# Properties

 Label 7.2e6_199e4.8t36.1c1 Dimension 7 Group $C_2^3:(C_7: C_3)$ Conductor $2^{6} \cdot 199^{4}$ Root number 1 Frobenius-Schur indicator 1

# Related objects

## Basic invariants

 Dimension: $7$ Group: $C_2^3:(C_7: C_3)$ Conductor: $100367308864= 2^{6} \cdot 199^{4}$ Artin number field: Splitting field of $f= x^{8} - 3 x^{7} + 4 x^{6} - 16 x^{5} + 46 x^{4} - 70 x^{3} + 82 x^{2} - 48 x + 22$ over $\Q$ Size of Galois orbit: 1 Smallest containing permutation representation: $C_2^3:(C_7: C_3)$ Parity: Even Determinant: 1.1.1t1.1c1

## Galois action

### Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 23 }$ to precision 44.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 23 }$: $x^{3} + 2 x + 18$
Roots:
 $r_{ 1 }$ $=$ $2 a^{2} + 16 a + 18 + \left(6 a^{2} + 21 a + 22\right)\cdot 23 + \left(a^{2} + 16 a + 7\right)\cdot 23^{2} + \left(4 a^{2} + a + 6\right)\cdot 23^{3} + \left(18 a^{2} + 19 a + 13\right)\cdot 23^{4} + \left(22 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 23^{5} + \left(21 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 23^{6} + \left(8 a^{2} + a\right)\cdot 23^{7} + \left(4 a^{2} + 17 a + 9\right)\cdot 23^{8} + \left(22 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 23^{9} + \left(2 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 23^{10} + \left(4 a^{2} + 7\right)\cdot 23^{11} + \left(8 a^{2} + 18 a + 4\right)\cdot 23^{12} + \left(a^{2} + 11\right)\cdot 23^{13} + \left(21 a^{2} + 6 a + 18\right)\cdot 23^{14} + \left(2 a^{2} + 22 a + 18\right)\cdot 23^{15} + \left(12 a^{2} + 4 a\right)\cdot 23^{16} + \left(10 a^{2} + 21 a + 15\right)\cdot 23^{17} + \left(19 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 23^{18} + \left(14 a^{2} + 20 a + 1\right)\cdot 23^{19} + \left(11 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 23^{20} + \left(16 a^{2} + 22 a + 12\right)\cdot 23^{21} + \left(18 a^{2} + 21\right)\cdot 23^{22} + \left(19 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 23^{23} + \left(3 a^{2} + 16 a + 20\right)\cdot 23^{24} + \left(15 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 23^{25} + \left(2 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 23^{26} + 13 a\cdot 23^{27} + \left(5 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 23^{28} + \left(13 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 23^{29} + \left(17 a^{2} + 18 a + 20\right)\cdot 23^{30} + \left(8 a^{2} + 11 a + 22\right)\cdot 23^{31} + \left(22 a^{2} + 19 a\right)\cdot 23^{32} + \left(22 a^{2} + 20 a + 1\right)\cdot 23^{33} + \left(11 a^{2} + a + 15\right)\cdot 23^{34} + \left(8 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 23^{35} + \left(18 a^{2} + 19 a + 17\right)\cdot 23^{36} + \left(12 a^{2} + 9 a + 22\right)\cdot 23^{37} + \left(10 a^{2} + 21 a + 15\right)\cdot 23^{38} + \left(22 a^{2} + 7 a + 21\right)\cdot 23^{39} + \left(7 a^{2} + 17 a + 4\right)\cdot 23^{40} + \left(10 a^{2} + 15 a + 16\right)\cdot 23^{41} + \left(14 a^{2} + 22 a + 3\right)\cdot 23^{42} + \left(7 a^{2} + 7 a + 20\right)\cdot 23^{43} +O\left(23^{ 44 }\right)$ $r_{ 2 }$ $=$ $19 a^{2} + 11 a + 6 + \left(5 a^{2} + 19 a + 10\right)\cdot 23 + \left(10 a^{2} + 14 a + 22\right)\cdot 23^{2} + \left(19 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 23^{3} + \left(12 a + 7\right)\cdot 23^{4} + \left(8 a^{2} + 13 a + 18\right)\cdot 23^{5} + \left(7 a^{2} + 20 a + 11\right)\cdot 23^{6} + \left(20 a^{2} + 15 a + 10\right)\cdot 23^{7} + \left(2 a + 22\right)\cdot 23^{8} + \left(a^{2} + 15 a\right)\cdot 23^{9} + \left(11 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 23^{10} + \left(2 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 23^{11} + \left(20 a^{2} + 13 a + 20\right)\cdot 23^{12} + \left(16 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 23^{13} + \left(20 a^{2} + 21 a + 6\right)\cdot 23^{14} + \left(12 a^{2} + 14 a\right)\cdot 23^{15} + \left(18 a^{2} + 18 a + 9\right)\cdot 23^{16} + \left(15 a^{2} + 10 a + 18\right)\cdot 23^{17} + \left(15 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 23^{18} + \left(8 a^{2} + 13 a + 7\right)\cdot 23^{19} + \left(8 a^{2} + 8 a + 22\right)\cdot 23^{20} + \left(21 a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 23^{21} + \left(20 a^{2} + 6 a\right)\cdot 23^{22} + \left(20 a^{2} + 22\right)\cdot 23^{23} + \left(19 a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 23^{24} + \left(9 a^{2} + 22 a + 19\right)\cdot 23^{25} + \left(6 a + 4\right)\cdot 23^{26} + \left(13 a^{2} + 8 a + 18\right)\cdot 23^{27} + \left(18 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 23^{28} + \left(7 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 23^{29} + \left(10 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 23^{30} + \left(9 a^{2} + 3 a + 19\right)\cdot 23^{31} + \left(20 a^{2} + 16 a + 12\right)\cdot 23^{32} + \left(9 a^{2} + 6 a + 19\right)\cdot 23^{33} + \left(18 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 23^{34} + \left(15 a^{2} + 21\right)\cdot 23^{35} + \left(4 a + 4\right)\cdot 23^{36} + \left(8 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 23^{37} + \left(3 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 23^{38} + \left(3 a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 23^{39} + \left(18 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 23^{40} + \left(9 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 23^{41} + \left(18 a^{2} + 21 a + 11\right)\cdot 23^{42} + \left(6 a^{2} + 18\right)\cdot 23^{43} +O\left(23^{ 44 }\right)$ $r_{ 3 }$ $=$ $2 + 4\cdot 23 + 2\cdot 23^{2} + 16\cdot 23^{3} + 18\cdot 23^{4} + 8\cdot 23^{5} + 7\cdot 23^{6} + 19\cdot 23^{7} + 3\cdot 23^{8} + 9\cdot 23^{10} + 20\cdot 23^{11} + 22\cdot 23^{12} + 11\cdot 23^{13} + 11\cdot 23^{14} + 20\cdot 23^{15} + 17\cdot 23^{16} + 21\cdot 23^{17} + 20\cdot 23^{18} + 21\cdot 23^{19} + 21\cdot 23^{20} + 10\cdot 23^{21} + 15\cdot 23^{22} + 17\cdot 23^{23} + 13\cdot 23^{24} + 10\cdot 23^{25} + 19\cdot 23^{26} + 13\cdot 23^{27} + 7\cdot 23^{28} + 21\cdot 23^{29} + 15\cdot 23^{30} + 5\cdot 23^{31} + 18\cdot 23^{32} + 21\cdot 23^{33} + 17\cdot 23^{34} + 6\cdot 23^{35} + 18\cdot 23^{36} + 7\cdot 23^{37} + 5\cdot 23^{38} + 7\cdot 23^{39} + 12\cdot 23^{40} + 6\cdot 23^{41} + 10\cdot 23^{42} + 15\cdot 23^{43} +O\left(23^{ 44 }\right)$ $r_{ 4 }$ $=$ $9 a^{2} + 15 a + 12 + \left(7 a + 7\right)\cdot 23 + \left(9 a^{2} + 2 a + 18\right)\cdot 23^{2} + \left(13 a^{2} + 18\right)\cdot 23^{3} + \left(12 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 23^{4} + \left(3 a^{2} + 10 a + 21\right)\cdot 23^{5} + \left(7 a^{2} + 4 a + 21\right)\cdot 23^{6} + \left(a^{2} + 21 a + 12\right)\cdot 23^{7} + \left(9 a^{2} + 15 a + 7\right)\cdot 23^{8} + \left(15 a + 3\right)\cdot 23^{9} + \left(6 a^{2} + 7 a + 21\right)\cdot 23^{10} + \left(13 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 23^{11} + \left(14 a + 9\right)\cdot 23^{12} + \left(6 a^{2} + 21 a + 17\right)\cdot 