Properties

Label 7.3e4_313e4.8t36.1c1
Dimension 7
Group $C_2^3:(C_7: C_3)$
Conductor $ 3^{4} \cdot 313^{4}$
Root number 1
Frobenius-Schur indicator 1

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Basic invariants

Dimension:$7$
Group:$C_2^3:(C_7: C_3)$
Conductor:$777431921841= 3^{4} \cdot 313^{4} $
Artin number field: Splitting field of $f= x^{8} - 9 x^{6} - 4 x^{5} + 24 x^{4} + 21 x^{3} + 22 x^{2} - 3 x + 3 $ over $\Q$
Size of Galois orbit: 1
Smallest containing permutation representation: $C_2^3:(C_7: C_3)$
Parity: Even
Determinant: 1.1.1t1.1c1

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 11 }$ to precision 58.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 11 }$: $ x^{3} + 2 x + 9 $
Roots:
$r_{ 1 }$ $=$ $ 1 + 3\cdot 11 + 3\cdot 11^{2} + 8\cdot 11^{3} + 5\cdot 11^{4} + 3\cdot 11^{5} + 11^{6} + 3\cdot 11^{7} + 3\cdot 11^{8} + 11^{9} + 7\cdot 11^{10} + 11^{11} + 11^{12} + 5\cdot 11^{13} + 4\cdot 11^{14} + 11^{15} + 4\cdot 11^{16} + 11^{17} + 10\cdot 11^{18} + 9\cdot 11^{19} + 7\cdot 11^{20} + 8\cdot 11^{21} + 8\cdot 11^{22} + 8\cdot 11^{23} + 10\cdot 11^{24} + 8\cdot 11^{25} + 9\cdot 11^{26} + 6\cdot 11^{27} + 4\cdot 11^{28} + 9\cdot 11^{29} + 3\cdot 11^{30} + 4\cdot 11^{31} + 7\cdot 11^{32} + 8\cdot 11^{33} + 7\cdot 11^{34} + 4\cdot 11^{35} + 4\cdot 11^{36} + 4\cdot 11^{38} + 6\cdot 11^{39} + 8\cdot 11^{40} + 8\cdot 11^{41} + 6\cdot 11^{42} + 7\cdot 11^{43} + 4\cdot 11^{44} + 5\cdot 11^{45} + 5\cdot 11^{46} + 5\cdot 11^{47} + 2\cdot 11^{48} + 10\cdot 11^{49} + 6\cdot 11^{50} + 9\cdot 11^{51} + 4\cdot 11^{52} + 4\cdot 11^{53} + 4\cdot 11^{54} + 6\cdot 11^{55} + 5\cdot 11^{56} + 4\cdot 11^{57} +O\left(11^{ 58 }\right)$
$r_{ 2 }$ $=$ $ 8 a^{2} + 6 a + 3 + \left(8 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 11 + \left(2 a^{2} + 7\right)\cdot 11^{2} + \left(5 a + 4\right)\cdot 11^{3} + \left(9 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 11^{4} + \left(2 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 11^{5} + \left(2 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 11^{6} + \left(9 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 11^{7} + \left(9 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{8} + \left(10 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 11^{9} + \left(4 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 11^{10} + \left(10 a^{2} + a + 2\right)\cdot 11^{11} + \left(a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 11^{12} + \left(6 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 11^{13} + \left(8 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 11^{14} + \left(4 a^{2} + a + 7\right)\cdot 11^{15} + \left(2 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 11^{16} + \left(5 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 11^{17} + \left(2 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 11^{18} + \left(6 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 11^{19} + \left(4 a^{2} + a + 2\right)\cdot 11^{20} + \left(2 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 11^{21} + \left(4 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 11^{22} + \left(2 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 11^{23} + \left(2 a + 9\right)\cdot 11^{24} + \left(7 a + 3\right)\cdot 11^{25} + \left(2 a^{2} + a + 7\right)\cdot 11^{26} + \left(2 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 11^{27} + \left(2 a^{2} + a\right)\cdot 11^{28} + \left(4 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 11^{29} + \left(4 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 11^{30} + \left(5 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 11^{31} + \left(a + 1\right)\cdot 11^{32} + \left(8 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 11^{33} + \left(a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 11^{34} + \left(6 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 11^{35} + \left(a^{2} + a + 10\right)\cdot 11^{36} + \left(3 a^{2} + 9 a\right)\cdot 11^{37} + \left(10 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 11^{38} + \left(2 a + 1\right)\cdot 11^{39} + \left(9 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 11^{40} + \left(4 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 11^{41} + \left(9 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 11^{42} + \left(8 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 11^{43} + \left(2 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 11^{44} + \left(6 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 11^{45} + \left(10 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 11^{46} + \left(9 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 11^{47} + \left(3 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 11^{48} + \left(8 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 11^{49} + \left(a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 11^{50} + \left(6 a + 2\right)\cdot 11^{51} + \left(8 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 11^{52} + \left(3 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 11^{53} + \left(8 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 11^{54} + \left(10 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 11^{55} + \left(4 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 11^{56} + \left(4 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 11^{57} +O\left(11^{ 58 }\right)$
