# Properties

 Label 7.1157018619904.8t36.b.a Dimension 7 Group $C_2^3:(C_7: C_3)$ Conductor $2^{12} \cdot 7^{10}$ Root number 1 Frobenius-Schur indicator 1

# Related objects

## Basic invariants

 Dimension: $7$ Group: $C_2^3:(C_7: C_3)$ Conductor: $1157018619904= 2^{12} \cdot 7^{10}$ Artin number field: Splitting field of 8.0.1157018619904.2 defined by $f= x^{8} - 2 x^{7} + 28 x^{4} - 14 x^{3} - 56 x^{2} + 40 x + 53$ over $\Q$ Size of Galois orbit: 1 Smallest containing permutation representation: $C_2^3:(C_7: C_3)$ Parity: Even Determinant: 1.1.1t1.a.a Projective image: $F_8:C_3$ Projective field: Galois closure of 8.0.1157018619904.2

## Galois action

### Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 19 }$ to precision 47.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 19 }$: $x^{3} + 4 x + 17$
Roots:
 $r_{ 1 }$ $=$ $14 a^{2} + 6 a + 17 + \left(8 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 19 + \left(a^{2} + a + 4\right)\cdot 19^{2} + \left(5 a^{2} + 4 a\right)\cdot 19^{3} + \left(a^{2} + 9 a + 17\right)\cdot 19^{4} + \left(12 a^{2} + 5 a + 16\right)\cdot 19^{5} + \left(2 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 19^{6} + \left(9 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 19^{7} + \left(12 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 19^{8} + \left(4 a^{2} + 11 a + 13\right)\cdot 19^{9} + 16 a\cdot 19^{10} + \left(11 a^{2} + 5 a + 18\right)\cdot 19^{11} + \left(10 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 19^{12} + \left(9 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 19^{13} + \left(8 a^{2} + 4 a\right)\cdot 19^{14} + \left(13 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 19^{15} + \left(6 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 19^{16} + \left(2 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 19^{17} + \left(13 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 19^{18} + \left(17 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 19^{19} + \left(12 a^{2} + 11 a + 17\right)\cdot 19^{20} + \left(18 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 19^{21} + \left(14 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 19^{22} + \left(12 a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 19^{23} + \left(18 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 19^{24} + \left(3 a^{2} + 16 a\right)\cdot 19^{25} + \left(13 a^{2} + 8 a + 14\right)\cdot 19^{26} + \left(8 a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 19^{27} + \left(10 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 19^{28} + \left(17 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 19^{29} + \left(18 a^{2} + a + 14\right)\cdot 19^{30} + \left(14 a^{2} + 10 a + 15\right)\cdot 19^{31} + \left(12 a^{2} + 18\right)\cdot 19^{32} + \left(12 a^{2} + 15 a + 16\right)\cdot 19^{33} + \left(11 a^{2} + a + 5\right)\cdot 19^{34} + \left(8 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 19^{35} + \left(16 a^{2} + 9 a + 18\right)\cdot 19^{36} + \left(a^{2} + a + 17\right)\cdot 19^{37} + \left(2 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 19^{38} + \left(5 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 19^{39} + \left(7 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 19^{40} + \left(5 a^{2} + 8 a\right)\cdot 19^{41} + \left(17 a + 7\right)\cdot 19^{42} + \left(9 a^{2} + 17 a + 10\right)\cdot 19^{43} + \left(8 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 19^{44} + \left(14 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 19^{45} + \left(17 a^{2} + 18 a + 8\right)\cdot 19^{46} +O\left(19^{ 47 }\right)$ $r_{ 2 }$ $=$ $16 a^{2} + 13 a + 16 + \left(9 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 19 + \left(5 a^{2} + 18 a + 2\right)\cdot 19^{2} + \left(9 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 19^{3} + \left(13 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 19^{4} + \left(18 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 