Properties

Label 7.29e6.8t25.1c1
Dimension 7
Group $C_2^3:C_7$
Conductor $ 29^{6}$
Root number 1
Frobenius-Schur indicator 1

Related objects

Learn more about

Basic invariants

Dimension:$7$
Group:$C_2^3:C_7$
Conductor:$594823321= 29^{6} $
Artin number field: Splitting field of $f= x^{8} - 3 x^{7} + 9 x^{6} - 15 x^{5} + 23 x^{4} - 21 x^{3} + 18 x^{2} - 7 x + 2 $ over $\Q$
Size of Galois orbit: 1
Smallest containing permutation representation: $C_2^3:C_7$
Parity: Even
Determinant: 1.1.1t1.1c1

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 11 }$ to precision 14.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 11 }$: $ x^{7} + 4 x + 9 $
Roots:
$r_{ 1 }$ $=$ $ 10 + 4\cdot 11 + 10\cdot 11^{2} + 10\cdot 11^{3} + 8\cdot 11^{4} + 3\cdot 11^{5} + 6\cdot 11^{6} + 11^{7} + 10\cdot 11^{8} + 4\cdot 11^{9} + 7\cdot 11^{10} + 4\cdot 11^{11} + 7\cdot 11^{13} +O\left(11^{ 14 }\right)$
$r_{ 2 }$ $=$ $ a^{6} + 10 a^{5} + 6 a^{4} + 4 a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 4 + \left(9 a^{6} + 8 a^{5} + 8 a^{4} + 5 a^{3} + 3 a^{2} + a + 5\right)\cdot 11 + \left(8 a^{6} + a^{5} + 8 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a\right)\cdot 11^{2} + \left(4 a^{6} + 3 a^{5} + 8 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 11^{3} + \left(3 a^{6} + 8 a^{5} + 8 a^{4} + 8 a^{2} + a + 2\right)\cdot 11^{4} + \left(3 a^{6} + 6 a^{5} + 5 a^{4} + 4 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{5} + \left(8 a^{6} + 3 a^{5} + 7 a^{4} + 6 a^{3} + 6 a^{2} + 9 a\right)\cdot 11^{6} + \left(3 a^{6} + 10 a^{5} + a^{4} + 3 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a\right)\cdot 11^{7} + \left(5 a^{6} + 2 a^{5} + 2 a^{4} + 8 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 11^{8} + \left(7 a^{6} + 4 a^{5} + 10 a^{4} + 4 a^{3} + 5 a + 10\right)\cdot 11^{9} + \left(a^{6} + 9 a^{5} + a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 11^{10} + \left(8 a^{6} + a^{5} + 4 a^{4} + 2 a^{3} + 5 a^{2} + a + 9\right)\cdot 11^{11} + \left(a^{6} + 5 a^{5} + 4 a^{4} + 9 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 11^{12} + \left(4 a^{6} + 4 a^{5} + 4 a^{4} + 6 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 11^{13} +O\left(11^{ 14 }\right)$
$r_{ 3 }$ $=$ $ 2 a^{6} + 9 a^{5} + 6 a^{4} + 7 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 9 + \left(4 a^{6} + 7 a^{5} + 5 a^{4} + a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 11 + \left(10 a^{6} + 10 a^{5} + 3 a^{4} + a^{3} + 2 a + 10\right)\cdot 11^{2} + \left(5 a^{6} + 4 a^{5} + 7 a^{4} + 6 a^{3} + a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 11^{3} + \left(2 a^{5} + 2 a^{4} + 7 a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{4} + \left(8 a^{5} + 9 a^{4} + a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 11^{5} + \left(5 a^{6} + 2 a^{5} + 3 a^{4} + 8 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a\right)\cdot 11^{6} + \left(8 a^{6} + a^{5} + 9 a^{4} + 8 a^{3} + a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 11^{7} + \left(7 a^{6} + 10 a^{5} + 7 a^{4} + 2 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 11^{8} + \left(4 a^{6} + a^{5} + 5 a^{4} + 9 a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 11^{9} + \left(a^{6} + 7 a^{5} + 9 a^{4} + 10 a^{3} + a^{2} + 10\right)\cdot 11^{10} + \left(2 a^{6} + a^{5} + 5 a^{4} + 8 a^{3} + a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 11^{11} + \left(2 a^{6} + 9 a^{5} + 10 a^{4} + 6 a^{3} + a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 11^{12} + \left(9 a^{6} + a^{5} + 7 a^{4} + 8 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 11^{13} +O\left(11^{ 14 }\right)$
