Properties

Label 7.2e12_73e4.8t36.1c1
Dimension 7
Group $C_2^3:(C_7: C_3)$
Conductor $ 2^{12} \cdot 73^{4}$
Root number 1
Frobenius-Schur indicator 1

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Basic invariants

Dimension:$7$
Group:$C_2^3:(C_7: C_3)$
Conductor:$116319195136= 2^{12} \cdot 73^{4} $
Artin number field: Splitting field of $f= x^{8} - 2 x^{7} - 4 x^{6} - 8 x^{5} + 56 x^{4} - 54 x^{3} + 20 x^{2} - 4 x + 1 $ over $\Q$
Size of Galois orbit: 1
Smallest containing permutation representation: $C_2^3:(C_7: C_3)$
Parity: Even
Determinant: 1.1.1t1.1c1

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 19 }$ to precision 51.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 19 }$: $ x^{3} + 4 x + 17 $
Roots:
$r_{ 1 }$ $=$ $ 12 a^{2} + 11 a + 2 + \left(4 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 19 + \left(4 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 19^{2} + \left(18 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 19^{3} + \left(18 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 19^{4} + \left(10 a^{2} + 13 a + 5\right)\cdot 19^{5} + \left(a^{2} + 9 a\right)\cdot 19^{6} + \left(a^{2} + 18 a + 14\right)\cdot 19^{7} + \left(14 a^{2} + 8\right)\cdot 19^{8} + \left(17 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 19^{9} + \left(14 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 19^{10} + \left(18 a + 6\right)\cdot 19^{11} + \left(15 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 19^{12} + \left(13 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 19^{13} + \left(10 a^{2} + a + 6\right)\cdot 19^{14} + \left(6 a^{2} + 18 a + 14\right)\cdot 19^{15} + \left(8 a^{2} + 18 a + 16\right)\cdot 19^{16} + \left(2 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 19^{17} + \left(12 a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 19^{18} + \left(7 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 19^{19} + \left(10 a^{2} + 15 a + 14\right)\cdot 19^{20} + \left(9 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 19^{21} + \left(10 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 19^{22} + \left(17 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 19^{23} + \left(8 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 19^{24} + \left(9 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 19^{25} + \left(17 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 19^{26} + \left(9 a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 19^{27} + \left(2 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 19^{28} + \left(15 a^{2} + 18 a + 2\right)\cdot 19^{29} + \left(9 a^{2} + 16 a + 7\right)\cdot 19^{30} + \left(3 a^{2} + 5 a + 18\right)\cdot 19^{31} + \left(11 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 19^{32} + \left(4 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 19^{33} + \left(13 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 19^{34} + \left(8 a + 18\right)\cdot 19^{35} + \left(4 a + 4\right)\cdot 19^{36} + \left(13 a^{2} + 17 a + 17\right)\cdot 19^{37} + \left(17 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 19^{38} + \left(11 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 19^{39} + \left(14 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 19^{40} + \left(11 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 19^{41} + \left(13 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 19^{42} + \left(6 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 19^{43} + \left(16 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 19^{44} + \left(8 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 19^{45} + \left(3 a^{2} + a + 14\right)\cdot 19^{46} + \left(9 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 19^{47} + \left(15 a^{2} + a + 7\right)\cdot 19^{48} + \left(4 a^{2} + 13 a + 10\right)\cdot 19^{49} + \left(6 a + 8\right)\cdot 19^{50} +O\left(19^{ 51 }\right)$
