Properties

Label 7.2e6_3e8_31e4.8t36.1c1
Dimension 7
Group $C_2^3:(C_7: C_3)$
Conductor $ 2^{6} \cdot 3^{8} \cdot 31^{4}$
Root number 1
Frobenius-Schur indicator 1

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Basic invariants

Dimension:$7$
Group:$C_2^3:(C_7: C_3)$
Conductor:$387790161984= 2^{6} \cdot 3^{8} \cdot 31^{4} $
Artin number field: Splitting field of $f= x^{8} + 4 x^{6} - 14 x^{5} + 6 x^{4} + 16 x^{3} + 32 x^{2} + 18 x + 8 $ over $\Q$
Size of Galois orbit: 1
Smallest containing permutation representation: $C_2^3:(C_7: C_3)$
Parity: Even
Determinant: 1.1.1t1.1c1

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 17 }$ to precision 53.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 17 }$: $ x^{3} + x + 14 $
Roots:
$r_{ 1 }$ $=$ $ 10 + 14\cdot 17^{2} + 12\cdot 17^{3} + 2\cdot 17^{4} + 10\cdot 17^{5} + 12\cdot 17^{6} + 9\cdot 17^{7} + 15\cdot 17^{8} + 17^{9} + 5\cdot 17^{10} + 11\cdot 17^{11} + 8\cdot 17^{12} + 2\cdot 17^{13} + 7\cdot 17^{14} + 9\cdot 17^{15} + 6\cdot 17^{16} + 13\cdot 17^{17} + 5\cdot 17^{18} + 9\cdot 17^{19} + 16\cdot 17^{20} + 16\cdot 17^{21} + 6\cdot 17^{22} + 7\cdot 17^{23} + 12\cdot 17^{24} + 14\cdot 17^{25} + 3\cdot 17^{26} + 11\cdot 17^{27} + 6\cdot 17^{28} + 11\cdot 17^{29} + 2\cdot 17^{30} + 15\cdot 17^{31} + 14\cdot 17^{32} + 4\cdot 17^{33} + 17^{34} + 8\cdot 17^{35} + 17^{36} + 3\cdot 17^{37} + 12\cdot 17^{38} + 15\cdot 17^{39} + 16\cdot 17^{40} + 7\cdot 17^{41} + 17^{42} + 4\cdot 17^{43} + 6\cdot 17^{44} + 6\cdot 17^{45} + 3\cdot 17^{46} + 5\cdot 17^{48} + 9\cdot 17^{49} + 7\cdot 17^{50} + 10\cdot 17^{51} + 4\cdot 17^{52} +O\left(17^{ 53 }\right)$
$r_{ 2 }$ $=$ $ 3 a^{2} + 15 a + 12 + \left(9 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 17 + \left(11 a^{2} + 13 a + 12\right)\cdot 17^{2} + \left(7 a^{2} + 12 a\right)\cdot 17^{3} + \left(6 a^{2} + a + 7\right)\cdot 17^{4} + \left(15 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 17^{5} + \left(8 a^{2} + 10\right)\cdot 17^{6} + \left(16 a^{2} + 14 a + 4\right)\cdot 17^{7} + \left(10 a^{2} + 5 a + 16\right)\cdot 17^{8} + \left(10 a^{2} + 16 a + 16\right)\cdot 17^{9} + \left(10 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 17^{10} + \left(3 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 17^{11} + \left(9 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 17^{12} + \left(13 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 17^{13} + \left(6 a^{2} + 16 a + 3\right)\cdot 17^{14} + \left(4 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 17^{15} + \left(16 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 17^{16} + \left(7 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 17^{17} + \left(2 a^{2} + 11 a\right)\cdot 17^{18} + \left(9 a^{2} + 15 a + 10\right)\cdot 17^{19} + \left(9 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 17^{20} + \left(14 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 17^{21} + \left(15 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 17^{22} + \left(8 a^{2} + a + 7\right)\cdot 17^{23} + \left(a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 17^{24} + \left(4 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 17^{25} + \left(3 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 17^{26} + \left(8 a^{2} + 14 a + 7\right)\cdot 17^{27} + \left(4 a^{2} + a + 8\right)\cdot 17^{28} + \left(13 a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 17^{29} + \left(9 a^{2} + 13 a + 10\right)\cdot 17^{30} + \left(16 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 17^{31} + \left(a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 17^{32} + \left(12 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 17^{33} + \left(15 a^{2} + a + 7\right)\cdot 17^{34} + \left(15 a^{2} + 9 a + 13\right)\cdot 17^{35} + \left(13 a^{2} + 16 a + 4\right)\cdot 17^{36} + \left(3 a^{2} + 15 a + 16\right)\cdot 17^{37} + \left(11 a^{2} + 10 a + 16\right)\cdot 17^{38} + \left(2 a^{2} + a + 10\right)\cdot 17^{39} + \left(6 a^{2} + a + 13\right)\cdot 17^{40} + \left(15 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 17^{41} + \left(13 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 17^{42} + \left(a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 17^{43} + \left(4 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 17^{44} + \left(8 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 17^{45} + \left(12 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 17^{46} + \left(12 a^{2} + a + 7\right)\cdot 17^{47} + \left(14 a^{2} + 14 a + 10\right)\cdot 17^{48} + \left(14 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 17^{49} + \left(10 a + 1\right)\cdot 17^{50} + \left(10 a^{2} + 16 a\right)\cdot 17^{51} + \left(a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 17^{52} +O\left(17^{ 53 }\right)$