$r_{ 4 }$ $=$ $ 3 a^{6} + 10 a^{5} + 5 a^{4} + 3 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 3 + \left(6 a^{6} + 9 a^{5} + a^{4} + 5 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 11 + \left(a^{6} + 9 a^{5} + a^{4} + 9 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a\right)\cdot 11^{2} + \left(9 a^{6} + 6 a^{5} + 9 a^{4} + 5 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 11^{3} + \left(9 a^{6} + a^{4} + 9 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 11^{4} + \left(5 a^{6} + 2 a^{4} + 3 a^{3} + 8 a + 8\right)\cdot 11^{5} + \left(10 a^{6} + 10 a^{5} + 7 a^{4} + 9 a^{3} + 10 a^{2} + 3\right)\cdot 11^{6} + \left(4 a^{6} + 6 a^{5} + 3 a^{4} + 8 a^{3} + a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 11^{7} + \left(3 a^{6} + 2 a^{5} + 9 a^{4} + a^{3} + 9 a + 5\right)\cdot 11^{8} + \left(5 a^{6} + 5 a^{5} + 6 a^{4} + 10 a^{3} + 5 a^{2} + 6\right)\cdot 11^{9} + \left(a^{6} + 8 a^{5} + 4 a^{4} + 2 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 11^{10} + \left(2 a^{6} + 10 a^{5} + 4 a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 11^{11} + \left(4 a^{6} + 8 a^{5} + 4 a^{4} + 8 a^{3} + 5 a^{2} + 3\right)\cdot 11^{12} + \left(6 a^{6} + 3 a^{5} + a^{4} + 4 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 11^{13} +O\left(11^{ 14 }\right)$
$r_{ 5 }$ $=$ $ 9 a^{6} + 2 a^{4} + 9 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + \left(10 a^{6} + 8 a^{4} + 10 a^{3} + 7 a^{2} + a + 5\right)\cdot 11 + \left(6 a^{6} + 10 a^{4} + a^{3} + a^{2} + 6 a\right)\cdot 11^{2} + \left(6 a^{6} + 3 a^{5} + 9 a^{4} + 10 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 11^{3} + \left(5 a^{6} + 9 a^{5} + 3 a^{4} + 4 a^{3} + 2 a\right)\cdot 11^{4} + \left(3 a^{6} + 8 a^{5} + 7 a^{4} + 3 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 11^{5} + \left(2 a^{6} + 7 a^{5} + 9 a^{4} + 3 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 11^{6} + \left(5 a^{6} + 2 a^{5} + 7 a^{4} + 2 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 11^{7} + \left(5 a^{6} + 7 a^{5} + 9 a^{4} + 6 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 11^{8} + \left(a^{6} + 9 a^{5} + 4 a^{4} + 10 a^{2} + 1\right)\cdot 11^{9} + \left(6 a^{6} + 5 a^{5} + a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 11^{10} + \left(a^{6} + 10 a^{5} + 10 a^{4} + 3 a^{3} + 6 a^{2} + 3\right)\cdot 11^{11} + \left(9 a^{6} + 9 a^{5} + 5 a^{4} + 7 a^{3} + a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 11^{12} + \left(8 a^{5} + 2 a^{4} + 5 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 11^{13} +O\left(11^{ 14 }\right)$
$r_{ 6 }$ $=$ $ 9 a^{6} + 3 a^{5} + 2 a^{4} + 7 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + \left(2 a^{6} + 6 a^{5} + 10 a^{4} + 3 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11 + \left(4 a^{6} + 4 a^{5} + 10 a^{4} + 4 a^{3} + 10 a + 6\right)\cdot 11^{2} + \left(8 a^{6} + 3 a^{5} + 2 a^{4} + 4 a^{3} + 4 a^{2} + 3\right)\cdot 11^{3} + \left(2 a^{6} + 9 a^{5} + 3 a^{4} + 3 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a\right)\cdot 11^{4} + \left(10 a^{6} + 10 a^{5} + 6 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a\right)\cdot 11^{5} + \left(a^{6} + 6 a^{5} + 3 a^{4} + 6 a^{3} + a^{2} + 1\right)\cdot 11^{6} + \left(6 a^{6} + 6 a^{5} + 3 a^{4} + a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 11^{7} + \left(a^{6} + 6 a^{5} + 7 a^{4} + 3 a^{3} + 3 a^{2} + 10\right)\cdot 11^{8} + \left(4 a^{6} + 4 a^{5} + 2 a^{4} + 2 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a\right)\cdot 11^{9} + \left(4 a^{6} + 4 a^{5} + 5 a^{4} + 9 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 11^{10} + \left(5 a^{6} + 2 a^{5} + 9 a^{4} + 10 a^{3} + 7 a^{2}\right)\cdot 11^{11} + \left(10 a^{6} + 4 a^{5} + 6 a^{3} + a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 11^{12} + \left(8 a^{6} + 8 a^{4} + 3 a^{3} + 5 a + 4\right)\cdot 11^{13} +O\left(11^{ 14 }\right)$
