Properties

Label 7.877e4.8t36.2c1
Dimension 7
Group $C_2^3:(C_7: C_3)$
Conductor $ 877^{4}$
Root number 1
Frobenius-Schur indicator 1

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Basic invariants

Dimension:$7$
Group:$C_2^3:(C_7: C_3)$
Conductor:$591559418641= 877^{4} $
Artin number field: Splitting field of $f= x^{8} - 2 x^{7} - 2 x^{6} + 7 x^{5} + 3 x^{4} - 34 x^{3} + 93 x^{2} - 29 x + 39 $ over $\Q$
Size of Galois orbit: 1
Smallest containing permutation representation: $C_2^3:(C_7: C_3)$
Parity: Even
Determinant: 1.1.1t1.1c1

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 13 }$ to precision 52.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 13 }$: $ x^{3} + 2 x + 11 $
Roots:
$r_{ 1 }$ $=$ $ 13 + 4\cdot 13^{3} + 7\cdot 13^{4} + 2\cdot 13^{5} + 4\cdot 13^{6} + 2\cdot 13^{7} + 4\cdot 13^{8} + 2\cdot 13^{9} + 2\cdot 13^{10} + 10\cdot 13^{11} + 12\cdot 13^{12} + 9\cdot 13^{13} + 8\cdot 13^{14} + 7\cdot 13^{15} + 12\cdot 13^{16} + 5\cdot 13^{17} + 11\cdot 13^{18} + 13^{19} + 6\cdot 13^{20} + 12\cdot 13^{21} + 10\cdot 13^{22} + 8\cdot 13^{23} + 9\cdot 13^{24} + 9\cdot 13^{25} + 5\cdot 13^{26} + 9\cdot 13^{27} + 8\cdot 13^{29} + 12\cdot 13^{30} + 10\cdot 13^{31} + 12\cdot 13^{32} + 12\cdot 13^{33} + 4\cdot 13^{34} + 5\cdot 13^{36} + 10\cdot 13^{37} + 4\cdot 13^{38} + 12\cdot 13^{39} + 7\cdot 13^{40} + 11\cdot 13^{41} + 10\cdot 13^{42} + 12\cdot 13^{44} + 6\cdot 13^{45} + 8\cdot 13^{46} + 11\cdot 13^{47} + 9\cdot 13^{48} + 7\cdot 13^{50} + 13^{51} +O\left(13^{ 52 }\right)$
$r_{ 2 }$ $=$ $ 11 a^{2} + 6 a + 3 + \left(a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 13 + 9 a\cdot 13^{2} + \left(9 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 13^{3} + \left(2 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 13^{4} + \left(4 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 13^{5} + \left(7 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 13^{6} + \left(9 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 13^{7} + \left(9 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{8} + \left(6 a^{2} + 6 a\right)\cdot 13^{9} + \left(10 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 13^{10} + \left(9 a^{2} + 9 a\right)\cdot 13^{11} + \left(6 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 13^{12} + \left(7 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{13} + \left(12 a^{2} + a + 7\right)\cdot 13^{14} + \left(11 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 13^{15} + \left(a + 3\right)\cdot 13^{16} + \left(11 a^{2} + a\right)\cdot 13^{17} + \left(3 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 13^{18} + \left(2 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 13^{19} + \left(a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 13^{20} + \left(11 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{21} + \left(a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{22} + \left(7 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 13^{23} + 8\cdot 13^{24} + \left(4 a^{2} + 3\right)\cdot 13^{25} + \left(9 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 13^{26} + 5 a\cdot 13^{27} + \left(10 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 13^{28} + \left(a^{2} + 6\right)\cdot 13^{29} + \left(2 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{30} + \left(12 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 13^{31} + \left(12 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 13^{32} + \left(11 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{33} + \left(10 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{34} + 12 a\cdot 13^{35} + \left(6 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 13^{36} + \left(11 a^{2} + 10\right)\cdot 13^{37} + \left(9 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 13^{38} + \left(6 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{39} + \left(10 a^{2} + a + 9\right)\cdot 13^{40} + \left(12 a + 6\right)\cdot 13^{41} + \left(8 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 13^{42} + \left(4 a + 3\right)\cdot 13^{43} + \left(10 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 13^{44} + \left(10 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 13^{45} + \left(11 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 13^{46} + \left(12 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 13^{47} + \left(8 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 13^{48} + \left(7 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 13^{49} + \left(11 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 13^{50} + \left(8 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 13^{51} +O\left(13^{ 52 }\right)$
$r_{ 3 }$ $=$ $ 7 a^{2} + 5 a + 2 + \left(12 a^{2} + a + 11\right)\cdot 13 + \left(9 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 13^{2} + \left(10 a^{2} + 6 a\right)\cdot 13^{3} + \left(10 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 13^{4} + \left(8 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 13^{5} + \left(4 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{6} + \left(6 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 13^{7} + \left(a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 13^{8} + \left(10 a^{2} + 3 a\right)\cdot 13^{9} + \left(8 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 13^{10} + \left(12 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 13^{11} + \left(11 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 13^{12} + \left(3 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 13^{13} + \left(7 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{14} + \left(7 