Properties

Label 7.2e6_73e4.8t36.1c1
Dimension 7
Group $C_2^3:(C_7: C_3)$
Conductor $ 2^{6} \cdot 73^{4}$
Root number 1
Frobenius-Schur indicator 1

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Basic invariants

Dimension:$7$
Group:$C_2^3:(C_7: C_3)$
Conductor:$1817487424= 2^{6} \cdot 73^{4} $
Artin number field: Splitting field of $f= x^{8} - x^{7} + 6 x^{6} - 2 x^{5} + 12 x^{4} + 4 x^{3} + 14 x^{2} + 2 $ over $\Q$
Size of Galois orbit: 1
Smallest containing permutation representation: $C_2^3:(C_7: C_3)$
Parity: Even
Determinant: 1.1.1t1.1c1

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 19 }$ to precision 40.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 19 }$: $ x^{3} + 4 x + 17 $
Roots:
$r_{ 1 }$ $=$ $ 11 a^{2} + 8 a + 9 + \left(13 a^{2} + 7 a + 17\right)\cdot 19 + \left(a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 19^{2} + \left(8 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 19^{3} + \left(16 a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 19^{4} + \left(12 a^{2} + 8 a + 17\right)\cdot 19^{5} + \left(5 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 19^{6} + \left(10 a^{2} + a + 13\right)\cdot 19^{7} + \left(4 a^{2} + 13 a + 14\right)\cdot 19^{8} + \left(13 a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 19^{9} + \left(9 a^{2} + a + 16\right)\cdot 19^{10} + \left(4 a^{2} + 16 a + 8\right)\cdot 19^{11} + \left(2 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 19^{12} + \left(7 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 19^{13} + \left(5 a^{2} + 18 a + 16\right)\cdot 19^{14} + \left(7 a^{2} + 17 a + 18\right)\cdot 19^{15} + \left(15 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 19^{16} + \left(14 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 19^{17} + \left(16 a^{2} + a + 14\right)\cdot 19^{18} + \left(15 a + 10\right)\cdot 19^{19} + \left(9 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 19^{20} + \left(12 a^{2} + 17 a + 9\right)\cdot 19^{21} + \left(17 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 19^{22} + \left(11 a^{2} + 17 a + 5\right)\cdot 19^{23} + \left(11 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 19^{24} + \left(16 a^{2} + 13 a + 7\right)\cdot 19^{25} + \left(4 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 19^{26} + \left(18 a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 19^{27} + \left(10 a + 5\right)\cdot 19^{28} + \left(15 a + 8\right)\cdot 19^{29} + \left(17 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 19^{30} + \left(3 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 19^{31} + \left(16 a^{2} + 15 a + 6\right)\cdot 19^{32} + \left(5 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 19^{33} + \left(8 a + 11\right)\cdot 19^{34} + \left(4 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 19^{35} + \left(18 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 19^{36} + \left(17 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 19^{37} + \left(18 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 19^{38} + \left(12 a^{2} + a + 1\right)\cdot 19^{39} +O\left(19^{ 40 }\right)$
$r_{ 2 }$ $=$ $ 8 a^{2} + a + 1 + \left(12 a^{2} + 16 a + 8\right)\cdot 19 + \left(18 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 19^{2} + \left(7 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 19^{3} + \left(4 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 19^{4} + \left(a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 19^{5} + \left(7 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 19^{6} + \left(15 a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 19^{7} + \left(14 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 19^{8} + \left(12 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 19^{9} + \left(10 a^{2} + 7 a\right)\cdot 19^{10} + \left(a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 19^{11} + \left(9 a^{2} + 9 a + 17\right)\cdot 19^{12} + \left(16 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 19^{13} + \left(7 a^{2} + 4\right)\cdot 19^{14} + \left(17 a^{2} + 9 a + 14\right)\cdot 19^{15} + \left(16 a^{2} + 18 a + 6\right)\cdot 19^{16} + \left(14 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 19^{17} + \left(4 a + 16\right)\cdot 