Properties

Label 8.11e6_61e2.12t213.1c1
Dimension 8
Group $S_3\wr S_3$
Conductor $ 11^{6} \cdot 61^{2}$
Root number 1
Frobenius-Schur indicator 1

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Basic invariants

Dimension:$8$
Group:$S_3\wr S_3$
Conductor:$6591978481= 11^{6} \cdot 61^{2} $
Artin number field: Splitting field of $f= x^{9} - 3 x^{8} + 6 x^{7} - 4 x^{6} - x^{5} + 7 x^{4} - 8 x^{3} - x^{2} + 3 x + 1 $ over $\Q$
Size of Galois orbit: 1
Smallest containing permutation representation: 12T213
Parity: Even
Determinant: 1.1.1t1.1c1

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 23 }$ to precision 166.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 23 }$: $ x^{4} + 3 x^{2} + 19 x + 5 $
Roots:
$r_{ 1 }$ $=$ $ 5 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 2 + \left(15 a^{3} + 20 a^{2} + 6 a + 21\right)\cdot 23 + \left(12 a^{3} + 16 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 23^{2} + \left(16 a^{3} + 21 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 23^{3} + \left(7 a^{3} + 21 a^{2} + 7 a + 16\right)\cdot 23^{4} + \left(22 a^{3} + 13 a^{2} + 7 a + 19\right)\cdot 23^{5} + \left(a^{3} + 20 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 23^{6} + \left(16 a^{3} + 10 a^{2} + 3\right)\cdot 23^{7} + \left(9 a^{3} + 8 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 23^{8} + \left(15 a^{3} + 20 a^{2} + 12 a + 20\right)\cdot 23^{9} + \left(14 a^{3} + 4 a^{2} + 21 a + 8\right)\cdot 23^{10} + \left(4 a^{3} + 19 a^{2} + 2\right)\cdot 23^{11} + \left(11 a^{3} + 19 a^{2} + 19 a + 4\right)\cdot 23^{12} + \left(12 a^{3} + 7 a^{2} + 18 a\right)\cdot 23^{13} + \left(14 a^{3} + 9 a + 2\right)\cdot 23^{14} + \left(13 a^{3} + 9 a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 23^{15} + \left(15 a^{3} + 2 a^{2} + a + 19\right)\cdot 23^{16} + \left(21 a^{3} + 19 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 23^{17} + \left(16 a^{3} + 10 a^{2} + 16 a + 4\right)\cdot 23^{18} + \left(8 a^{3} + 22 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 23^{19} + \left(3 a^{3} + a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 23^{20} + \left(22 a^{3} + 21 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 23^{21} + \left(20 a^{3} + 17 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 23^{22} + \left(12 a^{3} + 17 a^{2} + 19 a + 15\right)\cdot 23^{23} + \left(22 a^{3} + 4 a^{2} + 22 a + 1\right)\cdot 23^{24} + \left(2 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 23^{25} + \left(7 a^{3} + 12 a^{2} + 19 a + 18\right)\cdot 23^{26} + \left(19 a^{3} + 19 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 23^{27} + \left(2 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 22\right)\cdot 23^{28} + \left(14 a^{3} + 9 a^{2} + 14 a + 1\right)\cdot 23^{29} + \left(2 a^{3} + 5 a^{2} + 2\right)\cdot 23^{30} + \left(19 a^{3} + 9 a^{2} + 17 a + 22\right)\cdot 23^{31} + \left(18 a^{3} + a^{2} + 15 a + 16\right)\cdot 23^{32} + \left(9 a^{3} + 18 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 23^{33} + \left(12 a^{3} + 18 a^{2} + 13 a + 19\right)\cdot 23^{34} + \left(19 a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 22\right)\cdot 23^{35} + \left(a^{3} + 8 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 23^{36} + \left(8 a^{3} + 20 a^{2} + 4 a\right)\cdot 23^{37} + \left(18 a^{3} + 16 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 23^{38} + \left(20 a^{3} + 16 a^{2} + 12 a + 20\right)\cdot 23^{39} + \left(9 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 23^{40} + \left(4 a^{3} + 4 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 23^{41} + \left(16 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 23^{42} + \left(15 a^{3} + 7 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 23^{43} + \left(8 a^{3} + 14 a^{2} + 8 a + 17\right)\cdot 23^{44} + \left(18 a^{3} + 2 a^{2} + a + 12\right)\cdot 23^{45} + \left(3 a^{3} + 17 a^{2} + 18 a + 6\right)\cdot 23^{46} + \left(14 a^{3} + 16 a^{2} + 15 a + 10\right)\cdot 23^{47} + \left(3 a^{3} + 3 a^{2} + 16 a + 10\right)\cdot 23^{48} + \left(14 a^{3} + 15 a^{2} + 21 a + 3\right)\cdot 23^{49} + \left(11 a^{3} + 5 a^{2} + 21 a + 6\right)\cdot 23^{50} + \left(9 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 23^{51} + \left(3 a^{3} + 5 a^{2} + 21 a\right)\cdot 23^{52} + \left(22 a^{3} + 5 a + 16\right)\cdot 23^{53} + \left(13 a^{3} + 22 a^{2} + 21 a + 16\right)\cdot 23^{54} + \left(13 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 21\right)\cdot 23^{55} + \left(20 a^{3} + 20 a^{2} + 10 a + 20\right)\cdot 23^{56} + \left(8 a^{3} + a + 14\right)\cdot 23^{57} + \left(8 a^{3} + 12 a^{2} + 5 a + 14\right)\cdot 23^{58} + \left(6 a^{3} + 10 a^{2} + 22 a + 5\right)\cdot 23^{59} + \left(15 a^{3} + 14 a^{2} + 19 a + 19\right)\cdot 23^{60} + \left(13 a^{3} + 17 a^{2} + 18 a + 2\right)\cdot 23^{61} + \left(19 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a\right)\cdot 23^{62} + \left(6 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 23^{63} + \left(11 a^{3} + 22 a^{2} + 2 a + 21\right)\cdot 23^{64} + \left(11 a^{3} + 19 a^{2} + 17 a + 9\right)\cdot 23^{65} + \left(a^{3} + 9 a^{2} + 9 a + 21\right)\cdot 23^{66} + \left(20 a^{3} + 19 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 23^{67} + \left(a^{3} + 2 a^{2} + 17 a + 17\right)\cdot 23^{68} + \left(10 a^{3} + 20 a^{2} + 19 a + 8\right)\cdot 23^{69} + \left(15 a^{2} + 19 a + 16\right)\cdot 23^{70} + \left(20 a^{3} + 19 a^{2} + 21 a + 7\right)\cdot 23^{71} + \left(17 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 23^{72} + \left(10 a^{3} + 20 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 23^{73} + \left(21 a^{2} + 17\right)\cdot 23^{74} + \left(5 a^{3} + 3 a^{2} + 22 a + 13\right)\cdot 23^{75} + \left(14 a^{3} + 18 a^{2} + 19 a + 16\right)\cdot 23^{76} + \left(21 a^{3} + 22 a^{2} + a + 7\right)\cdot 23^{77} + \left(a^{3} + 19 a^{2} + 13 a + 12\right)\cdot 23^{78} + \left(3 a^{3} + 20 a^{2} + a + 1\right)\cdot 23^{79} + \left(11 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 23^{80} + \left(16 a^{3} + 5 a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 23^{81} + \left(2 a^{3} + 17 a^{2} + 16 a + 17\right)\cdot 23^{82} + \left(2 a^{3} + 16 a^{2} + a + 16\right)\cdot 23^{83} + \left(21 a^{3} + 13 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 23^{84} + \left(3 a^{3} + 21 a^{2} + 7 a + 17\right)\cdot 23^{85} + \left(22 a^{3} + 16 a^{2} + 19 a + 21\right)\cdot 23^{86} + \left(17 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a\right)\cdot 23^{87} + \left(10 a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 23^{88} + \left(3 a^{3} + 18 a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 23^{89} + \left(9 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 23^{90} + \left(7 a^{3} + a^{2} + 19 a + 21\right)\cdot 23^{91} + \left(8 a^{3} + 17 a^{2} + 21 a + 10\right)\cdot 23^{92} + \left(11 a^{3} + 15 a^{2} + a + 6\right)\cdot 23^{93} + \left(16 a^{3} + 21 a^{2} + 20 a + 15\right)\cdot 23^{94} + \left(22 a^{3} + 8 a^{2} + 6\right)\cdot 23^{95} + \left(4 a^{3} + 14 a^{2} + 6\right)\cdot 23^{96} + \left(a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 20\right)\cdot 23^{97} + \left(12 a^{3} + 7 a^{2} + 22 a + 6\right)\cdot 23^{98} + \left(17 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a + 21\right)\cdot 23^{99} + \left(19 a^{3} + 22 a^{2} + 20 a + 11\right)\cdot 23^{100} + \left(21 a^{3} + 4 a^{2} + 16 a + 7\right)\cdot 23^{101} + \left(18 a^{3} + 18 a^{2} + 16 a + 2\right)\cdot 23^{102} + \left(11 a^{3} + 10 a^{2} + 20 a + 20\right)\cdot 23^{103} + \left(9 a^{3} + 16 a^{2} + 20 a + 13\right)\cdot 23^{104} + \left(20 a^{3} + 12 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 23^{105} + \left(8 a^{3} + 19 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 23^{106} + \left(21 a^{3} + 7 a^{2} + 7\right)\cdot 23^{107} + \left(16 a^{3} + 11 a^{2} + 9 a + 19\right)\cdot 23^{108} + \left(13 a^{3} + 4 a^{2} + 22 a + 15\right)\cdot 23^{109} + \left(6 a^{3} + 12 a^{2} + 16 a + 19\right)\cdot 23^{110} + \left(10 a^{3} + 16 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 23^{111} + \left(3 a^{3} + 6 a^{2} + 21 a + 12\right)\cdot 23^{112} + \left(19 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 23^{113} + \left(17 a^{3} + 10 a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 23^{114} + \left(9 a^{3} + 19 a^{2} + 21 a + 17\right)\cdot 23^{115} + \left(5 a^{3} + 20 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 23^{116} + \left(18 a^{3} + 8 a^{2} + 18 a + 21\right)\cdot 23^{117} + \left(5 a^{3} + 21 a^{2} + 12 a + 15\right)\cdot 23^{118} + \left(15 a^{3} + 14 a^{2} + 18 a + 4\right)\cdot 23^{119} + \left(a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 23^{120} + \left(13 a^{3} + 5 a^{2} + 22 a\right)\cdot 23^{121} + \left(17 a^{3} + 11 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 23^{122} + \left(6 a^{3} + 14 a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 23^{123} + \left(3 a^{3} + 17 a^{2} + a + 14\right)\cdot 23^{124} + \left(22 a^{3} + 5 a^{2} + 22 a + 11\right)\cdot 23^{125} + \left(9 a^{3} + 17 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 23^{126} + \left(22 a^{3} + 9 a^{2} + 17 a + 18\right)\cdot 23^{127} + \left(21 a^{3} + 19 a^{2} + 15 a\right)\cdot 23^{128} + \left(9 a^{3} + 8 a^{2} + 17 a + 6\right)\cdot 23^{129} + \left(21 a^{3} + 21 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 23^{130} + \left(3 a^{3} + 4 a^{2} + a + 5\right)\cdot 23^{131} + \left(8 a^{3} + 7 a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 23^{132} + \left(16 a^{3} + 13 a^{2} + 22\right)\cdot 23^{133} + \left(5 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 23^{134} + \left(16 a^{3} + 16 a^{2} + 5 a + 16\right)\cdot 23^{135} + \left(20 a^{3} + 18 a^{2} + 7 a + 16\right)\cdot 23^{136} + \left(21 a^{3} + 10 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 23^{137} + \left(6 a^{3} + 3 a^{2} + 20 a + 11\right)\cdot 23^{138} + \left(10 a^{3} + 6 a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 23^{139} + \left(19 a^{3} + 15 a^{2} + 17 a + 10\right)\cdot 23^{140} + \left(4 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 23^{141} + \left(3 a^{3} + 22 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 23^{142} + \left(10 a^{3} + 10 a^{2} + a + 22\right)\cdot 23^{143} + \left(7 a^{3} + 20 a^{2} + 22 a + 2\right)\cdot 23^{144} + \left(17 a^{3} + 8 a^{2} + 13 a + 16\right)\cdot 23^{145} + \left(17 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 23^{146} + \left(9 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 19\right)\cdot 23^{147} + \left(19 a^{3} + 11 a^{2} + 20 a + 16\right)\cdot 23^{148} + \left(5 a^{3} + 20 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 23^{149} + \left(17 a^{3} + 14 a^{2} + 8 a + 22\right)\cdot 23^{150} + \left(9 a^{3} + 18 a^{2} + 20 a + 17\right)\cdot 23^{151} + \left(2 a^{3} + 3 a^{2} + a + 20\right)\cdot 23^{152} + \left(a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 23^{153} + \left(2 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 23^{154} + \left(16 a^{3} + 16 a^{2} + 8 a + 22\right)\cdot 23^{155} + \left(18 a^{3} + 16 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 23^{156} + \left(2 a^{3} + 18 a^{2} + 16 a + 12\right)\cdot 23^{157} + \left(14 a^{3} + 5 a^{2} + a + 4\right)\cdot 23^{158} + \left(10 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 23^{159} + \left(22 a^{3} + 4 a^{2} + 22 a + 13\right)\cdot 23^{160} + \left(15 a^{3} + 22 a^{2} + 20 a + 13\right)\cdot 23^{161} + \left(10 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 23^{162} + \left(19 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 17\right)\cdot 23^{163} + \left(18 a^{3} + 15 a^{2} + a + 22\right)\cdot 23^{164} + \left(11 a^{3} + 18 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 23^{165} +O\left(23^{ 166 }\right)$
