↑

Properties

Label	7.594823321.8t25.a
Dimension	$7$
Group	$C_2^3:C_7$
Conductor	$594823321$
Indicator	$1$

Related objects

Downloads

Underlying data

Learn more

Basic invariants

Dimension:	$7$
Group:	$C_2^3:C_7$
Conductor:	\(594823321\)\(\medspace = 29^{6} \)
Frobenius-Schur indicator:	$1$
Root number:	$1$
Artin number field:	Galois closure of 8.0.594823321.1
Galois orbit size:	$1$
Smallest permutation container:	$C_2^3:C_7$
Parity:	even
Projective image:	$F_8$
Projective field:	Galois closure of 8.0.594823321.1

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 11 }$ to precision 10.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 11 }$: \( x^{7} + 4x + 9 \)

Toggle raw display

Roots:

$r_{ 1 }$	$=$	\( 10 + 4\cdot 11 + 10\cdot 11^{2} + 10\cdot 11^{3} + 8\cdot 11^{4} + 3\cdot 11^{5} + 6\cdot 11^{6} + 11^{7} + 10\cdot 11^{8} + 4\cdot 11^{9} +O(11^{10})\) 10 + 411 + 1011^2 + 1011^3 + 811^4 + 311^5 + 611^6 + 11^7 + 1011^8 + 411^9+O(11^10)
$r_{ 2 }$	$=$	\( a^{6} + 10 a^{5} + 6 a^{4} + 4 a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 4 + \left(9 a^{6} + 8 a^{5} + 8 a^{4} + 5 a^{3} + 3 a^{2} + a + 5\right)\cdot 11 + \left(8 a^{6} + a^{5} + 8 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a\right)\cdot 11^{2} + \left(4 a^{6} + 3 a^{5} + 8 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 11^{3} + \left(3 a^{6} + 8 a^{5} + 8 a^{4} + 8 a^{2} + a + 2\right)\cdot 11^{4} + \left(3 a^{6} + 6 a^{5} + 5 a^{4} + 4 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{5} + \left(8 a^{6} + 3 a^{5} + 7 a^{4} + 6 a^{3} + 6 a^{2} + 9 a\right)\cdot 11^{6} + \left(3 a^{6} + 10 a^{5} + a^{4} + 3 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a\right)\cdot 11^{7} + \left(5 a^{6} + 2 a^{5} + 2 a^{4} + 8 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 11^{8} + \left(7 a^{6} + 4 a^{5} + 10 a^{4} + 4 a^{3} + 5 a + 10\right)\cdot 11^{9} +O(11^{10})\) a^6 + 10a^5 + 6a^4 + 4a^3 + 6a^2 + 2a + 4 + (9a^6 + 8a^5 + 8a^4 + 5a^3 + 3a^2 + a + 5)11 + (8a^6 + a^5 + 8a^3 + 5a^2 + 6a)11^2 + (4a^6 + 3a^5 + 8a^3 + 10a^2 + 10a + 7)11^3 + (3a^6 + 8a^5 + 8a^4 + 8a^2 + a + 2)11^4 + (3a^6 + 6a^5 + 5a^4 + 4a^3 + 4a^2 + 2a + 9)11^5 + (8a^6 + 3a^5 + 7a^4 + 6a^3 + 6a^2 + 9a)11^6 + (3a^6 + 10a^5 + a^4 + 3a^3 + 5a^2 + 8a)11^7 + (5a^6 + 2a^5 + 2a^4 + 8a^3 + 2a^2 + 6a + 9)11^8 + (7a^6 + 4a^5 + 10a^4 + 4a^3 + 5a + 10)11^9+O(11^10)
$r_{ 3 }$	$=$	\( 2 a^{6} + 9 a^{5} + 6 a^{4} + 7 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 9 + \left(4 a^{6} + 7 a^{5} + 5 a^{4} + a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 11 + \left(10 a^{6} + 10 a^{5} + 3 a^{4} + a^{3} + 2 a + 10\right)\cdot 11^{2} + \left(5 a^{6} + 4 a^{5} + 7 a^{4} + 6 a^{3} + a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 11^{3} + \left(2 a^{5} + 2 a^{4} + 7 a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{4} + \left(8 