Properties

Label 7.2e6_7e11.24t283.1c2
Dimension 7
Group $C_2^3:(C_7: C_3)$
Conductor $ 2^{6} \cdot 7^{11}$
Root number not computed
Frobenius-Schur indicator 0

Related objects

Learn more about

Basic invariants

Dimension:$7$
Group:$C_2^3:(C_7: C_3)$
Conductor:$126548911552= 2^{6} \cdot 7^{11} $
Artin number field: Splitting field of $f= x^{8} - x^{7} + 7 x^{6} + 7 x^{5} + 7 x^{4} + 7 x^{3} + 7 x^{2} + 5 x + 2 $ over $\Q$
Size of Galois orbit: 2
Smallest containing permutation representation: 24T283
Parity: Even
Determinant: 1.7.3t1.1c1

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 19 }$ to precision 51.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 19 }$: $ x^{3} + 4 x + 17 $
Roots:
$r_{ 1 }$ $=$ $ 9 a^{2} + 5 a + 12 + \left(9 a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 19 + \left(16 a^{2} + 4 a\right)\cdot 19^{2} + \left(7 a^{2} + 17 a + 17\right)\cdot 19^{3} + \left(5 a^{2} + 13 a + 17\right)\cdot 19^{4} + \left(9 a^{2} + 18 a + 9\right)\cdot 19^{5} + \left(14 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 19^{6} + \left(9 a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 19^{7} + \left(14 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 19^{8} + \left(18 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 19^{9} + \left(3 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 19^{10} + \left(6 a^{2} + 17 a + 17\right)\cdot 19^{11} + \left(15 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 19^{12} + \left(10 a^{2} + 17 a + 7\right)\cdot 19^{13} + \left(a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 19^{14} + \left(8 a^{2} + 13 a + 2\right)\cdot 19^{15} + \left(7 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 19^{16} + \left(11 a^{2} + 7 a + 17\right)\cdot 19^{17} + \left(2 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 19^{18} + \left(7 a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 19^{19} + \left(2 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 19^{20} + \left(14 a^{2} + 17 a + 7\right)\cdot 19^{21} + \left(10 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 19^{22} + \left(10 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 19^{23} + \left(2 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 19^{24} + \left(2 a^{2} + 13 a\right)\cdot 19^{25} + \left(2 a^{2} + 5 a + 16\right)\cdot 19^{26} + \left(3 a^{2} + 3 a + 16\right)\cdot 19^{27} + \left(7 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 19^{28} + \left(5 a^{2} + 6\right)\cdot 19^{29} + \left(13 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 19^{30} + \left(11 a^{2} + 18 a + 13\right)\cdot 19^{31} + 11\cdot 19^{32} + \left(14 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 19^{33} + \left(9 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 19^{34} + \left(15 a^{2} + 3 a + 18\right)\cdot 19^{35} + \left(12 a^{2} + 2 a + 18\right)\cdot 19^{36} + \left(7 a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 19^{37} + \left(6 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 19^{38} + \left(7 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 19^{39} + \left(12 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 19^{40} + \left(6 a^{2} + 10 a + 14\right)\cdot 19^{41} + \left(6 a^{2} + 4 a + 14\right)\cdot 19^{42} + \left(5 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 19^{43} + \left(10 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 19^{44} + \left(2 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 19^{45} + 15 a^{2}19^{46} + \left(7 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 19^{47} + \left(16 a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 19^{48} + \left(2 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 19^{49} + \left(13 a + 9\right)\cdot 19^{50} +O\left(19^{ 51 }\right)$
$r_{ 2 }$ $=$ $ 16 + 17\cdot 19 + 15\cdot 19^{2} + 4\cdot 19^{3} + 18\cdot 19^{4} + 9\cdot 19^{5} + 6\cdot 19^{6} + 10\cdot 19^{7} + 8\cdot 19^{8} + 18\cdot 19^{9} + 6\cdot 19^{10} + 18\cdot 19^{11} + 5\cdot 19^{12} + 14\cdot 19^{13} + 19^{14} + 6\cdot 19^{15} + 8\cdot 19^{16} + 13\cdot 19^{17} + 11\cdot 19^{18} + 13\cdot 19^{19} + 5\cdot 19^{20} + 16\cdot 19^{21} + 8\cdot 19^{22} + 7\cdot 19^{23} + 14\cdot 19^{24} + 2\cdot 19^{25} + 15\cdot 19^{26} + 3\cdot 19^{27} + 15\cdot 19^{28} + 3\cdot 19^{29} + 6\cdot 19^{30} + 2\cdot 19^{31} + 14\cdot 19^{32} + 3\cdot 19^{33} + 19^{34} + 11\cdot 19^{35} + 7\cdot 19^{36} + 10\cdot 19^{37} + 16\cdot 19^{38} + 13\cdot 19^{39} + 12\cdot 19^{40} + 4\cdot 19^{41} + 11\cdot 19^{42} + 12\cdot 19^{43} + 8\cdot 19^{44} + 11\cdot 19^{45} + 17\cdot 19^{46} + 19^{47} + 18\cdot 19^{49} + 10\cdot 19^{50} +O\left(19^{ 51 }\right)$