$r_{ 2 }$ $=$ $ 16 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 13 + \left(16 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 23 + \left(22 a^{3} + 13 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 23^{2} + \left(2 a^{3} + 16 a^{2} + 18 a + 15\right)\cdot 23^{3} + \left(14 a^{3} + 11 a + 10\right)\cdot 23^{4} + \left(7 a^{3} + 21 a^{2} + 19 a + 4\right)\cdot 23^{5} + \left(10 a^{3} + 20 a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 23^{6} + \left(a^{3} + 20 a^{2} + 16 a + 2\right)\cdot 23^{7} + \left(7 a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 23^{8} + \left(13 a^{3} + 8 a^{2} + 21 a + 3\right)\cdot 23^{9} + \left(6 a^{3} + 9 a^{2} + 17 a + 9\right)\cdot 23^{10} + \left(7 a^{3} + 16 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 23^{11} + \left(4 a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 23^{12} + \left(11 a^{3} + 9 a^{2} + 17 a + 7\right)\cdot 23^{13} + \left(15 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 19\right)\cdot 23^{14} + \left(10 a^{3} + 11 a^{2} + 14 a + 22\right)\cdot 23^{15} + \left(12 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 23^{16} + \left(22 a^{3} + 18 a^{2} + 21 a + 7\right)\cdot 23^{17} + \left(7 a^{3} + 10 a^{2} + 22 a + 22\right)\cdot 23^{18} + \left(9 a^{3} + 3 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 23^{19} + \left(7 a^{3} + 21 a^{2} + 13 a + 9\right)\cdot 23^{20} + \left(20 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 23^{21} + \left(20 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 20\right)\cdot 23^{22} + \left(4 a^{3} + 3 a^{2} + 19 a + 17\right)\cdot 23^{23} + \left(13 a^{3} + 16 a^{2} + 4 a\right)\cdot 23^{24} + \left(14 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 23^{25} + \left(a^{3} + 14 a^{2} + 10 a + 19\right)\cdot 23^{26} + \left(a^{3} + 21 a^{2} + 21 a + 2\right)\cdot 23^{27} + \left(12 a^{3} + 11 a^{2} + 22\right)\cdot 23^{28} + \left(13 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 23^{29} + \left(5 a^{3} + 19 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 23^{30} + \left(15 a^{3} + 15 a^{2} + 14 a + 19\right)\cdot 23^{31} + \left(a^{3} + 11 a^{2} + 15 a + 22\right)\cdot 23^{32} + \left(6 a^{3} + 5 a + 19\right)\cdot 23^{33} + \left(17 a^{3} + 10 a + 6\right)\cdot 23^{34} + \left(4 a^{3} + 10 a^{2} + 17 a + 10\right)\cdot 23^{35} + \left(14 a^{3} + 3 a + 6\right)\cdot 23^{36} + \left(18 a^{3} + a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 23^{37} + \left(22 a^{3} + 19 a^{2} + 12 a + 17\right)\cdot 23^{38} + \left(2 a^{3} + 7 a^{2} + 22 a + 11\right)\cdot 23^{39} + \left(3 a^{3} + 14 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 23^{40} + \left(14 a^{3} + 17 a^{2} + 20\right)\cdot 23^{41} + \left(11 a^{3} + 6 a^{2} + 10\right)\cdot 23^{42} + \left(22 a^{3} + 13 a^{2} + 5 a + 18\right)\cdot 23^{43} + \left(3 a^{3} + 8 a^{2} + 22 a + 8\right)\cdot 23^{44} + \left(6 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 23^{45} + \left(11 a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 22\right)\cdot 23^{46} + \left(15 a^{3} + 2 a^{2} + 21 a + 10\right)\cdot 23^{47} + \left(4 a^{3} + 2 a + 7\right)\cdot 23^{48} + \left(12 a^{3} + 13 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 23^{49} + \left(8 a^{3} + a^{2} + 22 a + 21\right)\cdot 23^{50} + \left(12 a^{2} + 19 a + 3\right)\cdot 23^{51} + \left(2 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 22\right)\cdot 23^{52} + \left(16 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 23^{53} + \left(6 a^{3} + 12 a^{2} + a + 16\right)\cdot 23^{54} + \left(20 a^{3} + 18 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 23^{55} + \left(21 a^{3} + 2 a^{2} + 13 a + 5\right)\cdot 23^{56} + \left(21 a^{3} + 6 a^{2} + 18 a + 15\right)\cdot 23^{57} + \left(6 a^{3} + 4 a^{2} + 20 a + 3\right)\cdot 23^{58} + \left(18 a^{3} + 2 a^{2} + 18 a + 4\right)\cdot 23^{59} + \left(5 a^{3} + 18 a^{2} + 20 a + 21\right)\cdot 23^{60} + \left(19 a^{3} + 13 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 23^{61} + \left(3 a^{3} + 12 a^{2} + a + 5\right)\cdot 23^{62} + \left(19 a^{3} + 21 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 23^{63} + \left(9 a^{3} + 18 a^{2} + 17 a + 5\right)\cdot 23^{64} + \left(a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 23^{65} + \left(a^{3} + 9 a^{2} + 22 a + 21\right)\cdot 23^{66} + \left(16 a^{3} + 20 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 23^{67} + \left(10 a^{3} + 11 a^{2} + 19 a + 17\right)\cdot 23^{68} + \left(9 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 23^{69} + \left(22 a^{3} + 14 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 23^{70} + \left(4 a^{3} + 14 a^{2} + 18 a + 13\right)\cdot 23^{71} + \left(19 a^{3} + a^{2} + 10 a + 14\right)\cdot 23^{72} + \left(3 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 23^{73} + \left(3 a^{3} + 22 a^{2} + 5 a + 16\right)\cdot 23^{74} + \left(20 a^{3} + 9 a^{2} + a + 11\right)\cdot 23^{75} + \left(20 a^{3} + 19 a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 23^{76} + \left(15 a^{3} + 18 a^{2} + 17 a + 21\right)\cdot 23^{77} + \left(12 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 23^{78} + \left(9 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 20\right)\cdot 23^{79} + \left(8 a^{3} + 11 a^{2} + 19 a + 10\right)\cdot 23^{80} + \left(5 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 21\right)\cdot 23^{81} + \left(17 a^{3} + 14 a^{2} + 15 a\right)\cdot 23^{82} + \left(17 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 19\right)\cdot 23^{83} + \left(14 a^{3} + 4 a^{2} + 14 a + 4\right)\cdot 23^{84} + \left(9 a^{3} + 2 a^{2} + 22 a + 11\right)\cdot 23^{85} + \left(4 a^{3} + a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 23^{86} + \left(11 a^{3} + 2 a^{2} + 15 a + 16\right)\cdot 23^{87} + \left(17 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 23^{88} + \left(21 a^{3} + 16 a^{2} + 5 a + 14\right)\cdot 23^{89} + \left(15 a^{2} + 12\right)\cdot 23^{90} + \left(11 a^{3} + 7 a^{2} + 13 a + 12\right)\cdot 23^{91} + \left(4 a^{3} + 7 a + 4\right)\cdot 23^{92} + \left(20 a^{3} + 7 a^{2} + a + 7\right)\cdot 23^{93} + \left(22 a^{3} + 3 a^{2} + 19 a + 18\right)\cdot 23^{94} + \left(18 a^{3} + a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 23^{95} + \left(19 a^{3} + 7 a^{2} + 13 a + 17\right)\cdot 23^{96} + \left(20 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 23^{97} + \left(5 a^{3} + 1\right)\cdot 23^{98} + \left(19 a^{3} + 6 a + 21\right)\cdot 23^{99} + \left(6 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 23^{100} + \left(9 a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 23^{101} + \left(12 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 23^{102} + \left(a^{3} + 18 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 23^{103} + \left(19 a^{3} + 19 a^{2} + 17 a + 11\right)\cdot 23^{104} + \left(14 a^{3} + 21 a^{2} + 19 a + 6\right)\cdot 23^{105} + \left(16 a^{3} + 10 a^{2} + 22 a + 22\right)\cdot 23^{106} + \left(9 a^{3} + 5 a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 23^{107} + \left(a^{3} + 17 a^{2} + 18 a + 6\right)\cdot 23^{108} + \left(3 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 21\right)\cdot 23^{109} + \left(a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 23^{110} + \left(16 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 23^{111} + \left(12 a^{3} + 22 a^{2} + 20 a + 7\right)\cdot 23^{112} + \left(13 a^{3} + 19 a^{2} + 6 a + 13\right)\cdot 23^{113} + \left(9 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 20\right)\cdot 23^{114} + \left(7 a^{3} + 16 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 23^{115} + \left(18 a^{3} + 22 a^{2} + 5 a\right)\cdot 23^{116} + \left(2 a^{3} + 16 a^{2} + 14 a + 4\right)\cdot 23^{117} + \left(16 a^{3} + 18 a^{2} + 17 a + 17\right)\cdot 23^{118} + \left(18 a^{3} + 10 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 23^{119} + \left(20 a^{3} + 7 a^{2} + 20 a + 10\right)\cdot 23^{120} + \left(7 a^{3} + 16 a^{2} + 19 a + 1\right)\cdot 23^{121} + \left(5 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 23^{122} + \left(18 a^{3} + a^{2} + 18 a + 7\right)\cdot 23^{123} + \left(11 a^{3} + 9 a + 15\right)\cdot 23^{124} + \left(8 a^{3} + 4 a^{2} + 22 a + 18\right)\cdot 23^{125} + \left(14 a^{3} + a^{2} + 22 a + 19\right)\cdot 23^{126} + \left(9 a^{2} + 17 a + 2\right)\cdot 23^{127} + \left(22 a^{3} + 3 a^{2} + 20 a + 7\right)\cdot 23^{128} + \left(4 a^{3} + 21 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 23^{129} + \left(5 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 23^{130} + \left(18 a^{3} + 17 a^{2} + a + 2\right)\cdot 23^{131} + \left(4 a^{3} + 15 a^{2} + 6 a + 18\right)\cdot 23^{132} + \left(9 a^{3} + 2 a^{2} + 20 a + 19\right)\cdot 23^{133} + \left(9 a^{3} + 7 a^{2} + 21 a + 8\right)\cdot 23^{134} + \left(8 a^{3} + 12 a^{2} + 21 a + 18\right)\cdot 23^{135} + \left(16 a^{3} + 3 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 23^{136} + \left(7 a^{3} + a^{2} + 8 a + 18\right)\cdot 23^{137} + \left(10 a^{3} + 2 a + 2\right)\cdot 23^{138} + \left(18 a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 23^{139} + \left(10 a^{3} + 19 a^{2} + 6 a + 13\right)\cdot 23^{140} + \left(16 a^{3} + 20 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 23^{141} + \left(6 a^{3} + 6 a^{2} + 13 a + 9\right)\cdot 23^{142} + \left(4 a^{3} + 18 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 23^{143} + \left(4 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a\right)\cdot 23^{144} + \left(10 a^{3} + 10 a^{2} + 17 a + 1\right)\cdot 23^{145} + \left(22 a^{3} + 19 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 23^{146} + \left(15 a^{3} + 5 a + 13\right)\cdot 23^{147} + \left(18 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a\right)\cdot 23^{148} + \left(20 a^{3} + 10 a^{2} + 21 a + 3\right)\cdot 23^{149} + \left(2 a^{3} + 8 a + 13\right)\cdot 23^{150} + \left(15 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 23^{151} + \left(21 a^{3} + 22 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 23^{152} + \left(14 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 23^{153} + \left(21 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 17\right)\cdot 23^{154} + \left(13 a^{3} + 10 a^{2} + 20 a + 20\right)\cdot 23^{155} + \left(11 a^{3} + 18 a^{2} + 20 a + 20\right)\cdot 23^{156} + \left(4 a^{3} + 11 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 23^{157} + \left(10 a^{3} + 16 a^{2} + 19 a + 11\right)\cdot 23^{158} + \left(14 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 23^{159} + \left(19 a^{3} + 21 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 23^{160} + \left(16 a^{3} + 13 a^{2} + 19 a + 5\right)\cdot 23^{161} + \left(15 a^{3} + a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 23^{162} + \left(20 a^{3} + 20 a^{2} + 9 a + 14\right)\cdot 23^{163} + \left(16 a^{3} + 7 a^{2} + 13 a + 9\right)\cdot 23^{164} + \left(18 a^{2} + 16 a + 5\right)\cdot 23^{165} +O\left(23^{ 166 }\right)$