$r_{ 2 }$ $=$ $ 2 a^{2} + 17 a + 7 + \left(7 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 19 + \left(11 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 19^{2} + \left(4 a^{2} + 13 a + 17\right)\cdot 19^{3} + \left(9 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 19^{4} + \left(7 a^{2} + 17\right)\cdot 19^{5} + \left(8 a^{2} + 3 a + 18\right)\cdot 19^{6} + \left(9 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 19^{7} + \left(5 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 19^{8} + \left(8 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 19^{9} + \left(15 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 19^{10} + \left(12 a^{2} + 15 a + 16\right)\cdot 19^{11} + \left(6 a^{2} + 18 a + 8\right)\cdot 19^{12} + \left(11 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 19^{13} + \left(a^{2} + 10 a + 16\right)\cdot 19^{14} + \left(14 a^{2} + 17 a + 8\right)\cdot 19^{15} + \left(11 a^{2} + 10 a + 16\right)\cdot 19^{16} + \left(6 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 19^{17} + \left(11 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 19^{18} + \left(3 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 19^{19} + \left(6 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 19^{20} + \left(3 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 19^{21} + \left(18 a^{2} + 18 a + 16\right)\cdot 19^{22} + \left(18 a^{2} + a + 10\right)\cdot 19^{23} + \left(3 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 19^{24} + \left(10 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 19^{25} + \left(10 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 19^{26} + \left(3 a^{2} + 18 a + 13\right)\cdot 19^{27} + \left(5 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 19^{28} + \left(9 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 19^{29} + \left(6 a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 19^{30} + \left(6 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 19^{31} + \left(11 a^{2} + a + 17\right)\cdot 19^{32} + \left(13 a^{2} + 6 a + 17\right)\cdot 19^{33} + \left(13 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 19^{34} + \left(16 a^{2} + 13 a + 12\right)\cdot 19^{35} + \left(5 a^{2} + 18 a + 16\right)\cdot 19^{36} + \left(14 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 19^{37} + \left(4 a^{2} + 2 a\right)\cdot 19^{38} + \left(18 a^{2} + 6 a + 18\right)\cdot 19^{39} + \left(15 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 19^{40} + \left(5 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 19^{41} + \left(11 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 19^{42} + \left(8 a^{2} + 12\right)\cdot 19^{43} + \left(4 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 19^{44} + \left(14 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 19^{45} + \left(4 a^{2} + 10 a + 15\right)\cdot 19^{46} + \left(10 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 19^{47} + \left(8 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 19^{48} + \left(6 a^{2} + 7 a\right)\cdot 19^{49} + \left(12 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 19^{50} +O\left(19^{ 51 }\right)$
$r_{ 3 }$ $=$ $ 17 a^{2} + 14 a + 9 + \left(15 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 19 + \left(6 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 19^{2} + \left(17 a^{2} + 17 a\right)\cdot 19^{3} + \left(11 a^{2} + 15 a + 18\right)\cdot 19^{4} + \left(a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 19^{5} + \left(6 a^{2} + 2 a\right)\cdot 19^{6} + \left(18 a^{2} + 7 a + 18\right)\cdot 19^{7} + \left(2 a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 19^{8} + \left(4 a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 19^{9} + \left(15 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 19^{10} + \left(5 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 19^{11} + \left(16 a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 19^{12} + \left(2 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 19^{13} + \left(a^{2} + 17 a + 15\right)\cdot 19^{14} + \left(14 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 19^{15} + \left(18 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 19^{16} + \left(4 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 19^{17} + \left(a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 19^{18} + \left(8 a^{2} + 13 a + 5\right)\cdot 19^{19} + \left(18 a^{2} + 17 a + 4\right)\cdot 19^{20} + \left(8 a^{2} + 3 a + 18\right)\cdot 19^{21} + \left(13 a^{2} + 18 a + 3\right)\cdot 19^{22} + \left(6 a^{2} + 7 a + 16\right)\cdot 19^{23} + \left(4 a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 19^{24} + \left(13 a^{2} + 11 a + 18\right)\cdot 19^{25} + \left(18 a^{2} + a + 11\right)\cdot 19^{26} + \left(a^{2} + 13 a + 