# Properties

 Label 2.278784.8t5.j.a Dimension 2 Group $Q_8$ Conductor $2^{8} \cdot 3^{2} \cdot 11^{2}$ Root number 1 Frobenius-Schur indicator -1

# Related objects

## Basic invariants

 Dimension: $2$ Group: $Q_8$ Conductor: $278784= 2^{8} \cdot 3^{2} \cdot 11^{2}$ Artin number field: Splitting field of 8.0.179068074983424.1 defined by $f= x^{8} + 132 x^{6} + 4356 x^{4} + 47916 x^{2} + 131769$ over $\Q$ Size of Galois orbit: 1 Smallest containing permutation representation: $Q_8$ Parity: Even Determinant: 1.1.1t1.a.a Projective image: $C_2^2$ Projective field: Galois closure of $$\Q(\sqrt{2}, \sqrt{3})$$

## Galois action

### Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in $\Q_{ 23 }$ to precision 16.
Roots:
 $r_{ 1 }$ $=$ $2 + 8\cdot 23 + 4\cdot 23^{2} + 20\cdot 23^{3} + 17\cdot 23^{4} + 7\cdot 23^{5} + 3\cdot 23^{6} + 7\cdot 23^{7} + 23^{8} + 17\cdot 23^{9} + 4\cdot 23^{10} + 3\cdot 23^{11} + 4\cdot 23^{12} + 3\cdot 23^{13} + 17\cdot 23^{14} + 16\cdot 23^{15} +O\left(23^{ 16 }\right)$ $r_{ 2 }$ $=$ $4 + 11\cdot 23 + 16\cdot 23^{2} + 23^{3} + 20\cdot 23^{4} + 3\cdot 23^{5} + 7\cdot 23^{6} + 5\cdot 23^{7} + 2\cdot 23^{8} + 11\cdot 23^{9} + 6\cdot 23^{10} + 2\cdot 23^{11} + 14\cdot 23^{12} + 16\cdot 23^{13} + 22\cdot 23^{14} + 8\cdot 23^{15} +O\left(23^{ 16 }\right)$ $r_{ 3 }$ $=$ $7 + 6\cdot 23 + 12\cdot 23^{2} + 3\cdot 23^{3} + 3\cdot 23^{4} + 12\cdot 23^{5} + 6\cdot 23^{6} + 2\cdot 23^{7} + 12\cdot 23^{8} + 7\cdot 23^{9} + 8\cdot 23^{10} + 15\cdot 23^{11} + 5\cdot 23^{12} + 10\cdot 23^{13} + 23^{14} + 6\cdot 23^{15} +O\left(23^{ 16 }\right)$ $r_{ 4 }$ $=$ $11 + 11\cdot 23 + 7\cdot 23^{2} + 6\cdot 23^{3} + 23^{4} + 15\cdot 23^{5} + 2\cdot 23^{6} + 2\cdot 23^{7} + 12\cdot 23^{8} + 5\cdot 23^{9} + 23^{10} + 5\cdot 23^{11} + 6\cdot 23^{12} + 7\cdot 23^{13} + 5\cdot 23^{14} + 20\cdot 23^{15} +O\left(23^{ 16 }\right)$ $r_{ 5 }$ $=$ $12 + 11\cdot 23 + 15\cdot 23^{2} + 16\cdot 23^{3} + 21\cdot 23^{4} + 7\cdot 23^{5} + 20\cdot 23^{6} + 20\cdot 23^{7} + 10\cdot 23^{8} + 17\cdot 23^{9} + 21\cdot 23^{10} + 17\cdot 23^{11} + 16\cdot 23^{12} + 15\cdot 23^{13} + 17\cdot 23^{14} + 2\cdot 23^{15} +O\left(23^{ 16 }\right)$ $r_{ 6 }$ $=$ $16 + 16\cdot 23 + 10\cdot 23^{2} + 19\cdot 23^{3} + 19\cdot 23^{4} + 10\cdot 23^{5} + 16\cdot 23^{6} + 20\cdot 23^{7} + 10\cdot 23^{8} + 15\cdot 23^{9} + 14\cdot 23^{10} + 7\cdot 23^{11} + 17\cdot 23^{12} + 12\cdot 23^{13} + 21\cdot 23^{14} + 16\cdot 23^{15} +O\left(23^{ 16 }\right)$ $r_{ 7 }$ $=$ $19 + 11\cdot 23 + 6\cdot 23^{2} + 21\cdot 23^{3} + 2\cdot 23^{4} + 19\cdot 23^{5} + 15\cdot 23^{6} + 17\cdot 23^{7} + 20\cdot 23^{8} + 11\cdot 23^{9} + 16\cdot 23^{10} + 20\cdot 23^{11} + 8\cdot 23^{12} + 6\cdot 23^{13} + 14\cdot 23^{15} +O\left(23^{ 16 }\right)$ $r_{ 8 }$ $=$ $21 + 14\cdot 23 + 18\cdot 23^{2} + 2\cdot 23^{3} + 5\cdot 23^{4} + 15\cdot 23^{5} + 19\cdot 23^{6} + 15\cdot 23^{7} + 21\cdot 23^{8} + 5\cdot 23^{9} + 18\cdot 23^{10} + 19\cdot 23^{11} + 18\cdot 23^{12} + 19\cdot 23^{13} + 5\cdot 23^{14} + 6\cdot 23^{15} +O\left(23^{ 16 }\right)$

### Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 8 }$

 Cycle notation $(1,8)(2,7)(3,6)(4,5)$ $(1,6,8,3)(2,4,7,5)$ $(1,5,8,4)(2,6,7,3)$

### Character values on conjugacy classes

 Size Order Action on $r_1, \ldots, r_{ 8 }$ Character value $1$ $1$ $()$ $2$ $1$ $2$ $(1,8)(2,7)(3,6)(4,5)$ $-2$ $2$ $4$ $(1,6,8,3)(2,4,7,5)$ $0$ $2$ $4$ $(1,5,8,4)(2,6,7,3)$ $0$ $2$ $4$ $(1,7,8,2)(3,5,6,4)$ $0$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.