19^{5} + \left(7 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 19^{6} + \left(5 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 19^{7} + \left(4 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 19^{8} + \left(7 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 19^{9} + \left(5 a^{2} + 12 a + 14\right)\cdot 19^{10} + \left(9 a^{2} + 8 a\right)\cdot 19^{11} + \left(a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 19^{12} + \left(6 a^{2} + 12 a\right)\cdot 19^{13} + \left(4 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 19^{14} + \left(10 a + 16\right)\cdot 19^{15} + \left(9 a^{2} + 13 a + 2\right)\cdot 19^{16} + \left(2 a^{2} + 14 a + 7\right)\cdot 19^{17} + \left(6 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 19^{18} + \left(9 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 19^{19} + \left(14 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 19^{20} + \left(7 a^{2} + 17 a + 14\right)\cdot 19^{21} + \left(9 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 19^{22} + \left(17 a^{2} + 17 a + 10\right)\cdot 19^{23} + \left(14 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 19^{24} + \left(10 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 19^{25} + \left(a^{2} + 4 a + 14\right)\cdot 19^{26} + \left(8 a^{2} + 14 a + 9\right)\cdot 19^{27} + \left(3 a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 19^{28} + \left(10 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 19^{29} + \left(a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 19^{30} + \left(15 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 19^{31} + \left(11 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 19^{32} + \left(3 a^{2} + 10 a + 18\right)\cdot 19^{33} + \left(15 a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 19^{34} + \left(14 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 19^{35} + \left(3 a^{2} + 14 a + 10\right)\cdot 19^{36} + \left(16 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 19^{37} + \left(9 a^{2} + 9 a + 13\right)\cdot 19^{38} + \left(18 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 19^{39} + \left(2 a^{2} + 9 a + 18\right)\cdot 19^{40} + \left(9 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 19^{41} + \left(9 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 19^{42} + \left(8 a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 19^{43} + \left(6 a^{2} + 7 a + 15\right)\cdot 19^{44} + \left(10 a^{2} + 14 a + 1\right)\cdot 19^{45} + \left(a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 19^{46} +O\left(19^{ 47 }\right)$ $r_{ 3 }$ $=$ $7 a^{2} + 3 a + 13 + \left(4 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 19 + \left(16 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 19^{2} + \left(12 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 19^{3} + \left(17 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 19^{4} + \left(12 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 19^{5} + \left(13 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 19^{6} + \left(10 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 19^{7} + \left(a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 19^{8} + \left(16 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 19^{9} + \left(14 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 19^{10} + \left(6 a^{2} + 18 a + 7\right)\cdot 19^{11} + \left(a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 19^{12} + \left(11 a^{2} + 17 a + 5\right)\cdot 19^{13} + \left(16 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 19^{14} + \left(a + 16\right)\cdot 19^{15} + \left(8 a^{2} + 15 a + 2\right)\cdot 19^{16} + \left(13 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 19^{17} + \left(17 a^{2} + 14\right)\cdot 19^{18} + \left(3 a^{2} + 5 a + 16\right)\cdot 19^{19} + \left(11 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 19^{20} + \left(16 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 