15\right)\cdot 19^{27} + \left(13 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 19^{28} + \left(2 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 19^{29} + \left(17 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 19^{30} + \left(5 a^{2} + 17 a + 4\right)\cdot 19^{31} + \left(13 a + 13\right)\cdot 19^{32} + \left(7 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 19^{33} + \left(16 a^{2} + 17 a + 9\right)\cdot 19^{34} + \left(2 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 19^{35} + \left(10 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 19^{36} + \left(5 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 19^{37} + \left(5 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 19^{38} + \left(11 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 19^{39} + \left(11 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 19^{40} + \left(4 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 19^{41} + \left(5 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 19^{42} + \left(5 a^{2} + 5 a + 16\right)\cdot 19^{43} + \left(10 a^{2} + 11 a + 17\right)\cdot 19^{44} + \left(13 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 19^{45} + \left(16 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 19^{46} + \left(17 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 19^{47} + \left(2 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 19^{48} + \left(4 a^{2} + 18 a + 13\right)\cdot 19^{49} + \left(14 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 19^{50} +O\left(19^{ 51 }\right)$
$r_{ 4 }$ $=$ $ 16 + 10\cdot 19 + 18\cdot 19^{2} + 15\cdot 19^{3} + 13\cdot 19^{4} + 8\cdot 19^{5} + 3\cdot 19^{6} + 6\cdot 19^{7} + 7\cdot 19^{8} + 6\cdot 19^{9} + 8\cdot 19^{11} + 14\cdot 19^{12} + 13\cdot 19^{13} + 3\cdot 19^{14} + 4\cdot 19^{15} + 10\cdot 19^{16} + 8\cdot 19^{17} + 12\cdot 19^{18} + 9\cdot 19^{19} + 14\cdot 19^{20} + 5\cdot 19^{21} + 17\cdot 19^{22} + 8\cdot 19^{23} + 12\cdot 19^{24} + 8\cdot 19^{25} + 10\cdot 19^{26} + 4\cdot 19^{27} + 5\cdot 19^{28} + 5\cdot 19^{29} + 8\cdot 19^{30} + 3\cdot 19^{31} + 3\cdot 19^{32} + 3\cdot 19^{33} + 10\cdot 19^{34} + 14\cdot 19^{35} + 5\cdot 19^{36} + 6\cdot 19^{37} + 11\cdot 19^{38} + 17\cdot 19^{39} + 16\cdot 19^{40} + 9\cdot 19^{41} + 2\cdot 19^{42} + 4\cdot 19^{43} + 13\cdot 19^{44} + 6\cdot 19^{45} + 13\cdot 19^{46} + 17\cdot 19^{47} + 17\cdot 19^{48} + 6\cdot 19^{49} + 18\cdot 19^{50} +O\left(19^{ 51 }\right)$
$r_{ 5 }$ $=$ $ 15 a + 8 + \left(15 a^{2} + 16 a + 3\right)\cdot 19 + \left(15 a^{2} + 15 a + 10\right)\cdot 19^{2} + \left(6 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 19^{3} + 6 a^{2}19^{4} + \left(5 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 19^{5} + \left(8 a^{2} + 5 a + 18\right)\cdot 19^{6} + \left(3 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 19^{7} + \left(9 a^{2} + 9 a + 14\right)\cdot 19^{8} + \left(9 a^{2} + 15\right)\cdot 19^{9} + \left(13 a + 14\right)\cdot 19^{10} + \left(9 a^{2} + 15 a + 2\right)\cdot 19^{11} + \left(10 a^{2} + a + 18\right)\cdot 19^{12} + \left(6 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 19^{13} + \left(12 a^{2} + a + 17\right)\cdot 19^{14} + \left(6 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 19^{15} + \left(15 a^{2} + 10\right)\cdot 19^{16} + \left(12 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 19^{17} + \left(7 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 19^{18} + 9 a\cdot 19^{19} + \left(9 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 19^{20} + \left(a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 19^{21} + \left(7 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 19^{22} + \left(6 a^{2} + 6 a + 17\right)\cdot 19^{23} + \left(16 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 19^{24} + \left(3 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 19^{25} + \left(17 a^{2} + 11 a + 16\right)\cdot 19^{26} + \left(8 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 19^{27} + \left(9 a^{2} + 17 a + 1\right)\cdot 19^{28} + \left(3 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 19^{29} + \left(2 a^{2} + 17 a + 18\right)\cdot 19^{30} + \left(16 a^{2} + a + 13\right)\cdot 19^{31} + \left(14 a^{2} + 5 a + 18\right)\cdot 19^{32} + \left(16 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 19^{33} + \left(5 