$r_{ 3 }$ $=$ $ 3 a^{2} + 14 a + 1 + \left(11 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 17 + \left(8 a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 17^{2} + \left(2 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 17^{3} + \left(6 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 17^{4} + \left(13 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 17^{5} + \left(16 a^{2} + 7\right)\cdot 17^{6} + \left(6 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 17^{7} + \left(11 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 17^{8} + \left(14 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 17^{9} + \left(15 a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 17^{10} + \left(a^{2} + 3 a + 14\right)\cdot 17^{11} + \left(11 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 17^{12} + \left(7 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 17^{13} + \left(8 a^{2} + 11 a + 16\right)\cdot 17^{14} + \left(4 a^{2} + 13 a + 15\right)\cdot 17^{15} + \left(3 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 17^{16} + \left(2 a^{2} + 12 a\right)\cdot 17^{17} + \left(3 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 17^{18} + \left(2 a^{2} + 16 a + 16\right)\cdot 17^{19} + \left(14 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 17^{20} + \left(6 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 17^{21} + \left(16 a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 17^{22} + \left(16 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 17^{23} + \left(6 a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 17^{24} + \left(4 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 17^{25} + \left(15 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 17^{26} + \left(4 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 17^{27} + \left(14 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 17^{28} + \left(6 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 17^{29} + \left(13 a^{2} + 14 a + 4\right)\cdot 17^{30} + \left(3 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 17^{31} + \left(4 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 17^{32} + \left(a + 5\right)\cdot 17^{33} + \left(7 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 17^{34} + \left(7 a + 12\right)\cdot 17^{35} + \left(9 a^{2} + 4\right)\cdot 17^{36} + \left(12 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 17^{37} + \left(15 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 17^{38} + \left(7 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 17^{39} + \left(10 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 17^{40} + \left(15 a^{2} + 14\right)\cdot 17^{41} + \left(16 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 17^{42} + \left(6 a^{2} + 2 a + 16\right)\cdot 17^{43} + \left(15 a^{2} + 15 a + 2\right)\cdot 17^{44} + \left(15 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 17^{45} + \left(6 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 17^{46} + \left(10 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 17^{47} + \left(11 a^{2} + 10 a + 16\right)\cdot 17^{48} + \left(a^{2} + 14\right)\cdot 17^{49} + \left(6 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 17^{50} + \left(a^{2} + 5 a\right)\cdot 17^{51} + \left(3 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 17^{52} +O\left(17^{ 53 }\right)$
$r_{ 4 }$ $=$ $ 14 + 14\cdot 17 + 9\cdot 17^{3} + 5\cdot 17^{4} + 16\cdot 17^{5} + 16\cdot 17^{6} + 12\cdot 17^{7} + 9\cdot 17^{8} + 11\cdot 17^{9} + 15\cdot 17^{10} + 5\cdot 17^{11} + 11\cdot 17^{12} + 17^{13} + 16\cdot 17^{14} + 8\cdot 17^{15} + 12\cdot 17^{16} + 10\cdot 17^{17} + 10\cdot 17^{18} + 5\cdot 17^{20} + 5\cdot 17^{21} + 14\cdot 17^{22} + 8\cdot 17^{23} + 6\cdot 17^{24} + 3\cdot 17^{25} + 15\cdot 17^{26} + 14\cdot 17^{27} + 13\cdot 17^{28} + 14\cdot 17^{29} + 15\cdot 17^{30} + 3\cdot 17^{31} + 17^{32} + 4\cdot 17^{33} + 11\cdot 17^{34} + 14\cdot 17^{35} + 15\cdot 17^{36} + 14\cdot 17^{37} + 3\cdot 17^{38} + 3\cdot 17^{39} + 17^{40} + 5\cdot 17^{41} + 6\cdot 17^{42} + 4\cdot 17^{43} + 17^{44} + 14\cdot 17^{45} + 8\cdot 17^{46} + 2\cdot 17^{48} + 12\cdot 17^{49} + 8\cdot 17^{50} + 10\cdot 17^{51} +O\left(17^{ 53 }\right)$
