# Properties

 Label 8.16836267547.9t26.a.a Dimension 8 Group $((C_3^2:Q_8):C_3):C_2$ Conductor $11^{3} \cdot 233^{3}$ Root number 1 Frobenius-Schur indicator 1

# Related objects

## Basic invariants

 Dimension: $8$ Group: $((C_3^2:Q_8):C_3):C_2$ Conductor: $16836267547= 11^{3} \cdot 233^{3}$ Artin number field: Splitting field of 9.3.16836267547.1 defined by $f= x^{9} - 2 x^{8} + 2 x^{7} - x^{6} + 3 x^{5} + 3 x^{4} - 14 x^{3} - 12 x^{2} + x + 2$ over $\Q$ Size of Galois orbit: 1 Smallest containing permutation representation: $((C_3^2:Q_8):C_3):C_2$ Parity: Odd Determinant: 1.2563.2t1.a.a Projective image: $AGL(2,3)$ Projective field: Galois closure of 9.3.16836267547.1

## Galois action

### Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 61 }$ to precision 34.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 61 }$: $x^{4} + 3 x^{2} + 40 x + 2$
Roots:
 $r_{ 1 }$ $=$ $58 + 47\cdot 61 + 12\cdot 61^{2} + 61^{3} + 30\cdot 61^{4} + 8\cdot 61^{5} + 32\cdot 61^{6} + 37\cdot 61^{7} + 40\cdot 61^{8} + 19\cdot 61^{9} + 11\cdot 61^{10} + 41\cdot 61^{11} + 60\cdot 61^{12} + 8\cdot 61^{13} + 16\cdot 61^{14} + 57\cdot 61^{15} + 42\cdot 61^{16} + 39\cdot 61^{17} + 32\cdot 61^{19} + 43\cdot 61^{20} + 33\cdot 61^{21} + 46\cdot 61^{22} + 42\cdot 61^{23} + 5\cdot 61^{24} + 35\cdot 61^{25} + 59\cdot 61^{26} + 28\cdot 61^{27} + 3\cdot 61^{28} + 60\cdot 61^{30} + 50\cdot 61^{31} + 4\cdot 61^{32} + 8\cdot 61^{33} +O\left(61^{ 34 }\right)$ $r_{ 2 }$ $=$ $a^{3} + 58 a^{2} + 10 a + 23 + \left(3 a^{3} + 38 a^{2} + 5 a + 46\right)\cdot 61 + \left(2 a^{3} + 17 a^{2} + 46 a + 27\right)\cdot 61^{2} + \left(15 a^{3} + 32 a^{2} + a + 45\right)\cdot 61^{3} + \left(10 a^{3} + 8 a^{2} + 36 a + 24\right)\cdot 61^{4} + \left(46 a^{3} + 9 a^{2} + 14 a + 34\right)\cdot 61^{5} + \left(59 a^{3} + 52 a^{2} + 23 a + 11\right)\cdot 61^{6} + \left(2 a^{3} + 9 a^{2} + 36 a + 45\right)\cdot 61^{7} + \left(42 a^{3} + 17 a^{2} + 55 a + 38\right)\cdot 61^{8} + \left(42 a^{3} + 38 a^{2} + 30 a + 60\right)\cdot 61^{9} + \left(19 a^{3} + 42 a^{2} + 24 a + 21\right)\cdot 61^{10} + \left(14 a^{3} + 11 a^{2} + 52 a + 34\right)\cdot 61^{11} + \left(42 a^{3} + 7 a^{2} + 52 a + 15\right)\cdot 61^{12} + \left(48 a^{3} + 52 a^{2} + 46 a + 47\right)\cdot 61^{13} + \left(24 a^{3} + 15 a^{2} + 41 a + 43\right)\cdot 61^{14} + \left(13 a^{3} + 44 a^{2} + 26 a + 30\right)\cdot 61^{15} + \left(43 a^{3} + 5 a^{2} + 45 a + 34\right)\cdot 61^{16} + \left(2 a^{3} + 32 a^{2} + 55 a + 48\right)\cdot 61^{17} + \left(51 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 32\right)\cdot 61^{18} + \left(37 a^{3} + 34 a^{2} + 49 a + 44\right)\cdot 61^{19} + \left(40 a^{3} + 9 a^{2} + 58 