$r_{ 7 }$ $=$ $ 10 a^{6} + 6 a^{5} + 4 a^{4} + 5 a^{3} + a + 5 + \left(5 a^{6} + a^{5} + 5 a^{4} + 9 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 11 + \left(4 a^{6} + 6 a^{5} + 8 a^{4} + 5 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 11^{2} + \left(a^{6} + 2 a^{5} + 10 a^{4} + 5 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a\right)\cdot 11^{3} + \left(7 a^{6} + 2 a^{5} + 5 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{4} + \left(4 a^{6} + 5 a^{5} + 3 a^{4} + 4 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 11^{5} + \left(2 a^{6} + 8 a^{5} + a^{4} + 7 a^{3} + a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 11^{6} + \left(9 a^{6} + 6 a^{5} + 10 a^{4} + 5 a^{3} + 6 a^{2} + a + 9\right)\cdot 11^{7} + \left(6 a^{6} + 5 a^{5} + 9 a^{4} + 7 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 11^{8} + \left(5 a^{6} + a^{5} + 5 a^{4} + 6 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 11^{9} + \left(10 a^{6} + a^{5} + 4 a^{4} + a^{3} + 9 a^{2} + 1\right)\cdot 11^{10} + \left(4 a^{6} + a^{5} + 9 a^{4} + 8 a^{3} + a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 11^{11} + \left(7 a^{6} + 5 a^{5} + 5 a^{4} + 7 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 11^{12} + \left(9 a^{6} + 10 a^{5} + 4 a^{4} + 3 a^{3} + 9 a^{2} + 6 a\right)\cdot 11^{13} +O\left(11^{ 14 }\right)$
$r_{ 8 }$ $=$ $ 10 a^{6} + 6 a^{5} + 8 a^{4} + 9 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 5 + \left(4 a^{6} + 9 a^{5} + 4 a^{4} + 7 a^{3} + 5 a^{2} + a\right)\cdot 11 + \left(7 a^{6} + 10 a^{5} + 8 a^{4} + a^{3} + 7 a^{2} + 2\right)\cdot 11^{2} + \left(7 a^{6} + 8 a^{5} + 3 a^{4} + 3 a^{3} + 5 a^{2} + a + 1\right)\cdot 11^{3} + \left(3 a^{6} + a^{4} + a^{3} + 7 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 11^{4} + \left(5 a^{6} + 4 a^{5} + 5 a^{4} + 9 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a\right)\cdot 11^{5} + \left(2 a^{6} + 4 a^{5} + 2 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 11^{6} + \left(6 a^{6} + 9 a^{5} + 8 a^{4} + 4 a^{3} + 10 a^{2} + 8\right)\cdot 11^{7} + \left(2 a^{6} + 8 a^{5} + 8 a^{4} + 3 a^{3} + a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 11^{8} + \left(4 a^{6} + 5 a^{5} + 7 a^{4} + 10 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 11^{9} + \left(7 a^{6} + 7 a^{5} + 7 a^{4} + 5 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a\right)\cdot 11^{10} + \left(8 a^{6} + 4 a^{5} + 9 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 11^{11} + \left(8 a^{6} + a^{5} + a^{4} + 8 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 11^{12} + \left(4 a^{6} + 3 a^{5} + 4 a^{4} + 10 a^{3} + a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 11^{13} +O\left(11^{ 14 }\right)$

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 8 }$

Cycle notation
$(1,2)(3,6)(4,5)(7,8)$
$(1,5,6,7,8,2,3)$
$(1,8)(2,7)(3,4)(5,6)$
$(1,4)(2,5)(3,8)(6,7)$

Character values on conjugacy classes

SizeOrderAction on $r_1, \ldots, r_{ 8 }$ Character value
$1$$1$$()$$7$
$7$$2$$(1,8)(2,7)(3,4)(5,6)$$-1$
$8$$7$$(1,7,8,3,4,2,6)$$0$
$8$$7$$(1,8,4,6,7,3,2)$$0$
$8$$7$$(1,3,6,8,2,7,4)$$0$
$8$$7$$(1,4,7,2,8,6,3)$$0$
$8$$7$$(1,2,3,7,6,4,8)$$0$
$8$$7$$(1,6,2,4,3,8,7)$$0$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.