} + \left(59 a^{2} + 18 a + 62\right)\cdot 89^{100} + \left(64 a^{2} + 23 a + 1\right)\cdot 89^{101} + \left(55 a^{2} + 42 a + 37\right)\cdot 89^{102} + \left(42 a^{2} + 69 a + 4\right)\cdot 89^{103} + \left(81 a^{2} + 75 a + 45\right)\cdot 89^{104} + \left(34 a^{2} + 74 a + 3\right)\cdot 89^{105} + \left(62 a^{2} + 23 a + 26\right)\cdot 89^{106} + \left(58 a^{2} + 24 a + 17\right)\cdot 89^{107} + \left(32 a^{2} + 57 a + 42\right)\cdot 89^{108} + \left(11 a^{2} + 16 a + 71\right)\cdot 89^{109} + \left(13 a^{2} + 37 a + 28\right)\cdot 89^{110} + \left(2 a^{2} + 34 a + 87\right)\cdot 89^{111} + \left(71 a^{2} + 22 a + 87\right)\cdot 89^{112} + \left(16 a^{2} + 54 a\right)\cdot 89^{113} + \left(34 a^{2} + 33 a + 81\right)\cdot 89^{114} + \left(57 a^{2} + a + 32\right)\cdot 89^{115} + \left(56 a + 43\right)\cdot 89^{116} + \left(18 a^{2} + 76 a + 71\right)\cdot 89^{117} + \left(79 a^{2} + 26 a + 12\right)\cdot 89^{118} + \left(57 a^{2} + 6 a + 70\right)\cdot 89^{119} + \left(88 a^{2} + 57 a + 85\right)\cdot 89^{120} + \left(39 a^{2} + 85 a + 26\right)\cdot 89^{121} + \left(32 a^{2} + 77 a + 9\right)\cdot 89^{122} + \left(81 a^{2} + 32 a + 50\right)\cdot 89^{123} + \left(87 a^{2} + 62 a + 26\right)\cdot 89^{124} + \left(52 a^{2} + 20 a + 14\right)\cdot 89^{125} + \left(13 a^{2} + 29 a + 71\right)\cdot 89^{126} + \left(80 a^{2} + 35 a + 52\right)\cdot 89^{127} + \left(16 a^{2} + 37 a + 41\right)\cdot 89^{128} +O\left(89^{ 129 }\right)$
$r_{ 9 }$ $=$ $ 77 a^{2} + 10 a + 30 + \left(88 a^{2} + 58 a + 13\right)\cdot 89 + \left(23 a^{2} + 86 a + 45\right)\cdot 89^{2} + \left(78 a^{2} + 77 a + 30\right)\cdot 89^{3} + \left(11 a^{2} + 74 a + 10\right)\cdot 89^{4} + \left(73 a^{2} + 32 a + 23\right)\cdot 89^{5} + \left(34 a^{2} + 77 a + 51\right)\cdot 89^{6} + \left(34 a^{2} + 47 a + 42\right)\cdot 89^{7} + \left(45 a^{2} + 82 a + 32\right)\cdot 89^{8} + \left(8 a^{2} + 58 a + 26\right)\cdot 89^{9} + \left(a^{2} + 82 a + 14\right)\cdot 89^{10} + \left(16 a^{2} + 68 a + 87\right)\cdot 89^{11} + \left(51 a^{2} + 16 a + 82\right)\cdot 89^{12} + \left(37 a^{2} + 85 a + 32\right)\cdot 89^{13} + \left(32 a^{2} + 29 a + 33\right)\cdot 89^{14} + \left(62 a^{2} + 44 a + 43\right)\cdot 89^{15} + \left(75 a^{2} + 84 a + 32\right)\cdot 89^{16} + \left(30 a^{2} + 20 a + 71\right)\cdot 89^{17} + \left(5 a^{2} + 30 a + 52\right)\cdot 89^{18} + \left(50 a^{2} + 12 a + 28\right)\cdot 89^{19} + \left(55 a^{2} + 25 a + 56\right)\cdot 89^{20} + \left(39 a^{2} + 