$r_{ 3 }$ $=$ $ 2 a^{2} + a + 6 + \left(2 a^{2} + a + 9\right)\cdot 11 + \left(8 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 11^{2} + \left(2 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 11^{3} + \left(4 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 11^{4} + \left(4 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 11^{5} + \left(7 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 11^{6} + \left(9 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 11^{7} + \left(a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 11^{8} + \left(a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 11^{9} + \left(7 a + 9\right)\cdot 11^{10} + \left(3 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 11^{11} + \left(8 a^{2} + 5 a\right)\cdot 11^{12} + \left(10 a^{2} + 8 a\right)\cdot 11^{13} + \left(9 a^{2} + 7 a\right)\cdot 11^{14} + \left(a^{2} + 10 a\right)\cdot 11^{15} + \left(4 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 11^{16} + \left(10 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 11^{17} + \left(8 a^{2} + 3 a\right)\cdot 11^{18} + \left(8 a^{2} + 9 a\right)\cdot 11^{19} + \left(10 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 11^{20} + \left(7 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 11^{21} + \left(a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 11^{22} + 6\cdot 11^{23} + \left(3 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 11^{24} + \left(5 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 11^{25} + \left(9 a^{2} + 9\right)\cdot 11^{26} + \left(9 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 11^{27} + \left(6 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 11^{28} + \left(3 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 11^{29} + \left(3 a^{2} + 9 a\right)\cdot 11^{30} + \left(10 a^{2} + 4\right)\cdot 11^{31} + \left(4 a + 9\right)\cdot 11^{32} + \left(2 a + 3\right)\cdot 11^{33} + \left(a^{2} + a + 8\right)\cdot 11^{34} + \left(9 a^{2} + a + 6\right)\cdot 11^{35} + 7 a^{2}11^{36} + \left(2 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 11^{37} + \left(a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 11^{38} + \left(3 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 11^{39} + \left(2 a^{2} + 10 a\right)\cdot 11^{40} + \left(7 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 11^{41} + \left(6 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 11^{42} + \left(6 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 11^{43} + \left(2 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 11^{44} + \left(9 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 11^{45} + \left(9 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 11^{46} + \left(5 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 11^{47} + \left(6 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 11^{48} + \left(2 a^{2} + 9\right)\cdot 11^{49} + \left(10 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 11^{50} + \left(8 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 11^{51} + \left(9 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 11^{52} + \left(6 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 11^{53} + \left(3 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 11^{54} + \left(7 a^{2} + 5 a\right)\cdot 11^{55} + 6 a\cdot 11^{56} + \left(7 a^{2} + a + 5\right)\cdot 11^{57} +O\left(11^{ 58 }\right)$
$r_{ 4 }$ $=$ $ 9 + 10\cdot 11 + 3\cdot 11^{2} + 6\cdot 11^{3} + 8\cdot 11^{5} + 11^{6} + 8\cdot 11^{7} + 10\cdot 11^{8} + 8\cdot 11^{9} + 11^{10} + 2\cdot 11^{11} + 8\cdot 11^{12} + 2\cdot 11^{13} + 4\cdot 11^{14} + 9\cdot 11^{15} + 10\cdot 11^{16} + 11^{17} + 8\cdot 11^{18} + 6\cdot 11^{19} + 3\cdot 11^{20} + 3\cdot 11^{21} + 7\cdot 11^{22} + 9\cdot 11^{23} + 5\cdot 11^{24} + 11^{25} + 6\cdot 11^{26} + 7\cdot 11^{27} + 10\cdot 11^{28} + 3\cdot 11^{29} + 5\cdot 11^{30} + 5\cdot 11^{31} + 6\cdot 11^{32} + 6\cdot 11^{34} + 2\cdot 11^{35} + 10\cdot 11^{36} + 5\cdot 11^{37} + 9\cdot 11^{40} + 8\cdot 11^{41} + 11^{42} + 2\cdot 11^{43} + 3\cdot 11^{44} + 7\cdot 11^{45} + 8\cdot 11^{46} + 9\cdot 11^{47} + 11^{49} + 2\cdot 11^{50} + 6\cdot 11^{51} + 5\cdot 11^{52} + 8\cdot 11^{53} + 7\cdot 11^{54} + 3\cdot 11^{56} + 11^{57} +O\left(11^{ 58 }\right)$