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 13^{15} + \left(a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 13^{16} + \left(5 a^{2} + 5 a\right)\cdot 13^{17} + \left(a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 13^{18} + \left(2 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 13^{19} + \left(7 a^{2} + a + 2\right)\cdot 13^{20} + \left(6 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 13^{21} + \left(9 a + 5\right)\cdot 13^{22} + \left(2 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 13^{23} + \left(8 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 13^{24} + \left(2 a^{2} + a + 1\right)\cdot 13^{25} + \left(11 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 13^{26} + \left(10 a^{2} + a + 1\right)\cdot 13^{27} + \left(8 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{28} + \left(a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 13^{29} + \left(9 a^{2} + 6 a\right)\cdot 13^{30} + \left(12 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 13^{31} + \left(8 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 13^{32} + \left(2 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 13^{33} + \left(11 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 13^{34} + \left(10 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 13^{35} + \left(11 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 13^{36} + \left(6 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 13^{37} + \left(9 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 13^{38} + \left(6 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{39} + \left(2 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 13^{40} + \left(12 a^{2} + a + 4\right)\cdot 13^{41} + \left(5 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 13^{42} + \left(10 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 13^{43} + \left(11 a + 5\right)\cdot 13^{44} + \left(8 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 13^{45} + \left(8 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 13^{46} + \left(8 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{47} + \left(7 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 13^{48} + \left(8 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 13^{49} + \left(4 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 13^{50} + \left(10 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 13^{51} +O\left(13^{ 52 }\right)$
$r_{ 4 }$ $=$ $ 8 a^{2} + 2 a + 12 + \left(11 a^{2} + 9\right)\cdot 13 + \left(2 a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{2} + \left(6 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{3} + \left(12 a^{2} + 2 a\right)\cdot 13^{4} + \left(12 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 13^{5} + \left(8 a + 2\right)\cdot 13^{6} + \left(10 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{7} + \left(a^{2} + 6\right)\cdot 13^{8} + \left(9 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 13^{9} + \left(6 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 13^{10} + \left(3 a^{2} + 4\right)\cdot 13^{11} + \left(7 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 13^{12} + \left(a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{13} + \left(6 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 13^{14} + \left(6 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 13^{15} + \left(10 a^{2} + a + 2\right)\cdot 13^{16} + \left(9 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 13^{17} + \left(7 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 13^{18} + \left(8 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{19} + \left(4 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{20} + \left(8 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{21} + \left(10 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 13^{22} + \left(3 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 13^{23} + \left(4 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 13^{24} + \left(6 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 13^{25} + \left(5 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 13^{26} + \left(a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{27} + \left(7 a^{2} + 4 a\right)\cdot 13^{28} + \left(9 a^{2} + a + 4\right)\cdot 13^{29} + \left(a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{30} + \left(a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 13^{31} + \left(4 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 13^{32} + \left(11 a^{2} + 2 a\right)\cdot 13^{33} + \left(3 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 13^{34} + \left(a^{2} + a + 10\right)\cdot 13^{35} + \left(8 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 13^{36} + \left(7 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 13^{37} + \left(6 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 13^{38} + \left(12 a^{2} + 5\right)\cdot 13^{39} + \left(12 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 13^{40} + \left(12 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 13^{41} + \left(11 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 13^{42} + \left(a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 13^{43} + \left(2 a^{2} + a + 11\right)\cdot 13^{44} + \left(7 a^{2} + a + 5\right)\cdot 13^{45} + \left(5 a^{2} + 7 a\right)\cdot 13^{46} + \left(4 a^{2} + 3\right)\cdot 13^{47} + \left(9 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{48} + \left(9 a^{2} + a + 9\right)\cdot 13^{49} + \left(9 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 13^{50} + \left(6 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{51} +O\left(13^{ 52 }\right)$