$r_{ 5 }$ $=$ $ a^{2} + 16 a + 5 + \left(12 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 17 + \left(16 a^{2} + 7 a + 15\right)\cdot 17^{2} + \left(10 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 17^{3} + \left(a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 17^{4} + \left(6 a^{2} + 14 a + 12\right)\cdot 17^{5} + \left(9 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 17^{6} + \left(15 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 17^{7} + \left(15 a^{2} + 16 a + 8\right)\cdot 17^{8} + 10\cdot 17^{9} + \left(7 a^{2} + 15 a + 16\right)\cdot 17^{10} + \left(a^{2} + 12 a + 15\right)\cdot 17^{11} + \left(5 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 17^{12} + \left(16 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 17^{13} + \left(12 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 17^{14} + \left(a^{2} + 11 a + 16\right)\cdot 17^{15} + \left(5 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 17^{16} + \left(7 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 17^{17} + \left(a^{2} + 13 a + 10\right)\cdot 17^{18} + \left(12 a + 9\right)\cdot 17^{19} + \left(16 a^{2} + a + 8\right)\cdot 17^{20} + \left(9 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 17^{21} + \left(5 a^{2} + 12 a\right)\cdot 17^{22} + \left(4 a^{2} + 15 a + 10\right)\cdot 17^{23} + \left(11 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 17^{24} + \left(a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 17^{25} + \left(10 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 17^{26} + \left(13 a^{2} + 6 a\right)\cdot 17^{27} + \left(6 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 17^{28} + 2 a^{2}17^{29} + \left(8 a^{2} + 4\right)\cdot 17^{30} + \left(5 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 17^{31} + \left(16 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 17^{32} + \left(7 a^{2} + 15 a + 14\right)\cdot 17^{33} + \left(2 a^{2} + 14 a + 9\right)\cdot 17^{34} + \left(13 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 17^{35} + \left(a^{2} + 6 a + 13\right)\cdot 17^{36} + \left(5 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 17^{37} + \left(2 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 17^{38} + \left(16 a^{2} + 13 a + 14\right)\cdot 17^{39} + \left(10 a^{2} + 13 a + 16\right)\cdot 17^{40} + \left(16 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 17^{41} + \left(10 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 17^{42} + \left(4 a^{2} + 5 a + 16\right)\cdot 17^{43} + \left(9 a^{2} + a + 10\right)\cdot 17^{44} + \left(15 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 17^{45} + \left(13 a + 14\right)\cdot 17^{46} + \left(6 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 17^{47} + \left(11 a^{2} + 13 a + 8\right)\cdot 17^{48} + \left(13 a^{2} + 3 a + 16\right)\cdot 17^{49} + \left(10 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 17^{50} + \left(10 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 17^{51} + \left(a^{2} + a + 13\right)\cdot 17^{52} +O\left(17^{ 53 }\right)$
$r_{ 6 }$ $=$ $ 13 a^{2} + 3 a + 13 + \left(12 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 17 + \left(5 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 17^{2} + \left(15 a^{2} + a\right)\cdot 17^{3} + \left(8 a^{2} + 3\right)\cdot 17^{4} + 12 a^{2}17^{5} + \left(15 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 17^{6} + \left(a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 17^{7} + \left(7 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 17^{8} + \left(5 a^{2} + 16 a + 2\right)\cdot 17^{9} + \left(16 a^{2} + 15 a\right)\cdot 17^{10} + \left(11 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 17^{11} + \left(2 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 17^{12} + \left(4 a^{2} + 16 a + 3\right)\cdot 17^{13} + \left(14 a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 17^{14} + \left(10 a^{2} + 10 a + 16\right)\cdot 17^{15} + \left(12 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 17^{16} + \left(a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 17^{17} + \left(13 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 17^{18} + \left(7 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 17^{19} + \left(8 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 17^{20} + \left(9 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 17^{21} + \left(12 a^{2} + 15 a + 16\right)\cdot 17^{22} + \left(3 a^{2} + 16 a + 3\right)\cdot 17^{23} + \left(4 a^{2} + 15 a + 10\right)\cdot 17^{24} + \left(11 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 17^{25} + \left(3 a^{2} + a + 2\right)\cdot 17^{26} + \left(12 a^{2} + 13 a + 16\right)\cdot 17^{27} + \left(5 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 17^{28} + \left(a^{2} + 11 a + 16\right)\cdot 17^{29} + \left(16 a^{2} + 3 a + 14\right)\cdot 17^{30} + 11 a^{2}17^{31} + \left(15 a^{2} + 10 a\right)\cdot 17^{32} + \left(13 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 17^{33} + \left(15 a^{2} + 7\right)\cdot 17^{34} + \left(4 a^{2} + a\right)\cdot 17^{35} + \left(a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 17^{36} + \left(8 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 17^{37} + \left(3 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 17^{38} + \left(15 a^{2} + a + 2\right)\cdot 17^{39} + \left(16 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 17^{40} + \left(a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 17^{41} + \left(9 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 17^{42} + \left(10 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 17^{43} + \left(3 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 17^{44} + \left(10 a^{2} + 15 a\right)\cdot 17^{45} + \left(3 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 17^{46} + \left(15 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 17^{47} + \left(7 a^{2} + 6 a\right)\cdot 17^{48} + \left(5 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 17^{49} + \left(5 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 17^{50} + \left(13 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 17^{51} + \left(13 a^{2} + 3 a + 16\right)\cdot 17^{52} +O\left(17^{ 53 }\right)$
$r_{ 7 }$ $=$ $ 9 a^{2} + 11 a + 5 + \left(16 a^{2} + 14 a + 10\right)\cdot 17 + \left(13 a + 2\right)\cdot 17^{2} + \left(15 a^{2} + a + 7\right)\cdot 17^{3} + \left(9 a^{2} + 16 a + 12\right)\cdot 17^{4} + \left(14 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 17^{5} + \left(9 a^{2} + 8\right)\cdot 17^{6} + \left(4 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 17^{7} + \left(12 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 17^{8} + \left(10 a^{2} + 9\right)\cdot 17^{9} + \left(4 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 17^{10} + \left(12 a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 17^{11} + \left(6 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 17^{12} + \left(14 a^{2} + 14 a + 1\right)\cdot 17^{13} + \left(a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 17^{14} + \left(7 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 17^{15} + \left(13 a^{2} + 15\right)\cdot 17^{16} + \left(9 a^{2} + a + 10\right)\cdot 17^{17} + \left(4 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 17^{18} + \left(6 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 17^{19} + \left(12 a^{2} + 10 a + 14\right)\cdot 17^{20} + \left(7 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 17^{21} + \left(16 a + 7\right)\cdot 17^{22} + \left(13 a + 4\right)\cdot 17^{23} + \left(9 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 17^{24} + \left(16 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 17^{25} + \left(10 a^{2} + a + 6\right)\cdot 17^{26} + \left(14 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 17^{27} + \left(11 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 17^{28} + \left(8 a^{2} + 15\right)\cdot 17^{29} + \left(2 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 17^{30} + \left(10 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 17^{31} + \left(9 a^{2} + 8 a\right)\cdot 17^{32} + \left(a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 17^{33} + 2 a^{2}17^{34} + \left(16 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 17^{35} + \left(3 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 17^{36} + \left(16 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 17^{37} + \left(16 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 17^{38} + \left(6 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 17^{39} + \left(4 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 17^{40} + \left(10 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 17^{41} + \left(8 a^{2} + 3 a\right)\cdot 17^{42} + \left(11 a^{2} + 12 a + 14\right)\cdot 17^{43} + \left(2 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 17^{44} + \left(16 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 17^{45} + \left(12 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 17^{46} + \left(4 a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 17^{47} + \left(6 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 17^{48} + \left(a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 17^{49} + \left(11 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 17^{50} + \left(14 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 17^{51} + \left(8 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 17^{52} +O\left(17^{ 53 }\right)$