23^{13} + \left(11 a^{2} + 13 a + 20\right)\cdot 23^{14} + \left(2 a^{2} + 22 a + 2\right)\cdot 23^{15} + \left(a^{2} + 9\right)\cdot 23^{16} + \left(17 a^{2} + 17 a + 8\right)\cdot 23^{17} + \left(8 a^{2} + 22 a + 1\right)\cdot 23^{18} + \left(3 a^{2} + 17 a + 17\right)\cdot 23^{19} + \left(5 a^{2} + 20 a + 12\right)\cdot 23^{20} + \left(18 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 23^{21} + \left(4 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 23^{22} + \left(16 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 23^{23} + \left(8 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 23^{24} + \left(10 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 23^{25} + \left(7 a^{2} + 18 a\right)\cdot 23^{26} + \left(18 a^{2} + 17\right)\cdot 23^{27} + \left(8 a^{2} + 3 a\right)\cdot 23^{28} + \left(a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 23^{29} + \left(7 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 23^{30} + \left(4 a^{2} + 21 a + 9\right)\cdot 23^{31} + \left(4 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 23^{32} + \left(10 a^{2} + 17 a + 22\right)\cdot 23^{33} + \left(12 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 23^{34} + \left(6 a^{2} + 19 a + 2\right)\cdot 23^{35} + \left(5 a^{2} + 14 a\right)\cdot 23^{36} + \left(6 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 23^{37} + \left(19 a^{2} + 14 a + 4\right)\cdot 23^{38} + \left(22 a^{2} + a + 22\right)\cdot 23^{39} + \left(3 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 23^{40} + \left(11 a^{2} + 19 a + 9\right)\cdot 23^{41} + \left(22 a^{2} + 9 a + 14\right)\cdot 23^{42} + \left(15 a^{2} + 4 a\right)\cdot 23^{43} +O\left(23^{ 44 }\right)$ $r_{ 5 }$ $=$ $12 a^{2} + 15 a + 16 + \left(16 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 23 + \left(12 a^{2} + 3 a + 15\right)\cdot 23^{2} + \left(5 a^{2} + 21 a\right)\cdot 23^{3} + \left(15 a^{2} + 16 a + 17\right)\cdot 23^{4} + \left(19 a^{2} + 7 a + 19\right)\cdot 23^{5} + \left(16 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 23^{6} + \left(12 a^{2} + 20\right)\cdot 23^{7} + \left(9 a^{2} + 13 a + 15\right)\cdot 23^{8} + \left(14 a + 18\right)\cdot 23^{9} + \left(14 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 23^{10} + \left(5 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 23^{11} + \left(14 a^{2} + 13 a + 12\right)\cdot 23^{12} + \left(15 a^{2} + 22\right)\cdot 23^{13} + \left(13 a^{2} + 3 a\right)\cdot 23^{14} + \left(17 a^{2} + a\right)\cdot 23^{15} + \left(9 a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 23^{16} + \left(18 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 23^{17} + \left(17 a^{2} + 6 a + 21\right)\cdot 23^{18} + \left(4 a^{2} + 7 a + 18\right)\cdot 23^{19} + \left(6 a^{2} + 15 a + 21\right)\cdot 23^{20} + \left(11 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 23^{21} + \left(22 a^{2} + 19 a + 3\right)\cdot 23^{22} + \left(9 a^{2} + 17\right)\cdot 23^{23} + \left(10 a^{2} + 21\right)\cdot 23^{24} + \left(20 a^{2} + 21 a + 18\right)\cdot 23^{25} + \left(12 a^{2} + 7\right)\cdot 23^{26} + \left(4 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 23^{27} + \left(9 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 23^{28} + \left(8 a^{2} + 15 a + 6\right)\cdot 23^{29} + \left(21 a^{2} + a + 10\right)\cdot 23^{30} + \left(9 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 23^{31} + \left(19 a^{2} + 19 a + 20\right)\cdot 23^{32} + \left(12 