# Properties

 Label 7.2e8_7e11.24t283.1c2 Dimension 7 Group $C_2^3:(C_7: C_3)$ Conductor $2^{8} \cdot 7^{11}$ Root number not computed Frobenius-Schur indicator 0

# Related objects

## Basic invariants

 Dimension: $7$ Group: $C_2^3:(C_7: C_3)$ Conductor: $506195646208= 2^{8} \cdot 7^{11}$ Artin number field: Splitting field of $f= x^{8} - 4 x^{7} + 14 x^{6} - 14 x^{5} + 14 x^{4} + 28 x^{3} + 14 x^{2} - 2 x + 1$ over $\Q$ Size of Galois orbit: 2 Smallest containing permutation representation: 24T283 Parity: Even Determinant: 1.7.3t1.1c2

## Galois action

### Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 11 }$ to precision 59.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 11 }$: $x^{3} + 2 x + 9$
Roots:
 $r_{ 1 }$ $=$ $2 + 8\cdot 11 + 3\cdot 11^{2} + 9\cdot 11^{3} + 4\cdot 11^{4} + 4\cdot 11^{5} + 7\cdot 11^{6} + 3\cdot 11^{7} + 7\cdot 11^{8} + 5\cdot 11^{9} + 3\cdot 11^{10} + 11^{11} + 8\cdot 11^{12} + 4\cdot 11^{13} + 9\cdot 11^{14} + 3\cdot 11^{15} + 9\cdot 11^{16} + 6\cdot 11^{17} + 8\cdot 11^{18} + 10\cdot 11^{19} + 10\cdot 11^{20} + 5\cdot 11^{21} + 6\cdot 11^{22} + 5\cdot 11^{23} + 8\cdot 11^{24} + 6\cdot 11^{25} + 10\cdot 11^{26} + 3\cdot 11^{27} + 8\cdot 11^{28} + 3\cdot 11^{29} + 5\cdot 11^{30} + 11^{31} + 4\cdot 11^{32} + 6\cdot 11^{33} + 8\cdot 11^{34} + 6\cdot 11^{35} + 6\cdot 11^{36} + 8\cdot 11^{37} + 7\cdot 11^{38} + 5\cdot 11^{39} + 6\cdot 11^{41} + 4\cdot 11^{43} + 8\cdot 11^{44} + 3\cdot 11^{45} + 2\cdot 11^{46} + 8\cdot 11^{48} + 5\cdot 11^{49} + 2\cdot 11^{50} + 8\cdot 11^{51} + 3\cdot 11^{53} + 4\cdot 11^{54} + 5\cdot 11^{55} + 9\cdot 11^{56} + 9\cdot 11^{57} + 3\cdot 11^{58} +O\left(11^{ 59 }\right)$ $r_{ 2 }$ $=$ $10 a^{2} + 10 a + 4 + \left(7 a + 5\right)\cdot 11 + \left(10 a^{2} + a + 1\right)\cdot 11^{2} + \left(a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 11^{3} + 8 a\cdot 11^{4} + \left(7 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 11^{5} + \left(7 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 11^{6} + \left(a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 11^{7} + 4\cdot 11^{8} + \left(7 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 11^{9} + \left(2 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 11^{10} + \left(3 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 11^{11} + \left(a + 8\right)\cdot 11^{12} + \left(a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 11^{13} + \left(4 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 11^{14} + \left(4 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 11^{15} + \left(6 a + 2\right)\cdot 11^{16} + \left(a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 11^{17} + \left(8 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 11^{18} + \left(6 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 11^{19} + \left(6 a^{2} + 10\right)\cdot 11^{20} + \left(a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 11^{21} + \left(6 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 11^{22} + \left(7 a^{2} + 3\right)\cdot 11^{23} + \left(9 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 11^{24} + \left(5 a^{2} + a + 8\right)\cdot 11^{25} + \left(6 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 11^{26} + \left(10 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 11^{27} + \left(4 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 11^{28} + \left(9 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 11^{29} + \left(6 a^{2} + 6 a\right)\cdot 11^{30} + \left(10 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 11^{31} + \left(2 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 11^{32} + \left(7 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 11^{33} + \left(3 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 11^{34} + \left(8 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 11^{35} + \left(3 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 11^{36} + \left(10 a + 9\right)\cdot 11^{37} + 9 a^{2}11^{38} + \left(2 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 11^{39} + \left(a^{2} + a + 7\right)\cdot 11^{40} + \left(8 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 11^{41} + \left(2 a^{2} + a + 1\right)\cdot 11^{42} + \left(5 a^{2} + 6\right)\cdot 11^{43} + \left(10 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 11^{44} + \left(4 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 11^{45} + \left(5 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 11^{46} + 9\cdot 11^{47} + \left(3 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 11^{48} + \left(3 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 11^{49} + \left(8 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 11^{50} + \left(4 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 11^{51} + \left(2 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 11^{52} + \left(10 a^{2} + 7 a\right)\cdot 11^{53} + \left(6 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 