$r_{ 5 }$ $=$ $ 3 a + \left(6 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 13 + \left(2 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{2} + \left(10 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{3} + \left(5 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{4} + \left(a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 13^{5} + \left(8 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 13^{6} + \left(7 a^{2} + 12 a\right)\cdot 13^{7} + \left(2 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 13^{8} + \left(6 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 13^{9} + \left(a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{10} + \left(11 a^{2} + 5 a\right)\cdot 13^{11} + \left(8 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 13^{12} + \left(9 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13^{13} + \left(4 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 13^{14} + \left(2 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 13^{15} + \left(6 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 13^{16} + \left(5 a^{2} + 5 a\right)\cdot 13^{17} + \left(8 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 13^{18} + \left(10 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{19} + \left(2 a^{2} + a + 1\right)\cdot 13^{20} + \left(3 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 13^{21} + \left(9 a^{2} + 7\right)\cdot 13^{22} + \left(7 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 13^{23} + \left(3 a^{2} + a + 4\right)\cdot 13^{24} + \left(9 a^{2} + a + 6\right)\cdot 13^{25} + \left(11 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 13^{26} + \left(12 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 13^{27} + \left(4 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 13^{28} + \left(3 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{29} + \left(11 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 13^{30} + \left(2 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 13^{31} + \left(a^{2} + a\right)\cdot 13^{32} + \left(9 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 13^{33} + \left(a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{34} + \left(12 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 13^{35} + \left(11 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{36} + \left(9 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 13^{37} + \left(12 a^{2} + a + 10\right)\cdot 13^{38} + \left(9 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 13^{39} + \left(4 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 13^{40} + \left(7 a^{2} + a + 1\right)\cdot 13^{41} + \left(7 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 13^{42} + \left(11 a^{2} + a + 5\right)\cdot 13^{43} + \left(8 a^{2} + 7 a\right)\cdot 13^{44} + \left(3 a^{2} + 8\right)\cdot 13^{45} + \left(10 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{46} + \left(4 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 13^{47} + \left(10 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 13^{48} + \left(11 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 13^{49} + \left(9 a^{2} + a + 10\right)\cdot 13^{50} + \left(4 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 13^{51} +O\left(13^{ 52 }\right)$
$r_{ 6 }$ $=$ $ 2 a^{2} + 8 a + 7 + \left(10 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 13 + \left(11 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 13^{2} + \left(8 a + 4\right)\cdot 13^{3} + \left(9 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 13^{4} + \left(3 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 13^{5} + \left(11 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 13^{6} + \left(8 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 13^{7} + \left(9 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 13^{8} + \left(a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{9} + \left(12 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 13^{10} + \left(6 a^{2} + a + 12\right)\cdot 13^{11} + \left(12 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 13^{12} + \left(12 a^{2} + 10\right)\cdot 13^{13} + \left(7 a^{2} + 5\right)\cdot 13^{14} + \left(2 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 13^{15} + \left(7 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 13^{16} + \left(2 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 13^{17} + \left(6 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 13^{18} + \left(4 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 13^{19} + \left(6 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 13^{20} + \left(4 a^{2} + a + 6\right)\cdot 13^{21} + \left(6 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{22} + \left(12 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 13^{23} + \left(10 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 13^{24} + \left(6 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 13^{25} + \left(4 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 13^{26} + \left(10 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 13^{27} + \left(10 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 13^{28} + \left(9 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 13^{29} + \left(10 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 13^{30} + \left(12 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 13^{31} + \left(12 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{32} + \left(a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 13^{33} + \left(10 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 