$r_{ 3 }$ $=$ $ 2 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 4 + \left(11 a^{3} + 18 a^{2} + 17 a + 15\right)\cdot 23 + \left(5 a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 17\right)\cdot 23^{2} + \left(22 a^{3} + a^{2} + 17 a + 8\right)\cdot 23^{3} + \left(4 a^{3} + 3 a + 17\right)\cdot 23^{4} + \left(6 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 16\right)\cdot 23^{5} + \left(16 a^{3} + 8 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 23^{6} + \left(17 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 18\right)\cdot 23^{7} + \left(18 a^{3} + 3 a^{2} + 13 a\right)\cdot 23^{8} + \left(8 a^{3} + 12 a^{2} + 2 a + 19\right)\cdot 23^{9} + \left(4 a^{3} + 6 a^{2} + a + 10\right)\cdot 23^{10} + \left(21 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 23^{11} + \left(12 a^{3} + 19 a^{2} + 10 a + 21\right)\cdot 23^{12} + \left(2 a^{3} + 21 a^{2} + a + 21\right)\cdot 23^{13} + \left(11 a^{3} + a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 23^{14} + \left(7 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 23^{15} + \left(a^{3} + 12 a^{2} + 16 a\right)\cdot 23^{16} + \left(10 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 17\right)\cdot 23^{17} + \left(14 a^{3} + 15 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 23^{18} + \left(9 a^{3} + 5 a^{2} + 17 a + 21\right)\cdot 23^{19} + \left(11 a^{3} + 10 a^{2} + 19 a + 2\right)\cdot 23^{20} + \left(5 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 23^{21} + \left(19 a^{3} + 14 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 23^{22} + \left(12 a^{3} + a^{2} + 11 a + 17\right)\cdot 23^{23} + \left(16 a^{3} + 12 a^{2} + 20 a + 4\right)\cdot 23^{24} + \left(12 a^{3} + 7 a^{2} + 16 a + 8\right)\cdot 23^{25} + \left(22 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 16\right)\cdot 23^{26} + \left(18 a^{3} + 7 a^{2} + 13 a + 8\right)\cdot 23^{27} + \left(13 a^{3} + 22 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 23^{28} + \left(8 a^{3} + 22 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 23^{29} + \left(8 a^{3} + 20 a^{2} + 13 a + 2\right)\cdot 23^{30} + \left(8 a^{3} + 20 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 23^{31} + \left(12 a^{3} + 22 a^{2} + 7 a + 17\right)\cdot 23^{32} + \left(a^{3} + 13 a + 2\right)\cdot 23^{33} + \left(6 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 23^{34} + \left(10 a^{3} + 21 a^{2} + 17 a + 6\right)\cdot 23^{35} + \left(10 a^{3} + 17 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 23^{36} + \left(21 a^{3} + 22 a^{2} + 21 a + 15\right)\cdot 23^{37} + \left(9 a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 13\right)\cdot 23^{38} + \left(22 a^{3} + 14 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 23^{39} + \left(6 a^{3} + 13 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 23^{40} + \left(5 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 23^{41} + \left(12 a^{3} + 17 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 23^{42} + \left(17 a^{3} + 8 a^{2} + 16 a + 16\right)\cdot 23^{43} + \left(15 a^{3} + 15 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 23^{44} + \left(16 a^{3} + 16 a^{2} + 5 a + 19\right)\cdot 23^{45} + \left(15 a^{3} + 19 a^{2} + 10 a + 18\right)\cdot 23^{46} + \left(20 a^{3} + 20 a^{2} + 15 a + 21\right)\cdot 23^{47} + \left(16 a^{3} + a + 9\right)\cdot 23^{48} + \left(10 a^{3} + 15 a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 23^{49} + \left(14 a^{3} + 16 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 23^{50} + \left(a^{3} + 20 a^{2} + 1\right)\cdot 23^{51} + \left(16 a^{3} + 19 a^{2} + 20 a + 15\right)\cdot 23^{52} + \left(14 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 23^{53} + \left(5 a^{2} + 15 a + 6\right)\cdot 23^{54} + \left(6 a^{2} + 7 a + 19\right)\cdot 23^{55} + \left(17 a^{3} + 11 a + 7\right)\cdot 23^{56} + \left(10 a^{2} + 13 a + 12\right)\cdot 23^{57} + \left(18 a^{3} + 15 a^{2} + 21 a + 6\right)\cdot 23^{58} + \left(22 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 23^{59} + \left(3 a^{3} + 15 a^{2} + 7 a + 15\right)\cdot 23^{60} + \left(8 a^{3} + 10 a^{2} + 18 a + 3\right)\cdot 23^{61} + \left(17 a^{3} + 13 a^{2} + 4 a + 19\right)\cdot 23^{62} + \left(13 a^{3} + 17 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 23^{63} + \left(20 a^{3} + 22 a^{2} + a + 21\right)\cdot 23^{64} + \left(21 a^{3} + 4 a^{2} + 21 a + 6\right)\cdot 23^{65} + \left(4 a^{3} + 13 a^{2} + 22 a + 8\right)\cdot 23^{66} + \left(19 a^{3} + 22 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 23^{67} + \left(5 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 23^{68} + \left(3 a^{3} + 12 a^{2} + 19 a + 17\right)\cdot 23^{69} + \left(21 a^{3} + 14 a^{2} + 21 a + 4\right)\cdot 23^{70} + \left(14 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 15\right)\cdot 23^{71} + \left(3 a^{3} + a^{2} + 22 a + 2\right)\cdot 23^{72} + \left(3 a^{3} + 6 a^{2} + 18 a + 6\right)\cdot 23^{73} + \left(10 a^{3} + 18 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 23^{74} + \left(21 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a\right)\cdot 23^{75} + \left(13 a^{3} + 4 a^{2} + 3\right)\cdot 23^{76} + \left(6 a^{3} + 20 a^{2} + 14 a + 10\right)\cdot 23^{77} + \left(12 a^{3} + a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 23^{78} + \left(13 a^{3} + 12 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 23^{79} + \left(15 a^{3} + 15 a^{2} + 11 a + 20\right)\cdot 23^{80} + \left(18 a^{3} + 2 a^{2} + 19 a + 22\right)\cdot 23^{81} + \left(6 a^{3} + 8 a^{2} + 22 a + 2\right)\cdot 23^{82} + \left(22 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 23^{83} + \left(20 a^{3} + 18 a^{2} + 22 a + 9\right)\cdot 23^{84} + \left(3 a^{3} + 3 a^{2} + 13 a + 21\right)\cdot 23^{85} + \left(8 a^{3} + 13 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 23^{86} + \left(4 a^{3} + a^{2} + 21 a\right)\cdot 23^{87} + \left(15 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 23^{88} + \left(13 a^{3} + 16 a^{2} + 17 a + 5\right)\cdot 23^{89} + \left(5 a^{3} + a^{2} + 22 a + 4\right)\cdot 23^{90} + \left(22 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 23^{91} + \left(20 a^{3} + 9 a^{2} + 18\right)\cdot 23^{92} + \left(16 a^{3} + 5 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 23^{93} + \left(10 a^{3} + 18 a^{2} + 14 a\right)\cdot 23^{94} + \left(5 a^{3} + 11 a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 23^{95} + \left(19 a^{3} + 22 a^{2} + 9 a + 19\right)\cdot 23^{96} + \left(4 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 23^{97} + \left(7 a^{3} + a^{2} + 18 a + 13\right)\cdot 23^{98} + \left(2 a^{3} + 16 a^{2} + 10 a + 17\right)\cdot 23^{99} + \left(12 a^{3} + 6 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 23^{100} + \left(2 a^{3} + 14 a^{2} + 3 a + 21\right)\cdot 23^{101} + \left(9 a^{3} + 14 a + 5\right)\cdot 23^{102} + \left(10 a^{3} + a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 23^{103} + \left(22 a^{3} + 6 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 23^{104} + \left(11 a^{3} + 12 a^{2} + 20 a + 3\right)\cdot 23^{105} + \left(5 a^{3} + 13 a^{2} + 3 a + 21\right)\cdot 23^{106} + \left(21 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 17\right)\cdot 23^{107} + \left(9 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 16\right)\cdot 23^{108} + \left(13 a^{3} + 18 a^{2} + a + 1\right)\cdot 23^{109} + \left(6 a^{3} + 21 a^{2} + 14 a + 20\right)\cdot 23^{110} + \left(21 a^{3} + 20 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 23^{111} + \left(22 a^{3} + 19 a + 18\right)\cdot 23^{112} + \left(13 a^{3} + 10 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 23^{113} + \left(12 a^{3} + 10 a^{2} + 19 a + 11\right)\cdot 23^{114} + \left(18 a^{3} + 14 a^{2} + 20 a + 17\right)\cdot 23^{115} + \left(9 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 23^{116} + \left(8 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 19\right)\cdot 23^{117} + \left(16 a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 23^{118} + \left(6 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 23^{119} + \left(2 a^{3} + 22 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 23^{120} + \left(5 a^{3} + 18 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 23^{121} + \left(21 a^{3} + 19 a^{2} + 6 a + 20\right)\cdot 23^{122} + \left(17 a^{3} + 8 a^{2} + 16 a\right)\cdot 23^{123} + \left(12 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 23^{124} + \left(19 a^{3} + 22 a^{2} + 21 a\right)\cdot 23^{125} + \left(22 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 23^{126} + \left(5 a^{3} + 5 a^{2} + 11 a + 22\right)\cdot 23^{127} + \left(3 a^{3} + 14 a^{2} + 21 a\right)\cdot 23^{128} + \left(11 a^{3} + a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 23^{129} + \left(6 a^{3} + 15 a^{2} + 18 a + 8\right)\cdot 23^{130} + \left(8 a^{3} + 20 a^{2} + 13 a + 20\right)\cdot 23^{131} + \left(11 a^{3} + 7 a^{2} + 21 a + 10\right)\cdot 23^{132} + \left(18 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 23^{133} + \left(4 a^{3} + 21 a^{2} + 15\right)\cdot 23^{134} + \left(4 a^{3} + 8 a^{2} + 21 a + 2\right)\cdot 23^{135} + \left(16 a^{3} + 21 a^{2} + 19 a + 20\right)\cdot 23^{136} + \left(7 a^{3} + 13 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 23^{137} + \left(12 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 23^{138} + \left(7 a^{3} + 22 a^{2} + a\right)\cdot 23^{139} + \left(19 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 23^{140} + \left(19 a^{3} + 2 a^{2} + 18 a + 13\right)\cdot 23^{141} + \left(9 a^{3} + 15 a^{2} + 12 a + 17\right)\cdot 23^{142} + \left(14 a^{3} + 2 a^{2} + 18 a + 7\right)\cdot 23^{143} + \left(19 a^{3} + 9 a^{2} + 21 a + 12\right)\cdot 23^{144} + \left(19 a^{3} + 15 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 23^{145} + \left(18 a^{3} + 7 a^{2} + 15 a\right)\cdot 23^{146} + \left(22 a^{3} + 17 a^{2} + 14 a + 18\right)\cdot 23^{147} + \left(3 a^{3} + 15 a^{2} + 20 a + 12\right)\cdot 23^{148} + \left(15 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 19\right)\cdot 23^{149} + \left(20 a^{3} + 20 a^{2} + 16 a + 8\right)\cdot 23^{150} + \left(22 a^{3} + 21 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 23^{151} + \left(12 a^{3} + 22 a^{2} + 18 a + 21\right)\cdot 23^{152} + \left(2 a^{3} + 22 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 23^{153} + \left(12 a^{3} + 21 a^{2} + 18 a\right)\cdot 23^{154} + \left(15 a^{3} + 17 a^{2} + 21 a + 2\right)\cdot 23^{155} + \left(18 a^{3} + 18 a^{2} + 17 a + 6\right)\cdot 23^{156} + \left(11 a^{3} + 11 a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 23^{157} + \left(a^{3} + 6 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 23^{158} + \left(a^{3} + a^{2} + 22\right)\cdot 23^{159} + \left(6 a^{3} + 21 a^{2} + 18 a + 21\right)\cdot 23^{160} + \left(9 a^{3} + 16 a^{2} + 1\right)\cdot 23^{161} + \left(15 a^{3} + 21 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 23^{162} + \left(6 a^{3} + 12 a^{2} + 15 a + 16\right)\cdot 23^{163} + \left(13 a^{3} + 18 a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 23^{164} + \left(18 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 23^{165} +O\left(23^{ 166 }\right)$