11^{54} + \left(2 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 11^{55} + \left(8 a^{2} + 2 a\right)\cdot 11^{56} + \left(5 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 11^{57} + \left(3 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 11^{58} +O\left(11^{ 59 }\right)$ $r_{ 3 }$ $=$ $5 + 10\cdot 11^{2} + 10\cdot 11^{4} + 11^{5} + 11^{6} + 7\cdot 11^{7} + 9\cdot 11^{8} + 8\cdot 11^{10} + 2\cdot 11^{11} + 3\cdot 11^{13} + 2\cdot 11^{14} + 8\cdot 11^{15} + 10\cdot 11^{16} + 2\cdot 11^{17} + 6\cdot 11^{18} + 9\cdot 11^{19} + 6\cdot 11^{20} + 5\cdot 11^{21} + 5\cdot 11^{22} + 2\cdot 11^{23} + 8\cdot 11^{24} + 3\cdot 11^{25} + 8\cdot 11^{26} + 9\cdot 11^{27} + 8\cdot 11^{29} + 10\cdot 11^{30} + 2\cdot 11^{31} + 8\cdot 11^{32} + 5\cdot 11^{33} + 5\cdot 11^{34} + 4\cdot 11^{35} + 3\cdot 11^{36} + 3\cdot 11^{37} + 4\cdot 11^{39} + 10\cdot 11^{40} + 2\cdot 11^{41} + 10\cdot 11^{42} + 8\cdot 11^{43} + 6\cdot 11^{44} + 10\cdot 11^{45} + 3\cdot 11^{46} + 7\cdot 11^{47} + 2\cdot 11^{48} + 8\cdot 11^{49} + 2\cdot 11^{50} + 8\cdot 11^{51} + 10\cdot 11^{53} + 2\cdot 11^{55} + 2\cdot 11^{56} + 11^{57} + 6\cdot 11^{58} +O\left(11^{ 59 }\right)$ $r_{ 4 }$ $=$ $a^{2} + 2 a + 3 + \left(4 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 11 + \left(5 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 11^{2} + \left(8 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 11^{3} + \left(8 a^{2} + a + 4\right)\cdot 11^{4} + \left(a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 11^{5} + \left(a^{2} + 9\right)\cdot 11^{6} + \left(3 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 11^{7} + \left(8 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 11^{8} + \left(8 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 11^{9} + \left(10 a^{2} + a + 2\right)\cdot 11^{10} + \left(4 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 11^{11} + \left(4 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 11^{12} + \left(5 a^{2} + a + 9\right)\cdot 11^{13} + \left(2 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 11^{14} + \left(2 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 11^{15} + \left(5 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{16} + \left(10 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 11^{17} + \left(10 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 11^{18} + \left(9 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 11^{19} + \left(10 a^{2} + a + 5\right)\cdot 11^{20} + \left(4 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 11^{21} + \left(2 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{22} + \left(9 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 11^{23} + \left(3 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 11^{24} + \left(3 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 11^{25} + \left(10 a^{2} + 7\right)\cdot 11^{26} + \left(2 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 11^{27} + \left(3 a + 2\right)\cdot 11^{28} + \left(4 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 11^{29} + \left(2 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 11^{30} + \left(6 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 11^{31} + \left(10 a^{2} + a + 9\right)\cdot 11^{32} + \left(3 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 11^{33} + \left(3 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 11^{34} + \left(3 a + 3\right)\cdot 11^{35} + \left(6 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 11^{36} + \left(10 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 11^{37} + \left(4 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 11^{38} + \left(a + 5\right)\cdot 11^{39} + \left(7 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 11^{40} + \left(7 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 11^{41} + \left(2 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 11^{42} + \left(5 a^{2} + 9\right)\cdot 11^{43} + \left(8 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 11^{44} + \left(8 a^{2} + 6 a\right)\cdot 11^{45} + \left(a + 3\right)\cdot 11^{46} + \left(8 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 11^{47} + \left(9 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 11^{48} + \left(3 a + 10\right)\cdot 11^{49} + \left(3 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 11^{50} + \left(5 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 11^{51} + \left(7 a^{2} + 4\right)\cdot 11^{52} + \left(4 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 11^{53} + 6 a^{2}11^{54} + \left(3 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 11^{55} + \left(10 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 11^{56} + \left(7 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{57} + \left(a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 11^{58} +O\left(11^{ 59 }\right)$ $r_{ 5 }$ $=$ $8 a^{2} + 9 a + 8 + \left(3 