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 23^{33} + \left(21 a^{2} + 12 a + 20\right)\cdot 23^{34} + \left(7 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 23^{35} + \left(22 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 23^{36} + \left(3 a^{2} + 21 a + 3\right)\cdot 23^{37} + \left(16 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 23^{38} + 13 a\cdot 23^{39} + \left(11 a^{2} + 17 a + 9\right)\cdot 23^{40} + \left(a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 23^{41} + \left(9 a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 23^{42} + \left(22 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 23^{43} +O\left(23^{ 44 }\right)$ $r_{ 6 }$ $=$ $15 a^{2} + 9 a + 16 + \left(2 a^{2} + 11 a + 13\right)\cdot 23 + \left(19 a^{2} + 18 a + 3\right)\cdot 23^{2} + \left(18 a^{2} + 19 a + 3\right)\cdot 23^{3} + \left(16 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 23^{4} + \left(21 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 23^{5} + \left(5 a^{2} + 13 a + 17\right)\cdot 23^{6} + \left(22 a^{2} + 11 a + 20\right)\cdot 23^{7} + \left(20 a^{2} + 14 a + 10\right)\cdot 23^{8} + \left(14 a^{2} + 17 a + 19\right)\cdot 23^{9} + \left(20 a + 6\right)\cdot 23^{10} + \left(8 a^{2} + 16 a + 5\right)\cdot 23^{11} + \left(4 a^{2} + 8 a + 22\right)\cdot 23^{12} + \left(17 a^{2} + 5 a + 16\right)\cdot 23^{13} + \left(12 a^{2} + 2 a + 18\right)\cdot 23^{14} + \left(19 a^{2} + 16 a + 16\right)\cdot 23^{15} + \left(a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 23^{16} + \left(12 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 23^{17} + \left(20 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 23^{18} + \left(16 a^{2} + 17 a + 18\right)\cdot 23^{19} + \left(a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 23^{20} + \left(17 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 23^{21} + \left(8 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 23^{22} + \left(17 a^{2} + 7 a + 17\right)\cdot 23^{23} + \left(a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 23^{24} + \left(13 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 23^{25} + \left(5 a^{2} + 3 a + 19\right)\cdot 23^{26} + \left(7 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 23^{27} + \left(2 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 23^{28} + \left(a^{2} + 2 a + 16\right)\cdot 23^{29} + \left(20 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 23^{30} + \left(5 a^{2} + 15 a + 22\right)\cdot 23^{31} + \left(16 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 23^{32} + \left(15 a^{2} + 17 a + 19\right)\cdot 23^{33} + \left(18 a^{2} + 22 a + 9\right)\cdot 23^{34} + \left(20 a^{2} + 19 a + 12\right)\cdot 23^{35} + \left(13 a^{2} + 16 a + 22\right)\cdot 23^{36} + \left(17 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 23^{37} + \left(13 a^{2} + a + 6\right)\cdot 23^{38} + \left(10 a + 2\right)\cdot 23^{39} + \left(15 a^{2} + 13 a + 8\right)\cdot 23^{40} + \left(12 a^{2} + 21 a + 4\right)\cdot 23^{41} + \left(13 a^{2} + 9 a + 20\right)\cdot 23^{42} + \left(17 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 23^{43} +O\left(23^{ 44 }\right)$ $r_{ 7 }$ $=$ $13 + 13\cdot 23 + 21\cdot 23^{2} + 19\cdot 23^{4} + 10\cdot 23^{5} + 18\cdot 23^{6} + 19\cdot 23^{7} + 14\cdot 23^{8} + 15\cdot 23^{9} + 2\cdot 23^{10} + 13\cdot 23^{11} + 16\cdot 23^{12} + 12\cdot 23^{14} + 8\cdot 23^{15} + 6\cdot 23^{16} + 6\cdot 23^{17} + 5\cdot 23^{18} + 