Properties

Label 2.2e8_3e2_11e2.8t5.12c1
Dimension 2
Group $Q_8$
Conductor $ 2^{8} \cdot 3^{2} \cdot 11^{2}$
Root number -1
Frobenius-Schur indicator -1

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Basic invariants

Dimension:$2$
Group:$Q_8$
Conductor:$278784= 2^{8} \cdot 3^{2} \cdot 11^{2} $
Artin number field: Splitting field of $f= x^{8} + 132 x^{6} + 5940 x^{4} + 100188 x^{2} + 393129 $ over $\Q$
Size of Galois orbit: 1
Smallest containing permutation representation: $Q_8$
Parity: Even
Determinant: 1.1.1t1.1c1

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in $\Q_{ 43 }$ to precision 13.
Roots:
$r_{ 1 }$ $=$ $ 2 + 40\cdot 43 + 31\cdot 43^{2} + 41\cdot 43^{3} + 19\cdot 43^{4} + 29\cdot 43^{5} + 38\cdot 43^{8} + 7\cdot 43^{9} + 32\cdot 43^{10} + 4\cdot 43^{11} + 12\cdot 43^{12} +O\left(43^{ 13 }\right)$
$r_{ 2 }$ $=$ $ 5 + 19\cdot 43 + 7\cdot 43^{2} + 5\cdot 43^{3} + 8\cdot 43^{4} + 19\cdot 43^{5} + 3\cdot 43^{6} + 17\cdot 43^{7} + 30\cdot 43^{9} + 31\cdot 43^{10} + 26\cdot 43^{11} + 31\cdot 43^{12} +O\left(43^{ 13 }\right)$
$r_{ 3 }$ $=$ $ 16 + 12\cdot 43 + 12\cdot 43^{2} + 43^{3} + 25\cdot 43^{4} + 36\cdot 43^{5} + 18\cdot 43^{6} + 43^{7} + 11\cdot 43^{8} + 3\cdot 43^{9} + 32\cdot 43^{10} + 16\cdot 43^{11} + 6\cdot 43^{12} +O\left(43^{ 13 }\right)$
$r_{ 4 }$ $=$ $ 20 + 36\cdot 43 + 39\cdot 43^{2} + 23\cdot 43^{3} + 43^{4} + 12\cdot 43^{5} + 10\cdot 43^{6} + 12\cdot 43^{7} + 35\cdot 43^{8} + 35\cdot 43^{9} + 28\cdot 43^{10} + 14\cdot 43^{11} + 42\cdot 43^{12} +O\left(43^{ 13 }\right)$
$r_{ 5 }$ $=$ $ 23 + 6\cdot 43 + 3\cdot 43^{2} + 19\cdot 43^{3} + 41\cdot 43^{4} + 30\cdot 43^{5} + 32\cdot 43^{6} + 30\cdot 43^{7} + 7\cdot 43^{8} + 7\cdot 43^{9} + 14\cdot 43^{10} + 28\cdot 43^{11} +O\left(43^{ 13 }\right)$
$r_{ 6 }$ $=$ $ 27 + 30\cdot 43 + 30\cdot 43^{2} + 41\cdot 43^{3} + 17\cdot 43^{4} + 6\cdot 43^{5} + 24\cdot 43^{6} + 41\cdot 43^{7} + 31\cdot 43^{8} + 39\cdot 43^{9} + 10\cdot 43^{10} + 26\cdot 43^{11} + 36\cdot 43^{12} +O\left(43^{ 13 }\right)$
$r_{ 7 }$ $=$ $ 38 + 23\cdot 43 + 35\cdot 43^{2} + 37\cdot 43^{3} + 34\cdot 43^{4} + 23\cdot 43^{5} + 39\cdot 43^{6} + 25\cdot 43^{7} + 42\cdot 43^{8} + 12\cdot 43^{9} + 11\cdot 43^{10} + 16\cdot 43^{11} + 11\cdot 43^{12} +O\left(43^{ 13 }\right)$
$r_{ 8 }$ $=$ $ 41 + 2\cdot 43 + 11\cdot 43^{2} + 43^{3} + 23\cdot 43^{4} + 13\cdot 43^{5} + 42\cdot 43^{6} + 42\cdot 43^{7} + 4\cdot 43^{8} + 35\cdot 43^{9} + 10\cdot 43^{10} + 38\cdot 43^{11} + 30\cdot 43^{12} +O\left(43^{ 13 }\right)$

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 8 }$

Cycle notation
$(1,8)(2,7)(3,6)(4,5)$
$(1,7,8,2)(3,4,6,5)$
$(1,5,8,4)(2,3,7,6)$

Character values on conjugacy classes

SizeOrderAction on $r_1, \ldots, r_{ 8 }$ Character value
$1$$1$$()$$2$
$1$$2$$(1,8)(2,7)(3,6)(4,5)$$-2$
$2$$4$$(1,5,8,4)(2,3,7,6)$$0$
$2$$4$$(1,7,8,2)(3,4,6,5)$$0$
$2$$4$$(1,3,8,6)(2,4,7,5)$$0$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.