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 11 + \left(4 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 11^{2} + \left(a + 9\right)\cdot 11^{3} + \left(9 a + 5\right)\cdot 11^{4} + \left(9 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 11^{5} + \left(5 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 11^{6} + \left(5 a^{2} + 3 a\right)\cdot 11^{7} + \left(10 a + 9\right)\cdot 11^{8} + \left(6 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 11^{9} + \left(9 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 11^{10} + \left(5 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 11^{11} + \left(6 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 11^{12} + \left(9 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 11^{13} + \left(10 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 11^{14} + \left(8 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 11^{15} + \left(5 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 11^{16} + \left(5 a + 3\right)\cdot 11^{17} + \left(5 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 11^{18} + \left(8 a^{2} + 6 a\right)\cdot 11^{19} + \left(9 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 11^{20} + \left(10 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 11^{21} + \left(4 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 11^{22} + \left(7 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 11^{23} + \left(3 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 11^{24} + \left(9 a + 6\right)\cdot 11^{25} + \left(2 a^{2} + 9\right)\cdot 11^{26} + \left(7 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 11^{27} + \left(6 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 11^{28} + \left(5 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 11^{29} + \left(3 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 11^{30} + \left(9 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 11^{31} + \left(9 a^{2} + a + 9\right)\cdot 11^{32} + \left(a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 11^{33} + \left(3 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 11^{34} + \left(8 a^{2} + 5 a\right)\cdot 11^{35} + \left(9 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 11^{36} + \left(6 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 11^{37} + \left(2 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 11^{38} + \left(2 a^{2} + a + 9\right)\cdot 11^{39} + \left(a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 11^{40} + \left(3 a^{2} + 1\right)\cdot 11^{41} + \left(4 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 11^{42} + \left(5 a^{2} + a + 3\right)\cdot 11^{43} + \left(a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 11^{44} + \left(5 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 11^{45} + 4 a\cdot 11^{46} + \left(2 a^{2} + a + 2\right)\cdot 11^{47} + \left(4 a^{2} + a + 4\right)\cdot 11^{48} + \left(2 a^{2} + 3 a\right)\cdot 11^{49} + \left(3 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 11^{50} + \left(3 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 11^{51} + \left(8 a^{2} + 8\right)\cdot 11^{52} + \left(9 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 11^{53} + \left(6 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 11^{54} + \left(10 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 11^{55} + \left(8 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 11^{56} + \left(7 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 11^{57} + \left(10 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 11^{58} +O\left(11^{ 59 }\right)$ $r_{ 6 }$ $=$ $10 a + 9 + \left(6 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 11 + \left(6 a^{2} + 9 a\right)\cdot 11^{2} + \left(3 a + 7\right)\cdot 11^{3} + \left(2 a^{2} + a + 6\right)\cdot 11^{4} + \left(2 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 11^{5} + \left(2 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 11^{6} + \left(6 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 11^{7} + \left(2 a^{2} + a\right)\cdot 11^{8} + \left(6 a^{2} + 6 a\right)\cdot 11^{9} + \left(8 a^{2} + 3 a\right)\cdot 11^{10} + \left(2 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 11^{11} + \left(6 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 11^{12} + \left(4 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 11^{13} + \left(4 a^{2} + 10 a\right)\cdot 11^{14} + \left(4 a^{2} + a\right)\cdot 11^{15} + \left(5 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 11^{16} + \left(10 a^{2} + a\right)\cdot 11^{17} + \left(2 a^{2} + 8 a\right)\cdot 11^{18} + \left(5 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 11^{19} + \left(4 a^{2} + 9 a\right)\cdot 11^{20} + \left(4 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 11^{21} + \left(2 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 11^{22} + \left(5 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 