Properties

Label 1.23.11t1.1c1
Dimension 1
Group $C_{11}$
Conductor $ 23 $
Root number not computed
Frobenius-Schur indicator 0

Related objects

Learn more about

Basic invariants

Dimension:$1$
Group:$C_{11}$
Conductor:$23 $
Artin number field: Splitting field of $f= x^{11} - x^{10} - 10 x^{9} + 9 x^{8} + 36 x^{7} - 28 x^{6} - 56 x^{5} + 35 x^{4} + 35 x^{3} - 15 x^{2} - 6 x + 1 $ over $\Q$
Size of Galois orbit: 10
Smallest containing permutation representation: $C_{11}$
Parity: Even
Corresponding Dirichlet character: \(\chi_{23}(3,\cdot)\)

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 13 }$ to precision 7.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 13 }$: $ x^{11} + 3 x + 11 $
Roots:
$r_{ 1 }$ $=$ $ 2 a^{9} + 12 a^{8} + 7 a^{7} + 2 a^{6} + 7 a^{5} + 4 a^{4} + 8 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 6 + \left(4 a^{10} + a^{9} + 4 a^{8} + a^{7} + 5 a^{6} + 3 a^{5} + 12 a^{4} + 4 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 13 + \left(4 a^{10} + 7 a^{9} + a^{8} + 5 a^{6} + 6 a^{5} + 5 a^{4} + 6 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 13^{2} + \left(a^{9} + 12 a^{8} + a^{7} + 9 a^{6} + 8 a^{5} + 9 a^{4} + 6 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 13^{3} + \left(7 a^{10} + 3 a^{9} + 9 a^{8} + a^{7} + 10 a^{5} + 8 a^{4} + 6 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 13^{4} + \left(2 a^{10} + a^{9} + 12 a^{7} + 9 a^{6} + 8 a^{5} + 4 a^{4} + a^{3} + 9 a^{2} + 10\right)\cdot 13^{5} + \left(7 a^{10} + 2 a^{9} + a^{8} + 7 a^{7} + 12 a^{6} + 10 a^{5} + 11 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{6} +O\left(13^{ 7 }\right)$
$r_{ 2 }$ $=$ $ 12 a^{9} + a^{8} + 9 a^{7} + 12 a^{6} + 12 a^{5} + 7 a^{4} + a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 6 + \left(11 a^{10} + 6 a^{9} + 10 a^{8} + 4 a^{7} + a^{6} + 6 a^{5} + 3 a^{4} + 8 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a\right)\cdot 13 + \left(9 a^{10} + 11 a^{9} + 5 a^{8} + 12 a^{7} + 11 a^{6} + 9 a^{5} + 4 a^{4} + 8 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 13^{2} + \left(7 a^{10} + 12 a^{9} + 5 a^{8} + a^{7} + 8 a^{6} + 12 a^{5} + 10 a^{4} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{3} + \left(3 a^{10} + 10 a^{9} + 2 a^{8} + 2 a^{7} + 6 a^{6} + 3 a^{5} + 9 a^{4} + 10 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{4} + \left(3 a^{9} + 9 a^{8} + 4 a^{7} + 11 a^{6} + 7 a^{5} + 4 a^{4} + 12 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 13^{5} + \left(2 a^{10} + 7 a^{9} + 6 a^{8} + 4 a^{7} + 4 a^{6} + 4 a^{5} + 8 a^{4} + 2 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 13^{6} +O\left(13^{ 7 }\right)$
$r_{ 3 }$ $=$ $ a^{10} + a^{9} + 11 a^{8} + 5 a^{7} + 12 a^{6} + 3 a^{5} + 7 a^{4} + 7 a^{2} + 11 a + 4 + \left(3 a^{10} + 10 a^{9} + 8 a^{8} + a^{7} + 5 a^{6} + 6 a^{3} + 4 a^{2} + 1\right)\cdot 13 + \left(2 a^{10} + 10 a^{9} + 6 a^{7} + 9 a^{6} + 3 a^{5} + 4 a^{4} + 9 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 13^{2} + \left(12 a^{9} + 2 a^{8} + 2 a^{7} + a^{6} + 10 a^{5} + 3 a^{4} + 9 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a\right)\cdot 13^{3} + \left(9 a^{10} + 6 a^{9} + 6 a^{8} + 12 a^{7} + 6 a^{6} + 6 a^{5} + 11 a^{4} + 4 a^{3} + 11 a^{2} + a + 8\right)\cdot 13^{4} + \left(11 a^{10} + 4 a^{9} + a^{8} + 7 a^{7} + 11 a^{6} + 11 a^{4} + 9 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{5} + \left(12 a^{10} + 10 a^{9} + 12 a^{8} + 10 a^{7} + 12 a^{6} + 9 a^{5} + 9 a^{4} + 4 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 13^{6} +O\left(13^{ 7 }\right)$