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 19^{34} + \left(8 a^{2} + 18 a\right)\cdot 19^{35} + \left(16 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 19^{36} + \left(3 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 19^{37} + \left(17 a^{2} + 17 a + 10\right)\cdot 19^{38} + \left(10 a^{2} + 16\right)\cdot 19^{39} + \left(15 a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 19^{40} + \left(7 a^{2} + 18 a + 14\right)\cdot 19^{41} + \left(a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 19^{42} + \left(16 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 19^{43} + \left(9 a^{2} + 11 a + 17\right)\cdot 19^{44} + \left(3 a^{2} + 11 a + 17\right)\cdot 19^{45} + \left(16 a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 19^{46} + \left(3 a^{2} + 17 a + 5\right)\cdot 19^{47} + \left(13 a^{2} + 8 a + 14\right)\cdot 19^{48} + \left(6 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 19^{49} + \left(6 a^{2} + 12\right)\cdot 19^{50} +O\left(19^{ 51 }\right)$
$r_{ 6 }$ $=$ $ 7 a^{2} + 12 a + 14 + \left(18 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 19 + \left(17 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 19^{2} + \left(12 a^{2} + 15 a + 6\right)\cdot 19^{3} + \left(12 a^{2} + 5 a + 17\right)\cdot 19^{4} + \left(2 a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 19^{5} + \left(9 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 19^{6} + \left(14 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 19^{7} + \left(14 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 19^{8} + \left(10 a^{2} + 12 a\right)\cdot 19^{9} + \left(3 a^{2} + 18 a + 4\right)\cdot 19^{10} + \left(9 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 19^{11} + \left(12 a^{2} + 13 a + 17\right)\cdot 19^{12} + \left(17 a^{2} + 8 a\right)\cdot 19^{13} + \left(14 a^{2} + 16 a + 5\right)\cdot 19^{14} + \left(5 a^{2} + 16 a + 12\right)\cdot 19^{15} + \left(14 a^{2} + 18 a + 13\right)\cdot 19^{16} + \left(3 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 19^{17} + \left(18 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 19^{18} + \left(10 a^{2} + 5 a + 16\right)\cdot 19^{19} + \left(18 a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 19^{20} + \left(7 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 19^{21} + \left(a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 19^{22} + \left(14 a^{2} + 10 a\right)\cdot 19^{23} + \left(12 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 19^{24} + \left(5 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 19^{25} + \left(3 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 19^{26} + \left(2 a + 2\right)\cdot 19^{27} + \left(7 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 19^{28} + \left(6 a + 7\right)\cdot 19^{29} + \left(7 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 19^{30} + \left(18 a^{2} + 11 a + 13\right)\cdot 19^{31} + \left(11 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 19^{32} + \left(16 a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 19^{33} + \left(18 a^{2} + 18 a + 6\right)\cdot 19^{34} + \left(9 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 19^{35} + \left(2 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 19^{36} + \left(2 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 19^{37} + \left(3 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 19^{38} + \left(15 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 19^{39} + \left(7 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 19^{40} + \left(18 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 19^{41} + \left(3 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 19^{42} + \left(15 a^{2} + 17 a + 18\right)\cdot 19^{43} + \left(11 a^{2} + 14 a + 9\right)\cdot 19^{44} + \left(6 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 19^{45} + \left(18 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 19^{46} + \left(5 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 19^{47} + \left(9 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 19^{48} + \left(7 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 19^{49} + \left(12 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 19^{50} +O\left(19^{ 51 }\right)$