$r_{ 5 }$ $=$ $ 10 a^{2} + 8 a + 3 + \left(a + 8\right)\cdot 11 + \left(9 a^{2} + 5\right)\cdot 11^{2} + \left(5 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{3} + \left(6 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 11^{4} + 2\cdot 11^{5} + \left(6 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 11^{6} + \left(9 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 11^{7} + \left(a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 11^{8} + \left(3 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 11^{9} + \left(4 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 11^{10} + \left(6 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 11^{11} + \left(a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 11^{12} + \left(a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 11^{13} + \left(7 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 11^{14} + \left(8 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 11^{15} + \left(10 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 11^{16} + \left(2 a + 7\right)\cdot 11^{17} + \left(6 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 11^{18} + \left(7 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 11^{19} + \left(8 a^{2} + 5 a\right)\cdot 11^{20} + \left(4 a^{2} + 2\right)\cdot 11^{21} + \left(6 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{22} + \left(6 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 11^{23} + \left(9 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 11^{24} + \left(2 a^{2} + 3\right)\cdot 11^{25} + \left(9 a + 1\right)\cdot 11^{26} + \left(9 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 11^{27} + \left(5 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 11^{28} + \left(8 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 11^{29} + \left(6 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 11^{30} + \left(8 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 11^{31} + \left(3 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 11^{32} + \left(10 a + 8\right)\cdot 11^{33} + \left(3 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 11^{34} + \left(10 a^{2} + 1\right)\cdot 11^{35} + \left(9 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 11^{36} + \left(10 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 11^{37} + \left(2 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 11^{38} + \left(2 a^{2} + 7 a\right)\cdot 11^{39} + \left(4 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 11^{40} + \left(8 a^{2} + 7\right)\cdot 11^{41} + \left(8 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 11^{42} + \left(4 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 11^{43} + \left(2 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 11^{44} + \left(9 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 11^{45} + \left(5 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 11^{46} + \left(7 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 11^{47} + \left(8 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 11^{48} + \left(8 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 11^{49} + \left(8 a + 7\right)\cdot 11^{50} + \left(10 a + 10\right)\cdot 11^{51} + \left(7 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 11^{52} + \left(5 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 11^{53} + \left(5 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 11^{54} + \left(a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 11^{55} + \left(4 a + 9\right)\cdot 11^{56} + \left(6 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 11^{57} +O\left(11^{ 58 }\right)$
$r_{ 6 }$ $=$ $ 10 a^{2} + 3 + \left(2 a^{2} + a + 7\right)\cdot 11 + \left(8 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 11^{2} + \left(4 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 11^{3} + \left(8 a^{2} + 1\right)\cdot 11^{4} + \left(3 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 11^{5} + \left(6 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 11^{6} + \left(a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 11^{7} + \left(4 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 11^{8} + \left(4 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 11^{9} + \left(a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 11^{10} + \left(7 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 11^{11} + \left(2 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 11^{12} + \left(4 a^{2} + a + 2\right)\cdot 11^{13} + \left(8 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 11^{14} + \left(6 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 11^{15} + \left(8 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 11^{16} + \left(6 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 11^{17} + \left(4 a^{2} + 10 a\right)\cdot 11^{18} + \left(4 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 11^{19} + 4\cdot 11^{20} + \left(10 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 11^{21} + \left(2 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 11^{22} + \left(8 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 11^{23} + \left(6 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 