11^{23} + \left(8 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 11^{24} + \left(a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 11^{25} + \left(5 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 11^{26} + \left(8 a^{2} + 1\right)\cdot 11^{27} + \left(5 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 11^{28} + \left(8 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 11^{29} + \left(a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 11^{30} + \left(5 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{31} + \left(8 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 11^{32} + \left(10 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 11^{33} + \left(3 a^{2} + a + 1\right)\cdot 11^{34} + \left(2 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 11^{35} + \left(a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 11^{36} + 8\cdot 11^{37} + \left(8 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 11^{38} + \left(7 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 11^{39} + \left(2 a^{2} + a + 1\right)\cdot 11^{40} + \left(6 a^{2} + 5 a\right)\cdot 11^{41} + \left(5 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 11^{42} + \left(10 a + 3\right)\cdot 11^{43} + \left(3 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{44} + \left(8 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 11^{45} + \left(4 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 11^{46} + \left(2 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 11^{47} + \left(9 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 11^{48} + \left(6 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 11^{49} + \left(10 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 11^{50} + \left(a + 4\right)\cdot 11^{51} + \left(a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 11^{52} + \left(7 a^{2} + 7 a\right)\cdot 11^{53} + \left(8 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 11^{54} + \left(4 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 11^{55} + \left(3 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 11^{56} + \left(8 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 11^{57} + \left(5 a^{2} + 9 a\right)\cdot 11^{58} +O\left(11^{ 59 }\right)$ $r_{ 7 }$ $=$ $10 a^{2} + 6 a + 7 + \left(10 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 11 + \left(a^{2} + 2\right)\cdot 11^{2} + \left(8 a^{2} + 1\right)\cdot 11^{3} + \left(10 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 11^{4} + \left(8 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 11^{5} + \left(4 a^{2} + a + 6\right)\cdot 11^{6} + \left(2 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 11^{7} + \left(3 a^{2} + a + 1\right)\cdot 11^{8} + \left(8 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 11^{9} + 8\cdot 11^{10} + \left(6 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 11^{11} + \left(6 a^{2} + 5\right)\cdot 11^{12} + \left(10 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 11^{13} + \left(5 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 11^{14} + \left(5 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 11^{15} + \left(8 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 11^{16} + \left(6 a + 3\right)\cdot 11^{17} + \left(5 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 11^{18} + \left(10 a^{2} + a + 10\right)\cdot 11^{19} + \left(a + 7\right)\cdot 11^{20} + \left(8 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 11^{21} + \left(5 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 11^{22} + \left(2 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 11^{23} + \left(9 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 11^{24} + 7\cdot 11^{25} + \left(2 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 11^{26} + \left(7 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 11^{27} + \left(5 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 11^{28} + \left(9 a^{2} + a + 5\right)\cdot 11^{29} + \left(2 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 11^{30} + \left(8 a^{2} + 3\right)\cdot 11^{31} + \left(a + 1\right)\cdot 11^{32} + \left(2 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 11^{33} + \left(3 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 11^{34} + \left(7 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 11^{35} + \left(5 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 11^{36} + \left(10 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 11^{37} + \left(8 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 11^{38} + \left(7 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 11^{39} + \left(a + 6\right)\cdot 11^{40} + \left(a^{2} + a + 6\right)\cdot 11^{41} + \left(10 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 11^{42} + \left(3 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 11^{43} + \left(3 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 11^{44} + \left(9 