a\right)\cdot 61^{20} + \left(5 a^{3} + 28 a^{2} + 8 a + 32\right)\cdot 61^{21} + \left(55 a^{3} + 7 a^{2} + 19 a + 11\right)\cdot 61^{22} + \left(9 a^{3} + 3 a^{2} + 22 a + 50\right)\cdot 61^{23} + \left(47 a^{3} + 17 a^{2} + 59 a + 24\right)\cdot 61^{24} + \left(17 a^{3} + 42 a^{2} + 41 a + 2\right)\cdot 61^{25} + \left(51 a^{3} + 19 a^{2} + \frac{1505}{32} a + 40\right)\cdot 61^{26} + \left(4 a^{3} + 6 a^{2} + 32 a + 56\right)\cdot 61^{27} + \left(16 a^{3} + 28 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 61^{28} + \left(17 a^{3} + 23 a^{2} + 29 a + 10\right)\cdot 61^{29} + \left(43 a^{3} + 3 a^{2} + 57 a + 19\right)\cdot 61^{30} + \left(57 a^{3} + 40 a^{2} + 33 a + 4\right)\cdot 61^{31} + \left(31 a^{3} + 6 a^{2} + 20 a + 39\right)\cdot 61^{32} + \left(13 a^{3} + 53 a^{2} + 48 a + 30\right)\cdot 61^{33} +O\left(61^{ 34 }\right)$ $r_{ 3 }$ $=$ $51 a^{3} + 38 a^{2} + 21 a + 29 + \left(53 a^{3} + 39 a^{2} + 50 a + 12\right)\cdot 61 + \left(50 a^{3} + 27 a^{2} + 28 a + 30\right)\cdot 61^{2} + \left(35 a^{3} + 13 a^{2} + 46 a + 51\right)\cdot 61^{3} + \left(53 a^{3} + 29 a^{2} + 25 a + 25\right)\cdot 61^{4} + \left(32 a^{3} + 58 a^{2} + 13 a + 60\right)\cdot 61^{5} + \left(55 a^{3} + 38 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 61^{6} + \left(31 a^{3} + 28 a^{2} + 12 a + 40\right)\cdot 61^{7} + \left(5 a^{3} + 28 a^{2} + 24 a + 17\right)\cdot 61^{8} + \left(6 a^{3} + 52 a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 61^{9} + \left(21 a^{3} + 54 a^{2} + 39\right)\cdot 61^{10} + \left(10 a^{3} + 11 a^{2} + 22 a + 18\right)\cdot 61^{11} + \left(12 a^{3} + 53 a^{2} + 53 a + 34\right)\cdot 61^{12} + \left(36 a^{3} + 17 a^{2} + 29 a + 11\right)\cdot 61^{13} + \left(42 a^{3} + 3 a^{2} + 42 a + 54\right)\cdot 61^{14} + \left(38 a^{3} + 44 a^{2} + 22 a + 42\right)\cdot 61^{15} + \left(58 a^{3} + 30 a^{2} + 3 a + 18\right)\cdot 61^{16} + \left(26 a^{3} + 27 a^{2} + 59 a + 27\right)\cdot 61^{17} + \left(36 a^{3} + 55 a^{2} + 5 a + 52\right)\cdot 61^{18} + \left(21 a^{3} + 38 a^{2} + 45 a + 43\right)\cdot 61^{19} + \left(15 a^{3} + 33 a^{2} + 18 a + 11\right)\cdot 61^{20} + \left(31 a^{3} + 43 a^{2} + 46 a + 39\right)\cdot 61^{21} + \left(14 a^{3} + 14 a^{2} + 21 a + 2\right)\cdot 61^{22} + \left(4 a^{3} + 50 a^{2} + 47 a + 31\right)\cdot 61^{23} + \left(19 a^{3} + 28 a^{2} + 42 a + 38\right)\cdot 61^{24} + \left(16 a^{3} + 46 a^{2} + 19 a + 33\right)\cdot 61^{25} + \left(60 a^{3} + 9 a^{2} + 31 a + 48\right)\cdot 61^{26} + \left(49 a^{3} + 53 a^{2} + 47\right)\cdot 61^{27} + \left(38 a^{3} + 18 a^{2} + 14 a + 44\right)\cdot 61^{28} + \left(52 a^{3} + 35 a^{2} + 10 a + 21\right)\cdot 61^{29} + \left(49 a^{3} + 13 a^{2} + 