11^{24} + \left(2 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 11^{25} + \left(5 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 11^{26} + \left(6 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 11^{27} + \left(10 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 11^{28} + \left(4 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 11^{29} + \left(2 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 11^{30} + \left(7 a^{2} + 1\right)\cdot 11^{31} + \left(10 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 11^{32} + \left(9 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 11^{33} + 4 a\cdot 11^{34} + \left(a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 11^{35} + \left(2 a^{2} + a + 7\right)\cdot 11^{36} + \left(3 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 11^{37} + \left(3 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 11^{38} + \left(5 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 11^{39} + \left(3 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 11^{40} + \left(8 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 11^{41} + \left(5 a + 9\right)\cdot 11^{42} + \left(8 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 11^{43} + \left(5 a^{2} + 7\right)\cdot 11^{44} + \left(10 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 11^{45} + \left(a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 11^{46} + \left(5 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 11^{47} + \left(8 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 11^{48} + \left(7 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 11^{49} + \left(6 a^{2} + 10 a\right)\cdot 11^{50} + \left(8 a^{2} + 8 a\right)\cdot 11^{51} + \left(a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 11^{52} + \left(7 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 11^{53} + \left(4 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 11^{54} + \left(a^{2} + a + 1\right)\cdot 11^{55} + \left(2 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 11^{56} + \left(2 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 11^{57} +O\left(11^{ 58 }\right)$
$r_{ 7 }$ $=$ $ 2 a^{2} + 3 a + 7 + \left(7 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 11 + \left(4 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 11^{2} + \left(a + 2\right)\cdot 11^{3} + \left(7 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 11^{4} + \left(6 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 11^{5} + \left(9 a^{2} + 7 a\right)\cdot 11^{6} + \left(10 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 11^{7} + \left(4 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 11^{8} + \left(3 a^{2} + a + 1\right)\cdot 11^{9} + \left(5 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 11^{10} + \left(8 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 11^{11} + \left(6 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 11^{12} + \left(5 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 11^{13} + \left(6 a^{2} + 9 a\right)\cdot 11^{14} + \left(6 a^{2} + a + 4\right)\cdot 11^{15} + \left(2 a^{2} + 10\right)\cdot 11^{16} + \left(3 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 11^{17} + \left(a + 2\right)\cdot 11^{18} + \left(10 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 11^{19} + \left(a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 11^{20} + \left(7 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 11^{21} + \left(a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 11^{22} + \left(7 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 11^{23} + \left(5 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 11^{24} + \left(5 a^{2} + 7\right)\cdot 11^{25} + \left(5 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 11^{26} + \left(6 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 11^{27} + \left(5 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 11^{28} + \left(8 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 11^{29} + \left(a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 11^{30} + \left(6 a^{2} + a + 3\right)\cdot 11^{31} + \left(7 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 11^{32} + \left(8 a + 8\right)\cdot 11^{33} + \left(7 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 11^{34} + \left(10 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 11^{35} + \left(9 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 11^{36} + \left(7 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 11^{37} + \left(4 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 11^{38} + \left(3 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 11^{39} + \left(3 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 11^{40} + \left(5 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 11^{41} + \left(a^{2} + 2\right)\cdot 11^{42} + \left(9 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 11^{43} + \left(2 