13^{34} + \left(a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 13^{35} + \left(9 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 13^{36} + \left(12 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 13^{37} + \left(7 a^{2} + a\right)\cdot 13^{38} + \left(5 a^{2} + 11 a\right)\cdot 13^{39} + \left(10 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 13^{40} + \left(2 a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{41} + \left(6 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 13^{42} + \left(4 a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{43} + \left(6 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 13^{44} + \left(9 a^{2} + 2\right)\cdot 13^{45} + \left(4 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 13^{46} + \left(a^{2} + 2 a\right)\cdot 13^{47} + \left(9 a^{2} + 4 a\right)\cdot 13^{48} + \left(2 a^{2} + 9 a\right)\cdot 13^{49} + \left(a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{50} + \left(2 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 13^{51} +O\left(13^{ 52 }\right)$
$r_{ 7 }$ $=$ $ 11 a^{2} + 2 a + 6 + \left(9 a^{2} + 10\right)\cdot 13 + \left(11 a^{2} + 5 a\right)\cdot 13^{2} + \left(a^{2} + a + 6\right)\cdot 13^{3} + \left(11 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{4} + \left(7 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 13^{5} + \left(6 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 13^{6} + \left(9 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 13^{7} + a\cdot 13^{8} + \left(5 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 13^{9} + \left(12 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 13^{10} + \left(7 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{11} + \left(4 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 13^{12} + \left(3 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 13^{13} + \left(3 a + 4\right)\cdot 13^{14} + \left(8 a^{2} + 11\right)\cdot 13^{15} + \left(12 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 13^{16} + \left(4 a^{2} + a + 12\right)\cdot 13^{17} + \left(11 a^{2} + a + 4\right)\cdot 13^{18} + \left(10 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 13^{19} + \left(3 a^{2} + 11\right)\cdot 13^{20} + \left(5 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 13^{21} + \left(10 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 13^{22} + \left(5 a^{2} + 11\right)\cdot 13^{23} + \left(11 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{24} + \left(9 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 13^{25} + \left(9 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 13^{26} + \left(2 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 13^{27} + \left(10 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 13^{28} + \left(12 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 13^{29} + \left(3 a^{2} + a + 6\right)\cdot 13^{30} + \left(10 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 13^{31} + \left(11 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 13^{32} + \left(a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{33} + \left(a^{2} + 7\right)\cdot 13^{34} + \left(12 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 13^{35} + \left(4 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 13^{36} + \left(3 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 13^{37} + \left(5 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 13^{38} + \left(10 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 13^{39} + \left(10 a^{2} + a + 2\right)\cdot 13^{40} + \left(2 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 13^{41} + \left(12 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 13^{42} + \left(9 a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{43} + \left(10 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 13^{44} + \left(12 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 13^{45} + \left(10 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 13^{46} + \left(6 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 13^{47} + \left(6 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 13^{48} + \left(11 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 13^{49} + \left(a^{2} + 8\right)\cdot 13^{50} + \left(6 a^{2} + a + 6\right)\cdot 13^{51} +O\left(13^{ 52 }\right)$
$r_{ 8 }$ $=$ $ 11 + 10\cdot 13 + 5\cdot 13^{2} + 6\cdot 13^{4} + 7\cdot 13^{5} + 13^{6} + 10\cdot 13^{8} + 6\cdot 13^{11} + 9\cdot 13^{12} + 7\cdot 13^{13} + 7\cdot 13^{14} + 4\cdot 13^{15} + 13^{16} + 7\cdot 13^{17} + 12\cdot 13^{18} + 10\cdot 13^{20} + 7\cdot 13^{21} + 11\cdot 13^{23} + 4\cdot 13^{24} + 10\cdot 13^{26} + 10\cdot 13^{27} + 12\cdot 13^{28} + 6\cdot 13^{29} + 7\cdot 13^{30} + 13^{31} + 6\cdot 13^{32} + 6\cdot 13^{33} + 9\cdot 13^{34} + 11\cdot 13^{35} + 12\cdot 13^{36} + 9\cdot 13^{37} + 7\cdot 13^{38} + 3\cdot 13^{39} + 13^{40} + 10\cdot 13^{41} + 10\cdot 13^{42} + 7\cdot 13^{43} + 8\cdot 13^{44} + 7\cdot 13^{45} + 8\cdot 13^{46} + 13^{47} + 7\cdot 13^{49} + 9\cdot 13^{50} + 5\cdot 13^{51} +O\left(13^{ 52 }\right)$

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 8 }$

Cycle notation
$(1,5)(2,6)(3,8)(4,7)$
$(3,7,6)(4,8,5)$
$(1,3,2,6,5,4,8)$
$(1,2)(3,4)(5,6)(7,8)$
$(1,3)(2,4)(5,8)(6,7)$

Character values on conjugacy classes

SizeOrderAction on $r_1, \ldots, r_{ 8 }$ Character value
$1$$1$$()$$7$
$7$$2$$(1,3)(2,4)(5,8)(6,7)$$-1$
$28$$3$$(3,7,6)(4,8,5)$$1$
$28$$3$$(3,6,7)(4,5,8)$$1$
$28$$6$$(1,3,7,5,8,4)(2,6)$$-1$
$28$$6$$(1,4,8,5,7,3)(2,6)$$-1$
$24$$7$$(1,3,2,6,5,4,8)$$0$
$24$$7$$(1,6,8,2,4,3,5)$$0$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.