$r_{ 4 }$ $=$ $ 20 + 15\cdot 23 + 14\cdot 23^{2} + 22\cdot 23^{3} + 11\cdot 23^{4} + 6\cdot 23^{5} + 12\cdot 23^{6} + 23^{7} + 9\cdot 23^{8} + 22\cdot 23^{9} + 23^{11} + 14\cdot 23^{12} + 22\cdot 23^{13} + 8\cdot 23^{14} + 8\cdot 23^{15} + 10\cdot 23^{16} + 13\cdot 23^{17} + 5\cdot 23^{19} + 10\cdot 23^{20} + 11\cdot 23^{21} + 23^{22} + 11\cdot 23^{23} + 21\cdot 23^{24} + 14\cdot 23^{25} + 18\cdot 23^{26} + 16\cdot 23^{27} + 16\cdot 23^{28} + 6\cdot 23^{30} + 22\cdot 23^{31} + 16\cdot 23^{33} + 15\cdot 23^{34} + 11\cdot 23^{35} + 4\cdot 23^{36} + 3\cdot 23^{37} + 22\cdot 23^{38} + 14\cdot 23^{39} + 10\cdot 23^{40} + 22\cdot 23^{41} + 19\cdot 23^{42} + 12\cdot 23^{43} + 13\cdot 23^{44} + 11\cdot 23^{45} + 8\cdot 23^{46} + 19\cdot 23^{47} + 12\cdot 23^{48} + 16\cdot 23^{49} + 13\cdot 23^{50} + 6\cdot 23^{51} + 19\cdot 23^{52} + 23^{53} + 5\cdot 23^{54} + 14\cdot 23^{55} + 7\cdot 23^{56} + 19\cdot 23^{57} + 15\cdot 23^{58} + 17\cdot 23^{59} + 14\cdot 23^{60} + 22\cdot 23^{61} + 20\cdot 23^{62} + 20\cdot 23^{63} + 22\cdot 23^{64} + 10\cdot 23^{65} + 6\cdot 23^{66} + 18\cdot 23^{67} + 15\cdot 23^{68} + 19\cdot 23^{69} + 15\cdot 23^{70} + 4\cdot 23^{71} + 8\cdot 23^{72} + 19\cdot 23^{73} + 20\cdot 23^{74} + 23^{76} + 2\cdot 23^{77} + 10\cdot 23^{78} + 9\cdot 23^{79} + 16\cdot 23^{80} + 11\cdot 23^{81} + 14\cdot 23^{82} + 19\cdot 23^{83} + 11\cdot 23^{84} + 15\cdot 23^{85} + 6\cdot 23^{86} + 16\cdot 23^{87} + 23^{89} + 4\cdot 23^{90} + 2\cdot 23^{92} + 13\cdot 23^{93} + 21\cdot 23^{94} + 16\cdot 23^{95} + 11\cdot 23^{96} + 19\cdot 23^{97} + 17\cdot 23^{98} + 10\cdot 23^{99} + 20\cdot 23^{100} + 23^{101} + 15\cdot 23^{102} + 18\cdot 23^{103} + 16\cdot 23^{104} + 12\cdot 23^{105} + 11\cdot 23^{106} + 8\cdot 23^{107} + 6\cdot 23^{108} + 5\cdot 23^{109} + 23^{110} + 7\cdot 23^{111} + 13\cdot 23^{112} + 6\cdot 23^{113} + 9\cdot 23^{114} + 2\cdot 23^{115} + 6\cdot 23^{116} + 9\cdot 23^{117} + 13\cdot 23^{118} + 21\cdot 23^{119} + 18\cdot 23^{120} + 7\cdot 23^{121} + 18\cdot 23^{122} + 17\cdot 23^{123} + 13\cdot 23^{124} + 15\cdot 23^{125} + 13\cdot 23^{126} + 10\cdot 23^{127} + 4\cdot 23^{128} + 22\cdot 23^{129} + 8\cdot 23^{130} + 23^{131} + 21\cdot 23^{132} + 8\cdot 23^{135} + 3\cdot 23^{136} + 9\cdot 23^{137} + 2\cdot 23^{138} + 19\cdot 23^{139} + 15\cdot 23^{140} + 15\cdot 23^{141} + 8\cdot 23^{142} + 23^{143} + 3\cdot 23^{144} + 5\cdot 23^{145} + 3\cdot 23^{146} + 22\cdot 23^{147} + 12\cdot 23^{148} + 15\cdot 23^{149} + 20\cdot 23^{150} + 21\cdot 23^{151} + 15\cdot 23^{152} + 17\cdot 23^{153} + 2\cdot 23^{154} + 14\cdot 23^{155} + 11\cdot 23^{156} + 8\cdot 23^{157} + 8\cdot 23^{158} + 16\cdot 23^{159} + 15\cdot 23^{160} + 11\cdot 23^{161} + 23^{162} + 9\cdot 23^{163} + 19\cdot 23^{164} + 15\cdot 23^{165} +O\left(23^{ 166 }\right)$
$r_{ 5 }$ $=$ $ 18 a^{3} + 13 a^{2} + 13 a + 2 + \left(7 a^{3} + 2 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 23 + \left(10 a^{3} + 6 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 23^{2} + \left(6 a^{3} + a^{2} + 13 a + 19\right)\cdot 23^{3} + \left(15 a^{3} + a^{2} + 15 a + 17\right)\cdot 23^{4} + \left(9 a^{2} + 15 a + 19\right)\cdot 23^{5} + \left(21 a^{3} + 2 a^{2} + 18 a + 3\right)\cdot 23^{6} + \left(6 a^{3} + 12 a^{2} + 22 a + 18\right)\cdot 23^{7} + \left(13 a^{3} + 14 a^{2} + 11 a + 22\right)\cdot 23^{8} + \left(7 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 23^{9} + \left(8 a^{3} + 18 a^{2} + a + 13\right)\cdot 23^{10} + \left(18 a^{3} + 3 a^{2} + 22 a + 19\right)\cdot 23^{11} + \left(11 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 23^{12} + \left(10 a^{3} + 15 a^{2} + 4 a\right)\cdot 23^{13} + \left(8 a^{3} + 22 a^{2} + 13 a + 12\right)\cdot 23^{14} + \left(9 a^{3} + 13 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 23^{15} + \left(7 a^{3} + 20 a^{2} + 21 a + 16\right)\cdot 23^{16} + \left(a^{3} + 3 a^{2} + 20 a\right)\cdot 23^{17} + \left(6 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 18\right)\cdot 23^{18} + \left(14 a^{3} + 15 a + 11\right)\cdot 23^{19} + \left(19 a^{3} + 21 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 23^{20} + \left(a^{2} + 6 a + 20\right)\cdot 23^{21} + \left(2 a^{3} + 5 a^{2} + 13 a + 12\right)\cdot 23^{22} + \left(10 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 19\right)\cdot 23^{23} + \left(18 a^{2} + 22\right)\cdot 23^{24} + \left(20 a^{3} + 19 a^{2} + 12 a + 19\right)\cdot 23^{25} + \left(15 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 23^{26} + \left(3 a^{3} + 3 a^{2} + 17 a + 3\right)\cdot 23^{27} + \left(20 a^{3} + 18 a^{2} + 13 a + 7\right)\cdot 23^{28} + \left(8 a^{3} + 13 a^{2} + 8 a + 20\right)\cdot 23^{29} + \left(20 a^{3} + 17 a^{2} + 22 a + 14\right)\cdot 23^{30} + \left(3 a^{3} + 13 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 23^{31} + \left(4 a^{3} + 21 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 23^{32} + \left(13 a^{3} + 4 a^{2} + 20 a + 3\right)\cdot 23^{33} + \left(10 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 23^{34} + \left(3 a^{3} + 13 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 23^{35} + \left(21 a^{3} + 14 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 23^{36} + \left(14 a^{3} + 2 a^{2} + 18 a + 19\right)\cdot 23^{37} + \left(4 a^{3} + 6 a^{2} + 19 a + 6\right)\cdot 23^{38} + \left(2 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 23^{39} + \left(13 a^{3} + 12 a^{2} + 20 a + 21\right)\cdot 23^{40} + \left(18 a^{3} + 18 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 23^{41} + \left(6 a^{3} + 12 a^{2} + 18 a + 8\right)\cdot 23^{42} + \left(7 a^{3} + 15 a^{2} + 6 a + 17\right)\cdot 23^{43} + \left(14 a^{3} + 8 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 23^{44} + \left(4 a^{3} + 20 a^{2} + 21 a + 21\right)\cdot 23^{45} + \left(19 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 23^{46} + \left(8 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 16\right)\cdot 23^{47} + \left(19 a^{3} + 19 a^{2} + 6 a + 22\right)\cdot 23^{48} + \left(8 a^{3} + 7 a^{2} + a + 2\right)\cdot 23^{49} + \left(11 a^{3} + 17 a^{2} + a + 3\right)\cdot 23^{50} + \left(13 a^{3} + 19 a^{2} + 14 a\right)\cdot 23^{51} + \left(19 a^{3} + 17 a^{2} + a + 3\right)\cdot 23^{52} + \left(22 a^{2} + 17 a + 5\right)\cdot 23^{53} + \left(9 a^{3} + a + 1\right)\cdot 23^{54} + \left(9 a^{3} + 18 a^{2} + 16 a + 10\right)\cdot 23^{55} + \left(2 a^{3} + 2 a^{2} + 12 a + 17\right)\cdot 23^{56} + \left(14 a^{3} + 22 a^{2} + 21 a + 11\right)\cdot 23^{57} + \left(14 a^{3} + 10 a^{2} + 17 a + 15\right)\cdot 23^{58} + \left(16 a^{3} + 12 a^{2} + 22\right)\cdot 23^{59} + \left(7 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 23^{60} + \left(9 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 20\right)\cdot 23^{61} + \left(3 a^{3} + 14 a^{2} + 19 a + 1\right)\cdot 23^{62} + \left(16 a^{3} + 20 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 23^{63} + \left(11 a^{3} + 20 a + 1\right)\cdot 23^{64} + \left(11 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 23^{65} + \left(21 a^{3} + 13 a^{2} + 13 a + 18\right)\cdot 23^{66} + \left(2 a^{3} + 3 a^{2} + 17 a + 20\right)\cdot 23^{67} + \left(21 a^{3} + 20 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 23^{68} + \left(12 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 23^{69} + \left(22 a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 23^{70} + \left(2 a^{3} + 3 a^{2} + a + 10\right)\cdot 23^{71} + \left(5 a^{3} + 19 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 23^{72} + \left(12 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 13\right)\cdot 23^{73} + \left(22 a^{3} + a^{2} + 22 a + 7\right)\cdot 23^{74} + \left(17 a^{3} + 19 a^{2} + 8\right)\cdot 23^{75} + \left(8 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 23^{76} + \left(a^{3} + 21 a + 13\right)\cdot 23^{77} + \left(21 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a\right)\cdot 23^{78} + \left(19 a^{3} + 2 a^{2} + 21 a + 12\right)\cdot 23^{79} + \left(11 a^{3} + 15 a^{2} + 15 a + 22\right)\cdot 23^{80} + \left(6 a^{3} + 17 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 23^{81} + \left(20 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 23^{82} + \left(20 a^{3} + 6 a^{2} + 21 a + 9\right)\cdot 23^{83} + \left(a^{3} + 9 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 23^{84} + \left(19 a^{3} + a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 23^{85} + \left(6 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 23^{86} + \left(5 a^{3} + 11 a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 23^{87} + \left(12 a^{3} + 16 a^{2} + 13 a + 20\right)\cdot 23^{88} + \left(19 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 23^{89} + \left(13 a^{3} + 12 a^{2} + 16 a + 12\right)\cdot 23^{90} + \left(15 a^{3} + 21 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 23^{91} + \left(14 a^{3} + 5 a^{2} + a + 10\right)\cdot 23^{92} + \left(11 a^{3} + 7 a^{2} + 21 a + 3\right)\cdot 23^{93} + \left(6 a^{3} + a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 23^{94} + \left(14 a^{2} + 22 a + 22\right)\cdot 23^{95} + \left(18 a^{3} + 8 a^{2} + 22 a + 4\right)\cdot 23^{96} + \left(21 a^{3} + 18 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 23^{97} + \left(10 a^{3} + 15 a^{2} + 21\right)\cdot 23^{98} + \left(5 a^{3} + 10 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 23^{99} + \left(3 a^{3} + 2 a + 13\right)\cdot 23^{100} + \left(a^{3} + 18 a^{2} + 6 a + 13\right)\cdot 23^{101} + \left(4 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 23^{102} + \left(11 a^{3} + 12 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 23^{103} + \left(13 a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 23^{104} + \left(2 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 23^{105} + \left(14 a^{3} + 3 a^{2} + 16 a + 22\right)\cdot 23^{106} + \left(a^{3} + 15 a^{2} + 22 a + 6\right)\cdot 23^{107} + \left(6 a^{3} + 11 a^{2} + 13 a + 20\right)\cdot 23^{108} + \left(9 a^{3} + 18 a^{2} + 1\right)\cdot 23^{109} + \left(16 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 23^{110} + \left(12 a^{3} + 6 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 23^{111} + \left(19 a^{3} + 16 a^{2} + a + 20\right)\cdot 23^{112} + \left(3 a^{3} + 20 a^{2} + 16 a + 7\right)\cdot 23^{113} + \left(5 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 19\right)\cdot 23^{114} + \left(13 a^{3} + 3 a^{2} + a + 2\right)\cdot 23^{115} + \left(17 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 23^{116} + \left(4 a^{3} + 14 a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 23^{117} + \left(17 a^{3} + a^{2} + 10 a + 16\right)\cdot 23^{118} + \left(7 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 19\right)\cdot 23^{119} + \left(21 a^{3} + 17 a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 23^{120} + \left(9 a^{3} + 17 a^{2} + 14\right)\cdot 23^{121} + \left(5 a^{3} + 11 a^{2} + 14 a + 22\right)\cdot 23^{122} + \left(16 a^{3} + 8 a^{2} + 18 a + 10\right)\cdot 23^{123} + \left(19 a^{3} + 5 a^{2} + 21 a + 17\right)\cdot 23^{124} + \left(17 a^{2} + 18\right)\cdot 23^{125} + \left(13 a^{3} + 5 a^{2} + 15 a + 20\right)\cdot 23^{126} + \left(13 a^{2} + 5 a + 16\right)\cdot 23^{127} + \left(a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 17\right)\cdot 23^{128} + \left(13 a^{3} + 14 a^{2} + 5 a + 17\right)\cdot 23^{129} + \left(a^{3} + a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 23^{130} + \left(19 a^{3} + 18 a^{2} + 21 a + 16\right)\cdot 23^{131} + \left(14 a^{3} + 15 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 23^{132} + \left(6 a^{3} + 9 a^{2} + 22 a + 22\right)\cdot 23^{133} + \left(17 a^{3} + 14 a^{2} + 12 a + 14\right)\cdot 23^{134} + \left(6 a^{3} + 6 a^{2} + 17 a + 21\right)\cdot 23^{135} + \left(2 a^{3} + 4 a^{2} + 15 a + 2\right)\cdot 23^{136} + \left(a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 23^{137} + \left(16 a^{3} + 19 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 23^{138} + \left(12 a^{3} + 16 a^{2} + 8 a + 18\right)\cdot 23^{139} + \left(3 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 19\right)\cdot 23^{140} + \left(22 a^{3} + 18 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 23^{141} + \left(19 a^{3} + 7 a + 11\right)\cdot 23^{142} + \left(12 a^{3} + 12 a^{2} + 21 a + 22\right)\cdot 23^{143} + \left(15 a^{3} + 2 a^{2} + 16\right)\cdot 23^{144} + \left(5 a^{3} + 14 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 23^{145} + \left(5 a^{3} + 18 a^{2} + 17 a + 9\right)\cdot 23^{146} + \left(13 a^{3} + 18 a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 23^{147} + \left(3 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 16\right)\cdot 23^{148} + \left(17 a^{3} + 2 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 23^{149} + \left(5 a^{3} + 8 a^{2} + 14 a + 3\right)\cdot 23^{150} + \left(13 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 23^{151} + \left(20 a^{3} + 19 a^{2} + 21 a + 9\right)\cdot 23^{152} + \left(21 a^{3} + 17 a^{2} + 16 a + 19\right)\cdot 23^{153} + \left(20 a^{3} + 12 a^{2} + 20 a + 5\right)\cdot 23^{154} + \left(6 a^{3} + 6 a^{2} + 14 a + 9\right)\cdot 23^{155} + \left(4 a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 23^{156} + \left(20 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 23^{157} + \left(8 a^{3} + 17 a^{2} + 21 a + 10\right)\cdot 23^{158} + \left(12 a^{3} + 20 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 23^{159} + \left(18 a^{2} + 16\right)\cdot 23^{160} + \left(7 a^{3} + 2 a + 20\right)\cdot 23^{161} + \left(12 a^{3} + 18 a^{2} + 20 a + 11\right)\cdot 23^{162} + \left(3 a^{3} + 20 a^{2} + 11 a + 19\right)\cdot 23^{163} + \left(4 a^{3} + 7 a^{2} + 21 a + 3\right)\cdot 23^{164} + \left(11 a^{3} + 4 a^{2} + 20 a + 14\right)\cdot 23^{165} +O\left(23^{ 166 }\right)$