12 a + 18\right)\cdot 61^{30} + \left(58 a^{3} + 14 a^{2} + 30 a + 29\right)\cdot 61^{31} + \left(a^{3} + 54 a^{2} + 15 a + 34\right)\cdot 61^{32} + \left(47 a^{3} + 34 a^{2} + 35 a + 32\right)\cdot 61^{33} +O\left(61^{ 34 }\right)$ $r_{ 4 }$ $=$ $6 a^{3} + 26 a^{2} + 18 a + 55 + \left(34 a^{3} + 46 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 61 + \left(37 a^{3} + 5 a^{2} + 51 a + 23\right)\cdot 61^{2} + \left(40 a^{3} + 54 a^{2} + 58 a + 8\right)\cdot 61^{3} + \left(10 a^{3} + 17 a^{2} + 11 a + 21\right)\cdot 61^{4} + \left(22 a^{3} + 50 a^{2} + 55 a + 32\right)\cdot 61^{5} + \left(45 a^{3} + 53 a^{2} + 59 a + 17\right)\cdot 61^{6} + \left(18 a^{3} + 18 a^{2} + 50 a + 6\right)\cdot 61^{7} + \left(16 a^{3} + 17 a^{2} + 42 a + 13\right)\cdot 61^{8} + \left(40 a^{3} + 20 a^{2} + 23 a + 40\right)\cdot 61^{9} + \left(48 a^{3} + 45 a^{2} + 16 a + 46\right)\cdot 61^{10} + \left(48 a^{2} + 35 a + 18\right)\cdot 61^{11} + \left(18 a^{3} + 4 a^{2} + 40 a + 19\right)\cdot 61^{12} + \left(46 a^{3} + 58 a^{2} + 49 a + 57\right)\cdot 61^{13} + \left(59 a^{3} + 35 a^{2} + 5 a + 36\right)\cdot 61^{14} + \left(12 a^{3} + 3 a^{2} + 57 a + 7\right)\cdot 61^{15} + \left(48 a^{3} + 34 a^{2} + 11 a + 32\right)\cdot 61^{16} + \left(39 a^{3} + 15 a^{2} + 30 a + 35\right)\cdot 61^{17} + \left(43 a^{3} + 50 a^{2} + 32 a + 49\right)\cdot 61^{18} + \left(34 a^{3} + 15 a^{2} + 50 a + 41\right)\cdot 61^{19} + \left(4 a^{3} + 40 a + 8\right)\cdot 61^{20} + \left(15 a^{3} + 31 a^{2} + 14 a + 34\right)\cdot 61^{21} + \left(59 a^{3} + 44 a^{2} + 20 a + 19\right)\cdot 61^{22} + \left(16 a^{3} + 55 a^{2} + 34 a + 59\right)\cdot 61^{23} + \left(43 a^{3} + 44 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 61^{24} + \left(14 a^{3} + 17 a + 33\right)\cdot 61^{25} + \left(2 a^{3} + 25 a^{2} + \frac{511}{32}\right)\cdot 61^{26} + \left(26 a^{3} + 44 a^{2} + 37 a + 8\right)\cdot 61^{27} + \left(28 a^{3} + 40 a^{2} + 36 a + 48\right)\cdot 61^{28} + \left(47 a^{3} + 35 a^{2} + 37 a + 37\right)\cdot 61^{29} + \left(5 a^{3} + 59 a^{2} + 23 a + 37\right)\cdot 61^{30} + \left(49 a^{3} + 50 a^{2} + 10 a + 29\right)\cdot 61^{31} + \left(60 a^{3} + 10 a^{2} + 34 a + 23\right)\cdot 61^{32} + \left(38 a^{3} + 53 a^{2} + 45 a + 55\right)\cdot 61^{33} +O\left(61^{ 34 }\right)$ $r_{ 5 }$ $=$ $56 a^{3} + 47 a^{2} + 20 a + 31 + \left(26 a^{3} + 3 a^{2} + 16 a + 7\right)\cdot 61 + \left(23 a^{3} + 19 a^{2} + 57 a + 27\right)\cdot 61^{2} + \left(25 a^{2} + 28 a + 54\right)\cdot 61^{3} + \left(50 a^{3} + 58 a^{2} + 60 a + 17\right)\cdot 61^{4} + \left(6 a^{3} + 28 a^{2} + 59 a + 54\right)\cdot 61^{5} + \left(18 a^{3} + 55 a^{2} + 56 a\right)\cdot 61^{6} + \left(57 a^{3} + 