$r_{ 3 }$ $=$ $ 15 a^{2} + 12 a + 9 + \left(17 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 19 + \left(3 a^{2} + 17 a + 11\right)\cdot 19^{2} + \left(2 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 19^{3} + \left(4 a^{2} + 14 a + 1\right)\cdot 19^{4} + 11\cdot 19^{5} + \left(2 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 19^{6} + \left(16 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 19^{7} + \left(3 a^{2} + 18\right)\cdot 19^{8} + \left(2 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 19^{9} + \left(7 a^{2} + a + 13\right)\cdot 19^{10} + \left(17 a^{2} + 13 a + 2\right)\cdot 19^{11} + \left(9 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 19^{12} + \left(13 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 19^{13} + \left(6 a^{2} + 13 a + 14\right)\cdot 19^{14} + \left(18 a^{2} + 16 a + 4\right)\cdot 19^{15} + \left(18 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 19^{16} + \left(16 a^{2} + 10 a + 13\right)\cdot 19^{17} + \left(10 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 19^{18} + \left(4 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 19^{19} + \left(6 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 19^{20} + \left(4 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 19^{21} + \left(17 a^{2} + 16 a + 7\right)\cdot 19^{22} + \left(14 a^{2} + 17 a + 15\right)\cdot 19^{23} + \left(7 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 19^{24} + \left(7 a^{2} + 17 a + 8\right)\cdot 19^{25} + \left(a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 19^{26} + \left(16 a^{2} + 16 a + 7\right)\cdot 19^{27} + 8 a\cdot 19^{28} + \left(6 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 19^{29} + \left(8 a^{2} + 18 a + 10\right)\cdot 19^{30} + \left(6 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 19^{31} + \left(13 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 19^{32} + \left(a^{2} + a + 3\right)\cdot 19^{33} + \left(5 a^{2} + 3 a + 16\right)\cdot 19^{34} + \left(9 a^{2} + 17 a + 1\right)\cdot 19^{35} + \left(11 a^{2} + 9\right)\cdot 19^{36} + \left(11 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 19^{37} + \left(5 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 19^{38} + \left(17 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 19^{39} + \left(13 a^{2} + 13 a + 18\right)\cdot 19^{40} + \left(16 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 19^{41} + \left(13 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 19^{42} + \left(18 a^{2} + 17 a + 14\right)\cdot 19^{43} + \left(15 a + 2\right)\cdot 19^{44} + \left(15 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 19^{45} + \left(3 a^{2} + 18 a + 14\right)\cdot 19^{46} + \left(15 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 19^{47} + \left(3 a^{2} + 17 a + 6\right)\cdot 19^{48} + \left(3 a^{2} + 11\right)\cdot 19^{49} + \left(13 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 19^{50} +O\left(19^{ 51 }\right)$
$r_{ 4 }$ $=$ $ 17 + 5\cdot 19 + 2\cdot 19^{2} + 4\cdot 19^{3} + 11\cdot 19^{4} + 2\cdot 19^{5} + 8\cdot 19^{6} + 19^{7} + 11\cdot 19^{8} + 3\cdot 19^{9} + 17\cdot 19^{10} + 17\cdot 19^{11} + 16\cdot 19^{12} + 9\cdot 19^{13} + 9\cdot 19^{14} + 16\cdot 19^{15} + 2\cdot 19^{16} + 6\cdot 19^{17} + 4\cdot 19^{18} + 8\cdot 19^{19} + 8\cdot 19^{20} + 16\cdot 19^{21} + 5\cdot 19^{22} + 14\cdot 19^{23} + 17\cdot 19^{24} + 4\cdot 19^{25} + 18\cdot 19^{26} + 16\cdot 19^{27} + 15\cdot 19^{28} + 18\cdot 19^{29} + 11\cdot 19^{30} + 15\cdot 19^{31} + 15\cdot 19^{32} + 16\cdot 19^{33} + 12\cdot 19^{34} + 4\cdot 19^{35} + 2\cdot 19^{36} + 10\cdot 19^{37} + 2\cdot 19^{38} + 10\cdot 19^{39} + 10\cdot 19^{40} + 9\cdot 19^{41} + 7\cdot 19^{42} + 2\cdot 19^{43} + 3\cdot 19^{44} + 7\cdot 19^{45} + 10\cdot 19^{46} + 10\cdot 19^{47} + 4\cdot 19^{48} + 3\cdot 19^{49} + 19^{50} +O\left(19^{ 51 }\right)$