$r_{ 6 }$ $=$ $ 9 a^{3} + 16 a^{2} + 21 a + 7 + \left(17 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 23 + \left(5 a^{3} + 16 a^{2} + 9\right)\cdot 23^{2} + \left(19 a^{3} + 7 a^{2} + 22 a + 15\right)\cdot 23^{3} + \left(13 a^{3} + 22 a^{2} + 14 a + 21\right)\cdot 23^{4} + \left(21 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 21\right)\cdot 23^{5} + \left(5 a^{3} + 10 a^{2} + 22 a + 3\right)\cdot 23^{6} + \left(16 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 23^{7} + \left(11 a^{3} + 16 a^{2} + a + 2\right)\cdot 23^{8} + \left(18 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 23^{9} + \left(20 a^{3} + 20 a^{2} + 6 a + 21\right)\cdot 23^{10} + \left(13 a^{3} + 15 a^{2} + a + 11\right)\cdot 23^{11} + \left(8 a^{3} + 12 a^{2} + a + 7\right)\cdot 23^{12} + \left(14 a^{3} + 12 a^{2} + 7 a + 17\right)\cdot 23^{13} + \left(18 a^{3} + 21 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 23^{14} + \left(19 a^{3} + 17 a^{2} + 14 a + 19\right)\cdot 23^{15} + \left(11 a^{3} + 5 a^{2} + 11 a + 20\right)\cdot 23^{16} + \left(10 a^{3} + 14 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 23^{17} + \left(6 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 20\right)\cdot 23^{18} + \left(2 a^{2} + a + 11\right)\cdot 23^{19} + \left(4 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 23^{20} + \left(8 a^{3} + 5 a^{2} + 11\right)\cdot 23^{21} + \left(21 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 18\right)\cdot 23^{22} + \left(7 a^{3} + 21 a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 23^{23} + \left(3 a^{3} + 18 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 23^{24} + \left(21 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 18\right)\cdot 23^{25} + \left(20 a^{3} + 13 a^{2} + a + 10\right)\cdot 23^{26} + \left(17 a^{3} + 8 a^{2} + 15 a + 10\right)\cdot 23^{27} + \left(a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 23^{28} + \left(18 a^{3} + 16 a^{2} + 10 a + 21\right)\cdot 23^{29} + \left(2 a^{3} + a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 23^{30} + \left(16 a^{3} + 5 a^{2} + 20 a + 21\right)\cdot 23^{31} + \left(10 a^{3} + 11 a^{2} + 14 a + 12\right)\cdot 23^{32} + \left(18 a^{3} + 7 a + 12\right)\cdot 23^{33} + \left(11 a^{3} + 2 a^{2} + 12\right)\cdot 23^{34} + \left(5 a^{3} + 11 a^{2} + 5\right)\cdot 23^{35} + \left(19 a^{3} + 17 a^{2} + 7 a\right)\cdot 23^{36} + \left(2 a^{3} + 21 a^{2} + 19 a + 11\right)\cdot 23^{37} + \left(10 a^{3} + 10 a^{2} + 20 a + 8\right)\cdot 23^{38} + \left(19 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 23^{39} + \left(3 a^{3} + 22 a^{2} + 13 a + 9\right)\cdot 23^{40} + \left(14 a^{3} + 16 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 23^{41} + \left(10 a^{2} + 12 a + 21\right)\cdot 23^{42} + \left(18 a^{3} + 18 a^{2} + 11 a + 19\right)\cdot 23^{43} + \left(11 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 23^{44} + \left(16 a^{3} + 10 a^{2} + 19 a + 21\right)\cdot 23^{45} + \left(4 a^{3} + 13 a^{2} + 7 a + 17\right)\cdot 23^{46} + \left(5 a^{3} + 18 a^{2} + 17 a + 9\right)\cdot 23^{47} + \left(12 a^{3} + 21 a + 18\right)\cdot 23^{48} + \left(21 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 23^{49} + \left(5 a^{3} + 15 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 23^{50} + \left(a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 23^{51} + \left(14 a^{3} + 17 a^{2} + 16 a + 20\right)\cdot 23^{52} + \left(21 a^{3} + 2 a^{2} + 22 a + 7\right)\cdot 23^{53} + \left(16 a^{3} + 16 a^{2} + 13 a + 12\right)\cdot 23^{54} + \left(2 a^{3} + 10 a^{2} + a + 21\right)\cdot 23^{55} + \left(18 a^{3} + 20 a^{2} + 21 a\right)\cdot 23^{56} + \left(a^{3} + 3 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 23^{57} + \left(11 a^{3} + 11 a^{2} + 9\right)\cdot 23^{58} + \left(4 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 23^{59} + \left(21 a^{3} + 20 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 23^{60} + \left(11 a^{3} + 19 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 23^{61} + \left(13 a^{3} + 3 a + 16\right)\cdot 23^{62} + \left(17 a^{3} + 19 a^{2} + 10\right)\cdot 23^{63} + \left(10 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 23^{64} + \left(20 a^{3} + 22 a^{2} + 10 a + 18\right)\cdot 23^{65} + \left(3 a^{3} + 3 a^{2} + 1\right)\cdot 23^{66} + \left(3 a^{3} + 2 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 23^{67} + \left(18 a^{3} + 20 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 23^{68} + \left(16 a^{3} + 7 a + 5\right)\cdot 23^{69} + \left(21 a^{3} + 11 a\right)\cdot 23^{70} + \left(9 a^{3} + 20 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 23^{71} + \left(7 a^{3} + 22 a^{2} + 11 a + 22\right)\cdot 23^{72} + \left(22 a^{3} + 18 a^{2} + 16 a + 16\right)\cdot 23^{73} + \left(6 a^{3} + 18 a^{2} + 1\right)\cdot 23^{74} + \left(a^{3} + 20 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 23^{75} + \left(16 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 23^{76} + \left(13 a^{3} + a^{2} + 19 a + 21\right)\cdot 23^{77} + \left(22 a^{3} + 14 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 23^{78} + \left(3 a^{3} + 4 a^{2} + 13 a + 5\right)\cdot 23^{79} + \left(7 a^{3} + 4 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 23^{80} + \left(13 a^{3} + 20 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 23^{81} + \left(12 a^{3} + 16 a^{2} + 7 a + 19\right)\cdot 23^{82} + \left(4 a^{3} + 17 a^{2} + 4 a + 16\right)\cdot 23^{83} + \left(6 a^{3} + 13 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 23^{84} + \left(17 a^{3} + a^{2} + 14 a + 21\right)\cdot 23^{85} + \left(3 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 23^{86} + \left(16 a^{3} + 22 a^{2} + 6 a + 20\right)\cdot 23^{87} + \left(5 a^{3} + 11 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 23^{88} + \left(14 a^{3} + 12 a + 21\right)\cdot 23^{89} + \left(4 a^{3} + 9 a^{2} + 22 a + 8\right)\cdot 23^{90} + \left(11 a^{3} + 13 a + 15\right)\cdot 23^{91} + \left(16 a^{3} + 9 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 23^{92} + \left(19 a^{3} + 21 a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 23^{93} + \left(10 a^{3} + 14 a^{2} + 18 a + 19\right)\cdot 23^{94} + \left(9 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 16\right)\cdot 23^{95} + \left(22 a^{3} + 15 a^{2} + 19 a + 3\right)\cdot 23^{96} + \left(6 a^{3} + 17 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 23^{97} + \left(a^{3} + 18 a + 22\right)\cdot 23^{98} + \left(6 a^{3} + 16 a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 23^{99} + \left(5 a^{3} + 22 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 23^{100} + \left(16 a^{3} + 7 a^{2} + 22\right)\cdot 23^{101} + \left(19 a^{3} + 13 a^{2} + 12 a\right)\cdot 23^{102} + \left(8 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 17\right)\cdot 23^{103} + \left(3 a^{3} + 9 a^{2} + 19 a + 1\right)\cdot 23^{104} + \left(20 a^{3} + 13 a^{2} + 12\right)\cdot 23^{105} + \left(11 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 16\right)\cdot 23^{106} + \left(11 a^{3} + 16 a + 14\right)\cdot 23^{107} + \left(8 a^{3} + 15 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 23^{108} + \left(10 a^{3} + 15 a^{2} + 19 a + 12\right)\cdot 23^{109} + \left(5 a^{3} + 12 a^{2} + a + 20\right)\cdot 23^{110} + \left(5 a^{3} + 13 a^{2} + a + 17\right)\cdot 23^{111} + \left(10 a^{3} + a^{2} + 22 a + 9\right)\cdot 23^{112} + \left(13 a^{2} + 11 a + 17\right)\cdot 23^{113} + \left(3 a^{3} + 20 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 23^{114} + \left(11 a^{3} + 20 a^{2} + 17 a + 5\right)\cdot 23^{115} + \left(14 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 21\right)\cdot 23^{116} + \left(5 a^{3} + 10 a^{2} + 16 a + 22\right)\cdot 23^{117} + \left(10 a^{2} + 7 a + 19\right)\cdot 23^{118} + \left(11 a^{3} + 9 a + 16\right)\cdot 23^{119} + \left(4 a^{3} + 15 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 23^{120} + \left(20 a^{3} + 2 a^{2} + 12 a + 18\right)\cdot 23^{121} + \left(15 a^{3} + 17 a^{2} + a + 16\right)\cdot 23^{122} + \left(22 a^{3} + 7 a^{2} + 21 a + 11\right)\cdot 23^{123} + \left(9 a^{2} + 15 a + 7\right)\cdot 23^{124} + \left(11 a^{3} + 18 a^{2} + 21 a + 7\right)\cdot 23^{125} + \left(9 a^{3} + 21 a^{2} + 7 a + 21\right)\cdot 23^{126} + \left(4 a^{3} + 19 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 23^{127} + \left(4 a^{3} + 10 a^{2} + 11\right)\cdot 23^{128} + \left(6 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 23^{129} + \left(a^{3} + 8 a^{2} + 10 a\right)\cdot 23^{130} + \left(13 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 23^{131} + \left(6 a^{3} + 15 a^{2} + 15 a + 19\right)\cdot 23^{132} + \left(9 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 13\right)\cdot 23^{133} + \left(18 a^{3} + 14 a^{2} + a + 15\right)\cdot 23^{134} + \left(18 a^{3} + 19 a^{2} + 22 a + 10\right)\cdot 23^{135} + \left(22 a^{3} + 17 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 23^{136} + \left(22 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 23^{137} + \left(a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 23^{138} + \left(12 a^{3} + 15 a^{2} + 21 a + 18\right)\cdot 23^{139} + \left(8 a^{3} + 9 a^{2} + 19 a + 6\right)\cdot 23^{140} + \left(3 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 23^{141} + \left(3 a^{3} + 8 a^{2} + 22 a + 12\right)\cdot 23^{142} + \left(10 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a\right)\cdot 23^{143} + \left(15 a^{3} + 4 a^{2} + 13 a + 22\right)\cdot 23^{144} + \left(9 a^{3} + 5 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 23^{145} + \left(19 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 23^{146} + \left(6 a^{3} + 16 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 23^{147} + \left(8 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 23^{148} + \left(17 a^{3} + 17 a^{2} + 5 a + 21\right)\cdot 23^{149} + \left(17 a^{3} + 19 a^{2} + 7 a + 17\right)\cdot 23^{150} + \left(7 a^{3} + 9 a^{2} + 20 a + 2\right)\cdot 23^{151} + \left(14 a^{3} + 3 a + 2\right)\cdot 23^{152} + \left(a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 22\right)\cdot 23^{153} + \left(14 a^{3} + 12 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 23^{154} + \left(a^{3} + 7 a^{2} + a + 13\right)\cdot 23^{155} + \left(7 a^{3} + 20 a + 9\right)\cdot 23^{156} + \left(7 a^{3} + 2 a + 9\right)\cdot 23^{157} + \left(14 a^{3} + 13 a^{2} + 18 a + 13\right)\cdot 23^{158} + \left(9 a^{3} + 13 a^{2} + 13 a + 19\right)\cdot 23^{159} + \left(9 a^{3} + 22 a^{2} + a + 11\right)\cdot 23^{160} + \left(15 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 23^{161} + \left(22 a^{3} + 20 a^{2} + 10 a + 13\right)\cdot 23^{162} + \left(8 a^{3} + 15 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 23^{163} + \left(19 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 23^{164} + \left(17 a^{3} + 15 a^{2} + 14 a + 3\right)\cdot 23^{165} +O\left(23^{ 166 }\right)$