$r_{ 4 }$ $=$ $ 4 a^{10} + 5 a^{9} + a^{8} + 5 a^{7} + 6 a^{6} + 5 a^{4} + 4 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 11 + \left(5 a^{10} + 6 a^{9} + 7 a^{8} + 5 a^{7} + a^{6} + 11 a^{5} + 11 a^{4} + 8 a^{2} + 3\right)\cdot 13 + \left(9 a^{10} + 10 a^{9} + a^{8} + 4 a^{7} + 4 a^{6} + 2 a^{5} + 11 a^{4} + 6 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 13^{2} + \left(7 a^{10} + 10 a^{9} + 10 a^{8} + 11 a^{6} + 10 a^{5} + 4 a^{4} + 9 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 13^{3} + \left(9 a^{10} + 9 a^{9} + 5 a^{8} + a^{7} + 5 a^{6} + 9 a^{5} + 4 a^{4} + 10 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 13^{4} + \left(a^{10} + 2 a^{9} + 4 a^{7} + 9 a^{6} + 10 a^{5} + 4 a^{4} + 11 a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 13^{5} + \left(10 a^{10} + 2 a^{9} + 6 a^{8} + 8 a^{7} + 10 a^{6} + 3 a^{5} + 6 a^{4} + 7 a^{3} + 9 a^{2} + 6 a\right)\cdot 13^{6} +O\left(13^{ 7 }\right)$
$r_{ 5 }$ $=$ $ 4 a^{10} + 12 a^{9} + 5 a^{8} + 11 a^{7} + a^{5} + 2 a^{4} + 5 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 11 + \left(6 a^{10} + 10 a^{9} + 7 a^{8} + 9 a^{7} + 4 a^{6} + 10 a^{5} + 4 a^{4} + 10 a^{3} + a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 13 + \left(11 a^{8} + 9 a^{7} + 5 a^{6} + 5 a^{5} + 7 a^{4} + 10 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{2} + \left(8 a^{10} + 2 a^{9} + a^{8} + 5 a^{7} + 9 a^{6} + 7 a^{5} + 11 a^{4} + 3 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 13^{3} + \left(2 a^{10} + 7 a^{9} + 5 a^{8} + 5 a^{7} + 9 a^{6} + 2 a^{5} + 6 a^{4} + 12 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 13^{4} + \left(9 a^{10} + 5 a^{9} + 12 a^{8} + a^{7} + 3 a^{6} + 2 a^{5} + 4 a^{4} + 6 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{5} + \left(10 a^{10} + 6 a^{9} + a^{8} + 3 a^{6} + 6 a^{5} + 10 a^{4} + 6 a^{3} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{6} +O\left(13^{ 7 }\right)$
$r_{ 6 }$ $=$ $ 6 a^{10} + 6 a^{9} + a^{8} + 3 a^{7} + 11 a^{6} + 10 a^{5} + 9 a^{4} + 10 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 7 + \left(12 a^{10} + 12 a^{9} + 10 a^{8} + 11 a^{6} + 7 a^{5} + 10 a^{3} + 7 a^{2} + 11\right)\cdot 13 + \left(12 a^{10} + a^{9} + 12 a^{8} + 3 a^{7} + 7 a^{6} + 5 a^{5} + 9 a^{4} + 12 a^{3} + 3 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{2} + \left(3 a^{10} + 4 a^{9} + 11 a^{8} + 2 a^{7} + a^{6} + 8 a^{5} + 5 a^{4} + 10 a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 13^{3} + \left(9 a^{10} + 4 a^{9} + 2 a^{8} + 12 a^{7} + 9 a^{6} + 9 a^{5} + 7 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{4} + \left(11 a^{10} + 8 a^{9} + 3 a^{8} + 12 a^{7} + 4 a^{6} + 7 a^{5} + 10 a^{4} + a^{3} + 9 a^{2} + 5\right)\cdot 13^{5} + \left(12 a^{10} + 5 a^{9} + 6 a^{8} + 10 a^{6} + 11 a^{5} + 10 a^{4} + 3 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 13^{6} +O\left(13^{ 7 }\right)$
$r_{ 7 }$ $=$ $ 6 a^{10} + 11 a^{9} + 8 a^{8} + 5 a^{7} + 6 a^{6} + 5 a^{5} + 12 a^{4} + 9 a^{3} + 2 a^{2} + a + 7 + \left(2 a^{10} + 11 a^{9} + 8 a^{8} + 4 a^{7} + 4 a^{6} + 6 a^{5} + 7 a^{4} + a^{3} + 4 a^{2} + 5\right)\cdot 13 + \left(2 a^{9} + 7 a^{8} + 2 a^{6} + 10 a^{5} + 10 a^{4} + 12 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{2} + \left(2 a^{10} + 4 a^{9} + 2 a^{8} + 6 a^{7} + 10 a^{6} + 9 a^{5} + 8 a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 13^{3} + \left(6 a^{10} + 12 a^{9} + 12 a^{8} + 10 a^{7} + 3 a^{6} + 2 a^{4} + 9 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 13^{4} + \left(10 a^{10} + 5 a^{9} + 10 a^{8} + 5 a^{7} + a^{6} + 10 a^{5} + 9 a^{4} + 8 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 13^{5} + \left(11 a^{10} + 6 a^{9} + 2 a^{8} + 8 a^{7} + a^{6} + 9 a^{5} + 11 a^{4} + 7 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 13^{6} +O\left(13^{ 7 }\right)$