19^{18} + \left(11 a^{2} + 11 a + 18\right)\cdot 19^{19} + \left(a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 19^{20} + \left(11 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 19^{21} + \left(3 a^{2} + 7 a\right)\cdot 19^{22} + \left(17 a^{2} + 15 a + 7\right)\cdot 19^{23} + \left(6 a^{2} + 2\right)\cdot 19^{24} + \left(17 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 19^{25} + \left(8 a^{2} + 14 a + 7\right)\cdot 19^{26} + \left(7 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 19^{27} + \left(13 a^{2} + 15 a\right)\cdot 19^{28} + \left(8 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 19^{29} + \left(11 a^{2} + 18 a + 6\right)\cdot 19^{30} + \left(3 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 19^{31} + \left(7 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 19^{32} + \left(2 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 19^{33} + \left(3 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 19^{34} + \left(15 a^{2} + 14 a + 7\right)\cdot 19^{35} + \left(3 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 19^{36} + \left(9 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 19^{37} + \left(10 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 19^{38} + \left(18 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 19^{39} +O\left(19^{ 40 }\right)$
$r_{ 3 }$ $=$ $ 8 + 2\cdot 19 + 5\cdot 19^{2} + 4\cdot 19^{3} + 17\cdot 19^{4} + 13\cdot 19^{5} + 5\cdot 19^{6} + 12\cdot 19^{7} + 10\cdot 19^{8} + 5\cdot 19^{9} + 18\cdot 19^{10} + 10\cdot 19^{11} + 3\cdot 19^{12} + 10\cdot 19^{13} + 4\cdot 19^{14} + 16\cdot 19^{15} + 11\cdot 19^{16} + 19^{17} + 10\cdot 19^{18} + 7\cdot 19^{19} + 19^{20} + 8\cdot 19^{21} + 14\cdot 19^{22} + 6\cdot 19^{23} + 11\cdot 19^{24} + 2\cdot 19^{25} + 8\cdot 19^{26} + 13\cdot 19^{28} + 8\cdot 19^{30} + 11\cdot 19^{32} + 12\cdot 19^{33} + 12\cdot 19^{34} + 13\cdot 19^{35} + 13\cdot 19^{36} + 14\cdot 19^{37} + 11\cdot 19^{38} + 6\cdot 19^{39} +O\left(19^{ 40 }\right)$
$r_{ 4 }$ $=$ $ 13 + 12\cdot 19 + 7\cdot 19^{2} + 3\cdot 19^{3} + 8\cdot 19^{4} + 15\cdot 19^{5} + 13\cdot 19^{6} + 14\cdot 19^{7} + 3\cdot 19^{8} + 16\cdot 19^{9} + 5\cdot 19^{10} + 17\cdot 19^{11} + 16\cdot 19^{12} + 10\cdot 19^{13} + 11\cdot 19^{14} + 11\cdot 19^{15} + 4\cdot 19^{16} + 10\cdot 19^{17} + 5\cdot 19^{18} + 12\cdot 19^{19} + 3\cdot 19^{20} + 12\cdot 19^{21} + 5\cdot 19^{22} + 3\cdot 19^{23} + 14\cdot 19^{24} + 12\cdot 19^{25} + 6\cdot 19^{26} + 5\cdot 19^{27} + 9\cdot 19^{29} + 6\cdot 19^{30} + 8\cdot 19^{31} + 4\cdot 19^{32} + 19^{33} + 5\cdot 19^{34} + 18\cdot 19^{35} + 18\cdot 19^{37} + 9\cdot 19^{38} + 16\cdot 19^{39} +O\left(19^{ 40 }\right)$
$r_{ 5 }$ $=$ $ 12 a^{2} + 6 a + 14 + \left(13 a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 19 + \left(15 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 19^{2} + \left(10 a^{2} + 5\right)\cdot 19^{3} + \left(13 a^{2} + 16\right)\cdot 19^{4} + \left(6 a^{2} + 2 a + 18\right)\cdot 19^{5} + \left(3 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 19^{6} + \left(10 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 19^{7} + \left(5 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 19^{8} + \left(10 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 19^{9} + \left(8 a + 8\right)\cdot 19^{10} + \left(17 a + 6\right)\cdot 19^{11} + 3 a\cdot 19^{12} + \left(15 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 19^{13} + \left(5 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 19^{14} + \left(6 a + 17\right)\cdot 19^{15} + \left(7 a^{2} + 5 a\right)\cdot 19^{16} + \left(15 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 19^{17} + \left(12 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 19^{18} + \left(4 a^{2} + a + 16\right)\cdot 19^{19} + \left(13 a^{2} + a + 15\right)\cdot 19^{20} + \left(12 a^{2} + 17 a + 18\right)\cdot 19^{21} + \left(14 a^{2} + a + 9\right)\cdot 19^{22} + \left(10 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 19^{23} + \left(3 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 19^{24} + \left(16 a + 13\right)\cdot 19^{25} + \left(5 a^{2} + 5\right)\cdot 19^{26} + \left(2 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 19^{27} + \left(a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 19^{28} + \left(8 a^{2} + 2 a + 16\right)\cdot 19^{29} + \left(a^{2} + 3 a + 16\right)\cdot 19^{30} + \left(7 a^{2} + 4\right)\cdot 19^{31} + 2 a^{2}19^{32} + \left(10 a^{2} + 13 a + 5\right)\cdot 19^{33} + \left(a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 19^{34} + \left(7 a^{2} + 15\right)\cdot 19^{35} + \left(4 a^{2} + 18 a + 11\right)\cdot 19^{36} + \left(4 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 19^{37} + \left(9 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 19^{38} + \left(2 a^{2} + 16 a\right)\cdot 19^{39} +O\left(19^{ 40 }\right)$