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 11^{45} + \left(10 a + 4\right)\cdot 11^{46} + \left(5 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 11^{47} + \left(2 a + 10\right)\cdot 11^{48} + \left(3 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 11^{49} + \left(3 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 11^{50} + \left(6 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 11^{51} + \left(a^{2} + a + 3\right)\cdot 11^{52} + \left(a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 11^{53} + \left(3 a^{2} + a + 10\right)\cdot 11^{54} + \left(4 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 11^{55} + \left(8 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 11^{56} + \left(7 a^{2} + a + 7\right)\cdot 11^{57} + \left(2 a + 4\right)\cdot 11^{58} +O\left(11^{ 59 }\right)$ $r_{ 8 }$ $=$ $4 a^{2} + 7 a + 10 + \left(7 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 11 + \left(4 a^{2} + 6\right)\cdot 11^{2} + \left(2 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 11^{3} + \left(8 a + 2\right)\cdot 11^{4} + \left(4 a^{2} + 4 a\right)\cdot 11^{5} + 8\cdot 11^{6} + \left(3 a^{2} + 4\right)\cdot 11^{7} + \left(7 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 11^{8} + \left(7 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 11^{9} + 8\cdot 11^{10} + \left(10 a^{2} + 10\right)\cdot 11^{11} + \left(8 a^{2} + 3 a\right)\cdot 11^{12} + \left(a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 11^{13} + \left(5 a^{2} + 8\right)\cdot 11^{14} + \left(7 a^{2} + 5 a\right)\cdot 11^{15} + \left(7 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 11^{16} + \left(9 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 11^{17} + \left(3 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 11^{19} + \left(4 a + 7\right)\cdot 11^{20} + \left(3 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 11^{21} + \left(3 a + 4\right)\cdot 11^{22} + \left(a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 11^{23} + \left(9 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 11^{24} + \left(9 a^{2} + 4\right)\cdot 11^{25} + \left(6 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 11^{26} + \left(7 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 11^{27} + \left(9 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 11^{28} + \left(6 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 11^{29} + \left(4 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 11^{30} + \left(4 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 11^{31} + 8 a\cdot 11^{32} + \left(7 a^{2} + a + 10\right)\cdot 11^{33} + \left(4 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 11^{34} + \left(6 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 11^{35} + \left(6 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 11^{36} + \left(4 a^{2} + 9 a\right)\cdot 11^{37} + \left(10 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 11^{38} + \left(10 a + 4\right)\cdot 11^{39} + \left(9 a^{2} + a + 10\right)\cdot 11^{40} + \left(6 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 11^{41} + \left(7 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 11^{42} + \left(a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 11^{43} + \left(6 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 11^{44} + \left(7 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 11^{45} + \left(9 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 11^{46} + \left(3 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 11^{47} + \left(6 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 11^{48} + \left(5 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 11^{49} + \left(4 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 11^{50} + \left(a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 11^{51} + \left(a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 11^{52} + \left(6 a + 1\right)\cdot 11^{53} + \left(a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 11^{54} + \left(7 a^{2} + 9 a\right)\cdot 11^{55} + \left(4 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 11^{56} + \left(6 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 11^{57} + \left(10 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 11^{58} +O\left(11^{ 59 }\right)$

### Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 8 }$

 Cycle notation $(1,3)(2,8)(4,7)(5,6)$ $(1,2)(3,8)(4,6)(5,7)$ $(1,6,2,7,8,5)(3,4)$ $(1,6)(2,4)(3,5)(7,8)$ $(1,3,5,7,2,6,8)$

### Character values on conjugacy classes

 Size Order Action on $r_1, \ldots, r_{ 8 }$ Character value $1$ $1$ $()$ $7$ $7$ $2$ $(1,7)(2,5)(3,4)(6,8)$ $-1$ $28$ $3$ $(1,2,8)(5,6,7)$ $-\zeta_{3} - 1$ $28$ $3$ $(1,8,2)(5,7,6)$ $\zeta_{3}$ $28$ $6$ $(1,6,2,7,8,5)(3,4)$ $-\zeta_{3}$ $28$ $6$ $(1,5,8,7,2,6)(3,4)$ $\zeta_{3} + 1$ $24$ $7$ $(1,3,5,7,2,6,8)$ $0$ $24$ $7$ $(1,7,8,5,6,3,2)$ $0$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.