$r_{ 7 }$ $=$ $ 4 a^{3} + 19 a^{2} + 10 a + 15 + \left(6 a^{3} + 17 a^{2} + 5 a + 18\right)\cdot 23 + \left(14 a^{3} + a^{2} + 16 a + 22\right)\cdot 23^{2} + \left(22 a^{3} + 19 a^{2} + 15 a + 22\right)\cdot 23^{3} + \left(16 a^{3} + 15 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 23^{4} + \left(13 a^{3} + 8 a^{2} + 17 a + 4\right)\cdot 23^{5} + \left(a^{3} + 14 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 23^{6} + \left(7 a^{3} + 21 a^{2} + 17 a + 20\right)\cdot 23^{7} + \left(6 a^{3} + 13 a^{2} + 21 a + 7\right)\cdot 23^{8} + \left(22 a^{3} + 17 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 23^{9} + \left(8 a^{3} + 6 a^{2} + 20 a + 10\right)\cdot 23^{10} + \left(2 a^{3} + 22 a^{2} + 9 a + 18\right)\cdot 23^{11} + \left(18 a^{3} + 16 a^{2} + 19 a + 22\right)\cdot 23^{12} + \left(21 a^{3} + 18 a^{2} + 17 a + 22\right)\cdot 23^{13} + \left(3 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a\right)\cdot 23^{14} + \left(13 a^{3} + 16 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 23^{15} + \left(22 a^{3} + 18 a^{2} + 21 a + 3\right)\cdot 23^{16} + \left(2 a^{3} + 14 a^{2} + 9 a + 17\right)\cdot 23^{17} + \left(10 a^{3} + 22 a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 23^{18} + \left(22 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 23^{19} + \left(3 a^{3} + 17 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 23^{20} + \left(a^{3} + 14 a^{2} + 18 a\right)\cdot 23^{21} + \left(17 a^{3} + 11 a^{2} + 8 a + 14\right)\cdot 23^{22} + \left(22 a^{3} + 2 a^{2} + 12 a\right)\cdot 23^{23} + \left(17 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 23^{24} + \left(11 a^{3} + 3 a^{2} + 13 a + 16\right)\cdot 23^{25} + \left(20 a^{3} + 18 a^{2} + 21 a + 17\right)\cdot 23^{26} + \left(16 a^{3} + 14 a^{2} + 7 a + 16\right)\cdot 23^{27} + \left(18 a^{2} + 15 a + 14\right)\cdot 23^{28} + \left(a^{3} + 13 a^{2} + 20 a + 4\right)\cdot 23^{29} + \left(18 a^{3} + 19 a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 23^{30} + \left(2 a^{3} + 14 a^{2} + 7\right)\cdot 23^{31} + \left(9 a^{3} + 14 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 23^{32} + \left(14 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 20\right)\cdot 23^{33} + \left(20 a^{3} + 7 a^{2} + 19\right)\cdot 23^{34} + \left(22 a^{2} + 13 a + 19\right)\cdot 23^{35} + \left(16 a^{3} + 15 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 23^{36} + \left(18 a^{3} + 14 a^{2} + 21 a + 19\right)\cdot 23^{37} + \left(7 a^{3} + 13 a^{2} + 11 a + 19\right)\cdot 23^{38} + \left(22 a^{3} + 12 a^{2} + 16 a + 12\right)\cdot 23^{39} + \left(3 a^{3} + 17 a^{2} + 18 a + 15\right)\cdot 23^{40} + \left(6 a^{3} + a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 23^{41} + \left(14 a^{3} + 17 a^{2} + a + 18\right)\cdot 23^{42} + \left(a^{3} + 13 a^{2} + 8 a + 14\right)\cdot 23^{43} + \left(4 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 23^{44} + \left(17 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 23^{45} + \left(22 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 23^{46} + \left(18 a^{3} + a^{2} + 14 a + 19\right)\cdot 23^{47} + \left(20 a^{3} + 21 a + 1\right)\cdot 23^{48} + \left(4 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 23^{49} + \left(22 a^{3} + 7 a^{2} + 15 a\right)\cdot 23^{50} + \left(21 a^{3} + 15 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 23^{51} + \left(a^{3} + a^{2} + 22 a + 14\right)\cdot 23^{52} + \left(9 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 23^{53} + \left(19 a^{3} + 16 a^{2} + a + 13\right)\cdot 23^{54} + \left(a^{3} + 19 a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 23^{55} + \left(2 a^{3} + 19 a^{2} + 9 a + 18\right)\cdot 23^{56} + \left(6 a^{3} + 18 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 23^{57} + \left(2 a^{2} + 18 a + 21\right)\cdot 23^{58} + \left(8 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 23^{59} + \left(20 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 23^{60} + \left(5 a^{3} + a^{2} + 14 a + 18\right)\cdot 23^{61} + \left(17 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 23^{62} + \left(19 a^{3} + 9 a^{2} + 16 a + 4\right)\cdot 23^{63} + \left(20 a^{2} + 18 a + 6\right)\cdot 23^{64} + \left(3 a^{3} + 2 a^{2} + 20 a + 11\right)\cdot 23^{65} + \left(12 a^{3} + 8 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 23^{66} + \left(6 a^{3} + a^{2} + 14 a + 18\right)\cdot 23^{67} + \left(5 a^{3} + 22 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 23^{68} + \left(18 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 19\right)\cdot 23^{69} + \left(19 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 23^{70} + \left(16 a^{3} + 19 a^{2} + 10 a + 17\right)\cdot 23^{71} + \left(7 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 23^{72} + \left(15 a^{3} + 19 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 23^{73} + \left(2 a^{3} + 12 a^{2} + 5 a + 17\right)\cdot 23^{74} + \left(10 a^{3} + 14 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 23^{75} + \left(3 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 23^{76} + \left(18 a^{3} + 5 a^{2} + 10\right)\cdot 23^{77} + \left(22 a^{3} + 9 a^{2} + 18 a + 9\right)\cdot 23^{78} + \left(a^{3} + 15 a^{2} + 3 a + 16\right)\cdot 23^{79} + \left(13 a^{3} + 10 a^{2} + 1\right)\cdot 23^{80} + \left(14 a^{3} + 6 a^{2} + 22 a + 16\right)\cdot 23^{81} + \left(13 a^{3} + 10 a^{2} + 14 a + 12\right)\cdot 23^{82} + \left(10 a^{3} + 14 a^{2} + 10 a + 17\right)\cdot 23^{83} + \left(20 a^{3} + 19 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 23^{84} + \left(2 a^{3} + 15 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 23^{85} + \left(14 a^{3} + 5 a^{2} + 17 a + 4\right)\cdot 23^{86} + \left(2 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 23^{87} + \left(14 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a + 20\right)\cdot 23^{88} + \left(6 a^{3} + 10 a^{2} + 18 a + 13\right)\cdot 23^{89} + \left(16 a^{3} + 13 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 23^{90} + \left(8 a^{3} + 20 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 23^{91} + \left(7 a^{3} + 18 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 23^{92} + \left(3 a^{3} + 21 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 23^{93} + \left(18 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 23^{94} + \left(8 a^{3} + 14 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 23^{95} + \left(10 a^{3} + 20 a^{2} + a + 12\right)\cdot 23^{96} + \left(5 a^{3} + 18 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 23^{97} + \left(3 a^{3} + 6 a^{2} + 16 a + 7\right)\cdot 23^{98} + \left(14 a^{3} + 21 a^{2} + 5 a + 20\right)\cdot 23^{99} + \left(17 a^{3} + 15 a^{2} + 18 a + 11\right)\cdot 23^{100} + \left(6 a^{3} + 19 a^{2} + 20 a + 14\right)\cdot 23^{101} + \left(6 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 23^{102} + \left(9 a^{3} + 14 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 23^{103} + \left(13 a^{3} + 19 a^{2} + 7 a + 16\right)\cdot 23^{104} + \left(16 a^{3} + 17 a^{2} + 20 a + 19\right)\cdot 23^{105} + \left(14 a^{3} + 20 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 23^{106} + \left(14 a^{3} + 5 a^{2} + 19 a + 16\right)\cdot 23^{107} + \left(9 a^{3} + 21 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 23^{108} + \left(18 a^{3} + 3 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 23^{109} + \left(13 a^{3} + 14 a^{2} + 13 a + 15\right)\cdot 23^{110} + \left(11 a^{3} + 20 a^{2} + 20 a + 15\right)\cdot 23^{111} + \left(13 a^{3} + 19 a^{2} + 16 a + 20\right)\cdot 23^{112} + \left(2 a^{3} + 3 a^{2} + 13 a + 16\right)\cdot 23^{113} + \left(20 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 23^{114} + \left(10 a^{3} + 14 a^{2} + 19 a + 20\right)\cdot 23^{115} + \left(13 a^{3} + 3 a^{2} + 20 a + 11\right)\cdot 23^{116} + \left(5 a^{3} + 13 a^{2} + 16 a + 3\right)\cdot 23^{117} + \left(14 a^{3} + 20 a^{2} + 22 a + 16\right)\cdot 23^{118} + \left(3 a^{3} + 21 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 23^{119} + \left(15 a^{3} + 13 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 23^{120} + \left(9 a^{3} + 9 a^{2} + 21 a + 16\right)\cdot 23^{121} + \left(17 a^{3} + 20 a^{2} + 3 a + 20\right)\cdot 23^{122} + \left(17 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 21\right)\cdot 23^{123} + \left(19 a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 21\right)\cdot 23^{124} + \left(18 a^{3} + 18 a^{2} + 7 a + 20\right)\cdot 23^{125} + \left(2 a^{3} + 14 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 23^{126} + \left(11 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 23^{127} + \left(15 a^{3} + 4 a^{2} + 22 a + 1\right)\cdot 23^{128} + \left(16 a^{3} + 8 a^{2} + 19 a + 20\right)\cdot 23^{129} + \left(20 a^{3} + 13 a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 23^{130} + \left(10 a^{3} + 9 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 23^{131} + \left(2 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 22\right)\cdot 23^{132} + \left(10 a^{3} + 12 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 23^{133} + \left(8 a^{3} + 16 a^{2} + 18 a + 20\right)\cdot 23^{134} + \left(17 a^{3} + 14 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 23^{135} + \left(16 a^{2} + 21 a + 13\right)\cdot 23^{136} + \left(8 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 23^{137} + \left(20 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 19\right)\cdot 23^{138} + \left(3 a^{3} + 12 a^{2} + 22 a + 11\right)\cdot 23^{139} + \left(14 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 23^{140} + \left(14 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 17\right)\cdot 23^{141} + \left(10 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 23^{142} + \left(10 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 23^{143} + \left(10 a^{3} + 4 a^{2} + 15 a + 19\right)\cdot 23^{144} + \left(6 a^{3} + 16 a^{2} + 9 a + 19\right)\cdot 23^{145} + \left(18 a^{3} + 6 a^{2} + 22 a + 10\right)\cdot 23^{146} + \left(10 a^{3} + 17 a^{2} + 2 a + 21\right)\cdot 23^{147} + \left(14 a^{3} + 20 a^{2} + 8 a\right)\cdot 23^{148} + \left(12 a^{3} + 8 a^{2} + 22\right)\cdot 23^{149} + \left(12 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 16\right)\cdot 23^{150} + \left(4 a^{3} + 18 a^{2} + 19 a + 3\right)\cdot 23^{151} + \left(21 a^{3} + 9 a^{2} + 16\right)\cdot 23^{152} + \left(22 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 23^{153} + \left(20 a^{3} + 14 a^{2} + 22\right)\cdot 23^{154} + \left(11 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 17\right)\cdot 23^{155} + \left(20 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 16\right)\cdot 23^{156} + \left(11 a^{3} + 16 a^{2} + 14 a + 1\right)\cdot 23^{157} + \left(8 a^{3} + 21 a^{2} + 7\right)\cdot 23^{158} + \left(21 a^{3} + 14 a^{2} + 3 a + 22\right)\cdot 23^{159} + \left(16 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 23^{160} + \left(19 a^{3} + 18 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 23^{161} + \left(13 a^{3} + 2\right)\cdot 23^{162} + \left(15 a^{3} + 16 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 23^{163} + \left(10 a^{3} + 2 a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 23^{164} + \left(8 a^{3} + 19 a^{2} + 13\right)\cdot 23^{165} +O\left(23^{ 166 }\right)$