a^{5} + 9 a^{4} + a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 11^{5} + \left(5 a^{6} + 2 a^{5} + 3 a^{4} + 8 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a\right)\cdot 11^{6} + \left(8 a^{6} + a^{5} + 9 a^{4} + 8 a^{3} + a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 11^{7} + \left(7 a^{6} + 10 a^{5} + 7 a^{4} + 2 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 11^{8} + \left(4 a^{6} + a^{5} + 5 a^{4} + 9 a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 11^{9} +O(11^{10})\) 2a^6 + 9a^5 + 6a^4 + 7a^3 + 2a^2 + 7a + 9 + (4a^6 + 7a^5 + 5a^4 + a^3 + 2a^2 + 7a + 5)11 + (10a^6 + 10a^5 + 3a^4 + a^3 + 2a + 10)11^2 + (5a^6 + 4a^5 + 7a^4 + 6a^3 + a^2 + 4a + 10)11^3 + (2a^5 + 2a^4 + 7a^3 + 6a^2 + 2a + 9)11^4 + (8a^5 + 9a^4 + a^3 + 6a^2 + 4a + 5)11^5 + (5a^6 + 2a^5 + 3a^4 + 8a^3 + 9a^2 + 10a)11^6 + (8a^6 + a^5 + 9a^4 + 8a^3 + a^2 + 2a + 2)11^7 + (7a^6 + 10a^5 + 7a^4 + 2a^3 + 9a^2 + 3a + 3)11^8 + (4a^6 + a^5 + 5a^4 + 9a^3 + 7a^2 + 3a + 1)*11^9+O(11^10)
$r_{ 4 }$	$=$	\( 3 a^{6} + 10 a^{5} + 5 a^{4} + 3 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 3 + \left(6 a^{6} + 9 a^{5} + a^{4} + 5 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 11 + \left(a^{6} + 9 a^{5} + a^{4} + 9 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a\right)\cdot 11^{2} + \left(9 a^{6} + 6 a^{5} + 9 a^{4} + 5 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 11^{3} + \left(9 a^{6} + a^{4} + 9 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 11^{4} + \left(5 a^{6} + 2 a^{4} + 3 a^{3} + 8 a + 8\right)\cdot 11^{5} + \left(10 a^{6} + 10 a^{5} + 7 a^{4} + 9 a^{3} + 10 a^{2} + 3\right)\cdot 11^{6} + \left(4 a^{6} + 6 a^{5} + 3 a^{4} + 8 a^{3} + a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 11^{7} + \left(3 a^{6} + 2 a^{5} + 9 a^{4} + a^{3} + 9 a + 5\right)\cdot 11^{8} + \left(5 a^{6} + 5 a^{5} + 6 a^{4} + 10 a^{3} + 5 a^{2} + 6\right)\cdot 11^{9} +O(11^{10})\) 3a^6 + 10a^5 + 5a^4 + 3a^3 + 4a^2 + 7a + 3 + (6a^6 + 9a^5 + a^4 + 5a^3 + 3a^2 + 2a + 8)11 + (a^6 + 9a^5 + a^4 + 9a^3 + 7a^2 + 4a)11^2 + (9a^6 + 6a^5 + 9a^4 + 5a^3 + 9a^2 + 5a + 3)11^3 + (9a^6 + a^4 + 9a^3 + 2a^2 + 8a + 7)11^4 + (5a^6 + 2a^4 + 3a^3 + 8a + 8)11^5 + (10a^6 + 10a^5 + 7a^4 + 9a^3 + 10a^2 + 3)11^6 + (4a^6 + 6a^5 + 3a^4 + 8a^3 + a^2 + 9a + 7)11^7 + (3a^6 + 2a^5 + 9a^4 + a^3 + 9a + 5)11^8 + (5a^6 + 5a^5 + 6a^4 + 10a^3 + 5a^2 + 6)*11^9+O(11^10)
$r_{ 5 }$	$=$	\( 9 a^{6} + 2 a^{4} + 9 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + \left(10 a^{6} + 8 a^{4} + 10 a^{3} + 7 a^{2} + a + 5\right)\cdot 11 + \left(6 a^{6} + 10 a^{4} + a^{3} + a^{2} + 6 a\right)\cdot 11^{2} + \left(6 a^{6} + 3 a^{5} + 9 a^{4} + 10 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 11^{3} + \left(5 a^{6} + 9 a^{5} + 3 a^{4} + 4 a^{3} + 2 a\right)\cdot 11^{4} + \left(3 a^{6} + 8 a^{5} + 7 a^{4} + 3 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 