$r_{ 8 }$ $=$ $ 10 a^{10} + a^{8} + 12 a^{7} + a^{6} + a^{5} + a^{4} + 7 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 12 + \left(12 a^{10} + a^{9} + 6 a^{8} + 12 a^{7} + 7 a^{6} + 6 a^{5} + 5 a^{4} + 2 a^{3} + 10 a^{2} + a + 2\right)\cdot 13 + \left(12 a^{10} + 11 a^{9} + 10 a^{8} + 12 a^{7} + a^{6} + 6 a^{5} + 5 a^{4} + 9 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{2} + \left(4 a^{10} + a^{9} + 4 a^{8} + 8 a^{6} + 10 a^{5} + 9 a^{4} + 8 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{3} + \left(4 a^{10} + 7 a^{8} + 9 a^{7} + 8 a^{6} + 12 a^{5} + 4 a^{4} + a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{4} + \left(10 a^{10} + 5 a^{9} + 9 a^{8} + 11 a^{7} + 7 a^{6} + a^{5} + 6 a^{4} + 7 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 13^{5} + \left(8 a^{10} + 2 a^{9} + a^{8} + 5 a^{7} + 2 a^{6} + a^{5} + 4 a^{4} + a^{3} + 6 a^{2} + 9\right)\cdot 13^{6} +O\left(13^{ 7 }\right)$
$r_{ 9 }$ $=$ $ 10 a^{10} + 10 a^{9} + 7 a^{8} + 8 a^{7} + 4 a^{6} + 12 a^{5} + a^{4} + 6 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 12 + \left(2 a^{10} + 4 a^{9} + 2 a^{8} + 2 a^{7} + 11 a^{6} + 10 a^{5} + 5 a^{4} + 3 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 13 + \left(6 a^{10} + 10 a^{9} + a^{8} + 7 a^{7} + 4 a^{6} + 6 a^{5} + 12 a^{4} + 6 a^{3} + 2 a + 2\right)\cdot 13^{2} + \left(12 a^{10} + 9 a^{9} + a^{8} + 9 a^{7} + 4 a^{6} + 12 a^{5} + 7 a^{4} + 5 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{3} + \left(8 a^{10} + 10 a^{9} + a^{8} + 3 a^{7} + 10 a^{6} + 12 a^{5} + 9 a^{3} + a^{2} + 6\right)\cdot 13^{4} + \left(6 a^{10} + 3 a^{9} + 10 a^{8} + a^{7} + 7 a^{6} + 8 a^{5} + 3 a^{4} + 12 a^{3} + a^{2} + 9 a\right)\cdot 13^{5} + \left(a^{9} + 8 a^{7} + 12 a^{6} + 4 a^{5} + 11 a^{4} + 8 a^{3} + 12 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{6} +O\left(13^{ 7 }\right)$
$r_{ 10 }$ $=$ $ 12 a^{10} + 3 a^{9} + a^{8} + 5 a^{7} + 4 a^{6} + 7 a^{5} + 7 a^{4} + 12 a^{2} + 12 a + 8 + \left(12 a^{10} + 12 a^{9} + 7 a^{8} + 12 a^{7} + 12 a^{6} + 3 a^{5} + 12 a^{4} + 8 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 13 + \left(4 a^{10} + 6 a^{8} + 3 a^{7} + 11 a^{6} + 4 a^{5} + 12 a^{4} + 9 a^{3} + a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{2} + \left(10 a^{10} + 9 a^{9} + a^{8} + a^{7} + 4 a^{6} + 4 a^{5} + 9 a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + 4\right)\cdot 13^{3} + \left(10 a^{10} + 6 a^{9} + 10 a^{8} + 4 a^{7} + 6 a^{6} + 8 a^{5} + 8 a^{4} + 10 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{4} + \left(11 a^{10} + 2 a^{8} + 12 a^{7} + 7 a^{6} + 8 a^{5} + 10 a^{4} + 4 a^{3} + 3 a + 2\right)\cdot 13^{5} + \left(4 a^{10} + 5 a^{9} + 10 a^{8} + 4 a^{7} + 2 a^{6} + 5 a^{5} + 3 a^{4} + 8 a^{3} + a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{6} +O\left(13^{ 7 }\right)$
$r_{ 11 }$ $=$ $ 12 a^{10} + 3 a^{9} + 4 a^{8} + 8 a^{7} + 7 a^{6} + 7 a^{5} + 10 a^{4} + 2 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 8 + \left(4 a^{10} + 5 a^{8} + 9 a^{7} + 12 a^{6} + 11 a^{5} + a^{4} + 9 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 13 + \left(a^{10} + 10 a^{9} + 5 a^{8} + 4 a^{7} + 3 a^{5} + 7 a^{4} + 12 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{2} + \left(7 a^{10} + 8 a^{9} + 11 a^{8} + 7 a^{7} + 8 a^{6} + 9 a^{5} + 9 a^{4} + 5 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{3} + \left(6 a^{10} + 5 a^{9} + a^{8} + 3 a^{7} + 10 a^{6} + 12 a^{5} + 6 a^{4} + 8 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{4} + \left(a^{10} + 10 a^{9} + 4 a^{8} + 4 a^{7} + 3 a^{6} + 10 a^{5} + 8 a^{4} + 6 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 13^{5} + \left(9 a^{10} + 2 a^{9} + 2 a^{8} + 5 a^{7} + 4 a^{6} + 10 a^{5} + 6 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 13^{6} +O\left(13^{ 7 }\right)$