55 a + 34\right)\cdot 89^{21} + \left(58 a^{2} + 52 a + 3\right)\cdot 89^{22} + \left(42 a^{2} + 62 a + 48\right)\cdot 89^{23} + \left(55 a^{2} + 69 a + 25\right)\cdot 89^{24} + \left(88 a^{2} + 84 a + 55\right)\cdot 89^{25} + \left(47 a^{2} + 23 a + 11\right)\cdot 89^{26} + \left(18 a^{2} + 68 a + 52\right)\cdot 89^{27} + \left(8 a^{2} + 45 a + 41\right)\cdot 89^{28} + \left(3 a^{2} + 52 a + 72\right)\cdot 89^{29} + \left(37 a^{2} + 42 a + 23\right)\cdot 89^{30} + \left(25 a^{2} + 52 a + 17\right)\cdot 89^{31} + \left(31 a^{2} + 63 a + 76\right)\cdot 89^{32} + \left(44 a^{2} + a + 50\right)\cdot 89^{33} + \left(17 a^{2} + 48 a + 77\right)\cdot 89^{34} + \left(10 a^{2} + 58 a + 19\right)\cdot 89^{35} + \left(58 a^{2} + 43 a + 41\right)\cdot 89^{36} + \left(21 a^{2} + 64 a + 62\right)\cdot 89^{37} + \left(16 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 89^{38} + \left(42 a^{2} + 74 a + 18\right)\cdot 89^{39} + \left(87 a^{2} + 40 a + 22\right)\cdot 89^{40} + \left(79 a^{2} + 59 a + 80\right)\cdot 89^{41} + \left(12 a^{2} + 8 a + 36\right)\cdot 89^{42} + \left(3 a^{2} + 16 a + 69\right)\cdot 89^{43} + \left(39 a + 1\right)\cdot 89^{44} + \left(20 a^{2} + 74 a + 19\right)\cdot 89^{45} + \left(63 a^{2} + 31 a + 68\right)\cdot 89^{46} + \left(62 a^{2} + 60 a + 64\right)\cdot 89^{47} + \left(41 a^{2} + 52 a + 49\right)\cdot 89^{48} + \left(24 a^{2} + 75 a + 26\right)\cdot 89^{49} + \left(29 a^{2} + 38 a + 76\right)\cdot 89^{50} + \left(36 a^{2} + 14 a + 71\right)\cdot 89^{51} + \left(27 a^{2} + 86 a + 36\right)\cdot 89^{52} + \left(37 a^{2} + 82 a + 69\right)\cdot 89^{53} + \left(3 a^{2} + 47 a + 46\right)\cdot 89^{54} + \left(35 a^{2} + 78 a + 85\right)\cdot 89^{55} + \left(10 a^{2} + 24 a + 13\right)\cdot 89^{56} + \left(53 a^{2} + 59 a + 2\right)\cdot 89^{57} + \left(6 a^{2} + 16 a + 30\right)\cdot 89^{58} + \left(a^{2} + 17 a + 71\right)\cdot 89^{59} + \left(48 a^{2} + 47 a + 72\right)\cdot 89^{60} + \left(33 a^{2} + 79 a + 15\right)\cdot 89^{61} + \left(47 a^{2} + 33 a + 50\right)\cdot 89^{62} + \left(69 a^{2} + 60 a + 62\right)\cdot 89^{63} + \left(85 a^{2} + 48 a + 46\right)\cdot 89^{64} + \left(76 a^{2} + 56 a + 41\right)\cdot 89^{65} + \left(76 a^{2} + 58 a + 15\right)\cdot 89^{66} + \left(38 a^{2} + 23 a + 10\right)\cdot 89^{67} + \left(35 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 89^{68} + \left(27 a + 53\right)\cdot 89^{69} + \left(48 a^{2} + 2 a + 75\right)\cdot 89^{70} + \left(68 a^{2} + 25 a + 