$r_{ 8 }$ $=$ $ 17 a^{3} + 9 a + 5 + \left(5 a^{3} + 10 a^{2} + 12\right)\cdot 23 + \left(3 a^{3} + 14 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 23^{2} + \left(a^{3} + 2 a^{2} + 13 a + 14\right)\cdot 23^{3} + \left(a^{3} + 7 a^{2} + 9 a\right)\cdot 23^{4} + \left(3 a^{3} + 5 a^{2} + 21 a + 2\right)\cdot 23^{5} + \left(5 a^{3} + 20 a\right)\cdot 23^{6} + \left(21 a^{3} + 20 a^{2} + 21 a + 7\right)\cdot 23^{7} + \left(20 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 14\right)\cdot 23^{8} + \left(14 a^{3} + 16 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 23^{9} + \left(9 a^{3} + 9 a^{2} + a + 1\right)\cdot 23^{10} + \left(22 a^{3} + 14 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 23^{11} + \left(14 a^{3} + 9 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 23^{12} + \left(21 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 23^{13} + \left(7 a^{3} + 12 a^{2} + 17\right)\cdot 23^{14} + \left(2 a^{3} + 12 a + 14\right)\cdot 23^{15} + \left(22 a^{3} + 15 a^{2} + 8 a + 19\right)\cdot 23^{16} + \left(9 a^{3} + 21 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 23^{17} + \left(21 a^{3} + 7 a^{2} + 17 a + 8\right)\cdot 23^{18} + \left(13 a^{3} + 8 a^{2} + 17 a + 14\right)\cdot 23^{19} + \left(7 a^{3} + 18 a^{2} + 19 a + 13\right)\cdot 23^{20} + \left(16 a^{3} + 20 a^{2} + 12\right)\cdot 23^{21} + \left(9 a^{3} + 19 a^{2} + 20 a + 19\right)\cdot 23^{22} + \left(10 a^{3} + 18 a^{2} + 21 a + 4\right)\cdot 23^{23} + \left(5 a^{3} + 16 a^{2} + 18 a + 6\right)\cdot 23^{24} + \left(22 a^{3} + 11 a^{2} + 15 a + 21\right)\cdot 23^{25} + \left(2 a^{3} + 12 a + 11\right)\cdot 23^{26} + \left(10 a^{3} + a^{2} + a + 20\right)\cdot 23^{27} + \left(8 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 23^{28} + \left(13 a^{3} + 9 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 23^{29} + \left(19 a^{3} + 5 a^{2} + 18 a + 16\right)\cdot 23^{30} + \left(11 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 23^{31} + \left(a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 23^{32} + \left(7 a^{3} + 12 a^{2} + 7 a\right)\cdot 23^{33} + \left(19 a^{3} + 13 a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 23^{34} + \left(11 a^{3} + 2 a^{2} + 15 a + 19\right)\cdot 23^{35} + \left(19 a^{3} + 12 a^{2} + a + 1\right)\cdot 23^{36} + \left(5 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 23^{37} + \left(5 a^{3} + 2 a^{2} + a + 12\right)\cdot 23^{38} + \left(a^{3} + 19 a^{2} + 22 a + 3\right)\cdot 23^{39} + \left(12 a^{3} + 14 a^{2} + a\right)\cdot 23^{40} + \left(11 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 17\right)\cdot 23^{41} + \left(19 a^{3} + 11 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 23^{42} + \left(3 a^{3} + 21 a + 15\right)\cdot 23^{43} + \left(7 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 23^{44} + \left(12 a^{3} + 3 a^{2} + 13 a + 14\right)\cdot 23^{45} + \left(7 a^{3} + 21 a^{2} + 9 a\right)\cdot 23^{46} + \left(6 a^{3} + 16 a + 5\right)\cdot 23^{47} + \left(8 a^{3} + 22 a^{2} + 22 a + 11\right)\cdot 23^{48} + \left(7 a^{3} + 4 a^{2} + 14 a + 12\right)\cdot 23^{49} + \left(9 a^{3} + 22 a^{2} + 2 a + 17\right)\cdot 23^{50} + \left(22 a^{3} + 9 a^{2} + 19 a + 15\right)\cdot 23^{51} + \left(4 a^{3} + a^{2} + 3 a + 16\right)\cdot 23^{52} + \left(22 a^{3} + 4 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 23^{53} + \left(2 a^{3} + a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 23^{54} + \left(21 a^{3} + 20 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 23^{55} + \left(3 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 19\right)\cdot 23^{56} + \left(16 a^{3} + 17 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 23^{57} + \left(4 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 18\right)\cdot 23^{58} + \left(15 a^{3} + a^{2} + 7 a + 21\right)\cdot 23^{59} + \left(21 a^{3} + 20 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 23^{60} + \left(8 a^{3} + 10 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 23^{61} + \left(11 a^{3} + 22 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 23^{62} + \left(12 a^{3} + 18 a^{2} + 14 a + 7\right)\cdot 23^{63} + \left(a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 18\right)\cdot 23^{64} + \left(21 a^{3} + 15 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 23^{65} + \left(5 a^{3} + a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 23^{66} + \left(20 a^{3} + 22 a^{2} + 20 a + 15\right)\cdot 23^{67} + \left(11 a^{3} + 14 a^{2} + 21 a + 4\right)\cdot 23^{68} + \left(a^{3} + 6 a^{2} + 20 a + 9\right)\cdot 23^{69} + \left(5 a^{3} + 21 a^{2} + 16 a + 7\right)\cdot 23^{70} + \left(14 a^{3} + 14 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 23^{71} + \left(18 a^{3} + 13 a^{2} + 20 a + 12\right)\cdot 23^{72} + \left(4 a^{3} + 20 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 23^{73} + \left(10 a^{3} + 14 a^{2} + 11 a + 13\right)\cdot 23^{74} + \left(14 a^{3} + 20 a + 8\right)\cdot 23^{75} + \left(5 a^{3} + 14 a^{2} + 12 a + 15\right)\cdot 23^{76} + \left(21 a^{3} + 20 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 23^{77} + \left(10 a^{3} + 11 a^{2} + 20 a + 11\right)\cdot 23^{78} + \left(7 a^{3} + 18 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 23^{79} + \left(17 a^{3} + 19 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 23^{80} + \left(12 a^{3} + 13 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 23^{81} + \left(2 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 23^{82} + \left(13 a^{3} + a^{2} + a + 16\right)\cdot 23^{83} + \left(4 a^{3} + 8 a^{2} + 20 a + 2\right)\cdot 23^{84} + \left(16 a^{3} + 3 a^{2} + 20 a + 20\right)\cdot 23^{85} + \left(4 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 23^{86} + \left(16 a^{3} + 18 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 23^{87} + \left(8 a^{3} + 22 a + 19\right)\cdot 23^{88} + \left(3 a^{3} + 19 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 23^{89} + \left(a^{3} + 7 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 23^{90} + \left(15 a^{3} + 17 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 23^{91} + \left(17 a^{3} + 17 a^{2} + 16 a + 17\right)\cdot 23^{92} + \left(2 a^{3} + 18 a^{2} + 3 a\right)\cdot 23^{93} + \left(17 a^{3} + 17 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 23^{94} + \left(8 a^{3} + 19 a^{2} + 20\right)\cdot 23^{95} + \left(16 a^{3} + 2 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 23^{96} + \left(12 a^{3} + 21 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 23^{97} + \left(12 a^{3} + 14 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 23^{98} + \left(6 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 23^{99} + \left(16 a^{3} + 12 a + 21\right)\cdot 23^{100} + \left(13 a^{3} + 12 a^{2} + 21 a + 9\right)\cdot 23^{101} + \left(7 a^{3} + 16 a^{2} + 20 a + 11\right)\cdot 23^{102} + \left(3 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 23^{103} + \left(10 a^{3} + 20 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 23^{104} + \left(17 a^{3} + 15 a^{2} + 5 a\right)\cdot 23^{105} + \left(2 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 21\right)\cdot 23^{106} + \left(10 a^{3} + 11 a^{2} + 18 a + 11\right)\cdot 23^{107} + \left(3 a^{3} + 15 a^{2} + 14 a + 3\right)\cdot 23^{108} + \left(14 a^{3} + 8 a + 15\right)\cdot 23^{109} + \left(2 a^{3} + 10 a^{2} + 18 a + 10\right)\cdot 23^{110} + \left(13 a^{3} + 4 a^{2} + 19 a + 1\right)\cdot 23^{111} + \left(9 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 23^{112} + \left(6 a^{3} + 9 a^{2} + 13 a + 10\right)\cdot 23^{113} + \left(13 a^{3} + 5 a^{2} + 21 a + 4\right)\cdot 23^{114} + \left(16 a^{3} + 17 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 23^{115} + \left(22 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 23^{116} + \left(8 a^{3} + 5 a^{2} + 21 a\right)\cdot 23^{117} + \left(15 a^{3} + 19 a^{2} + 20 a + 19\right)\cdot 23^{118} + \left(12 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 23^{119} + \left(5 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 23^{120} + \left(8 a^{3} + 17 a^{2} + 15 a + 19\right)\cdot 23^{121} + \left(7 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 23^{122} + \left(10 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a\right)\cdot 23^{123} + \left(13 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 23^{124} + \left(7 a^{3} + 5 a^{2} + 17 a + 1\right)\cdot 23^{125} + \left(19 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 23^{126} + \left(6 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 23^{127} + \left(4 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 20\right)\cdot 23^{128} + \left(18 a^{3} + 13 a^{2} + 21 a + 8\right)\cdot 23^{129} + \left(18 a^{3} + 17 a^{2} + a + 22\right)\cdot 23^{130} + \left(3 a^{3} + 15 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 23^{131} + \left(9 a^{3} + 12 a^{2} + 21 a + 12\right)\cdot 23^{132} + \left(17 a^{3} + 2 a^{2} + 15\right)\cdot 23^{133} + \left(9 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 23^{134} + \left(a^{3} + 22 a^{2} + 12 a + 14\right)\cdot 23^{135} + \left(6 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 23^{136} + \left(7 a^{3} + 5 a^{2} + 22 a + 18\right)\cdot 23^{137} + \left(13 a^{3} + 7 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 23^{138} + \left(11 a^{3} + 11 a^{2} + 22 a + 10\right)\cdot 23^{139} + \left(12 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 21\right)\cdot 23^{140} + \left(11 a^{3} + 16 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 23^{141} + \left(2 a^{3} + 2 a^{2} + 22 a + 17\right)\cdot 23^{142} + \left(8 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 21\right)\cdot 23^{143} + \left(16 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 23^{144} + \left(19 a^{3} + 14 a^{2} + 2 a + 16\right)\cdot 23^{145} + \left(8 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 23^{146} + \left(12 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 23^{147} + \left(4 a^{3} + 9 a^{2} + 17 a + 9\right)\cdot 23^{148} + \left(18 a^{3} + 9 a^{2} + 18 a + 4\right)\cdot 23^{149} + \left(12 a^{3} + 22 a^{2} + 19 a + 20\right)\cdot 23^{150} + \left(18 a^{3} + 5 a^{2} + 17 a + 6\right)\cdot 23^{151} + \left(11 a^{3} + 13 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 23^{152} + \left(19 a^{3} + 6 a + 1\right)\cdot 23^{153} + \left(13 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a\right)\cdot 23^{154} + \left(18 a^{3} + 15 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 23^{155} + \left(6 a^{3} + 15 a^{2} + 17 a\right)\cdot 23^{156} + \left(22 a^{3} + 17 a^{2} + 13 a + 8\right)\cdot 23^{157} + \left(12 a^{3} + 17 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 23^{158} + \left(6 a^{2} + 19 a + 1\right)\cdot 23^{159} + \left(19 a^{2} + 20 a + 11\right)\cdot 23^{160} + \left(17 a^{3} + 10 a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 23^{161} + \left(16 a^{3} + 8 a + 14\right)\cdot 23^{162} + \left(17 a^{2} + 21 a + 1\right)\cdot 23^{163} + \left(22 a^{3} + a^{2} + 11 a + 16\right)\cdot 23^{164} + \left(18 a^{3} + 16 a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 23^{165} +O\left(23^{ 166 }\right)$