$r_{ 8 }$ $=$ $ 5 a^{2} + 9 a + 8 + \left(6 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 17 + \left(7 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 17^{2} + \left(16 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 17^{3} + \left(11 a + 6\right)\cdot 17^{4} + \left(6 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 17^{5} + \left(7 a^{2} + 15 a + 7\right)\cdot 17^{6} + \left(5 a^{2} + a + 2\right)\cdot 17^{7} + \left(10 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 17^{8} + \left(8 a^{2} + a + 2\right)\cdot 17^{9} + \left(13 a^{2} + 16 a + 7\right)\cdot 17^{10} + \left(2 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 17^{11} + \left(16 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 17^{12} + \left(11 a^{2} + 13 a + 5\right)\cdot 17^{13} + \left(6 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 17^{14} + \left(5 a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 17^{15} + 7 a\cdot 17^{16} + \left(5 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 17^{17} + \left(9 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 17^{18} + \left(8 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 17^{19} + \left(7 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 17^{20} + \left(2 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 17^{21} + \left(a + 13\right)\cdot 17^{22} + \left(13 a + 15\right)\cdot 17^{23} + \left(a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 17^{24} + \left(13 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 17^{25} + \left(7 a^{2} + 4\right)\cdot 17^{26} + \left(14 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 17^{27} + \left(7 a^{2} + 4\right)\cdot 17^{28} + \left(a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 17^{29} + \left(a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 17^{30} + \left(3 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 17^{31} + \left(3 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 17^{32} + \left(15 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 17^{33} + \left(7 a^{2} + 14 a + 4\right)\cdot 17^{34} + 17^{35} + \left(4 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 17^{36} + \left(5 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 17^{37} + \left(a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 17^{38} + \left(2 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 17^{39} + \left(2 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 17^{40} + \left(8 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 17^{41} + \left(8 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 17^{42} + \left(15 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 17^{43} + \left(15 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 17^{44} + \left(a^{2} + 12\right)\cdot 17^{45} + \left(14 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 17^{46} + \left(a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 17^{47} + \left(16 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 17^{48} + \left(13 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 17^{49} + \left(16 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 17^{50} + \left(16 a + 11\right)\cdot 17^{51} + \left(5 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 17^{52} +O\left(17^{ 53 }\right)$

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 8 }$

Cycle notation
$(1,4)(2,3)(5,8)(6,7)$
$(1,3)(2,4)(5,6)(7,8)$
$(1,5,2,8,6,7,3)$
$(1,8,6,5,4,3)(2,7)$
$(1,7)(2,5)(3,8)(4,6)$

Character values on conjugacy classes

SizeOrderAction on $r_1, \ldots, r_{ 8 }$ Character value
$1$$1$$()$$7$
$7$$2$$(1,5)(2,7)(3,6)(4,8)$$-1$
$28$$3$$(1,6,4)(3,8,5)$$1$
$28$$3$$(1,4,6)(3,5,8)$$1$
$28$$6$$(1,8,6,5,4,3)(2,7)$$-1$
$28$$6$$(1,3,4,5,6,8)(2,7)$$-1$
$24$$7$$(1,5,2,8,6,7,3)$$0$
$24$$7$$(1,8,3,2,7,5,6)$$0$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.