32 a^{2} + 52 a + 49\right)\cdot 61^{7} + \left(11 a^{3} + 24 a^{2} + 50 a + 23\right)\cdot 61^{8} + \left(11 a^{3} + 48 a^{2} + 53 a + 51\right)\cdot 61^{9} + \left(4 a^{3} + 38 a^{2} + 49 a + 32\right)\cdot 61^{10} + \left(8 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 61^{11} + \left(13 a^{3} + 56 a^{2} + 52 a + 30\right)\cdot 61^{12} + \left(13 a^{3} + 25 a^{2} + 41 a + 33\right)\cdot 61^{13} + \left(5 a^{3} + 56 a^{2} + 39 a + 34\right)\cdot 61^{14} + \left(5 a^{3} + 17 a^{2} + 13 a + 2\right)\cdot 61^{15} + \left(21 a^{3} + 56 a^{2} + 37 a + 11\right)\cdot 61^{16} + \left(56 a^{3} + 21 a^{2} + 59 a + 54\right)\cdot 61^{17} + \left(56 a^{3} + 51 a^{2} + 28 a + 34\right)\cdot 61^{18} + \left(30 a^{3} + 59 a^{2} + 2 a + 53\right)\cdot 61^{19} + \left(5 a^{3} + 39 a^{2} + 31\right)\cdot 61^{20} + \left(18 a^{3} + 47 a^{2} + 58 a + 57\right)\cdot 61^{21} + \left(27 a^{3} + 26 a^{2} + 17 a + 27\right)\cdot 61^{22} + \left(50 a^{3} + 40 a^{2} + 59 a + 35\right)\cdot 61^{23} + \left(16 a^{3} + 58 a^{2} + 50 a + 51\right)\cdot 61^{24} + \left(7 a^{3} + 36 a^{2} + 11 a + 59\right)\cdot 61^{25} + \left(38 a^{3} + 7 a^{2} + 15 a + 29\right)\cdot 61^{26} + \left(11 a^{3} + 33 a^{2} + 48 a + 16\right)\cdot 61^{27} + \left(44 a^{3} + 38 a^{2} + 59 a + 60\right)\cdot 61^{28} + \left(4 a^{3} + 5 a^{2} + 19 a + 21\right)\cdot 61^{29} + \left(23 a^{3} + 59 a^{2} + 60 a + 37\right)\cdot 61^{30} + \left(16 a^{3} + 46 a^{2} + 17 a + 48\right)\cdot 61^{31} + \left(46 a^{3} + 55 a^{2} + 50 a + 20\right)\cdot 61^{32} + \left(23 a^{3} + 51 a^{2} + 31 a + 23\right)\cdot 61^{33} +O\left(61^{ 34 }\right)$ $r_{ 6 }$ $=$ $49 a^{3} + 52 a^{2} + 54 a + 51 + \left(53 a^{3} + 2 a^{2} + 45 a + 59\right)\cdot 61 + \left(36 a^{3} + 57 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 61^{2} + \left(30 a^{3} + 42 a^{2} + 18 a + 12\right)\cdot 61^{3} + \left(5 a^{3} + 41 a^{2} + 25 a + 1\right)\cdot 61^{4} + \left(6 a^{3} + 18 a^{2} + 23 a + 2\right)\cdot 61^{5} + \left(43 a^{3} + 27 a^{2} + 57 a + 3\right)\cdot 61^{6} + \left(5 a^{3} + 52 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 61^{7} + \left(15 a^{3} + 49 a^{2} + 49 a + 28\right)\cdot 61^{8} + \left(17 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 61^{9} + \left(20 a^{3} + 50 a^{2} + 29 a + 40\right)\cdot 61^{10} + \left(27 a^{3} + 49 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 61^{11} + \left(17 a^{3} + 32 a^{2} + 41 a + 8\right)\cdot 61^{12} + \left(13 a^{3} + 54 a^{2} + 20 a + 3\right)\cdot 61^{13} + \left(27 a^{3} + 31 a^{2} + 5 a + 52\right)\cdot 61^{14} + \left(60 a^{3} + 14 a^{2} + 25 a + 12\right)\cdot 61^{15} + \left(17 a^{3} + 8 