$r_{ 9 }$ $=$ $ 21 a^{3} + 19 a^{2} + 19 a + 4 + \left(11 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 23 + \left(17 a^{3} + 16 a^{2} + 20 a + 2\right)\cdot 23^{2} + \left(21 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 23^{3} + \left(18 a^{3} + 22 a^{2} + 19 a + 13\right)\cdot 23^{4} + \left(16 a^{3} + 13 a^{2} + 15 a + 19\right)\cdot 23^{5} + \left(6 a^{3} + 14 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 23^{6} + \left(5 a^{3} + 18 a^{2} + 16 a + 18\right)\cdot 23^{7} + \left(4 a^{3} + 19 a^{2} + 9 a + 19\right)\cdot 23^{8} + \left(14 a^{3} + 10 a^{2} + 20 a + 18\right)\cdot 23^{9} + \left(18 a^{3} + 16 a^{2} + 21 a + 15\right)\cdot 23^{10} + \left(a^{3} + 13 a^{2} + 18 a\right)\cdot 23^{11} + \left(10 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 23^{12} + \left(20 a^{3} + a^{2} + 21 a + 21\right)\cdot 23^{13} + \left(11 a^{3} + 21 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 23^{14} + \left(15 a^{3} + 16 a^{2} + 17 a + 3\right)\cdot 23^{15} + \left(21 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 23^{16} + \left(12 a^{3} + 13 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 23^{17} + \left(8 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 23^{18} + \left(13 a^{3} + 17 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 23^{19} + \left(11 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 23^{20} + \left(17 a^{3} + 12 a^{2} + 19 a + 6\right)\cdot 23^{21} + \left(3 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 23^{22} + \left(10 a^{3} + 21 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 23^{23} + \left(6 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 23^{24} + \left(10 a^{3} + 15 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 23^{25} + \left(18 a^{2} + 11 a + 16\right)\cdot 23^{26} + \left(4 a^{3} + 15 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 23^{27} + \left(9 a^{3} + 18 a + 12\right)\cdot 23^{28} + \left(14 a^{3} + 6 a + 19\right)\cdot 23^{29} + \left(14 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 22\right)\cdot 23^{30} + \left(14 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 23^{31} + \left(10 a^{3} + 15 a + 10\right)\cdot 23^{32} + \left(21 a^{3} + 22 a^{2} + 9 a + 13\right)\cdot 23^{33} + \left(16 a^{3} + 20 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 23^{34} + \left(12 a^{3} + a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 23^{35} + \left(12 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 23^{36} + \left(a^{3} + a + 2\right)\cdot 23^{37} + \left(13 a^{3} + 16 a^{2} + 13 a + 20\right)\cdot 23^{38} + \left(8 a^{2} + 15 a + 2\right)\cdot 23^{39} + \left(16 a^{3} + 9 a^{2} + 20 a + 9\right)\cdot 23^{40} + \left(17 a^{3} + 11 a^{2} + 19 a\right)\cdot 23^{41} + \left(10 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 14\right)\cdot 23^{42} + \left(5 a^{3} + 14 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 23^{43} + \left(7 a^{3} + 7 a^{2} + 15 a\right)\cdot 23^{44} + \left(6 a^{3} + 6 a^{2} + 17 a\right)\cdot 23^{45} + \left(7 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 23^{46} + \left(2 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 23^{47} + \left(6 a^{3} + 22 a^{2} + 21 a + 20\right)\cdot 23^{48} + \left(12 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 23^{49} + \left(8 a^{3} + 6 a^{2} + 18 a + 14\right)\cdot 23^{50} + \left(21 a^{3} + 2 a^{2} + 22 a + 7\right)\cdot 23^{51} + \left(6 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 23^{52} + \left(8 a^{3} + 11 a^{2} + 20 a + 13\right)\cdot 23^{53} + \left(22 a^{3} + 17 a^{2} + 7 a + 17\right)\cdot 23^{54} + \left(22 a^{3} + 16 a^{2} + 15 a + 22\right)\cdot 23^{55} + \left(5 a^{3} + 22 a^{2} + 11 a + 16\right)\cdot 23^{56} + \left(22 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 18\right)\cdot 23^{57} + \left(4 a^{3} + 7 a^{2} + a + 9\right)\cdot 23^{58} + \left(10 a^{2} + 18 a + 9\right)\cdot 23^{59} + \left(19 a^{3} + 7 a^{2} + 15 a + 16\right)\cdot 23^{60} + \left(14 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 14\right)\cdot 23^{61} + \left(5 a^{3} + 9 a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 23^{62} + \left(9 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 23^{63} + \left(2 a^{3} + 21 a + 10\right)\cdot 23^{64} + \left(a^{3} + 18 a^{2} + a\right)\cdot 23^{65} + \left(18 a^{3} + 9 a^{2}\right)\cdot 23^{66} + \left(3 a^{3} + 12 a + 18\right)\cdot 23^{67} + \left(17 a^{3} + 14 a^{2} + 10 a + 18\right)\cdot 23^{68} + \left(19 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 23^{69} + \left(a^{3} + 8 a^{2} + a + 14\right)\cdot 23^{70} + \left(8 a^{3} + 11 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 23^{71} + \left(19 a^{3} + 21 a^{2} + 9\right)\cdot 23^{72} + \left(19 a^{3} + 16 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 23^{73} + \left(12 a^{3} + 4 a^{2} + 17 a + 5\right)\cdot 23^{74} + \left(a^{3} + 15 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 23^{75} + \left(9 a^{3} + 18 a^{2} + 22 a + 18\right)\cdot 23^{76} + \left(16 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 23^{77} + \left(10 a^{3} + 21 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 23^{78} + \left(9 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 20\right)\cdot 23^{79} + \left(7 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a\right)\cdot 23^{80} + \left(4 a^{3} + 20 a^{2} + 3 a\right)\cdot 23^{81} + \left(16 a^{3} + 14 a^{2} + 3\right)\cdot 23^{82} + \left(15 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 23^{83} + \left(2 a^{3} + 4 a^{2} + 12\right)\cdot 23^{84} + \left(19 a^{3} + 19 a^{2} + 9 a + 13\right)\cdot 23^{85} + \left(14 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 23^{86} + \left(18 a^{3} + 21 a^{2} + a + 9\right)\cdot 23^{87} + \left(22 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 23^{88} + \left(9 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 23^{89} + \left(17 a^{3} + 21 a^{2} + 1\right)\cdot 23^{90} + \left(14 a^{2} + 19 a + 18\right)\cdot 23^{91} + \left(2 a^{3} + 13 a^{2} + 22 a + 13\right)\cdot 23^{92} + \left(6 a^{3} + 17 a^{2} + 8 a + 22\right)\cdot 23^{93} + \left(12 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 23^{94} + \left(17 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 17\right)\cdot 23^{95} + \left(3 a^{3} + 13 a + 1\right)\cdot 23^{96} + \left(18 a^{3} + 17 a^{2} + 13 a + 14\right)\cdot 23^{97} + \left(15 a^{3} + 21 a^{2} + 4 a + 22\right)\cdot 23^{98} + \left(20 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 23^{99} + \left(10 a^{3} + 16 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 23^{100} + \left(20 a^{3} + 8 a^{2} + 19 a + 10\right)\cdot 23^{101} + \left(13 a^{3} + 22 a^{2} + 8 a + 20\right)\cdot 23^{102} + \left(12 a^{3} + 21 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 23^{103} + \left(16 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 23^{104} + \left(11 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 23^{105} + \left(17 a^{3} + 9 a^{2} + 19 a + 7\right)\cdot 23^{106} + \left(a^{3} + 17 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 23^{107} + \left(13 a^{3} + 13 a^{2} + 20 a + 5\right)\cdot 23^{108} + \left(9 a^{3} + 4 a^{2} + 21 a + 12\right)\cdot 23^{109} + \left(16 a^{3} + a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 23^{110} + \left(a^{3} + 2 a^{2} + 17 a + 3\right)\cdot 23^{111} + \left(22 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 23^{112} + \left(9 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 23^{113} + \left(10 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a\right)\cdot 23^{114} + \left(4 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 23^{115} + \left(13 a^{3} + 15 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 23^{116} + \left(14 a^{3} + 18 a^{2} + 15 a + 19\right)\cdot 23^{117} + \left(6 a^{3} + 16 a^{2} + 20 a + 8\right)\cdot 23^{118} + \left(16 a^{3} + 11 a^{2} + 20 a + 19\right)\cdot 23^{119} + \left(20 a^{3} + 8 a + 10\right)\cdot 23^{120} + \left(17 a^{3} + 4 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 23^{121} + \left(a^{3} + 3 a^{2} + 16 a\right)\cdot 23^{122} + \left(5 a^{3} + 14 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 23^{123} + \left(10 a^{3} + 13 a^{2} + 20 a\right)\cdot 23^{124} + \left(3 a^{3} + a + 20\right)\cdot 23^{125} + \left(22 a^{3} + 15 a + 4\right)\cdot 23^{126} + \left(17 a^{3} + 17 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 23^{127} + \left(19 a^{3} + 8 a^{2} + a + 4\right)\cdot 23^{128} + \left(11 a^{3} + 21 a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 23^{129} + \left(16 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 20\right)\cdot 23^{130} + \left(14 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 23^{131} + \left(11 a^{3} + 15 a^{2} + a + 8\right)\cdot 23^{132} + \left(4 a^{3} + 14 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 23^{133} + \left(18 a^{3} + a^{2} + 22 a + 21\right)\cdot 23^{134} + \left(18 a^{3} + 14 a^{2} + a + 16\right)\cdot 23^{135} + \left(6 a^{3} + a^{2} + 3 a\right)\cdot 23^{136} + \left(15 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 23^{137} + \left(10 a^{3} + 15 a^{2} + 17 a + 15\right)\cdot 23^{138} + \left(15 a^{3} + 21 a + 17\right)\cdot 23^{139} + \left(3 a^{3} + 17 a^{2} + 19 a + 2\right)\cdot 23^{140} + \left(3 a^{3} + 20 a^{2} + 4 a + 16\right)\cdot 23^{141} + \left(13 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 23^{142} + \left(8 a^{3} + 20 a^{2} + 4 a + 14\right)\cdot 23^{143} + \left(3 a^{3} + 13 a^{2} + a\right)\cdot 23^{144} + \left(3 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 23^{145} + \left(4 a^{3} + 15 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 23^{146} + \left(5 a^{2} + 8 a + 17\right)\cdot 23^{147} + \left(19 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 23^{148} + \left(7 a^{3} + 18 a^{2} + 19 a + 21\right)\cdot 23^{149} + \left(2 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 23^{150} + \left(a^{2} + 14 a + 18\right)\cdot 23^{151} + \left(10 a^{3} + 4 a + 7\right)\cdot 23^{152} + \left(20 a^{3} + 18 a + 18\right)\cdot 23^{153} + \left(10 a^{3} + a^{2} + 4 a + 14\right)\cdot 23^{154} + \left(7 a^{3} + 5 a^{2} + a + 11\right)\cdot 23^{155} + \left(4 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 23^{156} + \left(11 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 20\right)\cdot 23^{157} + \left(21 a^{3} + 16 a^{2} + 8 a + 20\right)\cdot 23^{158} + \left(21 a^{3} + 21 a^{2} + 22 a + 22\right)\cdot 23^{159} + \left(16 a^{3} + a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 23^{160} + \left(13 a^{3} + 6 a^{2} + 22 a + 9\right)\cdot 23^{161} + \left(7 a^{3} + a^{2} + 8 a + 19\right)\cdot 23^{162} + \left(16 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 23^{163} + \left(9 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 23^{164} + \left(4 a^{3} + 12 a^{2} + 15 a + 14\right)\cdot 23^{165} +O\left(23^{ 166 }\right)$

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 9 }$

Cycle notation
$(2,3)(6,7)(8,9)$
$(1,4,5)$
$(2,6)$
$(3,7,8)$
$(1,2,3)(4,6,7)(5,9,8)$
$(2,6,9)$

Character values on conjugacy classes

SizeOrderAction on $r_1, \ldots, r_{ 9 }$ Character value
$1$$1$$()$$8$
$9$$2$$(2,6)$$0$
$18$$2$$(2,3)(6,7)(8,9)$$4$
$27$$2$$(2,6)(3,7)$$0$
$27$$2$$(1,4)(2,6)(3,7)$$0$
$54$$2$$(1,2)(3,7)(4,6)(5,9)$$0$
$6$$3$$(1,4,5)$$-4$
$8$$3$$(1,4,5)(2,6,9)(3,7,8)$$-1$
$12$$3$$(1,4,5)(2,6,9)$$2$
$72$$3$$(1,2,3)(4,6,7)(5,9,8)$$2$
$54$$4$$(2,3,6,7)(8,9)$$0$
$162$$4$$(1,2,4,6)(3,7)(5,9)$$0$
$36$$6$$(1,4,5)(2,3)(6,7)(8,9)$$-2$
$36$$6$$(1,6,4,9,5,2)$$-2$
$36$$6$$(1,4,5)(2,6)$$0$
$36$$6$$(1,4,5)(2,6)(3,7,8)$$0$
$54$$6$$(1,5,4)(2,6)(3,7)$$0$
$72$$6$$(1,4,5)(2,3,9,8,6,7)$$1$
$108$$6$$(1,6,4,9,5,2)(3,7)$$0$
$216$$6$$(1,2,7,4,6,3)(5,9,8)$$0$
$144$$9$$(1,6,7,4,9,8,5,2,3)$$-1$
$108$$12$$(1,4,5)(2,3,6,7)(8,9)$$0$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.