19^{21} + \left(11 a^{2} + 17 a + 2\right)\cdot 19^{22} + \left(14 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 19^{23} + \left(18 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 19^{24} + \left(11 a + 15\right)\cdot 19^{25} + \left(12 a^{2} + 17 a + 10\right)\cdot 19^{26} + \left(10 a^{2} + 16 a + 5\right)\cdot 19^{27} + \left(9 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 19^{28} + \left(5 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 19^{29} + \left(7 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 19^{30} + \left(16 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 19^{31} + \left(10 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 19^{32} + \left(6 a^{2} + 13 a + 16\right)\cdot 19^{33} + \left(16 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 19^{34} + \left(14 a^{2} + 6 a + 13\right)\cdot 19^{35} + \left(2 a^{2} + 11 a + 18\right)\cdot 19^{36} + \left(2 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 19^{37} + \left(5 a^{2} + 14 a + 4\right)\cdot 19^{38} + 9\cdot 19^{39} + \left(4 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 19^{40} + \left(7 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 19^{41} + \left(12 a^{2} + 13 a + 5\right)\cdot 19^{42} + \left(17 a^{2} + a + 13\right)\cdot 19^{43} + \left(4 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 19^{44} + \left(14 a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 19^{45} + \left(13 a^{2} + 18 a + 4\right)\cdot 19^{46} +O\left(19^{ 47 }\right)$ $r_{ 4 }$ $=$ $11 + 15\cdot 19 + 4\cdot 19^{2} + 16\cdot 19^{3} + 2\cdot 19^{4} + 19^{5} + 6\cdot 19^{6} + 7\cdot 19^{7} + 16\cdot 19^{8} + 16\cdot 19^{9} + 15\cdot 19^{10} + 9\cdot 19^{11} + 10\cdot 19^{12} + 11\cdot 19^{14} + 11\cdot 19^{15} + 5\cdot 19^{16} + 18\cdot 19^{17} + 12\cdot 19^{18} + 17\cdot 19^{19} + 11\cdot 19^{20} + 3\cdot 19^{21} + 2\cdot 19^{22} + 4\cdot 19^{23} + 2\cdot 19^{24} + 14\cdot 19^{25} + 12\cdot 19^{26} + 7\cdot 19^{27} + 19^{28} + 10\cdot 19^{29} + 13\cdot 19^{31} + 12\cdot 19^{32} + 5\cdot 19^{33} + 8\cdot 19^{34} + 5\cdot 19^{35} + 13\cdot 19^{36} + 14\cdot 19^{37} + 4\cdot 19^{38} + 10\cdot 19^{39} + 10\cdot 19^{40} + 9\cdot 19^{41} + 6\cdot 19^{42} + 9\cdot 19^{43} + 10\cdot 19^{44} + 17\cdot 19^{45} + 12\cdot 19^{46} +O\left(19^{ 47 }\right)$ $r_{ 5 }$ $=$ $8 a^{2} + 1 + 6\cdot 19 + \left(12 a^{2} + 18 a + 13\right)\cdot 19^{2} + \left(4 a^{2} + a + 11\right)\cdot 19^{3} + \left(4 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 19^{4} + \left(7 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 19^{5} + \left(8 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 19^{6} + \left(4 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 19^{7} + \left(2 a^{2} + 11 a + 13\right)\cdot 19^{8} + \left(7 a^{2} + 18 a\right)\cdot 19^{9} + \left(13 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 19^{10} + \left(17 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 19^{11} + \left(6 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 19^{12} + \left(3 a^{2} + 5\right)\cdot 19^{13} + \left(6 a^{2} + 10 a\right)\cdot 19^{14} + \left(5 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 19^{15} + \left(3 a^{2} + 18 a + 6\right)\cdot 19^{16} + \left(14 a^{2} + 18 a\right)\cdot 19^{17} + \left(18 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 19^{18} + \left(10 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 19^{19} + \left(10 a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 19^{20} + \left(11 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 19^{21} + \left(13 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 19^{22} + \left(7 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 19^{23} + \left(4 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 19^{24} + \left(4 a^{2} + 9 a + 13\right)\cdot 19^{25} + \left(4 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 19^{26} + \left(2 a^{2} + 13\right)\cdot 