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 11 }$

Cycle notation
$(1,4,6,2,5,7,10,11,3,8,9)$

Character values on conjugacy classes

SizeOrderAction on $r_1, \ldots, r_{ 11 }$ Character value
$1$$1$$()$$1$
$1$$11$$(1,4,6,2,5,7,10,11,3,8,9)$$\zeta_{11}$
$1$$11$$(1,6,5,10,3,9,4,2,7,11,8)$$\zeta_{11}^{2}$
$1$$11$$(1,2,10,8,4,5,11,9,6,7,3)$$\zeta_{11}^{3}$
$1$$11$$(1,5,3,4,7,8,6,10,9,2,11)$$\zeta_{11}^{4}$
$1$$11$$(1,7,9,5,8,2,3,6,11,4,10)$$\zeta_{11}^{5}$
$1$$11$$(1,10,4,11,6,3,2,8,5,9,7)$$\zeta_{11}^{6}$
$1$$11$$(1,11,2,9,10,6,8,7,4,3,5)$$\zeta_{11}^{7}$
$1$$11$$(1,3,7,6,9,11,5,4,8,10,2)$$\zeta_{11}^{8}$
$1$$11$$(1,8,11,7,2,4,9,3,10,5,6)$$\zeta_{11}^{9}$
$1$$11$$(1,9,8,3,11,10,7,5,2,6,4)$$-\zeta_{11}^{9} - \zeta_{11}^{8} - \zeta_{11}^{7} - \zeta_{11}^{6} - \zeta_{11}^{5} - \zeta_{11}^{4} - \zeta_{11}^{3} - \zeta_{11}^{2} - \zeta_{11} - 1$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.