# Properties

 Label 7.32941720000.8t43.a Dimension 7 Group $\PGL(2,7)$ Conductor $2^{6} \cdot 5^{4} \cdot 7^{7}$ Frobenius-Schur indicator 1

# Related objects

## Basic invariants

 Dimension: $7$ Group: $\PGL(2,7)$ Conductor: $32941720000= 2^{6} \cdot 5^{4} \cdot 7^{7}$ Artin number field: Splitting field of $f= x^{8} - 3 x^{7} + 14 x^{4} - 14 x^{2} - 10 x + 2$ over $\Q$ Size of Galois orbit: 1 Smallest containing permutation representation: $\PGL(2,7)$ Parity: Odd Projective image: $SO(3,7)$ Projective field: Galois closure of 8.2.32941720000.1

## Galois action

### Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 79 }$ to precision 27.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 79 }$: $x^{3} + 9 x + 76$
Roots:
 $r_{ 1 }$ $=$ $27 + 79 + 69\cdot 79^{2} + 23\cdot 79^{3} + 72\cdot 79^{4} + 43\cdot 79^{5} + 37\cdot 79^{6} + 23\cdot 79^{7} + 31\cdot 79^{8} + 3\cdot 79^{9} + 17\cdot 79^{10} + 12\cdot 79^{11} + 46\cdot 79^{12} + 35\cdot 79^{13} + 29\cdot 79^{14} + 77\cdot 79^{15} + 37\cdot 79^{16} + 74\cdot 79^{17} + 37\cdot 79^{18} + 42\cdot 79^{19} + 34\cdot 79^{20} + 55\cdot 79^{21} + 79^{22} + 12\cdot 79^{23} + 32\cdot 79^{24} + 22\cdot 79^{25} + 43\cdot 79^{26} +O\left(79^{ 27 }\right)$ $r_{ 2 }$ $=$ $50 a^{2} + 34 a + 10 + \left(11 a^{2} + 6 a + 62\right)\cdot 79 + \left(12 a^{2} + 53 a + 56\right)\cdot 79^{2} + \left(6 a^{2} + 29 a + 48\right)\cdot 79^{3} + \left(48 a^{2} + 4 a + 54\right)\cdot 79^{4} + \left(34 a^{2} + 27 a + 37\right)\cdot 79^{5} + \left(22 a^{2} + 67 a + 54\right)\cdot 79^{6} + \left(47 a^{2} + 58 a + 74\right)\cdot 79^{7} + \left(71 a^{2} + 43 a + 43\right)\cdot 79^{8} + \left(19 a^{2} + 45 a + 22\right)\cdot 79^{9} + \left(29 a^{2} + 62 a + 56\right)\cdot 79^{10} + \left(33 a^{2} + 20 a + 64\right)\cdot 79^{11} + \left(20 a^{2} + 9 a + 43\right)\cdot 79^{12} + \left(23 a^{2} + 39 a + 23\right)\cdot 79^{13} + \left(53 a^{2} + 74 a + 64\right)\cdot 79^{14} + \left(17 a^{2} + 34 a + 22\right)\cdot 79^{15} + \left(47 a^{2} + 34 a + 19\right)\cdot 79^{16} + \left(37 a^{2} + 49 a + 47\right)\cdot 79^{17} + \left(68 a^{2} + 68 a + 21\right)\cdot 79^{18} + \left(32 a^{2} + 8 a + 38\right)\cdot 79^{19} + \left(63 a^{2} + 73 a + 5\right)\cdot 79^{20} + \left(73 a^{2} + 38 a + 3\right)\cdot 79^{21} + \left(38 a^{2} + 57 a + 17\right)\cdot 79^{22} + \left(74 a^{2} + 15 a + 14\right)\cdot 79^{23} + \left(13 a^{2} + 2 a + 33\right)\cdot 79^{24} + \left(40 a^{2} + 55 a + 22\right)\cdot 79^{25} + \left(69 a^{2} + 32 a + 73\right)\cdot 79^{26} +O\left(79^{ 27 }\right)$ $r_{ 