72\right)\cdot 89^{71} + \left(68 a^{2} + 85 a + 59\right)\cdot 89^{72} + \left(63 a^{2} + 4 a + 81\right)\cdot 89^{73} + \left(8 a^{2} + 73 a + 60\right)\cdot 89^{74} + \left(35 a^{2} + 83 a + 85\right)\cdot 89^{75} + \left(42 a^{2} + 13 a + 39\right)\cdot 89^{76} + \left(68 a^{2} + 34 a + 22\right)\cdot 89^{77} + \left(77 a^{2} + 60 a + 67\right)\cdot 89^{78} + \left(19 a^{2} + 73 a + 51\right)\cdot 89^{79} + \left(24 a^{2} + 21 a + 26\right)\cdot 89^{80} + \left(64 a^{2} + 39 a + 45\right)\cdot 89^{81} + \left(84 a^{2} + 34 a + 69\right)\cdot 89^{82} + \left(3 a^{2} + 12 a + 74\right)\cdot 89^{83} + \left(33 a^{2} + 75 a + 16\right)\cdot 89^{84} + \left(17 a^{2} + 79 a + 17\right)\cdot 89^{85} + \left(88 a^{2} + 29 a + 63\right)\cdot 89^{86} + \left(44 a^{2} + 5 a + 68\right)\cdot 89^{87} + \left(14 a^{2} + 22 a + 7\right)\cdot 89^{88} + \left(38 a^{2} + 66 a + 14\right)\cdot 89^{89} + \left(73 a^{2} + 12 a + 54\right)\cdot 89^{90} + \left(27 a^{2} + 11 a + 53\right)\cdot 89^{91} + \left(44 a + 39\right)\cdot 89^{92} + \left(65 a^{2} + 55 a + 76\right)\cdot 89^{93} + \left(12 a^{2} + 65 a + 80\right)\cdot 89^{94} + \left(65 a^{2} + 85 a + 33\right)\cdot 89^{95} + \left(45 a^{2} + 47 a + 5\right)\cdot 89^{96} + \left(54 a^{2} + 27\right)\cdot 89^{97} + \left(20 a^{2} + 82 a + 29\right)\cdot 89^{98} + \left(17 a^{2} + 69 a + 26\right)\cdot 89^{99} + \left(27 a^{2} + 15 a + 37\right)\cdot 89^{100} + \left(12 a^{2} + 11 a + 84\right)\cdot 89^{101} + \left(25 a^{2} + 66 a + 42\right)\cdot 89^{102} + \left(11 a^{2} + 73 a + 29\right)\cdot 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Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 9 }$

Cycle notation
$(1,2,5)(3,6,4)(7,9,8)$
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$(1,4,7)$
$(1,4)$

Character values on conjugacy classes

SizeOrderAction on $r_1, \ldots, r_{ 9 }$ Character value
$1$$1$$()$$8$
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$8$$3$$(1,4,7)(2,3,9)(5,6,8)$$-1$
$12$$3$$(1,4,7)(5,6,8)$$2$
$72$$3$$(1,2,5)(3,6,4)(7,9,8)$$2$
$54$$4$$(1,3,4,2)(7,9)$$0$
$162$$4$$(1,6,4,5)(3,9)(7,8)$$0$
$36$$6$$(1,2)(3,4)(5,6,8)(7,9)$$-2$
$36$$6$$(1,5,4,6,7,8)$$-2$
$36$$6$$(1,4)(5,6,8)$$0$
$36$$6$$(1,4)(2,3,9)(5,6,8)$$0$
$54$$6$$(1,4)(2,3)(5,8,6)$$0$
$72$$6$$(1,2,4,3,7,9)(5,6,8)$$1$
$108$$6$$(1,4)(2,5,3,6,9,8)$$0$
$216$$6$$(1,3,6,4,2,5)(7,9,8)$$0$
$144$$9$$(1,2,5,4,3,6,7,9,8)$$-1$
$108$$12$$(1,3,4,2)(5,6,8)(7,9)$$0$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.