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 61^{16} + \left(23 a^{3} + 40 a^{2} + 59 a + 9\right)\cdot 61^{17} + \left(30 a^{3} + 17 a^{2} + 27 a + 46\right)\cdot 61^{18} + \left(23 a^{3} + 35 a^{2} + 25 a + 32\right)\cdot 61^{19} + \left(46 a^{3} + a^{2} + 57 a + 27\right)\cdot 61^{20} + \left(26 a^{2} + 15 a + 27\right)\cdot 61^{21} + \left(29 a^{3} + 16 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 61^{22} + \left(58 a^{3} + 15 a^{2} + 17 a + 34\right)\cdot 61^{23} + \left(55 a^{3} + 56 a^{2} + 41 a\right)\cdot 61^{24} + \left(58 a^{3} + 26 a^{2} + 59 a + 41\right)\cdot 61^{25} + \left(59 a^{3} + 7 a^{2} + \frac{1503}{32} a + 7\right)\cdot 61^{26} + \left(28 a^{3} + 56 a^{2} + 3 a + 32\right)\cdot 61^{27} + \left(22 a^{3} + 37 a^{2} + 12 a + 40\right)\cdot 61^{28} + \left(43 a^{3} + 8 a^{2} + 25 a + 8\right)\cdot 61^{29} + \left(30 a^{3} + 27 a^{2} + 35 a + 13\right)\cdot 61^{30} + \left(15 a^{3} + 11 a^{2} + 37\right)\cdot 61^{31} + \left(51 a^{3} + 49 a^{2} + 41 a + 41\right)\cdot 61^{32} + \left(3 a^{3} + 19 a^{2} + 50 a + 25\right)\cdot 61^{33} +O\left(61^{ 34 }\right)$ $r_{ 7 }$ $=$ $21 a^{3} + 35 a^{2} + 37 a + 9 + \left(25 a^{3} + 15 a^{2} + 31 a + 58\right)\cdot 61 + \left(7 a^{3} + 30 a^{2} + 48 a + 50\right)\cdot 61^{2} + \left(8 a^{3} + 26 a^{2} + 39 a + 21\right)\cdot 61^{3} + \left(19 a^{3} + 36 a^{2} + 45 a + 60\right)\cdot 61^{4} + \left(33 a^{3} + 35 a^{2} + 11 a + 41\right)\cdot 61^{5} + \left(39 a^{3} + 9 a^{2} + 43 a + 4\right)\cdot 61^{6} + \left(25 a^{3} + 51 a^{2} + 47 a + 20\right)\cdot 61^{7} + \left(29 a^{3} + 7 a^{2} + 28 a + 43\right)\cdot 61^{8} + \left(50 a^{3} + 18 a^{2} + 47 a + 57\right)\cdot 61^{9} + \left(41 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 58\right)\cdot 61^{10} + \left(34 a^{3} + 55 a^{2} + 50 a + 46\right)\cdot 61^{11} + \left(47 a^{3} + 55 a^{2} + 21 a + 11\right)\cdot 61^{12} + \left(40 a^{3} + 57 a^{2} + 36 a + 32\right)\cdot 61^{13} + \left(43 a^{3} + 20 a^{2} + 49 a + 23\right)\cdot 61^{14} + \left(58 a^{3} + 60 a^{2} + 27 a + 11\right)\cdot 61^{15} + \left(24 a^{3} + 15 a^{2} + 54 a + 27\right)\cdot 61^{16} + \left(36 a^{3} + 45 a^{2} + 56 a + 3\right)\cdot 61^{17} + \left(2 a^{3} + 41 a^{2} + 38 a + 35\right)\cdot 61^{18} + \left(31 a^{3} + a^{2} + 34 a + 56\right)\cdot 61^{19} + \left(24 a^{3} + 22 a^{2} + 37 a + 42\right)\cdot 61^{20} + \left(35 a^{3} + 2 a^{2} + 48 a + 9\right)\cdot 61^{21} + \left(41 a^{3} + 30 a^{2} + 58 a + 26\right)\cdot 61^{22} + \left(31 a^{3} + 8 a^{2} + 16 a + 2\right)\cdot 61^{23} + \left(a^{3} + 32 a^{2} + 49 a + 46\right)\cdot 61^{24} + \left(37 a^{3} + 6 a^{2} + 52\right)\cdot 61^{25} + \left(\frac{353}{32} a^{3} + 24 a^{2} + 56 a + 