3 }$ $=$ $28 a^{2} + 17 a + 72 + \left(59 a^{2} + 67 a + 23\right)\cdot 79 + \left(59 a^{2} + 61 a + 13\right)\cdot 79^{2} + \left(4 a^{2} + 18 a + 32\right)\cdot 79^{3} + \left(59 a^{2} + 3 a + 15\right)\cdot 79^{4} + \left(75 a^{2} + a + 63\right)\cdot 79^{5} + \left(62 a^{2} + 74 a + 27\right)\cdot 79^{6} + \left(77 a^{2} + 24 a + 35\right)\cdot 79^{7} + \left(40 a^{2} + 78 a + 78\right)\cdot 79^{8} + \left(49 a^{2} + 48 a + 30\right)\cdot 79^{9} + \left(48 a^{2} + 61 a + 58\right)\cdot 79^{10} + \left(58 a^{2} + 63 a + 11\right)\cdot 79^{11} + \left(35 a^{2} + 62 a + 48\right)\cdot 79^{12} + \left(16 a^{2} + 42 a + 31\right)\cdot 79^{13} + \left(54 a^{2} + 29 a + 55\right)\cdot 79^{14} + \left(59 a^{2} + 42 a + 22\right)\cdot 79^{15} + \left(3 a^{2} + 3 a + 46\right)\cdot 79^{16} + \left(38 a^{2} + 8 a + 23\right)\cdot 79^{17} + \left(68 a^{2} + 71 a + 72\right)\cdot 79^{18} + \left(10 a^{2} + 27 a + 55\right)\cdot 79^{19} + \left(54 a^{2} + 6 a + 20\right)\cdot 79^{20} + \left(69 a^{2} + 49 a + 69\right)\cdot 79^{21} + \left(36 a^{2} + 64 a + 13\right)\cdot 79^{22} + \left(53 a^{2} + 27 a + 58\right)\cdot 79^{23} + \left(12 a^{2} + 10 a + 30\right)\cdot 79^{24} + \left(11 a^{2} + 3 a + 46\right)\cdot 79^{25} + \left(52 a^{2} + 51 a + 29\right)\cdot 79^{26} +O\left(79^{ 27 }\right)$ $r_{ 4 }$ $=$ $48 a^{2} + 56 a + 77 + \left(39 a^{2} + 39 a + 71\right)\cdot 79 + \left(62 a^{2} + 2 a + 42\right)\cdot 79^{2} + \left(65 a^{2} + 26 a + 11\right)\cdot 79^{3} + \left(31 a^{2} + 28 a + 36\right)\cdot 79^{4} + \left(35 a^{2} + 61 a + 42\right)\cdot 79^{5} + \left(18 a^{2} + 41 a + 30\right)\cdot 79^{6} + \left(68 a^{2} + 38 a + 42\right)\cdot 79^{7} + \left(10 a^{2} + 71 a + 74\right)\cdot 79^{8} + \left(60 a^{2} + 72 a + 26\right)\cdot 79^{9} + \left(55 a^{2} + 15 a + 57\right)\cdot 79^{10} + \left(5 a^{2} + 68 a + 56\right)\cdot 79^{11} + \left(11 a^{2} + 50 a + 66\right)\cdot 79^{12} + \left(71 a^{2} + 42 a + 73\right)\cdot 79^{13} + \left(32 a^{2} + 31 a + 20\right)\cdot 79^{14} + \left(72 a^{2} + 41 a + 35\right)\cdot 79^{15} + \left(22 a^{2} + 38 a + 31\right)\cdot 79^{16} + \left(30 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 79^{17} + \left(66 a^{2} + 30 a + 9\right)\cdot 79^{18} + \left(12 a^{2} + 51 a + 76\right)\cdot 79^{19} + \left(23 a^{2} + 37 a\right)\cdot 79^{20} + \left(65 a^{2} + 6 a + 31\right)\cdot 79^{21} + \left(35 a^{2} + 72 a + 77\right)\cdot 79^{22} + \left(3 a^{2} + 67 a + 61\right)\cdot 79^{23} + \left(53 a^{2} + 10 a + 30\right)\cdot 79^{24} + \left(57 a^{2} + 19 a + 48\right)\cdot 79^{25} + \left(77 a^{2} + 26 a + 43\right)\cdot 79^{26} +O\left(79^{ 27 }\right)$ $r_{ 5 }$ $=$ $63 a^{2} + 22 a + 45 + \left(58 a^{2} + 51 a + 20\right)\cdot 79 + \left(43 a^{2} + 44 a + 75\right)\cdot 79^{2} + \left(70 a^{2} + 55 a + 31\right)\cdot 79^{3} + \left(58 a^{2} + 61 a + 14\right)\cdot 79^{4} + \left(40 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 79^{5} + \left(53 a^{2} + 4 a + 50\right)\cdot 79^{6} + \left(42 a^{2} + 33 a + 61\right)\cdot 79^{7} + \left(28 a^{2} + 63 a + 3\right)\cdot 79^{8} + \left(3 a^{2} + 73 a + 70\right)\cdot 79^{9} + \left(6 a^{2} + 18 a + 39\right)\cdot 79^{10} + \left(23 a^{2} + 56 a + 35\right)\cdot 79^{11} + \left(28 a^{2} + 63 a + 3\right)\cdot 79^{12} + \left(4 a^{2} + 59 a + 38\right)\cdot 79^{13} + \left(6 a^{2} + 41 a + 3\right)\cdot 79^{14} + \left(57 a^{2} + 35 a + 7\right)\cdot 79^{15} + \left(44 a^{2} + 13 a + 55\right)\cdot 79^{16} + \left(3 a^{2} + 59 a + 53\right)\cdot 79^{17} + \left(27 a^{2} + 47 a + 60\right)\cdot 79^{18} + \left(24 a^{2} + 23 a + 57\right)\cdot 79^{19} + \left(24 a^{2} + 31 a + 78\right)\cdot 79^{20} + \left(51 a^{2} + 28 a + 37\right)\cdot 79^{21} + \left(8 a^{2} + 46 a + 2\right)\cdot 79^{22} + \left(27 a^{2} + 35 a + 58\right)\cdot 79^{23} + \left(32 a^{2} + a + 69\right)\cdot 79^{24} + \left(a^{2} + 57 a + 66\right)\cdot 79^{25} + \left(52 a^{2} + 73 a + 28\right)\cdot 79^{26} +O\left(79^{ 27 }\right)$ $r_{ 6 }$ $=$ $60 a^{2} + 68 a + 70 + \left(27 a^{2} + 32 a\right)\cdot 79 + \left(4 a^{2} + 23 a + 10\right)\cdot 79^{2} + \left(7 a^{2} + 23 a + 54\right)\cdot 79^{3} + \left(78 a^{2} + 46 a + 76\right)\cdot 79^{4} + \left(8 a^{2} + 69 a + 41\right)\cdot 79^{5} + \left(38 a^{2} + 48 a + 69\right)\cdot 79^{6} + \left(42 a^{2} + 60 a + 45\right)\cdot 79^{7} + \left(75 a^{2} + 42 a + 67\right)\cdot 79^{8} + \left(77 a^{2} + 39 a + 54\right)\cdot 79^{9} + \left(72 a^{2} + 2\right)\cdot 79^{10} + \left(39 a^{2} + 69 a + 25\right)\cdot 79^{11} + \left(47 a^{2} + 18 a + 48\right)\cdot 79^{12} + \left(63 a^{2} + 76 a + 28\right)\cdot 79^{13} + \left(71 a^{2} + 51 a + 17\right)\cdot 79^{14} + \left(67 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 79^{15} + \left(8 a^{2} + 6 a + 26\right)\cdot 79^{16} + \left(11 a^{2} + 24 a + 46\right)\cdot 79^{17} + \left(23 a^{2} + 59 a + 65\right)\cdot 79^{18} + \left(33 a^{2} + 18 a + 40\right)\cdot 79^{19} + \left(71 a^{2} + 47 a + 53\right)\cdot 79^{20} + \left(18 a^{2} + 33 a + 68\right)\cdot 79^{21} + \left(4 a^{2} + 28 a + 45\right)\cdot 79^{22} + \left(a^{2} + 