$r_{ 6 }$ $=$ $ 4 a^{2} + 11 a + 18 + \left(8 a^{2} + 17 a + 3\right)\cdot 19 + \left(14 a^{2} + 14 a + 9\right)\cdot 19^{2} + \left(4 a^{2} + 10 a + 14\right)\cdot 19^{3} + \left(17 a^{2} + 10 a\right)\cdot 19^{4} + \left(9 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 19^{5} + \left(14 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 19^{6} + \left(7 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 19^{7} + \left(8 a^{2} + 13 a + 2\right)\cdot 19^{8} + \left(17 a^{2} + 17 a + 6\right)\cdot 19^{9} + \left(12 a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 19^{10} + \left(18 a^{2} + 17 a + 11\right)\cdot 19^{11} + \left(4 a^{2} + 9 a + 13\right)\cdot 19^{12} + \left(17 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 19^{13} + \left(7 a^{2} + 16 a\right)\cdot 19^{14} + \left(11 a^{2} + 17 a + 9\right)\cdot 19^{15} + \left(18 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 19^{16} + \left(15 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 19^{17} + \left(2 a^{2} + 17 a + 7\right)\cdot 19^{18} + \left(10 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 19^{19} + \left(5 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 19^{20} + \left(11 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 19^{21} + \left(16 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 19^{22} + \left(7 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 19^{23} + \left(5 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 19^{24} + \left(2 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 19^{25} + \left(10 a^{2} + a\right)\cdot 19^{26} + \left(17 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 19^{27} + \left(a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 19^{28} + \left(18 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 19^{29} + \left(a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 19^{30} + \left(5 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 19^{31} + \left(14 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 19^{32} + \left(11 a^{2} + 17 a + 9\right)\cdot 19^{33} + \left(16 a^{2} + 15\right)\cdot 19^{34} + \left(11 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 19^{35} + \left(17 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 19^{36} + \left(13 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 19^{37} + \left(8 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 19^{38} + \left(9 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 19^{39} +O\left(19^{ 40 }\right)$
$r_{ 7 }$ $=$ $ 10 a + 5 + \left(12 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 19 + \left(17 a^{2} + 18 a + 8\right)\cdot 19^{2} + \left(2 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 19^{3} + \left(17 a^{2} + 16 a\right)\cdot 19^{4} + \left(4 a^{2} + 15\right)\cdot 19^{5} + \left(6 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 19^{6} + \left(12 a^{2} + 2 a\right)\cdot 19^{7} + \left(18 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 19^{8} + \left(11 a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 19^{9} + \left(17 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 19^{10} + \left(12 a^{2} + 16 a + 18\right)\cdot 19^{11} + \left(7 a^{2} + 15 a + 6\right)\cdot 19^{12} + \left(14 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 19^{13} + \left(5 a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 19^{14} + \left(13 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 19^{15} + \left(5 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 19^{16} + \left(8 a^{2} + 9 a + 13\right)\cdot 19^{17} + \left(a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 