$r_{ 5 }$ $=$ $ 13 a^{2} + 11 a + 17 + \left(8 a^{2} + 13 a + 7\right)\cdot 19 + \left(10 a^{2} + 3 a + 14\right)\cdot 19^{2} + \left(15 a + 8\right)\cdot 19^{3} + \left(12 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 19^{4} + \left(5 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 19^{5} + \left(10 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 19^{6} + \left(12 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 19^{7} + \left(10 a^{2} + 17 a + 7\right)\cdot 19^{8} + \left(12 a^{2} + a + 3\right)\cdot 19^{9} + \left(16 a^{2} + 2 a + 16\right)\cdot 19^{10} + \left(4 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 19^{11} + \left(4 a + 4\right)\cdot 19^{12} + \left(12 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 19^{13} + \left(6 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 19^{14} + \left(17 a^{2} + 17 a\right)\cdot 19^{15} + \left(4 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 19^{16} + \left(4 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 19^{17} + \left(10 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 19^{18} + \left(16 a^{2} + 16 a + 2\right)\cdot 19^{19} + \left(5 a^{2} + 9 a + 17\right)\cdot 19^{20} + \left(11 a^{2} + 18 a + 4\right)\cdot 19^{21} + \left(5 a^{2} + 10\right)\cdot 19^{22} + \left(15 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 19^{23} + \left(10 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 19^{24} + \left(16 a^{2} + 16 a + 2\right)\cdot 19^{25} + \left(5 a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 19^{26} + \left(12 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 19^{27} + \left(6 a^{2} + a + 9\right)\cdot 19^{28} + \left(14 a^{2} + 13 a\right)\cdot 19^{29} + \left(10 a^{2} + 18 a + 3\right)\cdot 19^{30} + \left(6 a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 19^{31} + \left(6 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 19^{32} + \left(9 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 19^{33} + \left(4 a^{2} + 14 a + 4\right)\cdot 19^{34} + \left(3 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 19^{35} + \left(3 a^{2} + a + 1\right)\cdot 19^{36} + \left(6 a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 19^{37} + \left(a^{2} + 10\right)\cdot 19^{38} + \left(3 a^{2} + 12 a\right)\cdot 19^{39} + 3 a^{2}19^{40} + \left(16 a^{2} + 14 a + 10\right)\cdot 19^{41} + \left(7 a^{2} + 17 a + 10\right)\cdot 19^{42} + \left(2 a^{2} + 11 a + 17\right)\cdot 19^{43} + \left(16 a^{2} + 15 a\right)\cdot 19^{44} + \left(2 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 19^{45} + \left(9 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 19^{46} + \left(16 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 19^{47} + \left(17 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 19^{48} + \left(12 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 19^{49} + \left(4 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 19^{50} +O\left(19^{ 51 }\right)$
$r_{ 6 }$ $=$ $ 4 a^{2} + 8 a + 12 + \left(2 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 19 + \left(10 a^{2} + 9 a + 13\right)\cdot 19^{2} + \left(a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 19^{3} + \left(5 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 19^{4} + \left(7 a^{2} + 4\right)\cdot 19^{5} + \left(17 a^{2} + 14\right)\cdot 19^{6} + \left(12 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 19^{7} + \left(17 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 19^{8} + \left(3 a^{2} + 5\right)\cdot 19^{9} + \left(12 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 19^{10} + \left(16 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 19^{11} + \left(13 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 19^{12} + \left(7 a^{2} + 13 a + 2\right)\cdot 19^{13} + \left(10 a^{2} + 16 a + 2\right)\cdot 19^{14} + \left(12 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 19^{15} + \left(3 a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 19^{16} + \left(15 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 19^{17} + \left(7 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 19^{18} + \left(2 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 19^{19} + \left(8 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 19^{20} + \left(a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 