11^{5} + \left(2 a^{6} + 7 a^{5} + 9 a^{4} + 3 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 11^{6} + \left(5 a^{6} + 2 a^{5} + 7 a^{4} + 2 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 11^{7} + \left(5 a^{6} + 7 a^{5} + 9 a^{4} + 6 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 11^{8} + \left(a^{6} + 9 a^{5} + 4 a^{4} + 10 a^{2} + 1\right)\cdot 11^{9} +O(11^{10})\) 9a^6 + 2a^4 + 9a^3 + 10a^2 + 7a + (10a^6 + 8a^4 + 10a^3 + 7a^2 + a + 5)11 + (6a^6 + 10a^4 + a^3 + a^2 + 6a)11^2 + (6a^6 + 3a^5 + 9a^4 + 10a^3 + 9a^2 + 2a + 7)11^3 + (5a^6 + 9a^5 + 3a^4 + 4a^3 + 2a)11^4 + (3a^6 + 8a^5 + 7a^4 + 3a^3 + 8a^2 + 8a + 2)11^5 + (2a^6 + 7a^5 + 9a^4 + 3a^3 + 7a^2 + 8a + 10)11^6 + (5a^6 + 2a^5 + 7a^4 + 2a^2 + 3a + 1)11^7 + (5a^6 + 7a^5 + 9a^4 + 6a^3 + 8a^2 + 4a + 3)11^8 + (a^6 + 9a^5 + 4a^4 + 10a^2 + 1)11^9+O(11^10)
$r_{ 6 }$	$=$	\( 9 a^{6} + 3 a^{5} + 2 a^{4} + 7 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + \left(2 a^{6} + 6 a^{5} + 10 a^{4} + 3 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11 + \left(4 a^{6} + 4 a^{5} + 10 a^{4} + 4 a^{3} + 10 a + 6\right)\cdot 11^{2} + \left(8 a^{6} + 3 a^{5} + 2 a^{4} + 4 a^{3} + 4 a^{2} + 3\right)\cdot 11^{3} + \left(2 a^{6} + 9 a^{5} + 3 a^{4} + 3 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a\right)\cdot 11^{4} + \left(10 a^{6} + 10 a^{5} + 6 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a\right)\cdot 11^{5} + \left(a^{6} + 6 a^{5} + 3 a^{4} + 6 a^{3} + a^{2} + 1\right)\cdot 11^{6} + \left(6 a^{6} + 6 a^{5} + 3 a^{4} + a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 11^{7} + \left(a^{6} + 6 a^{5} + 7 a^{4} + 3 a^{3} + 3 a^{2} + 10\right)\cdot 11^{8} + \left(4 a^{6} + 4 a^{5} + 2 a^{4} + 2 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a\right)\cdot 11^{9} +O(11^{10})\) 9a^6 + 3a^5 + 2a^4 + 7a^3 + 9a^2 + 4a + (2a^6 + 6a^5 + 10a^4 + 3a^3 + 2a^2 + 2a + 9)11 + (4a^6 + 4a^5 + 10a^4 + 4a^3 + 10a + 6)11^2 + (8a^6 + 3a^5 + 2a^4 + 4a^3 + 4a^2 + 3)11^3 + (2a^6 + 9a^5 + 3a^4 + 3a^3 + 7a^2 + 5a)11^4 + (10a^6 + 10a^5 + 6a^3 + 7a^2 + 5a)11^5 + (a^6 + 6a^5 + 3a^4 + 6a^3 + a^2 + 1)11^6 + (6a^6 + 6a^5 + 3a^4 + a^3 + 4a^2 + 6a + 2)11^7 + (a^6 + 6a^5 + 7a^4 + 3a^3 + 3a^2 + 10)11^8 + (4a^6 + 4a^5 + 2a^4 + 2a^3 + 8a^2 + 10a)11^9+O(11^10)
$r_{ 7 }$	$=$	\( 10 a^{6} + 6 a^{5} + 4 a^{4} + 5 a^{3} + a + 5 + \left(5 a^{6} + a^{5} + 5 a^{4} + 9 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 11 + \left(4 a^{6} + 6 a^{5} + 8 a^{4} + 5 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 11^{2} + \left(a^{6} + 2 a^{5} + 10 a^{4} + 5 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a\right)\cdot 11^{3} + \left(7 a^{6} + 2 a^{5} + 5 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{4} + \left(4 a^{6} + 5 a^{5} + 3 a^{4} + 4 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 11^{5} + \left(2 a^{6} + 