74 a + 47\right)\cdot 79^{23} + \left(12 a^{2} + 65 a + 21\right)\cdot 79^{24} + \left(60 a^{2} + 4 a + 63\right)\cdot 79^{25} + \left(10 a^{2} + 20 a + 36\right)\cdot 79^{26} +O\left(79^{ 27 }\right)$ $r_{ 7 }$ $=$ $28 + 70\cdot 79 + 66\cdot 79^{2} + 8\cdot 79^{3} + 66\cdot 79^{4} + 59\cdot 79^{5} + 67\cdot 79^{6} + 79^{7} + 48\cdot 79^{8} + 58\cdot 79^{9} + 13\cdot 79^{10} + 71\cdot 79^{11} + 56\cdot 79^{12} + 39\cdot 79^{13} + 45\cdot 79^{14} + 72\cdot 79^{15} + 50\cdot 79^{16} + 47\cdot 79^{17} + 12\cdot 79^{18} + 67\cdot 79^{19} + 27\cdot 79^{20} + 19\cdot 79^{21} + 6\cdot 79^{22} + 20\cdot 79^{23} + 18\cdot 79^{24} + 63\cdot 79^{25} + 20\cdot 79^{26} +O\left(79^{ 27 }\right)$ $r_{ 8 }$ $=$ $67 a^{2} + 40 a + 69 + \left(39 a^{2} + 39 a + 64\right)\cdot 79 + \left(54 a^{2} + 51 a + 60\right)\cdot 79^{2} + \left(3 a^{2} + 4 a + 25\right)\cdot 79^{3} + \left(40 a^{2} + 14 a + 59\right)\cdot 79^{4} + \left(41 a^{2} + 63 a + 15\right)\cdot 79^{5} + \left(41 a^{2} + 57\right)\cdot 79^{6} + \left(37 a^{2} + 21 a + 30\right)\cdot 79^{7} + \left(9 a^{2} + 16 a + 47\right)\cdot 79^{8} + \left(26 a^{2} + 35 a + 48\right)\cdot 79^{9} + \left(24 a^{2} + 77 a + 70\right)\cdot 79^{10} + \left(76 a^{2} + 37 a + 38\right)\cdot 79^{11} + \left(14 a^{2} + 31 a + 2\right)\cdot 79^{12} + \left(58 a^{2} + 55 a + 45\right)\cdot 79^{13} + \left(18 a^{2} + 7 a\right)\cdot 79^{14} + \left(41 a^{2} + a + 70\right)\cdot 79^{15} + \left(30 a^{2} + 62 a + 48\right)\cdot 79^{16} + \left(37 a^{2} + 11 a + 19\right)\cdot 79^{17} + \left(62 a^{2} + 39 a + 36\right)\cdot 79^{18} + \left(43 a^{2} + 27 a + 16\right)\cdot 79^{19} + \left(41 a + 15\right)\cdot 79^{20} + \left(37 a^{2} + a + 31\right)\cdot 79^{21} + \left(33 a^{2} + 47 a + 72\right)\cdot 79^{22} + \left(77 a^{2} + 15 a + 43\right)\cdot 79^{23} + \left(33 a^{2} + 67 a\right)\cdot 79^{24} + \left(66 a^{2} + 18 a + 62\right)\cdot 79^{25} + \left(53 a^{2} + 33 a + 39\right)\cdot 79^{26} +O\left(79^{ 27 }\right)$

### Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 8 }$

 Cycle notation $(2,6,3,5,7,8)$ $(1,6)(2,7)(3,4)(5,8)$

### Character values on conjugacy classes

 Size Order Action on $r_1, \ldots, r_{ 8 }$ Character values $c1$ $1$ $1$ $()$ $7$ $21$ $2$ $(1,6)(2,7)(3,4)(5,8)$ $-1$ $28$ $2$ $(2,5)(3,8)(6,7)$ $1$ $56$ $3$ $(2,3,7)(5,8,6)$ $1$ $42$ $4$ $(1,4,8,5)(2,6,3,7)$ $-1$ $56$ $6$ $(2,6,3,5,7,8)$ $1$ $48$ $7$ $(1,6,3,5,4,7,2)$ $0$ $42$ $8$ $(1,6,4,3,8,7,5,2)$ $-1$ $42$ $8$ $(1,3,5,6,8,2,4,7)$ $-1$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.