$r_{ 7 }$ $=$ $ 14 + 17\cdot 19 + 7\cdot 19^{2} + 14\cdot 19^{3} + 13\cdot 19^{5} + 18\cdot 19^{6} + 14\cdot 19^{7} + 13\cdot 19^{8} + 10\cdot 19^{9} + 16\cdot 19^{10} + 13\cdot 19^{11} + 3\cdot 19^{12} + 4\cdot 19^{13} + 6\cdot 19^{14} + 15\cdot 19^{15} + 12\cdot 19^{16} + 16\cdot 19^{17} + 15\cdot 19^{18} + 19^{19} + 9\cdot 19^{20} + 13\cdot 19^{21} + 4\cdot 19^{22} + 12\cdot 19^{23} + 17\cdot 19^{24} + 18\cdot 19^{25} + 15\cdot 19^{27} + 5\cdot 19^{28} + 16\cdot 19^{29} + 18\cdot 19^{30} + 2\cdot 19^{31} + 3\cdot 19^{32} + 14\cdot 19^{34} + 12\cdot 19^{35} + 14\cdot 19^{36} + 17\cdot 19^{38} + 16\cdot 19^{39} + 5\cdot 19^{40} + 12\cdot 19^{42} + 17\cdot 19^{43} + 3\cdot 19^{44} + 15\cdot 19^{45} + 18\cdot 19^{46} + 15\cdot 19^{48} + 11\cdot 19^{49} +O\left(19^{ 51 }\right)$
$r_{ 8 }$ $=$ $ 7 a + 8 + \left(15 a^{2} + 16 a + 16\right)\cdot 19 + \left(2 a + 18\right)\cdot 19^{2} + \left(16 a^{2} + 7 a + 15\right)\cdot 19^{3} + \left(16 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 19^{4} + \left(9 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 19^{5} + \left(4 a^{2} + 13 a + 8\right)\cdot 19^{6} + \left(10 a^{2} + a + 15\right)\cdot 19^{7} + \left(10 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 19^{8} + \left(6 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 19^{9} + \left(7 a^{2} + 5 a\right)\cdot 19^{10} + \left(14 a + 15\right)\cdot 19^{11} + \left(15 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 19^{12} + \left(4 a^{2} + 17 a + 2\right)\cdot 19^{13} + \left(16 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 19^{14} + \left(9 a^{2} + 14 a + 10\right)\cdot 19^{15} + \left(7 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 19^{16} + \left(7 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 19^{17} + \left(6 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 19^{18} + \left(7 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 19^{19} + \left(13 a^{2} + 18 a + 3\right)\cdot 19^{20} + \left(6 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 19^{21} + \left(6 a^{2} + a + 16\right)\cdot 19^{22} + \left(12 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 19^{23} + \left(10 a^{2} + 14 a\right)\cdot 19^{24} + \left(14 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 19^{25} + \left(8 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 19^{26} + \left(13 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 19^{27} + \left(17 a + 3\right)\cdot 19^{28} + \left(7 a^{2} + 12 a + 18\right)\cdot 19^{29} + \left(14 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 19^{30} + \left(6 a^{2} + 18 a + 13\right)\cdot 19^{31} + \left(7 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 19^{32} + \left(17 a^{2} + 10 a + 15\right)\cdot 19^{33} + \left(7 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 19^{34} + \left(18 a^{2} + 2 a + 17\right)\cdot 19^{35} + \left(2 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 19^{36} + \left(18 a^{2} + 17 a + 6\right)\cdot 19^{37} + \left(8 a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 19^{38} + \left(8 a^{2} + 5 a + 17\right)\cdot 19^{39} + \left(10 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 19^{40} + \left(8 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 19^{41} + \left(2 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 19^{42} + \left(5 a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 19^{43} + \left(4 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 19^{44} + \left(10 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 19^{45} + \left(16 a^{2} + 18 a + 15\right)\cdot 19^{46} + \left(9 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 19^{47} + \left(7 a^{2} + a + 4\right)\cdot 19^{48} + \left(8 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 19^{49} + \left(11 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 19^{50} +O\left(19^{ 51 }\right)$

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 8 }$

Cycle notation
$(1,2)(3,7)(4,6)(5,8)$
$(2,8,6,5,3,7,4)$
$(1,5)(2,8)(3,4)(6,7)$
$(1,4)(2,7,5,6,8,3)$
$(1,6)(2,4)(3,8)(5,7)$

Character values on conjugacy classes

SizeOrderAction on $r_1, \ldots, r_{ 8 }$ Character value
$1$$1$$()$$7$
$7$$2$$(1,4)(2,6)(3,5)(7,8)$$-1$
$28$$3$$(2,5,8)(3,7,6)$$1$
$28$$3$$(2,8,5)(3,6,7)$$1$
$28$$6$$(1,4)(2,7,5,6,8,3)$$-1$
$28$$6$$(1,4)(2,3,8,6,5,7)$$-1$
$24$$7$$(2,8,6,5,3,7,4)$$0$
$24$$7$$(2,5,4,6,7,8,3)$$0$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.