19^{27} + \left(5 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 19^{28} + \left(10 a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 19^{29} + \left(17 a^{2} + 7 a + 17\right)\cdot 19^{30} + \left(7 a^{2} + 12 a + 15\right)\cdot 19^{31} + \left(13 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 19^{32} + \left(2 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 19^{33} + \left(11 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 19^{34} + \left(14 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 19^{35} + \left(17 a^{2} + 14 a + 9\right)\cdot 19^{36} + \left(a + 15\right)\cdot 19^{37} + \left(7 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 19^{38} + \left(14 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 19^{39} + \left(8 a^{2} + 16 a + 8\right)\cdot 19^{40} + \left(4 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 19^{41} + \left(9 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 19^{42} + \left(a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 19^{43} + \left(4 a^{2} + 17 a + 9\right)\cdot 19^{44} + \left(13 a^{2} + 17 a + 9\right)\cdot 19^{45} + \left(18 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 19^{46} +O\left(19^{ 47 }\right)$ $r_{ 6 }$ $=$ $8 a^{2} + 16 a + 3 + \left(9 a^{2} + 10 a + 17\right)\cdot 19 + \left(a^{2} + 17 a + 8\right)\cdot 19^{2} + \left(12 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 19^{3} + \left(3 a^{2} + 17 a + 4\right)\cdot 19^{4} + \left(14 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 19^{5} + \left(3 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 19^{6} + \left(18 a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 19^{7} + \left(a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 19^{8} + \left(12 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 19^{9} + \left(2 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 19^{10} + \left(9 a^{2} + 13\right)\cdot 19^{11} + \left(18 a^{2} + a + 13\right)\cdot 19^{12} + \left(15 a^{2} + a + 18\right)\cdot 19^{13} + \left(3 a^{2} + 3 a + 14\right)\cdot 19^{14} + \left(17 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 19^{15} + \left(8 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 19^{16} + \left(4 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 19^{17} + \left(13 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 19^{18} + \left(13 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 19^{19} + \left(13 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 19^{20} + \left(13 a^{2} + 11 a + 18\right)\cdot 19^{21} + \left(4 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 19^{22} + \left(4 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 19^{23} + \left(9 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 19^{24} + \left(13 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 19^{25} + \left(12 a^{2} + 6\right)\cdot 19^{26} + \left(3 a^{2} + 14 a + 12\right)\cdot 19^{27} + \left(10 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 19^{28} + \left(14 a + 15\right)\cdot 19^{29} + \left(18 a^{2} + 18 a + 4\right)\cdot 19^{30} + \left(18 a^{2} + 14 a\right)\cdot 19^{31} + \left(2 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 19^{32} + \left(18 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 19^{33} + \left(8 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 19^{34} + \left(a^{2} + 13 a + 9\right)\cdot 19^{35} + \left(15 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 19^{36} + \left(17 a^{2} + 14 a\right)\cdot 19^{37} + \left(3 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 19^{38} + \left(5 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 19^{39} + \left(12 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 19^{40} + \left(2 a^{2} + a + 8\right)\cdot 19^{41} + \left(13 a^{2} + 18 a + 13\right)\cdot 19^{42} + \left(2 a^{2} + 12 a + 17\right)\cdot 19^{43} + \left(6 a^{2} + 14 a + 7\right)\cdot 19^{44} + \left(11 