19^{18} + \left(7 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 19^{19} + \left(8 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 19^{20} + \left(14 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 19^{21} + \left(16 a^{2} + a + 16\right)\cdot 19^{22} + \left(8 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 19^{23} + \left(7 a + 4\right)\cdot 19^{24} + \left(4 a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 19^{25} + \left(5 a^{2} + 10\right)\cdot 19^{26} + \left(12 a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 19^{27} + \left(4 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 19^{28} + \left(10 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 19^{29} + \left(9 a^{2} + 15 a + 7\right)\cdot 19^{30} + \left(11 a^{2} + 4 a + 16\right)\cdot 19^{31} + \left(14 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 19^{32} + \left(10 a^{2} + 16 a + 8\right)\cdot 19^{33} + \left(15 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 19^{34} + \left(18 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 19^{35} + \left(15 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 19^{36} + \left(10 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 19^{37} + \left(8 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 19^{38} + \left(6 a^{2} + 10 a + 15\right)\cdot 19^{39} +O\left(19^{ 40 }\right)$
$r_{ 8 }$ $=$ $ 3 a^{2} + 2 a + 9 + \left(16 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 19 + \left(7 a^{2} + a + 10\right)\cdot 19^{2} + \left(3 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 19^{3} + \left(7 a^{2} + 8 a + 18\right)\cdot 19^{4} + \left(2 a^{2} + 5 a\right)\cdot 19^{5} + \left(a^{2} + 17 a + 1\right)\cdot 19^{6} + \left(a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 19^{7} + \left(5 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 19^{8} + \left(10 a^{2} + 16 a + 12\right)\cdot 19^{9} + \left(5 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 19^{10} + 2 a\cdot 19^{11} + \left(14 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 19^{12} + \left(5 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 19^{13} + \left(5 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 19^{14} + \left(7 a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 19^{15} + \left(12 a^{2} + 3 a + 15\right)\cdot 19^{16} + \left(6 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 19^{17} + \left(3 a^{2} + 16 a + 2\right)\cdot 19^{18} + \left(4 a^{2} + 17 a + 15\right)\cdot 19^{19} + \left(6 a + 12\right)\cdot 19^{20} + \left(14 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 19^{21} + \left(6 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 19^{22} + \left(8 a + 11\right)\cdot 19^{23} + \left(10 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 19^{24} + \left(16 a^{2} + 16 a\right)\cdot 19^{25} + \left(3 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 19^{26} + \left(18 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 19^{27} + \left(15 a^{2} + 12 a + 15\right)\cdot 19^{28} + \left(11 a^{2} + a + 13\right)\cdot 19^{29} + \left(15 a^{2} + 7 a + 16\right)\cdot 19^{30} + \left(6 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 19^{31} + \left(2 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 19^{32} + \left(16 a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 19^{33} + \left(a + 17\right)\cdot 19^{34} + \left(13 a + 15\right)\cdot 19^{35} + \left(16 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 19^{36} + \left(17 a + 6\right)\cdot 19^{37} + \left(a^{2} + 17 a + 6\right)\cdot 19^{38} + \left(7 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 19^{39} +O\left(19^{ 40 }\right)$

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 8 }$

Cycle notation
$(1,8)(2,4)(3,6)(5,7)$
$(1,2)(3,5,8,7,6,4)$
$(1,6)(2,5)(3,8)(4,7)$
$(1,3,4,2,5,6,7)$
$(1,7)(2,3)(4,6)(5,8)$

Character values on conjugacy classes

SizeOrderAction on $r_1, \ldots, r_{ 8 }$ Character value
$1$$1$$()$$7$
$7$$2$$(1,2)(3,7)(4,8)(5,6)$$-1$
$28$$3$$(3,8,6)(4,5,7)$$1$
$28$$3$$(3,6,8)(4,7,5)$$1$
$28$$6$$(1,2)(3,5,8,7,6,4)$$-1$
$28$$6$$(1,2)(3,4,6,7,8,5)$$-1$
$24$$7$$(1,3,4,2,5,6,7)$$0$
$24$$7$$(1,2,7,4,6,3,5)$$0$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.