21\cdot 23^{19} + 18\cdot 23^{20} + 9\cdot 23^{21} + 7\cdot 23^{22} + 11\cdot 23^{23} + 23^{24} + 19\cdot 23^{25} + 18\cdot 23^{26} + 5\cdot 23^{27} + 10\cdot 23^{28} + 18\cdot 23^{29} + 20\cdot 23^{30} + 8\cdot 23^{31} + 19\cdot 23^{32} + 23^{33} + 7\cdot 23^{34} + 12\cdot 23^{35} + 13\cdot 23^{36} + 13\cdot 23^{37} + 2\cdot 23^{38} + 13\cdot 23^{39} + 17\cdot 23^{40} + 7\cdot 23^{42} + 18\cdot 23^{43} +O\left(23^{ 44 }\right)$ $r_{ 8 }$ $=$ $12 a^{2} + 3 a + 12 + \left(14 a^{2} + 15 a + 6\right)\cdot 23 + \left(16 a^{2} + 12 a\right)\cdot 23^{2} + \left(7 a^{2} + 13 a + 19\right)\cdot 23^{3} + \left(5 a^{2} + 7 a + 20\right)\cdot 23^{4} + \left(16 a^{2} + a + 13\right)\cdot 23^{5} + \left(9 a^{2} + 12 a + 22\right)\cdot 23^{6} + \left(3 a^{2} + 18 a + 10\right)\cdot 23^{7} + \left(a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 23^{8} + \left(7 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 23^{9} + \left(11 a^{2} + 17 a + 21\right)\cdot 23^{10} + \left(12 a^{2} + 17 a + 18\right)\cdot 23^{11} + \left(21 a^{2} + 6\right)\cdot 23^{12} + \left(11 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 23^{13} + \left(12 a^{2} + 22 a + 3\right)\cdot 23^{14} + \left(13 a^{2} + 14 a + 1\right)\cdot 23^{15} + \left(2 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 23^{16} + \left(18 a^{2} + 20 a + 6\right)\cdot 23^{17} + \left(9 a^{2} + 14 a + 22\right)\cdot 23^{18} + \left(20 a^{2} + 14 a + 7\right)\cdot 23^{19} + \left(12 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 23^{20} + \left(7 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 23^{21} + \left(16 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 23^{22} + \left(7 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 23^{23} + \left(a^{2} + 15 a + 19\right)\cdot 23^{24} + \left(13 a + 13\right)\cdot 23^{25} + \left(17 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 23^{26} + \left(2 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 23^{27} + \left(2 a^{2} + 22 a\right)\cdot 23^{28} + \left(14 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 23^{29} + \left(15 a^{2} + 19\right)\cdot 23^{30} + \left(7 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 23^{31} + \left(9 a^{2} + 18 a + 21\right)\cdot 23^{32} + \left(20 a^{2} + 21 a + 2\right)\cdot 23^{33} + \left(8 a^{2} + 19 a + 12\right)\cdot 23^{34} + \left(9 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 23^{35} + \left(8 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 23^{36} + \left(20 a^{2} + 17 a + 14\right)\cdot 23^{37} + \left(5 a^{2} + 16 a + 18\right)\cdot 23^{38} + \left(19 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 23^{39} + \left(12 a^{2} + 7 a + 20\right)\cdot 23^{40} + \left(13 a + 18\right)\cdot 23^{41} + \left(14 a^{2} + 14 a + 20\right)\cdot 23^{42} + \left(21 a^{2} + 11 a + 22\right)\cdot 23^{43} +O\left(23^{ 44 }\right)$

### Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 8 }$

 Cycle notation $(1,6,5,4,7,8,2)$ $(1,4)(2,6)(3,5)(7,8)$ $(1,5)(2,8)(3,4)(6,7)$ $(1,4,7)(3,6,5)$ $(1,7)(2,3)(4,8)(5,6)$

### Character values on conjugacy classes

 Size Order Action on $r_1, \ldots, r_{ 8 }$ Character value $1$ $1$ $()$ $7$ $7$ $2$ $(1,4)(2,6)(3,5)(7,8)$ $-1$ $28$ $3$ $(1,7,2)(4,5,8)$ $1$ $28$ $3$ $(1,2,7)(4,8,5)$ $1$ $28$ $6$ $(1,5,7,8,2,4)(3,6)$ $-1$ $28$ $6$ $(1,4,2,8,7,5)(3,6)$ $-1$ $24$ $7$ $(1,6,5,4,7,8,2)$ $0$ $24$ $7$ $(1,4,2,5,8,6,7)$ $0$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.