13\right)\cdot 61^{26} + \left(38 a^{3} + 6 a^{2} + 23 a + 20\right)\cdot 61^{27} + \left(44 a^{3} + 37 a^{2} + 25 a + 2\right)\cdot 61^{28} + \left(8 a^{3} + 54 a^{2} + 57 a + 45\right)\cdot 61^{29} + \left(59 a^{3} + 16 a^{2} + 16 a + 57\right)\cdot 61^{30} + \left(50 a^{3} + 56 a^{2} + 57 a + 39\right)\cdot 61^{31} + \left(36 a^{3} + 11 a^{2} + 44 a + 10\right)\cdot 61^{32} + \left(57 a^{3} + 14 a^{2} + 48 a + 44\right)\cdot 61^{33} +O\left(61^{ 34 }\right)$ $r_{ 8 }$ $=$ $45 a^{3} + 13 a^{2} + 18 a + 16 + \left(12 a^{3} + 60 a^{2} + 39 a + 29\right)\cdot 61 + \left(20 a^{3} + 36 a^{2} + 31 a + 49\right)\cdot 61^{2} + \left(15 a^{3} + 39 a^{2} + a + 8\right)\cdot 61^{3} + \left(12 a^{3} + 3 a^{2} + 56 a + 53\right)\cdot 61^{4} + \left(16 a^{3} + 46 a^{2} + 44 a + 49\right)\cdot 61^{5} + \left(34 a^{3} + 32 a^{2} + 59 a + 16\right)\cdot 61^{6} + \left(19 a^{3} + 21 a^{2} + 56 a + 46\right)\cdot 61^{7} + \left(40 a^{3} + 22 a^{2} + 9 a\right)\cdot 61^{8} + \left(5 a^{3} + 34 a^{2} + 50 a + 44\right)\cdot 61^{9} + \left(45 a^{3} + 58 a^{2} + 18 a + 25\right)\cdot 61^{10} + \left(12 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 17\right)\cdot 61^{11} + \left(59 a^{3} + 26 a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 61^{12} + \left(37 a^{3} + 17 a^{2} + 58 a + 15\right)\cdot 61^{13} + \left(23 a^{3} + 21 a^{2} + 47 a + 41\right)\cdot 61^{14} + \left(14 a^{3} + 46 a^{2} + 16 a + 47\right)\cdot 61^{15} + \left(11 a^{3} + 38 a^{2} + 42 a + 55\right)\cdot 61^{16} + \left(40 a^{3} + 17 a^{2} + 20 a + 12\right)\cdot 61^{17} + \left(57 a^{3} + 22 a^{2} + 54 a + 57\right)\cdot 61^{18} + \left(45 a^{3} + 13 a^{2} + 46 a + 34\right)\cdot 61^{19} + \left(43 a^{3} + 5 a^{2} + 13 a + 2\right)\cdot 61^{20} + \left(2 a^{3} + 33 a^{2} + 52\right)\cdot 61^{21} + \left(46 a^{3} + 32 a^{2} + 60 a + 59\right)\cdot 61^{22} + \left(49 a^{3} + 43 a^{2} + 33 a + 43\right)\cdot 61^{23} + \left(55 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 29\right)\cdot 61^{24} + \left(19 a^{3} + 18 a^{2} + 17 a + 23\right)\cdot 61^{25} + \left(52 a^{3} + 60 a^{2} + 39 a + 46\right)\cdot 61^{26} + \left(51 a^{3} + 7 a^{2} + 37 a + 26\right)\cdot 61^{27} + \left(36 a^{3} + 49 a^{2} + 57 a + 8\right)\cdot 61^{28} + \left(4 a^{3} + 56 a^{2} + 4 a + 34\right)\cdot 61^{29} + \left(47 a^{3} + 20 a^{2} + 23 a + 59\right)\cdot 61^{30} + \left(59 a^{3} + 38 a^{2} + 16 a + 25\right)\cdot 61^{31} + \left(53 a^{3} + 5 a^{2} + 35 a + 24\right)\cdot 61^{32} + \left(36 a^{3} + 53 a^{2} + 30 a + 22\right)\cdot 61^{33} +O\left(61^{ 34 }\right)$ $r_{ 9 }$ $=$ $15 a^{3} + 36 a^{2} + 5 a + 35 + \left(22 a^{3} + 32 a^{2} + 30 a + 57\right)\cdot 61 + \left(29 a^{3} + 51 