19^{21} + \left(11 a^{2} + 13 a + 18\right)\cdot 19^{22} + \left(3 a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 19^{23} + \left(6 a^{2} + 16 a + 4\right)\cdot 19^{24} + \left(12 a^{2} + 14 a + 10\right)\cdot 19^{25} + \left(15 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 19^{26} + \left(11 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 19^{27} + \left(16 a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 19^{28} + \left(13 a^{2} + 18\right)\cdot 19^{29} + \left(18 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 19^{30} + \left(11 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 19^{31} + \left(3 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 19^{32} + \left(11 a^{2} + 6 a + 18\right)\cdot 19^{33} + \left(11 a^{2} + 14 a + 10\right)\cdot 19^{34} + \left(3 a^{2} + 12 a + 14\right)\cdot 19^{35} + \left(8 a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 19^{36} + \left(a^{2} + 15 a + 6\right)\cdot 19^{37} + \left(a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 19^{38} + \left(18 a^{2} + a + 8\right)\cdot 19^{39} + \left(3 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 19^{40} + \left(12 a^{2} + 14 a + 18\right)\cdot 19^{41} + \left(4 a + 3\right)\cdot 19^{42} + \left(a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 19^{43} + \left(12 a^{2} + 13 a + 9\right)\cdot 19^{44} + \left(14 a^{2} + 18 a + 3\right)\cdot 19^{45} + \left(7 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 19^{46} + \left(2 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 19^{47} + \left(8 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 19^{48} + \left(7 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 19^{49} + \left(11 a^{2} + 6 a + 17\right)\cdot 19^{50} +O\left(19^{ 51 }\right)$
$r_{ 7 }$ $=$ $ 14 a^{2} + 2 a + \left(10 a^{2} + 10 a + 17\right)\cdot 19 + \left(17 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 19^{2} + \left(8 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 19^{3} + \left(9 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 19^{4} + \left(9 a^{2} + 18 a + 10\right)\cdot 19^{5} + \left(2 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 19^{6} + \left(12 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 19^{7} + \left(14 a + 16\right)\cdot 19^{8} + \left(17 a^{2} + 16 a + 4\right)\cdot 19^{9} + \left(7 a^{2} + a + 3\right)\cdot 19^{10} + \left(14 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 19^{11} + \left(12 a^{2} + 2 a + 16\right)\cdot 19^{12} + \left(13 a^{2} + 17 a + 14\right)\cdot 19^{13} + \left(10 a^{2} + 6 a + 18\right)\cdot 19^{14} + \left(11 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 19^{15} + \left(11 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 19^{16} + \left(9 a^{2} + a + 6\right)\cdot 19^{17} + \left(5 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 19^{18} + \left(7 a^{2} + 17 a + 9\right)\cdot 19^{19} + \left(10 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 19^{20} + \left(12 a + 3\right)\cdot 19^{21} + \left(10 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 19^{22} + \left(12 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 19^{23} + \left(8 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 19^{24} + \left(9 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 19^{25} + \left(15 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 19^{26} + \left(18 a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 19^{27} + \left(10 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 19^{28} + \left(7 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 19^{29} + \left(16 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 19^{30} + \left(16 a + 3\right)\cdot 19^{31} + \left(5 a^{2} + 12 a + 17\right)\cdot 19^{32} + \left(3 a^{2} + 14 a\right)\cdot 19^{33} + \left(4 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 19^{34} + \left(13 a^{2} + 17 a + 6\right)\cdot 19^{35} + \left(13 a^{2} + 15 a + 2\right)\cdot 19^{36} + \left(18 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 19^{37} + \left(6 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 19^{38} + \left(13 a^{2} + 4 a + 16\right)\cdot 19^{39} + \left(11 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 19^{40} + \left(14 a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 19^{41} + \left(17 a^{2} + 4 a\right)\cdot 19^{42} + \left(13 a^{2} + 16 a + 2\right)\cdot 19^{43} + \left(7 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 19^{44} + \left(a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 19^{45} + 17\cdot 19^{46} + \left(15 a^{2} + 11 a + 17\right)\cdot 19^{47} + \left(17 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 19^{48} + \left(12 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 19^{49} + \left(5 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 19^{50} +O\left(19^{ 51 }\right)$