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 19^{45} + \left(2 a^{2} + 17 a\right)\cdot 19^{46} +O\left(19^{ 47 }\right)$ $r_{ 7 }$ $=$ $4 a^{2} + 5 + \left(5 a^{2} + 14 a + 12\right)\cdot 19 + \left(a^{2} + 12 a + 14\right)\cdot 19^{2} + \left(13 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 19^{3} + \left(16 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 19^{4} + \left(10 a^{2} + 10 a + 14\right)\cdot 19^{5} + \left(a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 19^{6} + \left(9 a^{2} + 8\right)\cdot 19^{7} + \left(15 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 19^{8} + \left(9 a^{2} + 4 a\right)\cdot 19^{9} + \left(a^{2} + 8 a + 17\right)\cdot 19^{10} + \left(3 a^{2} + 18 a + 3\right)\cdot 19^{11} + \left(18 a^{2} + 4 a\right)\cdot 19^{12} + \left(10 a^{2} + 18\right)\cdot 19^{13} + \left(17 a^{2} + a\right)\cdot 19^{14} + \left(8 a + 17\right)\cdot 19^{15} + \left(2 a^{2} + 5\right)\cdot 19^{16} + \left(a^{2} + 18 a + 10\right)\cdot 19^{17} + \left(7 a^{2} + 15 a + 17\right)\cdot 19^{18} + \left(a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 19^{19} + \left(13 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 19^{20} + \left(7 a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 19^{21} + \left(2 a^{2} + 13 a + 8\right)\cdot 19^{22} + \left(6 a + 3\right)\cdot 19^{23} + \left(10 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 19^{24} + \left(4 a^{2} + 14 a + 18\right)\cdot 19^{25} + \left(13 a^{2} + 13\right)\cdot 19^{26} + \left(4 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 19^{27} + \left(18 a^{2} + 17 a + 17\right)\cdot 19^{28} + \left(12 a^{2} + 16 a + 16\right)\cdot 19^{29} + \left(12 a^{2} + 13 a + 15\right)\cdot 19^{30} + \left(2 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 19^{31} + \left(5 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 19^{32} + \left(13 a^{2} + 13 a + 15\right)\cdot 19^{33} + \left(12 a^{2} + a + 5\right)\cdot 19^{34} + \left(2 a^{2} + 18 a + 12\right)\cdot 19^{35} + \left(a^{2} + 17 a + 1\right)\cdot 19^{36} + \left(18 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 19^{37} + \left(9 a^{2} + 13 a + 17\right)\cdot 19^{38} + \left(13 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 19^{39} + \left(2 a^{2} + 8 a\right)\cdot 19^{40} + \left(9 a^{2} + 10 a + 13\right)\cdot 19^{41} + \left(12 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 19^{42} + \left(17 a^{2} + 4 a\right)\cdot 19^{43} + \left(7 a^{2} + 11 a\right)\cdot 19^{44} + \left(12 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 19^{45} + \left(2 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 19^{46} +O\left(19^{ 47 }\right)$ $r_{ 8 }$ $=$ $12 + 12\cdot 19 + 17\cdot 19^{2} + 15\cdot 19^{3} + 9\cdot 19^{4} + 13\cdot 19^{5} + 11\cdot 19^{6} + 16\cdot 19^{7} + 5\cdot 19^{8} + 19^{9} + 2\cdot 19^{10} + 18\cdot 19^{11} + 5\cdot 19^{13} + 4\cdot 19^{14} + 11\cdot 19^{15} + 18\cdot 19^{16} + 14\cdot 19^{17} + 5\cdot 19^{18} + 7\cdot 19^{19} + 10\cdot 19^{20} + 11\cdot 19^{21} + 7\cdot 19^{22} + 12\cdot 19^{24} + 14\cdot 19^{25} + 19^{27} + 6\cdot 19^{29} + 9\cdot 19^{30} + 19^{31} + 14\cdot 19^{32} + 8\cdot 19^{33} + 18\cdot 19^{34} + 16\cdot 19^{35} + 9\cdot 19^{36} + 10\cdot 19^{37} + 3\cdot 19^{38} + 4\cdot 19^{39} + 15\cdot 19^{40} + 9\cdot 19^{41} + 19^{42} + 19^{45} + 10\cdot 19^{46} +O\left(19^{ 47 }\right)$

### Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 8 }$

 Cycle notation $(1,3,7,6,4,5,8)$ $(1,5)(2,4)(3,7)(6,8)$ $(1,2,8,6,3,5)(4,7)$ $(1,6)(2,3)(4,7)(5,8)$ $(1,3)(2,6)(4,8)(5,7)$

### Character values on conjugacy classes

 Size Order Action on $r_1, \ldots, r_{ 8 }$ Character value $1$ $1$ $()$ $7$ $7$ $2$ $(1,6)(2,3)(4,7)(5,8)$ $-1$ $28$ $3$ $(1,8,3)(2,6,5)$ $1$ $28$ $3$ $(1,3,8)(2,5,6)$ $1$ $28$ $6$ $(1,2,8,6,3,5)(4,7)$ $-1$ $28$ $6$ $(1,5,3,6,8,2)(4,7)$ $-1$ $24$ $7$ $(1,3,7,6,4,5,8)$ $0$ $24$ $7$ $(1,6,8,7,5,3,4)$ $0$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.