a^{2} + 42 a + 20\right)\cdot 61^{2} + \left(23 a^{3} + 47 a^{2} + 2 a + 54\right)\cdot 61^{3} + \left(26 a^{3} + 24 a^{2} + 56 a + 24\right)\cdot 61^{4} + \left(22 a^{3} + 60 a^{2} + 23 a + 55\right)\cdot 61^{5} + \left(49 a^{3} + 16 a^{2} + 56 a + 35\right)\cdot 61^{6} + \left(51 a^{3} + 45 a^{2} + 26 a + 7\right)\cdot 61^{7} + \left(56 a^{3} + 23 a^{2} + 35 a + 32\right)\cdot 61^{8} + \left(32 a^{3} + 29 a^{2} + 4 a + 35\right)\cdot 61^{9} + \left(52 a^{3} + 42 a^{2} + 50 a + 20\right)\cdot 61^{10} + \left(25 a^{3} + 18 a^{2} + 59 a + 54\right)\cdot 61^{11} + \left(52 a^{3} + 37 a^{2} + 6 a\right)\cdot 61^{12} + \left(14 a^{3} + 13 a^{2} + 10 a + 32\right)\cdot 61^{13} + \left(40 a^{3} + 19 a^{2} + 52 a + 14\right)\cdot 61^{14} + \left(54 a^{3} + 32 a^{2} + 45 a + 4\right)\cdot 61^{15} + \left(39 a^{3} + 15 a^{2} + 24 a + 35\right)\cdot 61^{16} + \left(4 a^{3} + 47 a^{2} + 30 a\right)\cdot 61^{17} + \left(44 a^{3} + 29 a^{2} + 47 a + 30\right)\cdot 61^{18} + \left(54 a^{3} + 40 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 61^{19} + \left(11 a^{3} + 35 a^{2} + 27 a + 39\right)\cdot 61^{20} + \left(53 a^{3} + 16 a^{2} + 22 a + 36\right)\cdot 61^{21} + \left(16 a^{3} + 27 a^{2} + 48 a + 15\right)\cdot 61^{22} + \left(23 a^{3} + 7 a^{2} + 28 a + 19\right)\cdot 61^{23} + \left(57 a^{3} + 13 a^{2} + 30 a + 22\right)\cdot 61^{24} + \left(20 a^{3} + 3 a^{2} + 11 a + \frac{287}{16}\right)\cdot 61^{25} + \left(29 a^{3} + 29 a^{2} + 6 a + 42\right)\cdot 61^{26} + \left(32 a^{3} + 36 a^{2} + 60 a + 6\right)\cdot 61^{27} + \left(12 a^{3} + 54 a^{2} + 28 a + 19\right)\cdot 61^{28} + \left(4 a^{3} + 23 a^{2} + 59 a + 3\right)\cdot 61^{29} + \left(46 a^{3} + 43 a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 61^{30} + \left(57 a^{3} + 46 a^{2} + 16 a + 39\right)\cdot 61^{31} + \left(21 a^{3} + 49 a^{2} + 2 a + 44\right)\cdot 61^{32} + \left(22 a^{3} + 24 a^{2} + 14 a + 1\right)\cdot 61^{33} +O\left(61^{ 34 }\right)$

### Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 9 }$

 Cycle notation $(1,2,6)(3,5,4)(7,8,9)$ $(1,6,2)(7,8,9)$ $(1,5,6,3,2,4)(7,8,9)$ $(1,6,8,9)(2,3,7,5)$ $(1,3,7)(2,5,8)(4,9,6)$ $(1,3,7)(2,8,5)$

### Character values on conjugacy classes

 Size Order Action on $r_1, \ldots, r_{ 9 }$ Character value $1$ $1$ $()$ $8$ $9$ $2$ $(1,2)(3,8)(4,9)(5,7)$ $0$ $36$ $2$ $(1,3)(2,5)(4,6)$ $2$ $8$ $3$ $(1,2,6)(3,5,4)(7,8,9)$ $-1$ $24$ $3$ $(1,4,8)(2,9,3)$ $2$ $48$ $3$ $(1,3,9)(2,5,7)(4,8,6)$ $-1$ $54$ $4$ $(1,3,2,8)(4,7,9,5)$ $0$ $72$ $6$ $(1,5,6,3,2,4)(7,8,9)$ $-1$ $72$ $6$ $(2,7,9,6,3,5)(4,8)$ $0$ $54$ $8$ $(1,3,8,7,6,9,5,4)$ $0$ $54$ $8$ $(1,9,8,4,6,3,5,7)$ $0$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.