8 a^{5} + a^{4} + 7 a^{3} + a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 11^{6} + \left(9 a^{6} + 6 a^{5} + 10 a^{4} + 5 a^{3} + 6 a^{2} + a + 9\right)\cdot 11^{7} + \left(6 a^{6} + 5 a^{5} + 9 a^{4} + 7 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 11^{8} + \left(5 a^{6} + a^{5} + 5 a^{4} + 6 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 11^{9} +O(11^{10})\) 10a^6 + 6a^5 + 4a^4 + 5a^3 + a + 5 + (5a^6 + a^5 + 5a^4 + 9a^3 + 8a^2 + 5a + 5)11 + (4a^6 + 6a^5 + 8a^4 + 5a^3 + 10a^2 + 3a + 1)11^2 + (a^6 + 2a^5 + 10a^4 + 5a^3 + 3a^2 + 8a)11^3 + (7a^6 + 2a^5 + 5a^3 + 10a^2 + 2a + 9)11^4 + (4a^6 + 5a^5 + 3a^4 + 4a^3 + 5a^2 + 5a + 2)11^5 + (2a^6 + 8a^5 + a^4 + 7a^3 + a^2 + 5a + 4)11^6 + (9a^6 + 6a^5 + 10a^4 + 5a^3 + 6a^2 + a + 9)11^7 + (6a^6 + 5a^5 + 9a^4 + 7a^3 + 7a^2 + 4a + 7)11^8 + (5a^6 + a^5 + 5a^4 + 6a^3 + 7a^2 + 7a + 10)11^9+O(11^10)
$r_{ 8 }$	$=$	\( 10 a^{6} + 6 a^{5} + 8 a^{4} + 9 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 5 + \left(4 a^{6} + 9 a^{5} + 4 a^{4} + 7 a^{3} + 5 a^{2} + a\right)\cdot 11 + \left(7 a^{6} + 10 a^{5} + 8 a^{4} + a^{3} + 7 a^{2} + 2\right)\cdot 11^{2} + \left(7 a^{6} + 8 a^{5} + 3 a^{4} + 3 a^{3} + 5 a^{2} + a + 1\right)\cdot 11^{3} + \left(3 a^{6} + a^{4} + a^{3} + 7 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 11^{4} + \left(5 a^{6} + 4 a^{5} + 5 a^{4} + 9 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a\right)\cdot 11^{5} + \left(2 a^{6} + 4 a^{5} + 2 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 11^{6} + \left(6 a^{6} + 9 a^{5} + 8 a^{4} + 4 a^{3} + 10 a^{2} + 8\right)\cdot 11^{7} + \left(2 a^{6} + 8 a^{5} + 8 a^{4} + 3 a^{3} + a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 11^{8} + \left(4 a^{6} + 5 a^{5} + 7 a^{4} + 10 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 11^{9} +O(11^{10})\) 10a^6 + 6a^5 + 8a^4 + 9a^3 + 2a^2 + 5a + 5 + (4a^6 + 9a^5 + 4a^4 + 7a^3 + 5a^2 + a)11 + (7a^6 + 10a^5 + 8a^4 + a^3 + 7a^2 + 2)11^2 + (7a^6 + 8a^5 + 3a^4 + 3a^3 + 5a^2 + a + 1)11^3 + (3a^6 + a^4 + a^3 + 7a^2 + 10a + 5)11^4 + (5a^6 + 4a^5 + 5a^4 + 9a^3 + 10a^2 + 9a)11^5 + (2a^6 + 4a^5 + 2a^3 + 6a^2 + 8a + 6)11^6 + (6a^6 + 9a^5 + 8a^4 + 4a^3 + 10a^2 + 8)11^7 + (2a^6 + 8a^5 + 8a^4 + 3a^3 + a^2 + 4a + 5)11^8 + (4a^6 + 5a^5 + 7a^4 + 10a^3 + 4a^2 + 5a + 7)*11^9+O(11^10)

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 8 }$

Cycle notation
$(1,2)(3,6)(4,5)(7,8)$
$(1,5,6,7,8,2,3)$
$(1,8)(2,7)(3,4)(5,6)$
$(1,4)(2,5)(3,8)(6,7)$

Character values on conjugacy classes

Size	Order	Action on $r_1, \ldots, r_{ 8 }$	Character values
			$c1$
$1$	$1$	$()$	$7$
$7$	$2$	$(1,8)(2,7)(3,4)(5,6)$	$-1$
$8$	$7$	$(1,7,8,3,4,2,6)$	$0$
$8$	$7$	$(1,8,4,6,7,3,2)$	$0$
$8$	$7$	$(1,3,6,8,2,7,4)$	$0$
$8$	$7$	$(1,4,7,2,8,6,3)$	$0$
$8$	$7$	$(1,2,3,7,6,4,8)$	$0$
$8$	$7$	$(1,6,2,4,3,8,7)$	$0$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.