$r_{ 8 }$ $=$ $ 2 a^{2} + 13 + \left(8 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 19 + \left(17 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 19^{2} + \left(16 a^{2} + 18 a + 14\right)\cdot 19^{3} + \left(a^{2} + a + 10\right)\cdot 19^{4} + \left(6 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 19^{5} + \left(10 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 19^{6} + \left(12 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 19^{7} + \left(9 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 19^{8} + \left(2 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 19^{9} + \left(9 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 19^{10} + \left(16 a^{2} + 18\right)\cdot 19^{11} + \left(4 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 19^{12} + \left(18 a^{2} + 17\right)\cdot 19^{13} + \left(a^{2} + 16 a + 4\right)\cdot 19^{14} + \left(8 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 19^{15} + \left(10 a^{2} + 9 a\right)\cdot 19^{16} + \left(18 a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 19^{17} + \left(17 a + 11\right)\cdot 19^{18} + \left(13 a + 2\right)\cdot 19^{19} + \left(5 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 19^{20} + \left(6 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 19^{21} + \left(2 a^{2} + 4 a + 14\right)\cdot 19^{22} + \left(18 a + 4\right)\cdot 19^{23} + \left(2 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 19^{24} + \left(9 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 19^{25} + \left(16 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 19^{26} + \left(13 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 19^{27} + \left(14 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 19^{28} + \left(9 a^{2} + 5 a\right)\cdot 19^{29} + \left(8 a^{2} + 16 a + 16\right)\cdot 19^{30} + \left(11 a + 6\right)\cdot 19^{31} + \left(9 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 19^{32} + \left(17 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 19^{33} + \left(2 a^{2} + 9 a\right)\cdot 19^{34} + \left(12 a^{2} + 12\right)\cdot 19^{35} + \left(7 a^{2} + 15 a\right)\cdot 19^{36} + \left(11 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 19^{37} + \left(16 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 19^{38} + \left(16 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 19^{39} + \left(11 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 19^{40} + \left(9 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 19^{41} + \left(10 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 19^{42} + \left(15 a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 19^{43} + \left(9 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 19^{44} + \left(a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 19^{45} + \left(2 a^{2} + 16 a + 4\right)\cdot 19^{46} + \left(18 a + 18\right)\cdot 19^{47} + \left(12 a^{2} + 18 a + 8\right)\cdot 19^{48} + \left(17 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 19^{49} + \left(2 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 19^{50} +O\left(19^{ 51 }\right)$

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 8 }$

Cycle notation
$(1,8,7)(3,6,4)$
$(1,5)(2,3)(4,8)(6,7)$
$(1,7)(2,8)(3,4)(5,6)$
$(1,4)(2,6)(3,7)(5,8)$
$(1,6,2,5,3,4,8)$

Character values on conjugacy classes

SizeOrderAction on $r_1, \ldots, r_{ 8 }$ Character value
$1$$1$$()$$7$
$7$$2$$(1,5)(2,3)(4,8)(6,7)$$-1$
$28$$3$$(1,8,7)(3,6,4)$$-\zeta_{3} - 1$
$28$$3$$(1,7,8)(3,4,6)$$\zeta_{3}$
$28$$6$$(1,6,4,7,5,3)(2,8)$$\zeta_{3} + 1$
$28$$6$$(1,3,5,7,4,6)(2,8)$$-\zeta_{3}$
$24$$7$$(1,6,2,5,3,4,8)$$0$
$24$$7$$(1,5,8,2,4,6,3)$$0$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.