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 11^{44} + \left(2 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 11^{45} + \left(3 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 11^{46} + \left(9 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 11^{47} + \left(4 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 11^{48} + \left(5 a^{2} + 10 a\right)\cdot 11^{49} + \left(3 a^{2} + 2 a\right)\cdot 11^{50} + \left(2 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 11^{51} + \left(2 a^{2} + a + 10\right)\cdot 11^{52} + \left(9 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 11^{53} + \left(6 a + 8\right)\cdot 11^{54} + \left(8 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 11^{55} + \left(8 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 11^{56} + \left(2 a^{2} + 9\right)\cdot 11^{57} +O\left(11^{ 58 }\right)$
$r_{ 8 }$ $=$ $ a^{2} + 4 a + 1 + \left(2 a + 3\right)\cdot 11 + 6 a\cdot 11^{2} + \left(8 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 11^{3} + \left(8 a^{2} + a + 8\right)\cdot 11^{4} + \left(3 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 11^{5} + \left(a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 11^{6} + \left(3 a^{2} + 4\right)\cdot 11^{7} + \left(10 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 11^{8} + \left(9 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{9} + \left(5 a^{2} + a + 9\right)\cdot 11^{10} + \left(8 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 11^{11} + \left(6 a + 1\right)\cdot 11^{12} + \left(5 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 11^{13} + \left(3 a^{2} + 9\right)\cdot 11^{14} + \left(4 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 11^{15} + \left(4 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 11^{16} + \left(6 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 11^{17} + \left(10 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 11^{18} + \left(6 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 11^{19} + \left(6 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 11^{20} + 11^{21} + \left(5 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 11^{22} + \left(8 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 11^{23} + \left(7 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 11^{24} + \left(5 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 11^{25} + \left(10 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 11^{26} + \left(9 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 11^{27} + \left(a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 11^{28} + \left(3 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 11^{29} + \left(3 a^{2} + 6 a\right)\cdot 11^{30} + \left(6 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 11^{31} + \left(9 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 11^{32} + \left(2 a^{2} + 2 a\right)\cdot 11^{33} + \left(8 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 11^{34} + \left(6 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 11^{35} + \left(a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 11^{36} + \left(5 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 11^{37} + \left(10 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 11^{38} + \left(6 a^{2} + a + 2\right)\cdot 11^{39} + \left(10 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 11^{40} + \left(9 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 11^{41} + \left(5 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 11^{42} + \left(6 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 11^{43} + \left(5 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 11^{44} + \left(6 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 11^{45} + \left(a^{2} + a + 9\right)\cdot 11^{46} + \left(6 a^{2} + 3\right)\cdot 11^{47} + \left(2 a + 8\right)\cdot 11^{48} + \left(2 a + 2\right)\cdot 11^{49} + \left(10 a^{2} + 8 a\right)\cdot 11^{50} + \left(a^{2} + 5\right)\cdot 11^{51} + \left(4 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 11^{52} + \left(6 a + 5\right)\cdot 11^{53} + \left(10 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 11^{54} + \left(3 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 11^{55} + \left(5 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 11^{56} + \left(10 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 11^{57} +O\left(11^{ 58 }\right)$

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 8 }$

Cycle notation
$(1,4)(2,5)(3,7)(6,8)$
$(2,4,5)(3,7,6)$
$(1,8)(2,7)(3,5)(4,6)$
$(1,3)(2,6)(4,7)(5,8)$
$(1,2,5,6,7,4,8)$

Character values on conjugacy classes

SizeOrderAction on $r_1, \ldots, r_{ 8 }$ Character value
$1$$1$$()$$7$
$7$$2$$(1,4)(2,5)(3,7)(6,8)$$-1$
$28$$3$$(2,4,5)(3,7,6)$$1$
$28$$3$$(2,5,4)(3,6,7)$$1$
$28$$6$$(1,8,4,2,7,5)(3,6)$$-1$
$28$$6$$(1,5,7,2,4,8)(3,6)$$-1$
$24$$7$$(1,2,5,6,7,4,8)$$0$
$24$$7$$(1,6,8,5,4,2,7)$$0$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.